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第三章(1) 时域分析(计算)

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自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)

第三章_时域分析方法

第三章_时域分析方法

第3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。

熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。

2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。

3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。

4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。

5熟练掌握计算稳态误差的方法。

6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。

3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。

依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。

这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。

即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。

2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为：s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为：t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为：2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为：③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义：图中1代表了脉冲强度。

《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析

《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
解 ： h(k)满足h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关

自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析 (5)

自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析 (5)

故 20lg ( j) 3(dB)
b
系统带宽频率与带宽
一阶和二阶系统，带宽和系统参数具有解析关系。
自动控制原理教案
一阶系统的带宽: 一阶系统: 因为
1 (s) Ts 1
， 按带宽定义
1 1 T 2b
2
( j 0) 1
20lg ( jb ) 20lg
解 因为该系统为I型系统，单位速度输入下的稳态误差为 查表
1 K 9 K
60
0.62 % e
/ 1 2
7.5%
K 2 1 n , 2n n 2 K 11.6 T T 3.5 ts 0.506
n
自动控制原理教案
G ( j ) G ( j ) 1 G ( j ) A( )
1 2
[1 A2 ( ) 2 A( ) cos ( )] 1 1 [ cos ( )]2 sin 2 ( ) A( )
一般情况下，在M (ω)的极大值附近， γ(ω) 变化较小，且使M (ω)为极值的谐振频率ωr常位于ωc附近，即有
( j 0) 1 ， 按带宽定义
b 2 2 b 2 (1 2 ) 4 2 2 2 n n
b n (1 2 2 ) (1 2 2 )2 1


1 2
二阶系统的带宽和自然频率成正比。与阻尼比成反比。
自动控制原理教案
带宽指标意义
根据一阶系统和二阶系统上升时间和过渡过程时间与参数的 关系，可以推论:系统的单位阶跃响应的速度和带宽成正比。 对于任意阶次的控制系统，这一关系仍然成立。 当系统的带宽扩大λ 倍，系统的响应速度则加快λ 倍。 对于输入端信号，带宽大，则跟踪控制信号的能力强；而在另一 方面， 抑制输入端高频干扰的能力则弱，因此系统带宽的选择在设计中应折 衷考虑，不能一味求大。

自动控制原理-第3章-时域分析法

自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点

自动控制原理-第3章

自动控制原理-第3章

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法

自动控制原理 第三章

自动控制原理 第三章

−
1 t T1
1 + e T1 / T2 − 1
−
, (t ≥ 0) (3 − 22)
36
过阻尼系统分析
衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对 值大的离虚轴远，衰减速度快， 值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚 轴近， 轴近，衰减速度慢 衰减项前的系数一个大， 衰减项前的系数一个大，一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性， 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调， 荡和超调，但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 影响小，有时甚至可以忽略不计。
1 R( s ) = s
输出： 输出：
1 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = ⋅ Ts + 1 s
C (t ) = 1 − e
− t T
21
单位阶跃响应曲线
t
初始斜率： dh(t ) |t =0 = 1 dt T
22
性能指标
1. 平稳性σ%： 非周期、无振荡， 非周期、无振荡， σ% ＝0 2. 快速性ts：
此时s1, s2为 此时 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
34
2
⑥特征根分析—— ζ <−1 （负阻尼）
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
此时s1,s2为 此时 两个正实根， 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
35
二阶系统单位阶跃响应
1.过阻尼(ζ > 1) 二阶系统的单位阶跃响应 过阻尼
1 t
②单位斜坡函数 其数学表达式为： 其数学表达式为： t f ( t ) = t . 1( t ) = 0 其拉氏变换为： 其拉氏变换为：

第三章 时域分析1

第三章 时域分析1
存在一对离虚轴最近的共轭极点；
附近无零点；
其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。
高阶系统传递函数的一般形式为
m
(s) C(s) R(s)
n1
K (s zi )
i 1 n2
(s s j ) (s2 2ll s l 2 )
j 1
l 1
单位阶跃响应为
C(t) L1[1 . (s)]
s
1
四、具有零点的二阶系统分析
具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，
其闭环传递函数为： (s)
s2
n2 (1s) 2ns n2
，零点为： z 1
具有零点的二阶系统 (0 1) 的单位
阶跃响应为：
p1
jn 1 2
l
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 (1s) 2 ns n2
1 s
z n
列劳斯表
s3 126
258
s2 219
85
s1 209.1
0
s0 85
可见，3个根全在S=0的左面。令S=S'－1代入特征方程整理后
有 126s' 3 159s' 2 198s' 80 0
列劳斯表
s3 126 s2 159 s1 134.6 s0 80
198 80
0
可见第一列元素变号3次，3个根全部位于S＝－1的右面。因 此得结论：3个根的实部全部位于开区间（－1，0）之内。
劳斯行列表为：
s3
1
40
s2
14
K
s1 40 K
0
14
s0
K
为使系统稳定，劳斯阵列中第一列元素须全为正。因此有

自动控制原理第三章一控制系统的时域分析

自动控制原理第三章一控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析 法
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
wn 1 2
e w nt
s in(w n
1 2t)
1
e ( 2 1)wnt

第三章 自动控制系统的时域分析(1)《自动控制原理与系统》

第三章 自动控制系统的时域分析(1)《自动控制原理与系统》

第二节 一阶系统的动态响应
凡是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，成为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
一阶系统的时域微分方程为
T dc (t ) c(t ) r (t ) dt
式中c（t）和r（t）分别为系统的输出、输入量；T为时间 常数，具有时间“秒”的量纲，此外时间常数T也是表征系 统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节 在初始条件为零时两边取拉氏变换，可得其闭环传递函数为
)] T
这里，输入信号t是输出量的期望值。上式还表明，一阶系统在 跟踪单位斜波输入信号时，输出量与输入量存在跟踪误差，其 稳态误差值与系统的“T”的值相等。一阶系统在跟踪斜波输入 信号，所带来的原理上的位置误差，只能通过减小时间常数T来 降低，而不能最终消除它
第三章 自动控制系统的时域分析
4.单位冲激响应 单位脉冲函数是单位阶跃函数的一阶 导数。因此其单位脉冲响应是单位阶 跃响应的一阶导数
r(t)＝A sinωt
周期性输入信号
第三章 自动控制系统的时域分析
二、动态过程与稳态过程
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都是由 动态过程和稳态过程组成 1.动态过程
又称为过渡过程或暂态过程，是指系统从初始状态到接近最终 状态的响应过程。 2.稳态过程
稳态过程是指时间t趋于无穷时的系统输出状态。
第三章 自动控制系统的时域分析
第三节 二阶系统的动态响应
凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程 中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使 是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二 阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有 非常重要的地位。
一、二阶系统的数学模型

时域分析法

时域分析法
动,试分析系统在x扰动下的特性。
解:
系统闭环传递函数：
r+ -
K
x
+
1
y
+
s(1+Ts)
Y(s)
1
G( s ) X ( s ) Ts2 s K
K
1
T
K s2 1 s K
TT
1 K
s2
n2 2ns n2
其中 2
1 KT
n
K T
y( t )
1
1
K
1 1 2
e n t
sin( d t
,m
n
写成零极点形式： m
kg (s zi )
(s) n1
i 1 n2
, n1 2n2 n, m n
(s p j ) (s2 2 l nl s nl 2 )
j 1
l 1
其单位阶跃响应函数为：
C(s)
(s) 1 s
a0 s
n1 j1
aj s pj
n2 l 1
l (s lnl ) lnl 1 l 2 s2 2 l nl s nl 2
第三章 时域分析法
主要内容： 1. 控制系统的时间响应 2. 误差分析和计算 3. 稳定性分析（劳斯判据）
系统分析：对控制系统的稳定性、误差和动态 特性等方面的指标进行分析，即分析系统的稳 定性、准确性和快速性。
dny
d n1 y
dy
dmx
d m1 x
dx
an dt n an1 dt n1 L a1 dt a0 y bm dt m bm1 dt m1 L b1 dt b0 x
——相角
极点的虚部决定系统的震荡频率：

自动控制原理 第三章时域分析方法

自动控制原理 第三章时域分析方法
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数

第三章 控制系统的时域分析—1引言及一阶系统时域分析

第三章 控制系统的时域分析—1引言及一阶系统时域分析
时，系统的输出状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信 号对输入信号跟踪（伺服、复现）能力。稳态过程又称稳态 响应，其稳态性能用稳态误差描述。
稳定性指标（收敛、发散）
稳定是控制系统能够工作的首要条件，只有动态过程收 敛 (响应衰减)，研究动态性能与稳态性能才有意义。
收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过 程中，振荡逐渐减弱并稳定在某一状态。反之则称为发散。
T
量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都
不会超过其稳态值。由于该响应曲线具有非振荡
特征，故也称为非周期响应。
1 斜率 1
T 0.632
C(t) 0.95
T
3T
图中响应曲线的初始斜率（t=0时）为 1/T。如果系统保 持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达 到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经
过T时间后，输出量c(t)从0上升到稳态值的63.2%。经过 3T-4T时， c(t)将分别达到稳态值的95%-98%。可见，时 间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升 越快，响应过程的快速性也越好。
c(t) 1 exp( t ) T
由上式可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬 态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到 稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间 （即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差 为5%或2%。
t
c(t)
c(t) 1 e T
ess
lim
t
e(t)
0
1
1 T
0.632
动态性能指标：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
td 0.69T tr 2.20T
t

自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析(w)

自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析(w)

自 动 控 制 原 理 第 三 章
42
因此，怎样选择适中的阻尼比，以兼 顾系统的稳定性和快速性，便成了研究自 动控制系统的一个重要的课题。
控制工程中一般希望具有适度的阻尼, 较快的响应速度和较短的调节时间.二阶系 统一般取0.4~0.8，最佳阻尼0.707
欠阻尼二阶系统的动态过程分析
自 动 控 制 原 理 第 三 章
26
自 动 控 制 原 理 第 三 章
27
自 动 控 制 原 理 第 三 章
28
自 动 控 制 原 理 第 三 章
系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。
29
自 动 控 制 原 理 第 三 章
30
自 动 控 制 原 理 第 三 章
31
自 动 控 制 原 理 第 三 章
32
自 动 控 制 原 理 第 三 章
40
et / T1 et / T2 h(t ) 1 ,t 0 T2 / T1 1 T2 / T1 1
自 动 控 制 原 理 第 三 章
41
由以上的分析可见，典型二阶系统在不 同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出 特性的差异是很大的。 若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超 调量大幅度增加； 若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又 大大增加了调整时间。
t

第 三 章
44
% e
1 2
(5) 调节时间ts:
100% 3 . 5 3 .5 ts
n

欠阻尼二阶系统的动态分析小结
自 动 控 制 原 理
n G(S ) 2 2 S 2 n S n
2
R(S)
0 1
C(S)
n 2 s(s 2n )

自动控制原理 第三章 时域分析c1

自动控制原理 第三章 时域分析c1


2时 5时
h(t)
其他动态性能指标：
td 0.69T
tr 2.20T
ts 3T (5%误差带）
16 t
3-2 一阶系统的时域分析
自控原理
3.一阶系统单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数δ (t)时，R(S)＝1，输出量的拉氏
变换与传递函数相同，即 C(s) 1 TS 1
t
eT
)
t0
2
S3
2
上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
单位斜坡
函数响应
函数响应
函数响应
微分
微分
微分
单位抛物线 函数响应
20
3-2 一阶系统的时域分析
自控原理
例: 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述：


T ct ct rt rt
其中， 1 (T ) 0
结论：一阶系统无法跟踪加速度形式的输入信号
19
3-2 一阶系统的时域分析
自控原理
输入信号 输入信号
时域
频域
输出响应
传递函数
(t)
1
1
t
eT
T
(t 0)
1
1(t)
S
t
1e T t 0
1
t
1
t
TS 1
S2
t T Te T t 0
1 t2
1
1
t2
Tt

T
2 (1
2.能熟练运用劳斯稳定性判据判断系统的稳定性
3.正确理解对控制信号和干扰作用的稳态误差定义， 能熟练应用静态误差系数法计算稳态误差。
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h(t)
Mp超 调 量 允 许 误 差 1 0.9
h() h() h() h()
0
td
0.02 或 0.05
0.5
0.1
tr tp ts
t
图 3-2 表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
四、典型时间响应
系统响应之间有什么关系?
1、 单位脉冲函数 对单位脉冲输入信号（函数）的响应。
系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信
号的响应特性之间，存在着一定的关系. 所以采用试验 信号来评价系统性能是合理的。
怎样建立系统性能评判依据?
一.典型试验信号
选择典型试验信号的原则 (1) 反映实际情况; (2) 数学形式简单; (3) 实验室容易得到. 典型试验信号: 1、（单位）阶跃函数: 2、（单位）斜坡(速度)函数:
例如，切削机床的自动控制的例子。那么如何来规定衡
量系统性能的输入信号呢?
3.2.1 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有 评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统 加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应 来建立。 许多设计准则就建立在典型试验信号的基础上. 因为
1
1 t e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e T )
t 1 c(t ) t 2 Tt T 2 (1 e T ) 2
(t 0)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
+
r(t)
R
+
i(t) C
c(t)
用一阶微分方程描述的控 制系统称为一阶系统。 图所示的RC电路，其微分 方程为:
duc U c r (t ) dt T C (t ) C (t ) r (t ) RC
（ a） 电 路 图
R(s)
（ c） 等 效 方 块 图
C(s)
当初使条件为零时，其传递函数为
第三章 时域分析法
在建立起控制系统数学模型之后,紧接着的问题是对系 统性能进行分析. 控制系统分析有多种方法，主要有时域分析法，频域 分析法，根轨迹法等.本章学习时域分析法.
教学内容: 3.1 概述 3.2 瞬态响应 3.3 稳态性 3.4 稳态误差分析
教学重点： 1、一、二阶系统的分析 2、线性系统的稳定性分析 3、系统稳态误差的计算 教学要求: 1.掌握一、二阶系统定量计算公式 2.掌握劳斯稳定判剧. 3.掌握稳态误差 的计算公式.
上式表明： ①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输 出信号的变化率完全相同。 ②由于系统存在惯性， c(t ) 从0上升到1时，对应 的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就 是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可 减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
斜坡函数
3.2.4 时域性能指标
针对不同问题的描述,暂态性能指标出现的形式 有所不同.在许多实际情况中，控制系统所需要的 性能指标，常以时域量值的形式给出,这种性能指 标称为时域性能指标。 控制系统的时域性能指标，通常用系统在零初 示条件下（静止状态，输出量和输入量的各阶导数 为0），系统对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应 来衡量。
三、一阶系统的动态性能指标估计
t d 0.69T
如何估算系统的性能指标?
t r 2.20T
t s 3T (5%误差带） t p 和％不存在
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为 零。
例题:假设温度计可以用传传递函数 Ts 1 描述.现用温度计 测量水温,发现需要1分钟才能指示水温的98%,求系统的时间 常数T,并计算系统的性能指标.
L[ (t )] 1,C ( s) ( S ) R( S ) ( S )
2、单位阶跃响应 对单位阶跃输入信号（函数）的响应。
L[1(t )] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S S
3、单位斜坡函数 对单位斜坡输入信号（函数）的响应。
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
h(t p ) h() h()
100%
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
5.延迟时间： 响应曲线第一 次达到稳态值的 一半所需的时间。
3.2.2 一阶系统的瞬态响应
一、一阶系统的数学模型
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表 现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信 号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
动态性能指标:
每个指标的含义是什么?
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
tr tp ts
R( s)
1 1 1 1 则系统的输出为： C ( s) ( s) R( s) TS 1 S S TS 1 t 对上式取拉氏反变换，得 t0 c(t ) 1 e T
1 S
c(t)
1
0.632
c(t)=1-e
1 T
系统响应的瞬态分量由什么产生?
98.2% 99.3%
tr 1.上升时间 响应曲线从稳态 值的0%上升到100% 所需的时间。 上升时间越短， 0.02或 0.05响应速度越快. 说明: 对于无超调的系 t 统,定义从稳态值的 10%上升到90%.
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
2.峰值时间 : t p 响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
1 TS 1
等价关系： 1)系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信 号响应的导数； 2)系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信 号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
3.2.3 二阶系统的瞬态响应
还能举出其它例子吗? 一、引例 凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称 为二阶系统。 随动系统(位置控制系统）如图所示。
C(s)
R(s)
I(s)
(s)
（ b） 方 块 图
C (s) 1 R( s) TS 1
还能举出其它例子吗?
这种系统实际上是一个非周期性 的惯性环节。
二、一阶系统的动态响应 1、 单位阶跃响应 因为 ( s) R( s) TS 1
C (s) 1
一阶系统的特性由什么决定?
ts 3.调节时间 ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所 需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）表示.
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
4.超调量 %
指响应的最大 偏离量h(tp)与终 值之差的百分比. 0.02或 0.05
%
tr tp ts t
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
1 T e T
t
传递函数
(t )
微 分
1
1 S 1 S2
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e

t T
t0
t T
微 分
t T Te
t 0
t
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e T ) t 0 2

3、 一阶系统的单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
R(s) 1 S3
1 T T2 T2 1 S3 S2 1 S S S T T D
1 1 A B C C ( s) ( s) R( s) ( ) 3 3 2 TS 1 S S S S
1(t ) , t 0
现实机中哪些信号是 典型信号?
t , t0
3、（单位）抛物线(加速度)函数: 1 t 2 , t 0 2 4、（单位）脉冲函数: (t ) , t 0 5、 正弦函数: sin t , t 0
1 s 1 s2 1 s3
1
s 2 2
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一 个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
2、 一阶系统的单位斜坡响应 当
R(s) 1 S2 时
1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 TS 1 S 2 1 TS S S
对上式求拉氏反变换，得：
c(t ) t T (1 e
1 t T
r(t) c(t)
1 t T
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
Ra ia
La
SM
输入装置
R1 KAe R1
e1
误差测量装置
KA
θ
负载 放大器 电动机 齿轮传动
图 3-6 随 动 系 统 原 理 图
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
L[t ] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S2 S2
结论:“系统对输入信号微分的响应，等于系统对 输入信号响应的微分” 关系
脉冲函数 阶跃响应 阶跃函数的微分 斜坡函数的微分
响应
(S ) 阶跃函数的微分
1 ( S ) s 斜坡函数的微分 1 (S ) 2 s