第八篇弹性力学问题一般解空间轴对称问题

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弹性力学徐芝纶版第8章

移项缩写为：

2
ij
ij l j 0
2 2
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1. 或 li li 1
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。

(7 12)

⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
E E x ( x ), yz yz 1 1 2 2(1 ) E E y ( y ), zx zx 1 1 2 2(1 ) E E z ( z ), xy xy 1 1 2 2(1 )
斜面应力
§8-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σ n , n ).
空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：现仅考虑只有xy平面内的位移 u , v 时的情况进行推导：通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段 PA dx, PB dy,
定义
变形前位置： P, A, B,
变形后位置： P, A, B －－各点的位置如图。
几何方程
u x , x
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得

弹性力学空间问题的解答

第八章空间问题的解答§8-1 按位移求解空间问题将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+=∂∂-+=∂∂+-+=∂∂+-+=),()1(2)()1(2),()1(2),21(1),21(1),21(1y u x E x z u E z y E z E y E x u E xy zx yz z y x υμτωμτυωμτωθμμμσυθμμμσθμμμσ （8-1）其中zy x u ∂∂+∂∂+∂∂=ωυθ。

再将上面的弹性方程（8-1）代入平衡微分方程（7-1），并采用记号2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇，得到⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∇+∂∂-++=+∇+∂∂-+=+∇+∂∂-+.0)211()1(2,0)211()1(2,0)211()1(2222z y x f z E f y E f u x E ωθμμυθμμθμμ （8-2）这是用位移分量表示的平衡微分方程，也就是按位移求解空间问题时所需用的基本微分方程。

如果将工（8-1）代入式（7-5），就能把应力边界条件用位移分量来表示，但由于这样得出的方程太长，我们宁愿把应力边界条件保留为式（7-5）的形式，而理解其中的应力分量系通过式（8-1）用位移分量表示。

位移边界条件则仍然如式（7-9）所示。

§8-2 半空间体受重力及均布压力设有半空间体，密度为ρ，在水平边界上受均布压力q ，图8-1，以边界面为xy 面，z 轴铅直向下。

这样，体力分量就是g f f f z y x ρ===,0,0。

采用按位移求解。

由于对称（任一铅直平面都是对称面），试假设)(,0,0z u ωωυ===。

（a ）这样就得到可见基本微分方程（8-2）中的前二式自然满足，而第三式成为简化以后得,)1()21)(1(22μρμμω--+-=E g dz d （b ）积分以后得 ),()1()21)(1(A z E g dz d +--+-==μρμμωθ （c ）.)()1(2)21)(1(2B A z E g ++--+=μρμμω (d) 其中A 和B 是待定常数。

弹性力学-第八章平面问题的极坐标解答

(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
2
u
u dr r
dr
u
y
u r
d
B
B
rP
2
P
dr
u
2 A
x
A
u
（g） u
u
d
u r
dr
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
u
u d rd
xy
sin
2
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin
2
r
x
y
2
sin
2
xy
cos 2
第八章平面问题的极坐标解答 §8.2 平面轴对称应力问题
§8.2 平面轴对称应力问题
A. 轴对称问题应力分量与协调方程
无体积力,且与θ无关.求解方法：
（1）应力分量
r
1 r
d
dr
d 2
dr 2
r 0
主要内容
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9
基本方程平面轴对称应力问题内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板匀速转动的圆盘曲梁的纯弯曲曲梁一端受径向集中力作用圆孔对应力分布的影响集中力作用于全平面在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体
第八章平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
1 r
)
e2 (sin
r
cos

弹塑性力学讲义第九章空间轴对称问题

的取值范围：由 0 1 的取值范围：0
r sin 1 a a sin

2
w
4(1 2 )q 2 2 a a 2 sin 2 0 E
a cos d a2 r 1 2 sin 2 r

4(1 2 )q a 2 cos 2 d E a2 r 1 2 sin 2 r
r R z z
当 R 时 R=(r +z ) ，应力、位移 0；当 R 0 时，应力奇异。 Boussinesq 采取 Love 函数求解，

x
y
(r,z)为重调和函数，由(r,z)的三次微分导出应力。
选
(r,z) 为 r 和 z 的正一次幂式: (r,z) = A1R+ A2[R - zln(R+z)] ——为双调和函数 (r,z) 自然满足 4=0 。代入位移、应力计算式
其中
2 1 2 2 r r z 2 r
2
7．按位移法解 a．基本未知函数： ur 和 w
基本方程两个：
( G )
u e G( 2 u r r ) f r 0 r r
( G )
e G 2 w f z 0 z
并考虑适当的边界条件。 b. 引入 Love（拉甫、勒夫）位移函数（当无体力作用时）对于位移法的基本方程的解可由考虑体力的一个特解加上齐次方程的通解。轴对称问题齐次拉梅方程的通解可以引入一个 Love 位移函数
(1 ) P (1 2 ) P w 2Gr Er
圆面积均布荷载 q 对圆外 M 点竖向位移影响可取一个微面元，距 M 点为 s，角度为处，dA=sdds ，dA 上 q 对 M 点影响：

弹性力学空间轴对称问题有限元法

轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，在实际工程中存在大量的轴对称问题，如飞轮、回转类的压力容器、发动机汽缸套、烟囱及受内压的球壳等，无限大、半无限大的弹性体受集中载荷作用时也可以处理为轴对称问题。
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ）分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
Ke
B
eT
e
DB
dv
Ve
Fbe NeTf dv
Ve
Fqe NeT f dS Se
Fe 0
BeT0 dv
Ve
Fe 0
BeTD0 dv
Ve
Ke 2
BeT
e
DB
rdrdz
e
Fbe 2 NeTf rdrdz e
Fqe 2 NeT f rds Se
Fe 0
2
BeT0 rdrdz
u r
u
r
z
r u r w
rz
z
w
u
r z
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
1 1
0
r
σ
z rz
E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1

弹性力学问题的有限元法轴对称问题

drdz
Ri e
πA
6 2ri
0 rj
rm
(i, j,m)
当
rc ri rj rm, 则有
Wi
Wj
Wm
1 3
2πArc
2020/5/7
13
面积力沿单元的jm面
q L0j q
Re
2π
A
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
T
L0jqrdS
z
m
q j i
r
2020/5/7
πrc A3 2A
brbs
fr fs A1 br fs frbs A1cr bs fs A2brbs
A2cr cs
(r, s i, j,m)
A1cs br fr A2crbs
crcs A2brbs
其中
A1
1
A2
1 2 2(1 )
A3
E(1 ) (1 )(1 2)
ci z
(i, j, m)
1 ri zi
面积 A 1 rj z j
1 rm zm
常数
abii
rj zm zj
rm z j zm
c j rj rm
(i, j,m)
f
u w
N
e
Ni I 2
N jI2
Nm I2 e
备注:
平面三角形单元
x, y
轴对称三角形单元
r, z
2020/5/7
4
2. 确定应力-应变、应变-位移
(i, j, m)
应变 r , z , rz是常量, 是单元中r和z的函数;
Be Bi Bj Bm e

轴对称与空间问题

• 则载荷列阵为：
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6.1 轴对称问题
• 整体刚度矩阵为： • 于是式（6.49）便可以写成与平面问题相同的标准形式，即： • 这就是求解得到的节点位移的平衡方程。
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6.1 轴对称问题
• 整体刚度矩阵也可以写成分块形式，即：
上一页
返回
6.2 四面体单元
• 工程结构一般都是立体的弹性体，当受到力的作用后，其内部各点将沿x、y、z 坐标轴的方向产生位移，即三维空间问题，空间问题所选用的单元形状如图6.7 所示。
上一页下一页返回
6.1 轴对称问题
• 即： • 其中 • 且单元内任意一点的位移与节点位移之间有如下关系：
上一页下一页返回
6.1 轴对称问题
• 因此有： • {δ *}e 为任意列向量，所以有： • 式（6.31）中的第一项为环单元上的集中力移置到节点的等效力，第
二项为环单元边界上的表面力移置到节点的等效力，第三项为环单元上的体积力移置到节点的等效力。
6.2 四面体单元
• 6.2.2 四面体单元应变
• 四面体单元应变为：
• 将单元位移代入上式，得：
上一页下一页返回
• 其中
6.2 四面体单元
上一页下一页返回
6.2 四面体单元
• 6.2.3 四面体单元应力
• 为求单元应力，由四面体单元的物理方程式可得： • 则应力分量为： • 应变分量为：
• 轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为：
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6.1 轴对称问题
• 写成矩阵形式为：
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6.1 轴对称问题
• 根据胡克定律，其应力与应变的关系为：

弹性力学轴对称问题的有限元法

4. 弹性力学轴对称问题的有限元法本章包括以下内容：4.1用虚功方程建立有限元方程 4.2三结点单元位移函数 4.3三结点单元刚度矩阵 4.4载荷移置4.5轴对称分析举例4.1用虚功方程建立有限元方程物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。

研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r ，θ，z ），以z 轴为对称轴。

图4.1受均布内压作用的长圆筒如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过Z 轴的一个纵截面就是对称面。

由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=zr z r τσσσσθ}{（4-1）其中r σ表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；θσ表示沿θ方向的正应力，称为环向应力或切向应力；z σ表示沿z 方向的正应力，称为轴向应力；zr τ表示在圆柱面上沿z 方向作用的剪应力。

同样，轴对称问题共有4个应变分量：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=zr z r γεεεεθ}{（4-2）其中r ε表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；θε表示沿θ方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；z ε表示沿z 方向的正应变，称为轴向正应变；zr γ表示沿r 和z 方向的剪应变。

在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u 和轴向位移w ，两个位移分量表示为，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=w u f }{（4-3）在讨论弹性力学平面问题的有限元法时，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。

在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。

由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能， ds p f dxdydz F f dxdydz T sT T }{}{}{}{}{}{***⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=σε（4-4）其中{F}为体力，{p}为面力。

第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题

(8 6)
因为 F x F y 0 其第三式为
只与z有关。
又 Fz q
将式(3)代入式(4)得
，再代回式(3)，得
为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即，则由式(5)得

于是，式(3)给出的位移为
E E G (1 )(1 2 ) 2(1 )
利用式(4-5)，式(1)中简化后得
，
由式(i)并将下标符号i改为k可得
于是有
由
，式(8-10)可写成
其展开式为（用应力表示的协调方程）6个方程可以解6个应力分量）
x y z
当不计体力时，有
式(8—12)和式(8—13)称为Beltrami—Michell(贝尔特拉米—米歇尔)方程，也即应力协调方程。由此，用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到：Beltrami—Michell方程是以应力形式表示的变形协调方程，并且在推导中虽然用到了平衡方程(此处引用Lame方程推出)，但推导中进行了对平衡方程的求导[见式(f)]已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考虑平衡方程，于是得出上述应力法求解的结论。下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实例。现在我们来讨论两种求解方法的特点：按位移法求解弹性力学问题时，未知函数的个数比较少，仅有三个未知量 u 、v 、 w 。但必须求解三个联立的二阶偏微分方程。
(8 1)
如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为
式(8-2)Biblioteka (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为
e 2u 2 ( G ) x G u Fx 0( t 2 ) e 2v 2 G v Fy 0( 2 ) ( G ) y t e 2w 2 G w Fz 0( ) ( G ) 2 z t

弹性力学第八章空间问题的解答

§8－3 半空间体在边界上受法向集中力
问题描述：
F
半空间体，体力不计，在水平面上受法
向集中力 F ，建立如图所示坐标系。
0
z
R
•
z 图：8－3
因为要用到位移势函数，不讲了，具体的推导过程见《弹性力学》第三版，许芝伦。
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§8－4 按应力求解空间问题
z
xy z
yz x
xz y
2
2 z xy
（8－11）
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§8－4 按应力求解空间问题
将物理方程（7－12）带入相容方程（8－10）和（8－11）
1
2 y z2
2 z y2
2
z2
2 y2
2 1
2
yz
yz
（c）
A zy
dxdy
z0
Afydxdy0
（d）
A
yzx xzy
dxdy
z0
A yfx xfy dxdyM （e）
（c），（d），（e）在任意横截面上都满足。
把（8－15）代入（c）
AzxdxdyAydxdy dxydysBAdx0
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fz z
1 2 y
2 y2
1 1
2
fy
y
fz z
fx x
1
2 z
2 z2
1 1
2
fz
z
fx x
fy
y
1
2
yz

弹塑性力学习题集(有图)

~弹塑性力学习题集[殷绥域李同林编!)~中国地质大学·力学教研室二○○三年九月》目录弹塑性力学习题 (1)第二章应力理论.应变理论 (1)；第三章弹性变形.塑性变形.本构方程 (6)第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)第五章平面问题的直角坐标解答 (9)第六章平面问题的极坐标解答 (11)第七章柱体的扭转 (13)]第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题 (14)第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)第十章弹性力学变分法及近似解法 (16)第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)`附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)习题参考答案及解题提示 (22)>前言弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。

应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。

·《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。

）教材的教学使用而编写的配套教材。

本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。

作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。

鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。

本习题集的编写基本取材于殷绥域老师编写的弹塑性力学习题集，由李同林老师重新修编，进一步充实而成。

书中大部分内容都经过了多届教学使用。

为保证教学基本内容的学习，习题中带“*”号的题目可酌情选做。

由于编者水平所限，错误和不妥之处仍在所难免，敬请读者指正。

<编者2003年9月@弹塑性力学习题"第二章应力理论·应变理论2—1 试用材料力学公式计算：直径为1cm 的圆杆，在轴向拉力P = 10KN 的作用下杆横截面上的正应力σ及与横截面夹角︒=30α的斜截面上的总应力αP 、正应力ασ和剪应力ατ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。

弹性力学对称性

弹性力学中的对称性对称性分析对于弹性力学、结构力学问题都是有效的分析方法，特别是在有限元计算中，利用对称性可以成倍的减少计算量。

几何和载荷的对称性决定问题的对称性质一个问题的对称性是由几何的对称性和加载方式的对称性所决定的。

一般来讲，使用对称性首先要求几何上是对称的。

其次就是加载方式的对称性（分为对称或者反对称的）。

明确了几何对称性和加载方式的对称性之后，即可确定一个问题的对称性质，即是对称的还是反对称的。

由对称性确定场变量在对称面上的值对于对称加载的问题，称之为对称问题，比如对称面是yoz （或0x =），那么反对称的场变量或者其对x 的偶数阶导数在对称面上为0，而对称的场变量对x 的奇数阶导数在对称面上为0。

对于反对称加载的问题，称之为反对称问题，比如对称面是yoz （或0x =），那么对称场变量或者其对x 的偶数阶导数在对称面上为0，而反对称的场变量对x 的奇数阶导数在对称面上为0。

在这里要注意，由于不同的场变量（向量、二阶张量……）本质上有所不同，所以场变量的对称性有所区别。

举例讲，就对称面是yoz （或0x =）的情况下，对位移（向量）而言，其分量x u 是反对称的，而分量(,)y z u u 是对称的，对应力而言，其分量(),xy xz σσ是反对称的，而其分量(,,,)xx yy zz yz σσσσ是对称的。

几个例子1. （场变量及其各阶导数的对称性）对称面为yoz ，判段场变量及其导数的对称性。

上面已经指出了场变量位移和应力的对称以及反对称分量，并且提到由于场变量性质的不同，其对称反对称性质应当分别予以考虑；以位移分量x u 和xx σ为例，实际上，在几何对称面为平面yoz 的情况下，判断的一般规律为足标为奇数个x 的场变量分量（比如：x u ）即为反对称量，同理足标为偶数个x 的场变量分量即为对称量。

按照这种原则，可以很快的识别出对称和反对称的场变量分量。

同时，不难理解对称场变量（比如：xx σ）对x 的奇数次导数（xx xσ∂∂）是反对称的，而偶数次导数（22xx x σ∂∂）是对称的；反对称场变量同理。

弹性力学课件08第八章空间问题的解答

将应力表达式代入
∞
σ ρ = A2 σϕ =
A2 , R( R + z ) Az Aρ σ z = − 23 , τ zρ = − 2 3 , R R
∫
0
(2πρ d ρ)σ z + F = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力
F (1 − 2ν ) R 3ρ 2 z − 3 σρ = 2 2πR R + z R (1 − 2ν ) F z R − σϕ = 2πR 2 R R + z
∇ 2ϕ = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力根据位移分量和应力分量与位移函数的关系：
1 ∂ 2ζ 1 ∂2 u=− ,ω = 2(1 −ν )∇ 2 − 2 ζ ∂z 2G ∂ρ∂z 2G ∂ 2 ∂2 σ ρ = ν∇ − 2 ζ ∂ρ ∂z
半空间体，体力不计，坐标系如图。通过量纲分析，位移函数应是F乘以R、 z、ρ等长度坐标的正一次幂，试算后，取设位移函数为
化简后得到
∂σ ρ
τ ρz + + + Fb z = 0 ∂z ∂ρ ρ
∂τ ρz
第二节空间轴对称问题这样，空间轴对称问题的平迭加得到几何方程衡方程为 ∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ ϕ ∂u u + + + Fb ρ = 0 ε ρ = , εϕ = ρ ∂ρ ∂z ∂ρ ρ ∂σ z ∂τ ρz τ ρz ∂u ∂w ∂w + + + Fb z = 0 + , γ zρ = εz = ∂z ∂ρ ρ ∂z ∂ρ ∂z 由于对称，各点环向位移为零，这里的物理方程是由径向位移产生的应变为 1 ∂u u ∂u ε ρ = [σ ρ −ν (σ φ + σ z )] ερ = , ε ϕ = , γ zρ = E ∂ρ ρ ∂z 1 ε ϕ = [σ ϕ −ν (σ z + σ ρ )] E 由轴向位移w产生的应变为

弹性力学第8章空间问题的基本理论与解答

y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
4
§8.1 平衡微分方程
5
§8.1 平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
ζ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量
21
§8.3 轴对称问题的基本方程
对于空间轴对称问题：所有物理量仅为(ρ,z)
的函数。
应力中只有 ζ ,ζ ,ζ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; u , uz , 位移中只有 u 0。
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
x y z.
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
16
§8.2 几何方程及物理方程空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
x 1 (ζ x ζ y ζ z ), E
14
§8.2 几何方程及物理方程
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
(u ) s u ,
(u, v, w).
(c)
15
§8.2 几何方程及物理方程
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以

弹性力学第8章：空间问题的解答解析

求解条件
（1）平衡微分方程（书中（8-4））
1
1 2
2u
uρ
2
0,
(a)
1
1 2
z
2uz
0,
其中 u u uz .
z
第八章空间问题的解答
（2）在 z=0 的边界上，除原点o以外的应力边界条件为
σz z0,0 0,
z
0。
z 0, 0
(b)
（3）由于 z=0 边界上o点有集中力F的作用，取出 z=0至 z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：
2 y2
2 z 2
.
第八章空间问题的解答
边界条件
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：
E 1 μ
l
μ 1 2μ
u x
m v
2
x
u y
n 2
w x
u z
s
fx,
(x, y, z;u, v, w). (在sσ上) (c) 位移边界条件仍为:
u u, (x, y, z;u, v, w). (在su上)(d) s
zx
Φ y
,
zy
Φ x
.
(d)
第八章空间问题的解答
相容方程
( z )z0 q.
由式(d)求出A，得应力解为
σx
z
σy
1
(q gz),
q
gz
,
(e)
yz zx xy 0.
第八章空间问题的解答
位移解为
w
1
1 2 2E 1
g
z
q
g
2
B.

弹性力学对称性

弹性力学中的对称性对称性分析对于弹性力学、结构力学问题都是有效的分析方法，特别是在有限元计算中，利用对称性可以成倍的减少计算量。

几何和载荷的对称性决定问题的对称性质一个问题的对称性是由几何的对称性和加载方式的对称性所决定的。

一般来讲，使用对称性首先要求几何上是对称的。

其次就是加载方式的对称性（分为对称或者反对称的）。

明确了几何对称性和加载方式的对称性之后，即可确定一个问题的对称性质，即是对称的还是反对称的。

在这里要注意，由于不同的场变量（向量、二阶张量……）本质上有所不同，所以场变量的对称性有所区别。

几个例子1. （场变量及其各阶导数的对称性）对称面为yoz ，判段场变量及其导数的对称性。

按照这种原则，可以很快的识别出对称和反对称的场变量分量。

同时，不难理解对称场变量（比如：xx σ）对x 的奇数次导数（xx xσ∂∂）是反对称的，而偶数次导数（22xx x σ∂∂）是对称的；反对称场变量同理。

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2 (y2 y2 z2)
(
G) e x
G2u
Fx
0
(
G) e y
G2v
Fy
0
(
G) e z
G2w
Fz
0
(8 1)
如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为
式(8-2) (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为
(
G) e x
G2u )
(
G) e y
在一般求解边值问题时，按照未知量的不同有位移法与应力法，下面分别来
进行讨论。
一、位移法
ij 1 2(uij uij)
(42)
i j ( 1 ) E ( 1 2 )i j e ( 1 E )i ji je 2 G i j ( 4 6 )
x e 2G x
y
e
2G
y
z e 2 G z
w xlz)
Fy
ely
G( vxlx
yvly
vzlz)G( u ylx
yvly
w ylz)
(86)
Fx elz G(w xlx w yly w zlz)G( u zlx vzly w zlz)
由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程。
解例求体8:以-1内设xy的为有位边半移界空和面间应，无力取限。z体轴，垂容直重向为下p。，(((在 GGG上))) 边xyezee 界GGG上222uwv 受FFFxyz均000布((( 压2t2t2tuv22w2))力)
u v w e x y z
x e 2 G x 2 u 2 G ( y 2 u 2 x 2 v y ) G ( z 2 v 2 x 2 w z ) F x 0
x e G x e G ( y 2 y 2 z 2 )u F x 0
同理，并采用Laplac算符
v y
z
e
2G
w z
xy
G
(u y
v ) x
(a )
x
x
y y
xy z
Fx
0
yx x
y y
yz z
Fy
0
zx
x
zy y
z z
Fz
0
yz
G
(v z
w y
)
ijj Fi 0(2tu2i )
（4-1）
zx
G
(u z
w x
)
再将式(a)对j取导后再代人式(4-1)得
xy
G
xy
(4 6)
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
(4 2 )
yz
G
yz
z x G z x
yz
v z
w y
zx
u z
w x
若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 u i 来表示。现在来进行
推导：将式(4-2)代人式(4-6)得
x
e
2G
u x
y
e
2G
因为 Fx Fy 0 只与 z 有关。又 Fz q
(86)
其第三式为
将式(3)代入式(4)得
，再代回式(3)，得
为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距
平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即
，则由式(5)得
于是，式(3)给出的位移为
E
G E
(1)(12) 2(1 )
G2v
Fy
0(
2v t2 )
(
G) e z
G2w
Fz
0(
2w t2 )
(8 3)
当体力不计时，有
上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（纳维叶）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式 (8-3)的推导过程是平衡方程、几何方程及本构方程的综合，因此以位移形式表示的平衡(运动)微分方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动
第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题
§8-1 弹性力学问题的一般解
前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在平面问题中进行了检验。
现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析，并举出解法实例。
力学问题中是极为重要的理论基础。
所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 u i u i，则可直接进行计算。
如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件，ijlj Fi 就要将应力
形式的边界条件转换成为位移形式。
其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如
下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得
E
E
i j ( 1 ) ( 1 2 )i j e ( 1 )i ji je 2 G i j ( 4 6 )
ij 1 2(uij uij)
(42)
(式中
为函数 u i 沿物体表面法线n的方向导数)，其展开式为
Fx
elx
G( u xlx
u yly
u zlz)G( u xlx
vxly
边界条件式(8-6)前两式自然满足，
Fx
elx
G( u xlx
u yly
u zlz)G( u xlx
xvly
w xlz)
Fy
ely
G( vxlx
yvly
vzlz)G( u ylx
yvly
w ylz)
Fz
elz
w G(xlx
w yly
w
u
z
lz)G(zlx
v zly
w
z
lz)
q，
(8 3)
体力分量 FxFy0,Fzp
面力分量在z=0处, Fx Fy 0 Fz q 如图8-1所示。
采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设
于是
而
因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出
式中A、B为积分常数。边界上 lx ly 0 lz 1
将 2G换成 , E 来表示，则位移解答为
显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知
将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答
x y 1 ( q p z ) ,z ( q p z ) ,x y y z z x 0 ( 8 9 )
二、应力法以应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示。应力方程可由应变协调方程(4-4)和平衡微分方程(4-1)，用应力应变关系就可得到用应力表示的应变协调方程。不过也可从位移方程，即已求得的Lame方程式(8-1)出发来推导：第一步，先将Lame方程转变为三个正应力和的关系式，供以下推证使用。将式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得

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