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2019中考数学最新重点汇编52-方案设计与决策型问题【一】选择题1、【二】填空题1、〔2018年济宁模拟〕在数学兴趣小组活动中，小明为了求…+的值，在边长为1的正方形中，设计了如下图的几何图形、那么…+的值为_________〔结果用n 表示〕、答案：1－【三】解答题1、〔2018年重庆外国语学校九年级第二学期期中〕现有如下图所示一块三角形的木料，工人师傅想从上面裁下一块正方形木板CDEF ，使Rt △ABC 的直角顶点C 成为这个正方形的一个顶点，另外三个顶点 D,E,F 分别在边BC,BA,AC 上，请你用尺规作图的方法帮助 工人师傅确定出裁割线。
〔保留作图痕迹，在所作图中标上 必要的字母，不写作法和结论〕 答案：图略2、〔广东省2018初中学业水平模拟三〕广州市天河区某楼盘准备以每平方米35000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望、为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米28350元的均价开盘销售、 〔1〕求平均每次下调的百分率； 〔2〕某人准备以开盘均价购买一套80平方米的房子、开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费、物业管理费是每平方米每月4元、请问哪种方案更优惠？ 答案：解：〔1〕设平均每次降价的百分率是x ，依题意得---------1分35000〔1－x 〕2=28350---------------------3分解得：x 1=10％x 2＝1910〔不合题意，舍去〕--------------5分答：平均每次降价的百分率为10％、------------------------6分〔2〕方案①的房款是：28350×80×0.98＝2222640〔元〕-------------------7分A BC第1题图方案②的房款是：28350×80－4×80×12×2＝2260320〔元〕---------------8分∵2222640＜2260320∴选方案①更优惠、-------------------------9分3、〔广东省2018初中学业水平模拟六〕如下图，有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植〔即将梯形面积等分〕，试设计两种方案〔用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出做法〕，并简要说明理由。
37.方案设计与决策型问题◆目标导航1.能够通过分析已有的信息，形成解决问题的方案策略，做出正确的判定与决策。
2.能够设计方案解决生活、生产和市场经济中的一些问题。
题组练习一（问题习题化）1．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A．4种 B．3 C．2种 D．1种2.一次数学活动课，老师组织学生到野外测量一个池塘的宽度（即图中A、B间的距离）．在讨论探究测量方案时，同学们发现有多种方法，现请你根据所学知识，设计出两种测量方案，要求画出测量示意图，并简要说明测量方法和计算依据．3.把圆形纸板分成面积相等的四部分；你有几种不同的方案，并说明你设计的整个图案是哪种对称图形.◆方法导引1.利用方程（组）或不等式（组）设计方案2.利用函数知识设计方案3.利用几何知识设计方案题组练习二（知识络化）4.市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况如下表所示：结合上述信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用哪种方案成本最低？最低成本为多少元？5.我市某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择。
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元；(1).请分别写出邮车、火车运输的总费用y1、y2(元)与运输路程x公里之间的函数关系(2).你认为选用那种运输方式较好，为什么？6.某中学为了绿化校园，计划购买一批棕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．题组练习三（中考考点链接）7.科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行防辐射处理，已知防辐射费y 万元与科研所到宿舍楼的距离x km 之间的关系式为：b x a y +=（0≤x ≤9），当科研所到宿舍楼的距离为1km 时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿舍楼的距离为9km 或大于9km 时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设每公里修路的费用为m 万元，配套工程费w =防辐射费+修路费（1）当科研所到宿舍楼的距离为x =9km 时，防辐射费y = 万元；=a ，=b（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km 时，配套工程费最少？（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9km ，求每公里修路费用m 万元的最大值3. 解：用带刻度的三角板作⊙O 两条互相垂直的直径AB 、CD ，将⊙O 的面积分成相等的四份．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形。
方案设计与决议型问题例1. 某区规划修筑一个文化广场( 平面图形以下图), 此中四边形ABCD是矩形，分别以 AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆 ,若整个广场的周长为628 米，矩形的边长AB=y米,BC=x 米.( 注:取π=3.14)(1)试用含 x 的代数式表示 y；(2)现计划在矩形 ABCD地区上栽栽花草和铺设鹅卵石等 , 均匀每平方米造价为 428 元, 在四个半圆的地区上栽种草坪及铺设花岗岩, 均匀每平方米造价为 400 元；①设该工程的总造价为 W元，求 W对于 x 的函数关系式；②若该工程政府投入1 千万元，问可否达成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不可以，请说明原因 .③若该工程在政府投入 1 千万元的基础上，又增添公司募捐资本64.82 万元，但要求矩形的边BC的长不超出AB长的三分之二，且建设广场恰巧用完全部资本，问: 可否达成该工程的建设任务？若能，请列出全部可能的设计方案，若不可以，请说明原因.例 2. 为了保护环境，某化工厂一期工程达成后购置了 3 台甲型和2 台乙型污水办理设施，共花销资本 54 万元，且每台乙型设施的价钱是每台甲型设施价钱的 75%，实质运转中发现，每台甲型设施每个月能办理污水 200 吨，每台乙型设施每个月能办理污水 160 吨，且每年用于每台甲型设施的各样保护费和电费为 1 万元，每年用于每台乙型设施的各样保护费和电费为 1.5 万元 . 今年该厂二期工程马上达成，产生的污水将大大增添，于是该厂决定再购置甲、乙两型设施共8 台用于二期工程的污水办理，要求本次购置资本不超出84 万元，估计二．．．期工程达成后每个月将产生许多于1300 吨污水 .．．．（1）请你计算每台甲型设施和每台乙型设施的价钱各是多少元？（2）请你求出用于二期工程的污水办理设施的全部购置方案；（3）若两种设施的使用年限都为 10 年，请你说明在（ 2）的全部方案中，哪一种购置方案的总花费最少？（总花费＝设施购置费＋各样保护费和电费）例 3. 某园林部门决定利用现有的 349 盆甲栽花卉和 295 盆乙栽花卉搭配 A、B两种园艺造型共 50 个，摆放在迎宾大道双侧．已知搭配一个 A 种造型需甲栽花卉 8 盆，乙栽花卉 4 盆；搭配一个 B种造型需甲栽花卉 5 盆，乙栽花卉 9 盆．(l ）某个课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问切合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；(2 ）若搭配一个 A 种造型的成本是 200 元，搭配一个 B 种造型的成本是 360 元，试说明（ 1）中哪一种方案成本最低，最低成本是多少元？例 4. 在△ ABC中， BC＝a，BC边上的高 h＝2a，沿图中线段DE、CF将△ ABC剪开，分红的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图所示．请你解决以下问题 :已知 : 在锐角△ A′B′C′中，B ′C′＝a，B′C′边上的高 h＝1a．请2你设计两种不一样的切割方法，将△A′B′C′沿切割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出切割线及拼接后的图形．。
方案设计与决策型问题解答题1、（2019年北京四中五模）我们知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）.解：设有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（1）：若这角恰好是直角，则这两个三角形全等.方案（2）： .方案（3）： . 答案：方案（2）：该角恰为两边的夹角时；（3分）方案（3）：该角为钝角时.（6分）2、（2019年浙江省杭州市模拟23）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．解: (1) 设建造A型沼气池x 个，则建造B型沼气池(20－x )个依题意得:()()⎩⎨⎧≥-+≤-+492203018365202015xxxx解得：7≤ x≤ 9∵ x为整数∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种 .(2)设建造A型沼气池x个时，总费用为y万元，则：y = 2x + 3( 20－x) = －x+ 60∵－1< 0，∴y随x 增大而减小，当x=9 时，y的值最小，此时y= 51( 万元 )∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：方案一: 建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元) ……………………………6分方案二: 建造A 型沼气池8个， 建造B 型沼气池12个，总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元 ) ……………………………7分方案三: 建造A 型沼气池9个， 建造B 型沼气池11个，总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元 )∴方案三最省钱.[来源:学§科§网Z§X§X§K]3、(2019年浙江省杭州市中考数学模拟22)（根据初中学业考试总复习P23例3改编）（2019年我国云南盈江发生地震，某地民政局迅速地组织了30吨饮用水和13吨粮食的救灾物资，准备租用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装饮用水5吨和粮食1吨，乙型货车每辆可装饮用水3吨和粮食2吨.已知可租用的甲种型号货车不超过4辆。
2019年初中毕业生学业考试复习初中数学专题四方案设计与决策型问题考点知识梳理方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决题目，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．关于一次函数和不等式的方案设计是最近几年中考的命题热点．正确理解题意，找出等量关系，列出函数表达式是解题的关键，分类讨论一定要全面，不能有遗漏．解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．中考典型精析例1 (2012·南充)学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1 000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1 100元．(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元；(2)若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2 300元，求最省钱的租车方案．例2 (2012·温州)温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．(1)当n＝200时，①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数(件)x 2x 200运费(元)30x②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4 000元，则有哪几种运输方案？(2)若总运费为5 800元，求n的最小值．考点训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．现有球迷150人，欲同时租用A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C三种型号客车的载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有()A．3种B．4种C．5种D．6种2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有()A．2种B．3种C．4种D．5种3．今年4月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨．现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨．李大叔租用甲、乙两种货车的方案有()A．2种B．3种C．4种D．5种4．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有()A．4种B．3种C．2种D．1种二、解答题(共80分)5．(12分)(2012·北海)某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6∶5.(1)求出该班男生与女生的人数；(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？6．(12分)(2012·绥化)在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．(1)改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？(2)该县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所．7．(14分)(2012·莱芜)为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元，求y1、y2关于x的函数关系式；(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱．8．(14分)(2012·资阳)为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20∶1，购买电脑的资金不低于16 000元，但不超过24 000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2 000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)．(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．9．(14分)深圳某科技公司在甲、乙两地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台．运往A、B两馆(1)设甲地运往A馆的设备有x台，请填写下表，并求出总运费y(元)与x(台)的函数关系式；(2)要使总运费不高于20 200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；(3)当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？10．(14分)(2012·铜仁)为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？。
中考冲刺：方案设计与决策型问题—知识讲解（提高）责编：常春芳【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1．国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：（1）求这两种货车各多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）；运往地 车型 甲 地（元/辆）乙 地（元/辆） 大货车 ７２０ ８００ 小货车５００６５０（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【思路点拨】（1）设大货车用x 辆，则小货车用18－x 辆，根据运输228吨物资，列方程求解；（2）设前往甲地的大货车为a 辆，则前往乙地的大货车为（8－a ）辆，前往甲地的小货车为（9－a ）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a ）]辆，根据表格所给运费，求出w 与a 的函数关系式； （3）结合已知条件，求a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案. 【答案与解析】解：（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得，⎩⎨⎧=+=+228101618y x y x 解得⎩⎨⎧==.108y x 答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）根据题意，得w=720a+800（8-a ）+500（9-a ）+650[10-（9-a ）] =70a+11550，∴w=70a+11550（0≤a ≤8且为整数）.（3）16a+10（9-a ）≥120，解得a ≥5，又∵0≤a ≤8，∴5≤a ≤8且为整数， 而w=70a+11550，k=70＞0，w 随a 的增大而增大，∴当a=5时，w 最小，最小值为W=70×5+11550=11900（元）答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车，4辆小货车前往甲地；3辆大货车，6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元． 【总结升华】这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题，把一元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数有机地结合起来，和谐搭配，形成知识系统化、习题系列化，可谓“一石三鸟”.类型二、利用不等式（组）进行方案设计 【高清课堂：方案设计与决策型问题 例3】2．（2015春•文昌校级月考）为美化市容，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A ，B 两种园艺造型共50个，摆放在文庙广场，搭配每个造型所需花卉情况如表，解答问题： 造型 甲 乙 A 90盆 30盆 B40盆100盆（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1200元，试说明选用哪种方案成本最低？【思路点拨】（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（50﹣x）个，根据题意列不等式组求解，取整数值即可；（2）通过计算比较得出那种方案成本最低．【答案与解析】解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（50﹣x）个，则有，解得：30≤x≤32，所以x=30或31或32．第一方案：A种造型32个，B种造型18个；第二种方案：A种造型31个，B种造型19个；第三种方案：A种造型30个，B种造型20个．（2）分别计算三种方案的成本为：32×1000+18×1200=53600，31×1000+19×1200=53800，30×1000+20×1200=54000，通过比较可知第一种方案成本最低．【总结升华】此题考查一元一次不等式组的实际运用，找出题目蕴含的不等关系是解决问题的关键．举一反三：【变式】荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和l辆乙型汽车共需费用2450元．且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用．【答案】(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元．由题意得22500,22450,x yx y+=⎧⎨+=⎩解得800,850.xy=⎧⎨=⎩答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．(2)设租用甲型汽车z辆，则租用乙型汽车(6-z)辆．由题意得1618(6)100, 800850(6)5000,z zz z+-≥⎧⎨+-≤⎩解得2≤x≤4．由题意知，z为整数，∴ z＝2或z＝3或z＝4．∴共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．方案一的费用是800×2+850×4＝5000(元)；方案二的费用是800×3+850×3＝4950(元)；方案三的费用是800×4+850×2＝4900(元)．5000＞4950＞4900，所以最低运费是4900元．答：共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元．类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】这是一道融三个“一次”为一体的综合性应用题，体现了任何数学知识不是片面、孤立存在的，而是相互依赖、相互联系和相互作用的数学意识.【答案与解析】解：（1）设该商店购进一件A 种纪念品需要a 元，购进一件B 种纪念品需要b 元.根据题意得方程组⎩⎨⎧=+=+，8006595038b a b a 解方程组，得⎩⎨⎧==.50100b a∴购进一件A 种纪念品需要100元，购进一件B 种纪念品需要50元. （2）设该商店购进A 种纪念品x 件，则购进B 种纪念品有（100—x ）件. ∴⎩⎨⎧≤-+≥-+.7650)100(501007500)100(50100x x x x 解得50≤x ≤53. ∵x 为正整数,∴x 可取50,51,52,53.∴共有4种进货方案.（3）设所获利润为y 元，根据题意，有y=20x+30（100-x ）=-10x+3000.∵-10＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴x=50时，y 最大值=-50×10+3000=2500(元). ∴当购进A 种纪念品50件，B 种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元. 【总结升华】只要我们弄清了三个“一次”之间的内在联系，构建其模型，把握题型规律，梳理相关信息，就会轻松、有效地解决这类问题.举一反三：【变式】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20∶1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)．(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ (2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案． 【答案】解：(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x 元、y 元， 则801042000y x x y =+⎧⎨+=⎩，解得120200x y =⎧⎨=⎩.答：一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元，200元． (2)设购买办公桌椅m 套，则购买课桌凳20m 套，由题意有 16000≤80000－120×20m －200×m ≤24000， 解得，21713≤m ≤24813， ∵m 为整数，∴m ＝22、23、24，有三种购买方案，具体方案如下表：方案一方案二方案三课桌凳(套)440460480办公桌椅(套)222324类型四、利用函数知识进行方案设计4．（2016•营口）某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元；（2）根据题意可以写出W与x的函数关系式；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到有几种购进方案，哪种方案获利最大，最大利润是多少．【答案与解析】解：（1）设购进甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，，解得，，即购进甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆8元；（2）由题意可得，W=6x+，化简，得W=4x+100，即W与x之间的函数关系式是：W=4x+100；（3），解得，10≤x≤12.5，故有三种购买方案，由W=4x+100可知，W随x的增大而增大，故当x=12时，，即购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获得最大利润，此时W=4×12+100=148，即该花店共有三种购进方案，在所有的购进方案中，购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获利最大，最大利润是148元．【总结升华】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意、列出相应的方程组或不等式组．类型五、利用几何知识进行方案设计5．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所饮水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图所示，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的23km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？【思路点拨】本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照“将军饮马”问题来解决该题. 【答案与解析】解：方案一：由题意可得：MB ⊥OB ， ∴点M 到甲村的最短距离为MB ． ∵点M 到乙村的最短距离为MD ．∴将供水站建在点M 处时，管道沿MD 、MB 线路铺设的长度之和最小． 即最小值为MB+MD ＝323+．方案二：如答图①，作点M 关于射线OE 的对称点M ′，则MM ′＝2ME ，连接AM ′交OE 于点P ， 则PE12AM ． ∵AM ＝2BM ＝5，∴PE ＝3． 在Rt △DME 中，∵DE ＝DM ·sin60°＝32332⨯=，1123322ME DM ==⨯=．∴PE ＝DE ．∴P 、D 两点重合．即AM ′过D 点．在线段CD 上任取一点P ′，连接P ′A ，P ′M ，P ′M ′， 则P ′M ＝P ′M ′． ∵AP ′－P ′M ′＞AM ′．∴把供水站建在乙村的D 点处，管道沿DA 、DM 线路铺设的长度之和最小． 即最小值为AD+DM ＝AM ′＝222262(3)43AM MM ''-=+=．方案三：如答图②，作点M 关于射线OF 的对称点M ′，连接GM ，则GM ′＝GM ． 作M ′N ⊥OE 于点N ，交OF 于点G ，交AM 于点H ， ∴M ′N 为点M ′到OE 的最短距离，即M ′N ＝GM+GN ． 在Rt △M ′HM 中，∠MM ′N ＝30°，MM ′＝6． ∴MH ＝3， ∴NE ＝MH ＝3．∵DE ＝3，∴N 、D 两点重合，即M ′N 过D 点． 在Rt △M ′DM 中，DM ＝23， ∴M ′D ＝43．在线段AB 上任取一点G ′，过G ′作G ′N ′⊥OE 于点N ′，连接G ′M ′、G ′M ． 显然G ′M+G ′N ′＝G ′M ′+G ′N ′＞M ′D ．∴把供水站建在甲村的G 处，管道沿GM 、GD 线路铺设的长度之和最小． 即最小值为GM+GD ＝M ′D ＝43． 综上，∵32343+<，∴供水站建在M 处，所需铺设的管道长度最短． 【总结升华】考查了学生的类比思想、操作、猜想论证和严密的数学思维能力，体现了对过程性目标的考查．举一反三：【高清课堂：方案设计与决策型问题 例4】【变式】在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高h ＝2a ，沿图中线段DE 、CF 将△ABC 剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图所示．请你解决如下问题：已知：在锐角△A ′B ′C ′中，B ′C ′＝a ，B ′C ′边上的高h ＝a 21．请你设计两种不同的分割方法，将△A ′B ′C ′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形． 【答案】。
2019年中考二轮数学重点试题汇编：方案设计与决策型问题（苏版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！【一】选择题1、〔山东省德州二模〕今年是祖国母亲60岁生日，小明、小敏、小新商量要在国庆前夕给祖国母亲献礼，决定画5幅国画表达大伙的爱国之情。
小明说：“我来出一道数学题：把剪5幅国画的任务分配给3个人，每人至少1幅，有多少种分配方法?”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。
”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。
”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是()A、7个B、6个C、5个D、3个答案：B2、〔2018山东省德州三模〕现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作镶嵌(两种地砖的不同拼法视为同一种组合),那么不同组合方案共有〔〕A.3种B.4种C.5种D.6种答案：B3、〔山东省德州二模〕今年是祖国母亲60岁生日，小明、小敏、小新商量要在国庆前夕给祖国母亲献礼，决定画5幅国画表达大伙的爱国之情。
小明说：“我来出一道数学题：把剪5幅国画的任务分配给3个人，每人至少1幅，有多少种分配方法?”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。
”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。
”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是()A、7个B、6个C、5个D、3个答案：B4、〔2018山东省德州三模〕现有边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作镶嵌(两种地砖的不同拼法视为同一种组合),那么不同组合方案共有〔〕A.3种B.4种C.5种D.6种答案：B【二】填空题1、【三】解答题1、〔2018山东省德州三模〕提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕〔BCAB=，且ACBC≠〕，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分〔要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样〕、背景介绍：这条分割直线．．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”、尝试解决：〔1〕小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条A A“等分积周线”，从而平分蛋糕、〔2〕小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C 画了一条直线CD 交AB于点D 、你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由、〔3〕通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识、请你解决下面的问题：假设AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法、 答案：解：(1)作线段AC 的中垂线BD 即可.………………………………………………2分(2)小华不会成功、 假设直线CD 平分△ABC 的面积 那么DBC ADC S S∆∆= ∴CE BD CE AD ∙=∙2121 ∴AD BD =…………………………………………………………………4分∵BC AC ≠∴BC BD AC AD +≠+∴小华不会成功、………………………………………………………………5分〔3〕①假设直线经过顶点，那么AC②假设直线不过顶点，可分以下三种情况：〔a 〕直线与BC、AC 分别交于E 、F ，如下图 过点E 作EH ⊥AC 于点H ，过点B 作BG ⊥AC 于点G易求，BG=4，AG=CG=3 设CF=x ，那么CE=8-x 由△CEH ∽△CBG ，可得EH=)8(54x - 根据面积相等，可得6)8(5421=-∙∙x x ……………………………7分 ∴3=x 〔舍去，即为①〕或5=x∴CF=5，CE=3，直线EF 即为所求直线、……………………………8分〔b 〕直线与AB 、AC 分别交于M 、N,如下图由(a)可得，AM=3，AN=5，直线MN 即为所求直线、〔仿照上面给分〕 (c)直线与AB 、BC 分别交于P 、Q ，如下图过点A 作AY ⊥BC 于点Y ，过点P 作PX ⊥BC 于点X由面积法可得，AY=524 设BP=x ，那么BQ=8-x由相似，可得PX=x2524 根据面积相等，可得6)8(252421=-∙∙x x …………11分 ∴52148>+=x 〔舍去〕或2148-=x而当BP2148-=时，BQ=52148>+，舍去、 ∴此种情况不存在、……………………………………………12分综上所述，符合条件的直线共有三条、〔注：假设直接按与两边相交的情况分类，也相应给分〕2、〔2018山东省德州三模〕提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕〔BC AB =，且AC BC ≠〕，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分〔要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样〕、背景介绍：这条分割直线．．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”、尝试解决：〔1〕小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕、 〔2〕小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C 画了一条直线CD 交AB 于点D 、你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由、 〔3〕通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识、请你解决下面的问题：假设AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法、 答案：解：(1)作线段AC 的中垂线BD 即可.………………………………………………2分 (2)小华不会成功、 假设直线CD 平分△ABC 的面积 那么DBCADC S S ∆∆= ∴CE BD CE AD ∙=∙2121 ∴AD BD =…………………………………………………………………4分 ∵BC AC ≠ ∴BC BD AC AD +≠+∴小华不会成功、………………………………………………………………5分 A B C A B C 图 A〔3〕①假设直线经过顶点，那么AC 边上的中垂线即为所求线段、……………………6分 ②假设直线不过顶点，可分以下三种情况：〔a 〕直线与BC 、AC 分别交于E 、F ，如下图过点E 作EH ⊥AC 于点H ，过点B 作BG ⊥AC 于点G易求，BG=4，AG=CG=3设CF=x ，那么CE=8-x由△CEH ∽△CBG ，可得EH=)8(54x - 根据面积相等，可得6)8(5421=-∙∙x x ……………………………7分 ∴3=x 〔舍去，即为①〕或5=x∴CF=5，CE=3，直线EF 即为所求直线、……………………………8分〔b 〕直线与AB 、AC 分别交于M 、N,如下图由(a)可得，AM=3，AN=5，直线MN 即为所求直线、〔仿照上面给分〕 (c)直线与AB 、BC 分别交于P 、Q ，如下图 过点A 作AY ⊥BC 于点Y ，过点P 作PX ⊥BC 于点X由面积法可得，AY=524 设BP=x ，那么BQ=8-x由相似，可得PX=x2524根据面积相等，可得6)8(252421=-∙∙x x ………………………………………11分 ∴52148>+=x 〔舍去〕或2148-=x而当BP 2148-=时，BQ=52148>+，舍去、 ∴此种情况不存在、……………………………………………12分综上所述，符合条件的直线共有三条、〔注：假设直接按与两边相交的情况分类，也相应给分〕3、〔2018兴仁中学一模〕〔12分〕某公司计划将研发的两种新产品A 和B 进行精加工后再投放市场、根据资质考查，决定由甲、乙两个工厂分别加工A 、B 两种产品，两厂同时开工，甲、乙两厂每天能生产的A 、B 两种产品共21件，甲厂3天生产的A 种产品与乙厂4天生产的B 种产品数量相同、〔1〕求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？〔2〕如果A 种产品的出厂价为每件200元，B 种产品的出厂价为每件180元、信义超市需一次性购买A 、B 两种产品共100件，假设信义超市按出厂价购买A 、B 两种产品的费用超过19000元而不到19080元、请你通过计算，帮助信义超市设计购买方案、解答：解：〔1〕设甲、乙两个工厂每天分别能加工x 和y 件新产品，那么，解得：答：甲、乙两个工厂每天分别能加工12和9件新产品、〔2〕设信义超市购买B 种产品m 件，购买A 种产品〔100﹣m 〕件、根据题意，得19000＜200〔100﹣m 〕+180m ＜19080，46＜m ＜50、∵m 为整数，∴m 为47或48或49、∴有三种购买方案：购买A 种产品53件，B 种产品47件；购买A 种产品52件，B 种产品48件；购买A 种产品51件，B 种产品49件、4、(2018温州市泰顺九校模拟)(此题l2分)为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造，根据预算，共需资金1575万元，改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元.〔1〕改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？〔2〕我市计划今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担。
中考数学专题方案设计与决策问题方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．一、主要题型分类①经济类方案设计题：根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；②操作类方案设计题：根据实际问题拼接或分割图形．以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.二、解题的一般思路1、解决经济类方案设计题一般过程是：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．2、解决操作类方案设计题一般过程是：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；③标上适当的数据，或附上文字说明．三、典例讲解【例题1】某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【解题思路】(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．【解答过程】(1)设温馨提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元，根据题意，得2x＋3×3x＝550，∴ x ＝50. 经检验，符合题意，∴ 3x ＝150元．即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是50 元和150 元；(2)设购买温馨提示牌y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为(100－y) 个，根据题意，得∴ 50 ≤ y ≤ 52.∵y 为正整数，∴y 为50,51,52，共3 种方案．即温馨提示牌50 个，垃圾箱50 个；温馨提示牌51 个，垃圾箱49 个；温馨提示牌52 个，垃圾箱48 个．根据题意，费用为50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，当y ＝52 时，所需资金最少，最少是9 800 元．【总结归纳】本例题属于经济类方案设计问题，用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．【例题2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17 个学生，还剩12 个学生没人带；若每位老师带18 个学生，就有一位老师少带甲种客车乙种客车载客量/(人/辆) 30 42租金/（元/辆）300 400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2 名老师，可知租用客车总数为________辆；(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．【解题思路】(1) 设出老师有x 名，学生有y 名，得出二元一次方程组，解出即可；(2) 根据汽车总数不能小于300/42 ＝50/7 ( 取整为8 )辆，即可求出；(3) 设租用x 辆乙种客车，则甲种客车数为(8－x) 辆，由题意，得400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得x 的取值范围，分析得出即可．【解答过程】(1)设老师有x 名，学生有y 名．根据题意，列方程组为故老师有16 名，学生有284 名．(2) ∵ 每辆客车上至少要有 2 名老师，∴ 汽车总数不能大于 8 辆．又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 42300= 750 ( 取整为 8)辆， 综上可知汽车总数为 8 辆．故答案为8.(3)设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为 (8－x) 辆，∵ 车总费用不超过 3 100 元，∴ 400x ＋300(8－x) ≤ 3 100，解得 x ≤ 7.为使 300 名师生都有座，∴ 42x ＋30(8－x) ≥ 300，解得 x ≥ 5.∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数 )．∴ 共有 3 种租车方案：方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．【总结归纳】本例题属于经济类方案决策型问题，综合运用二元一次方程组与一元一次不等式确定方案，由题意得出租用 x 辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．【例题3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：方案一方案二方案三小红发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=(a+b)2对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．【解题思路】根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．【解答过程】根据由题意，得方案二：a2+ab+(a+b)b= a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2方案三：= a2+2ab+b2=(a+b)2【总结归纳】本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．四、知识拓展与提高【例题4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图4-1 所示.4-1(1)请说明图中①、② 两段函数图象的实际意义；(2)写出批发该种水果的资金金额w(元) 与批发量n(kg) 之间的函数关系式；在图4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；4-2(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图4-3 所示. 该经销商拟每日售出60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.4-3【解答过程】(1)图① 表示批发量不少于20 kg 且不多于60 kg 的该种水果，可按5 元/kg 批发；图② 表示批发量高于60 kg 的该种水果，可按4 元/kg 批发.(2)根据题意，得函数图象如图 4-4 所示 .4-4由函数图象可知，资金金额满足 240 < w ≤ 300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 .(3)解法一：设当日零售价为 x 元，由函数图象可得日最高销量n = 320 - 40x ，当 n > 60 时 ，x < 6.5 .根据题意，销售利润为y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)= 40[-(x-6)2 +4]从而 x = 6 时，y 最大值 = 160，此时 n = 80 .即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg ，当日可得最大利润 160 元 . 解法二：设日最高销售量为 x kg (x>60) .则由图 4-3 可知日零售价 p 满足 x = 320 - 40p .则 p = (320-x)/40 .销售利润=-401(x-80)2+160 从而 x = 80 时，y 最大值 = 160，此时 p = 6 .即销售商应批发 80 kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg ，当日可得最大利润 160 元 .【总结归纳】本例题以实际生活中的水果批发为背景，考查了数形结合的数学思想，考查了列方程，求二次函数最值等知识点 .2020中考必考数学题。
专题三方案设计与决策型问题中考典例精析例1:某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．(1)若需要这种规格的纸箱x个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(元)和蔬菜加工厂加工制作纸箱的费用y2(元)关于x(个)的函数关系式;(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【点拨】先分别求出y1和y2关于x的函数关系式，再根据y1＝y2，y1>y2和y1<y2三种方案求x，进行比较、决策．例2：某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分．方案1 所有评委所给分的平均数．方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3 所有评委所给分的中位数．方案4 所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下图是这个同学的得分统计图．(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分．(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．【点拨】对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果，只要注意平均数、中位数、众数的概念及其三种统计量的意义即可．专题训练1．迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3 490盆甲种花卉和2 950盆乙种花卉搭配A、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？2．有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4(如图所示)，另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球(除数不同外，其余都相同)．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．(1)请你用画树形图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；(2)小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计该游戏规则，使游戏公平．专题训练【练习篇】一、选择题(每小题4分，共4分)1．(2012中考预测题)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有( )A．4种 B．3种 C．2种 D．1种二、填空题(每小题6分，共6分)2．(2010中考变式题)如图所示，AB为⊙O的直径，DC⊥AB，现有的长方形长、宽分别为AC、CB，若要设计一个正方形，使其面积等于长方形面积，则正方形的边长应为________．三、解答题(共90分)3．(15分)(2012中考预测题)某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟，上网费用为y元．(1)分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式，并在图示的坐标系中作出这两个函数的图象；(2)如何选择计费方式能使甲上网更合算？4．(15分)(2010中考变式题)某校为迎接县中学生篮球比赛，计划购买A、B两种篮球共20个供学生训练使用．若购买A种篮球6个，则购买两种篮球共需费用720元；若购买A种篮球12个，则购买两种篮球共需费用840元．(1)求A、B两种篮球单价各多少元？(2)若购买A种篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你按要求设计出所有供学校参考的购买方案，并分别计算出每种方案购买A、B两种篮球的个数及所需费用．5．(15分)(2011·福州)郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元？(2)郑老师计划用1 000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案？6．(15分)(2012中考预测题)某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)个乒乓球，已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：(1)如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市更合算？(2)当x＝12时，请设计最省钱的购买方案．中考专题复习第3 页共5 页7．(15分)(2011·广东)如图①，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图②.(1)问：始终与△AGC相似的三角形有________及________；(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图②的情形说明理由)；(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．8．(15分)(2011·深圳)深圳某科技公司在甲、乙两地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台．运往A、B两馆的运费如下表：出发地甲地乙地目的地A馆800元/台700元/台B馆500元/台600元/台(1)设甲地运往A馆的设备有x台，请填写下表，并求出总运费y(元)与x(台)的函数关系式；出发地甲地乙地目的地A 馆x(台) ______(台)B 馆______(台) ______(台)(2)要使总运费不高于20 200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；(3)当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？中考专题复习第5 页共5 页。
2019届中考数学总复习：方案设计与决策型问题【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1．（2016•凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【思路点拨】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．【答案与解析】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y 吨，解得，即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，则解得，12.5≤x≤15，第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．【总结升华】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．举一反三：【变式】某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6∶5.(1)求出该班男生与女生的人数；(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？【答案】解：(1)设男生有6x人，则女生有5x人．依题意得：6x＋5x＝55，∴x＝5，∴6x＝30,5x＝25.答：该班男生有30人，女生有25人．(2)设选出男生y人，则选出的女生为(20－y)人．由题意得：2027y yy--⎧⎨⎩＞≥，解得：7≤y<9，∴y的整数解为：7、8.当y＝7时，20－y＝13，当y＝8时，20－y＝12.答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．类型二、利用不等式（组）进行方案设计2．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．(1)当n＝200时，①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数(件)x 2x 200运费(元)30x②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？(2)若总运费为5800元，求n的最小值．【思路点拨】(1)①运往B地的产品件数＝总件数n－运往A地的产品件数－运往C地的产品件数：运费＝相应件数×一件产品的运费；②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可；(2)总运费＝A产品的运费＋B产品的运费＋C产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可．【答案与解析】(1)①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数(件)200－3x运费(元) 1 600－24x 50x 56x＋1 600②由题意得20032 1600564000x xx-≤⎧⎨+≤⎩解得40≤x≤4267.∵x为正整数，∴x＝40或41或42，∴有3种方案，分别为：(ⅰ)A地40件，B地80件，C地80件；(ⅱ)A地41件，B地77件，C地82件；(ⅲ)A地42件，B地74件，C地84件．(2)由题意得30x＋8(n－3x)＋50x＝5800，整理得n＝725－7x.∵n－3x≥0，∴x≤72.5.又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为正整数．∵n随x的增大而减小，∴当x＝72时，n有最小值为221.【总结升华】考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值n的最小值. 举一反三：【高清课堂：方案设计与决策型问题例2】【变式】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过．．．84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于．．．1300吨污水.（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）【答案】解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题意3x+2×0.75x=54，解得x＝12，∵12×75%＝9，∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元(2)设二期工程中,购买甲型设备a台,由题意有12a+9(8-a)≤84①；200a+160(8-a)≥1300②，解得：12≤a≤4，由题意a为正整数,∴a＝1,2,3,4 ∴所有购买方案有四种,分别为方案一:甲型1台,乙型7台；方案二:甲型2台,乙型6台方案三:甲型3台,乙型5台；方案四:甲型4台,乙型4台(3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元，W=12a+9（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a），化简得:W=－2a＋192,∵W随a的增大而减少∴当a＝4时,W最小（逐一验算也可）∴按方案四甲型购买4台,乙型购买4台的总费用最少.类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．(1)改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？(2)该县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所．【思路点拨】（1）等量关系为：改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元；（2）关系式为：地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770．【答案与解析】解：(1)设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍需资金y万元，则34803400x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得90130xy=⎧⎨=⎩.答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍需资金130万元．(2)设A类学校应该有a所，则B类学校有(8－a)所．则2030(8)(90-20)(13030)(8)a aa a+-⎧⎨+--⎩≥210≤770，解得aa⎧⎨⎩≤3≥1，∴1≤a≤3，即a＝1,2,3.答：有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所．【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．理解“国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键． 举一反三：【变式】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x 个文具盒需要y 1元，买x 支钢笔需要y 2元，求y 1、y 2关于x 的函数关系式；(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱． 【答案】解：(1)设每个文具盒x 元，每支钢笔y 元，由题意得5210047161x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1415x y =⎧⎨=⎩. 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元．(2)由题意知，y 1关于x 的函数关系式为y 1＝14×90%x ，即y 1＝12.6x .由题意知，买钢笔10支以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15x .当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15×10＋15×80%(x －10)， 即y 2＝12x ＋30.(3)当y 1<y 2，即12.6x <12x ＋30时，解得x <50； 当y 1＝y 2，即12.6x ＝12x ＋30时，解得x ＝50； 当y 1>y 2，即12.6x >12x ＋30时，解得x >50.综上所述，当购买奖品等于10件但少于50件时，买文具盒省钱； 当购买奖品等于50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等； 当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱．类型四、利用函数知识进行方案设计4．（2015•深圳模拟）将220吨物资从A 地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15（吨/辆）和10（吨/辆），运往甲、乙两地的运费如表1：（1）求这两种货车各需多少辆？（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，填写表2，写出 运费w （元）与a 的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 表1 甲地（元/辆） 乙地（元/辆）货车700 800 小货车400 600 表2． 甲地 乙地 大货车 a 辆 辆 小货车 辆 辆【思路点拨】（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，根据两种货车的运货总量为220吨建立方程求出其解即可（2）由安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W 与a的关系式，由运往甲地的物资不少于110吨建立不等式求出a的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，由题意，得15x+10（18﹣x）=220，解得：x=8，需要小货车18﹣8=10辆．答：需要大货车8辆，则需要小货车10辆；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，表格2答案为：大货车去乙地（8﹣a）辆，小货车去甲、乙两地各（8﹣a）辆，（2+a）辆．由题意，得W=700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），W=100a+10800．15a+10（8﹣a）≥110，a≥6．∵k=100＞0，∴W随a的增大而增大，∴a=6时，W最小=11400，∴运往甲地的大货车6辆，小火车2辆，运往乙地的大货车2辆，小火车8辆．最小运费为11400辆．【总结升华】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键．类型五、利用几何知识进行方案设计【高清课堂：方案设计与决策型问题例1】5．某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14)(1)试用含x的代数式表示y；(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由.③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.【思路点拨】（1）把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题．【答案与解析】 解：（1）由题意得， πy+πx=628，∵3.14y+3.14x=628， ∴y+x=200则y=200﹣x ；（2）①W=428xy+400π2()2y+400π2()2x ，=428x （200﹣x ）+400×3.14×2(200)4x +400×3.14×24x ，=200x 2﹣40000x+12560000；②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下，由①知W=200（x ﹣100）2+1.056×107＞107， 所以不能； ③由题意可知：x≤23y 即x≤23（200﹣x ）解之得x≤80， ∴0≤x≤80，又题意得：W=200（x ﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105，整理得（x ﹣100）2=441，解得x 1=79，x 2=121（不合题意舍去）， ∴只能取x=79，则y=200﹣79=121；所以设计方案是：AB 长为121米，BC 长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆． 【总结升华】此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题．【巩固练习】一、选择题1.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需2分钟；②洗菜需3分钟；③准备面条及佐料需2分钟；④用锅把水烧开需7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需3分钟．以上各工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( )A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种3．（2016•邯郸一模）如图是小李销售某种食品的总利润y元与销售量x千克的函数图象（总利润=总销售额﹣总成本）．由于目前销售不佳，小李想了两个解决方案：方案（1）是不改变食品售价，减少总成本；方案（2）是不改变总成本，提高食品售价．下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象，则分别反映了方案（1）（2）的图象是（）A．②，③ B．①，③ C．①，④ D．④，②二、填空题4．（2016春•乳山市期中）某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛（即每队均需26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是．5．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)每支钢笔的价格为；每本笔记本的价格为；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有种购买方案？请你一一写出．6.“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：（1）前往A 地的车票有_____张，前往C 地的车票占全部车票的________%；（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B 地车票的概率为______.三、解答题 7．（2015春•高新区期末）为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A ，B 两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元，改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．（1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？（2）我区计划今年对A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？8.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告.已知这种商品每月的广告费用m (千元)与销售量倍数p 关系为p =m m 24.02+-；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！9.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：型号占地面积 (单位:m 2/个 )使用农户数 (单位:户/个)造价 (单位: 万元/个)A 15 18 2 B20303已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m 2，该村农户共有492户．(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程；(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．10.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：．．．．．．．．．．．．．．．．（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图表明探究方法并直接写出结果）.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】洗锅盛水2分钟，用锅把水烧开7分钟，用烧开的水煮面和菜要3分钟，这样一共是12分钟.而洗菜的3分钟和准备面及佐料的2分钟可以在烧开水的过程中来做.2.【答案】C；【解析】解：设甲车a辆，则乙车（10-a）辆.根据题意：40a+30×（10-a）≥340①16a+20×（10-a）≥170②由①得40a+300-30a≥340，a≥4由②得16a+200-20a≥170，a≤7.5所以4≤a≤7.5a=4，5，6，7所以租车方案有4种.3.【答案】B ；【解析】①根据函数图象可知，斜率不变，与y 轴交点上移，即售价不变，总成本减少；②根据函数图象可知，斜率不变，与y 轴交点下移，即售价不变，总成本增加；③根据函数图象可知，斜率变大，与y 轴交点不变，即总成本不变，售价增加；④根据函数图象可知，斜率变小，与y 轴交点不变，即总成本不变，售价减少．表示方案（1）的图象为①，表示方案（2）的图象为③．故选B ．二、填空题4.【答案】7、13、6；【解析】设这个队在第一赛季中胜了x 场，负了y 场，平了（y+7）场， 根据题意得：， 解得：， ∴y+6=13．故答案为：7、13、6．5.【答案】（1）3元，5元；（2）5；20，28；21，27；22，26；23，25；24，24． 【解析】（1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨⎧=+=+3152183y x y x 解得：⎩⎨⎧==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元.(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本依题意得：⎩⎨⎧≥-≤-+a a a a 48200)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28；21，27；22，26；23，25；24，24．6.【答案】（1）30；20．（2）12．【解析】（1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图； （2）让去B 地车票数除以车票总数即为所求的概率；三、解答题7.【答案与解析】（1）解：设改造一所A 类学校需资金a 万元一所B 类学校需资金a 万元．， 解得．答：改造一所A 类学校需资金60万元，一所B 类学校需资金85万元；（2）解：设改造x 所A 类学校，（6﹣x ）所B 类学校，依题意得，解得2≤x ≤4，又因为x 是整数，∴x=2、3、4、6﹣x=4、3、2．所以共有三种方案：改造A 类学校2所，B 类学校4所；改造A 类学校3所，B 类学校3所；改造A 类学校4所，B 类学校2所．设改造方案所需资金W 万元w=60x+85（6﹣x ）=﹣25x+510．所以当x=4时，w 最小=410．答：改造A 类学校4所B 类学校2所用资金最少为410万元．8．【答案与解析】解：设涨价x 元，利润为y 元，则方案一：9000)20(10500040010)10500)(4050(22+--=++-=--+=x x x x x y∴方案一的最大利润为9000元；方案二：10125)25.2(2000900020001000500)4050(22+--=+-=-⨯-=x m m m p y∴方案二的最大利润为10125元；∴选择方案二能获得更大的利润.9．【答案与解析】解:(1)设建造A 型沼气池x 个，则建造B 型沼气池(20－x )个. 依题意得:()()⎩⎨⎧≥-+≤-+492203018365202015x x x x 解得：7≤ x ≤ 9∵x 为整数， ∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种.(2)设建造A 型沼气池 x 个时，总费用为y 万元，则：y =2x +3(20－x )=－x+ 60∵－1<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9 时，y 的值最小，此时y =51(万元)∴此时方案为：建造A 型沼气池9个，建造B 型沼气池11个． 解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：方案一:建造A 型沼气池7个，建造B 型沼气池13个， 总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元 )方案二: 建造A 型沼气池8个， 建造B 型沼气池12个， 总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元 )方案三: 建造A 型沼气池9个， 建造B 型沼气池11个， 总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元 )∴方案三最省钱.10．【答案与解析】⑴如图中平行四边形即为所求.⑵如图：平行四边形MNPQ 面积为52.。
