中考数学冲刺：方案设计与决策型问题--知识讲解(提高)

专题六 方案设计与决策方案设计与决策在中考中是常见题型．涉及代数方面的有方程(组)、不等式(组)和函数两类；涉及几何方面的有测量、包装等．考向一 利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计生活中许多实际问题需借助方程(组)或不等式(组)的求解，不仅如此还需要对方程(组)或不等式(组)的解，进行有针对性的分析作出方案设计与决策．【例1】 (2011湖南永州)某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3 000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？分析：(1)已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．可以设它们的单价分别为8x,3x,2x 元，列一元一次方程来解决；(2)根据购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，找出羽毛球拍和乒乓球拍与篮球的关系，再根据购买乒乓球拍的数量不超过15副和不超过3 000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍这两个不等关系列不等式组，求出篮球数量的范围，从而制定出方案．解：(1)因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，所以，可以依次设它们的单价分别为8x,3x,2x 元，于是，得8x ＋3x ＋2x ＝130，解得x ＝10.所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元和20元．(2)设购买篮球的数量为y 个，则购买羽毛球拍的数量为4y 副，购买乒乓球拍的数量为(80－y －4y )副，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 80y ＋30×4y ＋20(80－y －4y )≤3 000，80－y －4y ≤15，①② 由不等式①，得y ≤14，由不等式②，得y ≥13.于是，不等式组的解集为13≤y ≤14，因为y 取整数，所以y 只能取13或14.因此，一共有两个方案：方案一，当y ＝13时，篮球购买13个，羽毛球拍购买52副，乒乓球拍购买15副； 方案二，当y ＝14时，篮球购买14个，羽毛球拍购买56副，乒乓球拍购买10副． 方法归纳 本类型题目主要特点有：(1)当利用不等关系来确定取值范围时，要结合不等式的取值范围来讨论；(2)当利用方程来确定取值范围时，往往利用解的整数性来解答．需要说明的是利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计常常可借助一次函数的性质进行决策．考向二 利用二次函数进行方案设计在商业活动或生产活动过程中常常遇到最优化问题．解决此类问题一般可借助二次函数以及二次函数的最大(小)值进行最优方案的选择或设计．【例2】 (2011江津)在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示)，其中四边形ABCD 是矩形，分别以AB ，BC ，CD ，DA 边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB ＝y 米，BC ＝x 米．(注：取π＝3.14)(1)试用含x 的代数式表示y .(2)现计划在矩形ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为w 元，求w 关于x 的函数关系式．②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由．③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC 的长不超过AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．分析：(1)根据圆周长列出关于x ，y 的等式；(2)①根据三个区域的面积和价格标准，列出关于x 的函数关系式；②比较二次函数的最小值与1千万的大小，给出判断；③根据“建设刚好把政府投入的1千万与企业募捐资金64.82万元刚好用完”列出相应的一元二次方程，解出方程的根，根据长宽的要求进行取舍．解：(1)由题意得πy ＋πx ＝628.∵π＝3.14，∴3.14y ＋3.14x ＝628.∴x ＋y ＝200.则y ＝200－x .(2)①w ＝428xy ＋400π⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＋400π⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝428x (200－x )＋400×3.14×(200－x )24＋400×3.14×x 24＝200x 2－40 000x ＋12 560 000. ②仅靠政府投入的1千万元不能完成该工程的建设任务，其理由如下：由①知w ＝200(x －100)2＋1.056×107＞107，所以不能．③由题意，得x ≤23y ，即x ≤23(200－x )，解得x ≤80. ∴0≤x ≤80.又根据题意，得w ＝200(x －100)2＋1.056×107＝107＋6.482×105.整理，得(x －100)2＝441，解得x 1＝79，x 2＝121(不合题意，舍去)．∴只能取x ＝79，则y ＝200－79＝121.∴设计的方案是：AB 长为121米，BC 长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆． 方法归纳 利用二次函数解决方案设计问题一般地需要先建立二次函数解析式，然后根据求二次函数最值的方法，即当x ＝－b 2a 时，y 有最大(小)值4ac －b 24a求得最值．最后要结合问题情境确定方案．注意有时确定最值时，需要考虑要在x 的取值范围内．考向三 利用几何知识进行方案设计与决策利用几何知识进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识，并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用．【例3】 某校数学研究性学习小组准备作测量旗杆的数学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆AB 顶端A 垂下一段绳子ABC 如图1.经研究发现，原来制定的一系列测量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的高度．图1(1)请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过程；(2)推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量旗杆的方案是什么？分析：针对该问题所提供的情境知道：(1)旗杆垂直于地面；(2)旗杆AB 顶端A 垂下一段绳子，即绳子比旗杆长出的部分可度量．因此可联系相关的数学知识利用勾股定理探讨具体测量方案．解：(1)测量方案设计如下：①测量绳子比旗杆多出的部分BC ＝a m ；②把绳子ABC 拉紧到地面D 处如图2，测量B 到D 的距离BD ＝b m.图2推算过程：设旗杆的高度为x m ，则AD 是(x ＋a ) m.在直角△ABD 中，根据AB 2＋BD 2＝AD 2得x 2＋b 2＝(x ＋a )2，x 2＋b 2＝x 2＋a 2＋2ax ，解得x ＝b 2－a 22a. (2)这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案可能有以下几个：图3 图4方法归纳 关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定方案时要遵循可操作性强、简单易行原则．第2个问题的测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探讨．对于以上2种测量方案的相关计算方法，请同学们自己给出．一、选择题1．小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密辅地面的，便向她推荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是( )2．现有球迷150人欲同时租用A ，B ，C 三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A ，B ，C三种型号客车载客量分别为50人，30人，10人，要求每辆车必须载满，其中A型客车最多租2辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有( )A．3种 B．4种 C．5种 D．6种二、填空题3．某班为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有__________种购买方案．4．如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有__________．三、解答题5．某楼盘一楼是车库(暂不出售)，二楼至二十三楼均为商品房(对外销售)．商品房售价方案如下：第八层售价为3 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额(商品房总价的30%)，再办理分期付款(即贷款)．方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费(已知每月物业管理费为a元)．(1)请写出每平方米售价y(元/米2)与楼层x(2≤x≤23，x是正整数)之间的函数解析式．(2)小张已筹到120 000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．6．一块洗衣肥皂长、宽、高分别是16 cm,6 cm,3 cm.一箱肥皂30条，请你为雕牌肥皂厂设计一种符合下列要求的包装箱，并使包装箱所用材料最少．(1)肥皂装箱时，相同的面积要互相对接；(2)包装箱是一个长方形；(3)装入肥皂后不留空隙．7．如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤．8．知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具有特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图)．(1)实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6)，体积为0.3立方米．①按方案1(如图)做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2(如图)的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．(2)拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉(1)中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．纸箱示意图纸箱展开图(方案1)纸箱展开图(方案2)备用图形参考答案专题提升演练1．B 正八边形的内角度数为135°，正三角形一个内角度数为60°，设密铺时，一个接缝点周围有m 块正八边形，n 块正三角形，则有135m ＋60n ＝360，通过试根，没有满足条件的正整数m ，n 的值使方程成立，因此A 选项错误；依次类推，分别把60°换成90°，120°，经过试根，只有90°可以找到满足条件的正整数m ，n 的值使方程成立，因此，选B.2．B 因为A 型车最多租用2辆，所以有两种情况，租用1辆A 型车或租用2辆A 型车，设租用B 型车x 辆，C 型车y 辆．①租用1辆A 型车时，50＋30x ＋10y ＝150，其正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1；②租用2辆A 型车时，100＋30x ＋10y ＝150，其正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.综上所述，共有4种情况．3．2 设购买甲、乙两种运动服分别为x 套和y 套(x ，y 为正整数)，依题意，得20x ＋35y ＝365，整理，得4x ＋7y ＝73.y ＝73－4x 7＝11－4(x ＋1)7≥1. ∵x ，y 为正整数，∴x ＋1是7的倍数．∴⎩⎪⎨⎪⎧73－4x ≥7，x ＋1＝7k (k 为正整数)，解得27≤k ≤52， ∴整数k ＝1或2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3. 4．6种 从点A 1出发，先向下走有三种走法，先向右走也有三种走法，共6种．5．解：(1)1°当2≤x ≤8时，每平方米的售价应为：3 000－(8－x )×20＝20x ＋2 840(元/平方米)．2°当9≤x ≤23时，每平方米的售价应为：3 000＋(x －8)·40＝40x ＋2 680(元/平方米)．∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋2 840(2≤x ≤8)，40x ＋2 680(9≤x ≤23)，x 为正整数．(2)由(1)知：1°当2≤x ≤8时，小张首付款为(20x ＋2 840)·120·30%＝36(20x ＋2 840)≤36(20·8＋2 840)＝108 000元＜120 000元．∴2～8层可任选．2°当9≤x ≤23时，小张首付款为(40x ＋2 680)·120·30%＝36(40x ＋2 680)元．36(40x ＋2 680)≤120 000，解得：x ≤493＝1613. ∵x 为正整数，∴9≤x ≤16.综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．(3)若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：y 1＝(40·16＋2 680)·120·92%－60a (元)．若按老王的想法则要交房款为：y 2＝(40·16＋2 680)·120·91%(元)．∵y 1－y 2＝3 984－60a ，当y 1＞y 2即y 1－y 2＞0时，解得0＜a ＜66.4，此时老王想法正确；当y 1≤y 2即y 1－y 2≤0时，解得a ≥66.4，此时老王想法不正确．6．解：方案一：以16×3的面相对连放三块构成底层，再如此放10层，整个表面积为最小值2 616 cm 2；方案二：以16×3的面相对连放五块构成底层，再如此放6层，整个表面积仍为最小值2 616 cm 2.7．解：答案不唯一．(1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM .(2)第一步，在Rt△AMN 中，tan α＝MN AN ，∴AN ＝MN tan α； 第二步，在Rt△BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MNtan β； 其中AN ＝d ＋BN ，解得MN ＝d ·tan α·tan βtan β－tan α.8．解：(1)①设这个纸箱底面的长为x ，则宽为0.6x .∵x ×0.6x ×0.5＝0.3，∴x 2＝1，解得x ＝1.由图示可知，1111A B C D S ＝[1＋2×(0.5＋0.5)]×[0.6＋2×(0.5＋0.3)]＝3×2.2＝6.6(平方米)． ②方案2优惠．由图示可知，h 1h 1＋1＝0.30.3＋0.8，解得h 1＝38.h 2h 2＋0.8＝0.50.5＋1，解得h 2＝25.∴2222A B C D S ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2×38×⎝ ⎛⎭⎪⎫2.2＋2×25＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫308×3＝5.625(平方米)． ∵5.625平方米＜6.6平方米，∴采用方案2优惠．(2)设现在设计的纸箱的底面长为x 米，宽为y 米，则x ＋y ＝0.8，xy ＝0.3.即y ＝0.8－x 和y ＝0.3x ，其图象如图所示．因为两个函数图象无交点，所以要将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，水果商的这种要求不能办到．。

专题六 方案设计与决策方案设计题包括运用代数知识解决的方案讨论问题和图案设计型问题．这类问题常以生产、生活、市场经济等社会热点问题为素材，在各地中考中备受关注．这些问题新颖灵活，多以填空题、解答题形式出现．考点一 利用方程(或不等式)、一次函数等知识进行方案决策设计本类题是一类综合性较强的分析决策问题，涵盖了方程、不等式、一次函数等有关知识，考查学生的综合分析、归纳能力．【例1】 2011年4月28日，以“天人长安，创意自然——城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中票的种类 夜票(A) 平日普通票(B) 指定日普通票(C)单价(元/张) 60 100 150A 种票张数的3倍还多8张，设购买A 种票张数为x ，C 种票张数为y .(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)设购票总费用为w 元，求出w (元)与x (张)之间的函数关系式；(3)若每种票至少购买1张，其中购买A 种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A ，B ，C 三种票的张数．解：(1)y ＝－4x ＋92.(2)w ＝60x ＋100(3x ＋8)＋150(－4x ＋92)＝－240x ＋14 600.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥20，92－4x >0.解之，得20≤x ＜23.∵x 是正整数，∴x 可取20,21,22.∴共有3种购票方案．∵w ＝－240x ＋14 600，k ＝－240＜0，∴w 随着x 的增大而减小，当x ＝22时，w 的取值最小．即当A 票购买22张时，购票的总费用最少．∴购票总费用最少时，购买A ，B ，C 三种票的张数分别为22,74,4.本类型题目主要特点有：(1)当利用不等关系来确定取值范围时，要结合不等式的取值范围来讨论；(2)当利用方程来确定取值范围时，往往利用解的整数性来解答．以上两种类型都一般与一次函数相联系，在解决实际问题时，要注意其实际意义，确定自变量的取值范围是解决一次函数最值的关键．考点二 利用几何知识进行方案决策设计利用几何知识进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识，并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用．【例2】 三个牧童A ，B ，C 在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离．．．．(看守点到本区域内最远处的距离)相等，按照这一原则，他们先设计了一种如图①的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心(对角线交点)，看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B 和牧童C 又分别提出了新的划分方案．牧童B 的划分方案如图②：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心． 牧童C 的划分方案如图③：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．请回答：(1)牧童B 的划分方案中，牧童__________(填A ，B 或C )在有情况时所需走的最大距离较远；(2)牧童C 的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？(提示：在计算时可取正方形边长为2)解：(1)C ；(2)牧童C 的划分方案不符合他们商量的划分原则．理由如下：如图，在正方形DEFG 中，四边形HENM ，MNFP ，DHPG 都是矩形，且HN ＝NP ＝HG .可知EN ＝NF ，S 矩形HENM ＝S 矩形MNFP .取正方形边长为2，设HD ＝x ，则HE ＝2－x .在Rt△HEN 和Rt△DHG 中，由HN ＝HG 得EH 2＋EN 2＝DH 2＋DG 2，即(2－x )2＋12＝x 2＋22.解得x ＝14，∴HE ＝2－14＝74. ∴S 矩形HENM ＝S 矩形MNFP ＝1×74＝74， S 矩形DHPG ＝2×14＝12. ∴S 矩形HENM ≠S 矩形DHPG .故牧童C 的划分方案不符合他们商量的划分原则．几何图形的分割、组合设计在中考中常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割．解决这类问题的关键是要抓住组合前后两个图形之间的联系，列出必要的关系式进行解答．考点三 利用解直角三角形进行测量方案设计这类题目的特点是在测量方案中，用有关的三角函数知识解决．【例3】 如图，飞机沿水平方向(A ，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN .飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理即可． (1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角α，测出飞机在B 处对山顶的俯角β，测出AB 的水平距离d ，连接AM ，BM .(2)步骤：第一步：在Rt△AMN 中，tan α＝MN AN ，∴AN ＝MNtan α； 第二步：在Rt△BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MNtan β； 其中：AN ＝d ＋BN ，解得MN ＝d ·tan α·tan βtan β－tan α.解此类问题时，要能从实际问题中抽象出直角三角形模型或构造出直角三角形进行解答．当不能直接算出某些量时，可通过解方程的办法加以解决．1．一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60°的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉组成面积分别相等、形状完全相同的几何图案．某同学为此提供了如图所示的四种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有( )．A ．2种B ．3种C ．4种D ．1种2．小明设计了一个利用两块相同的长方体木块测量一张桌子高度的方案，首先按图(1)方式放置，再交换两木块的位置，按图(2)方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是( )．A．73 cm B．74 cm C．75 cm D．76 cm3．某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快出售，该商店有两种销售方案：(1)按原价销售；(2)先将价格提高到原来的2.5倍，再作三次降价处理，第一次降价30%标出“亏本价”，第二次降价30%，标出“破产价”，第三次又降价30%，标出“跳楼价”，三降价次数一二三销售件数1040一抢而光A．方案一B．方案二C．相等D．没有商品价格，无法比较4．某市有甲、乙两家液化气站，他们的每罐液化气的价格、质量都相同，为了促销，甲站的液化气每罐降价25%销售；乙站的液化气第1罐按原价销售，从第2罐开始以7折优惠销售，若小明家购买8罐液化气，则最省钱的方法是买__________站的．5．某工厂现有甲种原料226 kg，乙种原料250 kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产需要甲原料需要乙原料一件A种产品7 kg 4 kg一件B种产品 3 kg10 kg6．从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成的四个相同的等腰梯形(如图①)，可以拼成一个平行四边形(如图②)．现有一平行四边形纸片ABCD(如图③)，已知∠A＝45°，AB＝6，AD＝4.若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为__________．7．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生身高作调查，现有三种调查方案：A．测量体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B．查阅有关外地180名男生的身高的统计资料；C．在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的(1)班中，由抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？选__________；理由__________．8．一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙而形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑对河道的影响，如图是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：①先测出沙坑坑沿圆的周长为34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B 处时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A 看到坑底S (甲同学的视线起点C 与点A ，点S 三点共线)，经测量：AB ＝1.2米，BC ＝1.6米．根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度(圆锥的高)(π取3.14，结果精确到0.1米)．9．某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表：空调机 电冰箱甲连锁店 200 170乙连锁店 160 150设集团调配给甲连锁店x 台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y(元)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？10．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．(1)设计方案如图①所示，矩形P ，Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P ，Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P ，Q 两块绿地周围硬化路面的宽．(2)某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两个等圆，圆心分别为O 1和O 2，且O 1到AB ，BC ，AD 的距离与O 2到CD ，BC ，AD 的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．参考答案专题提升演练1．B 2.C 3.B 4.乙 5.2 6.11＋6 27．方案C ；方案C 采用了随机抽样的方法，此样本比较具有代表性，可以被用来估计总体．8．解：如图，设圆锥底面圆圆心为O ，连接OS ，OA ，则∠O ＝∠ABC ＝90°，OS ∥BC ，∴∠ACB ＝∠ASO .∴△SOA ∽△CBA . ∴OS BC ＝OABA.∴OS ＝OA ·BC BA . ∵OA ＝34.542π＝5.5，BC ＝1.6，AB ＝1.2， ∴OS ＝5.5×1.61.2≈7.3. 故“圆锥形坑”的深度约为7.3米．9．解：(1)根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱为(70－x )台，调配给乙连锁店空调机为(40－x )台，电冰箱为(x －10)台，则y ＝200x ＋170(70－x )＋160(40－x )＋150(x －10)，即y ＝20x ＋16 800.∵⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，70－x ≥0，40－x ≥0，x －10≥0，∴10≤x ≤40.∴y ＝20x ＋16 800(10≤x ≤40)．(2)按题意知：y ＝(200－a )x ＋170(70－x )＋160(40－x )＋150(x －10)，即y ＝(20－a )x ＋16 800.∵20－a ＞170，∴a ＜30.调配方案如下：①当0＜a ＜20时，调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台，总利润最大；②当a ＝20时，x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润均相同；③当20＜a ＜30时，调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台，总利润最大．10．解：(1)设P ，Q 两块绿地周围硬化路面的宽为x 米，根据题意，得(60－3x )×(40－2x )＝60×40×14， 解之，得x 1＝10，x 2＝30.经检验，x 2＝30不符合题意，舍去．所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．(2)设想成立．设圆的半径为r 米，O 1到AB 的距离为y 米，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝40，2y ＋2r ＝60.解得y＝20，r＝10.符合实际．所以，设想成立，此时，圆的半径是10米．。

中考冲刺：方案设计与决策型问题—知识讲解（提高）【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1．国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：（1）求这两种货车各多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【思路点拨】（1）设大货车用x 辆，则小货车用18－x 辆，根据运输228吨物资，列方程求解；（2）设前往甲地的大货车为a 辆，则前往乙地的大货车为（8－a ）辆，前往甲地的小货车为（9－a ）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a ）]辆，根据表格所给运费，求出w 与a 的函数关系式； （3）结合已知条件，求a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.运往地车型甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 ７２０ ８００ 小货车 ５００ ６５０【答案与解析】解：（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得，⎩⎨⎧=+=+228101618y x y x 解得⎩⎨⎧==.108y x 答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）根据题意，得w=720a+800（8-a ）+500（9-a ）+650[10-（9-a ）] =70a+11550，∴w=70a+11550（0≤a ≤8且为整数）.（3）16a+10（9-a ）≥120，解得a ≥5，又∵0≤a ≤8，∴5≤a ≤8且为整数， 而w=70a+11550，k=70＞0，w 随a 的增大而增大，∴当a=5时，w 最小，最小值为W=70×5+11550=11900（元）答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车，4辆小货车前往甲地；3辆大货车，6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元． 【总结升华】这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题，把一元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数有机地结合起来，和谐搭配，形成知识系统化、习题系列化，可谓“一石三鸟”.类型二、利用不等式（组）进行方案设计2．为美化市容，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A ，B 两种园艺造型共50个，摆放在文庙广场，搭配每个造型所需花卉情况如表，解答问题： 造型 甲 乙 A 90盆 30盆 B 40盆 100盆（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B 种造型的成本为1200元，试说明选用哪种方案成本最低？ 【思路点拨】（1）设需要搭配x 个A 种造型，则需要搭配B 种造型（50﹣x ）个，根据题意列不等式组求解，取整数值即可；（2）通过计算比较得出那种方案成本最低． 【答案与解析】 解：（1）设需要搭配x 个A 种造型，则需要搭配B 种造型（50﹣x ）个， 则有，解得：30≤x ≤32，所以x=30或31或32．第一方案：A 种造型32个，B 种造型18个； 第二种方案：A 种造型31个，B 种造型19个； 第三种方案：A 种造型30个，B 种造型20个．（2）分别计算三种方案的成本为：32×1000+18×1200=53600，31×1000+19×1200=53800，30×1000+20×1200=54000，通过比较可知第一种方案成本最低．【总结升华】此题考查一元一次不等式组的实际运用，找出题目蕴含的不等关系是解决问题的关键．举一反三：【变式】荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和l辆乙型汽车共需费用2450元．且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用．【答案】(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元．由题意得22500,22450,x yx y+=⎧⎨+=⎩解得800,850.xy=⎧⎨=⎩答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．(2)设租用甲型汽车z辆，则租用乙型汽车(6-z)辆．由题意得1618(6)100, 800850(6)5000,z zz z+-≥⎧⎨+-≤⎩解得2≤x≤4．由题意知，z为整数，∴ z＝2或z＝3或z＝4．∴共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．方案一的费用是800×2+850×4＝5000(元)；方案二的费用是800×3+850×3＝4950(元)；方案三的费用是800×4+850×2＝4900(元)．5000＞4950＞4900，所以最低运费是4900元．答：共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元．类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【思路点拨】这是一道融三个“一次”为一体的综合性应用题，体现了任何数学知识不是片面、孤立存在的，而是相互依赖、相互联系和相互作用的数学意识.【答案与解析】解：（1）设该商店购进一件A 种纪念品需要a 元，购进一件B 种纪念品需要b 元.根据题意得方程组⎩⎨⎧=+=+，8006595038b a b a 解方程组，得⎩⎨⎧==.50100b a∴购进一件A 种纪念品需要100元，购进一件B 种纪念品需要50元.（2）设该商店购进A 种纪念品x 件，则购进B 种纪念品有（100—x ）件. ∴⎩⎨⎧≤-+≥-+.7650)100(501007500)100(50100x x x x 解得50≤x ≤53.∵x 为正整数,∴x 可取50,51,52,53.∴共有4种进货方案.（3）设所获利润为y 元，根据题意，有y=20x+30（100-x ）=-10x+3000.∵-10＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴x=50时，y 最大值=-50×10+3000=2500(元). ∴当购进A 种纪念品50件，B 种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元. 【总结升华】只要我们弄清了三个“一次”之间的内在联系，构建其模型，把握题型规律，梳理相关信息，就会轻松、有效地解决这类问题.举一反三：【变式】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20∶1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)． (1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ (2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案． 【答案】解：(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x 元、y 元，则801042000y x x y =+⎧⎨+=⎩，解得120200x y =⎧⎨=⎩.答：一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元，200元． (2)设购买办公桌椅m 套，则购买课桌凳20m 套，由题意有 16000≤80000－120×20m －200×m ≤24000， 解得，21713≤m ≤24813， ∵m 为整数，∴m ＝22、23、24，有三种购买方案，具体方案如下表：方案一方案二方案三课桌凳(套)440460480办公桌椅(套)222324类型四、利用函数知识进行方案设计4．某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元；（2）根据题意可以写出W与x的函数关系式；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到有几种购进方案，哪种方案获利最大，最大利润是多少．【答案与解析】解：（1）设购进甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，，解得，，即购进甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆8元；（2）由题意可得，W=6x+，化简，得W=4x+100，即W与x之间的函数关系式是：W=4x+100；（3），解得，10≤x≤12.5，故有三种购买方案，由W=4x+100可知，W随x的增大而增大，故当x=12时，，即购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获得最大利润，此时W=4×12+100=148，即该花店共有三种购进方案，在所有的购进方案中，购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获利最大，最大利润是148元．【总结升华】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意、列出相应的方程组或不等式组．类型五、利用几何知识进行方案设计5．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所饮水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图所示，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的23km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？【思路点拨】本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照“将军饮马”问题来解决该题.【答案与解析】解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，∴点M到甲村的最短距离为MB．∵点M到乙村的最短距离为MD．∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小．即最小值为MB+MD＝323．方案二：如答图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，连接AM′交OE于点P，则PE 12 AM．∵AM＝2BM＝5，∴PE＝3．在Rt△DME中，∵DE ＝DM ·sin60°＝32332⨯=，1123322ME DM ==⨯=． ∴PE ＝DE ．∴P 、D 两点重合．即AM ′过D 点．在线段CD 上任取一点P ′，连接P ′A ，P ′M ，P ′M ′， 则P ′M ＝P ′M ′．∵AP ′－P ′M ′＞AM ′．∴把供水站建在乙村的D 点处，管道沿DA 、DM 线路铺设的长度之和最小． 即最小值为AD+DM ＝AM ′＝222262(3)43AM MM ''-=+=．方案三：如答图②，作点M 关于射线OF 的对称点M ′，连接GM ，则GM ′＝GM ． 作M ′N ⊥OE 于点N ，交OF 于点G ，交AM 于点H ， ∴M ′N 为点M ′到OE 的最短距离，即M ′N ＝GM+GN ． 在Rt △M ′HM 中，∠MM ′N ＝30°，MM ′＝6． ∴MH ＝3， ∴NE ＝MH ＝3． ∵DE ＝3，∴N 、D 两点重合，即M ′N 过D 点． 在Rt △M ′DM 中，DM ＝23 ∴M ′D ＝3在线段AB 上任取一点G ′，过G ′作G ′N ′⊥OE 于点N ′，连接G ′M ′、G ′M ． 显然G ′M+G ′N ′＝G ′M ′+G ′N ′＞M ′D ．∴把供水站建在甲村的G 处，管道沿GM 、GD 线路铺设的长度之和最小． 即最小值为GM+GD ＝M ′D ＝3 综上，∵32343+<∴供水站建在M 处，所需铺设的管道长度最短． 【总结升华】考查了学生的类比思想、操作、猜想论证和严密的数学思维能力，体现了对过程性目标的考查．举一反三：【变式】在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高h ＝2a ，沿图中线段DE 、CF 将△ABC 剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图所示．请你解决如下问题：已知：在锐角△A ′B ′C ′中，B ′C ′＝a ，B ′C ′边上的高h ＝a 21．请你设计两种不同的分割方法，将△A ′B ′C ′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形．【答案】中考冲刺：方案设计与决策型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1.有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（ ）A ．50B ．100C ．150D ．2002．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④3. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题4．我们知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（1）：若这角恰好是直角，则这两个三角形全等. 方案（2）： . 方案（3）： . 5．适逢南开中学建校78周年暨（融侨）中学建校10周年校庆活动，学校准备印刷2000份校庆专刊．甲厂的优惠是先降价20%，再降价10%，乙厂的优惠是前1000份优惠10%，后1000份优惠30%，选择 厂更划算．6.几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：（1） 如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；（2） 如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，则PA PC +的最小值是___________；（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR △周长的最小值是___________．ABA 'PlOA B PRQ 图3OABC 图2ABE CPD图1P三、解答题7.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ 8．今年是“十二五”计划的开局之年，5月16日国务院讨论通过《国家基本公共服务体系“十二五”规划》．会议决定：本年度安排264亿元的财政补贴用于推广符合节能标准的家用电器（包括空调、平板电视、洗衣机和热水器），其中洗衣机、平板电视的补贴比热水器补贴分别多20%、40%，而热水器的补贴比空调补贴少；同时建议，以后两年用于推广符合节能标准家用电器的财政补贴每年递增a 亿元，“十二五”的最后两年用于此项财政补贴每年按照一定比例递增，从而使“十二五”期间财政补贴总额比规划第二年补贴的5.31倍还多2.31a 亿元．（1）若热水器的财政补贴今年比2011年增长10%，则2011年热水器的财政补贴为多少亿元？ （2）求“十二五”的最后两年用于此项财政补贴的年平均增长率．9.某工厂计划为某山区学校生产A ，B 两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A 型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m 3，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m 3，工厂现有库存木料302m 3．（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往该学校，已知每套A 型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B 型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y （元）与生产A 型桌椅x （套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由.10.如图1,矩形铁片ABCD 的长为a 2,宽为a ;为了要让铁片能穿过直径为a 1089的圆孔,需对铁片进行处理(规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔)；(1)如图2,M 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点,若将矩形铁片的四个角去掉,只余下四边形MNPQ,则此时铁片的形状是_______________,给出证明,并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；(2)如图3,过矩形铁片ABCD 的中心作一条直线分别交边BC 、AD 于点E 、F(不与端点重合), 沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；①当BE=DF=a 51时,判断直角梯形铁片EBAF 能否穿过圆孔,并说明理由；②为了能使直角梯形铁片EBAF 顺利穿过圆孔,请直接写出线段BE 的长度的取值范围 .【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ；【解析】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x 元、y 元、z 元．根据题意，得， 两方程相加，得4x+4y+4z=600，x+y+z=150．则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元． 2.【答案】B ；【解析】如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故选B ．3.【答案】A 【解析】根据旋转、轴对称的定义来分析．图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个．故选A ．二、填空题4.【答案】方案（2）：该角恰为两边的夹角时；方案（3）：该角为钝角时.5.【答案】甲.【解析】设每一份校庆专刊的单价为a 元．甲厂的花费：2000a （1﹣20%）（1﹣10%）=1440a ；乙厂的花费：1000a （1﹣10%）+1000a （1﹣30%）=1600a ；1440a ＜1600a所以选择甲厂更划算．故答案为：甲．6.【答案】（1）5；（2）32；（3）210．【解析】解：（1）PB PE +的最小值是DE ，22DE=21=5+. （2）延长AO 交⊙o 于点D ，连接CD 交OB 于P则PA=PD ，PA+PC=PC+PD=CD连接AC ，∵AD 为直径，∴∠ACD＝90°，AD ＝４∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝30°在Rt △ACD 中，CD ＝cos30°・AD=23，即PA+PC 的最小值为23（3）解：分别作点P 关于OA ，OB 的对称点E ，F ，连接EF 交OA ，OB 于R ，Q ，则△PRQ的周长为：EF，∵OP=OE=OF=10, ∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,∵∠AOB=45°, ∴∠EOF=90°在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=102，即△PRQ的周长最小值为102三、解答题7．【答案与解析】解：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3．（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：1＜x＜4．综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．8．【答案与解析】解：（1）设2011年热水器的财政补贴为x亿元，则2012年热水器的财政补贴为1.1x，洗衣机的财政补贴1.2×1.1x、平板电视的财政补贴1.4×1.1x、空调的财政补贴×1.1x，根据题意列方程得：1.1x+1.2×1.1x+1.4×1.1x+×1.1x=264解得：x=5答：2011年热水器的财政补贴为5亿元；（2）设“十二五”的最后两年用于此项财政补贴的年平均增长率为m ．根据题意列方程得：（264﹣a ）+264+（264+a ）+（264+a ）×（1+m ）+（264+a ）（1+m ）2=264×5.31+2.31a即（264+a ）m 2+3（264+a ）m ﹣0.31（a+264）=0，m 2+3m ﹣0.31=0解得：m 1=3.1（舍去），x 2=0.1．答：此项财政补贴的年平均增长率是10%．9．【答案与解析】解（1）设生产A 型桌椅x 套，则生产B 型桌椅(500)x -套，由题意得0.50.7(500)30223(500)1250x x x x +⨯-⎧⎨+⨯-⎩≤≥ 解得240250x ≤≤因为x 是整数，所以有11种生产方案．（2）(1002)(1204)(500)2262000y x x x =+++⨯-=-+220-<，y 随x 的增大而减少．∴当250x =时，y 有最小值．∴当生产A 型桌椅250套、B 型桌椅250套时，总费用最少．此时min 222506200056500y =-⨯+=（元）（3）有剩余木料，最多还可以解决8名同学的桌椅问题．10．【答案与解析】（1）是菱形如图，过点M 作MG⊥NP 于点GM 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ∴MN=NP=PQ=QM∴四边形MNPQ 是菱形 222121a a a S S ABCD MNPQ =⨯⨯== MN=a a a 25)21(22=+ ∴MG=a a MN S MNPQ1089552<= ∴此时铁片能穿过圆孔.（2）①如图，过点A 作AH⊥EF 于点H, 过点E 作EK⊥AD 于点K 显然AB=a a 1089>， 故沿着与AB 垂直的方向无法穿过圆孔过点A 作EF 的平行线RS ，故只需计算直线RS 与EF 之间的距离即可BE=AK=a 51,EK=AB=a ，AF=a DF AD 59=- ∴KF=a AK AF 58=-,EF=a a a 589)58(22=+ ∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK∴△AHF∽△EKF ∴EFAF EK AH =可得AH=a a 108989899> ∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔.② a BE 64893390-<<或a BE a 26489339<<+.。

中考冲刺方案设计与决策型问题提高
一、方案设计
中考冲刺方案的设计需要从以下几个方面考虑：
1.时间安排：根据考生的实际情况，合理安排每天的学习时间，确保每个科目都有充分的时间进行复习。

2.重点复习：重点复习范围应该根据每个科目的考试大纲和历
年真题分析确定，和考生自身的薄弱点和错题集结合起来。

3.备考规划：在重点复习的基础上，逐渐递进，逐层递进式地
学习，整体性地系统复习讲解，复习讲义系统整理，做归纳总结，
要结合思维导图或知识点表格，将题目和知识节点精炼概括覆盖。

4.综合练习：对于考点较多、考试难度较大的学科，要加强综
合练习，即多做模拟试题和历年真题，不断检验自己的学习效果。

5.时间管理：冲刺阶段时间比较紧张，需要学生合理安排时间，不能只看到某些考点而忽略了其他必考点，要注意时间上的优先级
问题。

6.情绪调节：良好的情绪状态能够帮助考生更好的应对考试，
冲刺阶段的学习不要过度导致紧张，应该注意情绪调节。

二、决策型问题提出
1.如何选择适合自己的复习方法？。

中考冲刺方案设计与决策型问题提高中考冲刺阶段是考生复习备考过程中的最后一个阶段，也是最关键的时期之一。

在这个阶段，考生需要全方位地复习知识、熟悉题型、逐步提高解题能力和应对能力等。

为了应对这一重要阶段，考生需要有一个合理的冲刺方案，同时也需要学会解决决策型问题，以在考试中取得更好的成绩。

一、冲刺方案设计冲刺方案旨在让考生在最后一个月的时间里尽可能地提高学习效率，同时让学生减少不必要的焦虑和压力。

根据考生的具体情况和考试的重点难点，可以制定以下的方案：1. 制定合理的复习计划在冲刺阶段，考生需要根据自己的情况、弱项和重点知识点，制定合理的复习计划。

复习计划不是简单地安排时间，还要考虑到目标明确、计划详尽、安排合理等因素，确保考生的复习过程科学、有效。

2. 建立复习档案建立复习档案是在复习过程中非常重要的一步，它不仅能够帮助考生了解自己的成绩、掌握知识点和题型的薄弱处，还有助于指导考生有针对性地进行复习和练习。

3. 熟悉各科考试方式和考点考生需要熟悉各科的考试方式和考点，尤其是对于数学和语文科目，学生需要注重对题型和解题方法的熟悉程度。

在了解了考试的基本要求之后，更需要通过大量的真题练习来提高自己的解题能力。

4. 进行适度的模拟考试模拟考试可以用来检测考生的学习程度和掌握程度，同时也可以增强考生的考试经验和心理素质。

模拟考试时间根据实际情况和个人需要来设定，但必须要设法模拟出真实的考场和考试环境，让考生能够在短时间内适应考试的压力和氛围。

5. 增强刷题意识刷题意识是在冲刺阶段必须提升的能力之一。

考生应该重视对上一年或近几年的真题的练习，不断提高自己的实战能力和解题水平。

二、决策型问题提高在中考复习过程中，不可避免地会遇到一些决策型问题，如“如何合理分配复习时间？”、“如何提高核心科目的得分率？”、“如何应对紧张的考试环境？“等等，这些问题都需要考生有一定的决策能力。

以下是提高决策能力的一些方法：1. 了解自己的优势和短板了解自己的优劣势可以帮助考生更好地应对决策型问题，更好地发挥自己的长处。

专题三方案设计与决策型问题中考典例精析例1:某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．(1)若需要这种规格的纸箱x个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(元)和蔬菜加工厂加工制作纸箱的费用y2(元)关于x(个)的函数关系式;(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【点拨】先分别求出y1和y2关于x的函数关系式，再根据y1＝y2，y1>y2和y1<y2三种方案求x，进行比较、决策．例2：某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分．方案1 所有评委所给分的平均数．方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3 所有评委所给分的中位数．方案4 所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下图是这个同学的得分统计图．(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分．(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．【点拨】对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果，只要注意平均数、中位数、众数的概念及其三种统计量的意义即可．专题训练1．迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3 490盆甲种花卉和2 950盆乙种花卉搭配A、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？2．有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4(如图所示)，另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球(除数不同外，其余都相同)．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．(1)请你用画树形图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；(2)小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计该游戏规则，使游戏公平．专题训练【练习篇】一、选择题(每小题4分，共4分)1．(2012中考预测题)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有( )A．4种 B．3种 C．2种 D．1种二、填空题(每小题6分，共6分)2．(2010中考变式题)如图所示，AB为⊙O的直径，DC⊥AB，现有的长方形长、宽分别为AC、CB，若要设计一个正方形，使其面积等于长方形面积，则正方形的边长应为________．三、解答题(共90分)3．(15分)(2012中考预测题)某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基本费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟，上网费用为y元．(1)分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式，并在图示的坐标系中作出这两个函数的图象；(2)如何选择计费方式能使甲上网更合算？4．(15分)(2010中考变式题)某校为迎接县中学生篮球比赛，计划购买A、B两种篮球共20个供学生训练使用．若购买A种篮球6个，则购买两种篮球共需费用720元；若购买A种篮球12个，则购买两种篮球共需费用840元．(1)求A、B两种篮球单价各多少元？(2)若购买A种篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你按要求设计出所有供学校参考的购买方案，并分别计算出每种方案购买A、B两种篮球的个数及所需费用．5．(15分)(2011·福州)郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元？(2)郑老师计划用1 000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案？6．(15分)(2012中考预测题)某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)个乒乓球，已知A、B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：(1)如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市更合算？(2)当x＝12时，请设计最省钱的购买方案．中考专题复习第3 页共5 页7．(15分)(2011·广东)如图①，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图②.(1)问：始终与△AGC相似的三角形有________及________；(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图②的情形说明理由)；(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．8．(15分)(2011·深圳)深圳某科技公司在甲、乙两地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台．运往A、B两馆的运费如下表：出发地甲地乙地目的地A馆800元/台700元/台B馆500元/台600元/台(1)设甲地运往A馆的设备有x台，请填写下表，并求出总运费y(元)与x(台)的函数关系式；出发地甲地乙地目的地A 馆x(台) ______(台)B 馆______(台) ______(台)(2)要使总运费不高于20 200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；(3)当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？中考专题复习第5 页共5 页。

中考冲刺：方案设计与决策型问题(基础)一转眼，距离中考只有短短几个月了，这个时候，我们不能再像以前那样慢慢悠悠地学习，而是要全力以赴，做好冲刺。

我将为大家分享一套中考冲刺方案，主要针对基础阶段的方案设计与决策型问题。

1.分析问题类型我们要明确决策型问题的特点。

这类问题通常涉及多个选项，需要我们根据已知信息进行分析、比较和判断，最终作出最佳选择。

这类问题分为两种：一种是单一决策问题，另一种是多阶段决策问题。

2.确定解题思路（1）理解题意：仔细阅读题目，确保理解题目所描述的情境、条件和目标。

（2）分析选项：对每个选项进行分析，找出其优点和缺点。

（3）比较选项：将各选项进行对比，找出最佳方案。

（4）作出决策：根据比较结果，作出最终选择。

3.实战演练下面，我们通过几个例子来具体讲解决策型问题的解题方法。

A.方案一：投资100万元，预计一年后收回投资并盈利50万元；B.方案二：投资200万元，预计一年后收回投资并盈利100万元；C.方案三：投资300万元，预计一年后收回投资并盈利150万元。

请问，该企业应该选择哪个方案？解答：我们要分析每个方案的优缺点。

方案一投资较少，但收益也较低；方案二投资适中，收益适中；方案三投资较多，收益也较高。

我们需要比较这三个方案。

从收益角度看，方案三最优；但从投资角度看，方案一最具优势。

综合考虑，我们可以认为方案二是最佳选择。

A.方案一：投资50亿元，预计五年后收回投资并盈利10亿元；B.方案二：投资80亿元，预计四年半后收回投资并盈利15亿元。

请问，该城市应该选择哪个方案？解答：同样地，我们先分析每个方案的优缺点。

方案一投资较少，但收益较低；方案二投资较多，收益也较高。

我们比较这两个方案。

从投资角度看，方案一更具优势；但从收益角度看，方案二更佳。

考虑到地铁建设对城市发展的长远影响，我们可以认为方案二是最佳选择。

4.决策型问题拓展（1）考虑时间因素：如上面的例2，我们需要根据项目的投资回收期来判断方案的优劣。

中考冲刺：方案设计与决策型问题(提高)清晨的阳光透过窗帘的缝隙，洒在了我的书桌上，思绪也随之活跃起来。

在这个关键时期，如何设计一套高效的中考冲刺方案，帮助学生在决策型问题上游刃有余，成了我心中的牵挂。

我们要明确决策型问题的特点。

这类问题往往要求学生在有限的时间内，对复杂情境进行快速、准确的判断。

因此，提高解题速度和准确度是关键。

一、知识点梳理1.系统梳理各科知识点，形成知识框架。

让学生对所学知识有一个整体的把握，为解决决策型问题奠定基础。

2.针对每个知识点，设计相应的例题和练习题，让学生在实践中掌握解题方法。

二、解题技巧训练2.设计针对性强的解题技巧训练题，让学生在实际操作中提高解题速度和准确度。

3.组织模拟考试，让学生在实战中检验自己的解题技巧。

三、心理素质培养1.培养学生的自信心。

在冲刺阶段，信心是成功的一半。

要让学生相信自己，敢于面对挑战。

2.增强学生的抗压能力。

决策型问题往往要求学生在高压环境下保持冷静，因此，培养学生的抗压能力至关重要。

3.提高学生的应变能力。

面对复杂的情境，学生要学会灵活应对，迅速作出决策。

四、时间管理策略1.合理安排学习时间。

在冲刺阶段，时间就是金钱。

要让学生学会合理分配时间，提高学习效率。

2.设定学习目标。

为学生设定明确的学习目标，让他们有针对性地进行复习。

3.利用碎片时间。

鼓励学生充分利用碎片时间，如上下学途中、课间休息等，进行复习。

五、家校合作2.家长要关心学生的生活。

在冲刺阶段，学生的生活节奏加快，家长要关注学生的饮食、作息等，确保学生身心健康。

3.家长要给予学生适当的支持。

在关键时刻，家长的支持是学生最大的动力。

六、冲刺阶段具体方案1.第一阶段：知识点复习（1周）重点复习各科知识点，形成知识框架。

每天安排一定时间进行复习，确保学生对所学知识有一个整体的把握。

2.第二阶段：解题技巧训练（2周）针对每个知识点，设计相应的例题和练习题，让学生在实践中掌握解题方法。