专题四：曲线运动、万有引力考点例析。

曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。

）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：0xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gty=得gyt2=（由下落的高度y决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

5．tan2tanθα=速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。

6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。

）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3．匀变速运动： 加速度（大小和方向）不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F 2改变速度的大小，沿径向的分力F 1改变速度的方向。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1． 速度：0x yv v v gt =⎧⎨=⎩ 合速度:22yx v v v +=方向：oxy v gtv v ==θtan 2．位移0212x v t y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：x =合 方向：ov gtx y 21tan ==α3．时间由:221gt y =得 g y t 2=（由下落的高度y 决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。

专题四：曲线运动、万有引力考点例析本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。

（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。

（3）万有引力定律及其运用。

（4）运动的合成与分解。

注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。

近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。

卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。

本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。

一、夯实基础知识1、深刻理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

（2）曲线运动的特点：○1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。

②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。

○3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。

2、深刻理解运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。

运动的合成与分解基本关系：○1分运动的独立性；○2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；○3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。

）3.深刻理解平抛物体的运动的规律（1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。

物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。

（2）．平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。

第四章曲线运动万有引力定律[考点解读]顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。

本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。

根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时A关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。

另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。

[解题方法指导][例题1]关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下述说法中正确的是[ ] A．一定是直线运动B．一定是曲线运动C．一定是匀变速运动D．可能是直线运动，也可能是曲线运动[思路点拨] 本题概念性很强，正确进行判定的关键在于搞清物体曲线运动的条件：物体运动方向与受力方向不在同一直线上．另外题目中“两个匀变速直线运动”并没讲是否有初速度，这在一定程度上也增大了题目的难度．[解题过程] 若两个运动均为初速度为零的匀变速直线运动，如图5－1(A)所示，则合运动必为匀变速直线运动．若两个运动之一的初速度为零，另一个初速度不为零，如图5－1(B)所示，则合运动必为曲线运动．若两个运动均为初速度不为零的匀变速直线运动，则合运动又有两种情况：①合速度v与合加速度a不共线，如图5－1(C)所示．②合速度v与合加速度a恰好共线．显然前者为曲线运动，后者为直线运动．由于两个匀变速直线运动的合加速度必恒定，故不仅上述直线运动为匀变速直线运动，上述曲线运动也为匀变速运动．本题正确答案应为：C和D．[小结] 正确理解物体做曲线运动的条件是分析上述问题的关键．曲线运动由于其运动方向时刻改变(无论其速度大小是否变化)，必为变速运动．所以曲线运动的物体必定要受到合外力作用，以改变其运动状态．由于与运动方向沿同一直线的力，只能改变速度的大小；而与运动方向相垂直的力，才能改变物体的运动方向．故做曲线运动的物体的动力学条件应是受到与运动方向不在同一直线的外力作用．[例题2] 一只小船在静水中速度为u，若水流速度为v，要使之渡过宽度为L的河，试分析为使渡河时间最短，应如何行驶？[思路点拨] 小船渡河是一典型的运动合成问题．小船船头指向(即在静水中的航向)不同，合运动即不同．在该问题中易出现的一个典型错误是认为小船应按图5－2(A)所示，逆水向上渡河，原因是这种情况下渡河路程最短，故用时也最短．真是这样吗？[解题过程] 依据合运动与分运动的等时性，设船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA，则设船头垂直河岸渡河，如图5－2(B)所示，所需的时间为tB，则-６７ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律省实验中学物理组倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。

易错笔记专题4 曲线运动万有引力大悟一中王志平要点笔记1运动的合成与分解⑴合运动的性质和轨迹：由合初速度与合加速度的方向关系以及合加速度大小决定；⑵渡河问题讨论：垂直渡河，渡河时间最短的条件；⑶绳端物体速度的分解：将实际速度分解为沿绳伸长或缩短方向和垂直于绳绕滑轮转动的方向；2 •物体做曲线运动的条件•平抛物体的运动规律•特别注意平抛运动是匀变速曲线运动，速度的变化量v=gt且方向总在竖直方向上.3•圆周运动⑴匀速圆周运动的描述：线速度，角速度，周期，向心加速度等；⑵圆周运动中向心力的特点：方向总指向圆心；只改变速度的方向；⑶竖直平面内圆周运动的临界问题：分轻绳、环形轨道内侧类，杆、环形管道类和凸形轨道类.4•万有引力定律，行星的运动•注意天体质量的测定的观测对象：一定是绕该天体运行的其它天体. 5•人造卫星和宇宙飞船，三个宇宙速度及意义，卫星变轨问题.易错笔记易错类型一运动性质判断易错分析运动和力的关系在曲线运动中显得更复杂，如果不能深刻理解“物体是做直线运动还是做曲线运动，取决于所受合外力的方向与该时刻速度的方向关系”这一要点，正确判断物体的运动性质就是一句空话；加速度描述速度变化的快慢，包括速度大小的变化和方向的变化，不能正确理解加速度与速度以及加速度与运动的关系也是出错的重要原因.【典例1】下列关于运动和力的叙述中，正确的是A •做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的B •物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心C .物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动D •物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同【正确解答】C 物体是否做曲线运动由合外力（或加速度）的方向与该时刻速度的方向是否在一条直线上来决定，“是”则为直线运动，“否”则为曲线运动，与加速度方向是否变化没有关系，加速度的方向变化一定是曲线运动，但曲线运动的加速度方向不一定变化，A错C对；只有做匀速圆周运动的物体所受合外力才指向圆心，B错；只要合力与速度方向成小于90°的角，物体运动速率就会增大，D错.【易错反思】认为加速度方向变化是做曲线运动的充分必要条件，则会错选A ；审题时粗心大意，将“圆周运动”当成“匀速圆周运动”，或者对圆周运动的概念理解不透彻，则会错选B ;对加速度概念理解不透彻，加速度与速度变化之间的关系不明确而错选 D •【典例2】（原创）执行救灾任务的飞机水平匀速直线飞行，相隔0.5s先后释放形状和质量完全相同的两箱救灾物资1和2•假设空气阻力与物体速度成正比，这两箱物资在空中下落时，地面上的人可能看到的是A • 1号箱不可能在2号箱的正下方B •两箱的水平距离保持不变C •两箱的水平距离先增大后不变D .两箱的竖直距离一直增大【正确解答】BC 若沿着或逆着飞机飞行方向看， 1号箱在2号箱的正下方且两箱水平距 离为零，则A 错B 正确；由于2号箱后释放，释放时 2号的水平速度比1号大，两箱水平 距离增大，当两箱水平速度减小到零时空气阻力水平值为零， 距离不变.同理竖直方向也是如此，C 正确D 错.【易错反思】受陈题的影响，没有审清“地面上的人可能看到的”可以有不同的观看角度这 一隐含条件而错选 A 和漏选B ;认为B 与C 项矛盾而只选其一也是漏选原因；对运动的独 立性理解不够，因此对“假设空气阻力与物体速度成正比” 注意到水平方向而遗漏了竖直方向，或者相反，因此错选 D 项. 易错类型二 运动的合成与分解易错分析⑴对运动的独立性理解不够，不能就单方向运用运动和力的关系判断物体的运动性质； ⑵对渡河问题、绳端速度的分解问题不理解分解方向的意义， 将运动效果与力的作用效果混淆，采用了力的分解方法；⑶不能灵活运用正交分解法和三角形法则分析和解答临界问题和极值问题. 【典例3】如图2-4-1所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条 件下，当小车匀速向右运动时，物体 A 的受力情况是A .绳的拉力大于 A 的重力B .绳的拉力等于 A 的重力C .绳的拉力小于 A 的重力D .拉力先大于重力，后变为小于重力【正确解答】A 设某时刻汽车拉物体的绳子与水平方向成 的速度分解如图2-4-2所示，物体 A 的速度等于v 2，即v 2速上升，处于超重状态，绳子的拉力大于 A 的重力，A 选项正确.【易错反思】认为汽车匀速运动则物体 A 也匀速运动而错选 B ;由于汽 车速度的分解方向错误，如图2-4-3所示，得物体A 的速度V 2=V/COS图 2-4-3 随B的减小而减小，减速运动为失重而错选 C .【典例4】（原创）民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔弛的马背上,向侧向的固定目标.假设运动员骑马奔弛的速度为 直跑道离固定目标的最近距离为 d .plC .箭射到靶的最短时间为 一 V 2车向右运动时B 角减小，COS 增大，物体A 的速度v 2增大，故物体加 弯弓放箭射V 1，运动员静止时射出的弓箭速度为要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，贝ydv 1 V 2_V 2A .运动员放箭处离目标的距离为B .运动员放箭处离目标的距离为 V 2 图 2-4-2图 2-4-4dD .箭射到靶的最短时间为v；-v；【正确解答】BC 运动员射出的箭实际对地速度是马奔驰的速度 箭的速度V 2的矢量和，如图2-4-5(a)所示，因此箭 pl 的运动时间t=——，要想箭在空中飞行时间v 2 sin最短，则sin =1，即射出的箭的速度 V 2与奔跑方pl向的夹角 =90，箭射到靶的最短时间t= —，CV 2对D 错；如图2-4-5(b),则有运动员放箭处离目标【易错反思】考查的合成与分解，部分考生会因对 误而错选A ;对最短时间的判断和计算错误而错选 易错类型三 平抛物体的运动易错分析⑴没有熟练掌握平抛运动的基本规律，对分解计算的方法不理解；⑵对平抛运动的性质理解不透彻， 由于分解计算的强化，加之审题不仔细导致对位移、速度 等的计算仍按水平位移或竖直速度计算的错误；⑶不能灵活运用如初速度为零的匀加速运动、速度的变化量 v=gt 且方向总是竖直向下等特殊规律解答问题；【典例3】(原创)小球a 、b 以相同初速度V O 水平抛出，落地点到抛出点的水平距离分别 为S a 、S b ，且S a = 2S b ，以h a 、入分别表示两球抛出点到地面的高度，不计空气阻力，则A . h a : h b =1: 3B .h a : h b =4:1 C . h a : h b =3:1 D . h a : h b = 2:1【正确解答】B 由于两球抛出时初速度相等，且S a = 2s b ，因此下落时间为 t a =2t b ，由h=】gt 2可得4：入=4：1 , B 项正确.2【易错反思】在得出下落时间为t a = 2t b 的结论后，直接由初速度为零的匀加速运动在连续相 等时间内位移之比为 1: 3,错选A 或C .【典例4】做平抛运动的物体，在落地前的最后一秒内，其速度方向由与水平方向成 37°变为与竖直方向成 45°，求物体抛出时的初速度和下落的高度. (g=10m/s 2)【正确解答】平抛运动的加速度恒定且为重力加速度g ,因此在任意时间内速度的改变量V I 与运动员静止时射出的“运动员放箭处离目标的距离”的理解错u =gt ,其方向总是竖直向下的，如图2-4-6所示.由图可知:v 0= v 1 cos37 ①v 0= v 2 cos 45②v=gt= u sin 45 -u sin 37③ 联立解得：v 0=40 m/s④v 2y = v 0=40 m/s⑤的距离为 ,A 错B 对.U2 2h= v2y= 4m=80m ⑥2g 2 10【易错反】不能正确理解洛地前的最后一秒内的确切意义，画出如图所示的速度变化思情景是审题的主要障碍，不能抓住水平速度不变的特点列出①②两式，不能灵活运用v=gt 列出③式是计算中的主要出错点.易错类型四圆周运动和综合问题易错分析⑴对向心力的概念理解不透彻，不能灵活分析向心力产生的效果对物体运动状态的影响;⑵对竖直平面内圆周运动的三种临界条件的掌握和运用不准确，不熟练；⑶综合试题的审题【典例3】一小物块由某高处自由落下，从内壁粗糙的半球形碗边的A点滑入碗内，，由于摩擦力的作用，在下滑过程中小物块的速率恰好保持不变，如图2-4-7所示.则在下滑过程中：( )A .小物块所受合外力为零B •小物块所受合外力越来越大C.小物块所受合外力大小不变，方向时刻改变D .小物块所受摩擦力大小不变【正确解答】C 匀速圆周运动的性质是变加速曲线运动，加速度大小不变，方向时刻改变，速度时刻也在变，故合力不可能为零，A错；但由于物块速率不变做匀速圆周运动，所受合力大小不变，只是方向时刻改变,B错C对；对小物块进行受力分析得，同时受重力G,曲面的支持力N,摩擦力f三个作用,f始终垂直于N，速度大小不变，可知摩擦力f始终等于重力G在切向的分力，通过受力分析可知，在物体下落到碗底之前所受摩擦力一直变小，D错.【易错反思】将匀速圆周运动当作平衡状态而错选A;用光滑圆轨道内小球的运动小球在最低点时向心力最大的结论直接选B;不能对物块进行全面的受力分析和力的变化分析，不能换位思考“重力沿切向的分力总等于滑动摩擦力”，认为物块做匀速圆周运动时向心力大小恒定，并将此向心力当成轨道支持力N,由摩擦定律不得f= N，因而判断摩擦力大小不变而错选D .【典例4】(原创)飞机在高度为500m的低空水平匀速飞行，在距目标水平距离2000m处投弹，随即在水平面内以原速率做匀速圆周运动，准备返回，飞行员检测到飞机速度方向改变60°角时，看到炸弹恰好着地爆炸. (1)求飞机速度v; (2)匀速圆周运动的加速度大小？【正确解答】(1)炸弹飞行时间为t，则h= — gt2, t= f—h^^2 500s= 10s ①炸弹做平抛运动的初速度v0= X= 2000 m/s= 200m/s ②t 10即飞机的速度v = v0= 200 m/s ③(2)匀速圆周运动的轨道半径 2 R=vT= 6vt, R= 3vt④A •（:gR r 3【正确解答)AD匸)gR 2卫星所受地球万有引力等于其向心力，因此有r ，又G M¥=mg ，解得R2v v 2 2a= = m/s =20.9m/sR 3t【易错反思】不能将炸弹做平抛运动的时间与飞机做圆周运动的时间联系起来， 认为飞机做圆周运动的半径未知， 不能求出飞机的向心加速度是错误之一； 求飞机圆周运动的周期时没有将60°角转换成 计算，不能正确列出④式，即没有统一单位而出错，典型的错误算式3为 60=Lt T易错类型五 万有引力定律、人造卫星和宇宙飞船易错分析⑴对天体质量和密度的测量， 不明确观测对象：绕被测天体运行的其它天体； 不清楚最佳观测量：距离r 和周期T ;⑵对三个宇宙速度及意义理解不透彻，不能区别“宇宙速度”与卫星的“运行速度”；式没有完全掌握，理解不透彻，运用不熟练; ⑷不能正确建立变轨问题中的能量关系、 运动和力的关系等，缺乏将能量关系同运动和力的 关系综合起来进行推理判断的能力.【典例3】（原创）“嫦娥一号”在被月球俘获后也进行了几次变轨操作，最后一次变轨是从 周期为3.5h 的椭圆轨道转移到周期为 127min 的极月圆轨道，并于2007年12月4日传回了 第一幅月球背面的照片•关于“嫦娥一号”的下列说法正确的是A •拍摄月球背面的照片时间必须在农历每月15日左右，因为此时月球最圆最亮B •卫星从椭圆轨道转移到圆轨道，必须在椭圆轨道的近月点启动发动机减速C .卫星在圆轨道上的速度总小于在椭圆轨道上的速度D •卫星在圆轨道上的速度大于在椭圆轨道上经过近月点时的速度正确解答】B 当人们在农历15日看到月球最圆最亮时，其背面是月球的晚上，不便拍 照，A 错；卫星周期减小，则轨道半径减小，须在近月点变轨，由于在椭圆轨道上经过近月 点时的速度大于在圆轨道上的运行速度，故须在近月点减速， B 对D 错；卫星在椭圆轨道 上运行时，经远月点的速度小于在圆轨道上的速度， 在近月点的速度则大于在圆轨道上的速度，C 错.【易错反思】不清楚“月球背面”被太阳照亮的规律，认为地球上人看到的最圆最亮就是月 球“最大”的时刻，也是最佳拍照的时刻而错选A ;对卫星在椭圆轨道上运行时的能量变体化与速度变化的关系不明确，或者对变轨原理不明确而错选 CD •【典例4】某卫星在赤道上空飞行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为地球的自转方向相同.设地球的自转角速度为 0，地球半径为R,地球表面重力加速度为 g ,可能为（ 向心加速度 ⑶对G Mm ―=ma , r MmG-R^=mg 这两个基本公式及其变式,特别是对向心加速度 a 的种种变r ，飞行方向与在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方, 则到它下次通过该建筑物正上方所需的时间亨，若 > 0，则当地球转过角时卫星转过+2 角，如图2-4-8所示，且=0t, +2 = t，解得A项正确；若< °，则解得D正确；若=°，则卫星时刻在该建筑物上方.【易错反思】选B是计算错误；若把地球当作是静止不动的，则会错选C; 一般认为卫星的运行周期小于或等于地球自转周期，但实际上是可以大于地球自转周期的，因此容易漏选D项.【强化闯关】1 . （L1强化）（原创）下列运动能够发生的是A .物体做曲线运动而速度可能不变B .物体运动的速率不变面可能是做直线运动C.物体不受外力而做曲线运动 D •物体所受合外力恒定而没有做直线运动2. （L2强化）一艘轮船到水流速为2m/s的江中测试船速，设船速大小为一定值，在江中选两个浮标A,B之间为航线，AB间的距离s=1200m ,水流速度方向跟AB连线的夹角9=60 ° , 如图所示，测得船沿着AB连线航行一个来回用时为400s，求船速的大小.3. （L3强化）（原创）小球以初速度v0水平抛出，用v t表示小球某时刻的速度，V表示小球速度的改变量，s表示小球的位移的，E k表示小球某时刻的动能，不计空气阻力，则下列各图的关系正确的是A B C D图2-4-94. （L4强化）如图2-4-10所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直平面内做圆周运动. A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D点与圆心O在同一水平线上.物体对地面的压力为N，地面对物体的摩擦力为f，小滑块运动时，物体在地面上静止不动•则下列说法正确的是A .小滑块在A点时,B .小滑块在B点时, C.小滑块在C点时, D .小滑块在D点时, N> Mg, f方向向左N=Mg , f方向向右N> (M + m) g, f 为零N= (M + m) g, f方向向左图2-4-105. （L5强化）（原创）月球绕地球公转的周期与月球自转周期相同，约1个月时间，因此地球上的人永远看不见月球的背面，然而“嫦娥一号”却帮我们“看”到了.那么，绕月卫星要想在日照条件下拍下月球表面完整的系列照片，则A .需要大约一天时间C.需要大约一年时间B .需要大约一个月时间D .卫星轨道必须与月球赤道同平面6. （L5强化）已知地球半径为运动的角速度为30,在距地面R,—只静止在赤道上空的热气球（不计气球离地高度h高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球质量为）绕地心M ,热气球的质量为m,人造地球卫星的质量为m1,根据上述条件，有一位同学列出了以下两条式子:…一「， 一 Mm2-…丄口亠 -Mm 1 2…,对热气球有：G — =m 0R对人造卫星有： Gr=m 1 R+h R R+h 进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度 o •你认为该同学的解法是否正确？若认 为正确，请求出结果.若认为错误，请说明理由，并补充一个条件后，再求出 【参考答案】 强化闯关参考答案： 1 . BD 物体做曲线运动时，速度方向一定改变，即速度一定改变， 不变，若运动方向也不变，则是做直线运动， 变，不可能做曲线运动， c o. 直线上，则物体做曲线运动， 设水流速度为V 1,船速为 2. 则 A 错；物体运动的速率 B 正确；物体不受外力则加速度为零，速度不 C 项错；物体所受合外力恒定，若合外力方向与速度方向不在一条D 对. 由A 向B 运动时合速度为 V 2, V h1 ,由B 返回A 时合速度为V h2, 2s 2s s/v h1+s/v h2tV 2 cos +V 1 cos 60 = V h1 ② v 2 cos -v 1 cos60 = V h2 ③ v 2 sin =v 1 sin 60④联立①②③得v 2 cos④/⑤得 t —3- ⑥①10v 2 = 3■-_10 = 122+6.10 m/s = 6.4 m/scos的乘积，即 V=gt ， B B 平抛运动的速度V t = V ：+V ：项正确2 2 o+ gt , A 错;速度的改变量等于加速度与时间；位移 s= •, x 2+y 22.21 2 V o t + —gt21 2 1 2E k = mv t = mv 0+mgy 2 2 4. BC 小物块m 在A 点有向下的加速度 失重，在C 点有向上的加速度为超重， 对；小物块在 B 点时轨道支持力为向心力向右，因此地面摩擦力向右， 左，小物块在B 、D 两点对物体只有水平压力， B 对D 错.5. B 阳光将月球表面全部照亮一遍所需时间就是月球上的“一天” ，等于月球自转周期，因此要在日照条件下完整地拍下月球表面的系列照片， 至少需要月球上的 “一天”即地球上 的一个月的时间，AC 错B 对；若卫星轨道与赤道同平面，则月球的两极有“看”不到的地 方，要完成为一任务，卫星必须要经过高纬度的上空， D 错.6. 第一个式子（对热气球）不正确.1 2 二一 mV 0+ 2 2丄"1 gt 2 , D 错.A 错CD 点地面摩擦力向I=r速度应等于地球自转角速度. 解法参考如下：(1 )若补充地球表面的重力加速度 g 为已知，可以认为热气球受到的万有引力近似等于其式联立可得:此外若利用近地卫星运行的角速度也可求出重力，则有G 罟mg与第二个等式联列可得:(2)若补充同步卫星的离地高度H 为已知，有:(RMm?m°(R H )与第二个等(3)若补充第一宇宙速度v .为已知：Mm2m 也与第二个等式联立可得:RR R hR S。

第四章 曲线运动和万有引力§4.1 运动的合成和分解 平抛运动[知识要点]1、曲线运动（1）曲线运动的条件：合外力方向（或加速度方向）与速度方向不在一条直线上。

（2）曲线运动的特点及性质：曲线运动中质点的速度方向为某时刻曲线中这一点的切线方向，曲线运动一定是变速运动。

2、运动的合成和分解（1）已知分运动求合运动的过程叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程叫运动的分解。

（2）运动合成和分解的总原则：平行四边形定则（包括s 、v 、a 的合成和分解）。

运动的分解原则：根据实际效果分解或正交分解。

（3）运动合成和分解的特点：①等效性：几个分运动的总效果为合运动；某个运动（合运动）可以用几个分运动等效代替。

②独立性：各个分运动可以是不同性质的运动，且互不干扰，独立进行。

③等时性：合运动和分运动具有同时开始、同时结束的特性，物体运动的时间取决于具有某种约束的分运动，如平抛运动中物体下落的高度可能决定平抛运动的时间。

3、平抛运动（1）定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。

（2）性质：平抛运动是加速度a=g 的匀变速曲线运动。

（3）规律：以水平方向抛出速度V 0做匀速直线运动，v x =v 0 ,x=v 0t ；竖直方向做自由落体运动，v y =gt ，y=(1/2)gt 2。

（4）运动轨迹：由x= v 0t 和y=(1/2)gt 2得y=gx 2/2v 02，顶点为（0，0），开口向下的半支抛物线（x>0,y>0）。

【典型例题 】，[例1] 物体受到几个力的作用而处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能为（ ）A 、静止或匀速直线运动B 、匀变速直线运动C 、曲线运动D 、匀变速曲线运动 [例2] 某河宽d=100m ，水流速度为3m/s ，船在静水中的速度为4m/s ，问：（1）船渡河的最短时间多长？船的位移多大？（2）欲使船沿最短路径到达对岸，船应与河岸成多大的角度行驶？ 渡河时间多少？（3）若水流流速为4m/s ，船在静水中的速度为3m/s 时，欲使船沿最短路径到达对岸，船应与河岸成多大角度？ [例3] 在图所示的装置中，两个相同的弧形轨道M 、N ，分别用于发射小铁球P 、Q ；两轨道上端分别装有电磁铁C 、D ；调节电磁铁C 、D 的高度，使AC=BD ，从而保证小铁球P 、Q 在轨道出口处的水平初速度v 0相等。

易错笔记专题4 曲线运动万有引力大悟一中王志平要点笔记1．运动的合成与分解⑴合运动的性质和轨迹：由合初速度与合加速度的方向关系以及合加速度大小决定；⑵渡河问题讨论：垂直渡河，渡河时间最短的条件；⑶绳端物体速度的分解：将实际速度分解为沿绳伸长或缩短方向和垂直于绳绕滑轮转动的方向；2．物体做曲线运动的条件．平抛物体的运动规律．特别注意平抛运动是匀变速曲线运动， v且方向总在竖直方向上．速度的变化量=gt3．圆周运动⑴匀速圆周运动的描述：线速度，角速度，周期，向心加速度等；⑵圆周运动中向心力的特点：方向总指向圆心；只改变速度的方向；⑶竖直平面内圆周运动的临界问题：分轻绳、环形轨道内侧类，杆、环形管道类和凸形轨道类．4．万有引力定律，行星的运动．注意天体质量的测定的观测对象：一定是绕该天体运行的其它天体．5．人造卫星和宇宙飞船，三个宇宙速度及意义，卫星变轨问题．易错笔记易错类型一运动性质判断易错分析运动和力的关系在曲线运动中显得更复杂，如果不能深刻理解“物体是做直线运动还是做曲线运动，取决于所受合外力的方向与该时刻速度的方向关系”这一要点，正确判断物体的运动性质就是一句空话；加速度描述速度变化的快慢，包括速度大小的变化和方向的变化，不能正确理解加速度与速度以及加速度与运动的关系也是出错的重要原因．【典例1】下列关于运动和力的叙述中，正确的是A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心C．物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同【正确解答】C物体是否做曲线运动由合外力（或加速度）的方向与该时刻速度的方向是否在一条直线上来决定，“是”则为直线运动，“否”则为曲线运动，与加速度方向是否变化没有关系，加速度的方向变化一定是曲线运动，但曲线运动的加速度方向不一定变化，A错C对；只有做匀速圆周运动的物体所受合外力才指向圆心，B错；只要合力与速度方向成小于90°的角，物体运动速率就会增大，D错．【易错反思】认为加速度方向变化是做曲线运动的充分必要条件，则会错选A；审题时粗心大意，将“圆周运动”当成“匀速圆周运动”，或者对圆周运动的概念理解不透彻，则会错选B；对加速度概念理解不透彻，加速度与速度变化之间的关系不明确而错选D．【典例２】（原创）执行救灾任务的飞机水平匀速直线飞行，相隔0.5s先后释放形状和质量完全相同的两箱救灾物资1和2．假设空气阻力与物体速度成正比，这两箱物资在空中下落时，地面上的人可能看到的是A．1号箱不可能在2号箱的正下方B ．两箱的水平距离保持不变C ．两箱的水平距离先增大后不变D ．两箱的竖直距离一直增大【正确解答】BC 若沿着或逆着飞机飞行方向看，1号箱在2号箱的正下方且两箱水平距离为零，则A 错B 正确；由于2号箱后释放，释放时2号的水平速度比1号大，两箱水平距离增大，当两箱水平速度减小到零时空气阻力水平值为零，距离不变．同理竖直方向也是如此，C 正确D 错．【易错反思】受陈题的影响，没有审清“地面上的人可能看到的”可以有不同的观看角度这一隐含条件而错选A 和漏选B ；认为B 与C 项矛盾而只选其一也是漏选原因；对运动的独立性理解不够，因此对“假设空气阻力与物体速度成正比”注意到水平方向而遗漏了竖直方向，或者相反，因此错选D 项．易错类型二 运动的合成与分解易错分析⑴对运动的独立性理解不够，不能就单方向运用运动和力的关系判断物体的运动性质； ⑵对渡河问题、绳端速度的分解问题不理解分解方向的意义，将运动效果与力的作用效果混淆，采用了力的分解方法；⑶不能灵活运用正交分解法和三角形法则分析和解答临界问题和极值问题．【典例３】如图2-4-1所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力情况是A ．绳的拉力大于A 的重力B ．绳的拉力等于A 的重力C ．绳的拉力小于A 的重力D ．拉力先大于重力，后变为小于重力【正确解答】A 设某时刻汽车拉物体的绳子与水平方向成θ角，则汽车的速度分解如图2-4-2所示，物体A 的速度等于2v ，即2cos =θv v ，汽车向右运动时θ角减小，cos θ增大，物体A 的速度2v 增大，故物体加速上升，处于超重状态，绳子的拉力大于A 的重力，A 选项正确．【易错反思】认为汽车匀速运动则物体A 也匀速运动而错选B ；由于汽车速度的分解方向错误，如图2-4-3所示，得物体A 的速度2cos =/θv v 随θ的减小而减小，减速运动为失重而错选C ． 【典例４】（原创）民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔弛的马背上，弯弓放箭射向侧向的固定目标．假设运动员骑马奔弛的速度为v 1，运动员静止时射出的弓箭速度为v 2，直跑道离固定目标的最近距离为d ．要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则A ．运动员放箭处离目标的距离为1d v vB ．运动员放箭处离目标的距离为22122+d v v vC ．箭射到靶的最短时间为2d vD ．箭射到靶的最短时间为2221-v v图2-4-1 A v 图2-4-2 θ v 1v v 2 图2-4-3 θ v 1 vv 图2-4-4【正确解答】BC 运动员射出的箭实际对地速度是马奔驰的速度v 1与运动员静止时射出的箭的速度v 2的矢量和，如图2-4-5(a )所示，因此箭的运动时间2sin d t=θv ，要想箭在空中飞行时间最短，则sin 1=θ，即射出的箭的速度v 2与奔跑方向的夹角90=θ︒，箭射到靶的最短时间2d t=v ，C 对D 错；如图2-4-5(b )，则有运动员放箭处离目标的距离为()22212212d +s=d +t =v v v v ，A 错B 对． 【易错反思】考查的合成与分解，部分考生会因对“运动员放箭处离目标的距离”的理解错误而错选A ；对最短时间的判断和计算错误而错选D ．易错类型三 平抛物体的运动易错分析⑴没有熟练掌握平抛运动的基本规律，对分解计算的方法不理解；⑵对平抛运动的性质理解不透彻，由于分解计算的强化，加之审题不仔细导致对位移、速度等的计算仍按水平位移或竖直速度计算的错误；⑶不能灵活运用如初速度为零的匀加速运动、速度的变化量=gt ∆v 且方向总是竖直向下等特殊规律解答问题；【典例３】（原创）小球a 、b 以相同初速度0v 水平抛出，落地点到抛出点的水平距离分别为a b s s 、，且2a b s =s ，以a b h h 、分别表示两球抛出点到地面的高度，不计空气阻力，则A ．:1:3a b h h =B ．:4:1a b h h =C ．:3:1a b h h =D ．:2:1a b h h =【正确解答】B 由于两球抛出时初速度相等，且2a b s =s ，因此下落时间为2a b t =t ，由212h=gt 可得:4:1a b h h =，B 项正确． 【易错反思】在得出下落时间为2a b t =t 的结论后，直接由初速度为零的匀加速运动在连续相等时间内位移之比为1：3，错选A 或C ．【典例４】做平抛运动的物体，在落地前的最后一秒内，其速度方向由与水平方向成37°变为与竖直方向成45°，求物体抛出时的初速度和下落的高度．(g =10m/s 2)【正确解答】平抛运动的加速度恒定且为重力加速度g ，因此在任意时间内速度的改变量υ=gt ∆，其方向总是竖直向下的，如图2-4-6所示．由图可知：01cos37=︒v v ① 02cos 45=︒v v ②21sin 45sin 37=gt=υ-υ∆︒︒v ③联立解得：040m/s =v ④ 2040m/s y ==v v ⑤图2-4-5 υ1 △υ υ2 45° 37° 图2-4-622240m 80m 2210y h===g ⨯v ⑥ 【易错反思】不能正确理解“落地前的最后一秒内”的确切意义，画出如图所示的速度变化情景是审题的主要障碍，不能抓住水平速度不变的特点列出①②两式，不能灵活运用=gt ∆v 列出③式是计算中的主要出错点．易错类型四 圆周运动和综合问题易错分析⑴对向心力的概念理解不透彻，不能灵活分析向心力产生的效果对物体运动状态的影响； ⑵对竖直平面内圆周运动的三种临界条件的掌握和运用不准确，不熟练；⑶综合试题的审题【典例３】一小物块由某高处自由落下,从内壁粗糙的半球形碗边的A 点滑入碗内,，由于摩擦力的作用，在下滑过程中小物块的速率恰好保持不变，如图2-4-7所示．则在下滑过程中：（ ）A ．小物块所受合外力为零B ．小物块所受合外力越来越大C ．小物块所受合外力大小不变，方向时刻改变D ．小物块所受摩擦力大小不变【正确解答】C 匀速圆周运动的性质是变加速曲线运动，加速度大小不变，方向时刻改变，速度时刻也在变，故合力不可能为零，A 错；但由于物块速率不变做匀速圆周运动，所受合力大小不变，只是方向时刻改变，B 错C 对；对小物块进行受力分析得，同时受重力G ，曲面的支持力N ，摩擦力f 三个作用，f 始终垂直于N ，速度大小不变，可知摩擦力f 始终等于重力G 在切向的分力，通过受力分析可知，在物体下落到碗底之前所受摩擦力一直变小，D 错．【易错反思】将匀速圆周运动当作平衡状态而错选A ；用光滑圆轨道内小球的运动小球在最低点时向心力最大的结论直接选B ；不能对物块进行全面的受力分析和力的变化分析，不能换位思考“重力沿切向的分力总等于滑动摩擦力”，认为物块做匀速圆周运动时向心力大小恒定，并将此向心力当成轨道支持力N ，由摩擦定律不得f=N μ，因而判断摩擦力大小不变而错选D ．【典例４】（原创）飞机在高度为500m 的低空水平匀速飞行，在距目标水平距离2000m 处投弹，随即在水平面内以原速率做匀速圆周运动，准备返回，飞行员检测到飞机速度方向改变60°角时，看到炸弹恰好着地爆炸．(1)求飞机速度v ；(2)匀速圆周运动的加速度大小?【正确解答】（1）炸弹飞行时间为t ，则212h=gt , 22500s 10s 10h t===g ⨯ ① 炸弹做平抛运动的初速度 02000m/s 200m/s 10x===t v ② 即飞机的速度0200m/s =v =v ③(2)匀速圆周运动的轨道半径 326tR=T=t R=ππv v v ， ④A v图2-4-7向心加速度 222m/s 20.9m/s 3a===R tπv v ⑤ 【易错反思】不能将炸弹做平抛运动的时间与飞机做圆周运动的时间联系起来，认为飞机做圆周运动的半径未知，不能求出飞机的向心加速度是错误之一；求飞机圆周运动的周期时没有将60°角转换成3π计算，不能正确列出④式，即没有统一单位而出错，典型的错误算式为602260=T=t t T ππ，得． 易错类型五 万有引力定律、人造卫星和宇宙飞船易错分析⑴对天体质量和密度的测量，不明确观测对象：绕被测天体运行的其它天体；不清楚最佳观测量：距离r 和周期T ；⑵对三个宇宙速度及意义理解不透彻，不能区别“宇宙速度”与卫星的“运行速度”； ⑶对22Mm Mm G =ma G =mg r R，这两个基本公式及其变式，特别是对向心加速度a 的种种变式没有完全掌握，理解不透彻，运用不熟练；⑷不能正确建立变轨问题中的能量关系、运动和力的关系等，缺乏将能量关系同运动和力的关系综合起来进行推理判断的能力．【典例３】（原创）“嫦娥一号”在被月球俘获后也进行了几次变轨操作，最后一次变轨是从周期为3.5h 的椭圆轨道转移到周期为127min 的极月圆轨道，并于2007年12月4日传回了第一幅月球背面的照片．关于“嫦娥一号”的下列说法正确的是A ．拍摄月球背面的照片时间必须在农历每月15日左右，因为此时月球最圆最亮B ．卫星从椭圆轨道转移到圆轨道，必须在椭圆轨道的近月点启动发动机减速C ．卫星在圆轨道上的速度总小于在椭圆轨道上的速度D ．卫星在圆轨道上的速度大于在椭圆轨道上经过近月点时的速度【正确解答】B 当人们在农历15日看到月球最圆最亮时，其背面是月球的晚上，不便拍照，A 错；卫星周期减小，则轨道半径减小，须在近月点变轨，由于在椭圆轨道上经过近月点时的速度大于在圆轨道上的运行速度，故须在近月点减速，B 对D 错；卫星在椭圆轨道上运行时，经远月点的速度小于在圆轨道上的速度，在近月点的速度则大于在圆轨道上的速度，C 错．【易错反思】不清楚“月球背面”被太阳照亮的规律，认为地球上人看到的最圆最亮就是月球“最大”的时刻，也是最佳拍照的时刻而错选A ；对卫星在椭圆轨道上运行时的能量变体化与速度变化的关系不明确，或者对变轨原理不明确而错选CD ．【典例４】某卫星在赤道上空飞行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同．设地球的自转角速度为0ω，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下次通过该建筑物正上方所需的时间可能为（ ）A ．)(2032ωπ-r gR B ．)1(2023ωπ+gR r C ．232gR r π D 203()gR -r ω 【正确解答】AD 卫星所受地球万有引力等于其向心力，因此有22Mm G =m r r ω，又2Mm G =mg R ，解得23R g =rω0>ωω，则当P ω0ω φ地球转过ϕ角时卫星转过()2+ϕπ角，如图2-4-8所示，且02=t +=t ϕωϕπω，，解得A 项正确；若0<ωω，则解得D 正确；若0=ωω，则卫星时刻在该建筑物上方．【易错反思】选B 是计算错误；若把地球当作是静止不动的，则会错选C ；一般认为卫星的运行周期小于或等于地球自转周期，但实际上是可以大于地球自转周期的，因此容易漏选D 项．【强化闯关】1．（L1强化）（原创）下列运动能够发生的是A ．物体做曲线运动而速度可能不变B ．物体运动的速率不变面可能是做直线运动C ．物体不受外力而做曲线运动D ．物体所受合外力恒定而没有做直线运动2．（L2强化）一艘轮船到水流速为2m/s 的江中测试船速，设船速大小为一定值，在江中选两个浮标A ，B 之间为航线，AB 间的距离s =1200m ，水流速度方向跟AB 连线的夹角θ=60°，如图所示，测得船沿着AB 连线航行一个来回用时为400s ，求船速的大小．3．（L3强化）（原创）小球以初速度0v 水平抛出，用t v 表示小球某时刻的速度，∆v 表示小球速度的改变量，s 表示小球的位移的，k E 表示小球某时刻的动能，不计空气阻力，则下列各图的关系正确的是4．（L4强化）如图2-4-10所示，质量为M 的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m 的小滑块沿该圆形轨道在竖直平面内做圆周运动．A 、C 点为圆周的最高点和最低点，B 、D 点与圆心O 在同一水平线上．物体对地面的压力为N ，地面对物体的摩擦力为f ，小滑块运动时，物体在地面上静止不动．则下列说法正确的是A ．小滑块在A 点时，N ＞Mg ，f 方向向左B ．小滑块在B 点时，N =Mg ，f 方向向右C ．小滑块在C 点时，N > (M ＋m ）g ，f 为零D ．小滑块在D 点时，N = (M ＋m ）g ，f 方向向左5．（L5强化）（原创）月球绕地球公转的周期与月球自转周期相同，约1个月时间，因此地球上的人永远看不见月球的背面，然而“嫦娥一号”却帮我们“看”到了．那么，绕月卫星要想在日照条件下拍下月球表面完整的系列照片，则A ．需要大约一天时间B ．需要大约一个月时间C ．需要大约一年时间D ．卫星轨道必须与月球赤道同平面6．（L5强化）已知地球半径为R ，—只静止在赤道上空的热气球(不计气球离地高度)绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h 高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球质量为M ，热气球的质量为m ，人造地球卫星的质量为m 1，根据上述条件，有一位同学列出了以下两条式子： t t v A Ot ∆v B Ot s C OtkE D O 图2-4-9 图2-4-10对热气球有：202Mm G =m R R ω 对人造卫星有：()()2112Mm G =m R+h R+h ω 进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω．你认为该同学的解法是否正确？若认为正确，请求出结果．若认为错误，请说明理由，并补充一个条件后，再求出ω．【参考答案】强化闯关参考答案：1．BD 物体做曲线运动时，速度方向一定改变，即速度一定改变，A 错；物体运动的速率不变，若运动方向也不变，则是做直线运动，B 正确；物体不受外力则加速度为零，速度不变，不可能做曲线运动，C 项错；物体所受合外力恒定，若合外力方向与速度方向不在一条直线上，则物体做曲线运动，D 对．2．设水流速度为v 1，船速为v 2，由A 向B 运动时合速度为v h 1，由B 返回A 时合速度为v h 2，则1222h h s s =s/+s/t v v ① 211cos cos 60h +=θ︒v v v ② 212cos cos 60h -=θ︒v v v ③ 21sin sin 60=θ︒v v ④联立①②③得2cos 3=θv ⑤④/⑤得tan θ ⑥2 6.4m/s =v ⑦ 3．B平抛运动的速度t v A 错；速度的改变量等于加速度与时间的乘积，即=gt ∆v ，B 项正确；位移，C 错；2201122k t E =m =m +mgy v v ()2201122=m +m gt v ，D 错． 4．BC 小物块m 在A 点有向下的加速度 失重，在C 点有向上的加速度为超重，A 错C 对；小物块在B 点时轨道支持力为向心力向右，因此地面摩擦力向右，D 点地面摩擦力向左，小物块在B 、D 两点对物体只有水平压力，B 对D 错．5．B 阳光将月球表面全部照亮一遍所需时间就是月球上的“一天”，等于月球自转周期，因此要在日照条件下完整地拍下月球表面的系列照片，至少需要月球上的“一天”即地球上的一个月的时间，AC 错B 对；若卫星轨道与赤道同平面，则月球的两极有“看”不到的地方，要完成为一任务，卫星必须要经过高纬度的上空，D 错．6．第一个式子（对热气球）不正确．因为热气球不同于人造卫星，热气球静止在空中是因为浮力与重力平衡，它绕地心运动的角1 图2-4-11速度应等于地球自转角速度．解法参考如下：（1）若补充地球表面的重力加速度g 为已知，可以认为热气球受到的万有引力近似等于其重力，则有2Mm G mg R==与第二个等式联列可得：ω=（2）若补充同步卫星的离地高度H 为已知,有：202()()Mm G m R H R H ω''==++与第二个等式联立可得：320()R H R hωω+=+ （3）若补充第一宇宙速度1v 为已知：有212Mm G m R R''=v 与第二个等式联立可得：ω=v 此外若利用近地卫星运行的角速度也可求出ω．。

曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。

）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：0xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gty=得gyt2=（由下落的高度y决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。

6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。

）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gty=得gyt2=（由下落的高度y决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。

6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

专题04 曲线运动、万有引力与航天目录第一节曲线运动运动的合成与分解 (2)【基本概念、规律】 (2)【重要考点归纳】 (2)考点一对曲线运动规律的理解 (2)考点二运动的合成及合运动性质的判断 (2)【思想方法与技巧】 (3)两种运动的合成与分解实例 (3)第二节抛体运动 (4)【基本概念、规律】 (4)【重要考点归纳】 (5)考点一平抛运动的基本规律及应用 (5)考点二与斜面相关联的平抛运动 (6)考点三与圆轨道关联的平抛运动 (6)第三节圆周运动 (7)【基本概念、规律】 (7)【重要考点归纳】 (8)考点一水平面内的圆周运动 (8)考点二竖直面内的圆周运动 (8)考点三圆周运动的综合问题 (8)【思想方法与技巧】 (9)竖直平面内圆周运动的“轻杆、轻绳”模型 (9)第四节万有引力与航天 (10)【基本概念、规律】 (10)【重要考点归纳】 (11)考点一天体质量和密度的估算 (11)考点二卫星运行参量的比较与运算 (11)考点三卫星(航天器)的变轨问题 (12)考点四宇宙速度的理解与计算 (13)【思想方法与技巧】 (13)双星系统模型 (13)求极值的六种方法 (14)第一节曲线运动运动的合成与分解【基本概念、规律】一、曲线运动1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．3．曲线运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．二、运动的合成与分解1．运算法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．2．合运动和分运动的关系(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等．(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．【重要考点归纳】考点一对曲线运动规律的理解1．曲线运动的分类及特点(1)匀变速曲线运动：合力(加速度)恒定不变．(2)变加速曲线运动：合力(加速度)变化．2．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．3．速率变化情况判断(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，速率增大；(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，速率减小；(3)当合力方向与速度方向垂直时，速率不变．考点二运动的合成及合运动性质的判断1．运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．2．合运动的性质判断⎩⎨⎧加速度或合外力⎩⎪⎨⎪⎧变化：变加速运动不变：匀变速运动加速度或合外力与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动3．两个直线运动的合运动性质的判断4.成运算．【思想方法与技巧】两种运动的合成与分解实例一、小船渡河模型 1．模型特点两个分运动和合运动都是匀速直线运动，其中一个分运动的速度大小、方向都不变，另一分运动的速度大小不变，研究其速度方向不同时对合运动的影响．这样的运动系统可看做小船渡河模型．2．模型分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)． (3)两个极值①过河时间最短：v 1⊥v 2，t min ＝dv 1(d 为河宽)．②过河位移最小：v ⊥v 2(前提v 1＞v 2)，如图甲所示，此时x min ＝d ，船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1；v 1⊥v (前提v 1＜v 2)，如图乙所示．过河最小位移为x min ＝d sin α＝v 2v 1d .3.求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．无论哪类都必须明确以下三点：(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，在船的航行方向也就是船头指向方向的运动，是分运动；船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解． (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关． 二、绳(杆)端速度分解模型 1．模型特点绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．2．模型分析(1)合运动→绳拉物体的实际运动速度v(2)分运动→⎩⎪⎨⎪⎧其一：沿绳或杆的分速度v 1其二：与绳或杆垂直的分速度v 2(3)关系：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等． 3.解决绳(杆)端速度分解问题的技巧(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度； (2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解；(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．第二节 抛体运动【基本概念、规律】 一、平抛运动1．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．2．规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，以竖直向下的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则(1)水平方向：做匀速直线运动，速度：v x ＝v 0，位移：x ＝v 0t . (2)竖直方向：做自由落体运动，速度：v y ＝gt ，位移：y ＝12gt 2.(3)合运动①合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝v y v 0＝gt v 0. ②合位移：x 合＝x 2＋y 2，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝yx ＝gt2v 0.二、斜抛运动 1．性质加速度为g 的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线．2．规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)(1)水平方向：做匀速直线运动，v x ＝v 0cos θ. (2)竖直方向：做竖直上抛运动，v y ＝v 0sin θ－gt . 【重要考点归纳】考点一 平抛运动的基本规律及应用1．飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关． 2．水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关．3．落地速度：v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan θ＝v yv x＝2ghv 0，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关．4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．5．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A 点和B 点所示．(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.6.“化曲为直”思想在抛体运动中的应用(1)根据等效性，利用运动分解的方法，将其转化为两个方向上的直线运动，在这两个方向上分别求解． (2)运用运动合成的方法求出平抛运动的速度、位移等．考点二 与斜面相关联的平抛运动1.斜面上的平抛问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：速度方向与关，分解速度，构速度方向与关，分解速度，构位移方向与关，分解位移，构2.(1)从斜面上某点抛出又落到斜面上，位移与水平方向夹角等于斜面倾角； (2)从斜面外抛出的物体落到斜面上，注意找速度方向与斜面倾角的关系． 考点三 与圆轨道关联的平抛运动在竖直半圆内进行平抛时，圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约．画出落点相对圆心的位置，利用几何关系和平抛运动规律求解． 平抛运动的临界问题(1)在解决临界和极值问题时，正确找出临界条件(点)是解题关键．(2)对于平抛运动，已知平抛点高度，又已知初速度和水平距离时，要进行平抛运动时间的判断，即比较t 1＝2h g 与t 2＝xv 0，平抛运动时间取t 1、t 2的小者．(3)本题中，两发子弹不可能打到靶上同一点的说明： 若打到靶上同一点，则子弹平抛运动时间相同， 即t ＝Lv 0＋v ＝L －90v，L ＝3 690 m ，t ＝4.5 s ＞2hg＝0.6 s ，即子弹0.6 s 后就已经打到地上．第三节 圆周运动【基本概念、规律】一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周运动的快慢，v ＝Δs Δt ＝2πrT .2．角速度：描述物体转动的快慢，ω＝ΔθΔt ＝2πT .3．周期和频率：描述物体转动的快慢，T ＝2πr v ，T ＝1f.4．向心加速度：描述线速度方向变化的快慢．a n ＝r ω2＝v 2r ＝ωv ＝4π2T2r .5．向心力：作用效果产生向心加速度，F n ＝ma n . 二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较1．定义：做圆周运动的物体，在合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．2．供需关系与运动如图所示，F 为实际提供的向心力，则 (1)当F ＝m ω2r 时，物体做匀速圆周运动； (2)当F ＝0时，物体沿切线方向飞出； (3)当F <m ω2r 时，物体逐渐远离圆心； (4)当F >m ω2r 时，物体逐渐靠近圆心． 【重要考点归纳】考点一 水平面内的圆周运动1．运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等．2．重力对向心力没有贡献，向心力一般来自弹力、摩擦力或电磁力．向心力的方向水平，竖直方向的合力为零．3．涉及静摩擦力时，常出现临界和极值问题．4.水平面内的匀速圆周运动的解题方法(1)对研究对象受力分析，确定向心力的来源，涉及临界问题时，确定临界条件；(2)确定圆周运动的圆心和半径；(3)应用相关力学规律列方程求解．考点二竖直面内的圆周运动1．物体在竖直平面内的圆周运动有匀速圆周运动和变速圆周运动两种．2．只有重力做功的竖直面内的圆周运动一定是变速圆周运动，遵守机械能守恒．3．竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题．4．一般情况下，竖直面内的变速圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形．考点三圆周运动的综合问题圆周运动常与平抛(类平抛)运动、匀变速直线运动等组合而成为多过程问题，除应用各自的运动规律外，还要结合功能关系进行求解．解答时应从下列两点入手：1．分析转变点：分析哪些物理量突变，哪些物理量不变，特别是转变点前后的速度关系．2．分析每个运动过程的受力情况和运动性质，明确遵守的规律．3.平抛运动与圆周运动的组合题，用平抛运动的规律求解平抛运动问题，用牛顿定律求解圆周运动问题，关键是找到两者的速度关系．若先做圆周运动后做平抛运动，则圆周运动的末速等于平抛运动的水平初速；若物体平抛后进入圆轨道，圆周运动的初速等于平抛末速在圆切线方向的分速度．【思想方法与技巧】竖直平面内圆周运动的“轻杆、轻绳”模型1．模型特点在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．2．模型分析绳、杆模型常涉及临界问题，分析如下：过最高点的23.(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体．(2)确定临界点：v 临＝gr ，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F N 表现为支持力还是拉力的临界点．(3)定规律：用牛顿第二定律列方程求解．第四节 万有引力与航天【基本概念、规律】 一、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．公式：F ＝Gm 1m 2r2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2. 3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，其中r 是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离．二、宇宙速度三、经典力学的时空观和相对论时空观1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的． 2．相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同． 3．经典力学的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界． 【重要考点归纳】考点一 天体质量和密度的估算1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G MmR2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)． 2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．3.(1)利用圆周运动模型，只能估算中心天体质量，而不能估算环绕天体质量．(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ：只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径．考点二卫星运行参量的比较与运算1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2．卫星运动中的机械能(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心天体)的引力势能．(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星、近地卫星和同步卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3)同步卫星①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s.③角速度一定：与地球自转的角速度相同．④高度一定：卫星离地面高度h＝3.6×104 km.⑤速率一定：运动速度v＝3.07 km/s(为恒量)．⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致．考点三卫星(航天器)的变轨问题1．轨道的渐变做匀速圆周运动的卫星的轨道半径发生缓慢变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动．解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径r是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化．2．轨道的突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．(1)当卫星的速度突然增加时，G Mmr2＜mv2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r可知其运行速度比原轨道时减小． (2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2＞m v 2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理．不论是轨道的渐变还是突变，都将涉及功和能量问题，对卫星做正功，卫星机械能增大，由低轨道进入高轨道；对卫星做负功，卫星机械能减小，由高轨道进入低轨道．考点四 宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的求法： (1)GMm R 2＝m v 21R ，所以v 1＝GM R. (2)mg ＝mv 21R，所以v 1＝gR . 【思想方法与技巧】双星系统模型1．模型特点(1)两颗星彼此相距较近，且间距保持不变．(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动．2．模型分析(1)双星运动的周期和角速度相等，各以一定的速率绕某一点转动，才不至于因万有引力作用而吸在一起．(2)双星做匀速圆周运动的向心力大小相等，方向相反．(3)双星绕共同的中心做圆周运动时总是位于旋转中心的两侧，且三者在一条直线上．(4)双星轨道半径之和等于它们之间的距离．3.(1)解决双星问题时，应注意区分星体间距与轨道半径：万有引力定律中的r 为两星体间距离，向心力公式中的r 为所研究星球做圆周运动的轨道半径．(2)宇宙空间大量存在这样的双星系统，如地月系统就可视为一个双星系统，只不过旋转中心没有出地壳而已，在不是很精确的计算中，可以认为月球绕着地球的中心旋转求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐.下面介绍极值问题的六种求解方法.一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．二、二次函数极值法对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a ，当a ＜0时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a .也可以采取配方法求解．三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．五、均值不等式法任意两个正整数a 、b ，若a ＋b ＝恒量，当a ＝b 时，其乘积a ·b 最大；若a ·b ＝恒量，当a ＝b 时，其和a ＋b 最小．六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．。

高考物理专题——曲线运动万有引力二、重点剖析：1、理解曲线运动的条件运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

2、理解运动的合成与分解（1）运动的合成与分解的四性：分运动的独立性；运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；运动的等时性；运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。

）4.理解圆周运动的规律(1)两种模型：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

(2) 描述匀速圆周运动的各物理量间的关系（3）竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类：①弹力只可能向下，如绳拉球。

②弹力只可能向上，特例如车过桥。

③弹力既可能向上又可能向下，如管内转球（或杆连球、环穿珠）。

弹力可取任意值。

但可以进一步讨论：当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。

当弹力大小F<mg时，向心力有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。

5.理解万有引力定律（1）万有引力定律：适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。

（2）万有引力定律的应用①万有引力近似等于重力：讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况：物体的重力近似为地球对物体的引力，即。

所以重力加速度，可见，g随h的增大而减小。

②万有引力提供向心力：求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。

○3求解卫星的有关问题：根据万有引力等于三、考点透视考点1：理解曲线运动的条件例1. 在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车。

曲线运动万有引力曲线运动：知识要点：1、独立性原理：①力的独立作用原理：几个力同时作用在一个物体上，如果所有的力或其中几个力各自都使物体产生相应的加速度，每个力产生的加速度恰好和其余的力不存在时一样。

②运动的独立性原理：一个物体同时参加两个或更多的运动，这些运动都具有独立性，其中的任何一个运动并不因为有另一个运动的存在而有所改变，合运动就是这些相互独立运动的迭加。

独立性原理是解决曲线运动问题的理论基础和处理方法的依据。

2、做曲线运动物体的速度特点，由于质点在某一点（或某一时刻）的即时速度方向在曲线这一点的切线上，所以曲线运动的速度方向是时刻改变的。

即曲线运动一定是变速运动。

（1）物体做曲线运动由于速度是变化的，所以曲线运动是变速运动，有加速度，合外力不为零，且合外务方向必与速度方向有夹角θ，（θθ180）这是物体做曲<<︒线运动的条件。

（2）研究曲线运动的方法是运动的合成。

平抛运动是水平方向的均速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。

a g=恒定，平抛运动是匀变速曲线运动。

3、物体做曲线运动的条件。

物体做匀速圆周运动必须具备两个条件：一是有初速度；二是其所受合力大小不变，方向始终与速度方向垂直而指向圆心。

由于物体所受合力大小不变，方向改变，指向圆心，称之向心力，则物体加速度大小不变avRm RRTR n====22222244ωππ··，方向改变，指向圆心，称之向心加速度，其作用是只改变线速度方向，不能改变线速度大小。

由于加速度不恒定，所以匀速圆周运动是非匀变速曲线运动。

星体运动是匀速圆周运动的特例。

是星体间的万有引力“充当”圆运动的向心力。

如果物体合外力的方向与物体的速度方向一致，根据牛顿第二定律，其加速度方向也必然与速度方向一致。

即这种情况下的合外力只改变物体运动速度的大小而不改变物体的运动方向。

如果物体所受合外力方向与物体速度方向垂直，则其加速度方向也与速度方向垂直，此时合外力只改变物体速度的方向而不改变速度的大小。

【高考复习】高考物理考点分类解析：曲线运动万有引力1.曲线运动（1）物体弯曲运动的条件：作用在运动粒子上的合力（或加速度）的方向与其速度方向不在同一条直线上。

（2）曲线运动的特点：质点在某一点的速度方向是通过该点的曲线的切线方向，质点的速度方向一直在变化，因此曲线运动必须是变速运动（3）曲线运动的轨迹:做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等.2.运动的合成和分解（1）合运动与分运动的关系:①等时性;②独立性;③等效性.（2）运动的合成和分解定律：平行四边形法则（3）分解原则:根据运动的实际效果分解，物体的实际运动为合运动.3.★★★ 水平投掷运动（1）特点:①具有水平方向的初速度;②只受重力作用，是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动.（2）运动规律：水平投掷运动可分为水平方向的匀速直线运动和垂直方向的自由落体运动①建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点o，以初速度vo方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）;② 它由两个部件的运动规律来处理（如右图所示）4.圆周运动（1）描述圆周运动的物理量①线速度:描述质点做圆周运动的快慢，大小v=s/t（s是t时间内通过弧长），方向为质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向② 角速度：描述粒子围绕圆心旋转的速度和大小ω=φ/T（以rad/s为单位），φ是连接粒子和圆心的半径在T时间内旋转的角度，其方向在中学没有研究过③周期t，频率f---------做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.圆周运动的物体在单位时间内围绕圆心旋转的次数称为频率⑥向心力:总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小.大小［注意］向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力.（2）匀速圆周运动：线速度恒定，角速度、周期和频率恒定，向心加速度和向心力也恒定。

曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。

）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3．匀变速运动： 加速度（大小和方向）不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F 2改变速度的大小，沿径向的分力F 1改变速度的方向。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1． 速度：0x yv v v gt =⎧⎨=⎩ 合速度:22y x v v v +=方向：oxy v gt v v ==θtan 2．位移0212x v t y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：x =合 方向：ov gtx y 21tan ==α 3．时间由:221gt y =得 gyt 2=（由下落的高度y 决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。

曲线运动+万有引力定律知识点总结曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。

）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gt y =得 g y t 2=（由下落的高度y 决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。

一、曲线运动1．曲线运动的条件和特点2.合力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧．3．研究曲线运动的方法——运动的合成与分解(1)合运动与分运动的性质①独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动的规律相互独立，作用效果互不干扰．②等时性：一个物体同时参与几个分运动，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时停止，即经历的时间相同．③等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代．(2)运动的合成、分解遵循的法则对运动进行合成和分解，实际上就是对描述运动的物理量，即速度、加速度和位移进行合成和分解，因为它们都是矢量，因此运动的合成和分解遵循矢量运算法则，即平行四边形定则． 二、平抛运动1．平抛运动的性质及研究方法(1)运动性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量相同，Δv ＝Δv y ＝g Δt ，方向竖直向下．(2)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动． 2．平抛运动的规律如图所示，一物体从距地面高h 处的O 点以水平初速度v 0抛出，做平抛运动．t 时刻到达A 点，此处的速度偏角为θ，位移偏角为α.落地点为B ，落地速度与水平方向夹角为β.根据此情景，讨论平抛运动的规律如下：(1)位移关系：x A ＝v 0t ，y A ＝12gt 2，s A ＝x 2A ＋y 2A，位移偏角α满足tan α＝y A x A ＝gt 2v 0. (2)速度关系：v x ＝v 0，v y ＝gt ，v A ＝v 2x ＋v 2y ，速度偏角θ满足tan θ＝v y 0＝gt 0.(3)平抛运动中两个常用的结论①由位移偏角与速度偏角的表达式可以看出：做平抛运动的物体，在任一位置速度偏角θ与位移偏角α的关系为tan θ＝2tan α.②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即x 0＝x A2.推导过程如下：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝y Ax A －x 0tan α＝y Ax A――→tan θ＝2tan αx 0＝x A2 三、斜抛运动的规律斜抛运动的处理方法与平抛运动相似，都是利用运动的合成与分解，不同的是斜抛物体在竖直方向的初速度不为零．如图所示，设斜抛的初速度为v 0，抛出时的方向与水平方向的夹角为θ.可分解为在水平方向上的速度v 0x ＝v 0cos θ的匀速直线运动，在竖直方向上的初速度v 0y ＝v 0sin θ的竖直上抛运动． (1)速度：vx ＝v 0x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ－gt ；(2)位移：x ＝v 0cos θ·t ，y ＝v 0sin θ·t －12gt 2；(3)射高：H ＝v 20y 2g ＝（v 0sin θ）22g；(4)射程：s ＝v 0x t ＝v 0cos θ·2v 0sin θg ＝v 20sin 2θg.四、圆周运动1．描述圆周运动的物理量及关系(1)向心加速度a 、线速度v 、角速度ω、半径r 、周期T 、转速n ，它们之间的关系为v ＝ωr ，ω＝2πT ，T ＝1n ，a ＝v 2r .因此，这6个物理量之间环环相扣，一般用连等式表示：a ＝v 2r ＝ω2r ＝ωv ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝(2πn )2r .(2)传动装置的两种典型模型描述圆周运动的状态参量较多，而“传动装置问题”集中反映了各物理量的特点和制约关系．在分析传动装置中各物理量的关系时，要善于抓住对应模型的等量关系，从而建立不等量之间的关系．①同轴传动：绕同一转轴转动的物体上的各点角速度ω相同，线速度v ＝ωr ，与半径r 成正比；向心加速度a ＝ω2r ，与r 成正比．②皮带传动：当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据ω＝v r 、a ＝v 2r 确定． 2．匀速圆周运动 (1)特点②所受合外力全部提供向心力．(2)条件：初速度不为零，合外力大小不变，方向始终与速度垂直．(3)向心力：F ＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r .方向总指向圆心，时刻变化，是变力． 3．向心力与合力的关系 (1)匀速圆周运动⇒⎩⎨⎧①F 合指向圆心，完全充当向心力；②F 合只改变线速度的方向，不改变线速度的大小.(2)变速圆周运动五、两类典型曲线运动的分析方法比较1．对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”．x 轴方向：x ＝v 0t ，v x ＝v 0；y 轴方向：y ＝12gt 2，v y ＝gt .2．对于匀速圆周运动这类“非匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解力和加速度”．切向：F 切＝ma 切＝0；法向：F 法＝F 向＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝m v ω. 六、万有引力与航天 1．开普勒三定律注意：开普勒第三定律中的k 由中心天体决定，与环绕天体无关．若将椭圆轨道按圆轨道处理，则行星绕太阳做匀速圆周运动，a 为圆轨道的半径r ，即r 3T 2＝k . 2．万有引力定律的基本应用(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．(2)解决天体圆周运动问题的两条思路①在地面附近万有引力近似等于物体的重力(常用于“地上”问题，如赤道上的物体)，即G MmR 2＝mg ，整理得GM ＝gR 2(被称为黄金代换式)．利用此关系式可求得行星表面的重力加速度g ＝GMR 2.②天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供(常用于“天上”问题，如卫星)，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝ma . 3．万有引力与重力的区别与联系地球对物体的万有引力F 表示为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．(1)在赤道上：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上：G MmR 2＝mg 2.(3)在一般位置：万有引力G MmR 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南北两极g 值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为重力和万有引力近似相等，即GMmR 2＝mg . 4.人造地球卫星 (1)三种宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)：在人造卫星的发射过程中火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到贴近地面的轨道上运行的速度．故有：G MmR 2＝m v 21R ，v 1＝GM R ＝7.9 km/s ，或mg ＝m v 21R ，v 1＝Rg ＝7.9 km/s.注意：第一宇宙速度的两个表达式，不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M 、R 、g 是相应星球的质量、半径和表面的重力加速度．若7.9 km/s ≤v ＜11.2 km/s ，物体绕地球运行．第二宇宙速度(脱离速度)：物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s ≤v ＜16.7 km/s ，物体绕太阳运行．第三宇宙速度(逃逸速度)：物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km/s ，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行． (2)卫星的运行参量卫星绕地球的运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，类比行星绕太阳的运动规律，同样可得：G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝ma ，可推导出：⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫v ＝GMrω＝GMr3T ＝4π2r3GM a ＝GM r 2⎩⎨⎧⎭⎬⎫v 减小ω减小T 增大a 减小⇒越高越慢 (3)同步卫星的特点①轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面； ②运行方向一定：自西向东与地球自转同步； ③周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ；④高度一定：由G Mm（R ＋h ）2＝m 4π2T 2(R ＋h )，得同步卫星离地面的高度h ＝3GMT 24π2－R ＝3.6×107m. 由同步卫星的周期T 和高度h 一定，还可以推导出同步卫星的运行速率v 、角速度ω，向心加速度a 也是确定的．但是，由于不同的同步卫星的质量不同，受到的万有引力不同．。