算术平方根-公开课共19页

二次方程在实际问题中的应用
01
02
03
04
面积问题
通过二次方程可以求解一些与 面积相关的问题，例如求解矩 形、三角形、梯形等的面积。
利润问题
在商业活动中，经常需要计算 利润和成本等问题，这些问题 可以通过建立二次方程进行求 解。
行程问题
在物理和数学问题中，经常涉 及到速度、时间和距离等概念 ，这些问题可以通过建立二次 方程进行求解。
其他问题
除了以上几种类型的问题外， 二次方程还可以应用于其他领 域的问题求解，例如金融、工 程、科学计算等。
06
课程总结与拓展
课程重点与难点回顾
1 2
平方根的定义和性质
回顾平方根的定义，强调正数有两个平方根，它 们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 。
平方根的运算
总结平方根的运算法则，包括平方根与乘除、加 减运算的结合，以及分母有理化的方法。
计算圆的面积
已知圆的半径，利用平方 根和π计算面积。
勾股定理的应用
求解直角三角形
已知直角三角形两条边， 利用勾股定理和平方根求 解第三条边。
计算两点间距离
在平面直角坐标系中，已 知两点坐标，利用勾股定 理和平方根计算两点间距 离。
判断三角形形状
已知三角形三边长度，利 用勾股定理和平方根判断 三角形是否为直角三角形 。
平方根的性质
正实数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数 没有平方根。
平方根在数学中的应用
解方程
平方根在解一元二次方程时起到关键作用，通过开 平方可以求得方程的解。
几何应用
在几何学中，平方根用于计算长度、面积和体积等 ，如勾股定理中的边长计算。
数学建模

3.(1,4), (2,4),
(2,5), (1,5), (1,4);
4.(4,4), (5,4),(5,5), (4,5), (4,4); 5.(3,3).
y
8 6 4 2
o
2

6
8
x
观察所得的图形，你觉得它像什么? 【解析】答案不唯一,可以说像“猫脸”等
【例题】
【例2】如图是某市旅游景点的示意图. （1）“大成殿”在“中心广场”的
C．7
D．－7
【解析】选Ｃ.由算术平方根的意义与平方的意义可得，
ｘ＋ｙ-１＝０，ｙ+３=０，解得ｘ＝4，ｙ＝-3，所以
x-y＝７.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根. 2.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，
0.36 0.6.
（4） 16 4 ，所以 16 的算术平方根是2.
4.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
5; 3; 3;
答：有意义的是
3
3.
2
.
5 3
3
2
,
无意义的是
【例题】
【例2】用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面
积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
C
3
4
x
【解析】A(0,2 3 ) B(-2,0) C(2,0)
–3 –4
3.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2） 和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4， 4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？ y
5 4 3 2 1

√0.0625 √6.25 √ 625 √62500
0.25
2.5
25
250
规律：被开放数小数点向左（你右）知移道动吗两？位，
算术平方根的小数点向左（右）移动一位。
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/222021/10/222021/10/2210/22/2021 5:42:34 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/222021/10/222021/10/2210/22/2021
回
头
一
看 ，
我有哪些收获呢？
我
想
说 与大家共分享！
…
五、巩固反馈
• 高效课堂P22当堂检测1-5题。
作业
复习巩固作业：高效12 课堂当堂检测6-8题。 预习作业：阅读教材44——46页：平方根， 完成高效课堂P23页预习导学部分。
三、分层提高
先独立思考，
再与你的师
父交流
4、 小丽想用一块面积为400CM2的正
方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积
为300CM2的长方形纸片，使它的长宽之
比为3：2，小丽能用这块纸片裁出符合
要求的纸片吗？
你知道吗？
三、分层提高
先独立思考， 再与你的师
父交流
5、会用计算器求下列数的算术平方根，寻找 被开放数随着小数点移动，算术平方根的变化 规律。
2、预习例1，会求一个数的算术平方根

学生在小学阶段、七年级上册
《有理数》的学习，对平方运算
有一定的认识，这为过渡到本节
内容的学习起到了铺垫的作用。
《
》
教学学法
教学内
容分析
教师：启发式、讨论式
学生：独立思考、探究合作交流
教学目
标设置
学生学
情分析
教学策
略分析
教学过
程解说
预备知识
有理数运算法则、几何图形初步。
教学道具
剪刀、两块1dm²的正方形纸片
方根的书写格式。
《
》
四、探究 大小
教学内
容分析
教学目
标设置
学生学
情分析
教学策
略分析
教学过
程解说
。
通过合作探究，根
据不等式性质得到
的范围。
《
》
五、检测小结
教学内
容分析
教学目
标设置
学生学
情分析
教学策
略分析
教学过
程解说
检测本节课目标达
成情况。
《
》
五、检测小结
教学内
容分析
教学目
标设置
学生学
情分析
方根》的第1课时的学习内容，
它为后续学习无理数，数集
的扩充以及二次根式的学习
奠定基础，在教材中起到承
上启下的作用。
《
教学内
容分析
教学目
标设置
学生学
情分析
教学策
略分析
教学过
程解说
目
标
知识目标
体会“ ”已知正方形面积求边
长和已知边长求面积”的互逆过
程，理解算术平方根的概念。

取多少？ 5分米
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
小欧还要准备一些面积如下的正方形画布， 请你帮他把这些正方形的边长都算出来：
正方形 1
9
16
36
4/25
面积
dm2
正方形 1
3
4
6
2/5
边长dm
概念引入 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 象5 =2 25, 那么5叫做25的算术平方
4、若m的算术平方根是3，则m= 9 。
5、16的算术平方根是x，那么x的算术平方根
是2 。
6、一个整数的算术平方根a，则比这个整数大6的数
是 a2+6 。
7、若 x22 ，则2x+5的算术平方根
是3
。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、 乘方这五种运算。
在这五种运算中哪些是逆运算呢? ★加法与减法互为逆运算； ★乘法与除法互为逆运算； ★那么乘方与谁互为逆运算呢？
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
思维拓展
(1)要做一个面积为2平方米的正方形桌面, 它的边长为多少?

学生的基础知识。
01Biblioteka 1. 判断题：下列哪个数是无理
数（）。
02
A. $sqrt{4}$ B. $sqrt{2}$ C.
$sqrt{3}$ D. $-sqrt{2}$
03
2. 选择题：下列哪个数的平方 是16？
04
A. 4 B. -4 C. $pm 4$ D. $sqrt{16}$
05
3. 填空题：$sqrt{9} =$____，
THANKS
感谢观看
平方根的符号
在数学中，平方根用符号"√"表示 。例如，4的平方根可以表示为 √4=2。
平方根的表示方法
代数表示法
对于非负实数a，其平方根可以表示 为sqrt(a)。例如，sqrt(4)=2。
几何表示法
在数轴上，一个数的平方根表示该数 在数轴上到原点的距离。例如，4的平 方根表示数轴上到原点距离为2的点。
教学目标
01
02
03
知识目标
理解平方根的概念，掌握 平方根的性质和运算方法 。
能力目标
能够运用平方根解决实际 问题，培养学生的数学思 维能力和探究能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，树立正确的数学观 念和科学精神。
02
平方根的基本概念
平方根的定义
平方根的定义
如果一个数的平方等于给定的数 ，则这个数称为给定数的平方根 。例如，4的平方根是2，因为 2^2=4。
为2x2=4。
开平方的方法
通过不断地尝试和调整，找到一 个数的平方根。例如，求9的平 方根，可以尝试2、3、4...等数 字，发现3x3=9，所以9的平方
根是3。
平方根的性质

解：由题意可知：ຫໍສະໝຸດ 3a-b-7=0 得： a=2
2a+b-3=0
b=－1
∴ （b+a）a=（－1+2）2=1
∴它的平方根是±1
自我测试：
（1）（-5）2的平方根是 ±5 ，算术平方根 是5 ；
（2） 16 的平方根是 ±2，算术平方 根是 2`
（3）若x2=9，则 x= ±3 ，若 x2 =3，则 x= ±3 ；
（4）已知 x有意义,则x一定是 非正数.
（5）若一个数的一个平方根为-7，则另一个 平方根为 7 ，这个数是 49 。
（6）若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1，
则a= ，这1个正数为
； 16
（7）平方根等于本身的数是 0 ，
算术平方根等于它本身的数是 0、1 ， 算术平方根和平方根相等的数是 0 ；
例： ±3的平方等于9，9的平方根是±3。
平方
开平方
所以，平方与开平方互为逆运算。
例4：求下列各数的平方根。 （1）100 （2） 9 （3）0.25
16
（解（3）：2）（1 (）(0(.5143)02))22011.092605 ∴0.∴2∴51的10960平的的平方平方方根根根是是是±±±4301.50
（2）－ 0.49
（3）± 64 81
（4）± 2 7 9
巩固提高
1、求下列各式中x的值：
（1）4x2=1
（（23）1）解解：：2xx-x2=2==±±3142
（2）（2x）2=9
x=±xx==±234或12 0
（3）（x-2）2=4
2、已知∣3a-b-7∣+ 2a b 3 =0，
求（b+a）a的平方根。

—— 约·诺里斯
(2)通过猜想写出第⑥个等式；
解： 7＋478＝7 478.
(3)用含字母 n(n 为正整数)的式子表示上述规律．
解：
（n＋1）＋（n＋n＋1）1 2－1＝(n＋1)
n＋1 （n＋1）2－1.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
归纳小结
光读书不思考也许能使平庸之辈知识丰富，但它决不 能使他们头脑清醒。
即 （－3）2＝3；
(3) 81； 解： 81＝9，因为 32＝9，
所以 9 的算术平方根是 3，即 (4)112414； 解：因为112＝121，
12 144
81＝3；
所以112414的算术平方根是1112，即 112414＝1112；
(5)0.49； 解：因为 0.72＝0.49， 所以 0.49 的算术平方根是 0.7， 即 0.49＝0.7； (6)0. 解：0 的算术平方根是 0，即 0＝0.
1．一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个 正数 x 叫做 a 的____算__术__平__方__根____． a 的算术平方根记为____a____，读作 “____根__号__a____”，a 叫 做___被__开__方__数___．规定：0 的算术平方根是__0____．
2．下列各数没．有．算术平方根的是( C )
A．0
B．(－2)2
C．－32
1 D. 6
3．下列说法： ①－1 的算术平方根是 1； ②－1 的平方是±1； ③ 1 的算术平方根是 1； ④ 0 的算术平方根是 0. 其中正确的有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个
D．4 个
4．(2020·湖州) 数 4 的算术平方根是( A ) A．2 B．－2 C．±2 D. 2

§6.1 平方根
身边小事
为了趣味接力比赛,要在运动 场上圈出一个面积为100平 方米的正方形场地,这个正方
形场地的边长为多少? 10米
因为 10 2=100
§6.1 平方根
身边小事
学校要举行美术作品比赛，小欧很 高兴，他想裁出一块面积为25dm2 的正 方形画布，画上自己的得意之作参比 赛，这块正方形画布的边长应取多少？
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/202021/7/202021/7/207/20/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/202021/7/20July 20, 2021
5 dm
因为 5 2=25
§6.1 平方根 (第一课时) 算术平方根
正方形 的面积
边长
1
9
学 科网
1
3
16 36
0.25
4
6 0.5
已知一个正数的平方, 求这个正数的问题.
概念引入
象5 2=25, 那么5叫做25的算术平方根;
10 =2100, 那么10叫做100的算术平方根;
x a x a 一般地,如果一个正数 的平方等于 , 即 =2 = , x a 那么这个正数 叫做 的 算术平方根.
≥0 ≥0
算术平方根的非负双重性.
试一试
2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们 的值吗?
25 =5
1 4
=
1 2
0.81 =0.9
0 =0
试一试

0.09=0.32= 0.3(m ) 30(cm )
答 ： 每 块 地 砖 的 边 长 是 3 0 c m .
7、填空：
一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的___2__倍；
面积变为原来的9倍，它的边长变为原来的___3__倍；
面积变为原来的100倍，它的边长变为原来的__1_0__倍；
4.2 平方根
--算术平方根
学习目标：
1、理解算术平方根的概念，会用根号表示一 个数的算术平方根。
2、能熟练求一个非负数的算术平方根。并能 运用算术平方根的定义解决实际问题。
可编辑课件PPT
1
问题
观察如右的螺形图， 填空：
x2=___2 ___ y2=___3 ___ z2=___4 ___ w2=__5____
x,y,z,w,z中哪些是有理数？哪些是无理数？
可编辑课件PPT
2
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
记为 a 读作“根号a”，a叫做被开放数.
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 0 =0.
可编辑课件PPT
3
应用举例
例1 求下列各数的算术平方根：
探究 ： a （表示a的算术平方根）
双重非负性：a≥0, a ≥0
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数 不存在算术平方根，即当 a<0时， a 无意义。
一个非负数的算术平方根永可编远辑课件是PPT 非负数，即 a ≧0 9
自学检测2:
1、下列各式中无意义的是（ D ）
A.- 5
B. ( 1 ) 2 C. 0
1 0.09
3
解：81= 92=9