【课件-高等数学】_第四章 一元函数的积分及其应用_3

第四章 积分及其应用 4.1不定积分的概念01.34)设()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足1130(1)(),(1).x f kxe f x dx k -=>⎰证明至少存在一点(0,1),ξ∈使得1()2(1)().f f ξξξ-'=-（积分中值定理+辅助函数()()x F x xe f x -=）.4.2不定积分的计算02.4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()x f x dx '=⎰22ln ln x x C -+01.1)求2arctan xxe dx e⎰（分部积分+裂项） 01.2)求03.2) 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【详解】 设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e tt ⎰--=tdt e t e t e tt t sin sin cos ⎰-+-，故.)c o s (s i n 21s i n C t t e t d t e tt +-=⎰ 因此 dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan =.12)1(2arctan C x e x x++- 06.2) arcsin xxe dx e ⎰求 解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰09.23)计算不定积分ln(1(0)x +>⎰t =得22212,1(1)tdtx dx t t -==-- 原式2222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)t t dt t d t t t --=+=+---⎰⎰ 2221ln(1)11ln(1)().1111t t d dt t t t t +=+=----+⎰⎰ 222ln(1)111ln(1)111()ln 14(1)4(1)2(1)1412(1)t t t dt C t t t t t t t +--++=-++=+-+--++--+⎰1ln(14x C =++-+11ln(122x C =+++-+ 09.农)不定积分2,,2t x t dx tdt === 原式2ln(2)ln(2).222ln(2)ln(2)22t t tdt dt t d t t t t ++===++++⎰⎰⎰2ln (2)t c =++2ln (2c =+4.3定积分的概念与性质 04.2) 22lim ln (1)n n→∞+[]B（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰02.2) 1lim1cosn n→∞++=提示：利用定积分定义+降幂公式07.1234)连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是 （ C ）(A ) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F .03.2) 设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则 [ B ](A) .121>>I I (B) .121I I >> (C) .112>>I I (D) .112I I >>06.4) 设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)c ∈（ D ） （A ）1122()()c cf t dtg t dt ≥⎰⎰（B ）1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰（C ）11()()cc f t dt g t dt ≥⎰⎰（D ）11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10.123)（I ）比较[]10|ln |ln(1)nt t dt +⎰与10|ln |ntt dt ⎰（1,2,n =）的大小，说明理由. （辅助函数求导法证明ln(1)(01)t t t +<≤≤） （II ）记[]1|ln |ln(1)nn t t dt μ=+⎰（1,2,n =），求极限lim n n μ→∞. （利用前问结果+夹逼定理）4.4微积分学基本定理01.34)设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)内（ D ）（A ）无界 （B ）递减 （C ）不连续 （D ）连续04.4) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.[ B ]06.2) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数02.24)设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 （ D ） （A ）20()xf t dt ⎰ （B ）20()xf t dt ⎰（C ）[()()]xt f t f t dt --⎰（D ）0[()()]xt f t f t dt +-⎰注：0()()xF x f t dt =⎰与()f x 奇偶性相反05.12)设F (x )是连续函数f (x )的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 [ A ](A ) F (x )是偶函数⇔f (x )是奇函数. (B) F (x )是奇函数⇔f (x )是偶函数.(C) F (x )是周期函数⇔f (x )是周期函数. (D) F (x )是单调函数⇔f (x )是单调函数. 04.12)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 [ B ] (A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 08.1)设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为 （ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）308.3) 设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的 （ B ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点.09.123) 设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（ D ）(考点：函数与其导函数之间的关系，定积分的几何意义。

高等数学1微积分教材微积分是高等数学中的重要分支，它是研究函数变化的一种方法和技巧。

在高等数学教学中，微积分教材起着承上启下的作用，帮助学生掌握微积分的基本原理和应用技巧。

本文将就高等数学1微积分教材的内容进行详细分析。

第一章：函数与极限第一章主要介绍了函数的概念和性质，并引入了极限的概念。

通过学习这一章的内容，学生将对函数的定义和图像有一个初步的了解，并能够通过极限求解一些基本的函数极限值。

第二章：导数与微分第二章是微积分的核心章节，主要讲解导数和微分的概念及其应用。

在这一章中，学生将学习导数的定义、性质和求导的基本法则，掌握导数的几何和物理意义，并能够用导数求解函数的最值、切线和曲率等问题。

第三章：不定积分第三章讲解不定积分的概念和性质，介绍了不定积分的基本法则和求解方法。

学生将通过学习本章的内容，掌握不定积分的计算技巧，能够求解简单的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。

第四章：定积分与应用第四章是定积分的学习内容，主要介绍了定积分的概念、性质和计算方法，在此基础上，应用定积分解决几何问题和物理问题。

通过学习本章，学生将掌握定积分的计算技巧，能够利用定积分求解面积、弧长、体积等问题。

第五章：微分方程第五章是微分方程的学习内容，主要介绍了微分方程的基本概念、解的存在唯一性和一阶微分方程的常见解法。

学生将通过学习本章，掌握一阶微分方程的解法，并能够应用微分方程解决实际问题。

第六章：无穷级数第六章讲解了无穷级数的概念、性质和判敛方法，引入了收敛级数与函数展开的概念。

学生将通过学习本章，了解无穷级数的表示方法和性质，掌握级数收敛的判定方法，并能够将函数展开成幂级数。

通过以上章节的学习，学生将初步掌握高等数学1微积分的基本原理和应用技巧。

除了以上章节外，高等数学1微积分教材还涵盖了其他相关内容，如多元函数的导数和积分、微分方程的高阶解法等。

在教学过程中，教师需要结合具体的教学实际，灵活运用教材内容，设计合理的练习和习题，帮助学生深入理解微积分的概念和方法，并培养其分析和解决问题的能力。