一元函数的积分学及其应用 习题课

微积分第三版上册课后练习题含答案微积分是数学的一个分支，它主要研究函数、极限、连续、导数、积分等概念和它们之间的关系。

微积分是自然科学、工程技术和经济管理等领域中不可或缺的数学工具。

本文将介绍微积分第三版上册的课后练习题，以及它们的答案和解析。

章节列表微积分第三版上册共分为12章，分别是：1.函数与极限2.导数及其应用3.曲线图形的相关概念4.定积分5.定积分应用6.不定积分7.不定积分的应用8.微分方程初步9.空间解析几何10.空间直线与平面11.空间曲面12.重积分每一章都包含了大量的练习题，这些题目是对每个章节中理论知识点的考察和巩固，同时也能够帮助读者构建更深入的理解。

练习题样例下面是微积分第三版上册第一章的一组练习题样例：1.1节练习1.求函数$f(x)=\\frac{x-1}{x+1}$在点x0=2处的导数。

2.求极限$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}-\\sqrt{x^2-5})$。

3.求函数$f(x)=\\sqrt{1+x}-1$的二阶导数。

1.2节练习1.求$f(x)=\\frac{1}{x}$的导函数和导数。

2.已知函数f(x)=x3+3x2+1，求它的单调区间和极值点。

3.求函数f(x)=x4−8x2的导函数和导数。

课后练习题答案微积分第三版上册的课后练习题答案可以在教材的补充练习答案中找到，答案涵盖了书中各章节的所有练习题。

下面是上述练习题的答案和解析。

1.1节练习答案1.$f'(2)=\\frac{2}{9}$2.$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}-\\sqrt{x^2-5})=+\\infty$3.$f''(x)=\\frac{1}{4(x+1)^{\\frac{3}{2}}}$1.2节练习答案1.$f'(x)=-\\frac{1}{x^2}$，$f''(x)=\\frac{2}{x^3}$2.f(x)在$(-\\infty,-1)$上单调递减，在$(-1,+\\infty)$上单调递增。

高等数学c教材课后答案详解1. 一元函数、多元函数与极限在高等数学C教材中的第一章中，我们学习了一元函数、多元函数与极限的概念和性质。

以下是课后习题的答案详解：1.1 一元函数1.1.1 定义域和值域对于一元函数f(x)，定域是指使函数f(x)有意义的x的取值范围。

而值域是指函数f(x)在定域上所能取到的所有值。

例如，对于函数f(x) = √(x-2)，我们需要满足x-2≥0，即x≥2。

因此，定域为[2, +∞)。

而在这个定域上，函数f(x)能够取到的值域为[0, +∞)。

1.1.2 奇偶性与周期性对于一元函数f(x)，奇偶性指的是函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。

周期性指的是函数图像在一定区间内重复出现的性质。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，它是奇函数，因为f(-x) = -f(x)；而它是周期函数，因为f(x+2π) = f(x)。

1.2 多元函数1.2.1 偏导数和全微分对于多元函数z = f(x, y)，它的偏导数指的是在变量x或y固定时，函数z对于x或y的变化率。

例如，对于函数z = x^2 + 2y^2，其关于x的偏导数为∂z/∂x = 2x，关于y的偏导数为∂z/∂y = 4y。

1.2.2 隐函数与显函数对于多元函数z = f(x, y)，如果可以通过一个显式的等式z = g(x, y)来表示，则称为显函数。

如果无法通过显式等式表示，而是通过一条方程F(x, y, z) = 0来定义，则称为隐函数。

例如，对于方程x^2 + y^2 - z^2 = 1，可以解出z = √(x^2 + y^2 - 1)，因此可以表示为显函数。

1.3 极限1.3.1 定义和性质在一元函数中，我们讨论了函数在某点的左极限、右极限以及极限存在的条件。

同时，我们也介绍了无穷大极限和无穷小极限的概念。

在多元函数中，我们引入了二重极限的概念，即函数在二元变量(x, y)逼近某一点时，同时有两个变量趋于该点的极限存在。

一元幂指函数的微积分性质及应用张勇军;何文峰;符一平【摘要】幂指函数是一类非常重要的函数,它在实际生活中会经常遇到.因此,更进一步的了解和掌握幂指函数的各种性质,对解决一些实际问题非常的重要.介绍了幂指函数的一些微分性质.【期刊名称】《长江大学学报（自然版）理工卷》【年(卷),期】2011(008)009【总页数】2页(P6-7)【关键词】幂指函数;微分;积分;性质【作者】张勇军;何文峰;符一平【作者单位】海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228;海南大学信息科学技术学院,海南海口570228【正文语种】中文【中图分类】O157.1《数学分析》和《高等数学》教材中对于幂指函数的内容非常少，仅仅只给出了幂指函数的定义[1]及一些求导公式[2]，而且例题与课后的习题也很少。

然而在其他的一些教材、参考资料以及近几年的研究生入学考试中却又经常出现，于是对幂指函数的性质更进一步的了解与掌握是非常必要的。

笔者就幂指函数的微积分性质进行了一些研究及应用。

定理1 一元幂指函数y=u(x)v(x)(u(x)>0,u(x),v(x)均为可微函数)的微分公式为：dy=[u(x)]v(x)[v(x)lnu(x)]′dx d2y=[u(x)]v(x){[v(x)lnu(x)]″+[v(x)lnu(x)]′2}dx2 d3y=[u(x)]v(x){[v(x)lnu(x)]‴+3[v(x)lnu(x)]″[v(x)lnu(x)]′+[v(x)lnu(x)]′3}dx3 dn+1y={[u(x)]v(x)[v(x)lnu(x)]′}(n)dxn+1证明dy=d[u(x)v(x)]=[u(x)v(x)]′dx=[u(x)v(x)][v(x)lnu(x)]′dx={[u(x)v(x)]{[v(x)lnu(x)]‴+([v(x)lnu(x)]′2)′}+{[v(x)lnu(x)]″+[v(x)lnu(x)]′2}[u(x)v(x)]′}dx3定理2 若u(x),v(x)为可微函数，且u(x)>0，则:(C∈∀R)证明因u(x),v(x)为可微函数，且u(x)>0,故:u(x)dx=u(x)v(x)[v(x)lnu(x)]′dx(C∈∀R)例1 设y=xx(x>0),求dy,d2y,d3y,…,dn+1y。

第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。

设h (x )=f (x )+f (x ), 则h (x )= f (x )+f (x )=h (x )。

故为偶函数。

2. 错。

y =2ln x 的定义域(0,+), y =ln x 2的定义域(,0)∪(0,+)。

定义域不同。

3. 错。

+∞=→21lim x x 。

故无界。

4. 错。

在x 0点极限存在不一定连续。

5. 错。

01lim =-+∞→xx 逐渐增大。

6. 正确。

设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。

7. 正确。

反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。

8. 正确。

是复合函数的连续性定理。

二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sin lim 0=→xx x (A ) 4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--(B )6. 3092<⇒>-x x(D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是10。

(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。

(D )三、填空题题解 1. 210≤-≤x 31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。

3. 31=ω,πωπ62==T 。

微积分第五版影印版课后练习题含答案本文提供微积分第五版影印版课后练习题及其答案，方便读者进行练习和自我检验。

前言微积分是高等数学中最基础也是最重要的一门学科，在各个领域中都有广泛的应用。

本文提供微积分第五版影印版的课后练习题及其答案，希望读者通过练习，加深对微积分的理解，提高自己的能力。

课后习题第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.已知函数f(x)=2x+1，求f(3)。

答案：$f(3)=2 \\times 3 +1=7$。

2.已知函数y=x2+1，求y(2)。

答案：y(2)=22+1=5。

3.已知函数f(x)=x3+3x，求f(−2)。

答案：$f(-2)=(-2)^3+3 \\times (-2)=-8-6=-14$。

…注：为了节约篇幅，本文仅列举几道习题及其答案。

第二章导数与微分2.1 导数的概念1.求函数y=x2在x=1的导数。

答案：y′=2x|x=1=2。

…第三章微分中值定理与导数的应用3.1 中值定理及其应用1.证明函数y=x2在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件。

答案：由罗尔定理可得，若f(a)=f(b)，且f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，那么必存在一点 $c\\in(a,b)$，使f′(c)=0。

在本题中，f(0)=0，f(1)=1，f(x)=x2在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，于是满足罗尔定理的条件。

…第四章曲线的性质与应用4.1 曲率1.求函数y=x3在点(1,1)处的曲率半径。

答案：函数y=x3的导函数为y′=3x2，曲率公式为$R=\\frac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|}$。

在点(1,1)处，$y'=3\\times1^2=3$，y″=6x|x=1=6。

代入公式得$R=\\frac{[1+3^2]^{3/2}}{|6|}=\\frac{10\\sqrt{10}}{9}$。

…结语本文提供了微积分第五版影印版的课后习题及其答案，希望对读者有所帮助。

高等数学同济大学第五版引言：高等数学作为一门重要的基础课程，对于各个理工科的学生来说都是必修的一门课程。

同济大学出版社出版的《高等数学同济大学第五版》是一本经典的教材，已经成为了国内许多高校教学的主要教材之一。

本文将就《高等数学同济大学第五版》的内容、特点以及其在数学教学中的重要作用进行详细介绍。

一、《高等数学同济大学第五版》的内容《高等数学同济大学第五版》全书共分为十四章，每章都包含了该章内容的理论点和典型例题，同时附有习题以供巩固知识和拓展思维。

首先是初等函数与极限，这一章主要介绍了数列的极限概念，以及各种初等函数的极限计算方法。

接下来是导数与微分，这一章内容涉及到函数的导数概念，各种导函数的求法以及微分的应用等。

第三章是一元函数的微分学应用，主要介绍了函数的极值与最值、函数的单调性与曲线的凹凸性等内容。

第四章是不定积分，该章内容讲解了不定积分的基本概念和计算方法，以及变量代换法等重要技巧。

接下来是定积分，这一章主要介绍了定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法和应用等。

第六章是概率论与数理统计的基本概念，该章内容涵盖了概率论与数理统计的基本概念与计算方法，以及常见的离散型和连续型随机变量的概率分布等。

第七章是数项级数，主要介绍了数项级数的收敛性质、收敛判别法和常用的数项级数的和的计算等。

第八章是幂级数与函数展开，该章内容涵盖了幂级数的收敛性和展开式的计算方法。

第九章是常微分方程，主要介绍了常微分方程的基本概念、解法和应用等。

第十章是空间解析几何，该章内容涵盖了空间坐标系的建立、空间直线和平面的方程及其相互位置关系等。

接下来是向量代数与空间解析几何的应用，该章内容介绍了向量的内积和叉积的计算方法，以及向量与平面的垂直、平行关系等。

第十二章是多元函数微分学，主要涵盖了多元函数的极值和条件极值等。

第十三章是重积分，该章内容讲解了二重积分和三重积分的定义和性质，以及计算技巧和应用等。

最后一章是曲线积分和曲面积分，该章内容涵盖了曲线积分和曲面积分的定义、计算方法和应用等。

第一本在线课程配套教材，“十三五”普通高等教育本科国家级规划教材，国防科技大学朱健民、李建平主编，高等教育出版社出版的 《高等数学》教材课后习题解答.这些课后习题都是非常经典的，学习高数课程应知应会，必须熟练掌握的基本典型练习题，不管是对于课程学习、还是考研、竞赛等相关内容的学习、复习、备考，都应该逐题过关！参考习题解答列表第一章 映射与函数习题1.1 《集合与映射》部分练习参考解答习题1.2 《函数》部分练习参考解答习题1.3 《曲线的参数方程与极坐标方程》部分练习参考解答第二章 数列极限与数值级数习题2.1 《数列极限的概念与性质》部分练习参考解答习题2.2 《数列收敛的判定方法》部分练习参考解答习题2.3 《数值级数的基本概念与性质》部分练习参考解答习题2.4-《同号级数的敛散性判别方法》部分习题参考解答习题2.5-《变号级数收敛性判别方法》部分习题参考解答第三章 函数极限与连续习题3.1-《函数极限的概念》部分习题参考解答习题3.2-《函数极限运算法则及存在性的判定准则》部分习题及参考解答 习题3.3-《无穷小的比较与渐近线》练习题及参考解答习题3.4-《函数的连续性与间断点》练习题及参考解答第四章 导数与不定积分习题4.1 《导数的概念及基本性质》练习题及参考解答习题4.2-《导数的计算》专题练习及参考解答习题4.3-《一元函数的微分》专题练习与参考解答习题4.4-《变化率与相关变化率》专题练习与参考解答习题4.5-《不定积分基本概念、性质和基本计算》专题练习与参考解答 第五章 导数的应用习题5.1-《极值与最优化》专题练习专题练习与参考解答习题5.2-《微分中值定理及其应用》专题练习专题练习与参考解答习题5.3-《泰勒公式及其应用》专题练习与参考解答习题5.4-《函数单调性与凹凸性及其应用》专题练习及参考解答习题5.5-《曲率》专题练习及参考解答第六章 定积分及其应用习题6.1-《定积分基本概念与性质》专题练习及参考解答习题6.2-《变限积分及其应用》专题练习及参考解答习题6.3-《不定积分与定积分》专题练习及参考解析习题6.4 -《定积分的应用》专题练习及其参考解析习题6.5 -《反常积分》专题练习及其参考解析第七章 常微分方程习题7.1-《微分方程的基本概念》专题练习与参考解答习题7.2-《一阶微分方程》专题练习及参考解答习题7.3 -《可降阶微分方程》专题练习及参考解答习题7.4 -《线性微分方程》专题练习及参考解答第八章 空间解析几何习题08-01 《向量及其运算》专题练习与参考解答习题08-02 《空间平面与直线》专题练习与参考解答习题08-03-《空间曲面及其方程》专题练习与参考解答习题08-04-《空间曲线及其方程》专题练习与参考解答第九章 向量值函数的导数与积分习题09-123-《向量值函数》专题练习与参考解析第十章 多元函数的导数及其应用习题10-01-《多元函数基本概念与性质》专题练习与参考解答习题10-02《偏导数与全微分》专题练习与参考解答习题10-03 《多元复合函数和隐函数求偏导》专题练习与参考解答习题10-04 《方向导数与梯度、泰勒公式》专题练习与参考解析习题10-05《多元函数的极值与最值》专题练习，知识点与典型习题视频解析 第十一章 重积分习题11-01 《重积分基本概念与性质》专题练习与参考解答习题11-02 《重积分直角坐标计算法》专题练习及典型习题视频解析习题11-03 《重积分的柱坐标、球坐标、换元法》专题练习与参考解答 习题11-04 《重积分的应用》专题练习与参考解答第十二章 曲线积分与曲面积分习题12-01《曲线积分的基本概念与计算》专题练习及参考解答习题12-02《格林公式、积分与曲线无关》专题练习与参考解答习题12-03 《曲面积分的基本概念、基本计算》专题练习与参考解答习题12-04 《高斯公式与斯托克斯公式》专题练习与参考解答第十三章 幂级数与傅里叶级数习题13-01《幂级数及其展开》专题练习与参考解答习题13-02 《傅里叶级数及其收敛性》内容总结、视频解析与专题练习。