一元函数积分学及其应用精品PPT课件

a
(
x
a)P
dx
P
1
发散
一。几何应用;
1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）
2．体积：
1）已知横截面面积的体积
b
V a S( x)dx
2）旋转体的体积
Vx
b f 2 ( x)dx
a
二．物理应用
b
Vy 2
xf ( x)dx
a
1.压力；
2.变力做功；
3.引力。
1．一阶方程
1）可分离变量 2）齐次 3）线性
dx 0 1 ex
e x 0 1 e x dx
ln(1
ex ) 0
ln 2
例4
设
F
(
x)
x 0
tf (t)dt
x2 C,
,
f (0) 0
x 0 ,其中 f ( x) 有连续导数,且
x0
1) 试确定 C 使 F ( x) 在 (,)内连续.
2) 对以上确定的C ,讨论 F ( x) 在 (,) 内的连续性.
A A
3）若
f ( x)dx 和
a
a f ( x)dx 都收敛，则称
f ( x)dx
收敛。
常用结论：
1 P 1 收敛
a
x
P
dx;
P
1
发散
(a 0)
2.无界函数
设 a 为 f ( x) 的无界点，
b
b
f ( x)dx lim
f ( x)dx
a
0 a
常用结论：
b 1
P 1 收敛
例1 : F(x)
x
(t x) f(t)d t
(x)
0
b
(3) ( f ( x, t)dt)
例2 : d
x sin( x t )2 d t
a
dx 0
第三节 反常积分
1．无限区间
A
1) f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
a
a
2) f ( x)dx lim f ( x)dx.
解 1）由于
lim
x0
F
(
x)
lim
x0
x
0
tf (t)dt x2
lim
x0
xf ( x) 2x
0
则 C 0.
2）当
x 0,
F ( x)
x3
f
(x)
2
x
x 0
tf
x4
(t )dt
x2
f
(
x
)
2
x 0
tf
x3
(t )dt
当 x 0,
F
(0)
lim
x0
x
0
tf (t x3
)dt
lim
x0
xf 3
2）第二类换元法：
f ( x)d x x (t) f ((t)) (t)dt F (t) C F ( 1( x)) C
i) a2 x2 , x a sin t(a cos t ) ii) a2 x2 , x a tan t iii) x2 a2 , x a sec t
3）分部积分法 udv uv vdu
(t )d t
f
( x)在[a,b]上连续，则
x
a
f
(t)d
t
在
[a, b]
上可导且
x
(a f (t)d t) f ( x).
变上限求导的三个类型：
(1) ( ( x) f (t )dt) f ( ( x)) ( x) f ( ( x)) ( x) (x)
( x)
(2) ( f ( x, t)dt)
(x) x2
1 lim 3 x0
f (x) x
f (0) 3
lim
x0
F
(
x)
lim
x0
x
2
f
(
x)
20x
x3
tf
(t
)dt
2xf ( x) x 2 f ( x) 2xf ( x)
lim x0
3x2
f (0) F (0) 3
则 F ( x) 在(,) 内连续.
例5 设
f
(
x)
在
[0,1]
( y P, y dP ) dx
( y P, y P dP ) dy
例1 计算
xe x
(1 e x )3/ 2dx
解
原式 2 xd
1 1 ex
2x
1ex 1
2ln
c
1 ex
1ex 1
例2
计算定积分
a
0 x
1
dx (a 0);
a2 x2
解 令 x a sin t, 则
原式
2 0
cos tdt sin t cos t
sin tdt
2 0
sin
t
cos
t
1 cos t sin t 1
2
2 0
sin t
dt cos t
2
2 0
dt
4
例3. 计算
0
(1
xe x ex
)2
dx
解
原式
xe x 0 (1 e x )2dx
0
xd
1
1 e
x
1
x e
x
0
上连续,且
1
0
f
(
x)dx
0.
求证:
(0,1), 使
f ( x)dx f ( ).
0Байду номын сангаас
证
只要证明
0 f ( x)dx f ( ) 0
令
x
F ( x) x0 f (t)dt
则
F (0) F (1) 0
由罗尔定理知 (0,1), 使 F ( ) 0
一元函数积分学及其应用
一。不定积分
1．两个概念: 1）原函数： F ( x) f ( x)
2）不定积分： f ( x)d x F ( x) C
2．基本积分公式： 3．三种主要积分法 1）第一类换元法（凑微分法）
若 f (u)d u F (u) C,则 f (( x)) ( x)d x F (( x)) C
y f (x)g( y) y f ( y)
x
( y u) x
y P(x) y Q(x)
通解： 4）伯努利
y
e
p( x )dx
Q(
x
)e
p(
x
)dx
dx
C
y P( x) y Q( x) y ( 1)
( y1 u)
2. 可降阶方程:
1) y f ( x) 2) y f ( x, y) 3) y f ( y, y)
2）换元法
3）分部积分法
4）利用奇偶性，周期性
5）利用公式
(1)
2 sinn x d x
0
2 0
cos n
xd
x
n1n
n n n1n
3 1
2 22 3 2,
,
n偶 n奇
n n2 3
π
(2) 0 x f (sin x)d x 2 0 f (sin x)d x
4
变上限积分：
x a
f
ax b )d x cx d
令
ax b
n
t
cx d
二. 定积分
1.
定义：
b
n
f ( x)d x lim
a
0 k1
f (k )xk
2.可积性：
1）必要条件：f ( x) 有界；
2）充分条件：f ( x) 连续或仅有有限个第一类间断点；
3.计算：
b
1) a f ( x)d x F (b) F (a)
“适用两类不同函数相乘”
4．三类常见可积函数积分
1) 有理函数积分 R( x)d x
（1）部分分式法（一般方法）；
（2）简单方法（凑微分绛幂）；
2) 三角有理式积分 R(sin x,cos x)d x
（1）万能代换（一般方法） 令 tan x t
2
（2）简单方法 （三角变形，换元，分部）
3)
简单无理函数积分 R( x,n