下载文档原格式
《二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析》篇一一、引言在数学物理的多个领域中，算子谱分析是一个重要的研究课题。
其中，二次算子族与无穷维Hamilton算子作为两种特殊的算子，其谱分析具有重要的理论和应用价值。
本文旨在探讨二次算子族和无穷维Hamilton算子的谱分析方法，以期为相关领域的研究提供理论支持。
二、二次算子族的谱分析1. 二次算子族的基本概念二次算子族是一类具有二次形式的算子，其基本特征是具有某种对称性或自伴性。
在量子力学、统计物理等领域中，二次算子族具有广泛的应用。
2. 二次算子族的谱性质二次算子族的谱性质主要包括谱的离散性、连续性以及谱的分布等。
通过对二次算子族的谱性质进行分析，可以了解其物理性质和数学结构。
3. 二次算子族的谱分析方法针对二次算子族的谱分析，常用的方法包括分离变量法、微扰法、幺正变换法等。
这些方法可以根据问题的具体特点选择使用，从而有效地分析二次算子族的谱结构。
三、无穷维Hamilton算子的谱分析1. 无穷维Hamilton算子的基本概念无穷维Hamilton算子是一类描述无穷多粒子系统的算子，其形式较为复杂。
在量子力学和场论等领域中，无穷维Hamilton算子具有重要应用。
2. 无穷维Hamilton算子的谱性质无穷维Hamilton算子的谱性质包括其本征值的存在性、本征值的连续性以及本征函数的正交性等。
这些性质对于理解系统的物理性质具有重要意义。
3. 无穷维Hamilton算子的谱分析方法针对无穷维Hamilton算子的谱分析，常用的方法包括正则变换法、李群法、微扰法等。
这些方法可以根据问题的具体特点选择使用，从而有效地分析无穷维Hamilton算子的谱结构。
四、实例分析以某个具体的物理系统为例，分析其中涉及的二次算子族和无穷维Hamilton算子的谱结构。
通过具体的计算和分析，展示谱分析方法在实际问题中的应用。
五、结论本文对二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析进行了探讨。
《无穷维Hamilton算子的拟谱》篇一一、引言在数学物理领域，无穷维Hamilton算子是一个重要的研究对象。
它涉及到量子力学、统计力学、场论等多个领域，是描述物理系统动态行为的关键工具。
近年来，随着科学技术的飞速发展，对无穷维Hamilton算子的研究也日益深入。
本文旨在探讨无穷维Hamilton算子的拟谱问题，分析其研究现状及未来发展方向。
二、无穷维Hamilton算子的基本概念无穷维Hamilton算子是一种描述物理系统动态行为的数学工具，其基本思想是将系统的能量函数（即Hamilton函数）与时间演化算子相结合，从而得到系统的动态演化规律。
在无穷维空间中，Hamilton算子具有丰富的谱结构和动力学性质，对于理解物理系统的行为具有重要意义。
三、无穷维Hamilton算子的拟谱研究拟谱是研究Hamilton算子谱结构的一种重要方法。
通过拟谱方法，可以了解Hamilton算子的本征值、本征函数以及谱的分布情况，从而揭示系统的动态行为和稳定性。
目前，对于无穷维Hamilton算子的拟谱研究已经取得了一定的成果。
首先，针对不同类型的无穷维Hamilton系统，研究者们提出了各种拟谱方法。
例如，对于具有周期性边界条件的系统，可以采用Floquet理论；对于具有混沌特性的系统，可以利用Lyapunov指数等方法进行分析。
这些方法的应用使得我们能够更深入地了解无穷维Hamilton算子的谱结构。
其次，在拟谱研究过程中，还涉及到了许多数学技巧和工具。
例如，利用函数分析、微分方程、线性代数等数学知识，可以更好地描述和解决无穷维Hamilton算子的谱问题。
此外，计算机技术的发展也为拟谱研究提供了强大的支持，使得我们可以进行更加精确和高效的数值计算。
四、无穷维Hamilton算子拟谱的研究现状目前，无穷维Hamilton算子的拟谱研究已经取得了重要的进展。
研究者们针对不同类型的系统和问题，提出了各种拟谱方法和技巧。
《无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性及其在弹性力学中的应用》篇一摘要：本文研究无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性，探讨了其在弹性力学中的具体应用。
通过深入分析Hamilton算子的基本性质，揭示了其特征函数系在弹性力学问题中的重要性。
同时，探讨了这一理论在实际问题中的实践应用，为弹性力学领域的研究提供了新的视角和思路。
一、引言随着现代数学物理的不断发展，Hamilton算子作为描述物理系统的重要工具，在各个领域都得到了广泛的应用。
特别是在弹性力学领域，Hamilton算子特征函数系的完备性对于描述和分析弹性体的力学行为具有重要意义。
本文旨在探讨无穷维Hamilton 算子特征函数系的完备性，并探讨其在弹性力学中的应用。
二、无穷维Hamilton算子及其特征函数系无穷维Hamilton算子是在Hamilton系统中用于描述动态平衡和演化规律的数学工具。
它包含了系统动力学的大部分信息，并通过其特征函数系将复杂的系统简化为一系列独立的简单系统。
其特征函数系具有完备性，即系统的所有可能状态都可以由这些特征函数线性表示。
三、特征函数系的完备性证明为了证明无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性，我们首先需要明确其基本性质和定义。
通过构造一系列的数学命题和推导，我们可以证明这些特征函数在一定的条件下能够构成一个完备的函数系。
具体来说，我们可以通过分析这些函数的正交性、完备性和线性无关性等性质来证明其完备性。
四、在弹性力学中的应用在弹性力学中，无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性为描述和分析弹性体的力学行为提供了有力的工具。
具体来说，我们可以利用这些特征函数来描述弹性体的振动模式、应力分布和变形行为等。
此外，这些特征函数还可以用于构建弹性力学问题的数值解法，如有限元法等。
通过将复杂的弹性力学问题转化为一系列简单的特征函数问题，我们可以更方便地求解和分析这些问题。
五、实例分析为了进一步说明无穷维Hamilton算子特征函数系在弹性力学中的应用，我们以一个具体的弹性力学问题为例进行分析。
《无穷维Hamilton算子的谱与特征函数系的完备性》篇一一、引言在数学物理和量子力学中，Hamilton算子扮演着至关重要的角色。
对于无穷维Hamilton算子的研究，一直是物理学和数学领域的热点问题。
本文主要探讨无穷维Hamilton算子的谱的性质及其特征函数系的完备性。
通过对这一问题的研究，我们可以更好地理解量子力学中的物理现象，并进一步拓展其应用领域。
二、无穷维Hamilton算子的谱无穷维Hamilton算子的谱是一个复杂的数学结构，它涉及到无穷多个本征值和本征函数。
这些本征值和本征函数构成了Hamilton算子的谱空间，它们在量子力学中具有重要的物理意义。
首先，我们需要定义无穷维Hamilton算子的谱。
在数学上，我们可以通过求解Hamilton算子的本征值问题来得到其谱。
本征值问题是指寻找使得Hamilton算子作用在一个函数上后，该函数与一个常数（即本征值）的乘积仍然满足Hamilton算子的作用。
这些本征值和对应的本征函数构成了Hamilton算子的谱。
对于无穷维Hamilton算子，其谱具有一些特殊的性质。
例如，它的本征值可以是连续的或者是离散的。
当本征值是连续的时候，其对应的本征函数构成了一个完备的函数系。
这种完备性意味着任何可以被观测的物理量都可以用这些本征函数来近似表示。
三、特征函数系的完备性特征函数系的完备性是无穷维Hamilton算子研究中的重要问题。
一个完备的特征函数系意味着我们可以使用这些函数来描述系统的所有可能状态。
在量子力学中，这相当于说我们可以使用这些函数来描述系统的所有可观测量。
为了证明特征函数系的完备性，我们需要利用一些数学工具，如线性代数和泛函分析。
首先，我们需要证明特征函数系是线性无关的，即任何一个非零的线性组合都不可能为零。
然后，我们需要证明任何可以被观测的物理量都可以用这些特征函数来近似表示。
这通常需要利用一些高级的数学技巧，如Stone-von Neumann定理等。
《二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析》篇一一、引言在数学物理的多个领域中，算子谱分析是一个重要的研究课题。
本文将主要探讨二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析。
我们将首先介绍算子谱分析的基本概念和背景，然后重点阐述二次算子族和Hamilton算子的基本性质和特点，最后提出本文的研究目的和意义。
二、基本概念与背景算子谱分析是研究线性算子或非线性算子的谱及其性质的一门学科。
它涉及到许多数学分支，如函数论、线性代数、微分方程等。
二次算子族和Hamilton算子作为特殊的算子类型，在物理学、量子力学等领域具有广泛的应用。
2.1 二次算子族二次算子族指的是一类具有二次特性的算子。
在物理学中，这类算子通常用来描述一些基本物理过程。
其性质复杂多变，且往往具有独特的数学结构。
2.2 无穷维Hamilton算子无穷维Hamilton算子是一种特殊的偏微分方程的算子，它通常用来描述无穷维系统中的哈密顿动力学过程。
该类算子的谱分析对于理解量子力学中的无穷维系统具有重要意义。
三、二次算子族的谱分析3.1 定义与性质二次算子族的谱分析主要涉及该类算子的特征值和特征向量的求解问题。
由于二次算子的复杂性，其特征值和特征向量的求解往往需要借助特定的数学方法和技巧。
3.2 求解方法针对二次算子的特征值和特征向量的求解问题，我们可以采用多种方法，如变分法、数值逼近法等。
这些方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。
四、无穷维Hamilton算子的谱分析4.1 定义与性质无穷维Hamilton算子的谱分析主要关注该类算子的能级结构、能级分布等问题。
由于无穷维系统的复杂性，其能级结构和分布往往具有独特的特性。
4.2 求解方法对于无穷维Hamilton算子的谱分析问题，我们可以采用一些特殊的数学方法，如自伴场方法、离散化方法等。
这些方法可以帮助我们更好地理解和求解无穷维系统的能级结构和分布问题。
五、研究目的与意义本文的研究目的是通过对二次算子族和无穷维Hamilton算子的谱分析，深入理解这两类算子的性质和特点，为解决相关领域的实际问题提供理论依据和方法支持。
第50卷第1期2021年1月内蒙古师范大学学报(自然科学版)Journal of Inner Mongolia Normal University(Natural Science Edition)Vol.50No.1Jan.2021无穷维Hamilton算子谱理论研究综述阿拉坦仓】，吴德玉2（1.内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022；2.内蒙古大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010021）摘要：对无穷维Hamilton算子谱理论研究成果进行了梳理，包括无穷维Hamilton算子辛自伴性、无穷维Hamilton算子特征函数系的完备性，以及无穷维Hamilton算子数值域等方面的研究现状和展望。
提出一些关于无穷维Hamilton算子谱理论方面有待解决的问题。
关键词：无穷维Hamilton算子；自伴性；数值域；完备性中图分类号：0175.3文献标志码：A文章编号：1001—8735（2021）01—0001—06doi：10.3969/j.issn.1001—8735.2021.01.0010引言Hilbert空间中线性算子理论，尤其自伴算子谱理论是20世纪数学科学领域取得的最重要成果之一。
有界自伴算子谱理论的奠基人D.Hilbert,在1904年至1910年完成的关于积分方程的六篇论文中阐述了有界自伴算子谱理论的思想。
为研究量子力学问题，1927年至1929年J.von Neumann将有界自伴算子谱理论推广到了无界自伴算子领域。
20世纪30年代,F.Riesz和M.S.Stone等人进一步完善了无界自伴算子谱理论框架。
目前，自伴算子谱理论已经形成了比较完善的框架体系。
众所周知的求解偏微分方程的分离变量法，又称Fourier级数法，就是以自伴算子谱理论为基础的。
需要注意的是，当系统对应的算子是自伴算子时，该系统能量是守恒的，亦称封闭系统。
然而，实际问题中也存在诸多能量不守恒的开放系统，其状态算子为非自伴算子。
算子总结精品哈密尔顿算子精品拉普拉斯算子算子是数学中的一个概念，它表示一种将一些函数映射为另一个函数的操作。
在物理学和工程学中，算子通常用于描述一些物理量或现象的性质或变化规律。
哈密尔顿算子（Hamiltonian operator）是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的能量和运动状态之间的关系。
哈密尔顿算子常用符号表示为Ĥ，它的作用是对波函数进行求导和求二阶导数，并乘以恒定的因子。
哈密尔顿算子的一般形式可以表示为：Ĥ=-ℏ²/2m∇²+V(x),其中，ℏ是普朗克常数的约化值，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子，V(x)是势能函数。
哈密尔顿算子的第一项负责描述粒子的动能，第二项描述粒子在势场中的势能。
哈密尔顿算子在量子力学中发挥着重要作用，它是薛定谔方程的一个核心组成部分。
薛定谔方程可以通过哈密尔顿算子作用于波函数得到，它描述了量子体系的演化和态函数的变化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的能量本征态和能量本征值，从而揭示了物理系统的量子性质。
拉普拉斯算子（Laplacian operator）是微分方程中的一种常用算子，它表示一个向量场的散度的梯度。
拉普拉斯算子常用符号表示为∇²或△，它的作用是对函数进行二阶偏导数的求和。
在笛卡尔坐标系中∇²=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²,其中，∂²/∂x²表示函数对x的二阶偏导数，∂²/∂y²表示函数对y的二阶偏导数，∂²/∂z²表示函数对z的二阶偏导数。
拉普拉斯算子在物理学中有广泛的应用，特别是在描述与波动、热传导等相关的现象时。
它出现在波动方程、热传导方程、亥姆霍兹方程等偏微分方程中，用于描述物理量在空间中的分布和变化规律。
总结起来，算子是数学中一种将函数映射为另一个函数的操作，用于描述物理量或现象的性质和变化规律。
《无穷维Hamilton算子的特征值问题》篇一摘要：本文探讨了无穷维Hamilton算子的特征值问题，首先对相关概念进行了阐述，接着对问题的基本性质进行了分析，然后利用数学分析方法和技巧对问题进行了解析和求解，最后对研究结果进行了总结和展望。
一、引言在数学物理和量子力学中，Hamilton算子是一个重要的概念，它描述了系统的能量和动力学特性。
随着研究的深入，人们开始关注无穷维Hamilton算子的特征值问题，这涉及到更广泛的物理系统和更复杂的数学结构。
本文旨在探讨无穷维Hamilton算子的特征值问题，为相关研究提供理论依据。
二、Hamilton算子及其基本性质Hamilton算子是一个自伴的线性算子，其定义在Hilbert空间上。
在无穷维的情况下，Hamilton算子具有更复杂的性质和更广泛的应用。
特征值问题通常指的是寻找满足特定条件的算子特征向量的问题。
对于Hamilton算子而言，其特征值和特征向量描述了系统的能量状态和波函数。
三、无穷维Hamilton算子的特征值问题无穷维Hamilton算子的特征值问题是一个复杂的数学问题，涉及到无穷维Hilbert空间中的自伴算子。
在这个问题中，我们需要找到满足一定条件的特征向量和特征值，这些特征向量和特征值描述了系统的能级和对应的波函数。
这个问题具有挑战性，因为需要处理无穷维的Hilbert空间和自伴算子。
四、问题的分析和求解为了解决无穷维Hamilton算子的特征值问题，我们采用了数学分析的方法和技巧。
首先，我们分析了Hamilton算子的基本性质和结构，包括其自伴性、正定性等。
然后，我们利用变分法、微分方程等数学工具对问题进行求解。
具体而言，我们首先通过构造适当的试探函数空间，然后利用自伴性和正定性等性质将原问题转化为一个有限维的优化问题。
接着，我们利用微分方程等工具对优化问题进行求解，得到了一组特征向量和特征值的近似解。
最后，我们通过数值分析和实验验证了我们的解的正确性和有效性。
《无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性》篇一一、引言在量子力学和数学物理中，Hamilton算子扮演着至关重要的角色。
它不仅用于描述系统的能量和运动状态，还是研究物理系统对称性的基础工具。
在无穷维空间中，Hamilton算子的四次数值域的对称性是一个重要的研究方向。
本文旨在探讨无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性，并分析其物理意义和数学性质。
二、Hamilton算子的基本概念Hamilton算子是一个描述系统能量和运动状态的算子，其定义涉及势能和动能等多个物理量。
在无穷维空间中，Hamilton算子具有特殊的性质和表现形式。
其四次数值域是指与Hamilton算子相关的四阶微分算子的数值域。
本文研究的对象就是该四次数值域的对称性。
三、四次数值域的对称性分析在无穷维空间中，Hamilton算子的四次数值域具有多种对称性。
这些对称性包括自共轭性、时间反演对称性和空间反演对称性等。
我们将分别对这些对称性进行分析。
首先，自共轭性是四次数值域最基本的对称性。
通过分析Hamilton算子的厄米性和酉性，我们可以得出四次数值域的自共轭性质。
这为后续分析其他对称性奠定了基础。
其次，时间反演对称性是指系统在时间反演操作下保持不变的性质。
我们将分析时间反演操作对Hamilton算子及四次数值域的影响，从而得出时间反演对称性的条件及物理意义。
最后，空间反演对称性是指系统在空间反演操作下保持不变的性质。
我们将探讨空间反演操作对Hamilton算子及四次数值域的作用，进而得出空间反演对称性的条件及数学表达。
四、物理意义和数学性质无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性在量子力学和数学物理中具有重要的物理意义和数学性质。
首先，这些对称性反映了系统在不同操作下的不变性，有助于我们更好地理解系统的性质和运动规律。
其次，这些对称性还与系统的能级结构、波函数等密切相关，对于解释实验现象和预测新现象具有重要意义。
在数学上，无穷维Hamilton算子四次数值域的对称性涉及到线性代数、泛函分析等多个领域的知识。
奇异离散线性哈密顿系统的亏指数及自伴扩张连续Hamilton(哈密顿)系统的基本理论研究开始于十九世纪三十年代.一切守恒的真实的物理过程都可以表示为Hamilton系统.因此,自从连续Hamilton 基本理论建立以来,它就成为非线性科学领域里面一个重要的组成部分,并且在数理科学、生命科学等领域,特别是量子力学、生物工程中有着广泛且重要的应用(参见[4,67]及其参考文献).微分算子的谱问题主要可以分为两类：定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则的谱问题；否则称为奇异的谱问题.正则的谱问题的研究已经形成了比较完整的理论体系,如特征值的性质,特征函数的正交性,平方可积解关于特征函数的展开定理,Rayleigh原理以及正交多项式理论等.同正则情况相比,奇异谱问题的研究相对复杂而困难.因为正则情况下的谱只有点谱,而奇异情况下除点谱外还可能产生其它谱点,如连续谱和奇异点谱.无论是理论上还是应用上,微分算子谱问题的研究都具有重要的意义.而对称算子的自伴扩张问题在算子谱问题的研究中是极其重要的.研究对称算子的自伴扩张问题主要有两种方法,一是von Neumann理论(参见[99]).经典的von Neumann理论给出了抽象的Hilbert空间中闭对称算子存在自伴扩张的充分必要条件.闭对称算子的自伴扩张可以通过对其伴随算子加适当的边界条件得到.第二种方法就是Glazman-Krein-Naimark (GKN)理论(参见[68]).它是由前苏联数学家Glazman, Krein及Naimark于1950年创立.GKN理论将辛几何和辛代数的理论应用于Hilbert空间中对称算子自伴扩张的研究中,指出所有的自伴算子扩张都可以通过对GKN集加适当的边界条件得到.对于奇异连续线性Hamilton系统,如果相应的确定性条件满足,由该系统生成的最大算子是良好定义的,最小算子是稠定的,而且最小算子的正负亏指数恰好等于该系统在上下半平面线性无关平方可积解的个数(参见[59,60,80].利用von Neumann理论和GKN理论,连续Hamilton系统(包括高阶对称微分方程)的自伴扩张域已经给出了完全的刻画(参见[13：14,15,41,75,90,91,92]等).但是,如果相应的确定性条件不满足,则最大算子可能是多值的,即不是通常意义下的算子,而且最小算子也可能不是稠定的[64].从而前面提到的方法就不适用了.随着信息技术的飞速发展和数字化计算机的广泛应用,出现了很多以离散Hamil-ton系统为支撑的数学模型.从而对离散Hamilton系统的研究引起了越来越多的学者的关注(参见[2,6,9,10,11,12,20,81,85]及其参考文献).离散系统有其实际的应用背景.众所周知,连续系统通常用微分系统来描述,但有些系统(如采样系统)却不能用微分系统来描述,而只能用离散系统来描述.另一方面,对于一般的非线性微分系统,其精确解是无法求出的,所以常常将其离散化为离散系统求其近似解.因此,离散Hamilton系统,不仅来源于连续Hamilton系统的离散化,也来自于遵循Hamilton 原理的离散过程,比如离散物理问题,离散控制问题等.虽然离散系统与其对应的连续系统有很多相似之处,但也有很多不同之处.而且,在某些方面,离散系统的问题研究起来更困难.离散的谱问题也分为两类,定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则的谱问题；否则称为奇异的谱问题.与连续系统相比,离散系统问题的研究还不是那么全面.对于正则谱问题的研究历史已经很长,并且取得了很多好的结果(参见[1,2,11,12,17,18,35,56,85]等)Atkinson[6]首先研究了无限区间上二阶对称的纯量差分方程的奇异谱问题,接着Hinton和Lewis等人做了进一步研究[48].随后史玉明,陈绍著,Clark, Smith, Bohner, Dosly, Jirari孙华清等对二阶及高阶形式自伴的向量差分方程与离散Hamilton 系统的谱问题进行了研究[16,19,54,66,71,72,84,85,86,87]. Clark与Gesztesy研究了具有分离型边值条件的奇异离散Hamilton系统的Titchmarsh-Weyl理论[20].对于奇异离散线性Hamilton系统史玉明建立了它的Titchmarsh-Weyl理论[81].随后,孙书荣、史玉明和陈绍著建立了奇异离散Hamilton系统的自伴扩张理论[95].孙华清在其博士论文中给出了由它生成的最小算子的自伴扩张域的刻画[89].但是,随后史玉明和孙华清发现,即使相应的确定性条件成立,文献[81,89,95]中定义的最大算子可能是多值的,即这里定义的最大算子不是通常意义下的算子,而且最小算子可能是不稠定的.不仅如此,最小算子也可能是多值的.这是差分方程与微分方程的又一个重要不同之处.所以我们有必要对离散系统的确定性条件作进一步深入的分析,并对前面出现的问题予以修正.由于离散Hamilton系统生成的最小算子可能是多值的和不稠定的,按照经典的算子理论它没有伴随算子.进而,其它的一些算子理论,如之前介绍过的适用于稠定Hermite算子的von Neumann自伴扩张理论和GKN理论,对离散系统就不适用了.为了解决这些问题,一些学者将稠定的Hermite算子的概念和相关理论推广到Hermite线性子空间Coddington和他的合作者[22,23,24]首先成功地将适用于对称算子的von Neumann自伴扩张理论推广到Hermite子空间.然后,证明了一个Hermite子空间有自伴子空间扩张的充分必要条件是其正负亏指数相等.随后,Lesch和Malamud把von Neumann公式推广到Hermite子空间[64].最近,史玉明又将经典的GKN理论推广到Hermite子空间[82],并在此基础上给出二阶形式自伴差分方程自伴子空间的全部刻画[83].这是奇异差分算子自伴扩张研究的先河.根据经典的或推广的von Neumann理论,一个对称算子或闭Hermite 子空间有自伴扩张当且仅当其正负亏指数相等,并且自伴扩张的表达式与亏指数有直接关系.因此,无论是微分算子还是差分算子,亏指数对研究自伴扩张有非常重要的意义.我们已经知道,在确定性条件下,由2m阶实系数形式自伴纯量微分方程生成的微分算子的正负亏指数相等,即d+=d-=d,且d恰好等于当λ∈C\R时该方程线性无关平方可积解的个数.对微分算子亏指数的研究结果有很多,如[27,28,29,30,33,37,42,55,57,58,62,63,65,70,98,102].特别地,Glazman在文献[43]中证明当区间(a,b)=(0,+∞),且x=0是正则点时,亏指数d满足不等式m≤d≤2m,且这个范围内的所有值都可以取到.另外,对于复系数形式自伴微分方程,正负亏指数可能不相等Mcleod在文献[65]中给出了一个正负亏指数是(2,3)的四阶复系数微分方程的例子.对于形式自伴差分方程来说,这方面的研究结果很少.本文研究奇异离散线性Hamilton系统的谱理论,包括离散线性Hamilton系统的确定性条件和亏指数,极限点型和极限圆型的判定；离散线性Hamilton系统的自伴子空间扩张的刻画和自伴算子扩张的刻画；2m阶形式自伴差分方程亏指数的取值范围,极限点型和强极限点型的判定,及其自伴算子扩张的刻画.本文分为五章.第一章是知识准备,介绍线性子空间,特别是Hermite线性子空间的基本知识,本文常用的矩阵的基本结论以及离散线性Hamilton系统的基本知识.第二章主要考虑离散线性Hamilton系统的确定性条件和亏指数.首先证明最小子空间的伴随子空间等于最大子空间.这个结论对后面研究由离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的亏指数和自伴扩张起到非常重要的作用.然后系统地研究了确定性条件,给出确定性条件的多个等价的叙述和多个充分条件.在此基础上,建立了离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的的亏指数与离散线性Hamilton系统线性无关平方可和解个数之间的关系式.特别地,证明亏指数与线性无关平方可和解个数相等的充分必要条件是确定性条件成立.这为接下来研究最小子空问的自伴扩张作好了铺垫.最后,给出几个极限点型和极限圆型的判定.在第三章中,我们讨论离散线性Hamilton系统生成的最小子空间的自伴子空间扩张.在第二章结果的基础上,首先,对离散线性Hamilton系统生成的最小子空间进行刻画.然后,利用线性无关平方可和解再对最大子空间进行刻画.最后,利用边界条件和线性无关平方可和解给出最小子空间的所有自伴子空间扩张的刻画.本章内容修正了文献[89]中的相应结果.我们知道,只有当最小子空间是算子时,它才有可能有自伴算子扩张.根据Coddington的结论,一个Hermite算子有自伴算子扩张的充分必要条件是其正负亏指数相等,并且所有这些自伴算子扩张都包含于其自伴子空间扩张中.所以,我们可以通过对自伴子空间适当加强条件而得到其自伴算子扩张.因此,要想给出最小子空间的自伴算子扩张,必须首先判断最小子空间是否是算子.在第四章,首先分别给出最小算子H0是算子的条件和是稠定的条件,然后再根据第三章所得的最小子空间自伴子空间扩张的刻画,给出最小子空间的自伴算子扩张的刻画.最后,第五章考虑2m阶形式自伴差分方程的亏指数和自伴算子扩张的刻画.首先证明对于实系数纯量差分方程,正负亏指数相等,即d+=d-=d,且满足不等式m≤d≤2m,而且证明在这个范围内的值都可以取到.这与Glazman关于微分方程的结论是一致的,但证明方法不一样.然后考虑纯量方程的极限点型和强极限点型的判定.最后,给出2m阶向量差分方程的所有自伴算子扩张的刻画.。
奇异H a m i l t o n算子的谱分析奇异Hamilton算子的谱分析解读大兴安岭：咋不转过身来?哲夫1、十年后将无树可采主题词：大兴安岭的生态环境已经失衡，最多可以再采伐十六年，弄不好十四年，再糟一点，十年后将无树可伐…樟子松大兴安岭林区开发初期总面积为849万公顷，活立木蓄积7.3亿立方米，有林地蓄积7.0亿立方米，其中可采的成过熟林蓄积4.6亿立方米。
全区森林覆被率75.7%。
近些年，人祸加上天灾，原有天然林资源遭受到严重破坏，过去随处可见的高大林木已被中幼龄林木所代替。
1995年森林覆盖率为74.24%，2002年是78.4%，有林地面积似乎增加了，但森林资源数量和质量却大幅度减少，每公顷蓄积量比1962下降了27.8%；部分森林的郁闭度在0.4以下。
兴安落叶松和樟子松的面积和蓄积所占的比重下降了三分之一以上，而白桦所占的比重且增加了三分之一以上。
2002年的森林资源数量与1962年相比，针叶林蓄积量由5.8亿立方米减少到3.6亿，减少37.9%；而阔叶树蓄积量由1.1亿立方米增加到3.6亿立方米，增加了26.4%。
优势树种兴安落叶松与白桦蓄积比值发生了重大变化，由7：1变为2.6：1。
1987年和1956年相比，幼龄林增加了1.5倍，中龄林增加了2.5倍，近熟林减少了38.4%，成过熟林减少了41.0%。
伐木场的工人从树种结构分析，樟子松减少了41.8%，兴安落叶松的面积增加了4.6%，而白桦增加了91.4%。
其他阔叶树减少了7.8%。
1998国家批准的"天保工程实施方案"规定，大兴安岭林区有林地面积中74.9%划为生态保护区，25.1%划为商品林经营区。
1998年木材产量310.3万立方米，1999年木材产量288.5万立方米；实际消耗森林蓄积492.6万立方米，两年间共减产木材102万立方米，森林资源消耗减少174.2万立方米。
木材产量由天保实施前1997年350.4万立方米，减至2001年214.4万立方米，年减少木材产量136万立方米。
目前年生产木材214.4万立方米，在生态保护的限伐区生态目的抚育伐出材量为105.4万立方米。
大兴安岭林业集团公司商品林经营区成过熟林蓄积为2,787.8万立方米，按目前"天保工程实施方案"要求，每年在商品林经营区主采出材量109万立方米，其中：主伐为78.7万立方米、更新主伐15.3万立方米、抚育15万立方米，实际上大兴安岭地区的木材生产还要考虑到以下因素：16年后大兴安岭将无树可采①根据大兴安岭林区的实际，林业集团公司各林业局的可采资源具有分布零星和不可及(按20%的成过熟林不可及计算)性。
②实际采伐作业时，根据伐区设计的标准，为了保证林下更新要保留一部分母树及小径木，至少要保留蓄积量的30%。
③现有的成过熟林林分质量较差，平均每公顷蓄积量为103立方米，还有一部分次生林和低产林，且分布于比较偏远的区域，木材运输成本高。
另一方面落叶松成过熟林木干形不良，树冠部分的主干部分不进行利用，且有些大径材的根部腐烂。
因此，为了提高木材生产的经济效益，降低相对的运输成本，主伐林木的实际产耗比达1：2。
如果考虑以上3个因素，目前大兴安岭林业集团公司在商品林经营区的木材生产只能维持9年，而接续的近熟林资源的蓄积量是1,880.6538万立方米，面积为19.0752万公顷，9年后达到2,103.8336万立方米，仅能再生产7年。
通过上述计算，大兴安岭成过熟林资源加上近熟林资源维持现在的木材产量只能进行16年(9+7=16)的木材生产。
届时现有的中龄林(平均林龄58年)进入可采的成熟林(林龄110年)还需36年(110-58-16=36)，也就意味着要出现36年无可采资源。
即使不考虑以上的3个因素，资源消耗比按1：1.7计算，成过熟林资源也只生产20年，接续的近熟林资源也只能再生产18年，仍要出现14年(110-58-20-18=14)无资源可采的事实。
也就是说，16年后，大兴安岭将无树可采。
没有原始森林藏身的动物还有另一个客观因素，2002年国家环保总局将大兴安岭地区纳入全国生态示范区建设试点后，在已建成的国家级自然保护区和南翁河森林湿地省级自然保护区的基础上，为了重点保护好嫩江、呼玛河，以及黑龙江的重点地域的森林生态环境，到2010年还将新建自然保护区10-15个，自然保护小区50个，植物保护地10处，新增保护区面积200万公顷，占全区总面积23.9%。
其中有林地面积占78.2%，使全区现在可进行生态目的的生产性经营的有林地面积减少156.4万公顷，导致维持现在木材产量(214.4万立方米/年)生产年限缩短2年以上。
大兴安岭的可采森林蓄积量经过14年(16-2=12)的木材生产(214.4万立方米/年)就会出现无可采资源。
事实上，这十六年的采伐还有潜在的危急，1、零星而分散的采集，必然要付出高额的生产成本。
2、幼、中龄林地抚育伐生产的木材多为小径木和病腐木，售价较低。
每生产1立方米木材亏损10.2元。
3、这必然会造成各林业局被迫违背"天然林保护工程"对森林采伐的要求，将部分抚育采伐任务安排在近、成过熟林中进行，并增大采伐强度来完成木材生产指标。
如果按目前的年抚育伐出材量105.4万立方米计算，限伐区的近、成过熟林资源将在10年内出现枯竭。
这样一来，十年后，大兴安岭将无树可伐。
结论：大兴安岭林区应尽早停止主伐！2、王忠林如是说主题词：去掉主伐这一块，财政上会出现一个很大的缺口，国家给我们一些补贴还是必须的。
需要多钱?一年大约需要30多个亿，这对国家来说也不是个小数，不过从大兴安岭对中国生态的贡献上讲，大兴安岭每年为国家创造的生态效益是161亿，生态效益花多少钱也买不来，还是很值得的！王忠林如是说我到大兴安岭工作已经是18个年头，在我这一生当中，始终从事林业工作，没有从事过别的工作，我经常开玩笑说，如果没有林业的话我也就失业了。
我感觉到，林业是一个国家一种文明的标志，不仅仅是一个经济发展的基础，同时也是一种文明的标志。
尤其现在中央提出要以人为本，坚持全面、和谐、可持续的发展观，林业是不可缺少的。
温总理经常说的一句话。
我们要全面、和谐、可持续的发展，其中生态是非常重要的。
大兴安岭，每年的GDP只是50多亿，但是大兴安岭每年为国家创造的生态效益是161亿，这161亿在我们国家的国民经济计划和统计体系当中却没有体现出来。
实行以人为本，实行人与自然的和谐，也是我们全面建设小康社会的重要内容之一，指标体系没有把它列进去显然是不完全的。
没有列入体系也会导致人们忽视生态，不珍惜生态，也存在着浪费生态资源的情况。
大兴安岭开发到现在已经40年，当时流传三句话，"进得去，站得下，拿出木材来"，可见当时我们国家对木材的需求是多么紧迫。
现在为国家提供木材还是不是大兴安岭的主要任务甚至是惟一任务呢?我们认为不是。
现在随着国民经济的发展，国家对木材的需求已经发生了深刻的变化。
大兴安岭拥有特殊的树种，生态方面的产品远远大于提供木材的产品，所以我们大兴安岭提出来要把大兴安岭定位在生态林区。
生态林区是不是仅提供生态功能呢?我们说不是，是坚持以生态功能为前提，同时发挥森林的经济、社会、生态方面的效益。
两句话，实施生态战略，发展特色经济。
猴头对生分公母，你在树上发现了一个猴头，对面一棵树上肯定还有一个你也看过材料了，自然也知道为什么我们认为在大兴安岭一棵树也不能再砍了。
不砍木头吃什么?怎么富?先把旅游鼓捣起来。
大兴安岭，是苦寒绝域。
大兴安岭人，就在冷上做起了文章，把冷卖给南方，卖给港澳台。
去年，来旅游的人，有9万，扔给大山5000万元。
北极村，夏卖北极光，冬卖嘎嘎冷，一年也能弄个几百万。
这回我们的旅游是找着北了。
再把畜牧业伺弄起来。
这里的畜牧业，貂、狐、兔、鹿，唱主角儿。
气候寒冷皮毛质量好。
到了赤道那个地方，有皮毛的东西可能也退化了。
我们大兴安岭的皮毛在日本、南韩、东南亚，不用介绍，他们自己检测就知道是黑龙江大兴安岭的。
成了市场的抢手货。
去年，仅畜牧业一项，就整了4个亿。
这项产业最养人。
再过几年养10万人没问题。
接下来把中草药研究明白。
大兴安岭是中草药王国。
黄芪的药效，比别的地方高11倍。
这儿的柴胡，一公斤卖43元。
即便小打小闹，弄个一两万跟玩似的。
都柿里提取的花青素，一吨卖到了200万。
放开手干安排十几万人是小菜一碟。
然后再把绿色食品倒腾到大都市。
大兴安岭四个字就值银子。
有一大帮子人正把山野菜、浆果，往山外倒腾，就连这里的土豆都叫座，那个康师傅吃大兴安岭的淀粉，都吃上瘾了。
还要继续把木材精深加工进行到底，木材精深加工，去年产值7.3亿元，获利6000万。
要把这块蛋糕做大，上生产线，生产纤维、胶合板，树枝树叶都是钱。
蓝莓，也叫都柿，亚格达，是浆果中的极品，维生素含量居所有水果之冠不砍树日子我们也照过，玩旅游，养活物，弄草药，搞绿色，造家具，八仙过海，各显其能！比如说今年冬天搞了第一次中国汽车黑龙江拉力赛，在黑龙江上搞汽车拉力赛，效果非常好。
还组织了中国北极熊冬泳队。
加格达奇的飞机也要通了。
还要搞一个驾车游，从加格达奇到漠河582公里，哈飞集团给了我们20台轿车，自己开车到漠河到北极村，在森林里驾驶的感觉在别处是没有的。
我们的机构已经没有闲人，砍了7个部门，撤并12个。
机关减员高达40%。
过去吃皇粮的直属有17家。
现在，让他们自己打食去。
目前已有13家断奶。
333户小企业，已实行产权改制。
或私营，或股份。
此举盘活资产5个亿，拨离债务4个亿。
通过改制1.6万人重新上岗。
你们已经看过，奋斗林场将资源管护全推向市场，成立家庭专户经营。
过去机关人员40多。
如今只剩3人。
艳丽的花朵细弱的树木当然了，去掉主伐这一块，财政上会出现一个很大的缺口，我们会努力补上这个缺口，但很有限，国家给我们一些补贴还是必须的。
一年大约需要30多个亿吧?这对国家来说也不是个小数。
不过从大兴安岭对中国生态的贡献上讲，大兴安岭每年为国家创造的生态效益是161亿，生态效益是花多少钱也买不来的，还是很值得的。
国家一分钱不给，还伐不伐树?这个问题不好回答，国家不给钱，这树也得逐年递减，一下子全不伐是不可能的。
这跟吃东西一样，种了一亩很好的萝卜，没粮食吃，为了充饥把还没长成的萝卜都拔了吃，萝卜还没长大就吃的一个不剩，冬天吃什么?明年吃什么?如果邻居家借给粮食吃，让萝卜好好的长大，卖了钱，不光可以还上邻居家的粮食，还有盈余够自己吃到明年，这就良性了。
何况，还有生态效益！那个好?那个不好?是一目了然的！3、硕果仅存美人松原生的美人松已经少见了我们在加格达奇一共呆了十天。
那天王忠林还邀来一大批满头华发的老林业工作者，我和老尚去采访他们。
