最新北师大版高中数学必修二教案(全册)

教学准备1. 教学目标1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力2. 教学重点/难点1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力3. 教学用具4. 标签教学过程二．重点知识（课前自学完成）1.阅读课本P38-40完成下列问题。

2．何谓直线与平面垂直的性质定理：文字描述：图形呈现：符号表示：1. 何谓平面与平面垂直的性质定理：图形呈现：符号表示：三、知识应用例1、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点求证：DF∥平面ABC例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相交，分别交AC、A1D于E、F 求证：EF∥BD1四自测达标1.对于直线m, n和平面，，能得出的一个条件是（）2.下列命题错误的是（）A．若，那么内的所有直线都垂直于B. 若，那么内一定存在直线平行于C. 若不垂直于，那么内定不存在直线垂直于D. 若，那么内有无数条直线都垂直于3.若直线a//直线b，且a平面，则直线b与平面的关系是（填“一定”或“不一定”）垂直4.已知三棱锥P-ABC，PA=PB，AC=BC，D为AB的中点，（1）求证：平面PAB平面PCD（2）求证：若E为PCD的垂心，则CE平面PAB。

(北师大版)数学必修2全套教案(北师大版)数学必修2全套教案2.1.1直线的倾斜角和斜率教学目标:知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)理解直线的倾斜角的唯一性.(3)理解直线的斜率的存在性.(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论.教学过程：（一）直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线a∥b∥c, 那么它们YXcbaO的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P．和一个倾斜角α．．．．．．．.(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x 轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)所以 x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.(六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.(八)板书设计:1（1（22用获得新知识的特点。

北师大版高中数学必修2全册学案第一章立体几何初步1.1 简单旋转体[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.课前自主学习几种简单旋转体【即时小测】1．思考下列问题(1)铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台提示：C 由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．3．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．②④提示：D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．课堂互动题型一球的结构特征例1 有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．[解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．[答案]①类题通法透析球的概念(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义．[变式训练1]下列命题：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球面上任意三点可能在一条直线上；③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．其中正确的命题序号为________．答案③解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确.题型二圆柱、圆锥、圆台的结构特征例2 下列命题：①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱的任意两条母线平行；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．[答案] C 类题通法透析几种旋转体的概念解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．[变式训练2] 下列命题中：①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．答案 ①②③④解析 由圆台与球的定义可知①②③④都对. 题型三 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征的应用例3 如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．[解] 如图，设圆台的母线长为y cm ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x cm,4x cm ，根据相似三角形的性质得33＋y ＝x4x， 解此方程得y ＝9，因此，圆台的母线长为9 cm.类题通法处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.[变式训练3]圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．答案3，2解析设正三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为32a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.培优训练易错点空间位置关系考虑不全导致漏解[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．[错解] 如图(1)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D 的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.在Rt△COE中，OC＝102－62＝8.在Rt△DOF中，OD＝102－82＝6.所以CD＝OC－OD＝8－6＝2.故这两个截面间的距离为2.[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误．事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．[正解]如图(1)(2)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，CD＝OC－OD＝102－62－102－82＝2.当两截面在球心两侧时，CD＝OC＋OD＝102－62＋102－82＝14.所以这两个截面间的距离为2或14.课堂小结1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.随堂巩固训练1．图1是由哪个平面图形旋转得到的( )答案 D解析图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )A．一个圆台和两个圆锥 B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥 D．一个圆柱和两个圆锥答案 D解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体．3．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②解析 ①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)；②正确，如图(2)；③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．4．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．答案 9π解析 如下图，把圆台还原成圆锥，设截面⊙O 1的半径为r ，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以SO SO 2＝14.设SO ＝x ，则SO 2＝4x ，从而OO 2＝3x .因为OO 1∶O 1O 2＝2∶1，所以OO 1＝2x ，则SO 1＝SO ＋OO 1＝3x .在△SBO 1中，1r ＝SO SO 1＝x3x ，所以r ＝3，因此截面的面积是9π.1.2 简单多面体[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.课前自主学习1．几种常见的简单多面体2．我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．【即时小测】1．思考下列问题(1)如下图中的几何体，哪些是旋转体？哪些是多面体？提示：观察图中的几何体，其中②是圆柱，③是圆锥，④是半球，⑥是圆台，都是旋转体；①和⑤都是由若干个平面多边形围成的几何体，都是多面体．(2)棱锥有哪些作为棱锥集合的特征性质？如何利用棱锥的特征性质给棱锥下一个定义？提示：通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥提示：D 六棱锥的所有棱长不能都相等．3．棱台不一定具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点提示：C 只有正棱台的侧棱都相等．课堂互动题型一棱柱的结构特征例1 下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形[解析]由棱柱的定义可判断A、B、C均错，故选D.[答案] D类题通法棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．三个条件缺一不可．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[变式训练1]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．答案③④解析三棱柱的两底面都是三角形，所以①②错误．③显然正确．对于④若用平行于底面的平面截棱柱，则截成的两部分都是棱柱，故④正确.题型二棱锥、棱台的结构特征例2 下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．[解析]因为棱台的侧棱延长后必交于一点所以侧面一定不会是平行四边形，故①正确，②③显然也正确．对于④一个四棱锥沿顶点与底面对角线切开是两个三棱锥，故④错误．[答案]①②③类题通法棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法[变式训练2]判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？答案图①，②，③都不是棱台．解析因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.题型三几类特殊的四棱柱例3 一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形D．每个侧面都是全等的矩形[解析]将正方体ABCD－A1B1C1D1的下底面ABCD水平移动一段距离(上底面A1B1C1D1不动)，形成新的几何体，如下图所示．新的几何体底面ABCD为正方形，侧面B1BCC1与A1ADD1是矩形，且侧面ABB1A1，侧面CDD1C1与底面的垂直关系未发生变化，但它是斜四棱柱，故A、B错；对于D选项，底面是菱形的直四棱柱每个侧面都是全等的矩形，但它不是正四棱柱．故选C.[答案] C类题通法几种四棱柱之间关系是判断基础四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正方体、正四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下图所示：[变式训练3]用一个平面去截正方体，所得截面不可能是( )A．六边形B．菱形C．梯形D．直角三角形答案 D解析用一个平面去截正方体，当截面为三角形时，可能为锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能为直角三角形．培优训练易错点⊳概念理解不透判断易错[典例] 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因分析] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解]满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系棱柱、棱锥、棱台的关系如下图所示.2.棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．所谓多面体就是由平面多边形所围成的几何体，它还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体.随堂巩固训练1．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析三棱锥的四个面都是三角形都可以作为棱锥的底面．2．下列几何体中棱柱有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个答案 D解析由棱柱的定义可知，只有①③两个满足棱柱的定义，故选D.3．下面三个命题，其中正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分一定是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析本题主要考查棱台有关的概念．关键利用棱台的定义和特殊的几何体加以说明．命题①中的平面不一定平行于底面，故①错；命题②③可用举反例说明不成立，如图所示，故②③不对．4．已知集合I＝{四棱柱}，M＝{平行六面体}，N＝{直平行六面体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{长方体}，R＝{直四棱柱}，S＝{正方体}，则下列关系中不正确的是( )答案 C解析各个集合中的元素首先都是四棱柱，所以选项D中的关系是正确的；正方体是侧棱与底面边长都相等的正四棱柱，而正方形是矩形的特例，所以正四棱柱是特殊的长方体，再由长方体的定义知选项A中的关系是正确的；同理选项B的关系也正确；而M∩R＝N，且直平行六面体的底面不一定是矩形，所以选项C的关系不正确．2 直观图[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.课前自主学习1．平面图形直观图的画法 斜二测画法规则：(1)在已知图形中建立平面直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.2．立体图形与平面图形相比多了一个 z 轴，其直观图中对应于z 轴的是 z ′轴，平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示直立平面．平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．【即时小测】1．思考下列问题(1)相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定．例如正方形的直观图为平行四边形． (2)空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同． 2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )A ．①②B ．①②③C ．②⑤D ．③④⑤提示：C 因为长方形的直观图中直角应为45°角，且平行线仍为平行的平行四边形，只有②⑤满足．3．梯形的直观图是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．三角形D ．任意四边形提示：A 因为梯形的两底在直观图中应平行且不相等，故仍为梯形． 4．如图所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________．提示：6 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S△AOB＝12OA ·OB ＝6.课堂互动题型一 画水平放置的平面图形的直观图例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．[解] 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．类题通法本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”“画图”简便易行.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.[变式训练1] 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x ′轴、y ′轴， 使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝OB ＝OC ＝2 cm ，在y ′轴上取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示.题型二 空间几何体的直观图 例2 画出正五棱柱的直观图．[解] (1)画轴．画x ′轴、y ′轴和z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图①所示．(2)画底面．按x ′轴、y ′轴画正五边形的直观图ABCDE .(3)画侧棱．过点A 、B 、C 、D 、E 分别作z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′都相等．(4)成图，顺次连接A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．类题通法画空间几何体的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.[变式训练2] 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的直观图．解 画法：(1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°. (2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．题型三 由直观图还原平面图形例3 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )A.24a 2B ．22a 2C ．a 2D ．2a 2 [解析] 由直观图还原出原图，如图，所以S ＝a ·22a ＝22a 2.[答案] B类题通法由直观图还原平面图形的关键两点(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[变式训练3]一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为( )A．2 B. 2 C．2 2 D．4答案 D解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的22倍，梯形OA′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.培优训练易错点⊳画直观图时忽略斜二测画法的规则[典例] 画出下图中四边形OABC的直观图．[错解] 如图(1)所示，画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ＝45°.在x ′轴上取O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，在y ′轴上取O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝90°，取A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，擦去辅助线，所得四边形O ′A ′B ′C ′为四边形OABC 的直观图，如图(2)所示．[错因分析] 错解中没有将∠B ′D ′A ′画成135°.[正解] 如图(1)所示，画x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上取O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，在y ′轴上取O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，取A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，擦去辅助线，所得四边形O ′A ′B ′C ′为四边形OABC 的直观图，如图(2)所示．课堂小结1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：S 直S 原＝24. 2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.随堂巩固训练1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )A ．16B ．64C．16或64 D．无法确定答案 C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )答案 C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3．在用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，与轴不平行的线段的长度( ) A．变大B．变小C．一定改变D．可能不变答案 C解析当与x轴不平行时，过该线段的中点作x轴的垂线，该垂线与y轴平行，画直观图时，该直线平行于y′轴，并且长度减半，从而原线段端点位置改变，导致长度改变．4．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形答案 C解析水平放置的△ABC有一边在水平线上，因为直观图是正三角形，所以原图形有一角大于90°，故为钝角三角形．3 三视图[学习目标] 1.理解三视图的概念；能画出简单空间图形的三视图． 2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图． 3.能识别三视图所表示的立体模型.课前自主学习1．组合体(1)定义：由基本几何体生成的几何体叫作组合体．(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体拼接成组合体；另一种是从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．2．三视图(1)空间几何体的三视图是指主视图、左视图、俯视图．(2)三视图的排列规则是俯视图放在主视图的下方，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．(3)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从正前方、正上方、正左侧观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形．【即时小测】1．思考下列问题(1)对于一般的物体，三视图分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)?提示：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映物体的高度和宽度．(2)三视图中的三个图形一般怎样排列？对于一般的几何体，几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？提示：三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．为了便于记忆，通常说：“长对正，高平齐，宽相等”或说“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”．(3)下面是某一几何体的三视图，想象几何体的结构特征，你能画出几何体的直观图吗？提示：由几何体的三视图可知，几何体是一个倒立的三棱台，即上底面面积大，下底面面积小，直观图如下图．2．如下图所示，乙图是甲几何体的________视图．。

北师大版高中数学必修2第一章《立体几何初步》全部教案法门高中姚连省1.1简单几何体第一课时1.1.1简单旋转体一、教学目标：1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。

三、教学方法（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）教法：探析讨论法。

四、教学过程：(一)、新课导入：1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过哪些？3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.(二)、研探新知：（Ⅰ）、空间几何体的类型问题提出：1.在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？2.对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？探究：空间几何体的类型思考1：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.你能列举那些空间几何体的实例？思考2：观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？思考3：如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成那几种类型？思考4：图（2）（5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？多面体思考5：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么名称？旋转体思考6：一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体7（Ⅱ）1.①②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→列举生活中的棱柱实例→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法③观察书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体.2、探究圆台的结构特征：①定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.→列举生活中的实例结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.②讨论：圆台的表示？圆台可如何旋转而得？③讨论：圆台分别具有一些什么几何性质？圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.3．探究球体的结构特征：①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.→列举生活中的实例结合图形认识：球心、半径、直径.→球的表示.②讨论：球有一些什么几何性质？③讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）（三）、课堂小结：几何图形；相关概念；相关性质；生活实例；（四）、巩固练习：1. 练习：教材P7 1、2题.2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.4.判断下列说法是否正确: （1）、圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面。

“形”——倾斜角，一个是“数”——斜率，通过学生的主动参与实现知识由感性认识到理性认识的转变。

教学方法和手段1）教学方法：观察探究、启发引导与学生的自主实践相结合。

通过师生、生生的交流与合作，实现学生自觉、主动、积极地学习。

2）教学手段：利用多媒体教室，使学生通过交互式电子白板、几何画板来主动的探求刻画直线的要素，以及猜想、实验、证明斜率与倾斜角的关系。

自主操作运用《几何画板》软件进行数据处理、分析，并和老师、同学进行交流，实现师生、生生间的互动。

教学环节教学内容活动设计设计意图提出问题导入新课通过观察图形得出：刻画一条位置确定的直线需要一个点和一个方向。

提问：怎样刻画一条位置确定的直线呢？思考：一个点在坐标系中可以用坐标来刻画一个方向在坐标系中如何刻画呢？-----引出课题《直线的倾斜角和斜率》自然合理地提出问题，从最简单的问题着手，创造轻松的氛围。

让学生感知刻画一条位置确定的直线需要一个点和一个方向，两个条件缺一不可。

抽象概括探究新知（一）学生目前对直线倾斜程度的认识都来自对直线图形的直观感受，我们通常在形容直线倾斜程度的时候是以什么为参照的呢？这种以水问：如何刻画直线的方向呢？问：生活中通常以什么方向作为参照来刻画物体的倾斜程度呢？（水平方向）问：直线的方向在坐标系中能不能以轴正方向为参照通过一个角度来刻画呢？探究直线倾斜角的概念，通过对已有相关知识的回顾和深入分析以及观察图形，自然地提出问题，以问题制造悬念，引平方向为参照方向的视觉习惯让学生感受到，直线的倾斜程度或者说方向需要一个几何角度来衡量。

探究直线倾斜角的概念-----引出直线倾斜角的定义让学生动手实践感知四种不同类别的倾斜角。

对于一条与x轴重合或平行的直线，它的倾斜角为︒0,倾斜角的范围为），︒︒1800[。

领着学生来到新知识的生成场景中．为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情。

讲授新课,y yk x xx x-=≠-即：问：（1）经过点000(,)P x y且倾斜角为00的直线方程是什么？答：直线与y轴垂直，直线方程为：y y=（2）经过点000(,)P x y且倾斜角为090的直线能用点斜式方程表示吗？答：直线与x轴垂直，所以直线方程为：x x=例1求下列直线的方程（1）直线l：过点()1,2，1-=k;（2）直线l：过点()1,2和点()3,3-（3）直线l过点()5,0,1-=k问：若已知直线l与y轴的交点为(0,)A b，的斜率等于k，求直线l的方程。

方程bkxy+=与我们学过的一次函数的表达式类似．我们知道，一次函数的图象是一条直线．你如何从直线方程的角度认识一次函数bkxy+=？一次函数中和b的几何意义是什么？例2：求过点()1,0，斜率为-21的直线方程？问：已知两点()112,P x x，()222,P x y，其中()1212,x x y y≠≠，求通过这两点的直线方程解：当21x x≠时，直线斜率存在，且斜率2121y ykx x-=-，学生根据斜率公式，可以得到直线的点斜式。

教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。

在学生得到上式后，要求学生小组讨论，并思考直线的两种特殊情况。

通过做题使学生了解方程为点斜式方程必须满足两个条件。

学生独立完成练习，并展示答案。

引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程本课总结使学生对直线方程的理解有一个整体的认识，同时养成良好的学习习惯布置作业课后习题练习题86页87页练习第2题，第3题；课后练习89页A组第1题,第3题；课后练习89页B组第2题，第3题。

让学生思维由具体问题向含参问题过渡，给学生更多的应用数学思想的空间，分层梯度训练让学生夯实基础，逐步提高教学反思本节课通过对直线方程的推导和探究，让每一位学生都能积极主动参与到教学活动中，并且敢于发表自己的见解，调动了学生学习的兴趣，使学生的主体地位得到充分的体现，也使得本节课的重点和难点得以突破但是，在探究过程中没能把握好时间的安排，使得未能安排深入性对五类直线特殊形式问题的练习，对知识点的巩固运用形式比较单一板书设计 一．黑板布局直线的几种形式一、点斜式：二、斜截式：b kx y += 三、两点式：()1112122121,y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 四、截距式：1=+bya x （a ,b 均不为0）五、一般式：)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax例题解析过程：例1求下列直线的方程 例2：求过点()1,0，斜率为-21的直线方程 例3、已知直线与轴的交点为Aa,0,与轴的交点为B0,b 其中a ≠0,b ≠0,求这条直线的方程例4已知直线经过点)4,-6(A ，斜率为34-，求直线的点斜式、一般式和截距式方程 例4、。

北师大版必修第二册全册学案第一章三角函数.................................................................................................................... - 2 - 1周期变化 ................................................................................................................... - 2 - 2任意角 ....................................................................................................................... - 8 - 3弧度制 ..................................................................................................................... - 14 - 4正弦函数和余弦函数的概念及其性质.................................................................. - 20 - 5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识.......................................................... - 35 -ωx＋φ的性质与图象................................................................... - 50 - 6函数y＝A sin ()7正切函数 ................................................................................................................. - 67 - 8三角函数的简单应用.............................................................................................. - 76 - 第二章平面向量及其应用.................................................................................................. - 85 - 1从位移、速度、力到向量...................................................................................... - 85 - 2从位移的合成到向量的加减法.............................................................................. - 92 - 3从速度的倍数到向量的数乘................................................................................ - 107 - 4平面向量基本定理及坐标表示............................................................................ - 119 - 5从力的做功到向量的数量积................................................................................ - 136 - 6平面向量的应用.................................................................................................... - 150 - 第三章数学建模活动（二）............................................................................................ - 188 - 1建筑物高度的测量................................................................................................ - 188 - 2测量和自选建模作业的汇报交流........................................................................ - 188 - 第四章三角恒等变换........................................................................................................ - 195 - 1同角三角函数的基本关系.................................................................................... - 195 - 2两角和与差的三角函数公式................................................................................ - 205 - 3二倍角的三角函数公式........................................................................................ - 237 - 第五章复数 ....................................................................................................................... - 255 - 1复数的概念及其几何意义.................................................................................... - 255 - 2复数的四则运算.................................................................................................... - 268 - 3复数的三角表示.................................................................................................... - 282 - 第六章立体几何初步.......................................................................................................... - 291 - 1基本立体图形........................................................................................................ - 291 - 2直观图 ................................................................................................................... - 310 - 3空间点、直线、平面之间的位置关系.............................................................. - 318 - 4平行关系 ............................................................................................................... - 335 - 5垂直关系 ............................................................................................................... - 364 - 6简单几何体的再认识............................................................................................ - 394 -第一章三角函数1周期变化学习任务核心素养1．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点) 2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点)1．通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养．在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现．我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题．你还能列举日常生活中周期变化的实例吗？知识点1周期函数的概念一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．1.(1)是否所有的函数都是周期函数？(2)周期函数的周期唯一吗？[提示](1)不是，如y＝x＋1就不是周期函数．(2)周期函数的周期不唯一，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．知识点2最小正周期如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．2.(1)为什么规定T非零？(2)常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示](1)T若为零，则任意函数都是周期函数．(2)是周期函数，其周期是任意非零实数．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了______个周期．10[4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．]类型1周期现象【例1】水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？[解]因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).1.周期现象的判断首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．2.收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观地发现函数的周期性．[跟进训练]1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？[解]设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5×160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．类型2周期函数【例2】 (教材北师版P 3例3改编)已知函数f (x )满足f (x )f ()x ＋2＝13，求证：f (x )是周期函数．1．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝－f (x )，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝－f ()x ＋a ＝－[]－f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．2．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝1f ()x ，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝1f ()x ＋a ＝11f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．[证明] 由已知得f ()x ＋2＝13f ()x ， 所以f ()x ＋4＝13f ()x ＋2＝1313f ()x ＝f (x ). 所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．判定一个函数是周期函数需分两步(1)先猜想出其周期；(2)用周期函数的定义证之．[跟进训练]2．已知函数f (x )满足f ()x ＋1＝1＋f ()x 1－f ()x ，求证：f (x )是周期函数． [证明] 由已知得，f ()x ＋2＝1＋f ()x ＋11－f ()x ＋1＝1＋1＋f ()x 1－f ()x 1－1＋f ()x 1－f ()x ＝2－2f ()x ＝－1f ()x .所以f ()x ＋4＝－1f ()x ＋2＝－1－1f ()x ＝f (x ).所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．类型3 周期函数的应用【例3】 (教材北师版P 2例2改编)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f ()x ＋2＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f ()π的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调递增(或减)区间．第(1)问，先求函数f (x )的周期，再求f ()π的值；第(2)问，推断函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，观察图象写出．[解] (1)由f ()x ＋2＝－f (x )，得f ()x ＋4＝－f ()x ＋2＝－[]－f ()x ＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，∴f ()π＝f ()－1×4＋π＝f ()π－4＝－f ()4－π＝－()4－π＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f ()x ＋2＝－f (x )，得f []()x －1＋2＝－f ()x －1＝f ()1－x ，即f ()1＋x ＝f ()1－x .故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △ OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k ∈Z ).研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究．[跟进训练]x＋4＝f(x)，则f(2)＝() 3．(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f()A．0B．1C．2D．3(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7 C．8 D．9(1)A(2)B[(1)由题意，f(x)为周期函数且周期为4，∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，又f(－2)＝－f(2)，则f(2)＝－f(2)，所以f(2)＝0.(2)当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.]当堂达标1．下列变化中，不是周期现象的是()A．“春去春又回”B．钟表的分针的运行C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天上学的时间D[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D.] 2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，16＝()1]上的图象，则f()A.1 B ．0 C ．－1 D ．2A [由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f ()16＝f ()5×3＋1＝f ()1，而由图象可知f (1)＝1，所以f ()16＝1.]3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，f (1)＝ 4，则f ()3＋f ()10的值为________．4 [由题意可知f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，令x ＝－2，可求得f ()－2＝0，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ()2＝0，即f ()x ＋4＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，又f ()1＝4，所以f ()3＋f ()10＝f ()－1＋f ()2＝f ()1＋0＝4.]4．若f (x )是以π2为周期的函数，且f (π3)＝1，则f (－2π3)＝________．1 [f (－2π3)＝f (π3－2×π2)＝f (π3)＝1.]5．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s ，第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________s.1.4 [质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T 2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s).]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.周期函数的定义是什么？如何判断f (x )是周期函数？[提示]一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么y＝f(x)称作周期函数，利用周期函数的定义及一些常用的结论判断．2.周期函数的定义域有什么特点？[提示]设周期为T的函数的定义域为M，则x∈M，则必有x＋nT∈M(且n∈Z 且n≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集．2任意角学习任务核心素养1．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)2．掌握终边相同的角的含义及其表示．(难点)1．通过对任意角与象限角的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助终边相同的角的表示，培养数学运算素养．周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？知识点1角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．知识点2按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角1.(1)角的三要素是什么？(2)正角、负角、零角是根据什么区分的？[提示](1)角的三要素是顶点、始边、终边．(2)根据射线是否旋转及旋转的方向．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角是钝角．()(4)将时钟拔快20分钟，则分针转过的度数是120°. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×知识点3象限角如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2.第二象限角比第一象限角大吗？[提示]不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.2.－300°是第()象限角A．一B．二C．三D．四A[因为－300°的终边和60°的终边相同，所以它是第一象限角，故选A.] 知识点4终边相同的角给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．3.终边相同的角一定相等吗？[提示]不一定．如30°与390°角的终边相同，但并不相等．3.将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．[答案]195°＋(－3)× 360°类型1角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．(1)(2)[解]由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.1.理解角的概念的三个“明确”2.表示角时的两点注意(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”.(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负．[跟进训练]1．(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．(1)－150°210°(2)－60°[(1)α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.]类型2终边相同的角【例2】(教材北师版P7例3改编)已知α＝－1 190°.(1)把α写成β＋k× 360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.[解](1)α＝－1190°＝250°－4×360°，其中β＝250°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值即可．[跟进训练]2.写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．[解]终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．类型3象限角【例3】(教材北师版P6例1改编)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．根据终边相同的角一定是同一象限的角，可以先写出第一象限角的范围和第二象限角的范围，再加上360°的整数倍即可．[解]第一象限角的集合：S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．第二象限角的集合：S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．,象限角的判定方法,因为在直角坐标平面内，0°～360°范围的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系，所以可利用终边相同的角的表示将角转化到0°～360°范围内来判断．[跟进训练]3．在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3C[－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．]当堂达标1．设A＝{α|α为锐角}，B＝{α|α为小于90°的角}，C＝{α|α为第一象限的角}，D＝{α|α为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝DD[根据角的分类，可知应选D.]2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3000°，－840°B[因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角与750°角的终边相同．]3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}C[－457°＝－2×360°＋263°，故选C.]4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．－252°[∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.]5．－1 060°的终边落在第________象限．一[因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边在第一象限．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.高中阶段所学的角与初中所学的角有什么不同？[提示]对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2.用集合表示区域角时表示形式唯一吗？[提示]区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．3弧度制学习任务核心素养1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．(重点、难点)2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3．掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式．(重点)1．通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养．2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养．度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量也可以用不同的单位制，那么测量角除了角度外，是否还有其它单位，它是怎样定义的？这就是本节课我们要重点研究的问题．知识点1弧度制的定义在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制．1.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？[提示]确定．知识点2角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017_45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′2.(1)在角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？(2)在弧度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少弧度？[提示](1)1度；(2)π180弧度．1.(1)与120°角终边相同的角为()A．2kπ－2π3(k∈Z)B．11π3C．2kπ－10π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)(2)－23π12化为角度应为()A．－345°B．－15°C．－315°D．－375°(1)C(2)A[(1)120°＝2π3且2kπ－10π3＝(2k－4)π＋2π3(k∈Z)，∴120°与2kπ－10π3(k∈Z)，终边相同．(2)－23π12＝－2312×180°＝－345°.]知识点3弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝απr180l＝αr扇形的面积S＝απr2360S＝12lr＝12αr22.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．32[由弧长公式l＝αR，得α＝lR＝1812＝32.]类型1弧度制的概念【例1】下列说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关D[A正确；1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，B正确；根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误，故选D.]1.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π．2.在角度制下，角x与其正弦sin x无法进行运算，在弧度制下，角x是一个实数，与其正弦sin x就可以进行运算，这拓展了我们所研究函数的范围．[跟进训练]1．下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D[根据1rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角．对照选项，知A、B、C正确，D项错误．]类型2角度制与弧度制的互化【例2】(教材北师大版P10例1、例2改编)将下列各角度与弧度互化．(1)112°30′；(2)94π rad；(3)－3 rad.[解](1)112°30′＝112.5°＝π180rad×112.5＝5π8rad.(2)94π rad＝94×180°＝405°.(3)－3 rad＝－3×180°π≈－171.9°.1.在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是解题的关键．2.一些特殊角30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记．3.弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如β＝2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．[跟进训练]2．把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.[解]∵－1480°＝π180×(－1480)＝－74π9.又∵－74π9＝－10π＋169π，且0≤169π<2π.∴－1480°＝2×(－5)π＋16 9π.类型3弧长公式与扇形面积公式【例3】已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？先用半径r表示弧长，再依据S＝12lr建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，最后利用配方法求最大值．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.∵l＝20－2r，∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10).∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.此时α＝lr＝20－2×55＝2(rad).∴当扇形的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.本例将条件改为“已知扇形周长为10，面积为4”试求扇形的圆心角的大小．[解] 设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍). 故扇形圆心角为12rad.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，解决扇形中的有关最值问题可运用函数思想，将扇形面积表示为半径r 的函数，再求该函数的最值．[跟进训练]3．(1)一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．(2)已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.则AB 的长为________．(1)2 rad (2)4π [(1)设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.(2)∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴AB ︵的长l ＝23 π×6＝4π.]当堂达标1.3π5弧度化为角度是( )A ．110°B ．160°C ．108°D ．218°C [3π5＝35×180°＝108°.]2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cm B ．23π cm C ．2003π cm D ．4003π cmA [根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm).]3．把22°30′化为弧度的结果是________．π8 [22°30′＝22.5°＝22.5180π＝π8.]4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的度数为________rad.π3 [因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°即为π3 rad.]5．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为________．{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z } [若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z ).],回顾本节内容，自我完成以下问题：1.角的概念推广后，角的集合与实数集R 之间是怎样的关系？[提示] 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2.在解决与角有关的问题时，应注意什么？[提示] (1)解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．(2)在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．,4正弦函数和余弦函数的概念及其性质4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义4．2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习任务核心素养1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．(重点)3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．(重点)1．通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养．2．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养．在初中，由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义．如何定义一般情形下的三角函数的定义呢？(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P()u，v.正弦函数sin α余弦函数cos α定义 点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数值，记作v ＝sin_α点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数值，记作u ＝cos_α在各象限的符号1.已知Q ()x ，y 是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ [提示] sin α＝y x 2＋y 2，cos α＝xx 2＋y2.1.点P (sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限． 三 [∵2 020°＝5×360°＋220°， ∴2 020°是第三象限角， ∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0， ∴点P 位于第三象限．]知识点2 正弦函数、余弦函数的基本性质 性质 正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x定义域 R值域 []－1，1最大值与 最小值 当x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－1 当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝()2k ＋1π，k ∈Z 时，y min＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2， k ∈Z 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， 在[]2k π－π，2k π， k ∈Z 上单调递增的； 在[]2k π，2k π＋π， k ∈Z 上单调递减k ∈Z 上单调递减2.为什么y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数？[提示] 因为∀x ∈R ，x ＋2π与x 终边相同，所以sin ()x ＋2π＝sin x ，根据周期函数的定义可知，y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数．2.已知sin x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6， 则m 的取值范围是________． －74≤m ≤－54 [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴结合单位圆知sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，即－12 ≤2m ＋3≤ 12.∴－74 ≤m ≤－54.]类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (教材北师版P 15练习1改编)已知角α的终边过点P ()－3a ，4a ()a ≠0，求2sin α＋cos α的值．[解] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45， cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a＝－45， cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法1.在角α的终边上任选一点P (x ，y )，求出点P 到原点的距离为r ()r >0，则sin α＝y r ，cos α＝xr ．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值． [解] 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋()3a 2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12 . 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.类型2 正弦、余弦函数值符号的判断【例2】 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4.(1)D [∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D.] (2)[解] ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin 3＞0，cos 4＜0，∴sin 3·cos 4<0.,对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[跟进训练]2．若三角形的两内角A，B满足sin A cos B<0，则此三角形为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能B[由题意知，A，B∈(0，π)，∴sin A＞0，cos B＜0，∴B为钝角．故选B.]类型3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【例3】(教材北师版P18例3改编)已知函数f(x)＝2sin x－1.求(1)函数f(x)的定义域；(2)函数f(x)的值域；(3)函数f(x)的单调区间．若研究与三角函数有关的不等式问题，我们通常考虑数形结合思想求解．[解](1)要使函数f(x)有意义，则sin x≥1 2.如图所示，画出单位圆，作直线y＝12，交单位圆于P1，P2两点，在[0，2π)范围内，sin π6＝sin5π6＝12，则点P1，P2分别在5π6，π6的终边上，又sin x≥12，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin x≥12的角α的终边所在的范围，即当x∈[0，2π)时，π6≤x≤5π6，故函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z (2)由12≤sin x ≤1，得f (x )的值域为[]0，1. (3)函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋π2()k ∈Z ，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋5π6()k ∈Z .若将例3函数的解析式改为“f (x )＝－2cos x －1”试求函数f (x )的定义域． [解] 若使函数f (x )有意义，则－2cos x －1≥0，即cos x ≤－12.作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用单位圆解三角不等式的一般步骤第一步：找出不等式对应方程的根；第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域； 第三步：结合单位圆写出不等式的解集．[跟进训练]3．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个取值区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D ．[0，π]A [如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及直线y ＝x ，要使sin x ≤cos x ，由三角函数线的定义知角x 的终边应落在直线y ＝x 上或者该直线的下方，故选A.]当堂达标1．设已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )A ．－32B ．－12C ．32D ．12B [由于x ＝－32，y ＝－12，由正弦函数的定义知，sin α＝y ＝－12，故选B.] 2．当α为第二象限角时，||sin αsin α－cos α||cos α的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 C [∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴||sin αsin α－cos α||cos α＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.]3．若sin α≥32，则角α的取值范围是___________________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z[如图作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .]4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P ()4，y 是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．－8 [∵sin θ＝y 42＋y2＝－255， ∴y <0，且y 2＝64，∴y ＝－8.]5．u ＝12cos α，α∈[－π3，2π3]的单调递增区间是________，单调递减区间是________．[－π3，0] [0，2π3] [由图可知u ＝12cos α，在[－π3，0]上是增函数，在[0，2π3]上是减函数．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.借助单位圆，思考正弦函数，余弦函数的定义域、值域、周期、单调区间各是什么？[提示] 正弦、余弦函数的定义域、值域、周期均相同，分别是R 、[－1，1]、2π.正弦函数的单调增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，余弦函数的增区间为[2k π－π，2k π](k ∈Z )，减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z ).2.如何判断正弦函数值和余弦函数值在各象限内的符号？ [提示] (1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号． (2)余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．4．3 诱导公式与对称 4．4 诱导公式与旋转学 习 任 务核 心 素 养1．了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．(重点)2．理解诱导公式的推导过程．(难点)3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函1．借助诱导公式的推导，培养逻辑推理素养．2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养．。

北京师范大学出版社必修2 第一章立体几何初步垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定教材分析：本节课是垂直关系的判定的第一课时，主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用,是立体几何的核心内容之一。

其中线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法，而判定定理则体现了线线垂直与线面垂直的转化。

学好本节，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到立体空间图形的飞跃有非常重要的作用。

另外，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况,它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带,因此线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，在教材中起到了承上启下的作用。

学情分析：学生在初中几何中已学过线线垂直，并对线面垂直有直观的认识，而高中也已经学习了直线和平面、平面与平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。

教学目标：1.知识与技能：通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理进行简单应用。

2.过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，让学生在合作探究中逐步构建知识结构，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

3.情感、态度与价值观：通过让学生亲身经历线面垂直定义及定理的探究，让学生进一步认识到数学与生活的联系，体会数学原理的广泛应用，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重点：直线与平面垂直的判定定理。

教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。

教学准备：多媒体课件，三角板，三角形纸片教师教法：本节课主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用，其中定义的教学是一个重构的过程，是一个意义赋予的过程，需要经历定义的引入，理解，运用三个阶段。

因此设计的教法为：呈现定义原型，构建定义，运用定义。

判定定理的教学策略是重视其发现过程，让学生在探索中感受、体验、成长。

北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》全部教案§2、1直线与直线的方程 第一课时 直线的倾斜角和斜率一、教学目标: 1、 知识与技能：（1）、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．（2）、理解直线的倾斜角的唯一性（3）、理解直线的斜率的存在性（4）、斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2、情感态度与价值观：1 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式 三、教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论 四、教学过程（一）、直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有确定一条直线 那么, 经过一点PcbaYXO YXcb aO1. 2. 3),(y xl ),(000y x P k ),(y x P l yx ,00,,y x k yxOP P 0),(y xx x ≠00x x y y k --=)(00x x k y y -=-),(000y x P k l),(000y x P k lx y ),(000y x P x y ),(000y x P y xyxOP 0yxOP 0四、教后反思：第五课时直线的一般式方程一、教学目标1、知识与技能：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法：学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点1、重点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学方法：探析交流法四、教学过程四、教后反思：第六课时两直线的交点坐标一、教学目标1、知识与技能：（1）直线和直线的交；（2）二元一次方程组的解。

直线与平面平行的判定教学设计（第一课时）【教学内容解析】本节教材选自北师大版数学必修2第一章第5节，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位．空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础之前的课程已学过空间点、线、面的位置关系及4个公理．空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理借助日常生活中直线与平面平行的例子,通过直观感知、合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理．本节课的教学重点是直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线面平行的性质、面面平行的判定与性质的学习作用重大，因为研究过程渗透的数学思想都是化归与转化．【教学目标设置】通过直观感知——观察提炼的认识方法初步理解并掌握直线与平面平行的判定定理．初步掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力．通过定理的运用，让学生学会在具体问题中正确使用定理，理解使用定理的关键是找平行线，并知道证明线线平行的一般途径．通过对空间直线与平面平行的判定定理的感知、提炼、论证以及应用的过程，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决问题的能力．在定理的获得和应用过程中进一步渗透化归与转化的数学思想，渗透立体几何中将空间问题降维转化为平面问题的一般方法．通过本节课的学习，进一步培养学生从生活空间中抽象出几何图形关系的能力，提高演绎推理、逻辑记忆的能力．让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．【学生学情分析】通过前面课程的学习，学生对简单几何体的结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的画法有了基本的了解．结合他们生活和学习中的空间实例，学生对空间图形的基本关系也有了大致的了解，初步具备了最朴素的空间观念．由于刚刚接触立体几何不久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相对不足，他们从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发现并归纳出直线与平面平行的判定定理以及对定理的理解是教学难点．【教学策略分析】新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．综合考虑教学内容与学生学情，本节课的教学遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助日常生活中直线与平面平行的例子，通过直观感知，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定定理、理解数学概念，领会数学思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象能力，提高学生的数学逻辑思维能力．教学目标：1理解并掌握直线与平面平行的判定定理2会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理．3直线与平面平行的判定定理的简单应用,进一步培养发现问题、分析问题、解决问题的能力教学重点:直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．教学难点:直线与平面平行的判定定理的应用学法指导:学生借助实例,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,直线与平面平行的判定定理课时安排:1课时【教学过程】1在空间中直线与平面有几种位置关系？（1）直线在平面内：有无数个公共点；图形:（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行：没有公共点符号语音:__________ ____________ ____________师：强调：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a⊆/α．2如何判断直线在平面内这一位置关系？1定义: 直线在平面内：有无数个公共点2公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即直线在平面内）3如何判断直线与平面平行这一位置关系？定义：直线与平面平行：没有公共点讨论：根据定义好判断吗？师:根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．带领同学体会本节课学习的必要性，引出课题．[设计意图：通过提问，学生复习空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。

北师大版高中高二数学教案各个学科课程都有各自的特点，教学形式和手段也不尽相同，但在培养学生成为德智体美全面发展、适应社会需求的高素质人才教育宗旨上是一致的，对教案的要求也是有共性的。

下面是小编为大家整理的关于北师大版高中高二数学教案，欢迎大家阅读参考学习!北师大版高中高二数学教案一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3 情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程〈一〉创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么?(提问C类学生回答，A，B类学生做补充)函数的极值与导数教案 2、观察图1.3.8表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数函数的极值与导数教案=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案(1)当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度，那么函数函数的极值与导数教案在t=a处的导数是多少呢?(2)在点t=a附近的图象有什么特点?(3)点t=a附近的导数符号有什么变化规律?共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t0;当t>a 时,函数函数的极值与导数教案单调递减, 函数的极值与导数教案 <0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 函数的极值与导数教案先正后负,且函数的极值与导数教案连续变化,于是h/(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢?<二>探索研讨函数的极值与导数教案1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：函数的极值与导数教案(1)函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?(2) 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?(3)在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。