高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

北师大版高中数学必修一
北师大版高中数学必修一全称为《北师大版高中数学必修第一册》，其目录包括四章内容，如下：
1.第一章：集合与函数概念。

主要学习集合的含义与表示，常用数集及其记法，
集合与元素间的关系，以及集合的表示法。

2.第二章：函数。

学习函数的概念、函数的表示方法、函数的单调性和奇偶性
等性质，以及函数的实际应用。

3.第三章：指数函数和对数函数。

学习指数函数、对数函数的概念和性质，以
及它们的实际应用。

4.第四章：函数应用。

主要学习如何利用函数模型解决实际问题，包括建立函
数模型、求解模型参数等。

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北师大高一必修数学知识点高中数学是学生们接触到的一门重要学科，它对于学生的思维能力的培养以及理论知识的掌握都有着至关重要的作用。

而北师大高一必修数学知识点则是北师大高中数学课程的核心内容，它包括了高一全年的必修数学知识。

下面将详细介绍北师大高一必修数学知识点，希望对广大高中生学习数学有所帮助。

1. 函数与方程函数是高中数学的基础，学习函数的概念以及相关的运算法则对后续的学习具有重要的意义。

在高一的数学课程中，学生将学习到函数的定义、图像与性质、初等函数以及函数的运算等内容。

此外，方程也是数学的重要部分，高一学生将接触到线性方程、一元二次方程、二元一次方程以及简单的方程组等。

2. 三角函数与解三角形三角函数是高中数学中的重要内容，也是后续学习解析几何和数学分析的基础。

高一学生将学习到三角函数的概念、性质和基本公式，了解三角函数与直角三角形、一般三角形之间的关系。

此外，学生还会学习到解三角形的相关知识，包括解三角形的条件、解三角形的方法和应用等。

3. 数列与数列的性质数列是一个有序数的列，数学上研究了数列的性质和规律。

在高一的数学课程中，学生将学习到数列的概念、常数数列、等差数列和等比数列等基本内容。

此外，还会学习到数列的通项公式、前n项和等，进而了解数列的性质以及基本求和公式。

4. 概率与统计概率与统计是数学的一个重要分支，它涉及到随机事件的概率以及数据的收集和分析。

在高一的数学课程中，学生将学习到概率的基本概念、古典概率、条件概率和事件间的独立性等内容。

此外，还会接触到统计学的基本知识，包括数据的收集、整理、图表表示和数据分析等。

5. 解析几何基础解析几何是高中数学的一门重要课程，它是代数与几何相结合的学科。

在高一的数学课程中，学生将学习到平面直角坐标系、点、直线、圆的方程和性质等基本内容。

此外，还会学习到解析几何的基本定理，如中点定理、距离公式、角的判定定理等。

总结起来，北师大高一必修数学知识点包括函数与方程、三角函数与解三角形、数列与数列的性质、概率与统计以及解析几何基础。

北师大版高中数学选择性必修第一册知识点第一章直线与圆.................................................................................................................... - 2 - 1直线与直线的方程.................................................................................................... - 2 - 2圆与圆的方程.......................................................................................................... - 29 - 第二章圆锥曲线.................................................................................................................. - 46 - 1椭圆 ......................................................................................................................... - 46 - 2双曲线 ..................................................................................................................... - 55 - 3抛物线 ..................................................................................................................... - 63 - 4直线与圆锥曲线的位置关系.................................................................................. - 72 - 第三章空间向量与立体几何.............................................................................................. - 77 - 1空间直角坐标系...................................................................................................... - 77 - 2空间向量与向量运算.............................................................................................. - 85 - 3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算.......................................................... - 98 - 4向量在立体几何中的应用.................................................................................... - 107 - 5数学探究活动(一)：正方体截面探究 ................................................................. - 127 - 第四章数学建模活动（三）............................................................................................ - 130 - 第五章计数原理................................................................................................................ - 134 - 1计数原理 ............................................................................................................... - 134 - 2排列 ....................................................................................................................... - 139 - 3组合 ....................................................................................................................... - 144 - 4二项式定理............................................................................................................ - 148 - 第六章概率 ....................................................................................................................... - 157 - 1随机事件的条件概率............................................................................................ - 157 - 2离散型随机变量及其分布列................................................................................ - 165 - 3离散型随机变量的均值与方差............................................................................ - 172 - 4二项分布与超几何分布........................................................................................ - 180 - 5正态分布 ............................................................................................................... - 186 - 第七章统计案例................................................................................................................ - 190 - 1一元线性回归........................................................................................................ - 190 - 2成对数据的线性相关性........................................................................................ - 194 - 3独立性检验............................................................................................................ - 199 -第一章 直线与圆 1 直线与直线的方程1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系1．直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 首次重合时所成的角，称为直线l 的倾斜角．规定：当直线l 和x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0． 范围：倾斜角α的取值范围为[)0，π． 2．直线的斜率(1)直线过不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． (2)直线的斜率表示直线的倾斜程度． 3．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(1)从函数角度看，k 是α的函数，其中k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中α≠π2，图象如图所示．当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ≥0，且k 随倾斜角α的增大而增大；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ＜0，且k 随倾斜角α的增大而增大；当α＝π2时，直线l 与x 轴垂直，此时直线l 的斜率不存在．(2)如图，在直线l 上任取两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．由平面向量的知识可知，向量P 1P 2→是直线l 的方向向量，它的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，直线的倾斜角α、斜率k 、方向向量P 1P 2→分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x 轴的倾斜程度．它们之间的关系是k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝tan α(其中x 1≠x 2)．若k 是直线l 的斜率，则v ＝(1，k )是它的一个方向向量；若直线l 的一个方向向量的坐标为(x ，y )，其中x ≠0，则它的斜率k ＝yx ．任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？[提示] 直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是π2时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴；当倾斜角不是π2时，直线的斜率存在且唯一．疑难问题类型1 直线的倾斜角【例1】 求图中各直线的倾斜角．(1) (2) (3)[解] (1)如图(1)，可知∠OAB 为直线l 1的倾斜角．易知∠ABO ＝30°， ∴∠OAB ＝60°，即直线l 1的倾斜角为60°．(1)(2)(3)(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°．(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°．求直线的倾斜角的两点注意(1)直线倾斜角的取值范围是[)0，π.(2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为π2.类型2直线的斜率【例2】(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；(2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率；(3)已知直线l的一个方向向量是()3，1，求该直线的斜率．(4)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率．[解](1)直线的斜率分别为k1＝tan 60°＝3，k2＝tan 135°＝－1．(2)直线AB的斜率k AB＝1－2－4－3＝17．(3)直线l的斜率k＝13＝33．(4)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为k AB＝4－3 m－2＝1m－2．求直线斜率的三种方法(1)已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k ＝tan α求得；(2)已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求.要注意，其前提条件是x 1≠x 2，若x 1＝x 2时，直线斜率不存在；(3)已知直线的方向向量v ＝(m ，n )时，可利用k ＝nm 来求，但要注意，当m ＝0时，直线的斜率不存在.类型3 直线的倾斜角、斜率的应用三点共线问题【例3】 如果三点A (2，1)，B (－2，m )，C (6，8)在同一条直线上，求m 的值．[解] k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74， ∴m ＝－6．斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的.任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因.数形结合法求倾斜角或斜率范围【例4】 直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．[解]如图所示．∵k AP＝1－02－1＝1，k BP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°．直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”.归纳总结1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立．3．斜率公式是以后研究直线方程的基础，需熟记并会灵活运用．1.3直线的方程第1课时直线方程的点斜式1．直线l的方程如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．2．直线的点斜式方程和斜截式方程名称点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b 适用范围斜率存在3．直线l在y轴上的截距定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距．(1)斜截式方程应用的前提是什么？(2)纵截距一定是距离吗？[提示](1)直线的斜率存在．(2)纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数．疑难问题类型1直线方程的点斜式【例1】根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．[解](1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1．如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x．如图(2)所示．(1)(2)(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3．如图(3)所示．(4)k＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4．如图(4)所示．(3)(4)求直线方程的点斜式的步骤类型2直线方程的斜截式【例2】求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点P(0，1)，斜率为2；(2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．[解](1)y＝2x＋1．(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)，故k＝2－12－0＝12，∴直线l的方程为y＝12x＋1．(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3；∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3．直线方程的斜截式求解策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件.(3)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .类型3 直线过定点问题【例3】 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1恒过定点． [证明] 法一：直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)．法二：直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0． 令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)．本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现了代数方法处理等式恒成立问题的基本思想.归纳总结直线方程的点斜式和斜截式的关系与使用条件第2课时直线方程的两点式直线方程的一般式1．直线方程的两点式与截距式两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y 1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b其中ab≠0图形方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线1．直线的方程一定能用两点式表示吗？[提示]当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示．2．直线方程的一般式(1)直线与二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．(2)直线方程的一般式的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫作直线方程的一般式，简称一般式．2．在直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中，为什么规定A，B不同时为0?[提示]当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的不是直线．疑难问题类型1直线方程的两点式和截距式直线方程的两点式【例1】已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．[解] A ，B 两点横坐标相同，直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2． 由直线方程的两点式可得，AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0． 同理可由直线方程的两点式得，直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0．∴三边AB ，AC ，BC 所在的直线方程分别为x ＝2，x －y －3＝0，x ＋2y －6＝0．(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标.直线方程的截距式【例2】 求过点A (5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程． [解] 法一：当直线l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5，2)，∴5－2＝a ，a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0，综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0，或x －y －3＝0．法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线方程的点斜式为y －2＝k (x －5)， x ＝0时，y ＝2－5k ，y ＝0时，x ＝5－2k ．根据题意得2－5k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－2k ，解方程得k ＝25或1．当k ＝25时，直线方程为y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0； 当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0．求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：(1)根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为xa＋yb＝1.(2)根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.类型2直线方程的一般式【例3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；(2)若直线l的斜率为1，则m＝________．(1)－53(2)－2[(1)令y＝0，则x＝2m－6m2－2m－3，∴2m－6m2－2m－3＝－3，得m＝－53或m＝3．当m＝3时，m2－2m－3＝0，不合题意，舍去．∴m＝－5 3．(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠－1且m≠1 2，由直线l化为斜截式方程，得y＝m2－2m－32m2＋m－1x＋6－2m2m2＋m－1，则m2－2m－32m2＋m－1＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．]直线方程的几种形式的转化类型3 直线方程的综合应用【例4】 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0． (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． [解] (1)证明：法一：将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5， 当a >0时，直线一定经过第一象限； 当a ＝0时，y ＝35，直线显然经过第一象限；当a <0时，3－a5>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a 为何值时，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定经过第一象限． 法二：将直线方程变形为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，它表示经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，斜率为a的直线．∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，∴直线l 必经过第一象限．(2)如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3．∵直线l 不经过第二象限， ∴直线l 的斜率k ≥3，∴a ≥3，即a 的取值范围为{a |a ≥3}．含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.若这无穷多条直线过同一个点.则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点的坐标.归纳总结1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ； (2)当B ≠0时，得y ＝－A B x －CB ．3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－CB ，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－CA ，它表示一条与x 轴垂直的直线．1.4 两条直线的平行与垂直1．两条直线平行设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2．则对应关系如下：图示1．(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？(2)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？[提示](1)若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．(2)一定有l1∥l2．因为k1＝k2，所以tan α1＝tan α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2．2．两条直线垂直类型斜率存在其中一条斜率不存在前提条件|α2－α1|＝90°α1＝0°，α2＝90°对应关系l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1斜率为0，l2斜率不存在图示2．(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是－1吗？[提示](1)设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°．(2)不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．疑难问题类型1两直线平行、垂直的判定【例1】(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________．(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[思路点拨](1)利用k1·k2＝－1解题．(2)先求出两直线平行的充要条件，再判断．(1)－1(2)C[(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1．(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2a＝－b2且－1a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．]判断两条不重合直线是否平行的步骤类型2利用两直线平行、垂直求直线方程【例2】已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[思路点拨]利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．[解]法一：∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，∴k l＝－3 4．(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，∵k l ＝k l 1，∴k l 1＝－34．∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0． (2)设过点A 与直线l 垂直的直线为l 2， ∵k l ·k l 2＝－1，∴(－34)·k l 2＝－1，∴k l 2＝43．∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0． 法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋C ＝0， ∵点(2，2)在直线上，∴3×2＋4×2＋C ＝0，∴C ＝－14． ∴所求直线方程为3x ＋4y －14＝0． (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0， ∵点(2，2)在直线上， ∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2，即所求直线方程为4x －3y －2＝0．1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解，或利用待定系数法求解．2．直线方程的常用设法①过定点P (x 0，y 0)，可设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)； ②知斜率k ，设斜截式y ＝kx ＋b ；③与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行，设为Ax ＋By ＋m ＝0； ④与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直，设为Bx －Ay ＋n ＝0．类型3 两条直线平行与垂直的综合应用求直线方程中参数的值【例3】 已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0． (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．[解](1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝5±5 2．∴若这两条直线垂直，则k＝5±5 2．(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5．经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5．1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．求点的坐标【例4】已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．[解]①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而k CD＝0，故A(1，－1)．(1)②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．(2)设A (a ，b )，则k BC ＝－3，k AD ＝b －2a －1，k AB ＝b ＋1a －6． 由AD ∥BC ⇒k AD ＝k BC ，即b －2a －1＝－3； ① 由AB ⊥BC ⇒k AB ·k BC ＝－1，即b ＋1a －6·(－3)＝－1． ② 解①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝－115，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－115．综上所述，A 点坐标为(1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－115．此类题目应用数形结合法求解较为方便、简单.归纳总结1．两直线平行或垂直的判定方法斜率 直线 斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 垂直 斜率均存在相等 平行或重合积为－1垂直0平行的直线可设为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．3．设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2．若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1；反之，若k 1·k 2＝－1，则l 1⊥l 2；已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0．1.5 两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示 点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A方程组⎩⎨⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 的解是⎩⎨⎧x ＝a y ＝b2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解 交点个数 直线的位置关系无解 0个 平行 有唯一解 1个 相交 有无数组解无数个重合方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 有唯一一组解的充要条件是什么？ [提示] A 1B 2－A 2B 1≠0．疑难问题类型1 两直线的交点问题【例1】 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l 1：x －y ＝0，l 2：3x ＋3y －10＝0； (2)l 1：3x －y ＋4＝0，l 2：6x －2y －1＝0； (3)l 1：3x ＋4y －5＝0，l 2：6x ＋8y －10＝0． [解] (1)解方程组⎩⎨⎧x －y ＝0，3x ＋3y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝53.所以l 1与l 2相交，交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，53．(2)⎩⎨⎧3x －y ＋4＝0，①6x －2y －1＝0，②①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l 1∥l 2．(3)⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，①6x ＋8y －10＝0，②①×2得6x ＋8y －10＝0， 因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l 1与l 2重合．方程组解的个数与两直线的位置关系.一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合.这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想.类型2 由交点求直线方程【例2】 求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x －y －1＝0平行的直线l 的方程．[思路点拨] 思路一求出两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l 的斜率，利用点斜式方程求解；思路二利用过两直线的交点的直线系方程求解．[解] 法一：由方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0x ＋y ＋2＝0，得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75， ∵直线l 和直线3x －y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝3，∴根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35．即所求直线方程为15x －5y ＋2＝0．法二：∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴可设直线l 的方程为：2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0．∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，∴λ＋23＝λ－3－1≠2λ－3－1，解得λ＝74．从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0．1．本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键．2．经过两直线交点的直线系方程①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1；当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2．类型3直线过定点问题[探究问题]1．不论k取什么值，直线y＝kx＋2恒过定点，试求出此定点．[提示]由直线的方程可知当x＝0时，y＝2，此时与k的取值无关．故直线恒过点(0，2)．2．不论m取什么值，直线y－2＝m(x＋3)恒过定点．求出此定点．[提示]由直线方程可知当x＝－3时，y＝2，与m的取值无关，故直线恒过定点(－3，2)．【例3】求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．[思路点拨]法一：令k＝0，k＝1→解方程组求交点→验证交点总在直线上法二：化直线方程为点斜式→令k＝1或k≠1→得定点法三：变形方程，提取参数→列方程组→解方程组求出定点[证明] 法一：令k ＝1，得到直线l 1：x ＝1， 令k ＝0，得到直线l 2：x ＋y ＝0， 由⎩⎨⎧x ＝1x ＋y ＝0，得l 1与l 2交点M (1，－1)， 把M (1，－1)的坐标代入方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒成立，∴无论k 取何值时，直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0必过定点，且定点为M (1，－1)．法二：由已知直线l 的方程得(k ＋1)x ＝(k －1)y ＋2k ，整理可得y ＋1＝k ＋1k －1(x－1)(k ≠1)，因此当k ≠1时，直线l 必过定点M (1，－1)；当k ＝1时，原直线l 的方程为x ＝1，也过点M (1，－1)． 综上所述，不论k 取任何实数值时，直线l 必过定点M (1，－1)． 法三：方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0可化为k (x －y －2)＋(x ＋y )＝0， 由⎩⎨⎧x －y －2＝0x ＋y ＝0， 可得点⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1．显然⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1，使方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒成立，∴无论k 取任何实数值时，直线l 必过定点M (1，－1)．1．法一是特殊到一般的转化，法二是利用点斜式方程的特点，法三是利用直线系．2．处理动直线过定点问题的常用的方法： (1)将直线方程化为点斜式；(2)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点； (3)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f (x ，y )＋mg (x ，y )＝0的形式，欲使此式成立与m 的取值无关，则⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.由此方程组求得定点坐标．类型4 对称问题【例4】 △ABC 的一个内角的平分线所在的直线方程是y ＝2x ，若A ，B 两点的坐标分别为A (－4，2)，B (3，1)，则点C 的坐标为________．(2，4) [把A ，B 两点的坐标分别代入y ＝2x 知，点A ，B 都不在直线y ＝2x 上，∴直线y ＝2x 是∠C 的平分线所在的直线．设点A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )， 则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4×2＝－1，b ＋22＝2×a －42，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－2，即A ′(4，－2)．∵直线y ＝2x 是∠C 的平分线所在的直线， ∴A ′在直线BC 上， ∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0． 由⎩⎨⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4， ∴点C 的坐标为(2，4)．]有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称：①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称：①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，,则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.归纳总结1．解含有参数的直线过定点问题，将含有一个参数的二元一次方程常整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解定点． 2．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．1.6 平面直角坐标系中的距离公式1．两点间的距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(2)两点间距离的特殊情况①原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． ②当P 1P 2∥x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|．③当P 1P 2∥y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|．1．如何推导平面上的两点间的距离公式？[提示] 因为两点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，所以P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，⎪⎪⎪⎪P 1P 2→＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2．2．点到直线的距离公式(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2． 2．在使用点到直线距离公式时，对直线方程有什么要求？ [提示] 要求直线的方程应化为一般式． 3．两条平行直线间的距离公式(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(其中A 、B 不全为0，且C 1≠C 2)．3．在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ [提示] 两条平行直线的方程都是一般式，且x ， y 对应的系数应分别相等．疑难问题类型1 两点间的距离公式【例1】 已知△ABC 三顶点坐标分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，试判断△ABC 的形状．[解] 法一：∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：∵k AC＝7－11－(－3)＝32，k AB＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB．又|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，∴|AC|＝|AB|．∴△ABC是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理的逆定理．类型2点到直线(或平行直线间)的距离公式【例2】若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________．[思路点拨]由点到直线的距离公式列出等式求a．－2或4或6[由题意，得6a2＋a4＝|4a－a2＋6|a2＋a4，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6．检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6．]1．用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式．2．求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．类型3解析法证明几何问题【例3】已知四边形ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．[思路点拨]建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简即可．[证明]分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0，0)．则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y －b)2．∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．1．解析法证明几何问题的步骤：(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；(2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．归纳总结1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2．2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．3．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路几何问题――――→坐标系代数问题 ↑ ↓ 几何结论―→代数结论2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程1．圆的标准方程圆心为()a ，b ，半径是r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2．确定圆的几何要素是什么？[提示] 确定圆的几何要素有两个，即圆心的位置与半径的大小． 2．圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)的简单几何性质 (1)范围||x ≤r ，||y ≤r ．(2)对称性圆x 2＋y 2＝r 2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点．3．点与圆的位置关系圆的标准方程为C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，设所给点为点P (x 0，y 0)，||PC ＝d ，则判断方法几何法 代数法d <r ⇔点P 在圆C 内 (x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点P 在圆C 内 d ＝r ⇔点P 在圆C 上(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点P 在圆C 上d >r ⇔点P 在圆C 外(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点P 在圆C 外疑难问题类型1 求圆的标准方程【例1】 求过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎨⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．法二：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x ． 则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点， 由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0， 得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．确定圆的标准方程的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程； 二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.类型2 点与圆的位置关系。

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅ B A ⊆A B B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇B B ⊇⑷⑼ 集合的运算律：交换律：结合律:分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。

二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同.;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==时，二者才能称为同一函数。

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数N N *N +Z Q 集，表示实数集.R （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.a M a M ∈a M ∉（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.x x x ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().∅【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B (1)A A⊆(2)A ∅⊆(3)若且，则B A ⊆B C ⊆A C ⊆(4)若且，则B A ⊆B A ⊆A B=A(B)或B A真子集A B≠⊂（或B A ）≠⊃，且B A ⊆B 中至少有一元素不属于A（1）（A 为非空子A ≠∅⊂集）(2)若且，则A B ≠⊂B C ≠⊂A C ≠⊂B A 集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A B ⊆(2)B A⊆A(B)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它A (1)n n ≥2n 21n -有个非空子集，它有非空真子集.21n -22n -【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集3∁u (∁uA )=A,4∁u (A ∩B )=(∁uA )∪(∁uB ),5∁u(A ∪B)=(∁uA)∩(∁uB)⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==0-1律：,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ=== 等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A∩ A∪=U ∁uA =∅CuA ∁uU =∅∁u∅=U反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)∁u ∁u ∁u ∁u ∁u ∁u 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A→B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。

精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。

北师大版高中数学必修知识点总结高中数学是高中阶段的一门重要学科，对学生的思维逻辑能力、数学分析能力以及解决实际问题的能力有很大的帮助。

下面是北师大版高中数学必修的知识点总结。

一、函数与方程1.函数的定义与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

3.函数的图像与性质：函数图像的平移、翻折和缩放等。

4.方程与不等式：一元一次方程、一元一次不等式、二次方程、二次不等式等。

二、数列与数学归纳法1.数列的概念与表示：等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的相互转化。

2.数列的通项公式：求通项公式、求和公式等。

3.数列的前n项和与无限项和：有限等差数列求和、有限等比数列求和、无限等差数列求和、无限等比数列求和等。

4.数学归纳法的基本思想与应用。

三、平面向量1.向量的概念与运算：向量的表示、向量的加法、向量的数乘、数量积、向量积等。

2.向量的模、方向角、坐标与坐标运算：向量的模、方向角与坐标之间的关系、向量的坐标运算等。

3.平面向量的应用：向量的共线性、向量的法则等。

四、三角函数与解三角形1.角度与弧度制：角度与弧度的转化、正角和负角等。

2.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

3.三角函数的诱导公式：和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等。

4.三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、最小正周期与变换等。

5.解三角形：海伦公式、正弦定理、余弦定理等。

6.三角函数的应用：三角函数的模型求解等。

五、平面几何和立体几何1.平面几何基本概念：点、直线、线段、射线、角的概念与性质等。

2.平面几何的证明方法：直接证明、间接证明、反证法等。

3.圆的性质与判定：圆的定义、弧、弦、切线、正切、割线、弓形与线段的关系等。

4.圆锥曲线：椭圆、双曲线的定义与性质。

5.空间几何基本概念：点、直线、平面、直线与平面的位置关系等。

6.空间几何的投影：点到线的距离、点到平面的距离、线到平面的距离等。

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高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1。

1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合。

（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集,Q表示有理数集，R表示实数集。

(3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M∉，两者必居其一。

∈，或者a M（4)集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合。

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

③描述法:｛x|x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集（∅）。

【1.1.2】集合间的基本关系(6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8)交集、并集、补集交集A B{|,x x A∈且}x B∈(1)A A A=(2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1)A A A=（2)A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集{|,}x x U x A∈∉且⑴(⑵⑶⑷⑸⑼集合的运算律：交换律：.;ABBAABBA==结合律：)()();()(CBACBACBACBA==分配律：)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律:,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===等幂律:.,AAAAAA==求补律:A∩ A∪=U反演律：（A∩B）=(A）∪（B）（A∪B)=（A）∩(B）第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应,这样的对应叫做到的映射,记作 .2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。

北师大版数学高一知识点总结高中数学是一门学科，它不仅是学生思维发展和逻辑推理能力培养的重要途径，同时也是实际应用的基础。

而北师大版数学教材作为高中数学的学习教材之一，内容丰富、深入浅出，对于高一学生来说至关重要。

下面我将结合北师大版数学高一教材，总结一些重要的知识点。

一、函数与方程函数与方程是数学的基础概念，是高中数学的重点内容。

在高一的学习中，我们需要掌握的主要内容包括：1. 一次函数：了解一次函数的基本定义，掌握斜率的计算与性质，并能应用到实际问题中。

2. 二次函数：熟悉二次函数的基本性质，掌握抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等概念，并能灵活运用。

3. 高次函数：了解高次函数的特点，包括奇偶性、单调性等，并学会化简、展开和因式分解。

4. 指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的基本定义与性质，并能运用到实际问题中。

5. 三角函数：学习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质与图像，能够解决相关的三角函数方程与不等式。

二、平面向量平面向量是高中数学中的重点内容，它是线性代数的一个重要分支。

在高一学年，我们需要学习的平面向量知识点主要有：1. 向量的基本定义：了解向量的概念，包括向量的模、方向和终点坐标等，并掌握向量的运算法则。

2. 向量的共线和垂直：熟悉向量的共线和垂直判定方法，能够通过向量的内积和外积判断向量的关系。

3. 向量的投影：掌握向量的投影概念和计算方法，能够应用到平面几何和物理问题中。

4. 向量与平面几何的应用：学会利用向量的知识解决平面几何问题，如直线的垂直和平行判定、角的平分线等。

三、概率与统计概率与统计是高中数学的另一大重要组成部分，是实际生活中经常用到的数学知识。

在高一学年，我们需要学习的概率与统计知识点主要包括：1. 随机事件与概率：了解随机事件和概率的概念，能够计算概率并应用到实际问题中，如排列组合和条件概率等。

2. 统计的基本概念：学习统计学中的基本概念，包括数据的收集、整理和处理方法，能够制作频数表、频率表和直方图等。

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。

高一北师大版数学知识点数学是一门重要的学科，在高中阶段尤其需要我们全面掌握各个知识点，为日后的学习打下坚实基础。

北师大版高一数学教材是我们学习的重要参考，下面将为大家介绍一些高一北师大版数学教材中的主要知识点。

一、直线与函数1. 直线的方程：包括一次函数的一般式、斜截式和截距式等形式。

掌握通过给定条件求解直线方程的方法。

2. 直线的性质：了解直线的斜率、截距等概念，掌握计算斜率的方法，能够根据斜率判断两条直线的关系。

3. 二元一次方程组：掌握解二元一次方程组的方法，包括代入法、消元法和相减法等。

二、平面向量1. 向量的定义与性质：了解向量的定义，学会用坐标表示向量，熟练掌握向量的加法、减法、数量乘法等运算。

2. 平面向量的坐标运算：能够根据向量坐标计算模长、方向角等，并灵活应用到具体问题中。

3. 向量的共线和垂直关系：学会判断向量的共线和垂直关系，能够应用到几何问题中解决。

三、三角函数1. 角度的度量与弧度制：了解角度和弧度的定义及相互转化的方法，能够运用到解决三角函数问题中。

2. 三角函数的定义与性质：掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义及性质，能够计算三角函数的值。

3. 三角函数的图像与性质：了解三角函数图像的特点，能够根据函数图像解决相关问题。

四、导数与微分1. 导数的概念：理解导数的定义，能够计算函数在某点处的导数，掌握导数的运算法则。

2. 函数的单调性与极值：学会利用导数判断函数的单调性和求函数的极值。

3. 函数的图像与导数关系：了解函数图像和导数之间的关系，能够根据导数图像推断函数图像的形态。

五、概率与统计1. 事件与概率：了解事件、样本空间和概率等基本概念，学会计算事件的概率。

2. 随机变量与概率分布：掌握离散型随机变量和连续型随机变量的定义及概率分布。

3. 统计图表与统计量：能够根据数据绘制各种统计图表，掌握均值、方差等统计量的计算方法。

以上只是北师大版高一数学教材中的一部分知识点，希望大家能够认真学习，掌握好每一个知识点。

高一数学北师大版必修一-知识点北师大版高一数学必修一知识点在高一数学北师大版的必修一中，学生将学习一些基本的数学知识和技巧，为将来的学习打下坚实的基础。

本文将介绍必修一中的几个重要知识点，帮助学生在学习过程中更好地理解和掌握这些内容。

一、集合在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。

在必修一中，我们主要学习了集合的概念、表示方法和基本运算。

1. 集合的概念集合是一种数学概念，用来表示一组具有相同性质的对象。

例如，全班同学的名字可以构成一个集合，全国人口也可以构成一个集合。

2. 集合的表示方法表示集合有多种方法，常见的有列举法和描述法。

列举法是通过将集合中的元素逐个列出来表示；描述法是通过给出满足某个规则的元素的特点来表示。

3. 集合的基本运算在集合中，我们可以进行并集、交集、差集和补集等基本运算。

并集表示两个集合中所有元素的总集合；交集表示两个集合中共有的元素组成的集合；差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合；补集表示某个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合。

二、函数函数是数学中非常重要的概念，用来描述一种映射关系。

在必修一中，我们学习了函数的定义、性质和表示方法。

1. 函数的定义函数是指对每一个自变量值，都有唯一确定的因变量值与之对应。

简单来说，函数是一种输入和输出之间的关系。

2. 函数的性质函数有一些重要的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

其中，定义域是指函数中自变量的取值范围；值域是指函数中因变量的取值范围；单调性是指函数图像在某个区间内的增减趋势；奇偶性是指函数在特定条件下对称的性质。

3. 函数的表示方法表示函数的方法主要有解析式、图像和数据表。

解析式是用公式或方程表示函数的方法；图像是用坐标系表示函数的方法；数据表是将自变量和因变量的值一一对应列出的方法。

三、数列与数列的运算数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。

在必修一中，我们学习了数列的定义、性质和常见的数列类型。

高一数学北师大知识点总结高一数学学科是中学阶段数学学科教学的一个重要环节，也是学生建立数学基础的关键时期。

北师大数学教材是很多学校的主要教材，下面对于高一数学北师大教材的知识点进行总结和归纳，以便帮助学生更好地掌握和理解这些知识。

1. 数与代数运算- 自然数、整数、有理数、无理数、实数的性质及在数轴上的表示- 数的分类及运算规则，包括正数、负数、零的加减乘除运算 - 分数、百分数、比例与比例的应用- 指数与对数运算，包括指数律、对数律及其应用- 根式与实数的运算，包括开方、开方的运算性质和应用2. 几何与图形- 平面几何基本概念，包括点、线、面及其性质- 图形的基本概念，包括线段、角、多边形等几何图形的性质 - 各种几何图形之间的关系与性质，如相似、全等、投影等- 平行线与垂直线及其性质，包括平行线、垂线、相交线等 - 三角形的性质与判定，如三角形的内角和、外角、中位线、高线等- 圆的基本概念及其性质，如圆的周长、面积、切线等- 空间几何基本概念，如点、直线、平面、立体等3. 方程与函数- 一次方程及其解法，包括一元一次方程、两个一次方程联立等- 二次方程及其解法，包括一元二次方程、二元二次方程等 - 不等式及其解法，包括一元一次不等式、一元二次不等式等 - 函数及其表示与运算，包括函数的概念、函数的图象及其性质等- 初等函数及其图象，如常数函数、一次函数、二次函数、指数函数等- 函数的应用问题，如函数方程、函数的最值、函数的复合等4. 数列与数学归纳法- 数列的基本概念，如等差数列、等比数列、等差数列的前n 项和等- 数学归纳法的定义及应用，包括利用数学归纳法证明数学命题等5. 概率与数据统计- 统计基本概念，包括样本、总体、频数等- 数据的处理与分析，如数据的整理、频数统计、频率分布表等- 概率的基本概念及其计算这些是高一数学北师大教材的主要知识点总结，通过对这些知识点的学习和掌握，学生可以在高一数学的学习过程中建立坚实的数学基础，为后续学习及应用数学打下牢固的基础。

高一数学北师大版知识点归纳总结高一数学北师大版教材涵盖了许多重要的数学知识点，这些知识点是我们学习数学的基础，对于理解高阶概念和解题技巧起着至关重要的作用。

下面将对高一数学北师大版教材的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握这些知识。

1. 函数与方程1.1 函数的概念与性质- 函数的定义- 函数的定义域和值域- 函数的奇偶性- 函数的增减性和最值- 复合函数的求解1.2 一次函数与二次函数- 一次函数的图像与性质- 一次函数的解析式与图像的关系- 一次函数的斜率和截距- 二次函数的图像与性质- 二次函数的顶点、轴对称性和最值- 二次函数与一元二次方程的关系 1.3 一次函数和二次函数的应用 - 直线方程与线性规划问题- 二次函数在实际问题中的应用 - 选修的其他函数2. 线性方程组2.1 线性方程组的概念- 同解、异解和无解的区分- 二元一次方程组的解法- 三元一次方程组的解法- 组成部分为整的线性方程组2.2 线性方程组的应用- 线性方程组在几何问题中的应用 - 线性方程组在实际问题中的应用3. 三角函数3.1 基本概念和性质- 角的概念与弧度制- 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质 - 三角函数的周期和对称性3.2 三角函数的诱导公式与恒等关系- 三角函数的和差化积公式- 三角函数的倍角与半角公式- 三角函数的倒数关系3.3 解三角形- 解直角三角形- 解一般三角形4. 解析几何4.1 坐标系与坐标变换- 二维坐标系和三维坐标系- 点、线、面的坐标与位置关系- 坐标变换与平移、旋转、对称4.2 直线与圆的性质与方程- 直线的斜率和截距- 直线的倾斜角和垂直角- 圆的方程与性质4.3 空间直线和空间曲面- 空间直线的方程和性质- 空间曲面的方程和性质5. 概率与统计5.1 随机事件与概率- 样本空间和随机事件- 事件的运算与概率的计算- 概率的性质和常用公式5.2 随机变量与概率分布- 随机变量的概念和离散随机变量- 连续随机变量和概率密度- 二维随机变量和联合分布5.3 统计与抽样- 统计的基本概念和统计量- 抽样调查与样本的均值和比例估计本文对高一数学北师大版教材的知识点进行了系统的归纳总结，从函数与方程、线性方程组、三角函数、解析几何到概率与统计，涵盖了数学学科的核心内容。

数学高一必修一知识点北师大版数学高一必修一知识点高一数学必修一是北师大版的教材，主要包含了代数、函数、数列和立体几何等内容。

这些知识点是学习高中数学的基础，并为以后更深入的学习奠定了坚实的基础。

下面将对其中的几个重要知识点进行介绍。

一、代数代数是数学的一个重要分支，它研究数的运算规则和数关系。

在高一必修一的代数部分主要包含多项式的运算和因式分解。

1. 多项式的运算多项式是由若干项通过加法和减法连接而成的算式。

多项式的运算包括加法、减法和乘法，其中乘法也涉及到多项式与多项式的乘法和多项式与常数的乘法。

2. 因式分解因式分解是将一个多项式分解成若干个因子的乘积。

因式分解有基本公式法、公因式法和提取公因式法等方法。

二、函数函数是数学中一个重要的概念，函数是一种特殊的关系，它将自变量与因变量建立起一一对应的关系。

1. 函数的概念函数的概念包括定义域、值域、图像和性质等内容。

了解函数的概念是后续学习函数的基础。

2. 一次函数和二次函数一次函数和二次函数是高中数学中最基本的函数类型。

一次函数是指函数的最高次幂为1的函数，形如y=kx+b；二次函数是指函数的最高次幂为2的函数，形如y=ax^2+bx+c。

三、数列数列是由一系列按照一定顺序排列的数构成的序列，在高一必修一的数列部分主要包括等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中每两项之间的差等于一个常数，这个常数称为公差。

等差数列有通项公式和求和公式。

2. 等比数列等比数列是指数列中每两项之间的比等于一个固定的常数，这个常数称为公比。

等比数列也有通项公式和求和公式。

四、立体几何立体几何是研究物体形状和空间关系的分支学科，在高一必修一的立体几何部分主要包括了点、线、面的性质和空间直角坐标系等内容。

1. 点、线、面的性质点、线、面是几何中最基本的几何元素，了解它们的性质对于后续学习立体几何很重要。

2. 空间直角坐标系空间直角坐标系是在三维空间中引入直角坐标系，通过三个坐标轴确定一个点的位置。