山西省实验中学2019-2020学年第一学期12月调研初三数学解析

山西省太原市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（3）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =2．现有三张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字﹣1，﹣2，3，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片正面数字之和为正数的概率是（ ）A ．12B ．59C ．49D ．233．如图，半径为5的A e 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是BAC ∠，EAD ∠，若6DE =，180BAC EAD ∠+∠=︒，则弦BC 的长等于（ ）A ．8B ．10C ．11D ．124．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数5．cos60°的值等于（ ）A ．1B ．12C ．22D ．3 6．如图，数轴上有M 、N 、P 、Q 四个点，其中点P 所表示的数为a ，则数-3a 所对应的点可能是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q7．如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB ；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM ；⑤23AM MF =．其中正确结论的是（ ）A ．①③④B ．②④⑤C ．①③⑤D ．①③④⑤8．如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A ．认B ．真C ．复D ．习9．如图，函数y ＝kx ＋b(k≠0)与y ＝m x (m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则不等式kx ＋b ＞m x的解集为( )A ．602x x <-<<或B ．602x x -<或C ．2x >D ．6x <-10．某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是（ ）A ．9分B ．8分C ．7分D ．6分11．下列事件中为必然事件的是（ ）A ．打开电视机，正在播放茂名新闻B ．早晨的太阳从东方升起C ．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D ．下雨后，天空出现彩虹12．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行淘汰赛，在相同条件下，每人射击10次，甲、乙两人的成绩如图所示，丙、丁二人的成绩如表所示．欲淘汰一名运动员，从平均数和方差两个因素分析，应淘汰（ ）丙 丁 平均数8 8 方差 1.2 1.8A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．14．因式分解：212x x--=．15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，沿着BE将△ABE折叠，点A刚好落在BF 上，若AB=2，则AD=________．16．如图，点A，B在反比例函数kyx=（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______．17．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数kyx=经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(422-的圆内切于△ABC，则k的值为________．18．已知正方形ABCD的边长为8，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，当点B，D，G在一条直线上时，若DG=22，则CE的长为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：AB=DE20．（6分）某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？21．（6分）已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连接CB．（1）直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系；（2）①如图1，猜想AB，BD与BC之间的数量关系，并说明理由；②如图2，直接写出AB，BD与BC之间的数量关系；（3）在MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD2时，直接写出BC的值．22．（8分）学校决定在学生中开设：A、实心球；B、立定跳远；C、跳绳；D、跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表法求出刚好抽到不同性别学生的概率．23．（8分）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x 的函数关系图象．（1）求y与x的函数关系式；（2）直接写出自变量x的取值范围．24．（10分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示．求小张骑自行车的速度；求小张停留后再出发时y与x 之间的函数表达式；求小张与小李相遇时x的值．25．（10分）某校运动会需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A 种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．请您确定当购买A种奖品多少件时，费用W的值最少．26．（12分）2013年6月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？请把折线统计图（图1）补充完整；求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．27．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D 作DE⊥AC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．2．D【解析】【分析】先找出全部两张卡片正面数字之和情况的总数，再先找出全部两张卡片正面数字之和为正数情况的总数，两者的比值即为所求概率.【详解】任取两张卡片，数字之和一共有﹣3、2、1三种情况，其中和为正数的有2、1两种情况，所以这两张卡片正面数字之和为正数的概率是23.故选D. 【点睛】本题主要考查概率的求法，熟练掌握概率的求法是解题的关键.3．A【解析】作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连结BF ，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF ，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=1，从而求解．解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=120°，而∠BAC+∠BAF=120°，∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=1．∴2222534BH AB AH-=-=，∴BC＝2BH＝2．故选A．“点睛”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．4．C【解析】【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．5．A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出结果.【详解】解：cos60°=12 故选A.【点睛】识记特殊角的三角函数值是解题的关键.6．A【解析】解：∵点P 所表示的数为a ，点P 在数轴的右边，∴-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍，∴数-3a 所对应的点可能是M ，故选A ．点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍．7．D【解析】【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF ，然后利用“边角边”证明△ABF 和△DAE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE ，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB ，然后求出∠BAF≠∠EDB ，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED 、△MAD 、△MEA 三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得2AM MD AD EM AM AE===，然后求出MD=2AM=4EM ，判断出④正确，设正方形ABCD 的边长为2a ，利用勾股定理列式求出AF ，再根据相似三角形对应边成比例求出AM ，然后求出MF ，消掉a 即可得到AM=23MF ，判断出⑤正确；过点M 作MN ⊥AB 于N ，求出MN 、NB ，然后利用勾股定理列式求出BM ，过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，然后求出OK 、MK ，再利用勾股定理列式求出MO ，根据正方形的性质求出BO ，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．【详解】在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，∴AE=BF=12BC ， 在△ABF 和△DAE 中，AE BF ABC BAD AB AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ABF ≌△DAE （SAS ）， ∴∠BAF=∠ADE ，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°， ∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°， ∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF ）=180°-90°=90°， ∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确； ∵DE 是△ABD 的中线，∴∠ADE≠∠EDB ，∴∠BAF≠∠EDB ，故②错误； ∵∠BAD=90°，AM ⊥DE ，∴△AED ∽△MAD ∽△MEA ， ∴2AM MD AD EM AM AE=== ∴AM=2EM ，MD=2AM ，∴MD=2AM=4EM ，故④正确；设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ， 在Rt △ABF 中，== ∵∠BAF=∠MAE ，∠ABC=∠AME=90°， ∴△AME ∽△ABF ，∴AM AE AB AF= ，即2AM a =解得AM=5∴=55-，∴AM=23MF ，故⑤正确； 如图，过点M 作MN ⊥AB 于N ，则MN AN AM BF AB AF== 即25525MN AN a a a== 解得MN=a 52，AN=45a ， ∴NB=AB-AN=2a-45a =65a ， 根据勾股定理，22226221055NB MN a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，则OK=a-a 52=a 53，MK=65a -a=15a ， 在Rt △MKO 中，2222131055MK OK a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据正方形的性质，BO=2a×22a =， ∵BM 2+MO 2=222210102a ⎫⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭)22222BO a a ==∴BM 2+MO 2=BO 2，∴△BMO 是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．8．B【解析】分析：由平面图形的折叠以及正方体的展开图解题，罪域正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形.详解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．故选B．点睛：本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析及解答问题.9．B【解析】【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【详解】解：不等式kx+b＞mx的解集为：-6＜x＜0或x＞2，故选B．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．10．C【解析】分析: 根据中位数的定义，首先将这组数据按从小到大的顺序排列起来，由于这组数据共有7个，故处于最中间位置的数就是第四个，从而得出答案.详解: 将这组数据按从小到大排列为：6＜7＜7＜7＜8＜9＜9，故中位数为：7分，故答案为：C.点睛: 本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.11．B【解析】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．【解析】【分析】求出甲、乙的平均数、方差，再结合方差的意义即可判断．【详解】x 甲=110（6+10+8+9+8+7+8+9+7+7）=8， 2S 甲=110 [（6-8）2+（10-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（7-8）2] =110×13 =1.3；x 乙=（7+10+7+7+9+8+7+9+9+7）=8，2S 乙=110[（7-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（7-8）2] =110×12 =1.2；丙的平均数为8，方差为1.2，丁的平均数为8，方差为1.8，故4个人的平均数相同，方差丁最大．故应该淘汰丁．故选D ．【点睛】本题考查方差、平均数、折线图等知识，解题的关键是记住平均数、方差的公式．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．15π【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=12•2π•3•5=15π． 故答案为15π．考点：圆锥的计算．14．()()34x x +-；根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．【详解】x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x+3）．故答案为（x ﹣4）（x+3）．15．22 【解析】 如图，连接EF ，∵点E 、点F 是AD 、DC 的中点，∴AE=ED ，CF=DF=12CD=12AB=1， 由折叠的性质可得AE=A′E ，∴A′E=DE ，在Rt △EA′F 和Rt △EDF 中，EA ED EF EF ='⎧⎨=⎩， ∴Rt △EA ′F ≌Rt △EDF （HL ），∴A′F=DF=1，∴BF=BA′+A′F=AB+DF=2+1=3，在Rt △BCF 中，BC=22223122BF CF -=-=．∴AD=BC=22 ．点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF ，证明Rt △EA′F ≌Rt △EDF ，得出BF 的长，再利用勾股定理解答即可．16．【解析】试题解析：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点，∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ，∴AC=2BD ，∴OD=2OC ．∵CD=k ，∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（-23k ，-32）， ∴AC=3，BD=32， ∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=92， ∴CD=k=22229376()22AB AF -=-=． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k 值是解题的关键.17．1【解析】试题解析：设正方形对角线交点为D ，过点D 作DM ⊥AO 于点M ，DN ⊥BO 于点N ；设圆心为Q ，切点为H 、E ，连接QH 、QE ．∵在正方形AOBC 中，反比例函数y ＝k x经过正方形AOBC 对角线的交点， ∴AD=BD=DO=CD ，NO=DN ，HQ=QE ，HC=CE ，QH ⊥AC ，QE ⊥BC ，∠ACB=90°，∴四边形HQEC 是正方形，∵半径为（1-22）的圆内切于△ABC，∴DO=CD，∵HQ2+HC2=QC2，∴2HQ2=QC2=2×（1-22）2，∴QC2=18-322=（12-1）2，∴QC=12-1，∴CD=12-1+（1-22）=22，∴DO=22，∵NO2+DN2=DO2=（22）2=8，∴2NO2=8，∴NO2=1，∴DN×NO=1，即：xy=k=1．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及三角形内切圆的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，根据已知求出CD的长度，进而得出DN×NO=1是解决问题的关键．18．210或226．【解析】【分析】本题有两种情况，一种是点G在线段BD的延长线上，一种是点G在线段BD上，解题过程一样，利用正方形和三角形的有关性质，求出MD、MG的值，再由勾股定理求出AG的值，根据SAS证明≌，可得CE AG=，即可得到CE的长.V VAGD CED【详解】解：当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示.⊥于M，过点G作GM ADBD Q 是正方形ABCD 的对角线，45ADB GDM ∴∠=∠=︒,GM AD DG ⊥=Q ， 2MD MG ∴==,在Rt AMG V 中，由勾股定理，得：AG ==在AGD V 和CED V 中，GD ED =，,AD CD =90ADC GDE ∠=∠=︒Q ,ADG CDE ∴∠=∠AGD CED ∴V V ≌CE AG ∴==当点G 在线段BD 上时，如图4所示.过G 作GM AD ⊥于M ．BD Q 是正方形ABCD 的对角线，45ADG ∴∠=︒GM AD DG ⊥=Q ， 2MD MG ∴==，6AM AD MD ∴==﹣在Rt AMG V 中，由勾股定理，得：AG ==在AGD V 和CED V 中，GD ED =，,AD CD =90ADC GDE ∠=∠=︒Q ,ADG CDE ∴∠=∠AGD CED ∴V V ≌CE AG ∴==故答案为【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形全等的证明.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．证明见解析．【解析】证明：∵AC//DF ∴在和中∴△ABC≌△DEF（SAS）20．（1）A种品牌套装每套进价为1元，B种品牌套装每套进价为7.5元；（2）最少购进A品牌工具套装2套．【解析】试题分析：（1）利用两种套装的套数作为等量关系列方程求解.(2)利用总获利大于等于120,解不等式.试题解析：（1）解：设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．根据题意得：2002.5x+=2×75x，解得：x=7.5，经检验，x=7.5为分式方程的解，∴x+2.5=1．答：A种品牌套装每套进价为1元，B种品牌套装每套进价为7.5元．（2）解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，根据题意得：（13﹣1）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120，解得：a＞16，∵a为正整数，∴a取最小值2．答：最少购进A品牌工具套装2套．点睛：分式方程应用题：一设，一般题里有两个有关联的未知量，先设出一个未知量，并找出两个未知量的联系；二列，找等量关系，列方程，这个时候应该注意的是和差分倍关系：三解，正确解分式方程；四验，应用题要双检验；五答，应用题要写答.21．（1）相等或互补；（2）①BD+AB＝2BC；②AB﹣BD2BC；（3）BC3131. 【解析】【分析】（1）分为点C，D在直线MN同侧和点C，D在直线MN两侧,两种情况讨论即可解题,（2）①作辅助线,证明△BCD≌△FCA，得BC＝FC，∠BCD＝∠FCA,∠FCB＝90°,即△BFC是等腰直角三角形,即可解题, ②在射线AM上截取AF＝BD，连接CF，证明△BCD≌△FCA，得△BFC是等腰直角三角形,即可解题,（3）分为当点C，D在直线MN同侧，当点C，D在直线MN两侧，两种情况解题即可,见详解.【详解】解：（1）相等或互补；理由：当点C，D在直线MN同侧时，如图1，∵AC⊥CD，BD⊥MN，∴∠ACD＝∠BDC＝90°，在四边形ABDC中，∠BAD+∠D＝360°﹣∠ACD﹣∠BDC＝180°，∵∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝∠D；当点C，D在直线MN两侧时，如图2，∵∠ACD＝∠ABD＝90°，∠AEC＝∠BED，∴∠CAB＝∠D，∵∠CAB+∠CAM＝180°，∴∠CAM+∠D＝180°，即：∠D与∠MAC之间的数量是相等或互补；（2）①猜想：BD+AB2BC如图3，在射线AM上截取AF＝BD，连接CF．又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC∴△BCD≌△FCA，∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA∵AC⊥CD∴∠ACD＝90°即∠ACB+∠BCD＝90°∴∠ACB+∠FCA＝90°即∠FCB＝90°∴BF2BC∵AF+AB＝BF2BC∴BD+AB2BC；②如图2，在射线AM上截取AF＝BD，连接CF，又∵∠D＝∠FAC，CD＝AC∴△BCD≌△FCA，∴BC＝FC，∠BCD＝∠FCA∵AC⊥CD∴∠ACD＝90°即∠ACB+∠BCD＝90°∴∠ACB+∠FCA＝90°即∠FCB＝90°∴BF＝2BC∵AB﹣AF＝BF＝2BC∴AB﹣BD＝2BC；（3）①当点C，D在直线MN同侧时，如图3﹣1，由（2）①知，△ACF≌△DCB，∴CF＝BC，∠ACF＝∠ACD＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠CBD＝45°，过点D作DG⊥BC于G，在Rt△BDG中，∠CBD＝45°，BD2，∴DG＝BG＝1，在Rt △CGD 中，∠BCD ＝30°，∴CG ＝3,DG ＝3，∴BC ＝CG+BG ＝3+1，②当点C ，D 在直线MN 两侧时，如图2﹣1，过点D 作DG ⊥CB 交CB 的延长线于G ，同①的方法得，BG ＝1，CG ＝3，∴BC ＝CG ﹣BG ＝3﹣1即：BC ＝31+ 或31-，【点睛】本题考查了三角形中的边长关系,等腰直角三角形的性质,中等难度,分类讨论与作辅助线是解题关键. 22．（1）150；（2）详见解析；（3）35. 【解析】【分析】（1）用A 类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）用总人数分别减去A 、C 、D 得到B 类人数，再计算出它所占的百分比，然后补全两个统计图； （3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出刚好抽到不同性别学生的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）15÷10%=150， 所以共调查了150名学生；（2）喜欢“立定跳远”学生的人数为150﹣15﹣60﹣30=45，喜欢“立定跳远”的学生所占百分比为1﹣20%﹣40%﹣10%=30%，两个统计图补充为：（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中刚好抽到不同性别学生的结果数为12， 所以刚好抽到不同性别学生的概率123.205== 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．23．（1）y=-2x+31，（2）20≤x≤1【解析】试题分析：（1）根据函数图象经过点（20，300）和点（30，280），利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；（2）根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，结合草莓的成本价即可得出x 的取值范围．试题解析：（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，根据题意，得： 2030030280k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：2340k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数解析式为y=-2x+31，(2) ∵试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克1元，且草莓的成本为每千克20元， ∴自变量x 的取值范围是20≤x≤1．24．（1）300米/分；（2）y=﹣300x+3000；（3）7811分． 【解析】【分析】（1）由图象看出所需时间．再根据路程÷时间=速度算出小张骑自行车的速度．（2）根据由小张的速度可知：B （10，0），设出一次函数解析式，用待定系数法求解即可.（3）求出CD 的解析式，列出方程，求解即可.【详解】解：（1）由题意得：240012003004-=（米/分）， 答：小张骑自行车的速度是300米/分；（2）由小张的速度可知：B （10，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，把A （6，1200）和B （10，0）代入得：10061200,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：3003000,k b =-⎧⎨=⎩∴小张停留后再出发时y 与x 之间的函数表达式；3003000y x =-+；（3）小李骑摩托车所用的时间：24003,800= ∵C （6，0），D （9，2400），同理得：CD 的解析式为：y=800x ﹣4800，则80048003003000x x -=-+， 7811x = 答：小张与小李相遇时x 的值是7811分．【点睛】考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.25．（1）A 、B 两种奖品的单价各是10元、15元；（2）W （元）与m （件）之间的函数关系式是W=﹣5m+1，当购买A 种奖品75件时，费用W 的值最少．【解析】【分析】（1）设A 种奖品的单价是x 元、B 种奖品的单价是y 元，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得A 、B 两种奖品的单价各是多少元；（2）根据题意可以得到W （元）与m （件）之间的函数关系式，然后根据A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，可以求得m 的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）设A 种奖品的单价是x 元、B 种奖品的单价是y 元，根据题意得：32605395x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：1015x y =⎧⎨=⎩． 答：A 种奖品的单价是10元、B 种奖品的单价是15元．（2）由题意可得：W=10m+15（100﹣m ）=﹣5m+1．∵A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，∴m≤3（100﹣m ），解得：m≤75∴当m=75时，W 取得最小值，此时W=﹣5×75+1=2．答：W （元）与m （件）之间的函数关系式是W=﹣5m+1，当购买A 种奖品75件时，费用W 的值最少．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．26．（1）一共调查了300名学生．（2）（3）体育部分所对应的圆心角的度数为48°．（4）1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．【解析】【分析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解．（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可．（3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解．（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．【详解】解：（1）∵90÷30%=300（名），∴一共调查了300名学生．（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名．补全折线图如下：（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：40300×360°=48°．（4）∵1800×80300=1（名），∴1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1．27．（1）证明见解析；（2）BD＝3【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出CE CDBD AB，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴CE CD BD AB=，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD62⨯＝3【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．。

2019-2020学年山西省太原市实验中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题1．命题“在ABC V 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B Ð都是锐角”的否命题为（ ） A ．在ABC V 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B Ð都不是锐角 B ．在ABC V 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B Ð不都是锐角 C ．在ABC V 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B Ð都不是锐角 D ．在ABC V 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B Ð不都是锐角 【答案】B【解析】根据否命题的定义判断即可. 【详解】命题“在ABC V 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B Ð都是锐角”的否命题为“在ABC V 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B Ð不都是锐角” 故选：B 【点睛】本题主要考查了写出命题的否命题，属于基础题.2．已知命题1,20x p x R -∀∈>：，则命题p ⌝为（ ） A ．1,20x x R -∀∈≤ B ．1,20x x R -∃∈≤ C ．1,20x x R -∃∈≠ D ．1,20x x R -∀∈<【答案】B【解析】由全称命题的否定的定义即可判断. 【详解】因为命题1,20x p x R -∀∈>： 所以命题:p ⌝1,20x x R -∃∈≤故选：B 【点睛】本题主要考查了写出全称命题的否定，属于基础题.3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为150︒，则直线l 与平面α所成角为（ ）A ．30°B ．120︒C ．150︒D ．60︒【答案】D【解析】根据直线与平面所成角的正弦值等于150︒的余弦值的绝对值，即可得出答案. 【详解】设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos150θ=︒=因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以60θ=︒ 故选：D 【点睛】本题主要考查了求线面角，属于基础题.4．平面内有两定点,A B ，且AB 4=，动点P 满足4PA PB +=u u u r u u u r，则点P 的轨迹是（ ） A ．线段 B ．半圆C ．圆D ．椭圆【答案】C【解析】设(,)P x y ，(2,0)A -，(2,0)B ，由向量的加法以及模长公式得出点P 的轨迹是圆. 【详解】设(,)P x y ，(2,0)A -，(2,0)B(2,2)PA PB x y +=--u u u r u u u rQ()()222224x y ∴-+-=，即224x y +=则点P 的轨迹是圆 故选：C 【点睛】本题主要考查了求有关圆的轨迹问题，涉及了向量的模长公式，属于基础题. 5．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =++u u u u v u u u v u u u v u u u vB ．2OM OA OB OC =--u u u u v u u u v u u u v u u u vC ．1123OM OA OB OC =++u u u u v u u u v u u u v u u u vD ．111236OM OA OB OC =++u u u u v u u u v u u u v u u u v【答案】D【解析】根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】设OM xOA yOB zOC =++u u u u v u u u v u u u v u u u v，若点M 与点,,A B C 共面,,则1x y z ++=，只有选项D 满足，.故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M 与点,,A B C 共面时，且OM xOA yOB zOC =++u u u u v u u u v u u u v u u u v,则1x y z ++=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30o ，则C 的离心率为（ ） A．B ．13C ．12D【答案】D【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|m ， 故离心率e＝12122223F F c a PF PF m m ===++选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．已知向量,a b r r 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c r在直线l 上，则“0c a ⋅=r r ，且0c b ⋅=r r”是“l α⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量的性质以及线面垂直的性质即可作出判断.【详解】0,0c c a b ⋅⋅==r r rr Q,c c b a ∴⊥⊥r r r r若直线l 在平面α内时，此时也能找到向量,a b r r与c r 垂直，不能得到l α⊥反过来，l α⊥，则直线l 垂直于平面α内所有直线，则0c a ⋅=r r ，且0c b ⋅=r r故“0c a ⋅=r r ，且0c b ⋅=r r”是“l α⊥”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，涉及向量的性质以及线面垂直的性质，属于基础题.8．已知椭圆22142x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F ∆的面积是（ ） A． B ．2 C． D【答案】A【解析】由椭圆的定义得出124PF PF +=，结合122PF PF -=，可求出1PF 和2PF ，利用勾股定理可得出2222121PF F F PF +=，可得出212PF F F ⊥，然后利用三角形的面积公式可计算出12PF F ∆的面积. 【详解】由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1231PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，12F F ==Q 2212212PF F F PF ∴+=，212PF F F ∴⊥.因此，12PF F ∆的面积为1212211122PF F S F F PF ∆=⋅=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.9．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)1,-+∞ C ．(],1-∞ D ．(],3-∞【答案】A【解析】由题意，可先解出p ⌝：31x -≤≤与q ⌝：x a ≤，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列出不等式即可得出a 的取值范围. 【详解】由条件:12p x +>，解得1x >或3x <-，故p ⌝：31x -≤≤， 由条件:q x a >得q ⌝：x a ≤， ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴1a ≥， 故选：A . 【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键.10．已知空间四个点(1,1,1)A ，(4,0,2)B -，(3,1,0)C --，(1,0,4)D -，则直线AD 与平面ABC 所成的角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A【解析】根据向量法求出线面角即可. 【详解】设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =r，直线AD 与平面ABC 所成的角为θ(2,1,3),(5,1,1),(4,2,1)AD AB AC =--=--=---u u u r u u u r u u u r0504200n AB x y z x y z n AC ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨---=⋅=⎩⎪⎩u u u r r u u ur r 令1x =，则(1,3,2)n =-r1sin 2AD n AD nθ⋅∴===⋅u u u r ru u u r r 则30θ=︒ 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线面角，属于中档题.二、填空题11．若2a x a <<+是3x >的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为_________ 【答案】[)3,+∞【解析】将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式，求出a 的范围． 【详解】∵“a ＜x ＜a+2”是“x ＞3”的充分不必要条件 ∴{x|a ＜x ＜a+2}⊊{x|x ＞3} ∴a≥3，故答案为[3，+∞） 【点睛】本题考查利用集合关系来判断条件关系．当A ⊆B 时，A 是B 的充分条件；当A ⊊B 时，A 是B 的充分不必要条件；当A=B 时，A 是B 的充要条件．12．如图，已知三棱锥A BCD -中，AD ，BD ，CD 两两垂直，1AD BD ==，3CD =，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，则点C 到平面DEF 的距离为_________．【答案】217【解析】利用体积桥C DEF E CDF V V --=的方式，求解出三棱锥C DEF -的体积；根据题目中的长度和垂直关系，求解出DEF S ∆，然后再求解出所求的距离. 【详解】 原题如图所示：,,AD BD CD Q 两两互相垂直 AD ∴⊥平面BCD又E 为AC 中点 E ⇒到底面BCD 距离为1122AD = 1AD =，3CD =AD CD ⊥ 2AC ⇒= 112DE AC ⇒== ,E F 为,AC BC 中点 22112222EF AB AD DB ⇒==+=1BD =，3CD =BD CD ⊥ 2BC ⇒= 112DF BC ⇒== 在DEF ∆中，根据余弦定理可知：11132cos 2114EDF +-∠==⨯⨯ 7sin EDF ⇒∠=17sin 2DEF S DE DF EDF ∆∴=⨯⨯⨯∠=设C 到平面DEF 距离为h 则111111333232212224C DEF E CDF CDF BCD V V S S --∆∆==⨯=⨯⨯=⨯=即117333824DEF S h h ∆⋅=⨯=217h ⇒= 本题正确结果：217【点睛】本题考查空间几何体中的距离问题，对于三棱锥中的点到面的距离，通常采用体积桥的方式，将所求距离变为几何体的高，从而通过体积求解出结果.13．曲线C 的方程为x 2＋23y＝1，其上一点P(x ，y)，则3x ＋y 的最大值为_________.【答案】23【解析】令3x＋y＝n，与椭圆联立得12x2－6nx＋n2－3＝0，，由Δ≥0即可得最值. 【详解】令3x＋y＝n，代入x2＋23y＝1，消去y化简整理，得12x2－6nx＋n2－3＝0，Δ＝36n2－4×12(n2－3)≥0，解得－23≤n≤23.答案：23.【点睛】本题主要考查了由联立处理直线与椭圆的位置关系，属于基础题.14．在图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，若(02)CM BN a a==<<，则MN长度的最小值是__________．【答案】2 2【解析】利用面面垂直和线面垂直的性质定理证明AD AF⊥，建立空间直角坐标系，写出,M N坐标，利用空间中两点的距离公式结合二次函数的性质得出最小值.【详解】Q平面ABCD⊥平面ABEFAD⊂平面ABCD，平面ABCD与平面ABEF相交于AB，AD AB⊥AD∴⊥平面ABEFAF⊂Q平面ABEF，AD AF∴⊥则以A为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系(02)CM BN a a ==<<Q22220,1,1,,1,02222M a N a a ⎛⎫⎛⎫∴--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222211212222MN a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则22a =时，MN 取最小值22故答案为：22【点睛】本题主要考查了空间中两点间距离公式的应用，关键是采用坐标法进行求解，属于中档题.三、解答题15．命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立； 命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增，若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。

2019-2020学年山西省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.下列方程中，是一元二次方程的是()A. x2−5x=0B. x+1=0C. y−2x=0D. 2x3−2=02.一元二次方程3x−2=x(2x−1)的一般形式是()A. 2x2−3x−2=0B. 2x2+3x−2=0C. 2x2−4x−2=0D. 2x2−4x+2=03.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为()A. 4B. 6C. 8D. 124.一元二次方程x2+2=0的根的情况为()A. 没有实根B. 有两个相等的实根C. 有两个不等的实根D. 有两个实根5.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为()A. x(20+x)=64B. x(20−x)=64C. x(40−x)=64D.x(40+x)=646.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE//CA，DF//BA，下列四个判断中，不正确的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果AD=EF，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠EAF，AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形7.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.则线段EF的最小值为()A. 45B. 35C. 52D. 1258.如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是()A. 45°B. 50°C. 60°D. 不确定9.为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单循环比赛(即每两个队比赛一场)共进行了45场比赛，则这次参加比赛的球队个数为()A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知某等腰三角形三边长分别为5，a，11，则a的值为()A. 5B. 5.5C. 11D. 5或11二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.如果−1是方程x2+mx−1=0的一个根，那么m的值为____________．12.分解因式：xy4−6xy3+9xy2= ______．13.把方程x2+6x+3=0变形为(x+ℎ)2=k的形式，其中h，k为常数，则k=______．14.若关于x的一元二次方程a2x2+(2a−1)x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是______．15.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有______对全等三角形．三、解答题（本大题共7小题，共65.0分）16.解下列方程：(1)(2x+3)2−81=0；(2)x2+2x−399=0；(配方法)(3)3x(x−1)=2x−2；(4)x2−2x−1=0．17. 先化简，再求值：(a +2a+1a )÷2a 2−2a 2−a ，其中a =2√3−1．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 为BC 边上的中线，AE//BC ，且AE =12BC ，连接CE ． (1)求证：四边形ADCE 为菱形；(2)连接BE ，若BE 平分∠ABC ，AE =2，求BE 的长．19. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？AC，连接AE、CE．20.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，DE=12(1)求证四边形ODEC为矩形；(2)若AB=2，∠ABC=60°，求AE的长．21.汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．(1)当售价为13.5万元/辆时，求平均每周的销售利润．(2)若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？22.25.如图1，正方形ABCD中，点E为AD上任意一点，连接BE，以BE为边向BE右侧作正方形BEFG，EF交CD于点M，连接BM，N为BM的中点，连接GN，FN．(1)若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的长；(2)求证：GN=FN；(3)如图2，移动点E，使得FN⊥CD于点Q时，请探究CM与DE的数量关系并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：[分析]根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．[详解]A、是一元二次方程，故A正确；B、是一元一次方程，故B错误；C、是二元一次方程，故C错误；D、是一元三次方程，故D错误；故选：A．[点睛]本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.答案：D解析：【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先去括号，然后移项，把等号右边化为0即可．【解答】解：将原方程整理得2x2−4x+2=0，故选D．3.答案：C解析：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长=4×2=8．故选：C．在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证AD=DC，又四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长即可．本题考查了菱形的判定与性质．关键是根据平行四边形的性质，AC平分∠DAB，得出AD=DC．4.答案：A解析：解：一元二次方程x2+2=0中，△=0−4×1×2=−8<0，故原方程没有实数根．故选A．先求出△的值，再进行判断即可得出答案．本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．5.答案：B解析：【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设长方形的长为xcm，则这个长方形的宽为(20−x)cm，根据长方形的面积公式可列方程x(20−x)=64，故选B．6.答案：D解析：【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形，对四个选项逐一判断即可．【解答】解：A、因为DE//CA，DF//BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD=EF，且四边形AEDF是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD=∠FAD，∵∠FAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．故选D．7.答案：D解析：【分析】连接CD，判断出四边形CEDF是矩形，再根据矩形的对角线相等可得EF=CD，然后根据垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，进而解答即可．本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，熟记性质与判定方法并确定出EF最短时的位置是解题的关键．【解答】解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，∵AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=5，∵四边形CEDF是矩形，∴CD=EF=AC⋅BCAB =125，故选：D．8.答案：A解析：【分析】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．过E作HI//BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．【解答】解：如图所示，过E作HI//BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，∵E是BF的垂直平分线EM上的点，∴EF=EB，∵E是∠BCD角平分线上一点，∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，Rt△BHE和Rt△EIF中，{BE=EFBH=EI,∴Rt△BHE≌Rt△EIF(HL)，∴∠HBE=∠IEF，∵∠HBE+∠HEB=90°，∴∠IEF+∠HEB=90°，∴∠BEF=90°，∵BE=EF，∴∠EBF=∠EFB=45°．故选A．9.答案：C解析：解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x(x−1)场，2=45，根据题意列出方程得：x(x−1)2整理，得：x2−x−90=0，解得：x1=10，x2=−9(不合题意舍去)，所以，这次有10队参加比赛．故选：C．设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，则此次比赛的总场数为：x(x−1)场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可．2此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，能够进行分类讨论是解题关键.分a=5或a=11进行讨论即可．【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为5，a，11，∴当a=5时，5+5<11，不能构成三角形；当a=11时，5+11>11，可以构成三角形，故选C．11.答案：0解析：【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，解题关键是掌握一元二次方程的解的概念.解题时，把方程的根代入方程，得出关于m的方程，求解即可．【解答】解：∵−1是方程x2+mx−1=0的一个根，∴(−1)2−m−1=0，解得：m=0．故答案为0．12.答案：xy2(y−3)2解析：解：原式=xy2(y2−6y+9)=xy2(y−3)2，故答案为：xy2(y−3)2．原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.答案：6解析：解：移项，得x2+6x=−3，配方，得x2+6x+9=−3+9，所以，(x+3)2=6．故答案是：6．把常数项移到等号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再通过比较得到k的值．本题考查了解一元二次方程--配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．14.答案：a≤1且a≠04解析：解：根据题意得a2≠0且△=(2a−1)2−4a2≥0，解得a≤1且a≠0．4且a≠0．故答案为a≤14根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a2≠0且△=(2a−1)2−4a2≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．15.答案：3解析：解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，{OA=OB ∠1=∠2 OP=OP，∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，{∠1=∠2∠OEP=∠OFP=90°OP=OP，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，{PA=PBPE=PF，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP≌R t△BOP．本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．16.答案：解：(1)(2x+3)2−81=0，(2x+3)2=81，∴2x+3=9或2x+3=−9，解得：x1=3x2=−6；(2)x2+2x−399=0，x2+2x=399，x2+2x+1=399+1，即(x+1)2=400，∴x+1=20或x+1=−20，解得：x1=19x2=−21；(3)3x(x−1)=2x−2；整理，得：3x(x−1)−2(x−1)=0，因式分解，得(x−1)(3x−2)=0，∴x−1=0或3x−2=0，解得：x1=1，x2=23；(4)x2−2x−1=0．x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，即(x,−1)2=2，∴x−1=√2或x−1=−√2，解得：x1=1+√2,x2=1−√2．解析：(1)直接开平方法求解可得；(2)配方法求解可得；(3)因式分解法求解可得；(4)配方法求解可得．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17.答案：解：原式=(a2a +2a+1a)÷2(a+1)(a−1)a(a−1)=(a+1)2a⋅a2(a+1)=a+12，当a=2√3−1时，原式=2√32=√3．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18.答案：解：(1)∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD=12BC，∵AE=12BC，∴AE=CD；∵AE//BC，∴四边形ADCE为平行四边形，∵∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，∴AD=12BC=CD，∴四边形ADCE为菱形；(2)连接BE与AD相交于点O，∵若BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AE//BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，BC=AE，∵BD=12∴AB=BD，∴∠BOD=90°；∵四边形ADCE为菱形，AE=2，∴AD=DC=CE=AE=2，BC=4，∵AD//CE，∴∠BEC=∠BOD=90°，∴BE=√BC2−CE2=2√3．解析：本题考查平行四边形的综合问题，涉及平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等性质，需要学生灵活运用所学知识．BC=CD，从(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质易证四边形ADCE为平行四边形，易证AD=12而可证四边形ADCE为菱形；BC=AE，所以AB=BD，所以∠BOD=90°，易求得AD=DC=CE= (2)易证AB=AE，由于BD=12AE=2，BC=4，由勾股定理即可求出BE的长度．19.答案：解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10(1+x)2=12.1，解得x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意舍去)．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；(2)今年6月份的快递投递任务是12.1×(1+10%)=13.31(万件)．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6<13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，≈2(人)．∴需要增加业务员(13.31−12.6)÷0.6=11160答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．解析：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思并根据题目给出的条件找出合适的等量关系列出方程，再求解．(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；(2)首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．AC．20.答案：解：(1)证明：在菱形ABCD中，OC=12∴DE=OC．∵DE//AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；(2)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=√AD2−AO2=√22−12=√3．在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√7．解析：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．(1)先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形即可；(2)根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．21.答案：解：(1)售价为13.5万元/辆时，平均每周销量为：8+15−13.5×2=14(辆)所以平均每周利润为：(13.5−10)×14=49(万元)，答：平均每周的销售利润是49万元；(2)设每辆汽车的售价是x万元，(x−10)(8+15−x0.5×2)=40．化简，得(x−10)(17−x)=10，x2−27x+180=0解得：x1=12，x2=15，由于希望增大销量，定价12万元售价更合适答：每辆汽车的售价定为12万元更合适．解析：此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数=40万元是解决问题的关键．(1)根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆，即可求出当售价为13.5万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润×销售数量列式计算；(2)设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．22.答案：解：(1)∵AB=4，AE：DE=3：1，∴AE=3，DE=1，∴BE=√AB2+AE2=5，∵∠BEF=90°，∠BEF=90°，∠BEF=90°，∴△ABE∽△DEM，∴ABDE =BEEM，即41=5EM，解得，EM=54；(2)连接EN，∵∠BEF=90°，N为BM的中点，∴EN=1BM=BN=NM，∴∠NBE=∠NEB，∴∠NBG=∠NEF，在△NBG和△NEF中，{BG=EF∠NBG=∠NEF NB=NE，∴△NBG≌△NEF，∴GN=FN；(3)如图2，延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H，∵∠BCD=90°，N为BM的中点，∴CN=12BM=BN=NM，∵FN⊥CD，∴CR=MR=12CM，∵∠A=∠H=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵∠BEF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠ABE=∠FEH，在△ABE和△HEF中，{∠A=∠H∠ABE=∠FEH BE=FE，∴△ABE≌△HEF，∴AE=HF，∵∠H=∠RDH=∠DRF=90°，∴四边形DRFH是矩形，∴AE=HF=DR，∴AD−AE=CD=DR，即DE=CR，∴DE=1CM．解析：本题考查的是正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．(1)根据题意分别求出AE、DE，证明△ABE∽△DEM，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；BM，证明△NBG≌△NEF即可；(2)连接EN，根据直角三角形的性质得到EN=12(3)延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H，证明△ABE≌△HEF，得到AE=HF，根据矩形的性质得到DR=FH，等量代换即可．。

2019-2020学年山西省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2019春•秀洲区期中）下列方程是一元二次方程的是()A ．221x y +=B ．323x x -=C ．2215x x +=D ．20x =2．（2分）（2019秋•杏花岭区校级月考）把一元二次方程(1)32x x x +=+化为一般形式，正确的是()A ．2220x x --=B ．2220x x -+=C ．2310x x --=D ．2430x x ++=3．（2分）（2019•大庆）下列说法中不正确的是()A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线垂直的平行四边形是菱形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．菱形的邻边相等4．（2分）（2018秋•湛江校级期末）一元二次方程2230x x +-=的根的情况是()A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．（2分）（2018秋•临海市期末）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x 米，则下列方程正确的为()A ．(58)200x x -=B ．(29)200x x -=C ．(292)200x x -=D ．(582)200x x -=6．（2分）（2019春•香坊区校级期中）下列说法中，正确的有()个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A ．1B ．2C ．3D ．47．（2分）（2019春•庆云县期末）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF的最小值为()A ．24B ．3.6C ．4.8D ．58．（2分）（2019秋•杏花岭区校级月考）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ，请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：四边形DFBE 是正方形；小何：OE OF =；小夏：AFED FBCE S S =四边形四边形；小雨：ACE CAF ∠=∠这四位同学写出的结论中不正确的是()A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨9．（2分）（2018秋•磴口县校级期中）某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛()A ．10个B ．6个C ．5个D ．4个10．（2分）（2019•苏州模拟）若a 、b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -++=的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为()A ．8B ．7C ．8或7D ．9或8二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）（2019•惠来县模拟）已知关于x 的方程2220x x k -+=的一个根是1，则k =．12．（3分）（2019春•开江县期末）分解因式：3223363a b a b ab -+=．13．（3分）（2019春•海曙区期末）把方程2410x x -+=化成2()x m n -=的形式，m ，n 均为常数，则mn 的值为．14．（3分）（2019•郫都区模拟）如果关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围为．15．（3分）（2019春•岳麓区校级期中）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是BAD ∆和ACD ∆的高，得到下列四个结论：①OA OD =；②AD EF ⊥；③当90A ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形；④AE DF AF DE +=+．其中正确的是（填序号）．三、解答题（共7小题，满分65分）16．（24分）（2019秋•杏花岭区校级月考）解方程（按要求方法解方程，没有要求的请用适当的方法解方程）（1）2(2)9x -=（直接开方法）（2）2660x x -+=（配方法）（3）23125x x -=+（公式法）（4）3(2)2(2)x x x -=-（因式分解法）（5）2(1)5(1)40x x ---+=（6）22122x x x-=--．17．（5分）（2019春•个旧市校级期中）先化简，后求值221(1)121a a a a a --÷+++，其中1a =．18．（6分）（2019春•静安区期末）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，90BAC ∠=︒，点E 为BC 的中点（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）联结BD ，如果BD 平分ABC ∠，2AD =，求BD 的长．19．（6分）（2019秋•长春期中）阳光小区附近有一块长100m ，宽80m 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为()a m ，求步道的宽．20．（6分）（2019秋•杏花岭区校级月考）已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，//DE AC ，//AE BD ．（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若2AB =，1DE =，求四边形AODE 的面积．21．（6分）（2019秋•鼓楼区校级月考）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22．（12分）（2019秋•杏花岭区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为(4,4)，动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F 沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年山西省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2019春•秀洲区期中）下列方程是一元二次方程的是()A ．221x y +=B ．323x x -=C ．2215x x +=D ．20x =【解答】解：A 、221x y +=是二元二次方程，故A 错误；B 、323x x -=是一元三次方程，故B 错误；C 、2215x x +=是分式方程，故C 错误；D 、20x =是一元二次方程，故D 正确；故选：D ．2．（2分）（2019秋•杏花岭区校级月考）把一元二次方程(1)32x x x +=+化为一般形式，正确的是()A ．2220x x --=B ．2220x x -+=C ．2310x x --=D ．2430x x ++=【解答】解：将一元二次方程(1)32x x x +=+化为一般形式之后，变为2220x x --=，故选：A ．3．（2分）（2019•大庆）下列说法中不正确的是()A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线垂直的平行四边形是菱形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．菱形的邻边相等【解答】解：A ．四边相等的四边形是菱形；正确；B ．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C ．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D ．菱形的邻边相等；正确；故选：C ．4．（2分）（2018秋•湛江校级期末）一元二次方程2230x x +-=的根的情况是()A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【解答】解：在方程2230x x +-=中，△2142(3)250=-⨯⨯-=>，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B ．5．（2分）（2018秋•临海市期末）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x 米，则下列方程正确的为()A ．(58)200x x -=B ．(29)200x x -=C ．(292)200x x -=D ．(582)200x x -=【解答】解： 垂直于墙的边长为xm ，∴平行于墙的一边为(582)x m -．根据题意得：(582)200x x -=，故选：D ．6．（2分）（2019春•香坊区校级期中）下列说法中，正确的有()个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；④对角线平分、相等且垂直的四边形是正方形，错误；⑤每一条对角线平分每一组对角的平行四边形是菱形，正确，故选：B ．7．（2分）（2019春•庆云县期末）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF的最小值为()A ．24B ．3.6C ．4.8D ．5【解答】解：连接PC ，PE AC ⊥ ，PF BC ⊥，90PEC PFC C ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ECFP 是矩形，EF PC ∴=，∴当PC 最小时，EF 也最小，即当CP AB ⊥时，PC 最小，8AC = ，6BC =，10AB ∴=，PC ∴的最小值为：4.8AC BCAB= ．∴线段EF 长的最小值为4.8．故选：C ．8．（2分）（2019秋•杏花岭区校级月考）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ，请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：四边形DFBE 是正方形；小何：OE OF =；小夏：AFED FBCE S S =四边形四边形；小雨：ACE CAF ∠=∠这四位同学写出的结论中不正确的是()A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨【解答】解： 四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，//CD AB ，ECO FAO ∴∠=∠，（故小雨的结论正确），在EOC ∆和FOA ∆中，EOC AOF ECO OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EOC FOA ∴∆≅∆，OE OF ∴=（故小何的结论正确），EOC AOF S S ∆∆∴=，12ADC AFED ABCDS S S∆∴==四边形平行四边形，AFED FBCE S S ∴=四边形四边形故小夏的结论正确，EOC FOA ∆≅∆ ，EC AF ∴=，CD AB = ，DE FB ∴=，//DE FB ，∴四边形DFBE 是平行四边形，OD OB = ，EO DB ⊥，ED EB ∴=，∴四边形DFBE 是菱形，无法判断是正方形，故小青的结论错误，故选：A．9．（2分）（2018秋•磴口县校级期中）某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛()A ．10个B ．6个C ．5个D ．4个【解答】解：设有x 个足球队参加，依题意，(1)20x x -=，整理，得2200x x --=，(5)(4)0x x -+=，解得：15x =，24x =-（舍去）；即：共有5个足球队参加比赛．故选：C ．10．（2分）（2019•苏州模拟）若a 、b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -++=的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为()A ．8B ．7C ．8或7D ．9或8【解答】解： 等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，a b ∴=，或a 、b 中有一个数为4．当a b =时，有224(6)4(1)0b ac n -=--+=，解得：8n =；当a 、b 中有一个数为4时，有246410n -⨯++=，解得：7n =，故选：C ．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）（2019•惠来县模拟）已知关于x 的方程2220x x k -+=的一个根是1，则k =12．【解答】解：根据题意，得1x =满足关于x 的方程2220x x k -+=，则1220k -+=，解得，12k =；故答案是：12．12．（3分）（2019春•开江县期末）分解因式：3223363a b a b ab -+=23()ab a b -．【解答】解：原式2223(2)3()ab a ab b ab a b =-+=-，故答案为：23()ab a b -13．（3分）（2019春•海曙区期末）把方程2410x x -+=化成2()x m n -=的形式，m ，n 均为常数，则mn 的值为6．【解答】解：方程2410x x -+=，变形得：241x x -=-，配方得：2443x x -+=，即2(2)3x -=，2m ∴=，3n =，则6mn =，故答案为：614．（3分）（2019•郫都区模拟）如果关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围为3m <且2m ≠．【解答】解：由题意可知：△44(2)0m =-->，3m ∴<，由于20m -≠，2m ∴≠，故答案为：3m <且2m ≠15．（3分）（2019春•岳麓区校级期中）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是BAD ∆和ACD ∆的高，得到下列四个结论：①OA OD =；②AD EF ⊥；③当90A ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形；④AE DF AF DE +=+．其中正确的是②③④（填序号）．【解答】解：如果OA OD =，则四边形AEDF 是矩形，没有说90A ∠=︒，不符合题意，故①错误；AD 是ABC ∆的角平分线，EAD FAD ∴∠=∠，在AED ∆和AFD ∆中，90EAD FAD AED AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AED AFD AAS ∴∆≅∆，AE AF ∴=，DE DF =，AE DF AF DE ∴+=+，故④正确；在AEO ∆和AFO ∆中，AE AF EAO FAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO AFO SAS ∴∆≅∆，EO FO ∴=，又AE AF = ，AO ∴是EF 的中垂线，AD EF ∴⊥，故②正确；当90A ∠=︒时，四边形AEDF 的四个角都是直角，∴四边形AEDF 是矩形，又DE DF = ，∴四边形AEDF 是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故答案为：②③④．三、解答题（共7小题，满分65分）16．（24分）（2019秋•杏花岭区校级月考）解方程（按要求方法解方程，没有要求的请用适当的方法解方程）（1）2(2)9x -=（直接开方法）（2）2660x x -+=（配方法）（3）23125x x -=+（公式法）（4）3(2)2(2)x x x -=-（因式分解法）（5）2(1)5(1)40x x ---+=（6）22122x x x-=--．【解答】解：（1）2(2)9x -= ，23x ∴-=或23x -=-，解得15x =，21x =-；（2）2660x x -+= ，266x x ∴-=-，则26969x x -+=-+，即2(3)3x -=，则2x -=，12x ∴=+，22x =-；（3）整理为一般式，得23260x x --=，3a = ，2b =-，6c =-，∴△2(2)43(6)760=--⨯⨯-=>，则2163x ±±==，即113x =，213x =；（4）3(2)2(2)x x x -=-- ，3(2)2(2)0x x x ∴-+-=，则(2)(32)0x x -+=，解得12x =，223x =-；（5）2(1)5(1)40x x ---+= ，(11)(14)0x x ∴----=，即(2)(5)0x x --=，则20x -=或50x -=，解得12x =，25x =；（6）两边都乘以2x -，得：222x x +=-，解得4x =-，检验：当4x =-时，260x -=-≠，∴分式方程的解为4x =-．17．（5分）（2019春•个旧市校级期中）先化简，后求值221(1)121a a a a a --÷+++，其中1a =．【解答】解：原式21(1)1(1)(1)a a a a +=++- 11a =-，当1a =+时，原式18．（6分）（2019春•静安区期末）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，90BAC ∠=︒，点E 为BC 的中点（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）联结BD ，如果BD 平分ABC ∠，2AD =，求BD 的长．【解答】证明：（1）90BAC ∠=︒ ，点E 为BC 的中点，12AE EC BC ∴==2BC AD = ，12AD BC ∴=AD EC ∴=，且//AD BC ，∴四边形AECD 是平行四边形，且AE EC =，∴四边形AECD 是菱形（2）如图，//AD BC ，AD BC<∴四边形ABCD 是梯形，BD 平分ABD ∠，12ABD DBC ABC ∴∠=∠=∠//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠，AB AD∴= 四边形AECD 是菱形，2AD DC ∴==2AB DC ∴==∴四边形ABCD 是等腰梯形，AC BD∴=24BC AD == ．BD AC ∴===19．（6分）（2019秋•长春期中）阳光小区附近有一块长100m ，宽80m 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为()a m ，求步道的宽．【解答】解：由题意，得：2210080(7)a a a a +-=化简，得2 3.6a a =．0a > ．3.6a ∴=．答：步道的宽为3.6m ．20．（6分）（2019秋•杏花岭区校级月考）已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，//DE AC ，//AE BD ．（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若2AB =，1DE =，求四边形AODE 的面积．【解答】（1）证明：//DE AC ，//AE BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，90AOD AOD ∴∠=∠=︒，∴四边形AODE 是矩形；（2）解： 四边形AODE 是矩形，1AO DE ∴==，2AB = ，BO ∴==OD BO ∴==，∴四边形AODE 的面积1AO OD === 21．（6分）（2019秋•鼓楼区校级月考）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【解答】解：（1）设每千克茶叶应降价x 元，则平均每周可售出40(200)10x +千克，依题意，得：40(400240)(2004160010x x --+=，整理，得：211024000x x -+=，解得：130x =，280x =．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2） 为尽可能让利于顾客，80x ∴=，∴40080108400-⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．22．（12分）（2019秋•杏花岭区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，四边形OADC 为正方形，点D 的坐标为(4,4)，动点E 沿边AO 从A 向O 以每秒1cm 的速度运动，同时动点F 沿边OC 从O 向C 以同样的速度运动，连接AF 、DE 交于点G ．（1）试探索线段AF 、DE 的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF 、DF ，分别取AE 、EF 、FD 、DA 的中点H 、I 、J 、K ，则四边形HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E 运动到AO 中点时，点M 是直线EC 上任意一点，点N 是平面内任意一点，是否存在点N 使以O ，C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）AF DE =．理由如下：四边形OADC 是正方形，OA AD ∴=，90DAE AOF ∠=∠=︒，由题意得：AE OF =，在AOF ∆和DAE ∆中，OA AD AOF DAE OF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOF DAE SAS ∴∆≅∆，AF DE ∴=．（2）四边形HIJK 是正方形．理由如下：如图①所示：H 、I 、J 、K 分别是AE 、EF 、FD 、DA 的中点，12HI KJ AF ∴==，12HK IJ ED ==，//HI AF ，//HK ED ，AF DE = ，HI KJ HK IJ ∴===，∴四边形HIJK 是菱形，AOF DAE ∆≅∆ ，ADE OAF ∴∠=∠，90ADE AED ∠+∠=︒ ，90OAF AED ∴∠+∠=︒，90AGE ∴∠=︒，AF ED ∴⊥，//HI AF ，//HK ED ，HI HK ∴⊥，90KHI ∴∠=︒，∴四边形HIJK 是正方形．（3）存在，理由如下：四边形OADC 为正方形，点D 的坐标为(4,4)，4OA AD OC ∴===，(4,0)C ∴，点E 为AO 的中点，2OE ∴=，(0,2)E ；分情况讨论：如图②所示，①当OC 是以O ，C 、M 、N 为顶点的菱形的对角线时，OC 与MN 互相垂直平分，则M 为CE 的中点，∴点M 的坐标为(2,1)，点M 和N 关于OC 对称，(2,1)N ∴-；②当OC 是以O ，C 、M 、N 为顶点的菱形的边时，若M 在y 轴的左侧时，四边形OCM N ''是菱形，4OM OC '∴==，//M N OC ''，∴△M FE COE '∆∽，∴2M F OC EF OE'==，设EF x =，则2M F x '=，2OF x =+，在Rt △OM F '中，由勾股定理得：222(2)(2)4x x ++=，解得：65x =，或2x =-（舍去），125M F '∴=，845FN M F '=-=，616255OF =+=，8(5N '∴，165；若M 在y 轴的右侧时，作N P OC ''⊥于P ，//ON CM '''' ，PON OCE ''∴∠=∠，1tan tan 2PN OE PON OCE OP OC ''''∴∠==∠==，设PN y ''=，则2OP y =，在Rt OPN ''∆中，由勾股定理得：222(2)4y y +=，解得：5y =，5PN ''∴=，5OP =，(5N ''∴，5-；综上所述，存在点N 使以O ，C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，点N 的坐标为(2,1)-或8(5，16)5或．。

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，cos A＝，那么sin A的值是（）A．B．C．D．3．在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（）A．B．C．D．4．给出下列各组线段，其中成比例线段是（）A．a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cmB．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cmC．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝2cmD．a＝2cm，b＝cm，c＝2cm，d＝cm5．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC＝3DE B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△ADE ＝S△ABC6．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．78．下列选项中，函数y＝对应的图象为（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．210．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D ′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（）A．4B．6C．12D．24二．填空题（共6小题）11．已知＝，则＝．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是．14．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为．15．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝．（结果保留根号）16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．三．解答题（共7小题）17．计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（﹣）﹣118．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB′C′，请画出△AB′C ′．②填空：tan∠AD′C'＝．19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象经过A，E两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限内的D，H 两点，正方形EFCH的顶点F．G在AD上．已知A（﹣1，a），B（﹣4，0）．（1）求点C的坐标及k的值；（2）直接写出正方形EFGH的边长．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2090元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22．通达桥即小店汾河桥，是太原新建成的一座跨汾大桥，也是太原首座悬索桥．桥的主塔由曲线形拱门组成，取意“时代之门”．无人机社团的同学计划利用无人机设备测量通达桥拱门的高度．如图，他们先将无人机升至距离桥面50米高的点C处，测得桥的拱门最高点A的仰角∠ACF为30°，再将无人机从C处竖直向上升高200米到点D处，测得点A的俯角∠ADG为45°．已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求通达桥拱门最高点A距离桥面BE的高度AB．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）23．合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题．问题情境：正方形ABCD中，点P是射线DB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ，设∠DAP＝α（0°＜α＜135°），∠QCE＝β．初步探究：（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了0°＜α＜45°时的情形，射线AP与边CD交于点F．他们得出此时α与β的关系是β＝2α．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段BC的延长线上（如图2）时，α＝°，β＝°；深入探究：（2）敏学小组的同学画出45°＜α＜90°时的图形如图3，射线AP与边BC交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；拓展延伸：（3）请你借助图4进一步探究：①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为；②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当α＝β时，PQ的长为．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图所示，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据左视图就是从物体的左边进行观察，得出左视图．【解答】解：在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示，故选：D．2．在Rt△ABC中，cos A＝，那么sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sin A的值即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，cos A＝，∴sin A＝＝，故选：B．3．在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可判断出长方形木板在地面上形成的投影中不可能为梯形．【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形，则长方形木板在地面上形成的投影中不可能是梯形．故选：C．4．给出下列各组线段，其中成比例线段是（）A．a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cmB．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cmC．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝2cmD．a＝2cm，b＝cm，c＝2cm，d＝cm【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、2×8≠4×6，故选项错误；B、×≠×，故选项错误；C、×2≠×，故选项错误；D、2×＝×2，故选项正确．故选：D．5．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A．BC＝3DE B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△ADE ＝S△ABC【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵BD＝2AD，∴AB＝3AD，∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，A结论正确；∵DE∥BC，∴＝，B 结论正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，C 结论正确；∵DE ∥BC ，AB ＝3AD ，∴S △ADE ＝S △ABC ，D 结论错误，故选：D ．6．在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ，则下列三种说法：①如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形②如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形③如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意可得四边形AEDF 是平行四边形；由∠BAC ＝90°，得四边形AEDF 是矩形；由AD 平分∠BAC ，得四边形AEDF 是菱形；当AD ⊥BC 且AB ＝AC 时，四边形AEDF 是菱形．【解答】解：∵DE ∥CA ，DF ∥BA ，∴四边形AEDF 是平行四边形；∵∠BAC ＝90°，∴四边形AEDF 是矩形；∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠FAD ＝∠ADF ，∴AF ＝DF ，∴四边形AEDF 是菱形；∵AD ⊥BC 且AB ＝AC ，∴AD平分∠BAC，∴四边形AEDF是菱形；故①②③正确．故选：A．7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．8．下列选项中，函数y＝对应的图象为（）A．B．C．D．【分析】根据x的取值范围讨论函数的图象的位置后即可确定正确的选项．【解答】解：∵y＝中x≠0，∴当x＞0时，y＞0，此时图象位于第一象限；当x＜0时，y＞0，此时图象位于第二象限．故选：A．9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF ＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．10．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D ′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（）A．4B．6C．12D．24【分析】由矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，推出＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A′B′＝（90+2a），A′D′＝30+8＝38cm，∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，∴＝，∴＝，解得a＝12，故选：C．二．填空题（共6小题）11．已知＝，则＝．【分析】根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．【解答】解；由＝，得＝．由合比性质，得＝．＝，故答案为：．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠1．【分析】根据一元二次方程有实数根可得k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解之即可．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为：k≤5且k≠1．13．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是．【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为＝．故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为﹣12．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出△OAP的面积的面积，再根据双曲线所在的象限即可求出k的值【解答】解：连接OP．∵点B为AO的中点，△PAB的面积为3S△OAP＝2S△PAB＝2×3＝6，又∵，∴，∴|k|＝12，∵k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．15．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝．（结果保留根号）【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．【解答】解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝9，∴直角三角形ABE中，BE＝＝，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF∵AD∥BC∴∠G＝∠DEF∴∠BEG＝∠G∴BG＝BE＝由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴设CG＝x，DE＝2x，则AD＝9+2x＝BC∵BG＝BC+CG∴＝9+2x+x解得x＝∴BC＝9+2（﹣3）＝故答案为：16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，∴BH＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，根据勾股定理得，CF＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共7小题）17．计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（﹣）﹣1【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝2﹣3×+1﹣（﹣2）＝2﹣+1+2＝+3．18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB′C′，请画出△AB′C ′．②填空：tan∠AD′C'＝4．【分析】（1）先利用正方形的性质得到BC的中点D，然后连接AD即可；（2）①利用网格特点确定AB、AC的中点B′、C′即可；②利用勾股定理的逆定理得到△ACB＝90°，利用正切的定义得到tan∠ADC＝4，然后利用相似的性质得到tan∠AD′C'＝tan∠ADC＝4．【解答】解：（1）如图所示，AD为所求；（2）①如图所示，△AB′C′为所求；②∵BC2＝32+32＝18，AC2＝62+62＝72，AB2＝32+92＝90，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan∠ADC＝＝4，∵△ABC∽△AB'C'，∴tan∠AD′C'＝tan∠ADC＝4．故答案为4．19．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象经过A，E两点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过第一象限内的D，H 两点，正方形EFCH的顶点F．G在AD上．已知A（﹣1，a），B（﹣4，0）．（1）求点C的坐标及k的值；（2）直接写出正方形EFGH的边长．【分析】（1）将A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．求得点A的坐标为（﹣1，4），过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，根据勾股定理得到A B＝＝＝5，推出四边形ABCD是菱形，求得点C坐标为（1，0），点D坐标为（4，4），把点D（4，4）代入y＝中，于是得到结论；（2）设正方形EFGH的边长为a，得到E（﹣，a+4），得到H（，a+4），根据正方形的性质列方程解得a＝2﹣2，（负值舍去）．于是得到结论．【解答】解：（1）将A（﹣1，a）代入y＝﹣中，得a＝4．∴点A的坐标为（﹣1，4），过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，∴∠A MB＝∠DNC＝90°，∴AM∥DN．则MO＝1，AM＝4．∵点B（﹣4，0），∴OB＝4，BM＝BO﹣MO＝3．在Rt△ABM中，A B＝＝＝5，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC＝MN＝5，AM＝DN＝4，OC＝BC﹣BO＝5﹣4＝1，ON＝MN﹣M0＝5﹣1＝4．∴点C坐标为（1，0），点D坐标为（4，4），把点D（4，4）代入y＝中，得k＝16；（2）设正方形EFGH的边长为a，则∵E点反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，∴在E（﹣，a+4），∵H点在y＝的图象上，∴H（，a+4），∴﹣（﹣）＝a，解得：a＝2﹣2，（负值舍去）．∴正方形EFGH的边长为2﹣2．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD 的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝1，AC＝．21．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2090元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【解答】解：（1）设每千克核桃应降价x元．根据题意，得．化简，得x2﹣10x+9＝0解得x1＝1，x2＝9答：每千克核桃应降价1元或9元．（2）由（1）可知每千克核桃可降价1元或9元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价9元．此时，售价为：60﹣9＝51（元），∴，答：该店应按原售价的八五折出售．22．通达桥即小店汾河桥，是太原新建成的一座跨汾大桥，也是太原首座悬索桥．桥的主塔由曲线形拱门组成，取意“时代之门”．无人机社团的同学计划利用无人机设备测量通达桥拱门的高度．如图，他们先将无人机升至距离桥面50米高的点C处，测得桥的拱门最高点A的仰角∠ACF为30°，再将无人机从C处竖直向上升高200米到点D处，测得点A的俯角∠ADG为45°．已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求通达桥拱门最高点A距离桥面BE的高度AB．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】如图，作AM⊥DE于M．根据CD＝200米，构建方程求出CM即可解决问题．【解答】解：如图，作AM⊥DE于M．∴∠AMD＝∠AMC＝90°，在Rt△ACM中，∠ACM＝90°﹣∠ACF＝90°﹣30°＝60°，∴tan∠ACM＝tan60°＝＝，∴AM＝CM，在Rt△ADM中，∠ADM＝90°﹣∠ADG＝90°﹣45°＝45°，∴tan∠ADM＝tan45°＝＝1，∴AM＝DM＝CM，由题意：CD＝200米，∴CM+CM＝200，∴CM＝≈73（米），∵∠ABE＝∠AME＝∠MEB＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∴AB＝ME＝MC+CE＝73+50＝123（米）．答：通达桥拱门最高点A距离桥面BE的高度AB约为123米．23．合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题．问题情境：正方形ABCD中，点P是射线DB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ，设∠DAP＝α（0°＜α＜135°），∠QCE＝β．初步探究：（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了0°＜α＜45°时的情形，射线AP与边CD交于点F．他们得出此时α与β的关系是β＝2α．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段BC的延长线上（如图2）时，α＝30°，β＝60°；深入探究：（2）敏学小组的同学画出45°＜α＜90°时的图形如图3，射线AP与边BC交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；拓展延伸：（3）请你借助图4进一步探究：①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为β＝2（α﹣90°）；②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当α＝β时，PQ的长为6﹣2．【分析】初步探究：（1）连接PC，由对称的性质和等腰三角形的性质得出∠QCE＝∠PCE，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP＝∠BCP，由平行线得出∠CQE＝∠DAP＝α，证出α+β＝90°①，再证出β＝2α②，即可得出结果；深入探究：（2）连接PC，由对称的性质和等腰三角形的性质得出∠QCE＝∠PCE，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP＝∠BCP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°﹣α，AP＝CP，证出∠BAP＝∠GCE，得出∠BCG＝∠GCE＝90°﹣α，即可得出结论；拓展延伸：（3）①连接PC，证出∠PCE＝∠QCE＝β，证明△ABP≌△CBP，得出∠BAP＝∠BCP＝∠DAP﹣∠BAD＝α﹣90°，证明∠BAP＝∠BCH，得出∠BCP＝∠BCH＝∠BAP＝α﹣90°，即可得出结论；②分三种情况：当0°＜α＜45°时，β＝2α，不合题意；当45°＜α＜90°时，β＝2（90°﹣α），得出α＝β＝60°，作PM⊥AD于M，证出AM＝AP，DM＝PM＝AM，设AM＝x，则CP＝AP＝2x，DM＝PM＝x，得出方程，解得：x＝﹣1，得出CP＝AP＝2x＝2﹣2，在△PCQ中，求出CE＝CP＝﹣1，PE＝CE ＝3﹣，得出PQ＝2PE＝6﹣2；当90°＜α＜135°时，β＝2（α﹣90°），得出α＝β＝180°，不合题意．【解答】初步探究：解：（1）连接PC，如图2所示：∵点Q与点P关于点E对称，∴EP＝EQ，∵CE⊥AP，∴CE垂直平分PQ，∴CP＝CQ，∴∠QCE＝∠PCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP，∵AD∥BC，∴∠CQE＝∠DAP＝α，∵CE⊥AP，∴∠CQE+∠QCE＝90°，即α+β＝90°①，∵∠CQE+∠BAP＝90°，∴∠QCE＝∠BAP＝∠BCP，∵∠BCP＝∠CQE+∠CPQ，∴β＝2α②，由①②得：α＝30°，β＝60°；故答案为：30，60；深入探究：解：（2）α与β的关系是β＝2（90°﹣α）；理由如下：连接PC，如图3所示：∵点Q与点P关于点E对称，∴EP＝EQ，∵CE⊥AP，∴CE垂直平分PQ，∴CP＝CQ，∴∠QCE＝∠PCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°﹣α，AP＝CP，∵∠ABG＝∠CEG＝90°，∴∠BAP+∠AGB＝90°，∠GCE+∠CGE＝90°，∵∠AGB＝∠CGE，∴∠BAP＝∠GCE，∴∠BCG＝∠GCE＝90°﹣α，∴∠QCE＝2∠GCE＝2（90°﹣α），即：β＝2（90°﹣α）；拓展延伸：解：（3）①当90°＜α＜135°时，α与β之间的等量关系为β＝2（α﹣90°）；理由如下：连接PC，设CE交AB于点H，如图4所示：∵点Q与点P关于点E对称，∴EP＝EQ，∵CE⊥AP，∴CE垂直平分PQ，∴CP＝CQ，∴∠PCE＝∠QCE＝β，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠ABP＝∠CBP，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP＝∠DAP﹣∠BAD＝α﹣90°，∵∠AEH＝∠CBH＝90°，∴∠BAP+∠AHE＝90°，∠BCH+∠BHC＝90°，∵∠AHE＝∠CHB，∴∠BAP＝∠BCH，∴∠BCP＝∠BCH＝∠BAP＝α﹣90°，∴∠QCE＝∠PCE＝2∠BCP＝2（α﹣90°），即：β＝2（α﹣90°）；故答案为：β＝2（α﹣90°）；②当0°＜α＜45°时，β＝2α，不合题意；当45°＜α＜90°时，β＝2（90°﹣α），∵α＝β，∴α＝β＝60°，作PM⊥AD于M，如图5所示：∵∠APM＝90°﹣α＝30°，∠PDM＝45°，∴AM＝AP，DM＝PM＝AM，设AM＝x，则CP＝AP＝2x，DM＝PM＝x，∵AD＝2，∴x+x＝2，解得：x＝﹣1，∴CP＝AP＝2x＝2﹣2，∵∠PCQ＝2β＝120°，CP＝CQ，CE⊥AP，∴∠CPE＝30°，PE＝QE，∴CE＝CP＝﹣1，PE＝CE＝3﹣，∴PQ＝2PE＝6﹣2；当90°＜α＜135°时，β＝2（α﹣90°），∵α＝β，∴α＝β＝180°，不合题意；综上所述，在点P运动过程中，当α＝β时，PQ的长为6﹣2；故答案为：6﹣2．。

2019年山西省实验中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中，只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入下表相应的空格．）1．下列四个数中是无理数的是（）A．3B．3πC．3.14159D．2．将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．80°3．一元一次不等式组的最大整数解是（）A．﹣1B．0C．1D．24．据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年．其中5500万用科学记数法表示为（）A．55×106B．5.5×106C．0.55×108D．5.5×1075．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a5+a5＝a10C．（﹣2a3）3＝﹣6a9D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b26．如图所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．7．若（）÷M的化简结果是﹣，那么分式M为（）A．B．C．D．﹣8．二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y＝x2﹣2x+1，则b+c的值为（）A．16B．6C．0D．﹣129．如图中的古印度的“无字证明”直观的证明一个重要定理，这个定理早在三千多年前就被周朝的数学家商高提出，它被记载于我国古代著名的数学著作是（）A．《周髀算经》B．《九章算术》C．《几何原本》D．《海岛算经》10．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．计算﹣的结果是．12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么大树CD的高度为．。

山西省太原市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（）A．国B．厉C．害D．了2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．193．设0＜k＜2，关于x的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y的最小值是（）A．2k-2 B．k-1 C．k D．k+14．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，355．如果k＜0，b＞0，那么一次函数y=kx+b的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限6．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．188．下列命题中，错误的是（）A．三角形的两边之和大于第三边B．三角形的外角和等于360°C．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形D．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分9．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）10．如图所示，有一条线段是ABC ∆（AB AC >）的中线，该线段是（ ）.A ．线段GHB ．线段ADC ．线段AED ．线段AF11．如果解关于x 的分式方程2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-412．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．25和30B ．25和29C ．28和30D ．28和29二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是_____．14．一个扇形的面积是125πcm ，半径是3cm ，则此扇形的弧长是_____． 15．如图，点A 为函数y=9x （x ＞0）图象上一点，连结OA ，交函数y=4x （x ＞0）的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，则△OBC 的面积为____．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（3，0），顶点B 在y 轴正半轴上，顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y=-x 2-5x+c 经过点B 、C ，则菱形ABCD 的面积为_______．17．一个圆的半径为2，弦长是23，求这条弦所对的圆周角是_____．18．比较大小：3_________10 (填<，>或＝)．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．20．（6分）如图，在ABC V 中，A 90∠=o ，AB AC =，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90o ，得到线段AE ，连结EC ．()1依题意补全图形；()2求ECD ∠的度数；()3若CAE 7.5∠=o ，AD 1=，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60o 交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．21．（6分）解不等式组2102323x x x +>⎧⎪-+⎨≥⎪⎩并在数轴上表示解集． 22．（8分）某花卉基地种植了郁金香和玫瑰两种花卉共 30 亩，有关数据如表：成本（单位：万元/亩）销售额（单位：万元/亩） 郁金香2.4 3 玫瑰 2 2.5本）（2） 若计划投入的成本的总额不超过 70 万元，要使获得的收益最大，基地应种植郁金香和玫瑰个多少亩？23．（8分）如图，海中有一个小岛 A ，该岛四周 11 海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B 处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C 处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）24．（10分）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝55，求BD 的长．25．（10分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AD BD CD ==，求证：90BAC ∠=︒.如图②，已知矩形ABCD ，如果在矩形外存在一点E ，使得AE CE ⊥，求证：BE DE ⊥.（可以直接用第（1）问的结论）在第（2）问的条件下，如果AED ∆恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边AB 与BC 的数量关系.26．（12分）已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．（1）求证：OC OP PD AP；（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．27．（12分）在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC上一点，连接BE．(1)如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；(2)如图2，D为AB上一点，且满足AE=AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG=AF+FG．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】∴有“我”字一面的相对面上的字是国.故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字.【解析】【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.故选A.【点睛】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.3．A【解析】【分析】先根据0＜k＜1判断出k-1的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤1即可得出结论．【详解】∵0＜k＜1，∴k-1＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤1，∴当x=1时，y最小=1（k-1）+1=1k-1．故选A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．4．C【解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选C．5．D【解析】根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限．【详解】∵k＜0，∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限．又∵b＞0时，∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交与正半轴．综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．故选D．【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．6．D【解析】【分析】先根据第一象限内的点的坐标特征判断出a、b的符号，进而判断点B所在的象限即可.【详解】∵点A(a，-b)在第一象限内，∴a>0，-b>0，∴b<0，∴点B((a，b)在第四象限，故选D．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中各个象限内点的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．7．B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.8．C【解析】【分析】根据三角形的性质即可作出判断．解：A、正确，符合三角形三边关系；B、正确；三角形外角和定理；C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确．故选：C．【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．9．D【解析】【分析】由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），由此得出规律解决问题．【详解】解：解：∵第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，…∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个，故选D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出a n＝4（n﹣1）是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．【详解】根据三角形中线的定义知：线段AD是△ABC的中线．故选B．【点睛】线．11．D【解析】【详解】2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣1)，得： m+1x=x ﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D ．12．D【解析】【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28，∴这组数据的中位数是28，在这组数据中，29出现的次数最多，∴这组数据的众数是29，故选D ．【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1．【解析】【分析】设小矩形的长为x ，宽为y ，则由图1可得5y=3x ；由图2可知2y-x=2.【详解】解：设小矩形的长为x ，宽为y ，则可列出方程组，3522x y y x =⎧⎨-=⎩，解得106x y =⎧⎨=⎩， 则小矩形的面积为6×10=1. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.【解析】【分析】 根据扇形面积公式1S 2l r 扇形=⋅⋅求解即可 【详解】 根据扇形面积公式1S 2l r 扇形=⋅⋅. 可得：121352l π=⨯⨯， 85l π=， 故答案：85π. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积和弧长之间的关系, 利用扇形弧长和半径代入公式1S 2l r 扇形=⋅⋅即可求解, 正确理解公式是解题的关键. 注意在求扇形面积时, 要根据条件选择扇形面积公式.15．6【解析】【分析】根据题意可以分别设出点A 、点B 的坐标，根据点O 、A 、B 在同一条直线上可以得到A 、B 的坐标之间的关系，由AO=AC 可知点C 的横坐标是点A 的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC 的面积．【详解】设点A 的坐标为(a,9a),点B 的坐标为(b,4b )， ∵点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，∴点C 的坐标是(2a,0)，设过点O(0,0),A(a, 9a)的直线的解析式为：y=kx ， ∴9a=k ⋅a ， 解得k=29a ， 又∵点B(b,4b )在y=29a x 上， ∴4b =29a ⋅b,解得,a b =32或a b =−32(舍去)， ∴S △OBC =422a b ⋅=6.故答案为：6.本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.16．20【解析】【分析】根据抛物线的解析式结合抛物线过点B、C，即可得出点C的横坐标，由菱形的性质可得出AD=AB=BC=1，再根据勾股定理可求出OB的长度，套用平行四边形的面积公式即可得出菱形ABCD的面积．【详解】抛物线的对称轴为x=-5 22ba=-．∵抛物线y=-x2-1x+c经过点B、C，且点B在y轴上，BC∥x轴，∴点C的横坐标为-1．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=1，∴点D的坐标为（-2，0），OA=2．在Rt△ABC中，AB=1，OA=2，∴OB=22AB OA-=4，∴S菱形ABCD=AD•OB=1×4=3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的性质以及平行四边形的面积，根据二次函数的性质、菱形的性质结合勾股定理求出AD=1、OB=4是解题的关键．17．60°或120°【解析】【分析】首先根据题意画出图形,过点O作OD⊥AB于点D, 通过垂径定理, 即可推出∠AOD的度数, 求得∠AOB 的度数, 然后根据圆周角定理,即可推出∠AMB和∠ANB的度数.【详解】解：如图：连接OA,过点O作OD⊥AB 于点D,Q OA=2,AB=∴:2,∴∠AOD=60o,∠∴AOB=120o,∴∠AMB=60o,∴∠ANB=120o.故答案为: 60o或120o.【点睛】本题主要考查垂径定理与圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两个，他们互为补角.18．<【解析】【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案.【详解】∵32=9，9<10，∴，故答案为：<.【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．第二、三季度的平均增长率为20%．【解析】【分析】设增长率为x，则第二季度的投资额为10（1+x）万元，第三季度的投资额为10（1+x）2万元，由第三季度投资额为10（1+x）2＝14.4万元建立方程求出其解即可．【详解】设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x，由题意，得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：第二、三季度的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10（1+x）2＝14.4建立方程是关键．20．（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.【解析】【分析】（1）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC．（2）先判定△ABD ≌△ACE ，即可得到B ACE ∠=∠，再根据45B ACB ACE ∠=∠=∠=︒，即可得出90ECD ACB ACE ∠=∠+∠=︒；（3）连接DE ，由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求2DE =；由60ADF ∠=︒，7.5CAE ∠=︒ ，可求EDC ∠的度数和CDF ∠的度数，从而可知DF 的长；过点A 作AH DF ⊥于点H ，在Rt △ADH 中，由60ADF ∠=︒，AD=1可求AH 、DH 的长；由DF 、DH 的长可求HF 的长；在Rt △AHF 中，由AH 和HF ，利用勾股定理可求AF 的长．【详解】解：()1如图，()2Q 线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90o ，得到线段AE ．DAE 90∠∴=o ，AD AE =，DAC CAE 90∠∠∴+=o ．BAC 90∠=o Q ，BAD DAC 90o ∠∠∴+=．BAD CAE ∠∠∴=，在ABD V 和ACE V 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴V ≌()ACE SAS V． B ACE ∠∠∴=，ABC QV 中，A 90∠=o ，AB AC =，B ACB ACE 45∠∠∠∴===o ．ECD ACB ACE 90∠∠∠∴=+=o ；()3Ⅰ.连接DE ，由于ADE V 为等腰直角三角形，所以可求DE 2=Ⅱ.由ADF 60o ∠=，CAE 7.5∠=o ，可求EDC ∠的度数和CDF ∠的度数，从而可知DF 的长；Ⅲ.过点A 作AH DF ⊥于点H ，在Rt ADH V 中，由ADF 60o ∠=，AD 1=可求AH 、DH 的长； Ⅳ.由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ.在Rt AHF V 中，由AH 和HF ，利用勾股定理可求AF 的长．故答案为（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题的关键是要注意对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．21．﹣12＜x≤0，不等式组的解集表示在数轴上见解析. 【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式2x+1＞0，得：x ＞﹣12， 解不等式2323x x -+≥，得：x≤0， 则不等式组的解集为﹣12＜x≤0， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”．22．（1）y = 0.1x + 15，（2）郁金香 25 亩，玫瑰 5 亩【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可得到y 关于x 的函数；（2）根据题意可列出相应的不等式，再根据（1）中的函数关系式即可求解.【详解】（1）由题意得y=（3-2.4）x-（2.5-2）（30-x ）=0.1x+15即y 关于x 的函数关系式为y=0.1x+15（2）由题意得2.4x+2（30-x ）≤70∵y=0.1x+15∴当x=25时，y最大=17.530-x=5，∴要使获得的收益最大，基地应种植郁金香25亩和玫瑰5亩.【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意进行列出关系式与不等式进行求解. 23．不会有触礁的危险,理由见解析.【解析】分析：作AH⊥BC，由∠CAH=45°，可设AH=CH=x，根据BHtan BAHAH∠=可得关于x的方程，解之可得．详解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠BAH=60°，∠CAH=45°，BC=1．设AH=x，则CH=x．在Rt△ABH中，∵1060310BH xtan BAH tan x xAH x∠+=∴︒==+，，，解得：53513.65x=≈．∵13.65＞11，∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．24．BD＝41.【解析】【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．作DM ⊥BC ，交BC 延长线于M ，连接AC ，如图所示：则∠M ＝90°，∴∠DCM+∠CDM ＝90°，∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC 2＝AB 2+BC 2＝25，∵CD ＝10，AD ＝55 ， ∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，∴∠ACB+∠DCM ＝90°，∴∠ACB ＝∠CDM ，∵∠ABC ＝∠M ＝90°，∴△ABC ∽△CMD ， ∴12AB CM =， ∴CM ＝2AB ＝6，DM ＝2BC ＝8，∴BM ＝BC+CM ＝10，∴BD ＝22BM DM +＝22108+＝241，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD 是直角三角形是解决问题的关键．25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3BC AB =【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；（2）先判断出OE=12AC ，即可得出OE=12BD ，即可得出结论； （3）先判断出△ABE 是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．【详解】（1）∵AD=BD ，∴∠B=∠BAD ，∵AD=CD ，∴∠C=∠CAD ，在△ABC 中，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°∴∠B+∠C=90°，∴∠BAC=90°，（2）如图②，连接AC 与BD ，交点为O ，连接OEQ 四边形ABCD 是矩形 1122OA OB OC OD AC BD ∴===== AE CE ⊥Q90AEC ∴∠=︒12OE AC ∴=12OE BD ∴= 90BED ∴∠=︒BE DE ∴⊥（3）如图3，过点B 做BF AE ⊥于点FQ 四边形ABCD 是矩形AD BC ∴=，90BAD ∠=︒ADE ∆Q 是等边三角形AE AD BC ∴==，60DAE AED ∠=∠=︒由（2）知，90BED ∠=︒30BAE BEA ∴∠=∠=︒2AE AF ∴=Q 在Rt ABF ∆中，30BAE ∠=︒2AB AF ∴=，AF =AE ∴=AE BC =QBC ∴=【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B=∠BAD ，解（2）的关键是判断出OE=12AC ，解（3）的关键是判断出△ABE 是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形．26． (1)详见解析；（2）10.【解析】【分析】 ①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故OC OP PD AP=. ②根据相似三角形的性质求出PC 长以及AP 与OP 的关系，然后在Rt △PCO 中运用勾股定理求出OP 长，从而求出AB 长．【详解】①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得：AP=AB ，PO=BO ，∠PAO=∠BAO ，∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C ，∠APD=∠POC.∴△OCP ∽△PDA. ∴OC OP PD AP=. ②∵△OCP 与△PDA 的面积比为1:4，∴OCPD=OPPA=CPDA=14−−√=12.∴PD=2OC ，PA=2OP ，DA=2CP.∵AD=8，∴CP=4，BC=8.设OP=x，则OB=x，CO=8−x.在△PCO中，∵∠C=90∘，CP=4，OP=x，CO=8−x，∴x2=(8−x)2+42.解得：x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.27．（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解决问题．（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．【详解】解：如图 1 中，在AB 上取一点M，使得BM=ME，连接ME．在Rt△ABE 中，∵OB=OE，∴BE=2OA=2，∵MB=ME，∴∠MBE=∠MEB=15°，∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，∵AB2+AE2=BE2，∴，∴x=（负根已经舍弃），∴AB=AC=（2+ ）•，∴BC= AB= +1．作CQ⊥AC，交AF 的延长线于Q，∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAC=90°，FG⊥CD，∴∠AEB=∠CMF，∴∠GEM=∠GME，∴EG=MG，∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，∴∠CMF=∠Q，∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM=FQ，∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，∵EG=MG，∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

山西省某校2019-2020学年九年级第一学期期末质量评估试题数学（华师版）第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.下列各式中，是最简二次根式的是（ ）2.关于x 的一元二次方程2420x x ++=的根的情况是（ ） A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根3.育才学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的3名同学（1男2女）组成了“关爱老人”志愿小分队.若从该小分队中任选2名同学参加周末的志愿活动，则恰好是1男1女的概率是（ ） A.13B.23C.12D.344.二次函数()213y x =-++的图象的顶点坐标，对称轴分别是（ ） A.()1,3，直线1x =B.()1,3-，直线1x =C.()1,3-，直线1x =-D.()1,3，直线1x =-5.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，:4:25DEF ABF S S ∆∆=，则:CE DE =（ ）A.3:2B.2:3C.3:5D.2:56.下列问题中，你认为最适合用抽样调查法的是（ ） A.调查某校七年级二班学生的课余体育运动情况 B.调查某班学生早餐是否有吃鸡蛋的习惯 C.调查某种灯泡的使用寿命 D.调查某校排球队员的身高7.如图，AB 是O 的直径，点,C D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则CDB ∠=（ ）A.27︒B.64︒C.54︒D.32︒8.思源中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，现学校计划在这块空地上划出四分之一的面积种花，小泽同学设计了一个宽为xm 的“U ”型花带，方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A.3(30)(20)20304x x --=⨯⨯B.(30)(20)203041x x --=⨯⨯C.130********x x x +⨯=⨯⨯D.(30)(20)203043x x --=⨯⨯9.如图，ABC ∆的顶点都在正方形网格的格点上，则tan BAC ∠的值为（ ）A.12B.2 10.如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，对于下列说法：①0ac >；②20a b +>；③24ac b <；④0a b c ++<；⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小.其中正确的是（ ）A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.抛物线()232y x =-+向右平移一个单位长度后，得到的新抛物线表达式是__________.12.在一个不透明的布袋中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共40个，这些玻璃球除颜色外其他完全相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后，再放回袋中.通过大量重复摸球试验后发现摸到红色球、黑色球的频率稳定在25%和45%左右，则布袋中白色球约有_________个. 13.勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉.生活中到处可见黄金分割的美.向日葵就是一个很好的例子.如果仔细观察向日葵中心，就会发现似乎有条螺旋形的曲线，如果对此进行计算，结果会得到黄金分割数列.如图是一株向日葵的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割（黄金分割比0.618≈）.已知2AC =，且AC BC >，则BC 的长约为__________.14.如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球距地面的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为()2404h t t t =-+≤≤，当小球距离地面的高度为3m 时，所用的时间t =____________s .15.如图，在O 中，AB AC =，75ACB ∠=︒，2BC =，则阴影部分的面积是__________.三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（1）计算：1013tan 30(4)2π-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭；（2）解方程：()32+=+.x x x17.如图1，国庆期间某广场旗杆附近搭建了一座花篮.图2为从该场景抽象出的数学模型，已知花篮高度5=，某一时刻花篮在阳光下的投AB m影3=.BC m（1）请你用尺规作图法在图2中作出此时旗杆DE在阳光下的投影EF；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在测量AB的投影时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.18.九年级数学课上，王老师带领同学们做了一个游戏，在一个黑色袋子中装有形状、大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是2，3，4.把小球搅拌均匀，现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数字，小球不放回，然后再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数字.王老师给同学们提出了如下问题，请聪明的你一块来解答.（1）用画树状图法或列表法表示游戏所有可能出现的结果，并求出组成的两位数是6的倍数的概率；（2）从组成的两位数中任取一个，求选取的两位数的算术平方根恰好大于5且小于6的概率.19.如图，ABC∠，AB=，AD平分BAC ∆是O的内接三角形，AB为O的直径，6交BC于点E，交O于点D，连接BD.（1）求证：BAD CBD∠=∠；（2）若125∠=︒，求BD的长（结果保留π）.AEB20.如图，时代先锋小区在一栋楼房AB后修了一座假山，其坡面CD的坡度为4i=，山坡坡面CD上E点处有一休息亭，测得假山坡脚点C与1:3楼房AB间的水平距离30CE m=，小丽从楼房顶端=，与亭子的距离20BC m测得E点的俯角为45︒，求楼房AB的高度.21.九年级数学兴趣小组经过市场调查发现，某商店销售A型玩具，每件售价为10元时，日销量为20件，售价每增加1元，日销量下降2件.已知该玩具的进价为每件6元，设售价为()10x x≥元.（1）请用含x的代数式表示：①销售该玩具每件利润为________元；②日销量是_________件；（2）该商店若想每日通过销售这种玩具获得96元的利润，则该玩具每件售价应该定为多少元？（3）设销售该玩具的日利润为y元，那么售价为多少元时，当日的利润最大？最大利润是多少元？22.如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点,D E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，且DB DE =.（1）若90α=︒，则CE AD的值是__________；（2）若120=︒，将BDE ∆绕点B 按顺时针旋转到如图2所示的位置，求CE AD的值；（3）对于任意角α，将BDE ∆绕点B 旋转到如图3所示的位置，直接写出CE AD的值为________.（用含α的式子表示）23.综合与探究如图，抛物线2y x bx c =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，直线l 与抛物线交于,A C 两点，其中C 点的横坐标为4.（1）求抛物线及直线AC 的函数表达式；（2）点M 是线段AC 上的点（不与,A C 重合），过点M 作MFy 轴交抛物线于点F ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MF 的长；（3）在（2）的条件下，连接FA，FC，是否存在m，使AFC的面积最大？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1-5 BCBCA 6-10 CADAC 二、填空题11.()242y x =-+ 12.12 13.1.236 14.1或 3 15.223π+三、解答题16.解：（1）原式()312=+-12=-1=（2）原方程可化为2220x x +-=. ∵1a =，2b =，2c =， ∴()24441212b ac -=-⨯⨯-=.∴22x -±=.∴11x =-，21x =-.17.解：（1）如图EF 就是DE 的投影.（2）由作图可知ACDF ，∴ACB DFE ∠=∠，∵90ABC DEF ∠=∠=︒，∴ABC DEF ∆∆∽.∴AB DE BCEF=，即536DE =，∴()10DE m =. 答：DE 的长为10m . 18.解：（1）画树状图为：或列表为所有机会均等的结果有6种，其中组成的两位数是6的倍数的结果有2个，∴P （6的倍数）2163==.（2）算术平方根大于5且小于6的结果共有2个， 则所求概率2163P ==.19.解：（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵CAD CBD ∠=∠，∴BAD CBD ∠=∠.（2）如答图，连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴90C ∠=︒，∵125AEB ∠=︒，∴35CAE ∠=︒，∴35DAB ∠=︒，∴70BOD ∠=︒. ∴BD 的长为：7037=1806ππ⨯. 20.解：如答图，过点E 分别作EG AB ⊥于点G ，EF BC ⊥的延长线于点F ，则四边形EGBF 是矩形，∴EG BF =，BG EF =.在Rt CFE ∆中，∵CD 的坡度为41:3i =， ∴43tan 1:34EF ECF CF∠===， 设3EF x =，4CF x =，则根据勾股定理可得5CE x =，∵20CE =，∴4x =.∴12EF =，16CF =.∴46EG BF BC CF ==+=.在Rt EGA ∆中，由题意得45AEG ∠=︒， ∴tan tan 451AG AEG EG∠=︒==，∴46AG GE ==.∴()461258AB AG BG m =+=+=.答：楼房AB 的高度为58m .21.解：（1）①6x -②240x -+（2）根据题意，可列方程为()()624096x x --+=，解得：112x =，214x =.答：每件售价应该定为12元或14元.（3）由题意得()()6240y x x =--+225224x x =-+-()221398x =--+，∴售价为13元时，当日的利润最大，最大利润是98元.22.解：（1（2）如答图，由题意，得ABC ∆和BDE ∆都是等腰三角形，且120BAC BDE ∠=∠=︒.∴123430∠=∠=∠=∠=︒，∴ABC DBE ∆∆∽.∴ABDBBC BE =.∵13CBD CBD ∠+∠=∠+∠，即ABD CBE ∠=∠，∴CBE ABD ∆∆∽.∴CE BEAD BD =.在BDE ∆中，过点D 作DM BE ⊥于点M .则1602BDM BDE ∠=∠=︒，2BE BM =.在Rt BDM ∆中，sin BM BDM BD ∠=，∴sin 602BMBD ︒==. ∴2CEBE BM AD BD BD===（2）2sin 2α.23.解：（1）把()2,0A ，()6,0B 代入2y x bx c =+-得， 4203660b c b c --=⎧⎨+-=⎩，解得1412b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的表达式为2412y x x =--. 把4x =代入2412y x x =--得12y =-，∴()4,12C -. 设直线AC 的表达式为y kx n =+， 把()2,0A -，()4,12C -代入得：2040k n k n -+=⎧⎨+=⎩， 解得：24k n =-⎧⎨=-⎩∴直线AC 的表达式为24y x =--（2）∵点M 在直线AC 上，∴M 点的坐标为(),24m m --. ∵点F 在抛物线2412y x x =--上，∴F 点的坐标为()2,412m m m --. ∴()22(24)41228MF m m m m m =-----=-++（3）1。

2019-2020学年山西省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2y＝1B．x3﹣2x＝3C．x2+＝5D．x2＝02．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x﹣2＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2﹣3x﹣1＝0D．x2+4x+3＝03．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等4．一元二次方程2x2+x﹣3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（）A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝2006．下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC 于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．24B．3.6C．4.8D．58．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE，请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：四边形DFBE是正方形；小何：OE＝OF；小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF这四位同学写出的结论中不正确的是（）A．小青B．小何C．小夏D．小雨9．某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛（）A．10个B．6个C．5个D．4个10．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（）A．8B．7C．8或7D．9或8二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．已知关于x的方程x2﹣2x+2k＝0的一个根是1，则k＝．12．分解因式：3a3b﹣6a2b2+3ab3＝．13．把方程x2﹣4x+1＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，m，n均为常数，则mn的值为．14．如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为．15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD ⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（填序号）．三、解答题（共7小题，满分65分）16．（24分）解方程（按要求方法解方程，没有要求的请用适当的方法解方程）（1）（x﹣2）2＝9（直接开方法）（2）x2﹣6x+6＝0（配方法）（3）3x2﹣1＝2x+5（公式法）（4）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）（因式分解法）（5）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0（6）＝1．17．先化简，后求值（1﹣）÷，其中a＝+1．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．19．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为a（m），求步道的宽．20．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝2，DE＝1，求四边形AODE的面积．21．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N 使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年山西省实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．【解答】解：A、x2+2y＝1是二元二次方程，故A错误；B、x3﹣2x＝3是一元三次方程，故B错误；C、x2+＝5是分式方程，故C错误；D、x2＝0是一元二次方程，故D正确；故选：D．2．【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0，故选：A．3．【解答】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．4．【解答】解：在方程2x2+x﹣3＝0中，△＝12﹣4×2×（﹣3）＝25＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B．5．【解答】解：∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为（58﹣2x）m．根据题意得：x（58﹣2x）＝200，故选：D．6．【解答】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；④对角线平分、相等且垂直的四边形是正方形，错误；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，正确，故选：B．7．【解答】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：＝4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，CD∥AB，∴∠ECO＝∠F AO，（故小雨的结论正确），在△EOC和△FOA中，，∴△EOC≌△FOA，∴OE＝OF（故小何的结论正确），∴S△EOC＝S△AOF，∴S四边形AFED＝S△ADC＝S平行四边形ABCD，∴S四边形AFED＝S四边形FBCE故小夏的结论正确，∵△EOC≌△FOA，∴EC＝AF，∵CD＝AB，∴DE＝FB，DE∥FB，∴四边形DFBE是平行四边形，∵OD＝OB，EO⊥DB，∴ED＝EB，∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，故小青的结论错误，故选：A．9．【解答】解：设有x个足球队参加，依题意，x（x﹣1）＝20，整理，得x2﹣x﹣20＝0，（x﹣5）（x+4）＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣4（舍去）；即：共有5个足球队参加比赛．故选：C．10．【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴a＝b，或a、b中有一个数为4．当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得：n＝8；当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，解得：n＝7，故选：C．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．【解答】解：根据题意，得x＝1满足关于x的方程x2﹣2x+2k＝0，则1﹣2+2k＝0，解得，k＝；故答案是：．12．【解答】解：原式＝3ab（a2﹣2ab+b2）＝3ab（a﹣b）2，故答案为：3ab（a﹣b）213．【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0，变形得：x2﹣4x＝﹣1，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，∴m＝2，n＝3，则mn＝6，故答案为：614．【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣2）＞0，∴m＜3，由于m﹣2≠0，∴m≠2，故答案为：m＜3且m≠215．【解答】解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，故②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故答案为：②③④．三、解答题（共7小题，满分65分）16．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得x1＝5，x2＝﹣1；（2）∵x2﹣6x+6＝0，∴x2﹣6x＝﹣6，则x2﹣6x+9＝﹣6+9，即（x﹣3）2＝3，则x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（3）整理为一般式，得3x2﹣2x﹣6＝0，∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣6，∴△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣6）＝76＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝；（4）∵3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2），∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（3x+2）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣；（5）∵（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0，∴（x﹣1﹣1）（x﹣1﹣4）＝0，即（x﹣2）（x﹣5）＝0，则x﹣2＝0或x﹣5＝0，解得x1＝2，x2＝5；（6）两边都乘以x﹣2，得：2x+2＝x﹣2，解得x＝﹣4，检验：当x＝﹣4时，x﹣2＝﹣6≠0，∴分式方程的解为x＝﹣4．17．【解答】解：原式＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．18．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点E为BC的中点，∴AE＝EC＝BC∵BC＝2AD，∴AD＝BC∴AD＝EC，且AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，且AE＝EC，∴四边形AECD是菱形（2）如图，∵AD∥BC，AD＜BC∴四边形ABCD是梯形，∵BD平分∠ABD，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD∵四边形AECD是菱形，∴AD＝DC＝2∴AB＝DC＝2∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD∵BC＝2AD＝4．∴BD＝AC＝＝219．【解答】解：由题意，得：100a+80a﹣a2＝（7a）2化简，得a2＝3.6a．∵a＞0．∴a＝3.6．答：步道的宽为3.6m．20．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵四边形AODE是矩形，∴AO＝DE＝1，∵AB＝2，∴BO＝＝，∴四边形AODE的面积＝AO•OD＝1×＝．21．【解答】解：（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200+）千克，依题意，得：（400﹣240﹣x）（200+）＝41600，整理，得：x2﹣110x+2400＝0，解得：x1＝30，x2＝80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）∵为尽可能让利于顾客，∴x＝80，∴×10＝8．答：该店应按原售价的8折出售．22．【解答】解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示，①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M为CE的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴M'F＝，FN＝4﹣M'F＝，OF＝2+＝，∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）．。

2019-2020学年山西省太原市实验中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．观察下列关于两个变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（）A．正相关、负相关、不相关B．负相关、不相关、正相关C．负相关、正相关、不相关D．正相关、不相关、负相关【答案】D【解析】试题分析：有相关性可知从左到右的第一个图是正相关，第二个图相关性不明确，所以不相关，第三个图是负相关.故选D.【考点】1.相关性的概念.2.数形结合的数学思想.2．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为()A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样【答案】D【解析】①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查，此项调查的总体数目较多，而且差异不大，符合系统抽样的适用范围．②一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90∼100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围．③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道，此项抽查，的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围．本题选择D选项.点睛：一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，3．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。

山西省太原市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．sin45°的值等于（ ）A ．2B ．1C ．32D ．222．下列几何体中三视图完全相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）A ．32，31B ．31，32C ．31，31D ．32，354．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一(160个)，周二(160个)，周三(180个)，周四(200个)，周五(170个).则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是( )A ．180个，160个B ．170个，160个C ．170个，180个D ．160个，200个5．小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）A ．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为12 B ．小明胜的概率是13，所以输的概率是23 C ．两人出相同手势的概率为12 D ．小明胜的概率和小亮胜的概率一样 6．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-．7112的值在（ ）A ．0到l 之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间8．3点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）A．140°B．130°C．120°D．110°9．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A．y1B．y2C．y3D．y410．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．411．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D 为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（）A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜1012．如图，直线y=3x+6与x，y轴分别交于点A，B，以OB为底边在y轴右侧作等腰△OBC，将点C向左平移5个单位，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（﹣1，3）D．（3，4）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．14．若关于x的二次函数y＝ax2+a2的最小值为4，则a的值为______．15．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．16．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为__米（结果保留根号）．17．若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=223k kx-+（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________．18．比较大小：13___1．（填“＞”、“＜”或“＝”）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=34，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．20．（6分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图：求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.21．（6分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD．求证：△ACD∽△CBD；求∠ACB的大小．22．（8分）试探究：小张在数学实践活动中，画了一个△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，再以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，如图1，则AE＝；此时小张发现AE2＝AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．拓展延伸：小张利用图1中的线段AC及点E，构造AE＝EF＝FC，连接AF，得到图2，试完成以下问题：（1）求证：△ACF∽△FCE；（2）求∠A的度数；（3）求cos∠A的值；应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长．23．（8分）先化简，再求值：2441x x x +++÷（31x +﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+4． 24．（10分）学校决定在学生中开设：A 、实心球；B 、立定跳远；C 、跳绳；D 、跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表法求出刚好抽到不同性别学生的概率．25．（10分）解方程：3x 2﹣2x ﹣2＝1．26．（12分）解不等式：233x -﹣12x -≤1 27．（12分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.(1)求证：四边形AEDF 是菱形(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【详解】解：sin45°=，2故选：D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．2．A【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；故选A．【点睛】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．C【解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选C．4．B【解析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；故选B．【点睛】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．5．D【解析】【分析】利用概率公式，一一判断即可解决问题.【详解】A、错误．小明还有可能是平；B、错误、小明胜的概率是13，所以输的概率是也是13；C、错误．两人出相同手势的概率为13；D、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是13；故选D．【点睛】本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．C【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】A、关于反比例函数y=-4x，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；B、关于反比例函数y=-4x，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C、关于反比例函数y=-4x，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；D、关于反比例函数y=-4x，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．7．B【解析】∵9<11<16,∴34<<,∴122<-<故选B.8．B【解析】【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：3点40分时针与分针相距4+2060=133份， 30°×133=130， 故选B ．【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．9．A【解析】【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【详解】由图象可知：抛物线y 1的顶点为（-2，-2），与y 轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y 1=34（x+2）2-2； 抛物线y 2的顶点为（0，-1），与x 轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y 2=x 2-1；抛物线y 3的顶点为（1，1），与y 轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y 3=（x-1）2+1； 抛物线y 4的顶点为（1，-3），与y 轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y 4=2（x-1）2-3； 综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1故选A ．本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．10．C【解析】【详解】∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴12AC AD AB AC ==， ∴2ACD ABC S AD S AC V V ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2112ABC S V ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.11．D【解析】延长CD 交⊙D 于点E ，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴， ∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3=5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10，∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ，∴ 510r <<，故选D.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.12．B【解析】令x=0，y=6，∴B（0，6），∵等腰△OBC，∴点C在线段OB的垂直平分线上，∴设C（a，3），则C '（a－5，3），∴3=3（a－5）+6，解得a=4，∴C（4，3）.故选B.点睛：掌握等腰三角形的性质、函数图像的平移.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．40︒．【解析】【分析】根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．【详解】÷=，连续左转后形成的正多边形边数为：4559︒÷=︒．则左转的角度是360940故答案是：40︒．【点睛】本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．14．1．【解析】【分析】根据二次函数的性质列出不等式和等式，计算即可．【详解】解：∵关于x的二次函数y=ax1+a1的最小值为4，∴a1=4，a＞0，解得，a=1，故答案为1．【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．15．1．【解析】试题分析：如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=1，故答案为1．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论．16．3【解析】【分析】由已知可得∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，继而可得∠DCB=60°，从而可得AD=CD=100米，3AB=AD+DB计算即可得.【详解】∵MN//AB，∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∠DCB=60°，∵CD=100米，∴AD=CD=100米，33∴3，故答案为：3【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．17．y 2＜y 1＜y 2【解析】分析：设t=k 2﹣2k+2，配方后可得出t ＞1，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y 1、y 2、y 2的值，比较后即可得出结论．详解：设t=k 2﹣2k+2，∵k 2﹣2k+2=（k ﹣1）2+2＞1，∴t ＞1．∵点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （1，y 2）都在反比例函数y=223k k x-+（k 为常数）的图象上， ∴y 1=﹣2t ，y 2=﹣t ，y 2=t ， 又∵﹣t ＜﹣2t ＜t ， ∴y 2＜y 1＜y 2．故答案为：y 2＜y 1＜y 2．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 2的值是解题的关键．18．＜．【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【详解】1，1，1．故答案为＜．【点睛】考查了算术平方根，非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（2）25r a 48=；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可．（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=12CD=12a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r．（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2，然后代入等式左边整理即可得证．【详解】解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°．又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°．∴OB⊥FB．∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上．∴BF是⊙O的切线．（2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F．∵CD=a，OA⊥CD，∴CE=12CD=12a．∵tan∠F=34，∴AE3 tan ACFCE4∠==，即AE3 14a2=．解得3AE a8=．连接OC，设圆的半径为r，则3 OE r a8=-，在Rt△OCE中，222CE OE OC+=，即222 13a r a r28⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25r a48 =．（3）证明：连接BD，∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F．又∵∠FGB=∠FGB，∴△BDG∽△FBG．∴DG GBGB GF=，即GB2=DG•GF．∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，即GF2﹣GB2=DF•GF．20．（1）3，补图详见解析；（2）7 12【解析】【分析】(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可【详解】由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%，故该班团员人数为：325%12÷=（人），则发4条箴言的人数为：1222314----=（人），所以本月该班团员所发的箴言共212233441536⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（条），则平均所发箴言的条数是：36123÷=（条）.（2）画树形图如下：由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为712 P=.【点睛】此题考查扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键21．（1）证明见试题解析；（2）90°．【解析】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵AD CD CD BD=．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考点：相似三角形的判定与性质．22．（1）小张的发现正确；（2）详见解析；（3）∠A＝36°；（451【解析】【分析】尝试探究：根据勾股定理计算即可；拓展延伸：（1）由AE 2＝AC•EC ，推出=AC AE AE EC ，又AE ＝FC ，推出=AC FC FC EC，即可解问题； （2）利用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 交AC 于点M ，根据cos ∠A ＝AM AF ，求出AM 、AF 即可； 应用迁移：利用（3）中结论即可解决问题；【详解】1；∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB∴AD ＝AE 1，∵AE 21）2＝6﹣AC•EC ＝2×[2﹣（1）]＝6﹣，∴AE 2＝AC•EC ，∴小张的发现正确；拓展延伸：（1）∵AE 2＝AC•EC ， ∴=AC AE AE EC∵AE ＝FC ， ∴=AC FC FC EC ， 又∵∠C ＝∠C ，∴△ACF ∽△FCE ；（2）∵△ACF ∽△FCE ，∴∠AFC ＝∠CEF ，又∵EF ＝FC ，∴∠C ＝∠CEF ，∴∠AFC ＝∠C ，∴AC ＝AF ，∵AE ＝EF ，∴∠A ＝∠AFE ，∴∠FEC ＝2∠A ，∵EF ＝FC ，∴∠C ＝2∠A ，∵∠AFC ＝∠C ＝2∠A ，∵∠AFC+∠C+∠A ＝180°，∴∠A ＝36°；（3）如图，过点F 作FM ⊥AC 交AC 于点M ，由尝试探究可知AE 51 ，EC ＝35∵EF ＝FC ，由（2）得：AC ＝AF ＝2，∴ME ＝352-，∴AM ＝512， ∴cos ∠A ＝514=AM AF ； 应用迁移： ∵正十边形的中心角等于36010︒＝36°，且是半径为2的圆内接正十边形， ∴如图，当点A 是圆内接正十边形的圆心，AC 和AF 都是圆的半径，FC 是正十边形的边长时， 设AF ＝AC ＝2，FC ＝EF ＝AE ＝x ，∵△ACF ∽△FCE ， ∴AF FC EF EC= ， ∴22=-EF EF EF ， ∴51=EF ，∴半径为251．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．23．-5【解析】【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．【详解】当x=sin30°+2﹣1+4时，∴x=12+12+2=3，原式=2(x2)x1++÷24xx1-+=x2x2+--=﹣5.【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．24．（1）150；（2）详见解析；（3）3 5 .【解析】【分析】（1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）用总人数分别减去A、C、D得到B类人数，再计算出它所占的百分比，然后补全两个统计图；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出刚好抽到不同性别学生的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）15÷10%=150，所以共调查了150名学生；（2）喜欢“立定跳远”学生的人数为150﹣15﹣60﹣30=45，喜欢“立定跳远”的学生所占百分比为1﹣20%﹣40%﹣10%=30%，两个统计图补充为：（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中刚好抽到不同性别学生的结果数为12， 所以刚好抽到不同性别学生的概率123.205== 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．25．121717x x +-== 【解析】【分析】先找出a ，b ，c ，再求出b 2-4ac=28，根据公式即可求出答案．【详解】解：x 22-2-43-2±⨯⨯（）（） 17± 即121717x x +-== ∴原方程的解为121717x x +-==. 【点睛】本题考查对解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解法等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．26．x≥19． 【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】231132x x ---≤ 2（2﹣3x ）﹣3（x ﹣1）≤6，4﹣6x ﹣3x+3≤6，﹣6x﹣3x≤6﹣4﹣3，﹣9x≤﹣1，x≥19．【点睛】考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．27．(1)证明见解析；(2)253.【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=12AB=AE，DF=12AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，AD=53，进而得到菱形AEDF的面积S．【详解】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE=12AB=AE，Rt△ACD中，DF=12AC=AF，又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵AB=AC=BC=10，∴EF=5，3，∴菱形AEDF的面积S=12EF•AD＝12×5×3253．【点睛】本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．。

中考数学三模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个数中是无理数的是（ ）A.3 B. 3π C. 3.14159 D.2.将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（ ）A. 45°B. 60°C. 75°D. 80°3.一元一次不等式组的最大整数解是（ ）A. -1B. 0C. 1D. 24.据报道，人类首张黑洞照片于北京时间2019年4月10日子全球六地同步发布，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年．其中5500万用科学记数法表示为（ ）A. 55×106B. 5.5×106C. 0.55×108D. 5.5×1075.下列计算正确的是（ ）A. a3•a2=a6B. a5+a5=a10C. （-2a3）3=-6a9D. （a+2b）（a-2b）=a2-4b26.如图所示几何体的俯视图是（ ）A.B.C.D.7.若（）÷M的化简结果是-，那么分式M为（ ）A. B. C. D. -8.二次函数y=x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y=x2-2x+1，则b+c的值为（ ）A. 16B. 6C. 0D. -129.如图中的古印度的“无字证明”直观的证明一个重要定理，这个定理早在三千多年前就被周朝的数学家商高提出，它被记载于我国古代著名的数学著作是（ ）A. 《周髀算经》B. 《九章算术》C. 《几何原本》D. 《海岛算经》10.如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算-的结果是______．12.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度为______．13.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点．将ABCD绕点B顺时针旋转90°．旋转后的四边形为A'B′C′D'，点A，C，D，O的对应点分别为A′，C'，D'，O’，若AB=8，BC=10，则线段CO’的长为______．14.我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n个“平行四边形数”和“正六边形数”分别为a和b，若a+b=103，则的值是______．15.如图，矩形ABCD中，AB=，BC=AB2，E为射线BA上一动点，连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）16.（1）计算：（2）解方程：四、解答题（本大题共7小题，共65.0分）17.山西省实验中学欲向清华大学推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图1：其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如表所示：测试成绩/分测试项目甲乙丙笔试929095面试859580图2是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．请你根据以上信息解答下列问题：（1）补全图1和图2；（2）请计算每名候选人的得票数；（3）若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？（4）若学校决定从这三名候选人中随机选两名参加清华大学夏令营，求甲和乙被选中的概率．（要求列表或画树状图）18.如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB=3，OD=6，△AOB的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当x＞0时，比较kx+b与的大小．19.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B．（1）求证：CA是⊙O的切线．（2）在AB上取一点E，若∠BCE=∠B，AB=2AC，求tan∠ACE的值．20.某公司销售一种产品，进价为20元/件，售价为80元/件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元/件，设一次性购买x万件（x＞10）（1）若x=15，则售价应是______元/件；（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；21.阅读下列材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式----海伦公式S=（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：∵a=3，b=4，c=5∴=6∴S===6事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．根据上述材料，解答下列问题：如图，在△ABC中，BC=7，AC=8，AB=9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）如图，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．22.综合与实践：问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点G．特例探究实验小组的同学发现：（1）如图1，当AB=BC时，AG=BC+CG，请你证明该小组发现的结论；（2）当AB=BC=4时，求CG的长；延伸拓展（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB：BC=时，线段AG、BC、CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论．23.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C．直线y=x+3经过点A、C．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交直线AC于点M，设点P的横坐标为t．①若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，求t的值．②当射线MP，AC，MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、3是有理数；B、3π是无理数；C、3.14159是有限小数，属于有理数；D．=3是有理数；故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，3π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.【答案】C【解析】解：延长DF交BC于点E，∵BC∥DE，∴∠D=∠CED=45°，∵∠B+∠EFB=∠CED=45°，∠B=30°，∴∠EFB=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故选：C．直接利用三角板的性质结合平行线的性质得出∠EFB=15°，进而得出答案．此题主要考查了平行线的性质以及三角板的性质，正确得出∠EFB=15°是解题关键．3.【答案】C【解析】解：解不等式①得：x≤-1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为-1≤x＜2，∴不等式组的最大整数解是1，故选：C．先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：5500万用科学记数法表示为5.5×107．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】D【解析】解：A．a3•a2=a5，故A选项错误；B．a5+a5=2a5，故B选项错误；C．（-2a3）3=-8a9，故C选项错误；D．（a+2b）（a-2b）=a2-4b2，故D选项正确；故选：D．A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、利用合并同类项计算得到结果，即可做出判断；C、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可找出判断；D、利用平方差公式化简得到结果，即可做出判断．此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，以及平方差公式，合并同类项．熟练掌握公式及法则是解本题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图所示：几何体的俯视图是：．故选：D．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．7.【答案】B【解析】（-）÷（-）=-（-）•（a+b）=-（-1）=-=故选：B．本题求M可转化为（-）÷（-）的运算．本题运用了分式的加减乘除混合运算，注意符号不要出错．8.【答案】C【解析】解：y=x2-2x+1=（x-1）2，把y=（x-1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x-3）2-3=x2-6x+6，所以b=-6，c=6，所以b+c=0．故选：C．先把y=x2-2x+1配方得到y=（x-1）2，根据题意反向平移，即把y=（x-1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x-3）2-3=x2-6x+6，则可确定b与c的值．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9.【答案】A【解析】解：勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作是《周髀算经》，故选：A．根据勾股定理即可得到结论．本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键.首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC-S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可.【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE∥AD，∵的长为π，∴=，解得：R=4，∴AB=AD cos30°=4，∴BC=AB=2，∴AC=BC=6，∴S△ABC=×BC×AC=×2×6=6，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=6-=6-．故选D.11.【答案】2【解析】解：原式=3-=3-=2．故答案为2．先二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．12.【答案】11米【解析】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=4米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=16米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan45°=16×1=16米，∴CD=CE-DE=16米-5米=11米；故答案为：11米．作BF⊥AE于F，则FE=BD=4米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF和AF的值，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．13.【答案】【解析】解：过点O′作O′M⊥BC于点M，∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到四边形为A'B′C′D'位置，AB=8，BC=10，∴BC′=BC=10，∠CBE=90°，BA′=AB=8，∴O′M∥BC′，∵O是对角线AC的中点，∴O′是A′C′的中点，∴MO′=BC′=5，BM=A′M=BA′=4，∴CM=BC-BM=10-4=6，在Rt△CO′M中，CO′==．故答案为：．过点O′作O′M⊥BC于点M，根据旋转的性质得到BC′=BC=10，∠CBE=90°，BA′=AB=8，得到O′M∥BC′，根据三角形的中位线的性质得到MO′=BC′=5，BM=A′M=BA′=4，根据勾股定理即可得到结论．此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】【解析】解：由图可知：a=2n+2，b=3n（n+1）+1，∵a+b=103，∴2n+2+3n（n+1）+1=3n2+5n+3=103，∴（n-5）（3n+20）=0，∴n=5，n=-（舍去），∴a=12，b=91，∴=，故答案为：．由图中规律可知a=2n+2，b=3n（n+1）+1，求出n的值即可求解．本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个平行四边形数为2n+2，第n个正六边形数为3n（n+1）+1．15.【答案】【解析】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=，BC=AB2=，∠DCG=90°，∵CG=BG=，∴DG===，∵BE是直径，∴∠BHE=∠BHC=90°，∵BG=GC，∴HG=BC=，∵DH≥DG-HG，∴DH≥-=，∴DH的最小值为．故答案为．取BC的中点G，连接BH，HG，DG．解直角三角形求出GH，DG，根据DH≥DG-GH 即可判断．本题考查圆周角定理，三角形的三边关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：（1）原式=2--4+2×-1=-3；（2）去分母得：x=4x-2+3，解得：x=-，经检验x=-是分式方程的解．【解析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数整数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.【答案】解：（1）图1中乙的百分比=1-8%-28%-34%=30%；图2中，甲面试的成绩为85分，如图，（2）甲的票数是：200×34%=68（票），乙的票数是：200×30%=60（票），丙的票数是：200×28%=56（票）；（3）甲的平均成绩：（分），乙的平均成绩：（分），丙的平均成绩：（分），∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．（4）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲和乙被选中的结果数为2，所以甲和乙被选中的概率==．【解析】（1）用1分别减去甲、丙和其它所占的百分比得到乙所占的百分比；通过表中数据得到甲的面试成绩，然后补全图1和图2；（2）用200分别乘以甲乙丙三人的百分比得到他们的得票数；（3）先利用加权平均数的计算方法求出他们的平均成绩，然后通过比较大小确定录取谁；（4）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出甲和乙被选中的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．18.【答案】解：（1）S△AOB=OA•OB=3，∴OA=2，∴点A的坐标是（0，-2），∵B（3，0）∴∴∴y=x-2．当x=6时，y=×6-2=2，∴C（6，2）∴m=2×6=12．∴y=．（2）由C（6，2），观察图象可知：当0＜x＜6时，kx+b＜；当x＞6时，kx+b＞．【解析】（1）求出A、C亮点坐标，就可以求一次函数与反比例函数的表达式；（2）数形结合的数学思想课求解．本题运用了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，还运用了数形结合的数学思想．19.【答案】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠BAD=90°，∴∠BAC=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r，EC=x，∵AB=2AC，∴AC=r，∵∠BCE=∠B，∴EB=EC=x，∴AE=2r-x在Rt△AEC中，EC2=AE2+AC2，即x2=（2r-x）2+r2，解得，∴，∴．【解析】（1）CA是⊙O的切线．证明∠BAC=90°，即BA⊥AC即可；（2）设⊙O的半径为r，EC=x，AC=r，EB=EC=x，AE=2r-x，在Rt△AEC中，EC2=AE2+AC2，列出方程x2=（2r-x）2+r2，求出x的值，即可求tan∠ACE的值．本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及解直角三角形等，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．20.【答案】70【解析】解：（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80-2（x-10）=100-2x（元/件），当x=15时，100-2x=70（元/件），故答案为：70；（2）根据题意知，（100-2x-20）x=728，整理，得-2x2+80x=728．解得x1=26，x2=14．因为100-2x≥50，所以10＜x≤25．所以x=14符合题意．答：一次性购买14万件产品时，该公司的销售总利润为728万元．（1）由一次性购买x万件时，售价为80-2（x-10）=100-2x（元/件），据此将x=15代入计算可得；（2）根据总利润=单件利润×销售量求解可得．本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．21.【答案】解：（1）∵BC=7，AC=8，AB=9，∴p=（a+b+c）=（7+8+9）=12，∴S===12；答：△ABC面积是12；（2）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，∴IF=IH=IG，∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI，∴（9•IF+8•IF+7•IF）=12，解得IF=，故S△ABI=AB•FI=×9×=．【解析】（1）把a、b、c的长代入求出p，再代入S计算即可得解；（2）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，根据角平分线的性质定理可得：IF=IH=IG，并根据三角形面积计算IF的长，根据三角形面积公式可得结论．本题考查了二次根式的应用和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，并根据新公式代入计算．22.【答案】解：（1）如图1中，连接EG．∵△AEF是由△AEB翻折得到，∴EB=EF=EC，AB=AF，∠AFE=∠B=∠C=90°，在Rt△EGF和Rt△EGC，，∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），∴FG=GC，∵AB=AF=BC，∴AG=AF+FG=BC+CG．（2）∵△EGF≌△EGC，∴∠GEF=∠GEC，∵∠AEB=∠AEF，∠BEC=180°∴∠AEG=90°，∴∠AEB+∠GEC=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEC=∠BAE，∵∠B=∠C，∴△ABE∽△ECG，∴==，∵EC=2，∴CG=1．（3）如图2中，连接EG．∵△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，∴AB=AF，BE=EF=EC，FG=GC，∵AB：BC=BC=：2，∴AB=BC，∴AG=AF+FG=AB+CG=BC+CG．即AG=BC+CG．【解析】（1）如图1中，连接EG．只要证明△EGF≌△EGC即可解决问题；（2）只要证明△ABE∽△ECG，即可推出==，由此即可解决问题；（3）如图2中，连接EG．由△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，推出AB=AF，BE=EF=EC ，FG=GC，由AB：BC=BC=：2，推出AB=BC，可得AG=AF+FG=AB+CG=BC+CG．此题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、翻折变换、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：（1）在y=x+3中，令x=0，y=3；令y=0，x=-4，得A（-4，0），C（0，3），代入抛物线解析式得：，∴抛物线的解析式y=-；（2）设P（t，-t2-t+3），∵四边形OCMP为平行四边形，∴PM=OC=3，PM∥OC，∴M点的坐标可表示为（t，t+3），∴PM=，∴|-t2-3t|=3，当-t2-3t=3，解得t=2，当-t2-3t=-3，解得t1=-2+2，t2=-2-2，综上所述，满足条件的t的值为2或-2+2或-2-2．（3）如图1，若当MP平分AC、MO的夹角，则∠AMN=∠OMN，∵PN⊥OA，∴AN=ON，∴t的值为-2；如图2，若AC平分MP、MO的夹角，过点C作CH⊥OM，CG⊥MP，则CG=CH，∵，∴OM=OC=3，∵点M在直线AC上，∴M（t，），∴MN2+ON2=OM2，可得，，解得t=-，如图3，若MO平分AC、MP的夹角，则可得∠NMO=∠OMC，过点O作OK⊥AC，∴OK=ON，∵∠AKO=∠AOC=90°，∠OAK=∠OAC，∴△AOK∽△ACO，∴，∴，∴OK=，∴t=-，综合以上可得t的值为-2，-，-．【解析】（1）先根据直线解析式求出A、C两点的坐标，把点A和C点的坐标代入y=-x2+bx+c得关于b和c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）当OC∥PM，且OC=PM时，以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，可得关于t的方程，解方程即可；（3）分三种情况考虑，当MP平分AC、MO的夹角，当AC平分MP、MO的夹角，当MO平分AC、MP的夹角，可由图形的性质得关于t的方程求解．本题考查了二次函数的知识，其中涉及了平行四边形的判定，角平分线的性质定理、等腰三角形的判定等知识．。

2019-2020学年山西省太原市实验中学高二12月月考数学（文）试题一、单选题1．命题“200,1x R x ∃∈=”的否定形式是（ ） A ．200,1x R x ∃∈≠B ．2001x ,x ∃∈>RC ．2,1x R x ∀∈=D ．2,1x R x ∀∈≠【答案】D【解析】特称命题的否定为全称，所以“200,1x R x ∃∈=”的否定形式是：2,1x R x ∀∈≠.故选D.2．如果命题“￢（p 或q ）”为假命题，则（ ） A ．p 、q 均为真命题 B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题 【答案】C【解析】试题分析：¬（p 或q ）为假命题 既p 或q 是真命题，由复合命题的真假值来判断．解：¬（p 或q ）为假命题， 则p 或q 为真命题所以p ，q 至少有一个为真命题． 故选C ．【考点】复合命题的真假．3．已知直线x 0=经过椭圆C ：22221a b 0x y a b+=（＞＞）的焦点和顶点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D ．3【答案】B【解析】求出直线与x 轴、y 轴的交点，即可得到椭圆的焦点和顶点，从而可求出结果. 【详解】因为直线x 0=经过椭圆C ：22221a b 0x y a b+=（＞＞）的焦点和顶点，所以椭圆的一个焦点坐标为），一个顶点坐标为01-（，），所以b 1c ==，a ==e 3c a ==. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型.4．“方程22162x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“26m <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】先求出方程22162x y m m +=--为椭圆时m 的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。

【详解】若方程22162x y m m +=--表示的曲线为椭圆，则602062m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠， 则“方程22162x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“26m <<”的充分不必要条件。

2019-2020学年山西省实验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则tan2α＝（）A．﹣2B．2C．D．2．函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为（）A．25，﹣2B．50，14C．50，﹣2D．50，﹣143．在△ABC中，AM为BC边上的中线，点N满足，则＝（）A．B．C．D．4．曲线y＝alnx﹣2（a＞0）在x＝1处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为（）A．B．2C．4D．85．记cos（﹣80°）＝k，那么tan280°＝（）A．B．C．D．6．由曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．若函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x2C．f（x）＝1+sin2x D．f（x）＝e x+x8．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称10．已知曲线y＝f（x）在点（5，f（5））处的切线方程为x+y﹣5＝0，则f（5）与f′（5）分别是（）A．B．C．D．11．ω＞0函数在上单调递增，则ω的范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）12．若P是函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）图象上的动点，已知点A（﹣1，﹣1），则直线AP的斜率的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[0，1]C．（e﹣1，e]D．（﹣∞，e﹣1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数的振幅是．14．已知非零向量满足且，则向量的夹角为．15．若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）＝x﹣tan x，非零实数α，β是函数f（x）的两个零点，且|α|≠|β|，则（α+β）sin（α﹣β）﹣（α﹣β）sin（α+β）＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝A sin（x+），x∈R，且f（）＝．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）＝，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18．已知向量，，对任意n∈N*都有．（1）求的最小值；（2）求正整数m，n，使．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线的纵截距；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．20．已知函数在上单调递减，且满足．（1）求φ的值；（2）将y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝g（x）的图象，求g（x）的解析式．21．设函数，g′（x）是g（x）的导函数．（Ⅰ）当x∈[0，2π]时，解方程f（x）＝g′（x）；（Ⅱ）求函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程.]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；（Ⅱ）若P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲.]23．已知a、b、c均为正实数．（Ⅰ）若ab+bc+ca＝3，求证：a+b+c≥3（Ⅱ）若a+b＝1，求证：2019-2020学年山西省实验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则tan2α＝（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵α∈[，∴2α∈[]，又，∴cos2α＝﹣＝﹣．∴tan2＝．故选：D．2．函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为（）A．25，﹣2B．50，14C．50，﹣2D．50，﹣14【解答】解：∵函数f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，当x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]时，f′（x）＞0，函数为增函数；当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2，故选：C．3．在△ABC中，AM为BC边上的中线，点N满足，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知＝，＝＝，因为＝＝+（）＝，故选：A．4．曲线y＝alnx﹣2（a＞0）在x＝1处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为（）A．B．2C．4D．8【解答】解：根据题意，曲线y＝alnx﹣2（a＞0），其导数y′＝，则有y′|x＝1＝a，又由当x＝1时，y＝a×ln1﹣2＝﹣2，即切点的坐标为（1，﹣2），故y＝alnx﹣2（a＞0）在x＝1处的切线方程为y﹣（﹣2）＝a（x﹣1），即y＝a（x﹣1）﹣2，当x＝0时，y＝﹣a﹣2，与y轴的交点为（0，﹣a﹣2），当y＝0时，x＝+1，与x轴的交点为（+1，0），则其切线与坐标轴围成的三角形面积为，所以a＝2，故选：B．5．记cos（﹣80°）＝k，那么tan280°＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（﹣80°）＝k，∴sin（﹣80°）＝﹣，那么tan280°＝tan（﹣80°）＝＝＝﹣，故选：B．6．由曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得或∴曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为∫（x﹣2x﹣x2）dx＝（﹣x2﹣x3）＝故选：A．7．若函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x2C．f（x）＝1+sin2x D．f（x）＝e x+x【解答】解：函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则导函数为偶函数，对于A：f′（x）＝﹣3sin x，为奇函数，对于B：f′（x）＝3x2+2x，该函数为非奇非偶函数，对于C：f′（x）＝2cos2x，为偶函数，对于D：f′（x）＝e x+1，该函数为非奇非偶函数，故选：C．8．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：若＝sinα+cosα，平方可得1+sin2α＝，则sin2α＝﹣，故选：C．9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx），∵最小正周期为π，∴可得ω＝2，那么f（x）＝2sin（2x），令2x＝kπ，那么：x＝，当k＝1时，可得x＝，函数f（x）的图象关于点（，0）对称．故选：D．10．已知曲线y＝f（x）在点（5，f（5））处的切线方程为x+y﹣5＝0，则f（5）与f′（5）分别是（）A．B．C．D．【解答】解：因为曲线y＝f（x）在点（5，f（5））处的切线方程为x+y﹣5＝0，所以切线的斜率为：﹣1，可得f′（5）＝﹣1；切点在切线上，可得f（5）＝5﹣5＝0，故选：D．11．ω＞0函数在上单调递增，则ω的范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：＝sin cos＝sin（ωx），由上单调递增，∴ω≤，得0＜ω≤，故选：B．12．若P是函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）图象上的动点，已知点A（﹣1，﹣1），则直线AP的斜率的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[0，1]C．（e﹣1，e]D．（﹣∞，e﹣1]【解答】解：P是函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）图象上的动点，点A（﹣1，﹣1），设P（x0，y0），x0＞﹣1，则：y0＝（x0+1）ln（x0+1），则直线AP斜率：k＝．令h（x）＝，h′（x）＝．当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0）上单调递减．∴函数h（x）的最小值为：h（0）＝1．∴h（x）≥1，即：k≥1，直线AP斜率的取值范围是[1，+∞）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数的振幅是2．【解答】解：函数＝（sin2x+cos2x）+（cos2x+sin2x）＝sin2x+cos2x＝2（sin2x+cos2x）＝2sin（2x+），所以函数y的振幅是2．故答案为：2．14．已知非零向量满足且，则向量的夹角为．【解答】解：∵，且，∴，即＜＞+，则2cos＜＞+，得cos＜＞＝﹣．∴向量的夹角为．故答案为：．15．若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是a＞﹣1．【解答】解：由2x（x﹣a）＜1，得x•2x﹣a•2x＜1，∴，设，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）＝﹣1，∴若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．16．已知函数f（x）＝x﹣tan x，非零实数α，β是函数f（x）的两个零点，且|α|≠|β|，则（α+β）sin（α﹣β）﹣（α﹣β）sin（α+β）＝0．【解答】解：（α+β）sin（α﹣β）﹣（α﹣β）sin（α+β）＝（α+β）sinαcosβ﹣（α+β）cosαsinβ﹣（α﹣β）sinαcosβ﹣（α﹣β）cosαsinβ＝2（βsinαcosβ﹣αcosαsinβ），因为函数f（x）＝x﹣tan x，非零实数α，β是函数f（x）的两个零点，且|α|≠|β|，所以，即，①×sinβ，得αcosαsinβ﹣sinαsinβ＝0，③②×sinα，得βsinαcosβ﹣sinαsinβ＝0，④，④﹣③得，βsinαxosβ﹣αcosαsinβ＝0，所以（α+β）sin（α﹣β）﹣（α﹣β）sin（α+β）＝0．故答案为：0．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝A sin（x+），x∈R，且f（）＝．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）＝，θ∈（0，），求f（﹣θ）．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝A sin（x+），x∈R，且f（）＝．∴A sin（+）＝A sin＝A•＝，∴A＝．（2）由（1）可得f（x）＝sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）＝sin（θ+）+sin（﹣θ+）＝2sin cosθ＝cosθ＝，∴cosθ＝，再由θ∈（0，），可得sinθ＝．∴f（﹣θ）＝sin（﹣θ+）＝sin（π﹣θ）＝sinθ＝．18．已知向量，，对任意n∈N*都有．（1）求的最小值；（2）求正整数m，n，使．【解答】解：（1）设＝（x n，y n），由＝+得∴{x n}、{y n}都是公差为1的等差数列…．∵＝（1，﹣7），∴x n＝n，y n＝n﹣8，∴＝（n，n﹣8），∴∴||的最小值为4…..（2）由（1）可设＝（m，m﹣8）＝（n，n﹣8）由已知得：•＝0∴mn+（m﹣8）（n﹣8）＝0∴（m﹣4）（n﹣4）＝﹣16…..∵m，n∈N+∴或或或…..19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线的纵截距；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．【解答】解：f'（x）＝，（Ⅰ），，∴f（x）在点M处的切线方程为，当x＝0时，得函数f（x）的纵截距y＝；（Ⅱ）令g（x）＝x cos x﹣sin x，得g'（x）＝﹣x sin x，当时，g'（x）≤0，g（x）单调递减，∴g（x）≤g（）＝﹣1＜0，∴当时，f'（x）＝＜0，f（x）在区间上单调递减，又，f（π）＝0，∴f（x）的值域为．20．已知函数在上单调递减，且满足．（1）求φ的值；（2）将y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝g（x）的图象，求g（x）的解析式．【解答】解：（1）f（x）＝sin （2x+φ）+cos（2x+φ）＝2sin （2x+φ+）∵．∴y＝f（x）图象关于x＝对称，则当x＝时，2×+φ+＝kπ+，即φ＝kπ﹣，当k＝0时，φ＝﹣，此时f（x）＝2sin2x在上单调递增，不满足条件．舍去当k＝1时，φ＝，此时f（x）＝﹣2sin2x在上单调递减．满足条件．，故φ＝．（2）由（1）可知f（x）＝﹣2sin 2x，将f（x）＝﹣2sin 2x向左平移个单位得到g（x），∴g（x）＝﹣2sin2（x+）＝﹣2sin（2x+）＝2sin（2x﹣）．21．设函数，g′（x）是g（x）的导函数．（Ⅰ）当x∈[0，2π]时，解方程f（x）＝g′（x）；（Ⅱ）求函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）＝2cos2x﹣2sin2x，则所解方程即为，∴，∴，∴，∴或，∴或，又x∈[0，2π]，∴；（Ⅱ）由题得，，所以函数F（x）的最小正周期为2π，所以只需考虑[0，2π]的情况，由题得，＝，令F′（x）＝0，则，∵，∴．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程.]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；（Ⅱ）若P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为，整理得（ρcosθ）2+3ρ2＝12，转换为直角坐标方程为4x2+3y2＝12，即．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为2x﹣y﹣6＝0．（Ⅱ）椭圆转换为参数方程为（θ为参数）．所以点P（）到直线2x﹣y﹣6＝0的距离d＝＝，当时，．[选修4-5：不等式选讲.]23．已知a、b、c均为正实数．（Ⅰ）若ab+bc+ca＝3，求证：a+b+c≥3（Ⅱ）若a+b＝1，求证：【解答】证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥（ab+bc+ca）+2（ab+bc+ca）＝3（ab+bc+ca）＝9，又a，b，c均为正整数，∴a+b+c≥3成立．（Ⅱ）：a、b为正实数，a+b＝1，∴a2+2ab+b2＝1，∴＝（+）（+）＝5+＝9，当且仅当，即a＝b＝时，“＝”成立．。

山西省太原市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（1）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1 B．y=﹣12x+2 C．y=﹣3x﹣2 D．y=﹣x+22．一辆慢车和一辆快车沿相同的路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图形如图所示，下列说法正确的有（）①快车追上慢车需6小时；②慢车比快车早出发2小时；③快车速度为46km/h；④慢车速度为46km/h；⑤A、B两地相距828km；⑥快车从A地出发到B地用了14小时A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数kyx=的图像上一点，过点P做PQ x⊥轴于点Q，若OPQ△的面积为2，则k的值是( )A．-2 B．2 C．-4 D．44．cos30°的值为（）A．1 B．12C．33D．35．已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是（）A． B．C．D．6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个7．下列计算错误的是（）A．4x3•2x2=8x5B．a4﹣a3=aC．（﹣x2）5=﹣x10D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b28．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．B．C．D．9．下列计算正确的是（）A．x2x3＝x6B．（m+3）2＝m2+9C．a10÷a5＝a5D．（xy2）3＝xy610．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（）A．这组数据的众数是6 B．这组数据的中位数是1C．这组数据的平均数是6 D．这组数据的方差是1011．下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A．B．C．D．12．－10－4的结果是（）A．－7 B．7 C．－14 D．13二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．不等式组512324x xx x+>+⎧⎨+⎩…的解集是__．14．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与射线AC相交于点D．当△ODA是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于__．15．如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于点C，若OC=6，则AB的长等于__．16．某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼（原首钢老厂区的筒仓）20m的点B处，用高为0.8m的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为______m．（精确到0.1m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）17．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．18．用一条长 60 cm 的绳子围成一个面积为 2162cm 的矩形．设矩形的一边长为 x cm ，则可列方程为______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D .（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若34AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标；（3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.21．（6分）（2017江苏省常州市）为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如下统计图：根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查中的样本容量是 ； （2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．22．（8分）先化简22442x x x x -+-÷(x-4x),然后从55x 的值代入求值.23．（8分）小明遇到这样一个问题：已知：1b ca-=. 求证：240b ac -≥. 经过思考，小明的证明过程如下： ∵1b ca-=，∴b c a -=.∴0a b c -+=.接下来，小明想：若把1x =-带入一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），恰好得到0a b c -+=.这说明一元二次方程20ax bx c ++=有根，且一个根是1x =-.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：240b ac -≥.根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目： 已知：42a cb+=-. 求证：24b ac ≥.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程. 24．（10分）先化简，再求值：242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭，其中a 满足a 2+2a ﹣1＝1． 25．（10分）解方程组：113311x x y x x y⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩ 26．（12分）如图，已知矩形ABCD 中，连接AC ，请利用尺规作图法在对角线AC 上求作一点E 使得△ABC ∽△CDE ．（保留作图痕迹不写作法）27．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E. F．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；若BD=2，BF=2，求⊙O的半径．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D 的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．【详解】当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示．∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=12OA=1，OF=DG=BG=CG=12BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（﹣1，3）；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=1，即D（0，1），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：32k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：12kb=-⎧⎨=⎩．则这条直线解析式为y=﹣x+1． 故选D ．【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解答本题的关键． 2．B 【解析】 【分析】根据图形给出的信息求出两车的出发时间，速度等即可解答． 【详解】解：①两车在276km 处相遇，此时快车行驶了4个小时，故错误． ②慢车0时出发，快车2时出发，故正确．③快车4个小时走了276km ，可求出速度为69km/h ，错误． ④慢车6个小时走了276km ，可求出速度为46km/h ，正确．⑤慢车走了18个小时，速度为46km/h ，可得A,B 距离为828km ，正确． ⑥快车2时出发，14时到达，用了12小时，错误． 故答案选B ． 【点睛】本题考查了看图手机信息的能力，注意快车并非0时刻出发是解题关键． 3．C 【解析】 【分析】根据反比例函数k 的几何意义，求出k 的值即可解决问题 【详解】解：∵过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，△OPQ 的面积为2， ∴|2k|=2， ∵k ＜0， ∴k=-1．本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．D 【解析】cos30° 故选D ． 5．C 【解析】试题解析：观察二次函数图象可知： 00m n ，，∴一次函数y=mx+n 的图象经过第一、二、四象限,反比例函数mny x的图象在第二、四象限. 故选D. 6．B 【解析】 【详解】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确； ∵x=﹣2ba=1，即b=﹣2a ，而x=﹣1时，y=0，即a ﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误； ∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 7．B根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；完全平方公式：（a±b）1=a1±1ab+b1．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”可得答案．【详解】A选项：4x3•1x1=8x5，故原题计算正确；B选项：a4和a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；C选项：（-x1）5=-x10，故原题计算正确；D选项：（a-b）1=a1-1ab+b1，故原题计算正确；故选：B．【点睛】考查了整式的乘法，关键是掌握整式的乘法各计算法则．8．C【解析】试题分析：∵抛物线向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：．故选C．考点：二次函数图象与几何变换．9．C【解析】【分析】根据乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方进行计算即可得到答案.【详解】x2•x3＝x5，故选项A不合题意；（m+3）2＝m2+6m+9，故选项B不合题意；a10÷a5＝a5，故选项C符合题意；（xy2）3＝x3y6，故选项D不合题意．故选：C．【点睛】本题考查乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方解题的关键是掌握乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方的运算.10．A根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析. 【详解】数据由小到大排列为1，2，6，6，10，它的平均数为15（1+2+6+6+10）=5，数据的中位数为6，众数为6，数据的方差=15[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=10.1．故选A．考点：方差；算术平均数；中位数；众数．11．D【解析】【详解】A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项错误；B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项错误；C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项错误；D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.12．C【解析】解：－10－4=－1．故选C．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2≤x＜1【解析】【分析】分别解两个不等式得到x＜1和x≥2，然后根据大小小大中间找确定不等数组的解集．【详解】解：512(1) 324(2)x xx x+>+⎧⎨+⎩…，解①得x＜1，解②得x≥2，所以不等式组的解集为2≤x＜1．故答案为2≤x＜1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．23【解析】【分析】连接PB、PC，根据二次函数的对称性可知OB＝PB，PC＝AC，从而判断出△POB和△ACP是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，连接PB、PC，由二次函数的性质，OB＝PB，PC＝AC，∵△ODA是等边三角形，∴∠AOD＝∠OAD＝60°，∴△POB和△ACP是等边三角形，∵A（4，0），∴OA＝4，∴点B、C的纵坐标之和为：OB×sin60°+PC×sin60°=4×32＝23，即两个二次函数的最大值之和等于23．故答案为23．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造出等边三角形并利用等边三角形的知识求解是解题的关键．【解析】连接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，∴AB=AC+BC=18，故答案为18.16．40.0【解析】【分析】首先过点A作AE∥BD，交CD于点E，易证得四边形ABDE是矩形，即可得AE=BD=20m，DE=AB=0.8m，然后Rt△ACE中，由三角函数的定义，而求得CE的长，继而求得筒仓CD的高.【详解】过点A作AE∥BD，交CD于点E，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠BAE＝∠ABD＝∠BDE＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE＝BD＝20m，DE＝AB＝0.8m，在Rt△ACE中，∠CAE＝63°，∴CE＝AE•tan63°＝20×1.96≈39.2（m），∴CD＝CE＋DE＝39.2＋0.8＝40.0（m）．答：筒仓CD的高约40.0m，故答案为：40.0此题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．17．1．【解析】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=1，答：它的周长是1，故答案为1．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．18．(30)216x x -=【解析】【分析】根据周长表达出矩形的另一边，再根据矩形的面积公式即可列出方程．【详解】解：由题意可知，矩形的周长为60cm ，∴矩形的另一边为：(30)x cm -，∵面积为 2162cm ，∴(30)216x x -=故答案为：(30)216x x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，解题的关键是找出等量关系．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P （2，2）；（1）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－1）.【解析】【分析】（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解.（2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.（1）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2，∴y ＝2x ﹣6，令y ＝0，解得：x ＝1，∴B 的坐标是（1，0）．∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把B （1，0）代入得：4a ﹣4＝0，解得a ＝1，∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣1．（2）存在．∵OB ＝OC ＝1，OP ＝OP ，∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ，此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ．设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2﹣2m ﹣1，解得m （m 0，舍），∴P （2，2）． （1）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ，∴1DQ ADOD DB =，即6DQ 1＝52， ∴OQ 1＝72，即Q 1（0，-72）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴2OQ OB OD OB =，即2363OQ =， ∴OQ 2＝32，即Q 2（0，32）； ③如图，当∠AQ 1B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，则△BOQ 1∽△Q 1EA ， ∴33OQ OB Q E AE =，即33341OQ OQ =- ∴OQ 12﹣4OQ 1+1＝0，∴OQ 1＝1或1，即Q 1（0，﹣1），Q 4（0，﹣1）．综上，Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣1）． 20．（1）255y x x =-+.；（2）点G 坐标为()13,1G -；2931767317G +-⎝⎭.（3）261k =-+. 【解析】分析：（1）根据已知列出方程组求解即可；（2）作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，求出直线l 的解析式，再分两种情况分别求出G 点坐标即可；（3）根据题意分析得出以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点，P 为MN 的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．详解：（1）由题可得：5,225, 1.b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩解得1a =，5b =-，5c =. ∴二次函数解析式为：255y x x =-+.（2）作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为,M N ，则34AF MQ FB QN ==.32MQ =Q ，2NQ ∴=，911,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1,91,24k m k m +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得1,21,2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122t y x ∴=+，102D ，⎛⎫ ⎪⎝⎭. 同理，152BC y x =-+. BCD BCG S S ∆∆=Q ，∴①//DG BC （G 在BC 下方），1122DG y x =-+， 2115522x x x ∴-+=-+，即22990x x -+=，123,32x x ∴==. 52x >Q ，3x ∴=，()3,1G ∴-. ②G 在BC 上方时，直线23G G 与1DG 关于BC 对称.1211922G G y x ∴=-+，21195522x x x ∴-+=-+，22990x x ∴--=. 52x >Q ，93174x +∴=931767317,48G ⎛⎫+-∴ ⎪ ⎪⎝⎭. 综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2931767317G +-⎝⎭. （3）由题意可得：1k m +=.1m k ∴=-，11y kx k ∴=+-，2155kx k x x ∴+-=-+，即()2540x k x k -+++=.11x ∴=，24x k =+，()24,31B k k k ∴+++.设AB 的中点为'O ， P Q 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.OP x ∴⊥轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭.AMP PNB ∆∆Q ∽，AM PN PM BN ∴=，••AM BN PN PM ∴=， ()2551314122k k k k k ++⎛⎫⎛⎫∴⨯++=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即23650k k +-=，960∆=>. 0k >Q ，64626163k -+∴==-+. 点睛：此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．21．（1）100；（2）作图见解析；（3）1．【解析】试题分析：（1）根据百分比=所占人数总人数计算即可； （2）求出“打球”和“其他”的人数，画出条形图即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题即可.试题解析：（1）本次抽样调查中的样本容量=30÷30%=100， 故答案为100；（2）其他有100×10%=10人，打球有100﹣30﹣20﹣10=40人，条形图如图所示：（3）估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为2000×40%=1人． 22．当x=－1时，原式=1=11+2-； 当x=1时，原式=11=1+23【解析】【分析】先将括号外的分式进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．【详解】 原式=22(2)4(2)x x x x x--÷-=()2(2)•(2)2(2)x x x x x x --+- =12x +∵x x 为整数，∴若使分式有意义，x 只能取-1和1当x=1时，原式=13．或：当x=-1时，原式=1 23．证明见解析【解析】 解：∵42a c b+=-，∴42a c b +=-.∴420a b c ++=. ∴2x =是一元二次方程20ax bx c ++=的根.∴240b ac -≥，∴24b ac ≥.24．a 2+2a ，2【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a 2＋2a−2＝2，即可解答本题.【详解】 解：242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭ ＝2242a a a a -⋅- ＝2(2)(2)2a a a a a +-⋅- ＝a （a+2）＝a 2+2a ，∵a 2+2a ﹣2＝2，∴a 2+2a ＝2，∴原式＝2．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．25．10.5x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】设1x=a，1x y+=b，则原方程组化为331a ba b+=⎧⎨-=⎩①②，求出方程组的解，再求出原方程组的解即可．【详解】设1x=a，1x y+=b，则原方程组化为：331a ba b+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：4a=4，解得：a=1，把a=1代入①得：1+b=3，解得：b=2，即1112 xx y⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：10.5 xy=⎧⎨=-⎩，经检验10.5xy=⎧⎨=-⎩是原方程组的解，所以原方程组的解是10.5 xy=⎧⎨=-⎩．【点睛】此题考查利用换元法解方程组，注意要根据方程组的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.26．详见解析【解析】【分析】利用尺规过D作DE⊥AC，，交AC于E，即可使得△ABC∽△CDE．【详解】解：过D作DE⊥AC，如图所示，△CDE即为所求：【点睛】本题主要考查了尺规作图，相似三角形的判定，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定方法．27．（1）相切，理由见解析;（1）1．【解析】【分析】(1)求出OD//AC，得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；(1)根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【详解】(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD,∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；(1)设⊙O的半径为R，则OD=OF=R，在Rt△BDO中,由勾股定理得：OB=BD+OD，即(R+1) =(1)+R，解得：R=1，即⊙O的半径是1.【点睛】此题考查切线的判定，勾股定理，解题关键在于求出OD⊥BC.。