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超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元C 14A 34C 13位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。
二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。
1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。
排列与组合题目及解析排列与组合是数学中的一个重要概念，用于描述事物的排列顺序和组合方式。
它在解决实际问题和推理推断中起到非常关键的作用。
本文将介绍排列与组合的基本概念，以及几个常见的排列与组合题目，并给出详细的解析。
一、排列与组合的基本概念排列是指从一组元素中任取若干个元素按一定的顺序排列的方式，常用P表示。
而组合则是指从一组元素中任取若干个元素不考虑顺序的方式，常用C表示。
1.1 排列的计算公式若从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素进行排列，排列的总数可用以下公式表示：P(n, m) = n! / (n-m)!其中"!"表示阶乘运算，表示连乘。
n!表示从1到n的所有正整数相乘。
1.2 组合的计算公式若从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素进行组合，组合的总数可用以下公式表示：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)二、常见的2.1 例题一：某班共有10名学生，其中5名男生和5名女生，从中选取3名学生作为代表，问有多少种选择方式？解析：根据题意可知，从5名男生中选取1名男生，从5名女生中选取2名女生，然后进行排列。
其中，男生之间没有顺序关系，女生之间也没有顺序关系。
所以，选择方式的总数可以表示为C(5,1) *C(5,2)。
带入计算公式可得：C(5,1) * C(5,2) = 5! / (1! * (5-1)!) * 5! / (2! * (5-2)!) = 5 * 10 = 50所以，选择方式的总数为50种。
2.2 例题二：某队共有12名队员，包括4名门将和8名场上队员。
现需从中选取7名队员作为比赛首发人员，其中至少包括1名门将，问有多少种选法？解析：根据题意可知，首发人员中至少包括1名门将，那么有两种情况：选取1名门将和6名场上队员，或选取2名门将和5名场上队员。
第一种情况：选取1名门将和6名场上队员。
门将有4人可选，场上队员有8人可选，所以选择方式的总数可以表示为C(4,1) * C(8,6)。
排列组合的综合应用专题讲座及同步训练（有详细解答）一、明确复习目标1.加深对排列、组合意义理解;2.掌握有关排列、组合综合题的一些常用解法;3.学会分类讨论的思想,提高分析问题和解决问题的能力.二．建构知识网络解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,透过问题的表面现象,看出问题的数学本质.然后,要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1.优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或说是“先解决特殊元素或特殊位置”.2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有141423444433A A A A A A +- =156种排法。
3.排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4.捆绑法:某些元素必相邻的排列.可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列，然后再再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列.可以先排其它元素然,再让不相邻的元素插空;6.插板法：n 个 相同元素,分成m(m ≤n)组,每组至步一个的分组问题——把n 个元素排成一的排,从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板,有11--m n C .例如:n 个相同的小球分给m 个人,每人至少一个小球的分法有11--m n C 种分法.如果没有“每人至少一个”的限制,则需设想“每人先献出一个小球”,再对n+m 个小球用“插板法”,有1n m n m C +-+种.7.分组、分配法：分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别。
一般地平均分成n 堆（组），必须除以n !, 如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 例如：6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有123653C C C =60种分法； 6本不同的书分成三组，每组2本，共有522642C C C ÷3！=15种分法；6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有114654C C C ÷2！=15种分法； 分配问题(有序分组):逐个分给.例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有322742C C C =210种分法。
排列组合专题复习及经典例题详解研究目标：掌握排列、组合问题的解题策略。
重点：1.特殊元素优先安排的策略；2.合理分类与准确分步的策略；3.排列、组合混合问题先选后排的策略；4.正难则反、等价转化的策略；5.相邻问题捆绑处理的策略；6.不相邻问题插空处理的策略。
难点：综合运用解题策略解决问题。
研究过程：1.知识梳理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类型办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3.排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列。
4.排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。
5.排列数公式：Pn=n(n-1)(n-2)。
(n-m+1)=m!/(n-m)。
其中m≤n，n、m∈N+。
特别提醒：规定0!=1.6.组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合。
7.组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示。
数学排列组合题解析数学中的排列组合是一种重要的概念，它在解决各种问题时起着重要的作用。
排列组合题目常见于数学竞赛、考试和实际生活中的各种问题。
本文将对数学排列组合题进行解析，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、排列组合的基本概念排列和组合是数学中两个不同的概念。
排列指的是从一组元素中取出若干个元素进行排列，而组合是从一组元素中取出若干个元素进行组合。
排列和组合的计算方法也有所不同。
1. 排列排列是指从一组元素中取出若干个元素进行排列。
假设有n个元素，要从中取出m个元素进行排列，那么排列的总数为n的阶乘除以(n-m)的阶乘。
即P(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合组合是指从一组元素中取出若干个元素进行组合。
假设有n个元素，要从中取出m个元素进行组合，那么组合的总数为n的阶乘除以m的阶乘再除以(n-m)的阶乘。
即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、排列组合的应用排列组合在实际生活中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明排列组合的具体应用。
1. 生日问题假设有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？这个问题可以通过排列组合的思想来解决。
首先考虑没有人生日相同的情况，那么第一个人的生日可以是任意一天，第二个人的生日只能是除了第一个人生日那天的其他364天，以此类推，第n个人的生日只能是除了前n-1个人生日那天的其他364天。
所以没有人生日相同的概率为P(n) = 364/365 * 363/365 * ... * (365-n+1)/365。
那么至少有两个人生日相同的概率为1 - P(n)。
2. 组合数的应用假设有10个人，要从中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？这个问题可以通过组合的思想来解决。
根据组合的定义，从10个人中选出3个人的组合数为C(10,3) = 10! / (3! * 7!) = 120。
三、排列组合题的解题技巧解决排列组合题需要掌握一些解题技巧，下面将介绍几个常用的技巧。
1. （2019湖北宜昌一中月考）从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7 的情况共有（）A. 18 种 B . 30种C. 45 种 D . 84 种答案C解析分两步：先从8, 9, 10这三个数中选取一个数作最大的数有C31种方法；再从1, 2,3, 4, 5, 6这六个数中选取两个比7小的数有C62种方法，故共有CJC62= 45种情况，应选择C.2•将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）A. 10 B . 20C. 30 D . 40答案B解析将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C53C22X 2 = 20（种），故选B.3.（2019 •东省实验中学月考）甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1 名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有（）A . 1 260 种B . 2 025 种C . 2 520 种D. 5 040 种答案C解析先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C102A82 =2 520种不同的招聘方法.4.将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1, 2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有（）A . 12 种B. 16种C . 18 种D. 36 种答案C解析可先分组再排列，所以有|C42A 33= 18（种）放法.5 . （2019西安五校）某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A. 80 种B. 90种C . 120 种D. 150 种答案D解析有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33=C260（种）；（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51X号X A33=90（种）.•••共有150种.故选D.6.（2019 •西大同一模）从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为（）2八4 1八5A . C10 A8B . C9 A9C. C81A95 D . C81A85答案C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法，再排剩余的瓶子，有A95种方法，故不同的放法共有C81A95种，故选C项.7.（2019安徽毛坦厂中学阶段测试）6名志愿者（其中4名男生，2名女生）义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有（）A. 40 种B. 48种C. 60 种 D . 68种答案B解析4, 2 分法：A22（C64- 1）= 14 X 2 = 28 , 3, 3分法：。
【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
专题10 排列组合的综合运用一、单选题1．用0,1,2,4组成没有重复数字的四位数，共有A．24个B．20个C．18个D．12个【试题来源】江苏省苏州市吴江区2019-2020学年高二下学期期中联考【答案】C【分析】利用排列、组合数以及特殊元素、特殊位置优先考虑法即可求解．【解析】0不能排在千位，先从1,2,4中取一个数排在千位，所以133318C A=．故选C.2．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有A．81个B．90个C．100个D．900个【试题来源】北京市石景山区2021届高三一模【答案】B【分析】依据题意可知该数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的，简单计算可得结果．【解析】由题可知回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的所以共有：1191090C C=，故选B3．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排,,,,A B C D E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且,A B两人安排在同一个地区，,C D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为A．86种B．64种C．42种D．30种【试题来源】备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷集合【答案】D【分析】分两类①当两个地区各分2人另一个地区分1人，②当两个地区各分1人另一个地区分3人结合排列组合知识得出答案．【解析】①当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有132312C A⋅=种；②当两个地区各分1人另一个地区分3人时，总数有133318C A⋅=种．故满足条件的分法共有121830+=种．故选D【名师点睛】解决本题的关键在于在分类的基础上，先选后排，最后由分类加法计数原理得出不同的分配方法总数．4．平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为A．10B．12C．16D．18【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理，即可得出结果．【解析】因为平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为223418C C=．故选D．5．横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是A．1860B．1320C．1140D．1020【试题来源】江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高二（统招班）下学期入学考试（理）【答案】C【分析】根据女嘉宾被选中的人数进行分类，选中两位女嘉宾时用插空法进行排列．【解析】由题意可知分为两类：第一类，2位女嘉宾只有一位被选中，则还需从6位男嘉宾里选出3位，然后全排列，所以不同的演讲顺序有134264960C C A ⋅⋅=，第二类，2位女嘉宾同时被选中，则还需从6位男嘉宾里选出2位，所以2位女嘉宾的演讲顺序不相邻的不同演讲顺序有22222623180C C A A ⋅⋅⋅=，综上，不同的演讲顺序的种数是9601801140+=，故选C ．【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．6．已知{}()1,0,1,1,2,,,i x i n n N *∈-=∈，则满足1232n x x x x ++++=的有序数组()123,,,,n x x x x 共有个 A ．222n n -B ．222n n +C ．22n n -D ．2n n -【试题来源】江苏省苏州市新实2019-2020学年高二下学期期中 【答案】A【分析】从n 个位置中选2个位置填上1或1-，其余位置填上0即可．【解析】{}()1,0,1,1,2,,,i x i n n N *∈-=∈所有有序数组 ()123,,,,n x x x x 中，满足1232n x x x x ++++=的有序数组 ()123,,,,n x x x x 中包含2n -个0，另外两个数在1或1-中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为()221224222nn n C n n -⨯⨯=⨯=-，故选A ．7．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有 A ．261种 B ．360种 C ．369种D ．372种【试题来源】河北省张家口市2021届高三一模【答案】C【分析】由题意可知分三种情况求解，一是有1种无氧运动选中，二是有2种无氧运动选中，三是有3种无氧运动选中，再由分类加法计数原理可求得结果【解析】从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有132231393939369C C C C C C++=（种）．故选C．8．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男､女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有A．72种B．108种C．144种D．210种【试题来源】备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷集合【答案】C【分析】先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案．【解析】因为每个村男､女干部各1名，所以可先安排男干部，共336A=种，再安排女干部，共有334324C A=种，所以共有624144⨯=种不同的安排方案故选C．【名师点睛】在从4名女干部中选3人到三个贫困村调研走访时，关键是按照先选后排的方法进行处理．9．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A．85B．86C．91D．90【试题来源】2021年高考数学二轮复习讲练测【答案】B【分析】根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解．【解析】由题意，可分三类：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为122133434331C C C C C ++=； 第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为122134343434C C C C C ++=； 第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为2112343421C C C C ++=． 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．故选B10．如图所示为沟算盘，即古罗马算盘，其用青铜制成，盘上竖有小槽，内有小珠，其中左边七个竖槽的下槽各有四珠，每珠表示一，上槽一珠表示五，槽间有数位个、十、百（对应拉丁字母：I ，X ，C ）；右边的两个竖槽表示分数，其中右数第二个竖槽的上槽有一珠，表示12，下槽有五珠，每珠表示112，最右边的竖槽含有三个短槽，上槽有一珠，表示124，中槽有一珠，表示148，下槽有二珠，每珠表示172．若从右数的前两个竖槽中任选三个小珠，则一共能表示的分数的个数为A ．19B ．44C ．55D ．120【试题来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第二模拟） 【答案】A【分析】利用分类加法计数原理，按所选的三个小珠分别在一个槽，两个槽，三个槽内进行分析求解．【解析】由图可知，从右数的前两个竖槽中包含五个槽，则问题可分三种情况，第一种情况，五个槽中每个槽里最多只取一个小珠，则一共可以表示出35C 10=个的分数；第二种情况，一个槽中取两个小珠，另一个槽中取一个小珠，则一共可以表示出1124C C 8=个不同的分数；第三种情况，一个槽中取三个小珠，则只能表示出1个分数．综上可知，从右数的前两个竖槽中任选三个小珠，一共可以表示出19个不同的分数．选A．11．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，不经过B的概率为A．25B．815C．35D．23【试题来源】湖南省名校联盟2020-2021学年高二下学期3月联考【答案】A【分析】先计算由A到C最短路径的种数，然后再计算经过B的路径的情况，计算出经过B的概率，利用对立事件计算出不经过B的概率．【解析】由A到C最短路径的走法有2615C=种，由A到B有133C=种，由B到C有133C=种，故经过B的概率为333155⨯=，不经过B的概率为32155P=-=．故选A．12．2019年二十国集团(20G)领导人峰会将在日本大阪开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，日本大阪市长决定举办大型歌舞晚会，现从A、B、C、D、E共5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有．A．51种B．45种C．42种D．35种【试题来源】备战2021年高考数学（理）全真模拟卷（新课标Ⅲ卷）【答案】A【分析】运用分类计算原理，结合组合与排列的定义进行求解即可．【解析】第一种情况：A和B都不选时方法有33336C A⋅=种，第二种情况：A和B只选一个时方法有12323323636C C A⋅⋅=⨯⨯=种，第三种情况：A和B都选时方法有321323221339AC CA⋅⋅=⨯⨯=种，则不同的出场方法有636951++=种，故选A13．2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年．复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是A．3B．8C．12D．6【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末【答案】C【分析】对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果．【解析】若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为22326C A=种；若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为12326C A=种．综上所述，不同的分配方法种数为6612+=种．故选C．【名师点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．14．刘老师、王老师与四位学生共六人在凌江园排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法种数是A．96B．128C．144D．240【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2020-2021学年高二上学期期末【答案】C【分析】将两位老师捆绑形成一个“大元素”，然后在两端排两名学生，最后将剩余的“元素”进行排序，结合分步乘法计数原理可求得结果．【解析】将两位老师捆绑形成一个“大元素”，然后在两端排两名学生，最后将剩余的“元素”进行排序，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为232432144A A A=种．故选C．【名师点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题．常见排列数的求法为（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数． 15．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有种． A ．60 B ．72 C ．96D ．150【试题来源】云南省玉溪市2020-2021学年高二年级上学期期末（理） 【答案】D【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出．【解析】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种．故选D ．【名师点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法【名师点睛】常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数． 16．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有 A ．54种 B ．60种 C ．72种D ．96种【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用） 【答案】A【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可．【解析】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有333216A=⨯⨯=种情况，利用分步相乘计数原理知有33654⨯⨯=种情况故选A．【名师点睛】解决排列组合问题的一般过程：（1）认真审题弄清楚要做什么事情；（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素．17．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理．某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)A．18种B．24种C．36种D．72种【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021届高三下学期英才大联考【答案】C【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果．【解析】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C=种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A⋅=⨯=种，故选C．【名师点睛】该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C=种选法；（2）之后就相当于三个元素的一个全排；（3）利用分步乘法计数原理求得结果．18．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 A ．51个 B ．54个 C ．12个D ．45个【试题来源】2021年高考数学二轮复习讲练测 【答案】A【分析】由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果． 【解析】由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有123322C A A (个)． （2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有123233C C A （个）．（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有33A （个）由分类加法计数原理得共有1212333323332251C A C C A A A +=+(个)．故选A ． 【名师点睛】本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．19．8名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同站法的种数为①5555A A +；②5383A A ；③5383A A +；④88A ．其中正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】湖南省邵阳市武冈第二中学2019-2020学年高二下学期期末 【答案】C【分析】利用分步计数原理得解【解析】8名学生站成两排，前排3人，后排5人，可等价于8人站成一排，有88A ；也可分两步进行，先安排第一排5人有58A ，第二步安排第二排3人有33A ，所以共有5383A A 故选C ．20．将标号为1、2、3、4、5、6的6个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6的6个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有A ．45种B ．90种C ．135种D ．180种【试题来源】湖南省名校联盟2020-2021学年高二下学期3月联考【答案】C【分析】计算出1、2、3、4号小球与1、2、3、4号盒子标号均不一致的放法种数，乘以46C 即可得出结果．【解析】若1、2、3、4号小球与1、2、3、4号盒子标号均不一致，1号球放2号盒子有3种放法，1号球放3号盒子有3种放法，1号球放4号盒子有3种放法，共9种放法，故不同的放法总数有469135C 种．故选C ．【名师点睛】解本题的关键在于确定1、2、3、4号小球与1、2、3、4号盒子标号均不一致的方法种数，在利用排列组合数计算不方便时，可利用列举法来操作．二、多选题1．我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为 A ．124564C C AB ．5651A C C ．124564C A A D ．2565C A 【试题来源】【新教材精创】基础练 （人教B 版高二选择性必修第二册）【答案】AD【分析】先选出一个人分得两本书，剩余四人各分得一本书，再利用分步乘法计数原理相乘即得结果．【解析】依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，方法一：分三步完成，第一步：选择一个人，有15C 种选法；第二步：为这个人选两本书，有26C 种选法；第三步： 剩余四人各分得一本书，有44A 种选法．故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为124564C C A ，故A 正确；方法二：分两步完成，第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2+1+1+1+1”的五组，有26C 种选法；第二步：将五组分配给五个人，有55A 种选法．故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为2565C A ，故D 正确．故选AD ．2．将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是A ．11114323C C C CB ．2343C A C ．3143A CD ．21342322C C A A ⋅ 【试题来源】江苏省苏州市昆山市2019-2020年高二下学期5月期中【答案】BD【分析】将4个不同的小球分成3组，进行全排即可求解．【解析】首先从4个不同的小球分成3组，3组的球数为2,1,1，即24C 或224222C C A ， 再将3组小球放入标有1､2､3号的盒子中，有33A 种，所以共有2343C A 或21342322C C A A ⋅．故选BD 3．现安排高二年级A ，B ，C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【试题来源】江苏省苏州中学2020-2021学年高二下学期3月月考【答案】BCD【分析】利用分步乘法计数原理判断AC 选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B 选项的正确性，利用排列数计算判断D 选项的正确性．【解析】所有可能的方法有34种，A 错误．对于B ，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13927C ⨯=种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有23C ，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有2339C ⨯=种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确．对于C ，若A 必去甲工厂，则B ，C 两名同学各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确．对于D ，若三名同学所选工厂各不同，则共有3424A =种安排，D 正确．故答案为BCD4．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A ，B ，C 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是A ．若C 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共34种【试题来源】2021年高考数学【热点重点难点】专练（山东专用）【答案】ABC【分析】利用排列组合知识对每一个选项的情况进行计算，可得正确选项．【解析】对于选项A ：若C 企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用4216=种，若C 企业派1名医生则有134232C ⋅=种，所以共有163248+=种．对于选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有211342132236C C C A A ⋅=种， 对于选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，若甲企业分2人，则有336A =种；若甲企业分1 人，则有2123126C C A =种，所以共有6612+=种．对于选项D ：所有不同分派方案共有43种．故选ABC5．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练【答案】BCD【分析】由分步乘法计数原理即可判断A ，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B ，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C ，由枚举法可判断D ，即可得解．【解析】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()2242118C A ⋅+=种放法，故B 正确；对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确．故选BCD ．【名师点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题．6．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有A ．11113213C C C CB ．2343C A C ．122342C C A D ．18 【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期4月阶段性检测（文）【答案】BC【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：（1）分2步进行：①先将四个不同的小球分成3组，②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案．【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行：①先将四个不同的小球分成3组，有24C 种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有33A 种放法；则没有空盒的放法有2343C A 种；（2）分2步进行：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，。
