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超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元C 14A 34C 13位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。
二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。
1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。
排列与组合题目及解析排列与组合是数学中的一个重要概念，用于描述事物的排列顺序和组合方式。
它在解决实际问题和推理推断中起到非常关键的作用。
本文将介绍排列与组合的基本概念，以及几个常见的排列与组合题目，并给出详细的解析。
一、排列与组合的基本概念排列是指从一组元素中任取若干个元素按一定的顺序排列的方式，常用P表示。
而组合则是指从一组元素中任取若干个元素不考虑顺序的方式，常用C表示。
1.1 排列的计算公式若从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素进行排列，排列的总数可用以下公式表示：P(n, m) = n! / (n-m)!其中"!"表示阶乘运算，表示连乘。
n!表示从1到n的所有正整数相乘。
1.2 组合的计算公式若从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素进行组合，组合的总数可用以下公式表示：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)二、常见的2.1 例题一：某班共有10名学生，其中5名男生和5名女生，从中选取3名学生作为代表，问有多少种选择方式？解析：根据题意可知，从5名男生中选取1名男生，从5名女生中选取2名女生，然后进行排列。
其中，男生之间没有顺序关系，女生之间也没有顺序关系。
所以，选择方式的总数可以表示为C(5,1) *C(5,2)。
带入计算公式可得：C(5,1) * C(5,2) = 5! / (1! * (5-1)!) * 5! / (2! * (5-2)!) = 5 * 10 = 50所以，选择方式的总数为50种。
2.2 例题二：某队共有12名队员，包括4名门将和8名场上队员。
现需从中选取7名队员作为比赛首发人员，其中至少包括1名门将，问有多少种选法？解析：根据题意可知，首发人员中至少包括1名门将，那么有两种情况：选取1名门将和6名场上队员，或选取2名门将和5名场上队员。
第一种情况：选取1名门将和6名场上队员。
门将有4人可选，场上队员有8人可选，所以选择方式的总数可以表示为C(4,1) * C(8,6)。
排列组合的综合应用专题讲座及同步训练（有详细解答）一、明确复习目标1.加深对排列、组合意义理解;2.掌握有关排列、组合综合题的一些常用解法;3.学会分类讨论的思想,提高分析问题和解决问题的能力.二．建构知识网络解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,透过问题的表面现象,看出问题的数学本质.然后,要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1.优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或说是“先解决特殊元素或特殊位置”.2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有141423444433A A A A A A +- =156种排法。
3.排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4.捆绑法:某些元素必相邻的排列.可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列，然后再再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列.可以先排其它元素然,再让不相邻的元素插空;6.插板法：n 个 相同元素,分成m(m ≤n)组,每组至步一个的分组问题——把n 个元素排成一的排,从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板,有11--m n C .例如:n 个相同的小球分给m 个人,每人至少一个小球的分法有11--m n C 种分法.如果没有“每人至少一个”的限制,则需设想“每人先献出一个小球”,再对n+m 个小球用“插板法”,有1n m n m C +-+种.7.分组、分配法：分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别。
一般地平均分成n 堆（组），必须除以n !, 如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 例如：6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有123653C C C =60种分法； 6本不同的书分成三组，每组2本，共有522642C C C ÷3！=15种分法；6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有114654C C C ÷2！=15种分法； 分配问题(有序分组):逐个分给.例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有322742C C C =210种分法。
排列组合专题复习及经典例题详解研究目标：掌握排列、组合问题的解题策略。
重点：1.特殊元素优先安排的策略；2.合理分类与准确分步的策略；3.排列、组合混合问题先选后排的策略；4.正难则反、等价转化的策略；5.相邻问题捆绑处理的策略；6.不相邻问题插空处理的策略。
难点：综合运用解题策略解决问题。
研究过程：1.知识梳理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类型办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3.排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列。
4.排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。
5.排列数公式：Pn=n(n-1)(n-2)。
(n-m+1)=m!/(n-m)。
其中m≤n，n、m∈N+。
特别提醒：规定0!=1.6.组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合。
7.组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示。
数学排列组合题解析数学中的排列组合是一种重要的概念，它在解决各种问题时起着重要的作用。
排列组合题目常见于数学竞赛、考试和实际生活中的各种问题。
本文将对数学排列组合题进行解析，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、排列组合的基本概念排列和组合是数学中两个不同的概念。
排列指的是从一组元素中取出若干个元素进行排列，而组合是从一组元素中取出若干个元素进行组合。
排列和组合的计算方法也有所不同。
1. 排列排列是指从一组元素中取出若干个元素进行排列。
假设有n个元素，要从中取出m个元素进行排列，那么排列的总数为n的阶乘除以(n-m)的阶乘。
即P(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合组合是指从一组元素中取出若干个元素进行组合。
假设有n个元素，要从中取出m个元素进行组合，那么组合的总数为n的阶乘除以m的阶乘再除以(n-m)的阶乘。
即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、排列组合的应用排列组合在实际生活中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明排列组合的具体应用。
1. 生日问题假设有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？这个问题可以通过排列组合的思想来解决。
首先考虑没有人生日相同的情况，那么第一个人的生日可以是任意一天，第二个人的生日只能是除了第一个人生日那天的其他364天，以此类推，第n个人的生日只能是除了前n-1个人生日那天的其他364天。
所以没有人生日相同的概率为P(n) = 364/365 * 363/365 * ... * (365-n+1)/365。
那么至少有两个人生日相同的概率为1 - P(n)。
2. 组合数的应用假设有10个人，要从中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？这个问题可以通过组合的思想来解决。
根据组合的定义，从10个人中选出3个人的组合数为C(10,3) = 10! / (3! * 7!) = 120。
三、排列组合题的解题技巧解决排列组合题需要掌握一些解题技巧，下面将介绍几个常用的技巧。
1. （2019湖北宜昌一中月考）从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7 的情况共有（）A. 18 种 B . 30种C. 45 种 D . 84 种答案C解析分两步：先从8, 9, 10这三个数中选取一个数作最大的数有C31种方法；再从1, 2,3, 4, 5, 6这六个数中选取两个比7小的数有C62种方法，故共有CJC62= 45种情况，应选择C.2•将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）A. 10 B . 20C. 30 D . 40答案B解析将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C53C22X 2 = 20（种），故选B.3.（2019 •东省实验中学月考）甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1 名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有（）A . 1 260 种B . 2 025 种C . 2 520 种D. 5 040 种答案C解析先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C102A82 =2 520种不同的招聘方法.4.将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1, 2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有（）A . 12 种B. 16种C . 18 种D. 36 种答案C解析可先分组再排列，所以有|C42A 33= 18（种）放法.5 . （2019西安五校）某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A. 80 种B. 90种C . 120 种D. 150 种答案D解析有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33=C260（种）；（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51X号X A33=90（种）.•••共有150种.故选D.6.（2019 •西大同一模）从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为（）2八4 1八5A . C10 A8B . C9 A9C. C81A95 D . C81A85答案C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法，再排剩余的瓶子，有A95种方法，故不同的放法共有C81A95种，故选C项.7.（2019安徽毛坦厂中学阶段测试）6名志愿者（其中4名男生，2名女生）义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有（）A. 40 种B. 48种C. 60 种 D . 68种答案B解析4, 2 分法：A22（C64- 1）= 14 X 2 = 28 , 3, 3分法：。
【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
高考数学中的排列组合题解析在高考数学中，排列组合题是一种常见的题型。
它要求考生通过理解和运用排列和组合的概念解决实际问题。
本文将对高考数学中的排列组合题进行解析，帮助考生更好地理解和应用相关知识。
一、排列和组合的基本概念在解析排列组合题之前，首先要明确排列和组合的基本概念。
1. 排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列起来。
对于n个元素，从中选取m个元素进行排列的方式数表示为P(n, m)，即排列数。
2. 组合组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。
对于n个元素，从中选取m个元素进行组合的方式数表示为C(n, m)，即组合数。
二、排列组合题的解题思路解决排列组合题的关键在于确定问题所涉及的排列和组合关系，以及正确运用相关的计算公式。
1. 确定问题类型首先需要确定问题是属于排列还是组合的类型，进而判断所要计算的是排列数还是组合数。
2. 计算排列与组合根据确定的问题类型，运用相应的计算公式计算出排列数或组合数。
3. 进一步应用在确定了排列数或组合数之后，考生需要进一步应用解答问题。
有时需要考虑多种情况，或者结合其他数学知识，进行进一步的推理和计算。
三、解析示例为了更好地理解和应用排列组合的知识，以下举例说明：【例题】某班有20个学生，其中男生12人，女生8人。
要从这20个学生中选出一个学习委员和一个体育委员，问有多少种选法？【解析】本题可以看作是从20个学生中选取2个进行排列的问题。
首先，要选出一个学习委员，有20个学生可选；然后从剩下的19个学生中选一个体育委员。
因此，根据排列的性质，可得到解答，即：P(20, 2) = 20 × 19 = 380所以，共有380种选法。
四、排列组合题的拓展应用除了基本的排列组合计算外，排列组合题还常常与其他数学概念和方法相结合，拓展应用于实际问题解决中。
例如，在概率统计和图论等领域，排列组合的思想都有重要的应用价值。
五、总结通过本文的解析，我们可以发现在高考数学中，排列组合题的解答思路相对较为简单明了。
排列组合问题经典题型解析含答案排列组合问题经典题型解析排列组合问题是高中数学中常见且重要的数学问题类型之一。
本文将从基本概念入手，逐步解析几个经典的排列组合问题，并附带解答。
# 1. 排列问题排列是指从给定的一组对象中选出若干个进行有序的排列。
下面以“abcd”为例，演示几个经典的排列问题。
## 1.1 无重复元素的排列问题描述：从元素集合{a, b, c, d}中，选取3个元素进行排列。
解答思路：首先来分析问题中的条件和要求。
问题中给出了四个元素{a, b, c, d}，要求选取其中的三个元素进行排列，即考虑顺序。
根据排列的定义，我们知道从n个元素中选取k个元素进行排列，共有A(n, k)种情况。
其中，A(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的排列数，计算公式为：A(n, k) = n! / (n-k)!对于本问题，选取3个元素进行排列，即A(4, 3)，计算结果为：A(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24。
因此，从元素集合{a, b, c, d}中选取3个元素进行排列，共有24种情况。
## 1.2 有重复元素的排列问题描述：从元素集合{a, b, b, c}中，选取3个元素进行排列。
解答思路：与上一个问题类似，只是在元素集合中存在重复元素。
排列问题的解法是一样的，只是在计算结果时需要考虑重复元素。
对于本问题，选取3个元素进行排列，即A(4, 3)，计算结果为：A(4, 3) = 4! / 2! = 4 * 3 * 2 * 1 / 2 * 1 = 12。
因此，从元素集合{a, b, b, c}中选取3个元素进行排列，共有12种情况。
# 2. 组合问题组合是指从给定的一组对象中选取若干个进行无序的组合。
下面以“abcd”为例，演示几个经典的组合问题。
## 2.1 无重复元素的组合问题描述：从元素集合{a, b, c, d}中，选取3个元素进行组合。
排列组合知识点总结及题型归纳嘿！今天咱们来好好聊聊排列组合这个让人又爱又恨的知识点呀！首先呢，咱们得搞清楚啥是排列，啥是组合。
哎呀呀，简单来说，排列就是从一堆东西里选出来，然后再排个顺序；组合呢，只要选出来就行，不管顺序啦！一、排列的知识点1. 排列的定义：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，记为A(n,m) 。
哇，这个公式可重要啦，A(n,m) = n! / (n - m)! ，记住没？2. 排列数的计算：咱们来算个例子，比如说从5 个不同的元素里选3 个进行排列，那就是A(5,3) = 5! / (5 - 3)! = 60 呀！二、组合的知识点1. 组合的定义：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。
公式是C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。
2. 组合数的计算：就像从6 个不同元素里选4 个的组合数，C(6,4) = 6! / [4!(6 - 4)!] = 15 呢！三、常见的排列组合题型1. 排队问题：比如说，几个人排队，有多少种排法？这就得考虑有没有特殊位置或者特殊的人啦！2. 分组问题：把一些东西分成不同的组，要注意平均分和不平均分的情况哟！3. 分配问题：把人或者物品分配到不同的地方，这里面可藏着不少小陷阱呢！四、解题技巧1. 优先考虑特殊元素或特殊位置：哎呀呀，这可是解题的关键呀！2. 捆绑法：有些元素必须在一起，那就把它们捆起来当成一个整体来处理。
3. 插空法：有些元素不能相邻，那就先排好其他的，再把不能相邻的插进去。
总之呢，排列组合虽然有点复杂，但是只要咱们掌握了这些知识点和题型，多做几道题练习练习，就一定能搞定它！哇，加油呀！。
排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、 的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
题目第十章排列、组台、二项式定理排列组合的综合应用高考要求1进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想．2使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法解题思路归纳 解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个（答案：30个）科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种（答案：350）分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600)捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240）排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 b 、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条（答案：30）剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段（插入m －1块隔板），有11--m n C 种方法错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,442个、3个、4个元素的错位排列容易计算关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：①5个元素的全排列为：55120A =；②剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)351C ⨯ 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的)252C ⨯ 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的)159C ⨯ 种∴ 120-1-351C ⨯-252C ⨯-159C ⨯＝44用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题 容斥法：n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法 题型讲解例1 将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； ⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；⑸分成3堆，每堆2 本⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； ⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为321631C C C ；⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为33112336P C C C ⨯；⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为222642C C C ；⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为321631C C C ；⑸是分堆的均匀问题：方法数为33222426P C C C ÷； ⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为2233111246P P C C C ⨯；22111246C C C 点评：以上问题归纳为①见上表中的三类六种不同的分书问题的模型；②要将问题转化为六种分书模型来解决例2 求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：227A A（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：6267A A另法：用捆绑与剔除相结合：827827A A A -（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：44442A A A（4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解: 431442A A A例3 有13名医生,其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式(1)5141376;C C C -(2)23324157676767C C C C C C C +++; (3)514513766C C C C --; (4)23711C C ;其中能成为P 的算式有_________种分析: 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法,故为组合问题用直接法解:选派5名医生分为2男3女,3男2女,4男1女,5男这四类,故(2)正确; 用间接法解: 不考虑限制条件,选派方法有513C 种,需剔除的有1男4女,5女两类,故(3)正确因此结论为: (2)(3)点评：本例要特别防止误选(4)例4 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区分出所有次品为止若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有 种解:在各次测试结果中交换其中两者的顺序,成为两种不同的测试方法,因此是排列问题故所有测试方法是6件不同正品取出1件与4件次品排成一列且最后一件是次品：114644C A A =576种例5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为______ 解:实质是7个节目的排列,因原定的5个节目顺序不改变,故排这5个节目是一个组合,有57C 种方法,在排新插入的两个节目有22A 种方法,故527242C A =点评：分清是排列还是组合问题排列与组合的根本区别是元素之间有否顺序若元素之间交换次序后是两种不同的情形,则是排列问题;若元素之间交换次序后是相同的情形,则是组合问题;另外若元素之间已经规定了顺序,则仍是组合问题例6 从10 种不同的作物中选出6 种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有( )种 A 24108C A B 1599C A C 1589C A D 1588C A解: 先排第1号瓶,从甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有18C 种方法,再排其余各瓶,有59A 种方法,故不同的放法共有1589C A 故选C点评：这样解分步合理、过程简捷但本题更容易想到先从10种不同的作物种子中选出6种,然后排列由于选出的6种种子中是否含甲、乙不确定,导致后继排列也不确定,这时就要分类了选出的6种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为515855C A A 种,选出的6种种子中,同时含甲与乙的不同放法有424854C A A 种;选出的6种种子中,都不含甲与乙的不同放法有68A 种故不同的放法共有5154246158558548892C A A C A A A C A ++=种例7 将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种解: 根据同种作物最多能种植的块数分类讨论:(1) 当其中有一种作物种三块时,选取这种作物有13C 种,它们只能种在两端及中间位置,有不同的种植方法12326C A =种,(2)当其中两种作物各种两块时,选取这两种作物有23C 种,然后选定其中一种作物,其不同种植方式有以下六类:第(1)(2)(5)(6)类的种法都是2种; 第(3)类有1种种法;第(4)类有3种种法,于是这种情况有36)3124(23=++⨯C 种种法,故不同的种植方法共42种例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有__种解: 本题直接计数很困难,用间接法,从10个点中取4个有410C 种方法,剔除四点共面的情况有:(1)四个面上的种数为46460C =;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;(3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有3种,故不同的取法共有1413660410=---C 种点评：确定用分类法、分步法、还是间接法计数为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数例9 从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有___种解:按要求从4种蔬菜品种中选出3种有23C 种方法,种在不同土质的三块土地上有33A 种方法,不同的种植方法共有233318C A =种例10 有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为 ___解:选取两个不放球的盒子,有246C =种选法；把4个球分成两堆,可分为两堆各为1,3个或两堆都有2个球这两类,有22314241227C C C C A +=种;再把两堆分别放入两个盒子里有222=A 种,所求放法总数为84276=⨯⨯种点评：如何实施先组合,后排列对常见的排列组合综合问题,应先组合,后排列,可分为以下两类例11 把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种解:先给编号为2、3的三个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有2510C =种截断法，对应放到编号为1、2、3的三个箱子里因此，不同的放球方法有1×10＝10种例12 某校准备参加2005年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种解 问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题将10个小球串成一串，截为7段有7936C =种截断法，对应放到8个盒子里因此，不同的分配方案共有36种点评： 剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段（插入m －1块隔板），有11--m n C 种方法例13 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有2615C =种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有135915=⨯种点评：错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44例14 将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A 不排在始端,元件B 不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_解：不考虑限制条件共有66A 种排法,元件A 排在始端和B 排在末端各有55A 种排法,把它们都剔除,则A 排在始端同时B 排在末端的总数多减了一次,需补上44A 种故组成不同的电路6546542504A A A -+=种点评：容斥法：n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法小结：①六种分书模型；②解决排列、组合问题的一些常用方法：容斥法、错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法 学生练习 1将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（ ）A 43B 34 C 34A D 34C 2某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分；一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）A 3种B 4种C 5种D 6种 3若436mm C A =，则=m （ ） A 9 B 8 C 7 D 6 4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ） A 24种 B 18种 C 12种 D 6种 5从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有 种（结果用数值表示） 6在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种值A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种（作数字作答） 7有()*N n n ∈件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种，则=n 8将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）9把6名同学排成前后两排，每排3人，则不同排法的种类（ ） A 36 B 120 C 720 D 1440 106个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ） A 288 B 480 C 600 D 640 1112名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A 4448412C C C 种 B 34448412C C C 种 C 3348412A C C 种 D 334448412A12从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）种 A 280 B 240 C 80 D 96 13用1,2,3,4,5这五个数字组成比20000大，且百位数不是3的，无重复数字的个数是（ ）A 64B 72C 78D 96 14从某班学生中，选出四个组长的不同选法有m 种，选出正、副组长各一名的不同选法有n 种，若m:n=13:2，则该班的学生人数是（ ） A 10 B 15 C 20 D 22 15如图所示，为某市的四个小镇，现欲修建三条公路，将这四个镇连接起来，则不同的修路方案种数为（ ）A 6B 12C 16D 24 16从1,2,3,4,5,6,7,8,9中每次取出两个不重复的数字分别作为对数式中的底和真数，共可得到不同的对数值（ ）A 53个B 55个C 57个D 59个 178名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行了单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有 场比赛（用数字作答） 18平面上有4条平行线与另外5条平行直线相互垂直，则可围成 个矩形（用数字作答） 19设编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则不同的投放方法有 种（用数字作答） 20楼道里有10盏灯，为节约用电，在一定时间可关掉其中的3盏灯，但关掉的灯不能相邻，而且不在楼道两端，则不同的关灯方法共有 种 21如图，一个地区分5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（用数字作答） 22将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子（每次要把10个球装完），要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法种数是 （用数字作答） 23某药品研究所研制了5种消炎药54321a a a a a 、、、、， 4种退烧药4321b b b b 、、、，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知21a a 、两种药必须同时使用，且43b a 、两种药不能同时使用，⑤④③②①则不同的实验方案有 种 24对于任意正整数n ，定义“n 的双阶乘n ！！”如下：当n 是偶数时，()()24642!!⨯⨯-⋅-⋅= n n n n当n 是奇数时，()()13542!!⨯⨯-⋅-⋅= n n n n现有如下四个命题：①()()!2004!!2003!!2004=⋅;②!10022!!20041002⋅=;③!!2004的个位数是0 ; ④!!2003的个位数是5其中正确的命题有参考答案： 1B 2A 3C 4B 5350 612 75 842 9C 10B 11 A 12B 13C 14B 15C 16A 1716 1860 1920 2020 2172 2215 2314 24①②③④ 课前后备注 1从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 100 种 2设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 5 种(左四右-) 3从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（ C ）A ．56B ．52C ．48D ．40 4某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(B ) A 2426C A B 242621C A C 2426A A D 262A 54名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ C ）A ．12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种6北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A ) A 124414128C C C B 124414128C A AC 12441412833AD 12443141283C C C A 7将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为（ A ）A ．70B ．140C ．280D ．840 8 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，有多少种方法？(48C )。
专题10 排列组合的综合运用一、单选题1．用0,1,2,4组成没有重复数字的四位数，共有A．24个B．20个C．18个D．12个【试题来源】江苏省苏州市吴江区2019-2020学年高二下学期期中联考【答案】C【分析】利用排列、组合数以及特殊元素、特殊位置优先考虑法即可求解．【解析】0不能排在千位，先从1,2,4中取一个数排在千位，所以133318C A=．故选C.2．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有A．81个B．90个C．100个D．900个【试题来源】北京市石景山区2021届高三一模【答案】B【分析】依据题意可知该数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的，简单计算可得结果．【解析】由题可知回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的所以共有：1191090C C=，故选B3．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排,,,,A B C D E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且,A B两人安排在同一个地区，,C D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为A．86种B．64种C．42种D．30种【试题来源】备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷集合【答案】D【分析】分两类①当两个地区各分2人另一个地区分1人，②当两个地区各分1人另一个地区分3人结合排列组合知识得出答案．【解析】①当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有132312C A⋅=种；②当两个地区各分1人另一个地区分3人时，总数有133318C A⋅=种．故满足条件的分法共有121830+=种．故选D【名师点睛】解决本题的关键在于在分类的基础上，先选后排，最后由分类加法计数原理得出不同的分配方法总数．4．平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为A．10B．12C．16D．18【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理，即可得出结果．【解析】因为平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为223418C C=．故选D．5．横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是A．1860B．1320C．1140D．1020【试题来源】江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高二（统招班）下学期入学考试（理）【答案】C【分析】根据女嘉宾被选中的人数进行分类，选中两位女嘉宾时用插空法进行排列．【解析】由题意可知分为两类：第一类，2位女嘉宾只有一位被选中，则还需从6位男嘉宾里选出3位，然后全排列，所以不同的演讲顺序有134264960C C A ⋅⋅=，第二类，2位女嘉宾同时被选中，则还需从6位男嘉宾里选出2位，所以2位女嘉宾的演讲顺序不相邻的不同演讲顺序有22222623180C C A A ⋅⋅⋅=，综上，不同的演讲顺序的种数是9601801140+=，故选C ．【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．6．已知{}()1,0,1,1,2,,,i x i n n N *∈-=∈，则满足1232n x x x x ++++=的有序数组()123,,,,n x x x x 共有个 A ．222n n -B ．222n n +C ．22n n -D ．2n n -【试题来源】江苏省苏州市新实2019-2020学年高二下学期期中 【答案】A【分析】从n 个位置中选2个位置填上1或1-，其余位置填上0即可．【解析】{}()1,0,1,1,2,,,i x i n n N *∈-=∈所有有序数组 ()123,,,,n x x x x 中，满足1232n x x x x ++++=的有序数组 ()123,,,,n x x x x 中包含2n -个0，另外两个数在1或1-中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为()221224222nn n C n n -⨯⨯=⨯=-，故选A ．7．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有 A ．261种 B ．360种 C ．369种D ．372种【试题来源】河北省张家口市2021届高三一模【答案】C【分析】由题意可知分三种情况求解，一是有1种无氧运动选中，二是有2种无氧运动选中，三是有3种无氧运动选中，再由分类加法计数原理可求得结果【解析】从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有132231393939369C C C C C C++=（种）．故选C．8．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男､女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有A．72种B．108种C．144种D．210种【试题来源】备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷集合【答案】C【分析】先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案．【解析】因为每个村男､女干部各1名，所以可先安排男干部，共336A=种，再安排女干部，共有334324C A=种，所以共有624144⨯=种不同的安排方案故选C．【名师点睛】在从4名女干部中选3人到三个贫困村调研走访时，关键是按照先选后排的方法进行处理．9．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A．85B．86C．91D．90【试题来源】2021年高考数学二轮复习讲练测【答案】B【分析】根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解．【解析】由题意，可分三类：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为122133434331C C C C C ++=； 第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为122134343434C C C C C ++=； 第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为2112343421C C C C ++=． 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．故选B10．如图所示为沟算盘，即古罗马算盘，其用青铜制成，盘上竖有小槽，内有小珠，其中左边七个竖槽的下槽各有四珠，每珠表示一，上槽一珠表示五，槽间有数位个、十、百（对应拉丁字母：I ，X ，C ）；右边的两个竖槽表示分数，其中右数第二个竖槽的上槽有一珠，表示12，下槽有五珠，每珠表示112，最右边的竖槽含有三个短槽，上槽有一珠，表示124，中槽有一珠，表示148，下槽有二珠，每珠表示172．若从右数的前两个竖槽中任选三个小珠，则一共能表示的分数的个数为A ．19B ．44C ．55D ．120【试题来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第二模拟） 【答案】A【分析】利用分类加法计数原理，按所选的三个小珠分别在一个槽，两个槽，三个槽内进行分析求解．【解析】由图可知，从右数的前两个竖槽中包含五个槽，则问题可分三种情况，第一种情况，五个槽中每个槽里最多只取一个小珠，则一共可以表示出35C 10=个的分数；第二种情况，一个槽中取两个小珠，另一个槽中取一个小珠，则一共可以表示出1124C C 8=个不同的分数；第三种情况，一个槽中取三个小珠，则只能表示出1个分数．综上可知，从右数的前两个竖槽中任选三个小珠，一共可以表示出19个不同的分数．选A．11．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，不经过B的概率为A．25B．815C．35D．23【试题来源】湖南省名校联盟2020-2021学年高二下学期3月联考【答案】A【分析】先计算由A到C最短路径的种数，然后再计算经过B的路径的情况，计算出经过B的概率，利用对立事件计算出不经过B的概率．【解析】由A到C最短路径的走法有2615C=种，由A到B有133C=种，由B到C有133C=种，故经过B的概率为333155⨯=，不经过B的概率为32155P=-=．故选A．12．2019年二十国集团(20G)领导人峰会将在日本大阪开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，日本大阪市长决定举办大型歌舞晚会，现从A、B、C、D、E共5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有．A．51种B．45种C．42种D．35种【试题来源】备战2021年高考数学（理）全真模拟卷（新课标Ⅲ卷）【答案】A【分析】运用分类计算原理，结合组合与排列的定义进行求解即可．【解析】第一种情况：A和B都不选时方法有33336C A⋅=种，第二种情况：A和B只选一个时方法有12323323636C C A⋅⋅=⨯⨯=种，第三种情况：A和B都选时方法有321323221339AC CA⋅⋅=⨯⨯=种，则不同的出场方法有636951++=种，故选A13．2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年．复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是A．3B．8C．12D．6【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末【答案】C【分析】对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果．【解析】若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为22326C A=种；若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为12326C A=种．综上所述，不同的分配方法种数为6612+=种．故选C．【名师点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．14．刘老师、王老师与四位学生共六人在凌江园排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法种数是A．96B．128C．144D．240【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2020-2021学年高二上学期期末【答案】C【分析】将两位老师捆绑形成一个“大元素”，然后在两端排两名学生，最后将剩余的“元素”进行排序，结合分步乘法计数原理可求得结果．【解析】将两位老师捆绑形成一个“大元素”，然后在两端排两名学生，最后将剩余的“元素”进行排序，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为232432144A A A=种．故选C．【名师点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题．常见排列数的求法为（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数． 15．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有种． A ．60 B ．72 C ．96D ．150【试题来源】云南省玉溪市2020-2021学年高二年级上学期期末（理） 【答案】D【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出．【解析】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种．故选D ．【名师点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法【名师点睛】常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数． 16．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有 A ．54种 B ．60种 C ．72种D ．96种【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用） 【答案】A【分析】甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可．【解析】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有333216A=⨯⨯=种情况，利用分步相乘计数原理知有33654⨯⨯=种情况故选A．【名师点睛】解决排列组合问题的一般过程：（1）认真审题弄清楚要做什么事情；（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素．17．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理．某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)A．18种B．24种C．36种D．72种【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021届高三下学期英才大联考【答案】C【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果．【解析】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C=种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A⋅=⨯=种，故选C．【名师点睛】该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C=种选法；（2）之后就相当于三个元素的一个全排；（3）利用分步乘法计数原理求得结果．18．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 A ．51个 B ．54个 C ．12个D ．45个【试题来源】2021年高考数学二轮复习讲练测 【答案】A【分析】由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果． 【解析】由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有123322C A A (个)． （2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有123233C C A （个）．（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有33A （个）由分类加法计数原理得共有1212333323332251C A C C A A A +=+(个)．故选A ． 【名师点睛】本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．19．8名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同站法的种数为①5555A A +；②5383A A ；③5383A A +；④88A ．其中正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】湖南省邵阳市武冈第二中学2019-2020学年高二下学期期末 【答案】C【分析】利用分步计数原理得解【解析】8名学生站成两排，前排3人，后排5人，可等价于8人站成一排，有88A ；也可分两步进行，先安排第一排5人有58A ，第二步安排第二排3人有33A ，所以共有5383A A 故选C ．20．将标号为1、2、3、4、5、6的6个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6的6个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有A ．45种B ．90种C ．135种D ．180种【试题来源】湖南省名校联盟2020-2021学年高二下学期3月联考【答案】C【分析】计算出1、2、3、4号小球与1、2、3、4号盒子标号均不一致的放法种数，乘以46C 即可得出结果．【解析】若1、2、3、4号小球与1、2、3、4号盒子标号均不一致，1号球放2号盒子有3种放法，1号球放3号盒子有3种放法，1号球放4号盒子有3种放法，共9种放法，故不同的放法总数有469135C 种．故选C ．【名师点睛】解本题的关键在于确定1、2、3、4号小球与1、2、3、4号盒子标号均不一致的方法种数，在利用排列组合数计算不方便时，可利用列举法来操作．二、多选题1．我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为 A ．124564C C AB ．5651A C C ．124564C A A D ．2565C A 【试题来源】【新教材精创】基础练 （人教B 版高二选择性必修第二册）【答案】AD【分析】先选出一个人分得两本书，剩余四人各分得一本书，再利用分步乘法计数原理相乘即得结果．【解析】依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，方法一：分三步完成，第一步：选择一个人，有15C 种选法；第二步：为这个人选两本书，有26C 种选法；第三步： 剩余四人各分得一本书，有44A 种选法．故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为124564C C A ，故A 正确；方法二：分两步完成，第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2+1+1+1+1”的五组，有26C 种选法；第二步：将五组分配给五个人，有55A 种选法．故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为2565C A ，故D 正确．故选AD ．2．将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是A ．11114323C C C CB ．2343C A C ．3143A CD ．21342322C C A A ⋅ 【试题来源】江苏省苏州市昆山市2019-2020年高二下学期5月期中【答案】BD【分析】将4个不同的小球分成3组，进行全排即可求解．【解析】首先从4个不同的小球分成3组，3组的球数为2,1,1，即24C 或224222C C A ， 再将3组小球放入标有1､2､3号的盒子中，有33A 种，所以共有2343C A 或21342322C C A A ⋅．故选BD 3．现安排高二年级A ，B ，C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【试题来源】江苏省苏州中学2020-2021学年高二下学期3月月考【答案】BCD【分析】利用分步乘法计数原理判断AC 选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B 选项的正确性，利用排列数计算判断D 选项的正确性．【解析】所有可能的方法有34种，A 错误．对于B ，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13927C ⨯=种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有23C ，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有2339C ⨯=种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确．对于C ，若A 必去甲工厂，则B ，C 两名同学各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确．对于D ，若三名同学所选工厂各不同，则共有3424A =种安排，D 正确．故答案为BCD4．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A ，B ，C 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是A ．若C 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共34种【试题来源】2021年高考数学【热点重点难点】专练（山东专用）【答案】ABC【分析】利用排列组合知识对每一个选项的情况进行计算，可得正确选项．【解析】对于选项A ：若C 企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用4216=种，若C 企业派1名医生则有134232C ⋅=种，所以共有163248+=种．对于选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有211342132236C C C A A ⋅=种， 对于选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，若甲企业分2人，则有336A =种；若甲企业分1 人，则有2123126C C A =种，所以共有6612+=种．对于选项D ：所有不同分派方案共有43种．故选ABC5．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练【答案】BCD【分析】由分步乘法计数原理即可判断A ，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B ，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C ，由枚举法可判断D ，即可得解．【解析】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()2242118C A ⋅+=种放法，故B 正确；对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确．故选BCD ．【名师点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题．6．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有A ．11113213C C C CB ．2343C A C ．122342C C A D ．18 【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期4月阶段性检测（文）【答案】BC【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：（1）分2步进行：①先将四个不同的小球分成3组，②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案．【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行：①先将四个不同的小球分成3组，有24C 种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有33A 种放法；则没有空盒的放法有2343C A 种；（2）分2步进行：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，。
