成正比例的量

第8讲比例（二）知识点：1、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k（一定）2、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k（一定）3、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。

4、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

5、比例尺的分数（1）数值比例尺和线段比例尺（2）缩小比例尺和放大比例尺6、图上距离：实际距离=比例尺实际距离×比例尺=图上距离图上距离÷比例尺=实际距离7、应用比例尺画图（1）写出图的名称、（2）确定比例尺；（3）根据比例尺求出图上距离；（4）画图（画出单位长度）（5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺8、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。

（相似图形）9、用比例解决问题：根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。

考点1：正反比例的辨别【典例1】（隆回县）a 与b 成反比例关系的条件是（ ） A ．ab =c （一定）B ．a ×c ＝b （一定）C ．a ×b ＝c （一定）【典例2】（西安模拟）正方形的边长和它的周长（ ） A ．成正比例B ．成反比例C ．不成比例【典例3】（浦城县）在如表中，如果x 和y 成正比例，那么空格处应填 ；如果x 和y 成反比例，那么空格处应填 ． x 6 y1224考点2：比例的应用（比例尺，图形的变大）【典例1】（雁塔区期中）把一个长为5厘米，宽为4厘米的长方形按3：1放大，放大后的长方形的长为 厘米，宽为 厘米，面积是 平方厘米． 【典例2】（涡阳县）画一画，在方格图里把三角形按3：1进行放大．【典例3】（茶陵县）一幅地图的比例尺是1：3000000，这幅地图上两个城市之间的距离是20cm ，那么这两个城市之间的实际距离是 km ．【典例4】（江北区）王阿姨买了一辆电瓶车，七五折优惠付了1500元．这辆车比原来便宜了多少钱？先在线段图上补上缺少的信息和问题，再列式计算．【典例5】（海安市）甲、乙两地相距2千米，在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是4厘米，这幅图的比例尺是 ．在这幅图上量得乙、丙两地的距离是5厘米，则乙、丙两地间的实际距离是千米．综合练习一．选择题1．（邵阳模拟）两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的（ ）一定，这两种量就叫做成反比例的量． A ．和B ．差C ．积D ．比值2．（云梦县）表示x 和y 成正比例关系的式子是（ ） A ．x +y ＝10B ．x ﹣y ＝10C ．y ＝10x3．（天津模拟）下列等式中，a 与b （a 、b 均不为0）成反比例的是（ ） A ．2a ＝5bB ．a ×7=b2C ．a ×b3=14．（亳州）表格中，若x 和y 成正比例，则k 的值为（ ）x 2 k y 812A ．1.5B ．3C ．65．（天津模拟）a 和b 成反比例关系的式子是（ ） A ．5a ＝4bB ．a5=b4C ．5a =4bD ．5a ＝b +46．（广东期末）把一个长方形按3：1放大，得到的图形的面积与原图形的面积的比是（ ） A ．3：1 B ．9：1C ．1：3D ．1：97．（蕲春县）把改写成数值比例尺是（ ） A ．1：4000000B ．1：8000000C ．1：120000008．（蓬溪县）如图，长方形是按一定的比例放大或缩小，则x ＝（ ）A ．10B ．12C ．14D ．169．（临朐县）一幅地图的比例尺是1：1000000，下列说法不正确的是（ ） A ．这是一个数值比例尺B ．说明要把实际距离缩小1000000倍后，再画在图纸上C．图上距离相当于实际距离的11000000D．图上1厘米相当于实际1000000米10．（广州）一个正方形的面积是100cm2，把它按10：1的比放大．放大后图形的面积是（）A．1000cm2B．2000cm2C．10000cm211．（连江县）把一个边长为3厘米的正方形按2：1放大，放大后的正方形的面积是（）A．36平方厘米B．18平方厘米C．9平方厘米D．6平方厘米12．（长沙）把一个长4厘米，宽2厘米的长方形按3：1放大后，得到的新图形的面积是（）平方厘米。

小学六年级数学说课稿《成正比例的量》教学内容：(1)、让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，从而探索出点阵中的规律，并体会到图形与数的联系;教师准备好说课稿是非常有必要的，下面是关于人教版小学语文四年级上册说课稿《观潮》第二课时范文，希望对大家有帮助!《义务教育课程标准实验教科书?数学》六年级下册39页～41页，成正比例的量。

本节课在教材中的地位：本节教材是在比和比例的基础上进行教学，着重使学生理解正比例的意义。

正比例与反比例是比较重要的两种数量关系，学生理解并掌握了这种数量关系，可以加深对比例的理解，并能应用它们解决一些含正、反比例关系的实际问题。

同时通过这部分内容的教学，可以进一步渗透函数思想，为学生今后的学习打下基础。

认识面积的含义，能估计和测量图形的面积，体会并认识面积单位(平方厘米、平方分米、平方米)，会进行简单的单位换算;掌握长方形、正方形的面积公式，会用公式正确计算长方形、正方形的面积，并能估计给定的长方形、正方形的面积,会利用公式解决简单的实际问题。

学生已有的知识经验基础：比和比例的有关知识，常见的数量关系(常见的数量关系是学生理解正、反比例意义的重要基础)而新教材没有都将常见的数量关系形成关系式，也增加了这节课的教学难度。

让学生有画折线统计图的经验，所以基本能自己动手画出正比例关系的图像。

“诚实”是我们中华民族的传统美德。

古人再三强调，待人以诚是立身之本;而今党中央更是十分重视精神文明建设，倡导培养青少年的诚实美德。

目前，商业战线也提出了“诚信经营”的口号。

因此，“诚实”是人心所向。

教材分析：对比新旧教材，我们不难发现新教材在保留原来表格的基础上，去除了表格下方的三个小问题，取而代之的是“体积和高度的变化有什么规律?”这一个更开放、更具挑战性的问题。

这一问题更能提供让学生有足够研究的空间与思维想象的空间，以及创造性的培养。

旧教材中的3个小问题实际上就是正比例概念的三层含义(两个量必须相关联;一种量随着另一种量的变化而变化;相关联的两个量的比值一定)。

成正比例的量的三要素成正比例的量的三要素，听起来是不是有点复杂，其实它跟我们生活中很多事情都息息相关呢。

咱们得搞清楚什么是成正比例。

简单说，就是两件事儿的关系，比如你买水果，买的数量和花的钱是成正比例的。

你买得多，自然花的钱也多，这样的道理就叫成正比例。

说到这里，你可能会想，成正比例的量到底有哪些要素呢？别着急，咱们慢慢聊。

第一个要素就是“量的大小”。

想象一下，你去超市买苹果，买了五斤和十斤，花的钱可不一样吧。

五斤苹果可能二十块，十斤就得四十块。

这里的钱就是“量的大小”，简单明了。

这就像你和朋友一起去吃饭，点的菜多了，账单自然就高了。

每个人心里都有个小算盘，心里默默想着“我这一顿吃了多少，得分摊多少”，这就是量的大小在起作用。

接下来要说的就是“单位”。

这里的单位就像是咱们身边的“货币”，是计算成正比例的重要一环。

回到苹果的例子，你花了二十块买五斤，换算下来每斤四块。

这个单位让我们更好地理解每斤苹果的价值。

想想你买衣服的时候，常常会计算每件衣服的单价，对吧？这个单位的概念让我们的消费更理性，也让我们心里有底。

钱花得值不值，心里才有数。

最后一个要素，哎呀，这个可得好好说说，那就是“关系”。

成正比例的量有着紧密的关系，比如你喝水，每天喝两升水，那一周就是十四升。

这个关系让我们在生活中有所依赖，就像生活中有些朋友，总是会在关键时刻出现。

你的一举一动，似乎都在暗示着这份关系是如何建立的。

就像你和同事一起合作做项目，如果你们的分工明确、互相支持，那么项目自然会顺利进行。

这种关系的建立，就如同成正比例的量，彼此相辅相成，缺一不可。

所以说，成正比例的量就像生活中的调味剂，恰到好处才能让事情更加美味。

每当你在日常生活中遇到需要计算的事情，不妨想一想这些要素。

无论是买东西，还是做事情，搞懂了这些，就能让你在生活中游刃有余。

这样一来，生活中的那些小困扰就变得简单多了。

你会发现，原来成正比例的量并不是高深莫测的数学理论，而是生活中每时每刻都在上演的真实故事。

小学六年级比例知识点总结一、比例的基本性质： 1。

2。

成反比例的量，除了量的增减外，还有两种情况：一是一种量变化，引起另一种量的相应的变化，这时前后两种量的变化的比，等于后者同前者的比;二是两种量的前后两个数相除所得的商，等于它们的和同除以它们的差，即1： 4。

3。

成正比例的量，它们的比值是一定的，一般在0和1之间，其中最大的是一。

二、比例的基本性质：两种相关联的量，一种量变化，如果另一种量也随着它变化，那么这两种量的乘积就(扩大)，这两种量的乘积就(缩小)。

3。

如果两个比相除又叫两个比的比值，表示这两个比相除的结果，这种说法不确切。

4。

比例的基本性质可归纳为以下几点：(1)比例中项必须是一个数，或者是一个数的比，两个外项互为倒数。

(2)比例两个外项的积等于两个内项积的。

(3)两个外项的积等于两个内项积的。

(4)比例的基本性质两边同时乘或除以相同的数( 0除外)比值不变，这与正比例、反比例的情形不同，而且0除外。

(5)两个外项的积等于两个内项积的，叫做两个外项互为倒数。

(6)如果两个外项的积等于两个内项积的，并且一个外项是另一个外项的倒数，那么这两个外项互为倒数。

(7)把比例的基本性质和正比例、反比例的基本性质结合起来，就可以写出比例的基本性质，用字母表示为： p：q=a3。

5。

比例的基本性质两边同时乘或除以一个相同的数(零除外)比值不变，这与反比例的情形类似，但是比例的基本性质中“比例的基本性质两边同时乘或除以相同的数(零除外)比值不变”是没有意义的，因为比例的基本性质的两边仍然可能分别是不相等的量，比值也可能分别是不相等的量，都满足不变性质，故本题错误。

(8)(简)设比例中两个外项的积为x，则x：(9)由比例的基本性质，可知当一个外项是另一个外项的(p÷q)，且比例的两个外项的积为a时，比例的两边相等，即两个外项的积等于两个内项积的，这时，(a÷a)成反比例。

当a成比例时，比例的两边仍然相等，即两个外项的积不等于两个内项积的，即a与a成反比例。

第三节成正比例的量一、教学目标1. 知识与技能：通过具体问题认识成正比例的量，理解正比例的意义；能根据给出的正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图；能初步判断生活中的正比例关系，并进行交流。

2. 过程与方法：学生经历观察、分析、比较、归纳和概括的过程，从具体到抽象逐步认识成正比例的量和正比例关系。

3. 情感态度价值观：学生从运动与变化的观点来认识成正比例的量，初步感受函数思想，渗透辨证唯物主义的启蒙教育。

二、教学重点理解正比例的意义，掌握正比例关系判断方法。

三、教学难点理解正比例的意义。

四、教学关键比值一定。

五、教学用具课件、直尺。

学生准备：预习课本、作业纸、直尺。

六、教学过程（一）从生活中引入变量和两种相关联的量今天我们来学习有关正比例的知识，我先向大家介绍一位著名的运动员。

1. 猜一猜，他是谁？他是姚明，我们叫他小巨人。

（让我们用数学的眼光来观察姚明的身高变化）10岁前姚明的身高变化情况如下表:年龄出生时6个月1周岁2周岁6周岁10周岁身高(厘米) 52 70 85 100 140 170 2．根据统计表回答问题：统计表中姚明的身高和年龄这两种量在发生变化，身高随着年龄的增长而增长。

身高与年龄是两种相关联的量。

量：变量。

相关联：一种量变化，另一种量也随着变化。

生活中有许多这样相关联的量。

（饿了，多吃；热了，少穿；汽车走的远，耗油量多，打车费多）3．两种相关联的量都在变，它们是怎样变的？有不变的规律么？今天我们来进一步研究。

（二）经历分析概括，初步感知正比例关系例1鸡蛋售价表数量(kg) 1 2 3 4 …　总价(元) 10 20 30 40 …　（1）表中有哪两种相关联的量？它们是怎样变化的？从左往右看，数量在增长，总价也随着增长；数量扩大到原来的几倍，总价也扩大到原来的几倍。

反之（减少）（2）总价数量都在变，而且同扩同缩相同的倍数，有没有隐藏的不变的规律？怎么求单价？总价÷数量=单价通过计算我们发现鸡蛋的单价不变。

《成正比例的量》教案设计第一章：正比例的概念介绍1.1 引入正比例的概念：两个变量x和y，如果它们的比值（x/y）始终保持不变，这两个变量就称为成正比例的量。

1.2 解释正比例的数学表达式：x/y = k（其中k是常数，称为比例常数）。

1.3 举例说明正比例的关系：如身高与脚长的关系，当身高增加时，脚长也随之增加，且它们的比值保持不变。

第二章：比例常数的确定2.1 解释比例常数k的意义：比例常数k表示两个成正比例的量之间的比例关系。

2.2 方法一：通过两组具体的成正比例的量，计算它们的比值，求得比例常数k。

2.3 方法二：利用图形（如直线图）观察成正比例的量的变化趋势，确定比例常数k。

第三章：正比例的性质3.1 成正比例的量的图像特点：成正比例的量在直角坐标系中形成一条通过原点的直线。

3.2 成正比例的量的运算性质：两个成正比例的量相加（或相减）后，它们的比值仍等于原来的比例常数k。

3.3 成正比例的量的比例运算：已知两个成正比例的量x1和y1，以及它们的比例常数k，求第三个成正比例的量x2和y2的关系。

第四章：正比例的应用4.1 成正比例的量在实际生活中的应用：如计算单价、计算速度等。

4.2 利用成正比例的关系解决问题：已知两个成正比例的量中的一个，求解另一个未知量。

4.3 成正比例的量在科学实验中的应用：如实验数据的处理和分析。

第五章：正比例的拓展5.1 反比例的概念介绍：两个变量x和y，如果它们的乘积（xy）始终保持不变，这两个变量就称为成反比例的量。

5.2 解释反比例的数学表达式：xy = k（其中k是常数）。

5.3 举例说明反比例的关系：如车速与时间的乘积等于路程，当车速增加时，所需时间减少，且它们的乘积保持不变。

第六章：正比例函数的图像与性质6.1 介绍正比例函数的图像：y = kx（k为常数）。

6.2 解释正比例函数的图像特点：通过原点的一条直线，斜率为k。

6.3 探讨正比例函数的性质：随着x的增大或减小，y值按比例增大或减小；当x=0时，y=0。

《成正比例的量》教学案例一、教学说明：这部分内容是在教学过比和比例的知识的基础上进行教学的，着重使学生理解正比例的意义。

这节课的教学目的是1、结合具体事例，经历认识和判断成正比例的量的过程。

2、知道正比例的意义，能判断两种量是否成正比例，能找出生活中成正比例的实例，并进行交流。

3、对现实生活中成正比例的事物有好奇心，在判断成正比例的量的过程中，能进行有条理的思考。

教学重点：判断两种相关联的量是不是成正比例。

教学难点：判断两种相关联的量是不是成正比例。

本课在于关注学生已有的生活经验和兴趣，首先让学生从已有知识中寻找相关联的两个量，然后通过呈现现实生活中的三个素材路程、速度，总价、数量，工作总量、工作时间这两个相关联的量引入新课，使抽象的数学知识具有丰富的现实背景，为学生的数学学习提供了生动活泼、主动的材料与环境。

同时，充分运用导学题组的导向功能，让学生思考，让学生在寻找规律的同时感受正比例在实际生活中的存在。

二、教学设计：（一）复习准备：联系学生以前学过的数量关系引入课题，激发学生学习兴趣。

（二）导学：1、认识成正比例的量和正比例关系。

2、分组讨论：小组合作：议一议：在速度一定的情况下，路程和时间有什么关系？让学生通过观察汽车的里程表，使学生知道汽车1小时行驶多少千米，体会数学与生活的紧密联系。

4、学生汇报。

（1）一种量变化，另一种量也随着变化，并且两种量的变化相同。

（2）两个相关联的量的比值一定也就是速度一定。

让学生在分组合作学习的方式中，学生相互交流，引发思维碰撞，进而使得不同层次学生的新知得到不断更正与整合。

4、教师说明：在上面的问题中，路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化，而且，路程和时间的比值一定（速度一定）我们说路程和时间这两种量成正比例。

通过分析数量关系，使学生进一步领会正比例的意义，能判断两个量是否成正比例。

5、教师质疑：根据正比例的意义想一想：上面例子中的路程和时间是不是成正比例的量？为什么？构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件？让学生通过刚学知识进行判断，现学现用让学生以此去体现出构成正比例的必要条件。

成正比例的量在数学中，我们经常会遇到成正比例的量。

成正比例的量指的是两个变量之间的关系符合比例关系，即当一个量的值增加（或减少）时，另一个量的值也相应地按照固定的比例变化。

概念成正比例的量与比例关系是数学中的重要概念。

它由两个变量组成，通常用字母表示。

我们假设两个变量分别为x和y，它们之间成正比例的关系可以表示为：y = kx其中，k是比例常数。

它是一个恒定的值，代表着两个变量之间的比例关系。

例子让我们来看一些实际生活中的例子，以更好地理解成正比例的量。

例子1：考试成绩与学习时间假设我们有两个变量x和y，分别表示考试成绩和学习时间。

如果两者成正比例，那么学习时间越长，考试成绩也会相应增加。

这个关系可以由下面的公式表示：y = kx这里的y表示考试成绩，x表示学习时间，k是一个常数。

例子2：人口增长与时间我们知道，人口增长和时间之间存在一定的关系。

如果人口的增长是成正比例的，那么随着时间的推移，人口数量也会按照一定的比例增加。

这个关系可以用下面的公式表示：y = kx这里的y表示人口数量，x表示时间，k是一个常数。

性质成正比例的量有一些重要的性质，这些性质对于我们理解和应用成正比例的量是非常有帮助的。

性质1：零点对于成正比例的量来说，它们之间的比例关系不会出现零点。

也就是说，当x 为零时，y也会为零。

性质2：相似三角形如果两个三角形的对应边成正比例，那么这两个三角形是相似的。

这是因为成正比例的量表示两个变量之间的比例关系，所以它们之间的比值总是相同的。

而相似三角形有着相同的比例关系，因此成正比例的量是判断两个三角形是否相似的一个重要条件。

性质3：图形变换成正比例的量还可以描述图形的变换关系。

例如，在平面几何中，如果将一个图形的边长按照一定的比例进行伸缩，那么这个图形的形状将保持不变，只是相似于原来的图形。

这是因为成正比例的量表示了图形的边长之间的比例关系，所以在进行伸缩时，图形的形状不会发生改变。