直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔d ＞R+r ；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R ＋r ；有3条公切线；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）例题2图A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图 例题8图 例题9图 •A B P C EF •O 例题10图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图OO2O16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，，则⊙O的半径等于（）A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图，在ABC△中，12023AB AC A BC=∠==，°，，A⊙与BC相切于点D，且交AB AC、于M N、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．中考题型一、选择题1.（2009年·宁德中考）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A．43 B．4 C．23 D．2（第1题图）（第2题图）2.（2009年·潍坊中考）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A．2R B．3R C．R D．32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.（2009年·襄樊中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60° D．70°（第3题图） （第4题图）4．（2009年湖南省邵阳市）如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450,则下列结论正确的是（ ） A.AD ＝21BC B.AD ＝21AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC二、填空题5.（2009年·綦江县中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．（第5题图） （第6题图）6.（2009年·庆阳市中考）如图直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．三、解答题7.（2009桂林百色）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 点作直线MN ，若∠MAC＝∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG ＝3，GC ＝4，试求△BCG 的面积．课后练习题一、填空题：1、在直角坐标系中，以点（1,2）为圆心，1为半径的圆必与y轴，与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3，⊙O的半径是3，则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=5、如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=6、如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=7、如图4，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，点P在射线OA上，且OP=6cm，以P为圆心，1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。

考点四十一直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1．直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点．2. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.3.(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则4.(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.5．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． 6．相交两圆公共弦所在直线方程求法设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．将两圆方程相减，得到关于x 和y 的一次方程，即为公共弦所在直线方程．典例剖析题型一 判断直线与圆的位置关系例1 直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是__________． 答案 相交解析 ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交． 变式训练 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆D 的位置关系是__________． 答案 相交解析 由点M 在圆外，得a 2＋b 2>1， ∴圆心D 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2<1＝r ，则直线与圆O 相交． 解题要点 判断直线与圆的位置关系常见的方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 题型二 直线与圆相交弦长问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 答案2555解析 因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 变式训练 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是__________． 答案 －4解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.题型三 直线与圆相切问题例3 过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________； 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.变式训练 过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为________________． 答案 y ＝±x解析 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.则圆心(2,0)，半径r ＝ 2.设直线方程为y ＝kx .则|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1，所以直线方程为y ＝±x .例4 过点P (4，1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________． 答案 3x ＋y －4＝0解析 方法1：如图所示，A 点的坐标为(1，1)，∵AB ⊥PC ，k PC ＝13，∴k AB ＝－3，∴直线AB 的方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.方法2：把点P 代入切点弦公式，得方程为：(4－1) ·(x －1) ＋1·y ＝1，即方程为3x ＋y －4＝0.解题要点 过某点求圆的切线时，要注意分清该点在圆上还是在圆外．如果过圆外一点求切线，还需讨论切线斜率是否存在．当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．另外，记住一些常见的结论，有助于快速解题． ①过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ②过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则切点弦方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 题型四 圆与圆的位置关系问题例5 圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 答案 相交解析 两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17． ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．变式训练 过两圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0及x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的交点的直线方程是________． 答案 x ＋y ＋2＝0解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －(x 2＋y 2＋4x ＋2y －4)＝0，即x ＋y ＋2＝0．解题要点 求相交两圆公共弦所在直线方程，只需将两圆方程相减，得到关于x 和y 的一次方程，即为公共弦所在直线方程．当堂练习1．设直线l 过点P (－2，0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是________． 答案 ±33解析 设l ：y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，又l 与圆相切，∴|2k |1＋k 2＝1，∴k ＝±33．2．直线x －y ＋3＝0被圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝2截得的弦长等于________．答案解析 圆心为(－2，2)，2=由勾股定理求出弦长的一半为2，3. 直线x －ky ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________． 答案 相交或相切解析 直线x －ky ＋1＝0过定点(－1，0)，而点(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交． 4．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________． 答案 x －3y ＋2＝0解析 设所求切线方程为y －3＝k (x －1)．⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0y ＝kx －k ＋3⇒x 2－4x ＋(kx －k ＋3)2＝0．该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k ＝33．∴y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0． 5．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________． 答案 1≤b < 2解析 曲线为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1≤b <2．课后作业一、 填空题1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是________． 答案 x －y ＋1＝02．过两圆x 2＋y 2＋3x ＋2y ＝0及x 2＋y 2＋2x ＋6y －4＝0的交点的直线方程是________． 答案 x －4y ＋4＝0解析 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x 2＋y 2＋3x ＋2y －(x 2＋y 2＋2x ＋6y －4)＝0，即x －4y ＋4＝0．3．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为________． 答案5π6解析 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－33.∴直线l 的倾斜角为5π6.4．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y ＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是________． 答案 (x ＋5)2＋y 2＝5解析 设圆心为(a,0)(a <0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d ＝|a ＋2×0|12＋22＝1，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.5．若过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝________． 答案3解析 如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP . ∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12. ∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝3.6．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 ∵点在圆内，由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小， 此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.7．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则________． 答案 l 与C 相交解析 ∵32＋0－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3,0)在圆内，∴直线l 与圆C 相交．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________． 答案 2 3解析 圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，∴弦AB ＝2r 2－d 2＝2 3.9．设直线l 截圆x 2＋y 2－2y ＝0所得弦AB 的中点为(－12，32)，则直线l 的方程为________；|AB |＝________．答案 x －y ＋2＝0 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋y 21－2y 1＝0，x 22＋y 22－2y 2＝0，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)－2(y 1－y 2)＝0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1． 故l 的方程为y －32＝1·(x ＋12)，即x －y ＋2＝0． 又圆心为(0，1)，半径r ＝1，故|AB |＝2．10．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________． 答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8. 所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8. 11．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件22－(3)2＝1a，即a ＝1.二、解答题12．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程． 解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切，∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |. 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12. ∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 13．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.。

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．常用知识拓展1．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2.3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y ＝r2.4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：选B.因为圆心(0，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22，而0<22<1，所以直线和圆相交，但不过圆心．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D.因点P 在圆上，且圆心Q 的坐标为(2，0)， 所以k PQ ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k ＝33，所以切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.若圆C1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则实数m ＝________． 解析：圆C 1的圆心是原点(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝1＋25－m ＝5，所以m ＝9.答案：9(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|－1－1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2.答案：2 2直线与圆的位置关系(典例迁移)(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(一题多解)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b2＝1a 2＋b2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)． 【答案】 (1)B (2)k ∈(－3，3)[迁移探究] (变条件)若将本例(1)的条件改为“点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1上”，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系如何？解：由点M 在圆上，得a 2＋b 2＝1，所以圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＝1，则直线与圆O 相切．判断直线与圆的位置关系常用的方法[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．1．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝12的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：选A.因为圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1>22，所以直线与圆相离．2．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)解析：选C.因为x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，所以2－b >0，即b <2. 因为直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，所以点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，所以6＋b <0，解得b <－6. 综上，实数b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.圆的切线与弦长问题(多维探究)角度一 圆的切线问题过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0【解析】 因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B. 【答案】 B角度二 圆的弦长问题(1)(2019·湖北省重点中学联考(二))设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0(2)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________．【解析】 (1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，所以|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，因为圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1，1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2，所以（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.(2)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A (－4，－1)．所以|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36.所以|AB |＝6. 【答案】 (1)B (2)6(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2；②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k ；②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .1．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，由直线与圆相切，得d ＝|c |5＝5，c ＝±5，所以所求方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.2．(2019·广西两市联考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心为(a ，b )(a >0，b >0)，半径为r ，则由题可知a ＝2b ，a ＝r ，r 2＝b 2＋3，解得a ＝r ＝2，b ＝1，所以所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4圆与圆的位置关系(典例迁移)(1)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3(2)两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．【解析】 (1)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝9，根据基本不等式可知9＝a 2＋2ab ＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4ab ，即ab ≤94，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选C.(2)由(x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1)－(x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1)＝0得弦AB 所在直线方程为2x －y ＝0. 圆C 2的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝1. 圆心C 2到直线AB 的距离 d ＝|2×（－1）－（－1）|5＝15.所以|AB |＝2r 22－d 2＝21－15＝455. 【答案】 (1)C (2)455[迁移探究] (变条件)若本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切， 得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1.即(a ＋b )2＝1, 又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，并求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定解析：选C.由C 1(m ，－2)，r 1＝3；C 2(－1，m )，r 2＝2； 则两圆心之间的距离为|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝2＋3＝5，解得m ＝2或－5.故选C.2．圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦长为( ) A ．2 B. 3 C ．3D ．4解析：选A.两圆联立错误!解得x －y ＝0.圆C 1可写成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2，0)，半径为3，圆心(2，0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故公共弦长为2（3）2－（2）2＝2.直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。

直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。

直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 如何判断直线与圆的位置关系直线与圆一共有三种位置关系，相离、相切、相交，判断直线与圆的位置关系有两种方法，一种的比较圆心到直线的距离与半径大小，一种是联立方程组，看判别式与0的关系。

例题1 判断直线L ：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O ：922=+y x 的位置关系。

解析：方法一：直线L ：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点)23,21(-p ∵点P 在圆O 内， ∴直线L 与圆O 相交。

方法二：圆心O 到直线L 的距离为当d<3时，)22(9)12(22+<-m m ， ∴0174142>++m m ∴m ∈R 所以直线L 与直线O 相交。

2. 求切线方程例题2 已知点),(00y x p 是圆C ：222r y x =+上一点，求过点P 的圆C 的切线方程。

解析：∵点),(00y x p 是圆C ：222r y x =+上一点，∴22020r y x =+ 当00≠x 且00≠y 时，00x y k cp =，∴00y x k -=， ∴切线方程为)(0000x x y x y y --=-，即2202000r y x y y x x =+=+ （1） ∴切线方程为当P 为(0，r)时，切线方程为y=r ，满足方程(1)； 当P 为(0，-r)时，切线方程为t=-r ，满足方程(1)； 当P 为(r ，0)时，切线方程为x=r ，满足方程(1)； 当P 为(-r ，0)时，切线方程为x=-r ，满足方程(1)； 综上，所求切线方程为200r y y x x =+3. 相交弦问题例题3 若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB 的中点，求直线AB 的方程。

解析：圆心C(1，0)，1-=pc k ， ∵AB ⊥PC ，∴1-=AB k ，且AB 过点P ，∴直线AB的方程为y+1=x-2即y=x-3 。

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二、 直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则： 则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、 两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆） 四、 关于圆的切线的几个重要结论（1） 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=.（2） 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3） 过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4） 求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系 思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例9.28 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________. 分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等于1变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例9.29 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=， （1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式 2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例9.30 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A.解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d 时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==，当直线l CP ⊥时取等号，故max d =.所以max ||4AB ===.故选B评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例9.31 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD == B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例9.32 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________. 解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x ++= 变式 1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系 思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线. 例9.33 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析 将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.由圆的切线的性质，5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例9.34 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析 已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l 的距离1d ==，解得43k =-或34k =-. 所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式 1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系 思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.例9.35 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）分析 过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析 （1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==，||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A. 3B.2C. 变式 2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系 思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则： （1） 两圆外离12r r d ⇔+<； （2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=； （5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例9.36 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系解析 由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上， （1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例9.37 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问. 解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2） 小于两圆圆心距55=， 解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3） 两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A. 1⎡-⎣B. (),11⎡-∞⋃+∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ）A. 221a b +≤B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ） A. []3,1-- B. []1,3- C. []3,1- D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由.。