高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(六十) 定点、定值、探索性问题 理 新人教版

高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测60Word版含解析课时追踪检测 (六十 )[ 高考基础题型得分练 ]1．在区间 [ －2,3]上随机选用一个数X，则 X≤1 的概率为 () 4321A. 5B. 5C.5D.5答案： B分析：在区间 [－2,3]上随机选用一个数X，则 X≤1，即－ 2≤X≤1 3的概率为 P＝5.2．[2017 ·东北三省三校联考 ]实数 m 是[0,6] 上的随机数，则对于x 的方程 x2－mx＋4＝0 有实根的概率为 ()1112A. 4B.3C.2D.3答案： B分析：方程 x2－＋＝有实根，则＝2－×≥，∴≥mx 4 0m 4 40m 4或 m≤－4，又 m∈[0,6]，∴4≤m≤6，∴对于x 的方程 x2－mx＋4＝0 有实根的概率为6－4＝6－013.应选 B.3．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2的概率为 ()1 1A. 6B.32 4C.3D.5答案： C分析：设 AC＝x cm,0＜x＜12，则 CB＝(12－x)cm，要使矩形面积大于 20 cm2，只需 x(12－x)＞20，则 x2－12x＋20＜0，解得 2＜x10－22＜10，所求概率为 P＝12＝3.4．[2017 ·湖北武汉部分学校质检] 如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚好运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为()1 2A. 17B.173 4C.17D.17答案： B分析：∵大正方形的面积是 34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5 和3，则小正方形边长为2，面积为 4，42∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝34＝17.应选 B.5．[2017 ·黑龙江伊春模拟 ]在区间 π πx ，－ ， 2 上随机取一个数6 则 sin x ＋cos x ∈[1，2 ]的概率是 ( )1335A. 2B. 4C.8D.8答案： Bπ π分析： 因为 x ∈－6，2 ，π π 3π所以 x ＋4∈12， 4 ，π由 sin x ＋cos x ＝ 2sin x ＋4 ∈1， 2 ，得2≤sin ＋ ππx ≤1，所以 x ∈， ，2 42π2－0 3故要求的概率为 ππ＝4.2－－6→ ＋6．[2017 ·河南商丘模拟 ]已知 P 是△ ABC 所在平面内一点， PB→→＋2PA ＝0，现将一粒豆随机撒在△ ABC 内，则黄豆落在△ PBC 内PC的概率是 ()1 1A. 4B.31 2 C.2D.3答案： C分析： 以下图，设点 M 是 BC 边的中点，因为→＋→＋→＝，所以点是中线的中点，PB PC 2PA 0P AM所以黄豆落在△PBC 内的概率 P＝S△PBC＝1，应选 C. S△ABC27．[2017 ·河北石家庄一模 ] 已知 O，A，B 三地在同一水平面内，A 地在 O 地正东方向 2 km 处， B 地在 O 地正北方向 2 km 处，某测绘队员在A，B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超出 3 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成扰乱，使丈量结果不正确，则该测绘队员可以获得正确数据的概率是 ()12A. 2B.232C．1－2 D.1－2答案： D分析：在等腰直角三角形 OAB 中， OA＝OB＝2，AB＝2 2.以 O 为圆心，3为半径的圆截 AB 所得的线段长为2，22故该测绘队员可以获得正确数据的概率是1－2 2＝1－2，应选D.8．[2017 ·东北三校第二次联考 ] 有一底面半径为 1，高为 2的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点Q，则点 Q 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________．2答案：3分析：由题意可知，圆柱体积 V＝2π，以点 O 为球心，以 1 为半径，在圆柱内作半球，则半球外的点到点O 的距离大于 1，半球的体2π－2π14π 2π 3 2积 V′＝2×3＝3，所以所求事件概率 P＝2π＝3.9．[2017 ·广东深圳模拟 ]一只小蜜蜂在一个棱长为 4 的正方体内自由飞翔，若蜜蜂在飞翔过程中一直保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1 ，称其为“安全飞翔”，则蜜蜂“安全飞翔”的概率为________．答案：1834－2110．[2017 ·辽宁鞍山检查 ]一只昆虫在边分别为 5,12,13 的三角形地区内随机爬行，则其到三角形极点的距离小于 2 的地方的概率为________．π答案：151分析：以下图，该三角形为直角三角形，其面积为2×5×12＝30，暗影部分的面积为12×π×22＝2π，2ππ所以所求概率为30＝15.11．[2017 ·湖北七市联考 ]AB 是半径为 1 的圆的直径， M 为直径AB 上随意一点，过点 M 作垂直于直径 AB 的弦，则弦长大于 3的概率是 ________．1答案： 2分析：依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小2 3 2 1于1－2＝2，1所以相应的点M 应位于线段 AB 上与圆心的距离小于2的地方，1所求的概率等于2.12．[2017 ·宁夏银川一模 ]已知在圆 (x－2)2＋(y－2)2＝8 内有一平x－4≤0，面地区 E: y≥0，点 P 是圆内的随意一点，并且点 P mx－y≤0，m≥0，出此刻任何一点处是等可能的．若使点P 落在平面地区 E 内的概率最大，则 m＝________.答案： 0分析：以下图，当m＝0 时，平面地区E(暗影部分 )的面积最大，此时点 P 落在平面地区 E 内的概率最大．[ 冲刺名校能力提高练 ]1．已知△ ABC 中，∠ ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在 BC 上任取一点 D，则使△ ABD 为钝角三角形的概率为 ()1 1A.6B.31 2C.2D.3答案： C分析：如图，当 BE＝1 时，∠AEB 为直角，则点 D 在线段 BE(不包括点 B，E)上时，△ABD 为钝角三角形；当 BF ＝4 时，∠BAF 为直角，则点 D 在线段 CF(不包括点 C ，F)上时，△ABD 为钝角三角形．1＋2 1所以△ABD 为钝角三角形的概率为6 ＝2.2．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13 的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个极点的距离都大于1 的地方的概率为 ()4 3A. 5B.5π πC. 60D.3答案： A分析： 由题意可知，三角形的三条边长的和为 5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个极点的距离都大于1 的地方爬行，则它爬行的地区长度为 3＋10＋11＝24，依据几何概型的概率计算公式可得所求概率24 4 为30＝5.3．已知函数 f(x)＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，若从区间 [－5,5]内随机抽取一个实数 x 0，则所取的 x 0 知足 f(x 0)≤0 的概率为 ________．答案： 0.3分析： 令 x 2－x －2≤0，解得－ 1≤x ≤2，2－－13由几何概型的概率计算公式得P ＝5－ －5 ＝10＝0.3.4．已知正方形 ABCD 的边长为 2，H 是边 DA 的中点．在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ，则知足 |PH|< 2的概率为 ________．π 1答案： 8＋4分析： 如图，设 E ，F 分别为边 AB ，CD 的中点，则知足 |PH|< 2的点 P 在△AEH ，扇形 HEF 及△DFH 内，由几何概型的概率计算公式知，1214π 2＋2×1×1×2π 1 所求概率为2×2＝ 8＋4.5．已知向量 a ＝(2,1)，b ＝(x ，y)．(1)若 x ∈{ －1,0,1,2}，y ∈{ －1,0,1} ，求向量 a ∥b 的概率；(2)若 x ∈[ －1,2]，y ∈[ －1,1]，求向量 a ，b 的夹角是钝角的概率．解： (1)设“ a ∥b ”为事件 A ，由 a ∥b ，得 x ＝2y.基本领件空间为 Ω＝{( －1，－ 1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－ 1)，(0,0)， (0,1)，(1，－ 1)，(1,0)，(1,1)， (2，－ 1)， (2,0)，(2,1)} ，共包括 12 个基本领件；此中 A ＝{(0,0) ，(2,1)} ，包括 2 个基本领件．2 1 1则 P(A)＝12＝6，即向量 a ∥b 的概率为 6.(2)因为 x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，则知足条件的所有基本领件所构成的地区如图为矩形ABCD，面积为 S1＝3×2＝6.设“ a，b 的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得 a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.事件B包括的基本领件所组成的区1 1 3域为图中四边形AEFD，面积 S2＝2×2＋2×2＝2，S2 2 1则 P(B)＝S1＝6＝3.1即向量 a，b 的夹角是钝角的概率是3.6．[2017 ·山东潍坊一模 ]甲、乙两家商场对同一种商品展开促销活动，对购置该商品的顾客两家商场的奖赏方案以下：甲商场：顾客转动以下图圆盘，当指针指向暗影部分(图中四个暗影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，界限忽视不计 )即为中奖．高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测60Word版含解析乙商场：从装有 3 个白球、 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加划分 )，假如摸到的是 2 个红球，即为中奖．问：购置该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解：假如顾客去甲商场，试验的所有结果组成的地区为圆盘，面积为πR2(R 为圆盘的半径 )，暗影地区的面积为4×15πR2πR2 360＝ 6.πR261所以，在甲商场中奖的概率为P1＝πR2＝6.假如顾客去乙商场，记盒子中 3 个白球为 a1，a2，a3,3 个红球为b1，b2，b3，记 (x，y)为一次摸球的结果，则全部可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共 15 种，摸到的 2 个球都是红球有 (b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共 3 种，3 1所以在乙商场中奖的概率为P2＝15＝5.因为 P1＜P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。

专题56定点、定值、探索性问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.重点难点突破【题型一】定点问题【典型例题】已知双曲线T1：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线T1的渐近线的距离为．已知点E（2，0）为抛物线T2内一定点，过E作两条直线交抛物线T2于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．（Ⅰ）求抛物线T2的方程；（Ⅱ）若k AB+k CD＝2，证明：直线MN过定点．【解答】（Ⅰ）解：双曲线T1的离心率为，即，则，得到．∴渐近线为y＝±x，又抛物线T2：y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），则焦点到y＝x的距离d，解得p＝1．可得抛物线的方程为y2＝2x．（Ⅱ）证明：由题意知，k AB+k CD＝2，不妨设AB的斜率k AB＝k，则CD的斜率k CD＝2﹣k，∴AB的直线方程是：y＝k（x﹣2），CD的直线方程是y＝（2﹣k）（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2＝0，则x1+x2，x1x2＝4，∴y1+y2＝k（x1﹣2）+k（x2﹣2）＝k（4）﹣4k，∵M是AB的中点，∴点M（2，），同理可得，点N（2，），∴直线MN的方程是：y•（x﹣2），化简得，y，∴直线MN过定点（2，）．【再练一题】已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A（2，0）且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M．（1）求抛物线C1的方程；（2）试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为（1，0），所以p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x，（2）因为点P关于x轴的对称点为M，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，﹣y1），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣2），代入y2＝4x得k2x2﹣4（k2+1）x+4k2＝0，∴x1x2＝4，设直线MQ的方程无y＝mx+n，代入y2＝4x得m2x2﹣（2mn﹣4）x+n2＝0，∴x1x24，∵x1＞0，x2＞0，∴2，即n＝2m，∴直线MQ的方程为y＝m（x+2），故过定点（﹣2，0）．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【题型二】定值问题【典型例题】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问k MN•k OP（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由．【解答】解：（1）抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），∴椭圆C的半焦距为c＝1，又椭圆的离心率e，∴a＝2，则b．∴椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．△＞0即只需n2＜4k2+3．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴P（），∴．∴．【再练一题】已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与椭圆C：有相同的焦点F，且两曲线相交于点，过F作斜率为k（k≠0）的动直线l，交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求抛物线E和椭圆C的方程；（Ⅱ）若A为椭圆C的左顶点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：为定值，并求出该定值．【解答】解：（Ⅰ）两曲线相交于点，可得2p•，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；由两曲线有相同的焦点F（1，0），由椭圆的定义可得2a4，即有a＝2，b，则椭圆方程为1；（Ⅱ）证明：由题意可得A（﹣2，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立椭圆方程可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，可得x1+x2，x1x2，再由k（）4．可得为定值4．思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【题型三】探索性问题【典型例题】已知圆A：x2+y2+2x﹣15＝0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP＝∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2＝16，圆心A（﹣1，0），由已知得|NM|＝|NB|，又|NM|+|NB|＝4，所以|NA|+|NB|＝4＞|AB|＝2，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程C：，则2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b2＝3，所以曲线C：．（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y＝k（x﹣1）与椭圆方程消y 得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理得①，②，由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即，即x1y2+x2y1﹣t（y1+y2）＝0，即2kx1x2﹣（1+t）k（x1+x2）+2tk＝0③，把①、②代入③并化简得，即（t﹣4）k＝0④，所以当k变化时④成立，只要t＝4即可，所以存在定点R（4，0）满足题设．【再练一题】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由得a＝2c，|AF1|＝2，|AF2|＝2a﹣2，由余弦定理得，，解得c＝1，a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），由F2（1，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，由韦达定理得，故，又点N在直线PQ上，，所以．因为MN⊥PQ，所以，整理得，所以存在实数m，且m的取值范围为．思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．基础知识训练1．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月高考冲刺模拟】椭圆C:22221x y a b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点M （0，-1），直线l 经过点N （2，1）且与椭圆C 相交于A,B 两点（异于点M ），记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，证明12k k + 为定值，并求出该定值.【答案】(Ⅰ) 2214x y += (Ⅱ)见证明【解析】（Ⅰ）将x c =代入22221x y a b +=中，由222a cb -=可得422b y a=，所以弦长为22b a，故有22222132b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为：2214x y +=．（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。

配餐作业(六十) 定点、定值、探索性问题(时间：40分钟)1. (2016·山西联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1。

(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得MP →·MQ →＝0。

若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

解析 (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1。

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2。

设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m 。

∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，∴MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ·(4－t )＋3m·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4km(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1。

∴存在点M (1,0)符合题意。

答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)存在点M (1,0)2．(2017·赤峰模拟)已知E (2,2)是抛物线C ：y 2＝2px 上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(不同于点E )，直线EA ，EB 分别交直线x ＝－2于点M ，N 。

听课正文破解难点优质课四定点定值探索性问题破解难点一定点问题1.参数法：参数法解决定点问题的思路：(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k);(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=O之间的关系得到关于k与x,y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点.2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关M M魁汁血1 2蚯凶+("1｝血+幼k i +k 2=+ =+=由题设 k i +k 2=-1，故(2k+1)x i x 2+(m-1)(x i +x 2) =0,4m !4-血D即(2k+i) •+(m-i) • ----------- =0,畑*i用+1m+1解得k=-.【关键2：设出直线|的方程，并与椭圆方程联立消去 y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及条件找到直线 I 中两个参数的关系】ni+1 m+1当且仅当m>-1时,A >0,于是|：y=- ------ x+m ,即y+1 =- ------ (x-2),所以I 过定点(2,-1).【关m+1键3:将k=-代入直线|的方程,变形得到直线所过定点】例1 ［2018 -成都二诊］已知圆O 的方程为x 2+y 2=4,若抛物线C 过点A (-1,0),B (1,0),且以圆 O 的切线为准线,F 为抛物线的焦点，点F 的轨迹为曲线 C'.(1) 求曲线C'的方程.(2) 过点B 作直线l 交曲线C'于P ,Q 两点,P ,P'关于x 轴对称，直线P'Q 是否过x 轴上的定点？ 如果不过，请说明理由；如果过，请求出定点的坐标.［总结反思］(1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量 x ,y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x ,y 的方程组,这个方程组的解所确定的点就A ,B两点若直线P 2A 与直 线P 2B 的斜率的和为 -1，证明:|过定点.设 A (x i ,y i ),B (x 2,y 2),则 X 1+X 2=-,X 1X 2=是直线或曲线所过的定点⑵由直线方程确定定点时，若得到了直线的点斜式方程y-y o=k(x-x o)，则直线必过定点(x o,y o);若得到了直线的斜截式方程y=kx+m,则直线必过定点(0,m).变式题［2018・赣州三模］已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A I,A2,点P(2,1)*孚在椭圆C上，且△ A1PA2的面积为2 .(1) 求椭圆C的方程；1 (2) 设直线I不经过点P且与椭圆C交于A,B两点,若直线PA与直线PB的斜率之积为-，证明:4直线I过定点.破解难点二定值问题1.直接消参求定值：常见定值问题的处理方法:(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变-kbUb故X M ==,y M =kx M +b=.【关键3:利用根与系数的关系及中点在直线 |2 ”韩叫9 ------------------------------------------上求M 的坐标】斜率;若不能，说明理由.2•从特殊到一般求定值：常用处理技巧:(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体 代入，简化运算.例2 ［2018 •威海二模］已知椭圆C :—+」=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F I ,F 2且离心率为一忆事}点M 为椭圆上一动点 △ F I MF 2面积的最大值为.M.(1)证明：直线0M 的斜率 与I 的斜率的乘积为定值.(2)若I 过点r 二，延长线段0M 与C 交于点P ,于是直线0M 的斜率k 0M ^=-,即k 0M • k=-9.【关键4:求直线0M 的斜率并计算四边形OAPB 能否为平行 两直线斜率乘积】四边形？若能，求此时I 的 所以直线0M 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.(1)求椭圆C的标准方程；⑵设A,B分别为椭圆的左、右顶点，过点B作x轴的垂线I I,D为11上异于点B的一点，以线段BD 为直径作圆E,若过点F2的直线12(异于x轴)与圆E相切于点H,且12与直线AD相交于点P试判断|PF i|+|PH|是否为定值,并说明理由.［总结反思］求定值冋题常见的方法有两种：(1) 从特殊值入手，求出定值,再证明这个值与变量无关；(2) 直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值.变式题已知动圆E经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C的方程；(2) 设过点P(1,2)的直线11,12分别与曲线C交于A,B两点，直线11,12的斜率均存在，且倾斜角互补，证明:直线AB的斜率为定值.破解难点三探究、存在性问题存在性问题的解法：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在•要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法方法与思维(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x i,y i),N(x2,y2),直线PM，PN的斜率分别为k i,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0,故X1+X2=4k,x1X2=-4a.【关键1 ：设出P点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系写出M,N横坐标与参数的关系】叶b y r b 2蚯凶檢・b)血+对kfHb)从而k1+k2=一+一= ---------------------------------- = •【关键2:用参数表示PM,PN的斜率和】当b=-a时，有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故/ OPM= / OPN，所以点P(0,-a)符合题意.【关键3:用PM,PN的斜率和等于零说明 / OPM= / OPN，得出定点】(续表案例方法与思维(2)四边形OAPB能为平行四边形•因为直线|过点(里jin)，所以1不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k>0,k［2015 •全国卷q已知椭D圆C：9x2+y2=m2(m>0),直工3 •由(1)得直线0M的方程为y=--x.线1不过原点0且不平行于坐标轴」与C有两个交k点A,B,线段AB的中点为设点P的横坐标为X P,M.(1)证明：直线0M的斜率由”y =一k!m2”【关键1：写出OM的方程,与椭得= ，即XP= ___与1的斜率的乘积为定值•I VFH卄」皿* \圆方程联立求出P点横坐标】(2)若i过点［―」m］，延长m(fi-k)线段0M与C交于点P,将点［―的坐标代入(1)中i的方程得b=-------- ，因此X M= ；加9】【关键2：求四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的点横坐标】斜率;若不能，说明理由•四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即X P=2X M,于是-^=2^■―,【关键3：构造关于k的方1解得k1=4-e，k2=4+\''7.案例［2015 •全国卷I在直角坐标系xOy中，曲线FC：y= _ 与直线Al：y=kx+a(a>0)交于M，N 两占八、、.(1) 当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程•(2) y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/ OPM= / OPN?说明理由•因为k>O,k M 3,所以当|的斜率为4-牯或4+，.牯时,四边形OAPB 为平行四边形例3 ［2018 •重庆三诊］已知椭圆C : +」=1(a>b>0)的离心率为一,经过椭圆C 的右焦点的弦 *护2中最短弦长为2. (1)求椭圆C 的方程.(2)已知椭圆C 的左顶点为A ,O 为坐标原点，以线段AO 为直径的圆上是否存在一条切线l 交JJ椭圆C 于不同的两点 M ,N ,且直线OM 与ON 的斜率的乘积为 一?若存在，求切线l 的方程;若16不存在，请说明理由•［总结反思］探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或 公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立•变式题［2018 •上饶二模］已知抛物线E ：y 2=2px (p>0)的顶点为坐标原点 O ,过抛物线E 的焦 点F 的直线l 与该抛物线交于 M ,N 两点,△ MON 面积的最小值为2.(1)求抛物线E 的标准方程•D ,使过点D 的直线n 与抛物线E 交于B ,C 两点，当 A ,B ,C 三点不共线时，以线段BC 为直径的圆必过点 A ?若存在，求出所有符合条件的点；若不存在，请说明 理由•(2)已知A，是否存在定点。

第3课时 定点、定值、探索性问题【例1y ＝－1相切．(1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．[解] (1)由题意，得点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p 2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：由题知，直线l 的斜率存在，∴设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝kx －2，得x 2－4kx ＋8＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24， 则直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)，即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24.∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，故直线AC 恒过定点(0,2)．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b 消去x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0. 由根与系数的关系得y A y B ＝4b k， 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0，即y 2A 4·y 2B 4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝－32或y A y B ＝0(舍去)．所以y A y B ＝4b k ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．【例2】已知椭圆C：xa2＋yb2＝1，过点A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．[解](1)由椭圆过点A(2,0)，B(0,1)知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为x24＋y2＝1，又c＝a2－b2＝ 3.所以椭圆离心率e＝ca＝3 2.(2)证明：设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4，由B点坐标(0,1)得直线PB方程为：y－1＝y0－1x0(x－0)，令y＝0，得x N＝x01－y0，从而|AN|＝2－x N＝2＋x0y0－1，由A点坐标(2,0)得直线P A方程为y－0＝y0x0－2(x－2)，令x＝0，得y M＝2y02－x0，从而|BM|＝1－y M＝1＋2y0x0－2，所以S四边形ABNM ＝12|AN|·|BM|＝12(2＋x0y0－1)(1＋2y0x0－2)＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋42(x0y0－x0－2y0＋2)＝2x0y0－2x0－4y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝2.即四边形ABNM的面积为定值2.上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【例3】 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3. 此时OA →·OB →＋λOA →·PB →＝－3为定值．②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →·OB →＋λP A →·PB→＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3，故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎨⎧ c ＝2.a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4， 解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在.(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1.又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。

课时跟踪检测(六十) 定点、定值、探索性问题(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分1．已知F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，抛物线上点G (2,2p )满足|GF |＝3. (1)求抛物线的方程；(2)M 点的坐标为(4,0)，过点F 作斜率为k 1的直线与抛物线交于A ，B 两点，A ，B 两点的横坐标均不为4，连接AM ，BM 并延长交抛物线于C ，D 两点，设直线CD 的斜率为k 2，问k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．2．(2015·开封模拟)已知抛物线C ：x 2＝4y .(1)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(2)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．3．(2015·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为N ，是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使点F 为△PQN 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．B 卷：增分提能1．(2014·山东高考改编)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．2．已知直线l：y＝x＋6，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．3．(2014·福建高考)已知曲线Γ 上的点到点F (0,1) 的距离比它到直线y ＝－3 的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点 P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以 MN 为直径作圆C ，过点A 作圆 C 的切线，切点为 B ．试探究：当点 P 在曲线Γ上运动(点 P 与原点不重合)时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．答案A 卷：夯基保分1．解：(1)根据抛物线定义知|GF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 21－y 224＝4y 1＋y 2，同理k 2＝4y 3＋y 4. 设AC 所在直线的方程为x ＝ty ＋4，与y 2＝4x 联立，得y 2－4ty －16＝0，所以y 1y 3＝－16， 同理y 2y 4＝－16，所以k 2＝4－16y 1＋－16y 2＝－14·y 1y 2y 1＋y 2.设AB 所在直线的方程为x ＝my ＋1，与y 2＝4x 联立， 得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4， 所以k 2＝－14·y 1y 2y 1＋y 2＝1y 1＋y 2，所以k 1k 2是定值，且k 1k 2＝4.2．解：(1)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎝⎛⎭⎪⎫其中y 1＝x 214，y 2＝x 224， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 故直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(2)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2， 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.3．解：(1)设F (c,0)，则ca ＝22，知a ＝2c . 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为x ＝c ，代入椭圆方程，有－c2a 2＋y 2b2＝1，解得y ＝±22b . 于是2b ＝2，解得b ＝1. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝2，c ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为N (0,1)，F (1,0)，所以k NF ＝－1.由NF ⊥PQ ，知k PQ ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.由Δ＞0，得m 2＜3，且x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，有u u u rNP ·u u u r FQ ＝0.因为u u u rNP ＝(x 1，y 1－1)，u u u r FQ ＝(x 2－1，y 2)， 所以x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0， 即x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 所以2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0， 于是2×2m 2－23－43m (m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1.经检验，当m ＝1时，△PQN 不存在，故舍去m ＝1. 当m ＝－43时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y ＝x －43.B 卷：增分提能1．解：(1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)， 因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)． 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 2≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1，0)．当y 20＝4时，直线AE的方程为x ＝1，过点F (1，0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．2．解：(1)设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为22，所以b ＝ 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，又b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2. ∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 整理得y ＝kx ＋y 0－kx 0， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋y 0－kx 0，y 23＋x22＝1，消去y 得2[kx ＋(y 0－kx 0)]2＋3x 2－6＝0，整理得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∵l 0与椭圆E 相切，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0， 整理得(2－x 20)k 2＋2x 0y 0k －(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝－y 20－32－x 20.∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5， ∴k 1k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线斜率之积为常数－1.3．解：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0，3.又N (0,3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．。

课时质量评价(五十二)(建议用时 : 45分钟) A 组 全考点巩固练1．(2021·榆林市高三二模)已知AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦 , O 是原点 , 那么OA →·OB →＝( )A ．－2B ．－4C ．3D ．－3D 解析 : 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 214 y 1 , B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 224 y 2 , 故OA →·OB →＝y 21y 2216＋y 1y 2. 易知直线斜率不为0 , 设AB : x ＝my ＋1 , 联立方程⎩⎨⎧x ＝my ＋1y 2＝4x得到y 2－4my －4＝0 , 故y 1y 2＝－4 , 故OA →·OB →＝y 21y 2216＋y 1y 2＝－3.2．已知直线x －y ＋1＝0与双曲线x 2a ＋y 2b ＝1(ab ＜0)相交于P , Q 两点 , 且OP ⊥OQ (O为坐标原点) , 那么1a ＋1b＝( )A ．1B ． 2C ．2D ．5 C 解析 : 设P (x 1 , y 1) , Q (x 2 , y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x 2a ＋y2b ＝1整理得(a ＋b )x 2＋2ax ＋a －ab ＝0 , 所以x 1＋x 2＝－2aa ＋b , x 1x 2＝a －aba ＋b,y 1y 2＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝b －aba ＋b .由OP ⊥OQ , 得OP →·OQ →＝0 , 得x 1x 2＋y 1y 2＝0 ,所以a －ab a ＋b ＋b －ab a ＋b ＝0 , 即2ab a ＋b ＝1 , 那么ab a ＋b ＝12 ,所以1a ＋1b ＝b ＋a ab＝2 , 应选C ．3．(2020·新余一中月考)过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条垂直的弦AB , CD , 那么1|AB |＋1|CD |＝( ) A ．2 B ．4 C ．12 D ．14D 解析 : 由抛物线y 2＝4x , 可知2p ＝4.设l AB 的倾斜角为θ , 那么l CD 的倾斜角为π2＋θ(θ为锐角)或θ－π2(θ为钝角) , 过焦点的弦|AB |＝2psin 2θ , |CD |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝2pcos 2θ或|CD |＝2psin 2⎝⎛⎭⎫θ－π2＝2p cos 2α , 所以1|AB |＋1|CD |＝sin 2θ2p ＋cos 2θ2p ＝14.应选D ． 4．(2020·泰安高三月考)已知F 1 , F 2分别为椭圆x 216＋y 28＝1的左、右焦点 , M 是椭圆上的一点 , 且在y 轴的左侧 , 过点F 2作∠F 1MF 2的平分线的垂线 , 垂足为N .假设|ON |＝2(O 为坐标原点) , 那么|MF 2|－|MF 1|等于( )A ．4B ．2C ．32 D ．332A 解析 : 延长F 2N 交MF 1的延长线于点P , 如下列图．因为MN 为∠F 1MF 2的平分线 , 且F 2N ⊥MN , 所以|MF 2|＝|MP | ,所以|MF 2|－|MF 1|＝|MP |－|MF 1|＝|F 1P |. 因为O , N 分别为F 1F 2 , F 2P 的中点 , 所以ON 为△PF 1F 2的中位线 ,所以|ON |＝12|F 1P |＝2 , 所以|MF 2|－|MF 1|＝|F 1P |＝2|ON |＝4.5．(2020·亳州市高三二模)已知F为椭圆C: x225＋y216＝1的左焦点 , O为坐标原点 , 点P在椭圆C上且位于x轴上方 , 点A(－3,4)．假设直线OA平分线段PF , 那么∠P AF的大小为()A．60°B．90°C．120°D．无法确定B解析 : 设椭圆的上顶点为B(0,4) , 因为A(－3,4) , F(－3,0)．故AF⊥x轴 , AB⊥y轴．那么四边形ABOF为矩形 , 所以当P在点B处时满足直线OA平分线段PF.故∠P AF＝∠BAF＝90°.6．(多项选择题)(2020·青岛市高三模拟)设A , B是抛物线y＝x2上的两点 , O是坐标原点 , 以下结论成立的是()A．假设OA⊥OB , 那么|OA||OB|≥2B．假设OA⊥OB , 那么直线AB过定点(1,0)C．假设OA⊥OB , 那么点O到直线AB的距离不大于1D．假设直线AB过抛物线的焦点F , 且|AF|＝13 , 那么|BF|＝1ACD解析 : 对于B项 , 设直线AB的方程为y＝kx＋b , A(x1 , y1) , B(x2 , y2)．将直线AB的方程代入抛物线方程y＝x2 , 得x2－kx－b＝0 , 那么x1＋x2＝k , x1x2＝－b.因为OA⊥OB , 所以k OA·k OB＝x1x2＝－b＝－1 , 所以b＝1.于是直线AB的方程为y＝kx＋1 , 该直线过定点(0,1)．故B不正确．对于C项 , 点O到直线AB的距离d＝11＋k2≤1 , C正确．对于A项 ,|OA||OB|＝(x21＋y21)(x22＋y22)＝(x21＋x41)(x22＋x42)＝(1＋x 21)(1＋x 22)＝1＋x 21＋x 22＋x 21x 22＝2＋x 21＋x 22＝4＋(x 1＋x 2)2.所以|OA |·|OB |≥2正确． 对于D 项 , 由题得y 1＋14＝13.所以y 1＝112 , 所以112＝x 2 , 得x ＝±36.不妨取x ＝36. 所以k ＝112－1436＝－33 , 所以直线AB 的方程为y ＝－33x ＋14 , 所以b ＝14.由题得|AB |＝y 1＋14＋y 2＋14＝y 1＋y 2＋12＝k (x 1＋x 2)＋2b ＋12＝k 2＋2b ＋12－13＋12＝43.所以|BF |＝43－13＝1.所以D 正确． 7．(2020·昆明市高三模拟)已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 , F 2 ,点A , B 分别为椭圆的上、下顶点 , 直线AF 1与椭圆C 的另一个交点为E .假设∠F 1AF 2＝60° , 那么直线BE 的斜率为________．－34 解析 : 由∠F 1AF 2＝60° , 得a ＝2c , b ＝a 2－c 2＝3c .设E (m , n ) , 即有m 2a 2＋n 2b2＝1 ,那么n 2－b 2m 2＝－b 2a2.因为A (0 , b ) , B (0 , －b ) ,所以k EA ·k EB ＝n －b m ·n ＋b m ＝n 2－b 2m 2＝－b 2a 2＝－34.又k EA ＝k AF 1＝b c ＝ 3 , 所以k EB ＝－34. 8．(2020·东北三省四市教研联合体高考模拟)点P (1 , t )(t >0)是抛物线C : y 2＝4x 上一点 , F 为C 的焦点．(1)假设直线OP 与抛物线的准线l 交于点Q , 求△QFP 的面积 ;(2)过点P 作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M , N 两点 , 证明 : 直线MN 的斜率是定值．(1)解 : 将P (1 , t )代入y 2＝4x 得t ＝2 , 那么直线OP : y ＝2x , 准线l : x ＝－1 , 所以Q (－1 , －2)．所以S △QFP ＝12|OF ||y P －y Q |＝2 ,(2)证明 : 设M (x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2)．由题可知 , k MP ＋k NP ＝0 , 所以y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝0 , 所以y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝0 , 所以4y 1＋2＋4y 2＋2＝0 , 所以y 1＋y 2＝－4 , 所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.9．在平面直角坐标系xOy 中 , M 为直线y ＝x －2上一动点 , 过点M 作抛物线C : x 2＝y 的两条切线MA , MB , 切点分别为A , B , N 为AB 的中点．(1)证明 : MN ⊥x 轴．(2)直线AB 是否恒过定点 ？假设是 , 求出这个定点的坐标 ; 假设不是 , 请说明理由．(1)证明 : 设切点A (x 1 , x 21) , B (x 2 , x 22) , y ′＝2x ,所以切线MA 的斜率为2x 1 , 切线MA : y －x 21＝2x 1(x －x 1)． 设M (t , t －2) , 那么有t －2－x 21＝2x 1(t －x 1) , 化简得x 21－2tx 1＋t －2＝0. 同理可得x 22－2tx 2＋t －2＝0.所以x 1 , x 2是方程x 2－2tx ＋t －2＝0的两根 , 所以x 1＋x 2＝2t , x 1x 2＝t －2 ,所以x N ＝x 1＋x 22＝t ＝x M , 所以MN ⊥x 轴．(2)解 : 因为y N ＝12(x 21＋x 22)＝12(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝2t 2－t ＋2 , 所以N (t,2t 2－t ＋2)．因为k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝2t ,所以直线AB : y －(2t 2－t ＋2)＝2t (x －t ) ,即y －2＝2t ⎝⎛⎭⎫x －12 , 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 2.B 组 新高考培优练10．(2020·武汉市外国语学校高三模拟)已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1 , F 2 , 且F 1是圆x 2＋y 2－42x ＋7＝0的圆心 , 点H 的坐标为(0 , b ) , 且△HF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在直线y ＝2x ＋t 与椭圆C 相交于M , N 两点 , 使得直线HM 与HN 的斜率之和为1 ？假设存在 , 求此时的直线方程 ; 假设不存在 , 请说明理由．解 : (1)由x 2＋y 2－42x ＋7＝0 , 可得(x －22)2＋y 2＝1 ,那么圆心坐标为(2 2 , 0) , 即F 1(2 2 , 0) , 所以半焦距c ＝2 2. 因为△HF 1F 2的面积为2 2 , 所以12·b ·2c ＝2 2 , 所以b ＝1 ,所以a 2＝b 2＋c 2＝9 ,所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)假设存在这样的直线满足题设条件． 设M (x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋tx29＋y 2＝1消去y 可得37x 2＋36tx ＋9(t 2－1)＝0 ,所以Δ＝(36t )2－4×37×9(t 2－1)>0 , 解得－37<t <37 ,x 1＋x 2＝－36t37 , x 1x 2＝9t 2－937.由(1)知 , H (0,1) , 那么当t ＝1时 , 直线y ＝2x ＋1过点H , 不合题意 , 故t ≠1. 令k HM ＋k HN ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2x 1＋t －1x 1＋2x 2＋t －1x 2＝4x 1x 2＋(t －1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝4－4t (t －1)t 2－1＝1.解得t ＝3 , 因此所求直线方程为y ＝2x ＋3.11．(2020·肥东高中高三二模)已知椭圆C 1 , 抛物线C 2的焦点均在x 轴上 , C 1的中心和C 2的顶点均为原点O , 从每条曲线上取两个点 , 将其坐标记录于下表中 :x 3 －2 4 2 y－23－422(1)求椭圆C 1 , 抛物线C 2的标准方程．(2)请问是否存在直线l 满足条件 : ①过C 2的焦点F ; ②与C 1交不同两点M , N 且满足OM →⊥ON →？假设存在 , 求出直线l 的方程 ; 假设不存在 , 说明理由．解 : (1)设抛物线C 2 : y 2＝2px (p ≠0) , 那么有y 2x＝2p (x ≠0)．据此验证4个点知(3 , －23) , (4 , －4)在抛物线上 , 易求抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .设椭圆C 1 : x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) ,把点(－2,0) , ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 22代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝12a 2＋12b 2＝1解得⎩⎨⎧a 2＝4b 2＝1所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)(方法一)假设存在这样的直线l 过抛物线焦点F (1,0)．设直线l 的方程为x －1＝my , 两交点坐标为M (x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝myx24＋y 2＝1消去x ,得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0 ,所以y 1＋y 2＝－2mm 2＋4 , y 1y 2＝－3m 2＋4, ①x 1x 2＝(1＋my 1)(1＋my 2)＝1＋m (y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2＝1＋m ·－2m m 2＋4 ＋m 2·－3m 2＋4＝4－4m 2m 2＋4.②由OM →⊥ON → , 即OM →·ON →＝0 , 得x 1x 2＋y 1y 2＝0.③将①②代入③式 , 得4－4m 2m 2＋4＋－3m 2＋4＝0 ,解得m ＝±12.所以存在直线l 满足条件 , 且l 的方程为y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2. (方法二)容易验证当直线l 的斜率不存在时 , 不满足题意．当直线l 斜率存在时 , 假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)．设其方程为y ＝k (x －1) , 与椭圆C 1的交点坐标为M (x 1 , y 1) , N (x 2 , y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝k (x －1)消去y ,得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0. 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2 , x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2, ①y 1y 2＝k (x 1－1)×k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2.② 由OM →⊥ON → , 即OM →·ON →＝0 , 得x 1x 2＋y 1y 2＝0.③将①②代入③式 , 得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0 , 解得k ＝±2.所以存在直线l 满足条件 , 且l 的方程为y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.。

高三数学一轮复习——定点、定值、开放问题课时训练基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM→|＝1，且OM →·PM→＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125 C.4 D.5解析 由OM →·PM→＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125.答案 B2.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( )A.2B.3C. 3D. 6解析 由题意知，e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝2⇒b 2＝3a 2，则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x 0，y 0)(x 0≠±m )，则B (－m ，－n )，k 1·k 2＝y 0－n x 0－m ·y 0＋n x 0＋m ＝y 20－n 2x 20－m 2＝3x 20－3a 2－3m 2＋3a 2x 20－m 2＝3.答案 B3.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A.(－3，0)B.(0，－3)C.(3，0)D.(0，3)解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.设直线l ：x ＝my ＋b ，代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点为(－3，0).答案 A4.(2019·北京通州区模拟)设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作抛物线C ：y 2＝4x 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，F 是抛物线的焦点，直线QF 的斜率为k 0，则下列结论正确的是( )A.k 1－k 2＝k 0B.k 1k 2＝2k 0C.k 1－k 2＝2k 0D.k 1＋k 2＝2k 0解析 设点Q (－1，t )，由过点Q 的直线y －t ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －t ＝k （x ＋1），整理得k 2x 2＋2(k 2＋kt －2)x ＋(k ＋t )2＝0，则Δ＝4(k 2＋kt －2)2－4k 2(k ＋t )2＝0，化简得k 2＋tk －1＝0.显然k 1，k 2是关于k 的方程k 2＋tk －1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－t .又k 0＝－t 2，故k 1＋k 2＝2k 0.答案 D5.(2019·长春监测)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A.1B.2C.4D.12解析 如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，。

课时规范练70 定点与定值问题1.(2024·北京平谷模拟)已知椭圆E:=1(a>b>0)经过A(-2,0),B(-1,)两点,设过点P(-2,1)的直线与椭圆E交于M,N两点,过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T,点H满意.(1)求椭圆E的方程;(2)证明:直线HN过定点.2.(2024·河北邯郸模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)过P1(2,0),P2(0,4),P3(-2,3),P4(2,3)四个点中的三个点.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,且P1A⊥P1B,求证:直线l经过一个不在双曲线C上的定点,并求出该定点的坐标.3.(2024·安徽黄山模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为焦点,若圆E:(x-1)2+y2=16与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=4,(1)求抛物线C的方程;(2)若点P为圆E上随意一点,且过点P可以作抛物线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N.求证:|MF|·|NF|恒为定值.4.(2024·广东梅州模拟)已知动圆M经过定点F1(-,0),且与圆F2:+y2=16内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B,点P为轨迹C上异于点A,B的动点,设PB交直线x=4于点T,连接AT交轨迹C于点Q.直线AP,AQ的斜率分别为k AP,k AQ.①求证:k AP·k AQ为定值;②证明直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标.课时规范练70定点与定值问题1.(1)解因为椭圆E经过A(-2,0),B(-1,)两点,则解得a2=4,b2=3,所以椭圆E的方程为=1.(2)证明因为A(-2,0),B(-1,),所以AB:y=(x+2),①假设过点P(-2,1)的直线过原点,则y=-,代入=1,可得M(-),N(,-),当x=-时,代入AB的方程y=(x+2),可得y=(2-)=3-,即T(-,3-),由,得到H(-,-+6).求得HN的方程为y=(x+2),过点(-2,0).②分析知过点P(-2,1)的直线斜率确定存在,设直线方程为kx-y+2k+1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2).联立消去y,整理得(4k2+3)x2+(16k2+8k)x+4(4k2+4k-2)=0,Δ=(16k2+8k)2-16(4k2+3)(4k2+4k-2)=16(6-12k)>0,即k<可得所以y1+y2=k(x1+x2)+4k+2=,y1y2=(kx1+2k+1)(kx2+2k+1)=k2x1x2+(2k2+k)(x1+x2)+4k2+4k+1=,且x1y2+x2y1=x1(kx2+2k+1)+x2(kx1+2k+1)=2kx1x2+(2k+1)(x1+x2)=(*)联立可得T(x1,(x1+2)),因为点H满意,所以T为MH的中点,可得H(x1,3(x1+2)-y1).可求得此时HN:y-y2=(x-x2),假设直线HN过定点(-2,0),将(-2,0)代入,整理得-6(x1+x2)+2(y1+y2)+x1y2+x2y1-3x1x2-12=0,将(*)代入,得96k2+48k+24k+12-24k-48k2-48k+24-48k2-36=0,明显成立.综上,可得直线HN过定点(-2,0).2.(1)解依据双曲线的对称性可知P3(-2,3),P4(2,3)关于y轴对称,所以P3,P4必同时在双曲线上,而P2(0,4)不行能在双曲线=1上.则双曲线还经过点P1(2,0),则=1,即a2=4.将点P3(-2,3)代入=1,有=1,可得b2=1.所以双曲线C的方程为-y2=1.(2)证明 (ⅰ)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得(1-4k2)x2-8kmx-4m2-4=0.由(*)x1+x2=,x1x2=因为P1(2,0),所以=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).因为P1A⊥P1B,所以=0,即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,所以x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+4+m2=0,所以(1+k2)+(km-2)+4+m2=0,化简得3m2+16km+20k2=0,即(3m+10k)(m+2k)=0,所以m=-k或m=-2k,且均满意(*).当m=-2k时,直线l的方程为y=k(x-2),直线l过定点(2,0),即点P1,不符合题意,舍去;当m=-k时,直线l的方程为y=k(x-),直线l过定点(,0),符合题意.(ⅱ)当直线l的斜率不存在时,设l的方程为x=n(|n|>2),设A(x A,y A),B(x B,y B).由解得依题意,因为P1A⊥P1B,P1(2,0),所以|y A|=|n-2|,即=(n-2)2,所以-1=n2-4n+4,即3n2-16n+20=0,解得n=2(舍去)或n=,所以直线l的方程为x=,直线l过点(,0).综上所述,直线l经过一个不在双曲线C上的定点,定点的坐标为(,0).3.(1)解由题意可知E(1,0),半径为r=4,因为圆的圆心以及抛物线的焦点均在x轴上,故由对称性可知AB垂直x轴,设垂足为点D.在直角三角形ADE中,|DE|==2.因此|OD|=|OE|+|DE|=3,故A(3,2),将其代入抛物线方程中,得12=6p,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.(2)证明令P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),设抛物线在点M处的切线方程为x-x1=m(y-y1),与y2=4x联立消去x,整理得y2-4my+4my1-4x1=0,①由Δ=16m2-4(4my1-4x1)=0,得4my1-4x1=4m2,代入①,得y1=2m,故在点M处的切线方程为x-x1=(y-y1),即为y1y=2x+2x1.同理,点N处的切线方程为y2y=2x+2x2,而两切线交于点P(x0,y0),所以有y0y1=2x0+2x1,y0y2=2x0+2x2,则直线MN的方程为2x-y0y+2x0=0.由消去x,整理得y2-2y0y+4x0=0,所以y1+y2=2y0,y1y2=4x0.于是|MF|·|NF|=(x1+1)(x2+1)=+1=-2×4x0]+1=又点P(x0,y0)在圆E:(x-1)2+y2=16上,所以=16,即|MF|·|NF|=16.4.(1)解设动圆的半径为r,由题意得圆F2的圆心为F2(,0),半径R=4,所以|MF1|=r,|MF2|=R-r,则|MF1|+|MF2|=4>2=|F1F2|.所以动点M的轨迹C是以F1,F2为焦点,长轴长为4的椭圆.因此轨迹C的方程为+y2=1.(2)证明①设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).由(1)知A(-2,0),B(2,0),如图所示.则k AP=,k AQ=k AT=设直线BP的斜率是k BP,则k BP=,于是m=,所以k AP·k AQ=又=1,则(4-),因此k AP·k AQ==-,为定值.②设直线PQ的方程为x=ty+n,P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去x,整理得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0,Δ=4t2n2-4(t2+4)(n2-4)=16(t2-n2+4)>0,即t2-n2+4>0,所以由①可知,k AP·k AQ=-,即=-,化简得=-,即n2+n-2=0,解得n=1或n=-2(舍去),当n=1时符合题意,所以直线PQ的方程为x=ty+1,因此直线PQ经过定点(1,0).。