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解线性方程Jacobi 迭代法解线性方程有两种方法：直接法和间接法.迭代法属于后者.考虑方程组 Ax=b ，其中()n n ij A a R ⨯=∈，为非奇异矩阵.下面讨论如何建立Jacobi 迭代法. 将A 分裂为 A=M-N ，其中，M 为可选择的非奇异矩阵，且使Mx=b 容易求解，一般选择为A 的某种近似，称为M 的分裂矩阵.于是，求解Ax=b 转化为求解Mx=Nx+b,即求解11.Ax b x MNx Mb --=⇔=+设0(1,2,,),ii a i n ≠= 并将A 写为三部分121,1111212,12221,11,21,12,100000000n n n nn n n n nn n n n n a a a a a a a a A a a a a aa a ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦=D-L-U. 于是().Ax b D L U x b =⇔--=即11().x DL U x D b --=++所以解Ax=b 的基本迭代公式为(0)(0)(0)1(1)()1(,,),()/(1,2,,)(0,1,).n nk k i iij j ii j j i x x x x b a x a i n k +=≠⎧=⎪⎪⎨=-==⎪⎪⎩∑ 由上式可知，Jacobi 迭代法计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程原始矩阵A 始终不变.定理 (迭代法基本定理) 设有方程组 x=Bx+f,及一阶定常迭代法(1)().k k xBxf +=+对任意选取初始向量x,迭代法收敛的充要条件是矩阵B 的谱半径() 1.B ρ< 证明：#include<stdio.h> #include<math.h> #define N 3double fanshu(double a[N],double b[N]) {int i;double c=0;for(i=0;i<N;i++)c+=fabs(a[i]-b[i]); return c; }void f(double x1[N],double a[N][N],double b[N]) {int i,j,k=0;//k是迭代的次数double sum,x2[N];//x2[N]记录下一次的x1[N] for(i=0;i<N;i++)x2[i]=x1[i];while(1){k++;for(i=0;i<N;i++){sum=0;for(j=0;j<N;j++)if(j!=i)sum+=a[i][j]*x2[j];x1[i]=(b[i]-sum)/a[i][i];}printf("k=%d ",k);for(i=0;i<N;i++)printf("%lf ",x2[i]);for(i=0;i<N;i++)printf("%lf ",x1[i]);printf("\n");if(fanshu(x1,x2)<=1e-5)break;for(i=0;i<N;i++)x2[i]=x1[i];}}main(){int i,j;double x1[N]={0},a[N][N],b[N];for(i=0;i<N;i++)scanf("%lf",&b[i]);for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);f(x1,a,b);printf("最后的结果是x1=");for(i=0;i<N;i++)printf("%lf ",x1[i]);}。
对称矩阵特征值反问题的最佳逼近解的一种数值解法何欢;孙合明;左环【摘要】利用复合最速下降法,给出了对称矩阵特征值反问题AX=XΛ有解和无解两种情况下最佳逼近解的通用数值算法,对任意给定的初始矩阵A0,经过有限步迭代可以得到对称矩阵特征值反问题的最佳逼近解,并分别给出有解和无解两种情况下的数值实例,证明了此算法的可行性.另外,结合投影算法,可以用此算法来求解其它凸约束下矩阵特征值反问题的最佳逼近解,从而扩大了此算法的求解范围.%By applying the hybrid steepest descent method, this paper gives a general numerical algorithm to find the optimal approximation solution to inverse eigenvalue problem, AX = X(A), for symmetric matrices. For any given initial matrix, the optimal approximation can be derived by finite iteration steps. Some numerical examples are provided to illustrate the feasibility of the algorithm. Moreover, combined with projection algorithm, the numerical algorithm can also be used to calculate the optimal approximation solution to other convex constrained inverse eigenvalue problem, thus extending the applicable scope of this algorithm.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)004【总页数】5页(P473-477)【关键词】复合最速下降法;特征值反问题;最佳逼近【作者】何欢;孙合明;左环【作者单位】河海大学理学院,江苏南京211100;河海大学理学院,江苏南京211100;河海大学理学院,江苏南京211100【正文语种】中文【中图分类】O24特征值反问题及其最佳逼近已被广泛地研究与应用.L.Zhang［1］首次提出特征值反问题的对称解及其最佳逼近问题;Z.Y.Peng［2］用谱分解的方法解决了厄尔米特反自反矩阵的特征值反问题及其最佳逼近;郭丽杰等［3］和梁俊平等［4］利用矩阵的奇异值分解解决了二次特征值反问题对称解及其最佳逼近;Y.B.Deng等［5］讨论了对称矩阵的特征值反问题有解的条件，并在有解的情况给出了通解形式及其最佳逼近;F.Z.Zhou等［6］研究了正交对称矩阵的特征值反问题有解的条件及其最佳逼近;于蕾等［7］利用正交对称矩阵的特殊性质，给出了一类对称正交反对称矩阵特征值反问题的最佳逼近解的数值算法;Z.Y.Liu等［8］解决了中心厄尔米特矩阵特征值反问题及其最佳逼近;S.F.Yuan等［9］研究了在谱约束下三对角化对称和三对角化双对称矩阵的特征值反问题及其最佳逼近;郭丽杰［10］和陈亚波［11］利用奇异值分解分别得出子矩阵约束下矩阵特征值反问题的对称、反对称解及其最佳逼近.本文拟给出凸约束下的矩阵特征值反问题最佳逼近解的通用数值解法.记Rn×m表示全体实n×m矩阵的集合，Rn×n代表全体实对称n×n矩阵的集合，AT是A的转置矩阵，‖·‖F表示矩阵的Frobenius范数，H代表一实希尔伯特空间.下面给出特征值反问题及其最佳逼近问题.问题1(a) 给定矩阵X∈Rn×m，Λ=diag(λ1，…，λm)∈Rm×m，求A∈Rn×n使得由于实际情况下X和Λ来自实验数据，所以问题1(a)通常无解.问题1(b) 给定矩阵X∈Rn×m，Λ=diag(λ1，…，λm)∈Rm×m，求A∈Rn×n使得问题2 假设SE是问题1解的集合，对给定的∈Rn×n，求A*∈SE使得复合最速下降法［12-14］作为一个三步优化算法，首次提出是为了最小化实希尔伯特空间里非扩展映射不动点集合上的一些凸函数.目前复合最速下降法已经被成功地用来计算对于给定的对称矩阵的最佳逼近解［15］，以及被成功应用到图像记忆［16］.本文拟利用复合最速下降法，求问题1有解和无解两种情况下问题2的最佳逼近解A*.1 用复合最速下降法求解问题2定义1.1 设U为H的一个开子集，映射Φ：H→R∪{∞}，如果对于所有的u∈U，存在a(u)∈H使得则称映射Φ：H→R∪{∞}是Gateaux可微，称Φ'：U→H：u|→a(u)为Φ在U上的Gateaux导数.定义1.2 映射T：H→H，若则映射T：H→H为非扩展映射.特别地，若存在非空集合S⊂H，κ＞0，使得对于所有的x，y∈S，恒有则T：H→H在S⊂H上κ-Lipschitzian.定义1.3 非空集合S⊂H，映射Φ：H→H在S⊂H上是单调的，如果存在η＞0，使得对于所有的u，v∈S，恒有则称Φ：H→H在S⊂H上η-强单调.设则Ψ(A)=min，Θ(A)=min，分别与问题1和问题2等价.易知其中，B=XΛ.要求解问题2，首先，证明下面的引理.引理1.4 Ψ(A)是凸函数.证明∀A1，A2∈SRn×n，α∈［0，1］，则有所以引理1.4得证.引理1.5 Θ(A)是凸函数.证明∀A1，A2∈Rn×n，α∈［0，1］，则有所以引理1.5得证.引理1.6 Ψ'(A)满足κ-Lipschitzian.证明Ψ'(A)=AXXT-BXT，其中，B=XΛ，则有其中，κ=‖X‖2，所以引理1.6得证.引理1.7 Θ'(A)满足γ-Lipschitzian且η-强单调.证明那么存在γ≥1，0＜η≤1满足引理1.7得证.定理 1.8(复合最速下降法［12-13］) 设 T：H→H是一非扩展映射，且Fix(T)≠Ø.假设Θ：H→R∪{∞}是一凸函数，Θ'：H→H在T(H)上满足γ-Lipschitzian和η-强单调.如果非负实数序列(λn)n＞1⊂［0，∞)满足：或者(λn)n＞1⊂［0，∞)满足：那么对任意的u0∈H，强收敛到唯一解u*∈Fix(T)，且定理1.9［14］设K⊂H是一闭凸子集.假设(I)Ψ：H→R∪{∞}是Gateaux可微凸函数，其G-导数Ψ'：H→H满足κ-Lipschitzian;(II)Θ：H→R∪{∞}是Gateaux可微凸函数，其G-导数Θ'：H→H在T(H)上γ-Lipschitzian和η-强单调，则T：=PK(I-vΨ')是非扩展映射，其中，v∈(0，2/κ］. 另外如果则对任意的u0∈H，应用复合最速下降法迭代公式un+1：=T(un)-λn+1Θ'(T(un))得到的序列(un)n＞1强收敛到点.当问题1的解集SE非空时，很容易得到SE是一个闭凸集［17］.定理1.10 令那么KΨ是一个闭凸集;Ψ(A)为凸函数且其G-导数Ψ'(A)满足κ-Lipschitzian;Θ(A)为凸函数且其G-导数Θ'(A)满足γ-Lipschitzian;并且η-强单调.对任意的v∈(0，2/κ］，T：=PK(I-vΨ')是非扩展映射应用复合最速下降法得到的序列(An)n＞1强收敛到点即问题2的解，其中T(An)=PK(An-v(AnXXT-BXT))，PK是到凸集K的投影，λn+1满足定理1.8的条件.证明该定理的条件已证明，仅需证明迭代公式如下：其中定理1.10得证.2 算法和数值例子根据定理1.10，得到下面的数值算法，可以求问题2的解A*.算法2.11)输入2)随机选择初始矩阵A0;3)计算B=XΛ;4)计算κ=‖X‖2，v=1/κ，n=0;5)λn+1=1/(n+1)，根据计算An+1，其中6)若‖An+1-An‖≤10-10，A*=An+1，停止迭代;否则，令n=n+1，转5).现在将给出一些数值例子来说明结果，所有的实验数据都由Matlab 7.0计算得到. 例2.2取得到问题2的解A*，并且得到‖A*X-XΛ‖=说明：例2.2中的X和Λ通过某一已知矩阵的特征值分解所得，结果表明在问题1有解的情况下此算法是可行的.例2.3 取X、Λ和并求得A*的值并有8.861 1.说明：例2.3表明通过取部分特征值和特征向量(问题1无解的情况)此算法是可行的.通过上面的例子表明提出的数值算法用来求解问题2是可行的.进而，可以用此算法去求解其它凸约束下的矩阵特征值反问题最佳逼近解.参考文献［1］Zhang L.A class of inverse eigenvalue problems of symmetric matrices［J］.Num Math J Chin Univ，1990，12(1)：65-71.［2］Peng Z Y.The inverse eigenvalue problem for Hermitian anti-reflexive matrices and its approximation［J］.Appl Math Comput，2005，162：1377-1389.［3］郭丽杰，周硕.二次特征值反问题的对称次反对称解及其最佳逼近［J］.吉林大学学报：理学版，2009，47(6)：1185-1190.［4］梁俊平，卢琳璋.二次特征值反问题的中心斜对称解及其最佳逼近［J］.福建师范大学学报：自然科学版，2006，22(3)：10-14.［5］Deng Y B，Hu X Y，Zhang L.The solvability conditions for the inverse eigenvalue problem of the symmetrizable matrices［J］.J Comput ApplMath，2004，163：101-106.［6］Zhou F Z，Hu X Y，Zhang L.The solvability conditions for the inverse problems of symmetric ortho-symmetric matrices［J］.Appl Math Comput，2004，154：153-166.［7］于蕾，张凯院，周丙常.一类对称正交反对称矩阵反问题的最佳逼近［J］.数学的实践与认识，2008，38(8)：158-163.［8］Liu Z Y，Tan Y X，Tian Z L.Generalized inverse eigenvalue problemfor centrohermitian matrices［J］.J Shanghai Univ：Eng 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Imaging.Contemporary Mathematics，2002，313：269-305. ［15］Slavakis K，Yamada I，Sakaniwa putation of symmetric positive definite Toeplitz matrices by the hybrid steepest descent method ［J］.Signal Processing，2003，83：1135-1140.［16］Sun H M，Hasegawa H，Yamada I.Multidimensional associative memory neural network to recall nearest pattern from input［C］//Nonlinear Signal and Image Processing.Sapporo：IEEE-Eurasip，2005：39.［17］Paulo J，Ferreira S G.The existence and uniqueness of the minimum norm solution to certain linear and nonlinear problems［J］.Signal Processing，1996，55：137-139.。
矩阵方程的解法本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。
最后利用奇异值分解给出了矩阵方程有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。
矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。
不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。
约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。
约束矩阵方程问题的内容非常广泛、约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题、有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富、其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题、求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。
对于本文所研究的AX=B、这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。
都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。
自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR分解。
本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。
再对矩阵方程有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。
设表示全体n*m阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A的秩,表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即=,显然有成立。
表示n阶正交矩阵全体。
本文要讨论以下问题：问题1 给定矩阵A,B,求实行对称方阵X，使得AX=B。
一种求矩阵方程AXB=C最小二乘对称解的迭代法彭卓华【摘要】提出一种迭代法求最小二乘问题min ||AXB-C||的对称解.通过这种方法.给定初始对称矩阵X1,在没有舍入误差的情况下,经过有限步迭代,找到它的一个对称解.并且,通过选择一种特殊的初始对称矩阵,得到它的最小范数对称解X.另外,给定矩阵X0,通过求解最小二乘问题min ||AXB-C||(其中C=C-AX0B),得到它的最佳逼近对称解.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2008(029)003【总页数】3页(P15-17)【关键词】迭代法;矩阵方程;对称解;最小范数解【作者】彭卓华【作者单位】湖南科技大学数学与计算科学学院,湖南,湘潭,411201【正文语种】中文【中图分类】O241.61 引言与预备知识用Rm×n,SRn×n和R分别表示m×n实矩阵,n×n实对称矩阵和实数的集合.Sn(Sn=(en,en-1,…e1))表示n×n反单位矩阵(ei表示n×n单位矩阵的第i列).上标T和+分别表示矩阵的转置和Moore-Penrose广义逆.设A,B∈Rm×n，定义A与B的内积为<A,B>=tract(BTA)，那么，由这种内积生成的范数，显然就是Frobenius范数，我们用‖A‖来表示.R(A)表示A的列空间，υec(·)表示拉直算子，即其中，A=(a1,a2,…an)∈Rm×n,ai∈Rm,(i=1,2,…,n)),A⊗B表示A与B的Kronecker乘积.矩阵方程问题在计算数学中是非常活跃的研究课题之一，在结构设计、生物学、电学、固体力学、动力系统、自动控制系统、振动理论等领域中有着广泛的应用[1-4].本文讨论下列两类问题:问题I 给定A∈Rm×n,B∈Rn×p和C∈Rm×p，求X∈SRn×n,使‖AXB-C‖=min.问题II 设问题I的解集合为SE，给定X0∈SRn×n,求使很多人研究了线性矩阵方程AXB=C，例如，H.Dai[5], K.E.Chu[6], F.J.HenkDon[7], J.R.Magnus[2], G.R.Morris[8]等. 他们已经找到了这个方程的解存在的充分必要条件及其表达式. 使用的方法是矩阵分解(奇异值分解(SVD)，广义奇异值分解(GSVD等).然而，在一般情况下，这些方法在子空间(比如说SRn×n)内解诸如AXB=C这样的矩阵方程问题有点困难，而且解的表达式比较复杂.Y.X.Peng[3]提出了一种解矩阵方程AXB=C对称解的迭代法，并证明了这种方法在有限步内收敛. 但是，这种方法对最小二乘问题却无能为力.问题II经常出现在实验设计中. 关于问题II，建议读者查看文献[1-4].2 用迭代法求问题I和问题II的解引进下述记号：M(X)=ATAXBBT+BBTXATA，G=ATCBT+BCTAP(X)=G-M(X),Pk=P(Xk)算法(1)输入矩阵A∈Rm×n,B∈Rn×p,C∈Rm×p和X1∈SRn×n;(2)计算R1=C-AX1B;P1=G-M(X1);Q1=M(P1);k：=1;(3)如果Rk=0或Pk=0,那么停止; 否则,k:=k+1;(4)计算Rk+1=C-AXk+1B;转3.引理1 若E∈SRn×n,H∈SRn×n,则<M(E),H>=<E,M(H)>.证明<M(E),H>=<ATAEBBT+BBTEATA,H>=<ATAEBBT,H>+<BBTEATA,H>=<E,ATAHBBT>+<E,BBTHATA>=<E,ATAHBBT+BBTHATA>=<E,M(H)>引理2[9] 对于算法中Pi和Qi，如果存在一个正整数k，对所有的i=1,2,…,k,满足Pi≠0,那么，<Pi,Pj>=0,<Qi,M(Qj)>=0(i,j=1,2,…,k,≠ij).引理3[9] 算法中的Pi和Qi,满足引理4 假定X*是问题I的一个解，那么,对任意初始对称矩阵X1, 算法中的矩阵列{Xi},{Pi}和{Qi}满足证明由引理3 容易证明.引理4表明，如果Pi≠0,那么,M(Qi)≠0(i=1,2,…),从而Qi≠0.定理1 对任意初始矩阵X1∈SRn×p, 算法经过有限步终止于问题I的一个解.证明如果Pi≠0(i=1,2,…,n2),那么,根据引理4得，M(Qi)≠0以及Qi≠0，从而由算法可得Xn2+1,Pn2+1.由引理2可知<Pi,Pn2+1>=0，(i=1,2,…,n2)而<Pi,Pj>=0，(i,j=1,2,…,n2,i≠j)故P1,P2,…,Pn2是矩阵空间SRn×n的一组正交基, 从而Pn2+1=0，即Xn2+1是问题I一个解.引理5[3] 设最小二乘问题：‖My-b‖2=min有一个解y0∈R(MT)，则y0必为此问题的唯一的极小范数解.定理2 对于问题I，若取初值X1=ATHTBT+BHA,其中H为任意p×m矩阵，特别地，取X1=0，则此算法经过有限步迭代终止于问题I的唯一的极小范数对称解. 证明由算法和定理1知，若取X1=ATHTBT+BHA(其中H为任意p×m矩阵)，则经过有限步迭代可得问题I的解X*，且X*可表示为：X*=ATYTBT+BYA，其中Y为任意p×m矩阵.下面证明X*即为问题I的极小范数解. 考虑最小二乘问题(2.1)显然，求解问题I等价于求解问题(2.1)，因此，我们只需证明X*为问题(2.1)的唯一的极小范数解即可.记υec(X)=x,υec(X*)=x*,υec(YT)=y1,υec(Y)=y2,υec(C)=c1,υec(CT)=c2,则问题(2.1)等价于下面的问题(2.2)而x*=υec(ATYTBT+BYA)=(B⊗AT)y1+(AT⊗B)y2=∈R由引理5知，x*是问题(2.2)的唯一的极小范数解，而拉直映射是同构的，因此，X*是问题(2.1)的唯一的极小范数解. 从而X*是问题I的唯一的极小范数解.对于问题II，当给定对称矩阵X0,X∈SE时，则等价于令则问题II等价于求下述问题的最小二乘解(2.3)利用此算法，取特殊初始矩阵(H为任意p×m矩阵),特别地，取可得问题(2.3)唯一极小范数解从而问题II的最佳逼近解为【相关文献】[1] Z.Y.Peng, X.Y. Hu and L. Zhang, The inverse problem of bisymmetric matrices[J]. Numerical Linear Algebra with Applications, 2004(1): 59-73.[2] J.R.Magnus, L-structured matrices and linear matrix equation[J]. Linear Multilinear Algebra Appl.1983,14:67-88.[3] Y.X. Peng, X.Y. Hu and L. Zhang, An iteration method for the symmetric solutions and the optimal appromation solution of the matrix equation AXB=C[J]. Applied Mathematics and Computation,2005,160(3): 763-777.[4] M. Baruch, Optimization Procedure to Correct Stiffness and Flexibility Matrices Using Vibration Tests[J]. AIAA J., 1978,16:1208-1210.[5] H. Dai, On the symmetric solutions of linear matrix equations[J]. Linear Algebra Appl., 1990,131: 1-7.[6] K.E.Chu,Symmetric solutions of linear matrix equations by matrix decompositions[J]. Linear Algebra Appl.,1989,119: 35-50.[7] F.J.Henk ,On the symmetric solution of a linear matrix equation[J]. Linear Algebra Appl. 1988,93:1-7.[8] G.R.Morris,P.L.Odell,Common solution for matrix equation with application[J]. Assoc. Comput. Mach. 1968,15:272-274.[9] 彭卓华，胡锡炎，张磊.一类矩阵方程的最小二乘双对称解及其最佳逼近[J].湖南大学学报，2007，34(9):78-81.。
迭代算法求解矩阵方程埃尔米特双对称解胡志增;杨春花【摘要】通过构建一个迭代算法来求解复矩阵方程组最小F范数剩余问题:min‖｛A1XB1+C1-XD1A2XB2+C2-XD2｝-｛M1M2｝‖,其中X是埃尔米特双对称矩阵,即满足X=XH =SnXSn;在不考虑舍入误差的条件下,对于任意双埃尔米特矩阵X0,矩阵方程组的解都能在有限步内得到;最后,给出一个数值试验来检验算法的有效性.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(034)002【总页数】6页(P6-11)【关键词】复矩阵方程;迭代算法;埃尔米特双对称解【作者】胡志增;杨春花【作者单位】湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105;湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105【正文语种】中文【中图分类】O151.24矩阵方程大量出现于线性系统理论之中，所以矩阵方程求解以及解的形式的进一步研究是有必要的。
早期求解矩阵方程时，Keonecker积起到了举足轻重的作用，但是随着矩阵阶数的逐渐增大，如果依然使用Keonecker积，则会使其阶数成几何倍数增大，维数的增大必然导致求解过程中舍入误差更大，最终结果可能会因为误差过大而不再是原问题的解。
所以，近年来用迭代方法求解矩阵方程有了更多的研究。
黄娜和马长丰等[1]用迭代算法求出了方程A1XB1+C1YTD1=F1,A2YB2+C2XTD2=F2的迭代解以及其不相容时的最小范数解；刘爱静等[2]求解了相容矩阵方程组A1XB1=C1,A2XB2=C2的双对称最小范数解；段学峰等[3]用一种新的迭代算法解决了一类矩阵近似问题;刘勇等[4]求解了一个系统方程的广义自反和广义反自反解；而陈德钦等[5]则用迭代法求得了矩阵方程AXB=E,CXD=F的广义自反解.更进一步，周忠礼和黄广新[6]求解了,i=1,2,…,p的自反解；谢雅君[7]结合了CGS,BCG和BI-CGSTAB等算法求解了方程组A1XB1+C1YD1=E,A2XB2+C2YD2=F的解；梁开福和刘建州[8]提出了一个修正的共轭梯度算法,求解了方程A1XB1+C1XTD1=F1,A2XB2+C2XTD2=F2；蔡静和陈国良[9]给出了A1XB1=C1,A2XB2=C2的最小二乘双对称解；周金华、刘建州[10]求得了矩阵方程ATXB-BTXTA=D的最小二乘解.通过使用迭代方法来求解矩阵方程组,的埃尔米特双对称解，用HBSCn×n表示，即X满足X=XH=SnXSn,其中Sn=(en,en-1,…,e1)而ei表示第i个分量为1的n×1矩阵。
