29.2_反证法

反证法的定义反证法是指以否定假设的方法来证明一种命题正确性的一种推理方式，也称作“反向推理”或“反证法”或“假设反证”。

它可以通过否定某一命题来证明另一命题的正确性。

反证法是建立在反面推理的基础之上的一种推理方式，而反面推理指的是一种以反面为基础的推理，是“以质疑或否定的方式来反映某个说法或想法，以便说服某个想法是正确的”。

反证法可以用来证明许多经典的定理，其中最具代表性的就是数学家克莱因在17篇文章中提出的“克莱因定理”，其证明的方式就是通过反证法。

克莱因定理的要点为：任何一个非空集合必然至少有两个元素，否则它就不是一个集合。

克莱因定理的证明是从负结论的角度出发的，即：如果任何一个非空集合只有一个元素，那么它就不是一个集合。

为了证明非空集合至少有两个元素，就必须证明该假设是错误的。

为此，克莱因利用排中律，从而推出若集合有两个元素，那么它就是一个集合，使克莱因定理得以证明。

反证法也用于经济学的研究，一个典型的例子就是通过反证法来证明David Ricardo提出的“比较优势”理论。

比较优势理论认为，在自由贸易的条件下，一个国家可以依靠其所擅长的特定产品来增长出口贸易，从而实现社会收益的最大化。

要证明这个理论，Ricardo利用反证法，让大家相信如果不能通过比较优势来使一国收益最大化，那么另一个国家就一定会受到损失。

他让大家相信，如果不是按照比较优势来进行贸易，那么一国的投资就不能达到最优的状态，必然会使另一个国家受到伤害，从而证明比较优势理论的正确性。

另一方面，反证法在哲学上也有着广泛的应用。

例如，古希腊的哲学家亚里士多德提出“万物有灵论”，这是一个未经验证的假设，当今哲学界也难以完全证实它的正确性。

亚历斯多德没有用传统的论证方法来证明他的观点，而是采取了反证法，即，如果不存在灵魂，那么每一个物体就没有内在的动能，从而推出“万物有灵论”的正确性。

从上述例子可以看出，反证法有着多方面的应用，它可以在数学、经济学和哲学等领域中都有着广泛的用处。

29.2.1《反证法》学案（二)【学习目标】1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.【重难点】重点：反证法的证明步骤难点：运用反证法证题【学习过程】一、自主学习完成下面假设结论的反面：1.“是”的反面是2. “有”的反面是3.“等”的反面是4.“成立”的反面是5.“有限”的反面是【注意】：1.“都是”的反面是不都是，即“至少有一个不是”(不是“都不是”)2.“都有”的反面是即“”(不是“”)3.“都不是”的反面是即“”(不是“”)4.“都没有”的反面是即“”(不是“”)5.“至少有一个”的反面是 ,“至多有一个”的反面是。

6.“至少有n个”的反面是 ,“至多有n个”的反面是。

7.“对所有x成立”的反面是 ,“对任意x不成立”的反面是。

二、课堂研讨1.求证：在三角形中，至多有一个角是钝角。

（写出已知、求证）已知：求证：证明：2.求证;在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等。

（写出已知、求证和证明过程）三、练习检测1.如果一个梯形同一底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想。

2.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行。

3.一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是一定是平行四边形？如果一定是，请给出证明，如果不一定是请举出反例。

4.试用反证法证明圆的切线的判定方法;经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（即与圆只有一个交点----切点）四、小结与作业习题29.2第3，4题。

Ｐ82教学反思：。

§29.2 反证法1.通过实例,体会反证法的含义;培养用反证法简单推理的技能,进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2.了解反证法证题的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.【重点难点】1.体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤.2.用反证法证明简单的命题.【自主学习】1.反证法:在证明一个命题时,人们有时先假设命题的结论不成立,从这样的假设出发,经过逻辑推理得出和已知条件矛盾,或者与公理、已证的定理、定义等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法.2.反证法证题的基本步骤:(1)假设命题的结论的反面是正确的;(反设)(2)从这个假设出发,经过逻辑推理,推出与已知条件、公理、已证的定理、定义等矛盾;(归缪)(3)由矛盾判定假设不正确,从而得出命题的结论是正确的.(结论)3.两点确定一条直线;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.探究:反证法1.在△ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,且∠C≠90°.求证;a2+b2≠c2.证明:假设a2+b2=c2,则由勾股定理的逆定理可以得到∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°产生矛盾,因此,假设a2+b2=c2是错误的.所以a2+b2≠c2是正确的.2.已知:如图,设点A、B、C在同一条直线l上.求证:经过A、B、C三点不能作一个圆.证明:假设过A、B、C三点可以作圆,设这个圆的圆心为O,显然A、B、C三点在这个圆上,所以OA=OB=OC,由线段的垂直平分线的判定定理可以知道,O 点既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,也就是说,O点是l1和l2的交点,这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.所以,过同一条直线上的三点不能作一个圆.3.求证;在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.解:已知△ABC,求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明:假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°,即∠A>60°、∠B>60°、∠C>60°.于是∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°,这与三角形的内角和等于180°矛盾,所以三角形中至少有一个内角小于或等于60°.1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( B )(A)三角形中至少有一个直角或钝角(B)三角形中至少有两个直角或钝角(C)三角形中没有直角或钝角(D)三角形中三个角都是直角或钝角2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中( B )(A)有一个内角小于60°(B)每一个内角都小于60°(C)有一个内角大于60°(D)每一个内角都大于60°3.“a<b”的反面应是( D )(A)a≠b (B)a>b(C)a=b (D)a=b或a>b4.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( D )(A)a不垂直于c (B)a,b都不垂直于c(C)a⊥b (D)a与b相交5.否定下列命题的结论:(1)在△ABC中如果AB=AC,那么∠B=∠C..(2)如果点P在☉O外,则d>r(d为P到O的距离,r为半径).(3)在△ABC中,至少有两个角是锐角..(4)在△ABC中,至多有只有一个直角.. 答案:在△ABC中如果AB=AC,那么∠B≠∠C.(2)如果点P在☉O外,则d≤r.(3)在△ABC中,至多有一个角不是锐角.(4)在△ABC中,至少有两个直角.6.用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等”时,应假设. 答案:“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角相等”7.用反证法证明“若│a│<2,则a<4”时,应假设.答案:“若│a│<2,则a≥4”8.请说出下列结论的反面:(1)d是正数;(2)a≥0; (3)a<5. .答案:(1)d是非正数(2)a<0 (3)a≥59.完成下列证明.如图所示,在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角.证明:假设结论不成立,则∠B是或.当∠B是时,则,这与矛盾;当∠B是时,则,这与矛盾.综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.答案:直角钝角直角∠A+∠B+∠C>180°三角形内角和等于180°钝角∠A+∠B+∠C>180°三角形内角和等于180°10.若用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应假设. 答案:“在直角三角形中,最多有一个锐角不大于45°”。

反证法定义和步骤嘿，咱今儿来聊聊反证法！啥是反证法呢？你就这么想啊，好比你要找一个东西，正面找半天找不到，那咱就反过来想，假设它不在那儿，然后通过一系列推理，要是得出矛盾了，那不就说明咱一开始的假设错了，那东西其实就在那儿嘛！反证法的步骤呢，就好像走一条特别的路。

第一步，先提出一个跟咱要证明的结论相反的假设。

比如说要证明一个数是正数，那就先假设它不是正数。

这就像你出门前先选个方向，虽然不知道对不对，但咱得先走出去嘛。

然后呢，就根据这个假设开始推理啦。

就好像沿着选好的路往前走，看看会遇到什么。

在这个过程中，要充分利用已知条件和各种定理啊、定义啊啥的。

这一路上可能会遇到各种情况，但别慌，咱就稳稳地走。

走着走着，如果突然发现得出了一个明显矛盾的结论，那就有意思啦！就好比你走着走着发现前面没路了，或者走到一个死胡同了。

这时候你就该明白啦，哎呀，咱一开始的假设错了呀！这就说明咱要证明的结论其实是对的。

举个例子吧，比如说要证明三角形里最大的角不能小于 60 度。

咱就先假设最大的角小于 60 度，那按照这个假设，其他两个角肯定也小于 60 度，那这三个角加起来不就小于 180 度啦？可三角形内角和是180 度呀，这不就矛盾了嘛！这不就证明了咱一开始的假设不对，那最大的角就不能小于 60 度。

反证法是不是挺有意思的？就像玩一个解谜游戏，通过一步步推理找到真相。

它有时候能帮我们解决那些正面不好下手的问题呢。

你想想看，生活中有时候咱不也经常用这种类似的方法吗？有时候直接去做一件事可能很难，但咱换个角度，从反面去想想，说不定就能找到突破口呢。

而且啊，反证法还能锻炼咱的思维能力，让咱的脑子更灵活。

就像经常锻炼的人身体好一样，经常用反证法思考问题的人，脑子也会更灵光哟！所以说呀，反证法可真是个好东西，咱可得好好掌握它。

以后遇到难题的时候，别光想着从正面强攻，也试试从反面迂回一下，说不定会有意外的收获呢！怎么样，是不是对反证法有了更深的认识啦？。

2.2.2反证法班级：姓名：小组：学习目标1. 了解间接证明的两种基本方法：反证法；2. 掌握反证法证明数学问题；学习重点难点重点：综合法和分析法的应用；难点：综合题型的解决。

学法指导本节课通过例题让学生体会反证法的思想，通过练习掌握反证法的应用。

课前预习1.反证法的定义：假设不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这种证明方法叫做反证法。

2.反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下的出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾或与矛盾或与事实矛盾等。

预习评价1.否定“自然数cba,,中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A.cba,,都是奇数B.cba,,都是偶数C.cba,,中至少有两个偶数D.cba,,中都是奇数或至少两个偶数2.若两个实数之和为正数，则这两个数（）A.一个是正数，一个是负数B.都是正数C.至少有一个是正数D.都是负数课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）一、用反证法证明例1. 已知0≠a，证明x的方程bax=有且只有一个根。

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

例2.已知ba,均为有理数，且a和b都是无理数，求证：是无理数ba+.小结：用反证法证明的过程包括下面三个步骤：（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；（2）（3）唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

话说反证法(全文)反证法作为一种证明命题的方法，有时会起到其他证明方法所不能起到的作用。

但是，很多学生往往不清楚它的原理、步骤和适用对象，不能很好地使用它。

本文从各个方面阐述了反证法，并精心挑选例题和习题，帮助学生学好这种方法。

一、何为反证法我们在证明一个命题时，一般都是从已知出发，通过推理论证得出结论。

这种方法叫做直接证明。

一个命题在难以直接证明时，可以间接证明。

反证法是间接证明，不直接证明命题的结论，而是证明命题的结论的对立面不能成立。

即假设待证命题的结论不成立(即结论的反例成立)，然后推导出与定义、公理、证明定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法叫做反证法。

反证法作为一种证明方法，有时在直接证明中起着不可替代的作用。

二、反证法的理论依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都为假，至少有一个是真的，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到互相矛盾的两个判断，根据“矛盾律”和“排中律”，这一互相否定的判断不能同时都为真，也不能同时为假，必有一真一假，而定义、公理、已证定理或已知条件都是正确的，那么“假设”就是错误的，于是我们得到原结论是正确的。

反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，所以反证法是可信的。

三、反证法证题的一般步骤1.假设命题的结论不成立，或假设命题结论的反面成立；2.从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；3.从矛盾来看，假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。

反证法的关键是第一步，就是做出正确的假设，否则就不是反证法。

核心是第二步，用假设推导矛盾。

如果你想证明命题只有一个否定的情况，那么就断定这个情况不成立；如果命题有很多否定的情况，那么就必须断定所有的否定情况都不成立，才能推断出原来的结论。