数学反证法与放缩法知识点

《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。

当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，那就可以考虑使用反证法。

反证法的基本思路是先假设命题的结论不成立，即提出与命题结论相反的假设。

然后，从这个假设出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果。

这个矛盾可以是与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、或者是自相矛盾。

由于推理过程是正确的，所以产生矛盾的原因只能是假设不成立，从而证明原命题的结论是正确的。

例如，证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60 度”。

我们先假设三角形的三个内角都大于 60 度，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形内角和为 180 度）矛盾，所以假设不成立，原命题成立。

反证法的一般步骤可以总结为：1、提出反设：假设命题的结论不成立。

2、推出矛盾：从反设出发，通过推理得出矛盾。

3、肯定结论：由于矛盾的出现，说明反设错误，从而证明原命题的结论正确。

反证法在数学证明中有着广泛的应用，尤其是在证明一些存在性、唯一性、否定性的命题时，往往能起到意想不到的效果。

二、放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法。

其基本思想是将不等式中的某些项进行放大或缩小，从而使不等式变得更加简单，易于证明。

放缩的依据通常是不等式的基本性质、已知的不等式、函数的单调性等。

比如，要证明不等式＼（A ＜ B\），我们可以先将＼（A\）适当放大得到＼（A' ＼），使得＼（A' ＜ B\）易于证明；或者将＼（B\）适当缩小得到＼（B' ＼），使得＼（A ＜ B' ＼）易于证明。

常见的放缩技巧有：1、舍去或加上一些项，如：＼（＼frac{1}｛n(n ＋ 1)｝＜＼frac{1}｛n^2}＼）。

2、将分子或分母放大（或缩小），如：＼（＼frac{1}｛n} ＜＼frac{1}｛n 1}＼）（＼（n ＞ 1\））。

3、利用基本不等式进行放缩，例如：若＼（a, b\）均为正数，则＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。

《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。

反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。

放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

首先介绍反证法。

对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。

具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。

3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。

4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。

举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。

然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。

然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。

因此，假设错误，原不等式成立。

接下来介绍放缩法。

放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。

具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。

2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

3.对新形式的不等式进行证明。

4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。

举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。

我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。

化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。

《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。

当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，就可以考虑使用反证法。

反证法的基本步骤：1、提出反设：首先假设要证明的命题不成立，也就是提出与原命题相反的假设。

2、推出矛盾：从反设出发，通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理或者明显事实相矛盾的结果。

3、否定反设：由于推出了矛盾，所以说明反设是错误的，从而肯定原命题成立。

例如，要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。

我们先假设在一个三角形中可以有两个直角。

那么三角形的三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形的内角和等于 180 度）相矛盾。

所以假设不成立，即在一个三角形中最多只能有一个直角。

反证法在数学中的应用非常广泛，尤其是在证明一些存在性、唯一性的命题时，往往能起到意想不到的效果。

反证法的关键在于能够准确地提出反设，并通过合理的推理导出矛盾。

在导出矛盾的过程中，需要对所学的数学知识有扎实的掌握和灵活的运用。

二、放缩法放缩法是一种用于证明不等式的重要方法。

放缩的基本思路是：将不等式中的某些项进行放大或缩小，使得不等式的关系更加明显，从而达到证明的目的。

常见的放缩技巧：1、舍去或加上一些项：例如，在证明不等式时，如果某些项对证明结果影响不大，可以舍去，以达到放缩的效果。

2、放大或缩小分式的分子或分母：比如，将分式的分子放大或分母缩小，从而使分式的值变大；反之，将分子缩小或分母放大，分式的值变小。

3、利用基本不等式进行放缩：常见的基本不等式如均值不等式等，可以为放缩提供依据。

例如，要证明“当 n 为正整数时，1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＜2”。

我们可以这样进行放缩：1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋ 1/5 ＋ 1/6 ＋ 1/7 ＋ 1/8 ＋… ＋ 1/n＜ 1 ＋ 1/2 ＋（1/4 ＋ 1/4）＋（1/8 ＋ 1/8 ＋ 1/8 ＋ 1/8）＋… ＋（1/2^k ＋ 1/2^k ＋… ＋ 1/2^k）＝ 1 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋… ＋ 1/2可以发现，这样的放缩使得式子变得更加简洁，便于证明不等式。

庖丁巧解牛知识·巧学 一、反证法1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的. 记忆要诀用反证法证明命题“若p 则q”的过程可以用下图表示.2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.辨析比较3通常在什么情况下用反证法？有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的. 学法一得凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力. 二、放缩法1.放缩法的意义：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.也就是说：欲证A≥B ，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B 1，B 1≤B 2，…，B 1≤A ，或A≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，达到欲证的目的.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 2.放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.3.放缩法经常采用的技巧有： ①舍去一些正项（或负项），②在和或积中换大（或换小）某些项，③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等.如：nn n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-<<+=+- 11121111+-=+-<<++=-+k k kk k k k k k .误区警示用放缩法证明不等式，关键是放、缩适当，放得过大或过小都不能达到证题目的. 典题·热题知识点一：反证法证明不等式 例1 设a 3+b 3=2，求证a+b≤2.思路分析：要证的不等式与所给的条件之间的联系不明显，而且待证式比已知式次数低，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑用反证法. 证明：假设a+b>2，则有a>2-b ，从而 a 3>8-12b+6b 2-b 3,a 3+b 3>6b 2-12b+8=6(b-1)2+2.所以a 3+b 3>2，这与题设条件a 3+b 3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立. 误区警示不能根据已知等式找出几组数值，代入待证不等式中进行验证，验证成立也不能算是证明成功了.例2 设二次函数f(x)=x 2+px+q,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 思路分析：要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易，通常采用反证法进行. 证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21，则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. ①另一方面，由绝对值不等式的性质，有 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2. ②①②两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确. 方法归纳一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及临时假定矛盾等各种情况. 例3 设0<a,b,c<1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能同时大于41. 思路分析：题目中出现了“不可能同时大于……”字样，而且三个式子的地位相同，结合0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法. 证明：设(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41,则三式相乘：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>641.①又∵0<a,b,c<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=41.同理：(1-b)b≤41,(1-c)c≤41,以上三式相乘：(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴原式成立.巧解提示凡涉及到证明不等式为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时，可考虑使用反证法.知识点二：放缩法证明不等式例4 当n>2时，求证：log n (n-1)log n (n+1)<1.思路分析：不等式左边含有不确定字母n ，两个对数式底数相同，真数中没有常数项，而右边为常数1，应考虑应用基本不等式逐步放缩证明，采用放缩法证明较好. 证明：∵n>2，∴log n (n-1)>0,log n (n+1)>0.∴log n (n-1)log n (n+1)<［2)1(log )1(log ++-n n n n ］2=［2)1(log 2-n n ］2<［2log 2n n ］2=1.∴n>2时,log n (n-1)log n (n+1)<1. 方法归纳在用放缩法证明不等式A≤B 时，我们找一个(或多个)中间量C 作比较，即若能断定A≤C 与C≤B 同时成立，那么A≤B 显然正确.所谓的“放”即把A 放大到C ，再把C 放大到B;反之，所谓的“缩”即由B 缩到C ，再把C 缩到A.同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及. 例5 若n 是正整数，求证22221312111n ++++ <2. 思路分析：左边不能直接通分，而且项数不定，分析此式的形式特点，借助k k k k k111)1(112--=-<进行变形，可以通过适当地放缩，使不等式简化，从而得出证明. 证明：∵kk k k k 111)1(112--=-<,k=2,3,4…,n. ∴n n n∙-++∙+∙+<++++)1(13212111113121112222 ..212)111()3121()2111(11<-=--++-+-+=nn n 巧解提示实际上，我们在证明22221312111n++++ <2的过程中，已经得到一个更强的结论n n 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想.例6 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.思路分析：根据不等式的对称性，三个字母地位相同，不妨设出大小顺序，结合三角形三边之间的关系，进而应用放缩法选择适当的式子放缩变形，以达到证明目的. 证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c ，则b+c-a≤c+a -b≤a+b -c, 且2c-a-b≤0，2a-b-c≥0.∴c b a c b a c b a c b a -++-++-+-3=a c b a -+-1+b a c b -+-1+c b a c-+-1=ba c ba cb ac a c b b a c c b a c b a b a c b a c c a b a c b c b a -+--+-+--+-+--≥-+--=-+--=-+--222222=0,∴cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3.方法归纳本题中为什么要将b+c-a 与a+b-c 都放缩为c+a-b 呢？这是因为2c-a-b≤0，2a-b-c≥0，而2b-a-c 无法判断符号，因此ba c ca b -+--2无法放缩.所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度. 问题·探究 交流讨论探究问题 有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？ 探究过程:学生甲：反证法太难了，都是逆向思维，根本想不到.学生乙：其实反证法不难，在生活中不也经常使用吗？先假设怎样怎样，然后就会出现什么样的事情，最后发现那不可能，出现了笑话，说明假设的不对.学生丙：反证法不难，只要见到含有否定形式的命题，如含有“至多”“至少”“不可能”等时就用反证法.学生甲：那要找不到矛盾呢？学生乙：只要按照正确的推理总会找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常识矛盾，也可以和假设本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以. 学生甲：那反证法有什么好处呀？学生丙：反证法比直接证明多了一个条件，那就是假设，当然容易证明了.老师：反证法也不是万能的，一般证明还是先用直接证法，当要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰时，还有就是从正面证明需要分成多种情形进行分类讨论，而且从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形时用反证法较好.还有，平时应该拥有较为扎实的基本功，在推理中才能较快地找到矛盾，也就是要多积累素材. 探究结论:反证法作为一种证明方法，其实也不是很新，很早就接触了，说来并不算难，只要多积累一下这方面的知识技巧就可以较为熟练的应用了.思想方法探究问题反证法证题，可以说是一个难点，就是感觉难懂难用.因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章.而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想.怎样才能更好地理解反证法呢？探究过程:其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用.在生活中的应用也非常广泛，只是我们没有注意罢了.下面看两则故事，体会一下，对我们正确理解反证法很有帮助.故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪.乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨.”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎.”实际上，小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论.风水先生当然不会承认这个事实了.那么，显然，他说的就是谬论了.这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还治其人之身”的反证法迎刃而解了.如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二.故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这是很著名的“道旁苦李”的故事.实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成像几何题目中的“已知、求证、证明”，再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了.探究结论:反证法的应用广泛，只要善于观察和总结，从生活中体会反证法的思想，就不会感觉反证法难懂难用了.。

- 1 – “学海无涯苦作舟，书山有路勤为径”§4.2.3证明不等式的基本方法—反证法与放缩法【学习目标】能熟练运用反证法与放缩法来证明不等式。

【新知探究】1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；2．放缩法：欲证A B ≥，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得112,...B B B B A ≤≤≤≤（或112,...A A A A B ≥≥≥≥），要注意放缩的适度， 常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．≤-≥-211;(1)nn n ≥+211(1)nn n ≤-【自我检测】1．设a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a 2+b 2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____________. 2．1A =++++)n N *∈的大小关系是 ．【典型例题】例1. 已知,0,>y x 且,2>+y x 求证：xyy x ++1,1中至少一个小于2。

变式训练：若a,b,c 都是小于1的正数，求证：41)1(,)1(,)1(不可能同时大于a c c b b a ---- 2 – “天下事，必作于细”例2. 已知实数a,b,c ，,0>++c b a ,0>++ca bc ab ,0>abc 求证：.0,0,0>>>c b a变式训练：课本P29页，习题2.3第4题 例3. 已知,,,+∈R c b a 求证.21<+++++++++++<ca d d db c c ac b b db a a变式训练：设00>>y x 、，yy xx B yx y x A +++=+++=11,1，则A 、B 大小关系为________。

例4．求证：)(2131211222N n n∈<+⋅⋅⋅+++例5．已知q px x x f ++=2)(，求证：|)3(||)2(||)1(|f f f ，，中至少有一个不少于21。

三 反证法与放缩法[学习目标] 1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．[知识链接]1．在阅读教材的基础上，想一想哪些命题或不等式适合用反证法证明？答案 存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式．2．用放缩法证明不等式常用的放缩方法有哪些？答案 ①添加或舍去一些项；②将分子或分母放大(或缩小)；③真分数的性质：若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m； ④利用基本不等式；⑤利用函数的单调性；⑥绝对值不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.⑦利用函数的有界性：如：|sin x |≤1(x ∈R )；x 2－x ≥－14(x ∈R )；2x ＞0(x ∈R )． [预习导引]1．反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．2．放缩法 将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.要点一 反证法证明不等式例1 已知：a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0.求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0.证明 假设a 、b 、c 不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc ＞0，不妨假设a ＜0，则bc ＜0.∵b ＋c ＞－a ＞0，∴－a (b ＋c )＞0.∴a (b ＋c )＜0，又∵bc ＜0，∴bc ＋a (b ＋c )＜0.即ab ＋bc ＋ca ＜0.这与已知ab ＋bc ＋ca ＞0矛盾．∴假设不成立．故a ＞0，b ＞0，c ＞0成立．规律方法 用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．跟踪演练1 已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证1＋y x 与1＋x y中至少有一个小于2. 证明 假设1＋y x ≥2且1＋x y≥2. ∵x ＞0，y ＞0，∴1＋y ≥2x ①1＋x ≥2y ②①＋②得2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与x ＋y ＞2矛盾．∴假设不成立，故1＋y x 与1＋x y中至少有一个小于2. 要点二 放缩法证明不等式例2 设S n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，求证：不等式n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)22对所有的正整数n 都成立． 证明 ∵S n ＞12＋22＋…＋n 2＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 且S n ＜1＋22＋2＋32＋…＋n ＋n ＋12＝32＋52＋…＋2n ＋12＜12＋32＋52＋…＋2n ＋12＝(n ＋1)22∴n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)22. 规律方法 用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式放缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．本例是利用n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2放缩，进而求证． 跟踪演练2 设f (x )＝x 2－x ＋14，且|x －a |＜1.求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．证明 由|f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋a －x |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|＜|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1|≤|x －a |＋|2a |＋1＜|2a |＋2＝2(|a |＋1).要点三 放缩法在数列中的综合应用例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项；(2)证明：n 2－13＜a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2(n ∈N ＋)． (1)解 ∵a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 ∵a n a n ＋1＝2n －12n ＋1－1＝1－12n 2－12n ＜12， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2. ∵a k a k ＋1＝2k －12k ＋1－1＝12－12(2k ＋1－1)＝12－13·2k ＋2k －2≥12－13⎝⎛⎭⎫12k ，k ＝1,2,3，…，n . ∴a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1≥n 2－13＋13⎝⎛⎭⎫12k ＞n 2－13. ∴n 2－13＜a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＜n 2(n ∈N ＋)． 规律方法 解数列不等式综合题要注意①数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考查数学能力的良好载体；②数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式； ③注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题．跟踪演练3 求证：12＋34＋58＋…＋2n －12n ＜3(n ∈N ＋)． 证明 设S ＝12＋34＋58＋…＋2n －12n ， 将等式两边乘以12得，12S ＝14＋38＋516＋…＋2n －12n ＋1. 将两式相减得，12S ＝12＋2⎝⎛⎫14＋18＋116＋…＋12n －2n －12n ＋1＝12＋1－2n ＋32n ＋1. ∴S ＝3－2n ＋32n ，又2n ＋32n ＞0， ∴S ＜3，即12＋34＋58＋…＋2n －12n ＜3(n ∈N ＋).1．实数a ，b ，c 不全为0等价于( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0答案 D解析 a ，b ，c 不全为0，等价于“a ，b ，c 中至少有一个不为0”．2．已知a ，b ，c ，d 都是正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b，则有( ) A ．S ＜1 B ．S ＞1C ．S ＞2D ．以上都不对答案 B解析 S ＞a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋c ＋d ＋c a ＋b ＋c ＋d ＋d a ＋b ＋c ＋d＝1. 3．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数答案 D解析 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．4．求证：1＋122＋132＋…＋1n 2＜2(n ∈N ＋)． 证明 1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11·2＋12·3＋…＋1n (n －1)＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n＜2.(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．(3)放缩法常用结论有： ①1k ＝2k ＋k ＞2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )， 1k ＝2k ＋k ＜2k ＋k －1＝2(k －k －1)(k ∈N ＋，k ＞1)； ②1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k ；1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； ③1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1(程度小)． 反证法与放缩法1．设a ，b ，c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．2．若|a －c |<h ，|b －c |<h ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|a －b |<2hB ．|a －b |>2hC ．|a －b |<hD ．|a －b |>h解析：选A |a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |<2h .3．设x ，y 都是正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：选A 由已知(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.∵x ，y 都是正实数，∴x >0，y >0，∴x ＋y ≥22＋2＝2(2＋1)．4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ≠c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；当a >b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；③显然不正确．5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法证明时作的反设应为________． 答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0)6．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0， ∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1， ∴lg 9·lg 11＜1.答案：lg 9·lg 11＜17．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y ，则A ，B 的大小关系是________． 解析：A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y 1＋y＝B . 答案：A ＜B8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d 2， ∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d 2＝1， 即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)．求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2. 证明：∵n (n ＋1)＝n 2＋n ， ∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. ∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2， ∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝n 2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝n (n ＋2)2. 综上得n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－52. 求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2.证明：假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪b a ≥2.①当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0.由题意得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |.由已知条件得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12， 这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.②当⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b 2a， 知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得 .所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，f (－1)＝a －b ＋c ＝－52或⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝－52，f (－1)＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪b a <2.由①②，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2.。

《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证法，它先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而否定假设，证明原命题成立。

（一）反证法的步骤1、反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

例如，如果要证明“一个三角形中最多只有一个直角”，那么反设就是“假设一个三角形中有两个或三个直角”。

2、归谬：从反设出发，通过推理，导出矛盾。

这个矛盾可以是与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、与假设矛盾等等。

比如，在上述三角形的例子中，从假设出发，根据三角形内角和为 180 度，两个直角就已经达到 180 度，第三个角就不存在了，这与三角形的定义矛盾。

3、结论：由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立。

（二）适用反证法的常见题型1、命题的结论以否定形式出现。

例如，“不存在”“不可能”等。

比如证明“不存在最大的整数”。

2、命题的结论以“至少”“至多”形式出现。

像“至少有一个”“至多有一个”。

比如证明“一个班级中至多有一半同学是男生”。

3、唯一性命题。

比如证明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

（三）反证法的优点反证法在数学证明中具有独特的优势，它能够帮助我们在直接证明比较困难的情况下，通过间接的方式达到证明的目的。

而且，反证法能够培养我们的逆向思维能力，拓宽我们解决问题的思路。

二、放缩法放缩法是证明不等式的一种重要方法，它通过对不等式中的式子进行放大或缩小，从而达到证明不等式的目的。

（一）放缩法的常见技巧1、舍去或加上一些项。

例如，要证明 1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＜ 2（n 为正整数且 n ＞1），可以舍去一些项，将 1/2 以后的各项都放大为 1/2 ，得到 1 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋… ＋ 1/2 ＜ 2 。

2、将分子或分母放大或缩小。

比如，在证明 1 ／（n ＋ 1) ＜ 1 ／ n （n 为正整数）时，可以将分母缩小，得到 1 ／（n ＋ 1) ＜ 1 ／ n 。