【高中数学】综合法与分析法 、反证法

高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。

但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。

我就来总结一下不等式的证明方法。

01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法，后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。

04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。

放缩法的目的性强,必须恰到好处,。

同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。

综合法和分析法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++求证：60A B +=o .（提示：算tan()A B +） ② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。

7.4综合法、分析法、反证法必备知识预案自诊知识梳理1.综合法与分析法2.反证法(1)反证法的定义:在假定命题结论的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法.(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.考点自诊1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.()(4)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.()(5)证明不等式√2+√7<√3+√6最合适的方法是分析法.()2.命题:“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)·(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”应用了()A.分析法B.综合法C.综合法与分析法结合使用D.反证法3.用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时,首先要作出的假设是( )A.四个内角都大于90°B.四个内角中有一个大于90°C.四个内角都小于90°D.四个内角中有一个小于90°4.(2020四川树德中学期中)欲证√2−√3<√5−√6成立,只需证( ) A.(√2-√3)2<(√5-√6)2B.(√2-√5)2<(√3-√6)2C.(√2+√6)2<(√3+√5)2D.(√2-√3-√5)2<(-√6)25.(2020吉林油田十一中月考)比较大小:3-2√2 √10−√7(填“>”“<”或“=”).关键能力学案突破考点综合法的应用【例1】若x ,y ,z 是互不相等的实数,且x+1y=y+1z=z+1x,求证:x 2y 2z 2=1.?综合法证明问题是怎样实现的?解题心得1.综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.2.综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法,因此要保证前提条件正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确性.其过程一般是从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.对点训练1已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:(1)√a+√b+√c≤√3;(2)13a+1+13b+1+13c+1≥32.考点分析法的应用【例2】已知非零向量a,b,且a⊥b,用分析法证明:|a|+|b||a+b|≤√2.,适用于何种题型?解题心得1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.对点训练2(2020陕西临潼期末)证明:(1)√6+√10>√2+√14;(2)如果a,b>0,则lg a+b2≥lga+lgb2.考点反证法的应用【例3】设{a n}是公比为q的等比数列.(1)推导{a n}的前n项和公式;q≠1,证明:数列{a n+1}不是等比数列.?解题心得对于含有否定概念的命题,直接证明不好证,但问题的反面比较具体易证,一般利用补集法或反证法解答证明.先假设肯定结论成立,然后根据有关的概念、定理、定义、推出与已知、公理、定理等有矛盾,从而说明原命题成立.对点训练3(2020河南新安一高月考)(1)已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:1+2yx 与1+2xy中至少有一个小于3.(2)当a+b>0时,求证:√a2+b2≥√22(a+b).1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推理;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.7.4综合法、分析法、反证法必备知识·预案自诊知识梳理1.条件定义、公理、定理及运算法则结论求证的结论充分条件2.(1)反面成立考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.B在证明的过程中使用了平方差公式,以及同角的三角函数的关系式,符合综合法的定义,故证明过程使用了综合法.故选B.3.C首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”,即为“凸四边形的四个内角都小于90°”.故选C.4.C 根据题意,欲证√2−√3<√5−√6,则需证√2+√6<√3+√5,即只需证(√2+√6)2<(√3+√5)2.故选C.5.< 平方后再比较.然后用综合法写出过程即可.∵72>70,∴2√72>2√70,即12√2>2√70,∴17-12√2<17-2√70,即(3-2√2)2<(√10-√7)2,∴3-2√2<√10−√7.关键能力·学案突破例1证明∵x+1y =y+1z ,∴x-y=1z −1y ,∴x-y=y -zyz ,即yz=y -zx -y .∵x+1y =z+1x ,∴x-z=1x −1y , ∴x-z=y -x xy ,即xy=y -xx -z.同理可得xz=z -x y -z .∴x 2y 2z 2=(xy )(xz )(yz )=y -x x -z ×z -x y -z ×y -z x -y=1. 对点训练1证明(1)∵√13a≤13+a 2,√13b ≤13+b 2,√13c ≤13+c2,∴√3√a +√b +√c )≤3×13+a+b+c2=1,∴√a +√b +√c ≤√3,当且仅当a=b=c=13时取等号.(2)∵3b+13a+1+3a+13b+1≥2,3c+13a+1+3a+13c+1≥2,3c+13b+1+3b+13c+1≥2, ∴3b+3c+23a+1+3a+3c+23b+1+3a+3b+23c+1≥6, ∴3(a+b+c )+33a+1+3(a+b+c )+33b+1+3(a+b+c )+33c+1≥9, 即63a+1+63b+1+63c+1≥9, ∴13a+1+13b+1+13c+1≥96=32. 当且仅当a=b=c=13时等号成立. 例2证明若证原不等式|a |+|b ||a+b |≤√2.只需证|a |+|b |≤√2|a +b |, 只需证(|a|+|b|)2≤(√2|a+b|)2,即证a 2+b 2+2|a ||b |≤2a 2+2b 2+4a ·b . 因为非零向量a ,b ,且a ⊥b ,所以a ·b =0,即证2|a ||b |≤a 2+b 2, 即证(|a |-|b |)2≥0,显然成立. 所以原不等式成立.对点训练2证明(1)要证√6+√10>√2+√14,只要证(√6+√10)2>(√2+√14)2,即2√60>2√28,显然成立的,所以,原不等式成立. (2)当a>0,b>0时,要证lg a+b 2≥lga+lgb2,只要证lga+b2≥lg √ab ,因为函数y=lg x 在(0,+∞)上递增,即证a+b 2≥√ab >0,此不等式显然成立,当且仅当a=b 时等号成立.所以lg a+b2≥lga+lgb2. 例3(1)解设{a n }的前n 项和为S n ,则当q=1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1;当q ≠1时,S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1, ① qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n , ②①-②得,(1-q )S n =a 1-a 1q n ,∴S n =a 1(1-q n )1-q,∴S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q,q ≠1.(2)证明假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *,(a k+1+1)2=(a k +1)(a k+2+1), a k+12+2a k+1+1=a k a k+2+a k +a k+2+1, a 12q 2k +2a 1q k =a 1q k-1·a 1q k+1+a 1q k-1+a 1q k+1, ∵a 1≠0,∴2q k =q k-1+q k+1.∵q ≠0,∴q 2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.∴假设不成立,故{a n +1}不是等比数列. 对点训练3证明(1)(反证法)假设结论不成立,即有1+2y x ≥3,且1+2xy≥3,由已知x>0,y>0,所以有1+2y ≥3x ,且1+2x ≥3y ,故2+2x+2y ≥3x+3y ,化简得2≥x+y ,与已知x+y>2矛盾,假设不成立.所以1+2y x 与1+2xy中至少有一个小于3成立.(2)(分析法)要证√a 2+b 2≥√22(a+b ),只需证(√a 2+b 2)2≥[√22(a +b )]2,即证a 2+b 2≥12(a 2+b 2+2ab ),即证a 2+b 2≥2ab.因为a 2+b 2≥2ab 对一切实数恒成立,所以√a 2+b 2≥√22(a+b )成立.。

不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。

比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。

作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。

分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。

欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。

构造法是微积分学，代数学自身的方法。

分析法——尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。

一元微积分讲究条件分析。

要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。

为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。

比如已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x) = 1”的推理。

（见讲座（9）基本推理先记熟。

）已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0) > 0 ”的推理。

（这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，……，等的关键。

见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。

）已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。

（见讲座（42）矩阵乘法很惬意。

）已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。

计算参数。

”的推理。

（见讲座（48）中心定理路简明。

）“已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理计算（见讲座（78）分布函数是核心。

）一个娴熟的推导就是一条高速路啊。

你非常熟练了吗？！综合法——由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。

最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满足某个含有函数及其导数的关系式”。

例设函数f (x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f (0) = 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ，使得f (ξ) f′(1―ξ) = f′(ξ) f (1―ξ) 分析（综合法）即要证明f (ξ) f′(1―ξ) ― f′(ξ) f (1―ξ) = 0点ξ是运用某个定理而得到的客观存在。