圆周运动中绳子和杆子在最高点的区别

圆周运动中绳模型和杆模型的一般解析一：绳模型：若已不可伸长的绳子长L ，其一端栓有一质量m 的小球（可看成质点）。

现使绳子拉着小球绕一点O 做匀速圆周运动，则（1）小球恰好通过最高点的速度v 。

(2)当能通过最高点时，绳子拉F 。

解：（1）小球恰能通过最高点的临界条件是绳子没有拉力， 则对小球研究，其只受重力mg 作用，故，由其做圆周运动得:L v m mg 2= 故 gL v =(2)由分析得，当小球到最高点时速度gL v v =>'时，则，mg Lmv F -=2' 而，当gL v v =<'时，那么小球重力mg 大于其所需向心力，因此小球做向心运动。

二：杆模型：若一硬质轻杆长L ，其一端有一质量m的小球（可看成质点）。

现使杆和小球绕一点O 做匀速圆周运动， 则 （1）小球恰好通过最高点的速度v 。

(2)当能通过最高点时，杆对小球的作用力F 。

解：（1）因为杆具有不可弯曲不可伸长的性质，所以小球在最高点，当速度为0时，恰好能通过。

（2）①由绳模型可知，当小球通过最高点速度gL v =时，恰好有绳子拉力为0，则同理可知，当杆拉小球到最高点时， 若小球速度gL v =时，小球所需向心力恰好等于重力mg ， 故，此时杆对小球没有作用力。

②当小球通过最高点时速度gL v >时，则小球所需向心力比重力mg 大，所以此时杆对小球表现为拉力，使小球不至于做离心运动故对小球有， L mv mg F 2=+③同理，当小球通过最高点时速度gL v <时，则小球所需向心力小于重力mg ，所以此时小球对杆有压力作用，有牛顿第三定律得，杆对小球表现为支持力作用，故对小球有， L mv F mg 2=-。

圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力于小球的重力；③当v＝gr 时，杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr时，杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道.1、圆周运动中绳模型的应用 【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。

求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：(1)小球通过最高点时的最小速度；(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ） A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。

一.竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。

2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球受力特征除重力外，物体受到的弹力向下或等于零除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上受力示意图过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，mg－F N＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心，并随v的增大而增大3.竖直面内圆周运动问题的解题思路二. 杆—球模型经典例题讲解与对点演练（一）例题例1：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( ) A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A解析 当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，即当速度v ＝gR时，轻杆所受的弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，若v <gR ，则有：mg －F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v >gR ，则有：mg ＋F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C 、D 错误．（二）杆—球模型对点演练：1.如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B ，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( ) A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gL C ．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L ，解得：F ＝1.5mg ，根据牛顿第三定律可知，C 正确，D 错误．2.(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。

高中物理圆周运动知识点总结高中物理圆周运动知识点1.圆周运动：质点的运动轨迹是圆周的运动。

2.匀速圆周运动：质点的轨迹是圆周，在相等的时间内，通过的弧长相等，质点所作的运动是匀速率圆周运动。

3.描述匀速圆周运动的物理量(1)周期(T)：质点完成一次圆周运动所用的时间为周期。

频率(f)：1s钟完成圆周运动的次数。

f=(2)线速度(v)：线速度就是瞬间速度。

做匀速圆周运动的质点，其线速度的大小不变，方向却时刻改变，匀速圆周运动是一个变速运动。

由瞬时速度的定义式v=,当&Delta;t趋近于0时，&Delta;s与所对应的弧长(&Delta;l)基本重合，所以v=，在匀速圆周运动中，由于相等的时间内通过的弧长相等，那么很小一段的弧长与通过这段弧长所用时间的比值是相等的，所以，其线速度大小v=(其中R是运动物体的轨道半径，T为周期)(3)角速度(&omega;)：作匀速圆周运动的质点与圆心的连线所扫过的角度与所用时间的比值。

&omega;==，由此式可知匀速圆周运动是角速度不变的运动。

4.竖直面内的圆周运动(非匀速圆周运动)(1)轻绳的一端固定，另一端连着一个小球(活小物块)，小球在竖直面内作圆周运动，或者是一个竖直的圆形轨迹，一个小球(或小物块)在其内壁上作竖直面的圆周运动，然后进行计算分析，结论如下：①小球若在圆周上，且速度为零，只能是在水平直径两个端点以下部分的各点，小球要到达竖直圆周水平直径以上各点，则其速度至少要满足重力指向圆心的分量提供向心力②小球在竖直圆周的最低点沿圆周向上运动的过程中，速度不断减小(重力沿运动方向的分量与速度方向是相反的，使小球的速度减小)，而小球要到达最高点，则必须在最低点具有足够大的速度才能到达最高点，否则小球就会在圆周上的某一点(这一点一定在水平直径以上)绳子的拉力为零时，小球就脱离圆周轨道。

(2)物体在杆或圆管的环形轨道上作竖直面内圆周运动，虽然物体从最低点沿圆周向最高点运动的过程中，速度越来越小，由于物体可以受到杆的拉力和压力(或圆管对它的向内或向外的作用力)，所以，物体在圆周上的任意一点的速度均可为零。

竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。

G ＝10 m/s 2。

求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。

这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。

以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

圆周运动最高点和最低点拉力差-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周运动是物体在一个固定点周围沿着圆形轨道运动的一种运动形式。

在圆周运动过程中，物体会经历最高点和最低点两个特殊位置。

这两个位置的重要性在于它们对物体受到的拉力产生影响。

最高点是物体在圆周运动中轨道上离中心点最远的位置，也被称为顶点或高点。

此时，物体受到的向心力（也被称为离心力）最小，由于向心力和重力垂直，所以拉力达到最小值。

相比之下，最低点是物体在轨道上离中心点最近的位置，也被称为底点或低点。

此时，由于向心力和重力方向相同，拉力达到最大值。

拉力是维持圆周运动的关键，它提供了足够的力来改变物体的方向，使其保持固定的轨道运动。

在最高点，拉力的减小使物体克服向心力的作用，保持在圆周运动的轨道上。

而在最低点，拉力的增加则能够克服向心力和重力的合力，使物体继续沿着圆周轨道运动。

影响圆周运动最高点和最低点拉力差的因素有很多。

其中一个关键因素是物体的质量，质量越大，向心力和重力的合力也就越大，从而导致拉力差的增大。

此外，轨道的半径也会对拉力产生影响，半径越小，向心力和重力的合力越大，拉力差也就越大。

总之，圆周运动中的最高点和最低点是影响物体受到的拉力的重要位置。

最高点的拉力最小，最低点的拉力最大，这种拉力差直接影响物体能否保持在轨道上稳定运动。

了解和掌握影响拉力差的因素，对于理解圆周运动的原理和应用具有重要意义。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构将按照以下顺序呈现：引言、正文和结论。

引言部分将首先概述整篇文章的内容，接着介绍文章的结构，并最后明确提出研究的目的。

正文部分将包括两个主要部分，即圆周运动的最高点和最低点。

在每个部分中，将首先定义和解释拉力的概念和作用，然后讨论影响最高点和最低点拉力差的因素。

在结论部分，将总结分析圆周运动的最高点和最低点拉力差的关系，并提出结论。

整篇文章的目录如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 圆周运动最高点2.1.1 拉力的定义和作用2.1.2 影响圆周运动最高点拉力差的因素2.2 圆周运动最低点2.2.1 拉力的定义和作用2.2.2 影响圆周运动最低点拉力差的因素3. 结论3.1 圆周运动最高点和最低点拉力差的关系3.2 结论总结通过以上的文章结构，读者能够清晰地了解文章的整体构架，并能够逐步深入地了解圆周运动最高点和最低点的拉力差相关的概念、影响因素以及最终得出的结论。

竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型）学习目标：1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。

2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。

注意知识点：1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。

两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是：（1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。

（2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。

一、绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m ，绳长为R ，1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。

由牛顿第二定律得：向心力由重力mg 和拉力F 的合力提供：F-mg =2v m R 得：F =mg+2v m R在最低点拉力大于重力2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉力。

可知小球做圆周运动的向心力由重力mg 和拉力F 共同提供：F+mg =2v m R在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v 越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v 越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。

如果v 不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F 就会减小到0，这时小球的向心力最小F 向=mg ，这时只有重力提供向心力。

故：（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用 ，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。

mg =2v m R v 临界=Rg（2）小球能过最高点条件：v ≥Rg （当v >Rg 时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供） （3）不能过最高点条件：v <Rg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）二、杆模型：如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m ，杆长为R ，1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力mg 和拉力F的合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg =2v m R在最低点情况和绳模型一样2、在最高点时，我们对小球受力分析如图,杆的弹力F N 有可能是拉力，也可能是支持力。

高考物理易错点：对物理图像要有一个清醒的认识2021年高考物理易错点：对物理图像要有一个清醒的认识1.关于小球“系”在细绳、轻杆上做圆周运动与在圆环内、圆管内做圆周运动的情形比较这类问题往往是讨论小球在最高点情形。

事实上，用绳子系着的小球与在光滑圆环内运动情形相似，刚刚通过最高点就意味着绳子的拉力为零，圆环内壁对小球的压力为零，只有重力作为向心力;而用杆子“系”着的小球则与在圆管中的运动情形相似，刚刚通过最高点就意味着速度为零。

因为杆子与管内外壁对小球的作用力能够向上、可能向下、也可能为零。

还能够结合汽车驶过“凸”型桥与“凹”型桥情形进行讨论。

2.对物理图像要有一个清醒的认识物理图像能够说是物理考试必考的内容。

可能从图像中读取相关信息，能够用图像来快捷解题。

随着试题进一步创新，现在除常规的速度(或速率)-时刻、位移(或路程)-时刻等图像外，又显现了各种物理量之间图像，认识图像的最好方法确实是两步：一是一定要认清坐标轴的意义;二是一定要将图像所描述的情形与实际情形结合起来。

(关于图像各种情形我们差不多做了专项训练。

)3.对牛顿第二定律F=ma要有一个清醒的认识第一、这是一个矢量式，也就意味着a的方向永久与产生它的那个力的方向一致。

(F能够是合力也能够是某一个分力)第二、F与a是关于“m”一一对应的，千万不能张冠李戴，这在解题中经常出错。

要紧表现在求解连接体加速度情形。

第三、将“F=ma”变形成F=m△v/△t，其中，a=△v/△t得出△v=a △t这在“力、电、磁”综合题的“微元法”有着广泛的应用(近几年连续考到)。

第四、验证牛顿第二定律实验，是一个必须把握的重点实验，专门要注意：(1)注意实验方法用的是操纵变量法;(2)注意实验装置和改进后的装置(光电门)，平稳摩擦力，沙桶或小盘与小车质量的关系等;(3)注意数据处理时，对纸带匀加速运动的判定，利用“逐差法”求加速度。

(用“平均速度法”求速度)(4)会从“a-F”“a-1/m”图像中显现的误差进行正确的误差缘故分析。

1.匀速圆周运动1.线速度：质点通过的圆弧长跟所用时间的比值。

222s v r r fr nr t Tπωππ∆=====∆ 单位：米/秒，m/s 2.角速度：质点所在的半径转过的角度跟所用时间的比值。

222f n t Tϕπωππ∆====∆ 单位：弧度/秒，rad/s 3.周期：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。

22r T v ππω== 单位：秒，s 4.频率：单位时间内完成圆周运动的圈数。

1f T= 单位：赫兹，Hz 5.转速：单位时间内转过的圈数。

N n t= 单位：转/秒，r/s n f = (条件是转速n 的单位必须为转/秒) 6.向心加速度：22222()(2)v a r v r f r r Tπωωπ===== 7.向心力：22222()(2)v F ma m m r m v m r m f r r Tπωωπ====== 三种转动方式绳模型2.竖直平面的圆周运动１．“绳模型”如上图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m R⇒ v 临界=Rg （2）小球能过最高点条件：v ≥Rg （当v >Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力） （3）不能过最高点条件：v <Rg （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。

）（1）小球能过最高点的临界条件：v=0，F=mg （F 为支持力）（2）当0<v <Rg 时，F 随v 增大而减小，且mg>F>0（F 为支持力）（3）当v =Rg 时， F =0（4）当v >Rg 时，F 随v 增大而增大，且F>0（F 为拉力）3.万有引力定律1.开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。

圆周运动中的“最高点”与“最低点”问题作者：何兆训来源：《读与写·下旬刊》2018年第09期中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）27-0171-01除重力不计的带电粒子在匀强磁场中的运动，竖直平面内的圆周运动一般都是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。

变速圆周运动的问题一直是较为难以理解，特别是物体处于重力场和电场等复合场中在竖直平面内做圆周运动的问题更是高中物理的重点和难点内容，在物理教学中很受老师关注，在各类考试中也倍受命题老师的青睐，学生答题的出错率非常高。

分析学生出错的原因不难发现，不能准确分析圆周的“最高点”和“最低点”以及物体在“最高点”和“最低点”处具有怎样的特点与规律，是学生答题的最大障碍和瓶颈。

那么有没有一种较为容易理解的方法来解决这个困扰学生的难题呢？高中物理教学和学习中所牵涉到复合场主要是重力场，电场和磁场的复合。

而又以重力场和匀强电场的复合，重力场和匀强磁场的复合，重力场，匀强电场和匀强磁场的复合等为主要表现。

不管是哪种复合，找出圆周运动的“最高点”和“最低点”的解决问题的关键。

这里提到的“最高点”和“最低点”并不是空间位置中的最高点和最低点，在只有重力场的情况下我们知道竖直平面内的圆周运动的最高点就是最高的那一点，最低点也就是最低那一点。

因为在重力场的情况下速度最小的位置在最高的那一点，这一点向心力最小，速度最大的位置在最低的那一点，这一点向心力最大。

所以我们通常用“最高点”和“最低点”来代表速度最小和速度最大的两个位置。

那在复合场中我们又如何找出圆周运动速度最小的“最高点”和速度最大的“最低点”呢？这里我们可以从功能关系来得出答案。

物体从“最高点”向“最低点”运动速度不断增大，合外力与速度夹角小于900做正功，物体“最低点” 向“最高点”运动运动速度不断减小，合外力与速度夹角大于900做负功。

竖直面内圆周运动问题物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常有两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：v 2[例](2013·重庆模拟)如图4－3－8所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m 的小球A 、B 以不同的速度进入管内。

A 通过最高点C 时，对管壁上部压力为3 mg ，B 通过最高点C 时，对管壁下部压力为0.75 mg ，求A 、B 两球落地点间的距离。

[解析] A 球通过最高点时，由牛顿第二定律F N A ＋mg ＝m v 2AR已知F N A ＝3mg ，得v A ＝2RgB 球通过最高点时，由牛顿第二定律 mg －F N B ＝m v 2B R已知 F N B ＝0.75mg ，得v B ＝12Rg 平抛落地时间t ＝ 4R g故两球落地点间的距离Δl ＝(v A －v B )t 解得Δl ＝3R练习1．(2013·佛山模拟)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( )A ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝g (R ＋r )B ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：选BC 小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A 错误，B 正确；小球在水平线ab 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N 与球重力在背离圆心方向的分力F mg 的合力提供向心力，即：F N －F mg ＝m v 2R ＋r ，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C 正确；小球在水平线ab 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D 错误。

圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力于小球的重力；③当v＝gr 时，杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时，杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道.1、圆周运动中绳模型的应用 【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。

求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：(1)小球通过最高点时的最小速度；(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？vR 【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ） A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。

理解绳球模型最高点临界速度柳少虎中国石油天然气管道局中学（河北廊坊 065000）竖直面内的圆周运动包括两大类：绳球模型和杆球模型，由于绳模型不能产生推或支持的力学作用，故绳球模型中小球通过最高点的最小速度问题始终是学生易混淆的方面，现作以解释说明。

假设在最高点速度很大，绳必有拉力，合力充当向心力，得：rv m mg F T 2=+ ∵0≥T F ，∴r v m mg 2≤，即gr v ≥，当0=T F 时，速度有最小值gr v =。

问题1：当速度更小时为什么就无法通过最高点了呢？ 设当小球到达图示位置时，受力分析可知，沿半径方向的合力为向心力，即rv m mg F T 2cos =+θ，在继续往上运动过程中，重力做负功，动能减少，速度变小，rv m 2变小，θ变小，θcos mg 却变大。

要保证等式成立，显然T F 需变小，当T F 减少为零时，则有rv m mg 2cos =θ，即θνcos gr =，小球运动满足斜抛条件，不再作圆周运动了。

问题2：斜抛就一定无法达到圆周的最高点吗？由斜抛运动知识，由抛出点到最大高度，上升的距离为2cos )cos 1(2)sin (22θθθ-==r g v h 。

抛出点到圆周最高点的竖直高度差为θcos 'r r h -=。

由数学知识可知1cos )cos 1(2≥+='θθh h ，即h h ≥'，要使h h ='，即斜抛高度低于圆轨道最高点，则需：0=θ，此时斜抛位置在圆周最高点，即gr =ν，这正是小球到达圆周最高点时所需的最小速度。

由上可知，物体在绳模型约束下在竖直平面内做圆周运动，通过最高点的最小速度为gr =ν，若不符合这一条件，小球在到达最高点前的某一位置就脱离圆轨道做近心抛体运动了，而抛体运动的最高点总是低于圆轨道最高点。

对绳球模型最高点速度的一点说明
竖直面内的圆周运动包括两大类：（1）绳球模型 （2）杆球模型
但绳球模型模型中的最高点的最小速度问题始终是学生模糊的问题。

习惯上的证明如下：假设在最高点速度很大，绳必有拉力，合力充当向心力，得：r v T
m mg F 2=+ ∵0
≥T F ∴r v m
mg 2≤ 即：gr v ≥
当0=T F 时gr v =最小值
但接下来的问题是当速度更小时为什么就无法通过最高点了呢？让我们证明一下吧。

如图所示：
当小球到达图示位置时，受力如图，沿半径方向的合力指圆心充当向心力。

r v T m mg F 2
cos =+θ 在继续往上运动过程中，重力做负功，动能减少，速度变小r v m 2
变
小，而θ变小θcos mg 却变大。

要保证等式成立，显然T F 要变小，当T F 减少为零时，则有
r v m mg 2
cos =θ
θνcos gr =
小球满足斜抛条件，不再作圆周运动了。

那么，斜抛就一定无法达到圆周的最高点吗？答案是肯定的。

斜抛由抛出点算起上升的最大高度为：
2cos )cos 1(2)sin (22
θθθ-==r g v h
而抛出点到圆周最高点的竖直高度差为： θcos 'r r h -=
2cos )cos 1(cos 2'θ
θθ--=r r r h h 1cos )cos 1(2≥+=θ
θ ∴h h ≥'
即斜抛高度低于圆轨道最高点，若取等号则需：o 0=θ
此时斜抛位置在圆周最高点：
gr =
ν。

绳球模型与杆球模型摘要：绳球模型与杆球模型作为竖直面内圆周运动的典型，在高中物理分析综合能力考查中属于重点内容，也是难点内容。

本文就带大家一起来从根本上认识它们。

关键词：高中物理；绳球模型；杆球模型绳球模型与杆球模型作为竖直面内圆周运动的典型，在高中物理分析综合能力考查中属于重点内容，也是难点内容。

它常常与能量观点综合运用，用于解决实际生活中的诸如过山车、水流星等运动。

因此正确认识、区分、理解这两种模型十分重要，本文就带大家一起来从根本上认识它们。

首先来看看它们的相似之处。

两种模型“外貌相似”：如下图（1）轻绳L一端栓结可视为质点的小球m，另一端绕水平转轴O在竖直面内转动即为绳球模型；将轻绳换作轻杆即为杆球模型图（2）。

“向心力的来源相似”。

讨论小球向心力的来源，都是轻绳（或轻杆）的作用力与小球重力的合力沿半径方向的分量来提供。

绳球模型与杆球模型如此相似，难道就是一个字的差别？它们究竟有哪些区别呢？首先从根本上讲，轻绳与轻杆提供的力不一样：轻绳只能给小球提供沿着绳并指向绳收缩方向的拉力，而轻杆既可以给小球提供向圆周内的拉力，也可以提供向圆周外的推力，甚至它提供的力可以不沿着轻杆自身。

其次约束情况不一样：轻绳对球产生了单面约束，即小球不能跑到半径为L的圆周以外，但可以跑到半径为L的圆周之内，轻杆对球产生了双面约束，小球既不能跑到半径为L的圆周以外，也不能跑到半径为L的圆周之内，只能在半径为L的圆周上运动。

其三小球运动情况不一样：绳球模型中小球不能实现竖直面内匀速圆周运动，只能是一般圆周运动，杆球模型中小球能够实现在竖直面内匀速圆周运动。

第四做功情况不一样：轻绳对小球不做功，小球机械能守恒，而轻杆可以对小球做功改变其机械能。

最后，小球在最高点的临界条件不同，这点是常考点。

（默认向下为正方向）绳球模型小球在最高点时：mg+T=mv2L，其中T≥0，因此mg≤mv2L，即有v≥gL，故绳球模型中小球过最高点时的最小速度为gL。