抛物线焦点弦的性质(1)

抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用如下：
首先，抛物线焦弦的性质决定了抛物线的几何特性。

抛物线的焦弦公式是y=4ax，这个式子定义了抛物线的性质，一般在其中，a是抛物线的两个焦点之间的距离，因此可以用这个性质来确定抛物线的几何特性。

其次，抛物线焦弦的性质也可以应用于统计学中。

在统计学中，抛物线焦弦是一种线性回归的拟合方法。

它能推断出两个变量之间的相关性，从而用于市场营销、供应链管理以及其他方面的数据预测和分析研究。

最后，抛物线焦弦的性质也可以用于科学研究中。

以抛物线焦弦为模型，可以表达出粒子动力学中问题的数学解。

例如在分子动力学中，用抛物线焦弦可以解释温度和粒子冲突频率之间的关系，从而为科学研究提供新的指导思想。

抛物线焦弦的性质使抛物线变得更加精妙。

它对于几何的解决、统计的分析以及科学研究的指导都具有重要的意义，为我们探究物理现象提供了新的可能性。

抛物线焦点弦的性质过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F （2p，0）斜率为k （0k ≠）的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若),(11y x A 、),(22y x B ，则：（1）4221p x x =⋅，221p y y -=⋅；（2）焦点弦122212||2(1)sin p AB x x p p k θ=++=+=（θ为直线l 的倾斜角）： （3）pBF AF 2||1||1=+； （4）22sin AOBp S θ∆=。

证明：（1）由于直线l 过点(0)2p F ，斜率为k ，故其方程为()2py k x =-，联立抛物线方程22y px =得到2220ky py kp --=①，所以221p y y -=⋅，212122()4y y x x p ⋅=24p = （2）由抛物线定义可知11||2p PF x =+，22||2pPF x =+，所以p x x AB ++=21||，又因为()2p y k x =-（0k ≠），所以12p x y k =+，所以12121()x x y y p k +=++，由①式可知122p y y k +=，所以2121||2(1)p AB p p p k k k=⋅++=+，又因为θ为直线l 的倾斜角，当90θ≠︒时，θtan =k ，代入21||2(1)AB p k =+化简得θ2sin 2||p AB =，当90θ=︒时，直线l 垂直x 轴，122p x x ==，22||2sin pAB p θ==，所以θ2sin 2||p AB =成立。

（3）因为1221212121111||||()2224x x p p p p p AF BF x x x x x x +++=+=+++++，把4221p x x =⋅代入化简得pBF AF 2||1||1=+。

（4）由于11||||sin()||||sin 22AOB AOF BOF S S S OF AF OF BF πθθ∆∆∆=+=⋅⋅-+⋅⋅ 221112||sin (||||)||||sin sin 2222sin 2sin p p p OF AF BF OF AB θθθθθ=⋅⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅=抛物线焦点弦的性质在解题过程中有着广泛的应用，特别是在解选择题与填空题时，运用抛物线焦点弦的性质可以提高解题速度。

过抛物线的焦点的弦的一般性质不妨设抛物线方程为)0(22>=p px y ，则焦点)0,2(p F ，准线l 的方程：2p x -=. 过焦点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，又作AA 1⊥l , BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1.基本概念:1.若AB 垂直于抛物线的对称轴，则称线段AB 为抛物线的通径。

|AB|= .2.设P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2px(p>0)上的一点，则P 到抛物线焦点F 的距离|PF|称为P 点的焦半径。

|PF|= ；直线AB 经过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)（AB 则为抛物线的焦点弦）.结论1：4221p x x =⋅ (定值)，22212k p p k x x +=+. 结论2：221p y y -=⋅ (定值)，k p y y 221=+.结论3：(1)弦长p x x p x p x BB AA BF AF AB ++=+++=+=+=21211122||||||||||. (2) 若AB 所在的直线的倾斜角为α，则 α2sin 2||p AB =.结论4：若此焦点弦AB 被焦点F 分成n m ,两部分，则p n m 211=+．结论5：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦中通径最小．结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切．结论7：以抛物线焦半径||AF 为直径的圆与y 轴相切．结论8：F B F A 11⊥.结论9：若M 为11B A 的中点，则AB MF ⊥.结论10：在梯形AA 1B 1B 中，两对角线AB 1与BA 1相交于点抛物线顶点O .。

抛物线焦点弦8个结论抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。

抛物线的焦点是其特殊的性质之一，下面将介绍抛物线焦点的八个结论。

一、焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。

抛物线的焦半径是从焦点到抛物线的准线的垂直距离，而抛物线的顶点是其最高点。

这个结论表明，焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。

二、焦半径与准线垂直。

焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段，而准线是抛物线的对称轴。

这个结论说明，焦半径与准线垂直。

三、焦点到直线的距离等于焦半径的长度。

抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。

这个结论说明，焦点到直线的距离等于焦半径的长度。

四、焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。

抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的切线的垂直距离。

这个结论表明，焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。

五、焦点是抛物线上的所有切线的焦点。

抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有切线的焦点。

这个结论说明，抛物线上的所有切线都会经过焦点。

六、抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。

抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。

这个结论表明，抛物线上的所有切线都会与准线在焦点上相交。

七、焦点是抛物线上的所有法线的焦点。

抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有法线的焦点。

这个结论说明，抛物线上的所有法线都会经过焦点。

八、抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。

抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。

这个结论表明，抛物线上的所有法线都会与准线在焦点上相交。

通过以上八个结论，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。

抛物线焦点的研究不仅对于数学学科有重要意义，也在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

对于工程设计、物理实验等方面的问题，我们可以利用抛物线焦点的性质来解决。

有关抛物线焦点弦的十条性质—————从一道高考题的八种证法谈起本文对2009年湖北省高考数学理科第20题第（Ⅰ）问给出八种解法，同时总结有关抛物线焦点弦的十条性质。

一、原题再现 过抛物线22(0)y px p =>对称轴上一点(,0)A a(0)a >的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N分别向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N .（Ⅰ）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥.二、一题多证证法１：设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则11(,)2p M y -、12(,)2pN y -，则11(,)AM p y =-12(,)AN p y =-．显然直线ＭＮ的斜率不为０，故可设直线ＭＮ的方程为：2p x ty =+． 由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y pty p --=, 因为1y 、2y 是方程2220y pty p --=的两根， 由韦达定理得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法２： 设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p ，因为M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN，所以221221()()02222y y p p y y p p ---=，得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法3：由抛物线定义可得：11MN MA AN MM NN =+=+，设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p，则11(,)2p M y -、12(,)2p N y -，将MN MA AN =+222122y y p p p++，化简得：2212()0y y p +=， 所以212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法4：设A 点内分MN 的比为λ，221212221201y y p p p y yλλλλ⎧+⎪⎪=⎨+⎪+⎪=+⎩，消去λ得：212y y p =-， 从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法5：设211(,)2y M y p 、222(,)2y N y p ，则11(,)2P M y -，12(,)2P N y -∴211(,)2y OM y p= ，12(,)2P ON y =- ,由21122111()2222y y y P Py y y y p p --=+， 由性质1 212y y p =-，可得2121()022y P y y p --=，所以M 、O 、1N 三点共线,可求出，221p y y =-，即可得212y y p =-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法6：设抛物线的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数），于是可设211(2,2)M pt pt ，222(2,2)N pt pt ，因为M 、N 为两个不同点，则12t t ≠，由M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN，可得方程221212()(4)0t t p t t p -+=，所以221240p t t p +=，得1214t t =-， 所以22121212224y y pt pt p t t p =⋅==-，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法7:以抛物线焦点为极点则其极坐标方程为1c o spρθ=-,则(,)M ρθ、(,)N ρπθ+，所以212sin (sin )1cos 1cos p py y p θθθθ=⋅-=--+，从而可证得2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即证得11AM AN ⊥．证法8：由抛物线定义得：1MM MA =、1NN NA =， 所以11MM A MAM ∠=∠、11NN A NAN ∠=∠， 因为11//MM NN ，所以11M MA N NA π∠+∠=， 即11(2)()MAM NAN πππ-∠+-∠=， 可得112MAM NAN π∠+∠=，所以112M AN π∠=，即证得11AM AN ⊥．四、引出性质性质1：已知抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点弦AB 的坐标分别为(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 1y 2=-p 2，4221p x x =.性质2：以抛物线y 2=2px(p ＞0)焦点弦AB 端点向准线作垂线，垂足分别为M 、N ，则FM ⊥FN.(其中F 为焦点).性质3：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：p x x AB ++=21结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y pp y y x y k oB oA2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oAk p y y ppk =-=-=所以三点共线。

抛物线焦点弦的性质及其应用2000.1～2口知识应用抛物线焦点弦的性质及其应闻广东省湛江一中(524038)王增生抛物线焦点弦具有不少性质,均散见在各类书刊上.本文将系统地归纳集中,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的,更深刻的了解.从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.1.焦点弦(通径)的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行)被抛物线截得的线段,叫做抛物线的焦点弦,如图(1).线段…D图B叫做抛物线Y=2px(户>O)的焦点弦?当AB垂直于抛物线的对称轴时.AB叫做抛物线的通径.2.焦点弦的性质定理l抛物线焦点弦长等于2户(1+古)或.并且以通径长为最小,最小值为2户.(其中,S1n.口或口为焦点弦的斜率或倾斜角O.<a<180.)证:AB所在直线为y=k(x一号)代人y2—2px,整理得:屉2X2--(屉:+2)户+:o.这里.+:=(1+吾)户.据图(1)和抛物线的定义知,IABI---- IAFI+II=laAI+IBBI=十号)+(z十号)=2户(1+吉)或令^=tg口,则IABI=2户(1+ 去)=i2_nL:.显然当屉+..或a专时,焦点弦AB即为通径,其长度为最小值2户.定理2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数譬和一户.证:由图(1),不妨设A(1,y.),B(.2,Y2),据定理1证明过程知??.=等,将y=k(x一号)(≠o)改写成=T1(+譬)代人2=2px,整理得亭大界(一由It)一2py--/,k=O,.Y1Y2=一声.定理3抛物线焦点弦的两个蛸点在准线上的射影和焦点的莲线互相垂直.证明:如图(2)记A,B分别是焦点弦A(,y1),B(:,Y:)在准线上的射影,则,(一,y1),B(一粤,y2).因为kA'F=二,Kt,=?警JI.,_一A/….一竣.2)及定理2知?弛=--.I'可得屉,,'kB'F~--1,...AF上BF.定理4抛物线焦点弦为直径的圆必切此抛物线的准线.证:如图(3),M为弦AB的中点,A,M:B在准线=一号上的投影分别是A,M,B,据抛物线的定义,得IBFI=IBBl,J;_一lAFI=lAA,I,IABl=f从I+fBB1.村为梯形ABBA的中位线,...IMMI=÷(IAAI+I●1船1)=÷IA引,焦点弦为直径的圆必与准线相6 切..定理5抛物线焦点弦的两个端点的切线互相垂直.并且交点必在准线上.让:郊幽【4),凼切点锾AB过焦点F(詈,0),以由定理2知1.y2一户?又屉柚,屉=蚩?..屉柚'鼬==兰一1,...AQ~BQ,故有切线百相垂富.I/.5l数掌大世界(一巾版)设两切线的交点为Q(x.,Y.).易知切点弦方程为=户(+Xo).将(告,O)t~A,得户(Xo+告)=0.-..0=一告,即Q(.,.)在准线一一告上.特别地,当焦点弦为抛物线的通径时,其切线的交点即为对称轴与准线的交点.定理6如果抛物线两条切线的交点在准线上.则切点弦必为焦点弦.证;由定理5证明过程知,切点弦的方程为Y oY=P(+0).令=0,则=一.因为点Q(0,)在准线上,..一一告.一告,即切点弦必过焦点.3.应用举例例1设.为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦.已知lOFl—a,lPQl一6.求/xOPQ的j,r.图(5)面积.(91年全国高中联赛试题)解:由题意知P一2a,所以抛物线可设为Y=4n(n>0)据定理1,lQ『=.sinn一旦鱼,记Y,Yz分别为P,Q两点的纵坐标,则S△P0.=÷l OFl(1Ytl+lY21)一÷lOFllPQl?sina=÷absinO一.~/,.?例2抛物线Y=4p(+户)(户>0)中有两条过原点且互相垂直的直线分别交抛物线于A,B,C, D,试求IABl+lCDl的最小值.解:设AB与抛物线的对称轴OX的倾斜角为n (0,<180.),由坐标平移性质知,原点.恰为抛物线的焦点F?因此由定理1知lABl=,ICDI=4p(0.<口-(180.)...IABI+ICDI一4户(sin+COS'口'口)=≥16户.这里当且仅当n一7r一_~347r时取等号,.'.1ABl+lCDl的最小值是16p.例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R.求证:lFRl=÷lPQl(97广东赛题)证:为不失一般性,设抛物线方程为Y=2px(户>0)如图(6),由定理1知,lPQl一乞.直线PQ的S2?2000.1～2-q参数方程为{专+0s(f为参数).代入22(y=tsina2px整理得t2sin口一2ptcosa--p=0.依题意,lFl=1l:1一....IFRI一:一1lPQ1.例4如图(7),A,B为抛物线Y一2px焦点弦AB在准线上的射影,Q是焦点弦端点的两条切线的交点.求证,Q,K,F,S四点共圆.证:由定理3知AF上BF,由定理5,AQJ-BQ,所以Q,K,F,S四点共圆.例5过抛物线Y一4x的焦点F弦AB的中点的纵坐标为4,求AOB的大小.(o为坐标原点)L'..《JF..<马图(7)证:由定理5易知AOB必为钝角,lOAf=} +},lOBl一l+Yl,lABl:(l—2)+(—Y2),一兰兰±!而~/(l2)+(lY2)+(lY2)+(2Y1)由定理2知12—1,YlY2=一4且一lY2,Yl2,一0.'.COSAOB一——=====兰l-=~/17-t-y~-t-y;.:一一3~/17+(l+她)一2ylY2因为Yl+Y2=8,-..COSAOB=一—,即,.~/890.fAOB一一arccos—兰=.~/89例6从抛物线=2px的准线上任取一点P,作抛物线的两条切线PA,PB,A召为切点.求/xPAB外接圆面积的最小值.解:由定理6知,切点弦即为焦点弦AB.由定理5知,焦点弦AB为直径的圆必与准线相切...-点P 即为直线=一要和以A8为直径的圆相切时的切●l点,再由定理1知,当焦点弦为通径时,△APB的外接圆面积将最小.此时R—P,因此面积最小值为玎户.例7如图(8),从抛物线Y一2px(户>O)的准线上一点Q引两条切线QA,QB,A,B为切点.且A,B在准线上的射影为D,D,连结QF.求证:(1)DQA:AQF,FJ:D——…//Q\——图(8)一BQD,(2)线段IAFI,IQFJ,IBFI成等比数列.证:(1)记点Q(一鲁,Y o).由定理6知,切点弦AB必过焦点F,.AB方程可写为一(一等),一一,又.,一Y o,五.五.,一一1,?QF上AB.由抛物线定义知IAFI=IADI,IBFI=IBDI,.'.AQ,BQ分别平分FQD,FQD,...ADQ:AQF,BQF=BQD.(2)由定理5知AQ上BQ,.在Rf/xAQB中有fOFI=IAF}.IBFI,故lAFI,IOFI,lBFI成等比数列.例8定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M.求点M到Y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.解:这是87年高考理科的一道压轴题,解法甚多,如果用上述定理解可以说比任何一种方法都简捷明快得多.事实上,点M到Y轴的距离最短,等价于以AB为直径的圆的圆心到准线一一÷的距离最短,由定理4知当线段AB经过焦点(÷,o)且以AB为直径的圆恰好与准线相切,此时易知圆的半径为R—llABl=32....点M到轴最短距离为3一1一C.÷.由定理5知,焦点弦端点的切线交点必在准线上....其中必有FMY.,注意到切点弦的斜率五=A._一2z一,又五=五一=一一一,即一....一士.因此所求点M的坐标为(辜,士).口学生习作数学大世界(■{ll版)甥发觉陶锚解江西莲花中学高三)(337100)周雁一,理解性错解例1设,(,z)一1+2+3+…+,z,求lira器的值错解:..'f(n)=1+22"+…+,z一÷(+1)(2n+1),(,z)]一(1+2+…+,z);÷,z(,z+1).而f(nz)==2(1+)(2+)——_一03n(1+)析':这是由于对f(n)的理解而导致的错解.其实,f(n)表示前,z个自然数的和,即f(n.)一1+2 +…+(,z2—1)+,z2一÷,z(,z+1),故告=2.,例21+2i是方程+tx+8=0的一个根,求t的值.错解:...1+2是方程的一个根,所以1—2i也是方程的一个根,故t一一((1+2)+(1—2)]=一2.析:这是由于把t错认为是实数,而本题并没有说明t是实数,其实,(1+2)+t(1+2i)+8—0,.t 1—4+4+85+4i6i一13一—主一一丁二,忽视定义域而导致的镶解例3函数,()的定义域关于原点对称,且对于定义域中任意两个不同的值.,,都有f(x一)=今毒,求,)是何种函数?错解:设是定义域中的一个值,令=0,一得f(--x)=再令Xl—,=0得,,)一今:一一一,c—...厂)是奇函数.析:显见,函数,(奎)的定义域不一定包含零. 正解:由已知式fCT--X一今毒,说明-与z的差.--X一在定义域内,因其它义域是关于原点对称的,所以一=z—也在定义域内,则有f(一.)f7(x2)f=(x7z)+1一一f(x1),(2)+1一f(x2)一f(x1)于是f(xl--X2)+f(x2一1)一0即f()+f(--)=0.因此,,()是奇函数.53。

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ 结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。

抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。

在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。

首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。

我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。

标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。

焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。

现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。

假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。

首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。

根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。

所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。

112t1 2 1 2t t P P+ 2= P P p y 2 抛物线性质 30 条已知抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) ，AB 是抛物线的焦点弦，点 C 是 AB 的中点.9. C 'F ⊥ AB ；证明： C 'F ⋅ AB = ( p , -y 1 + y22 ) ⋅ (x 2 - x 1, y 2 - y 1)14. 过抛物线准线上任一点 P 作抛物线的切线，则过两切点 Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且 PQ 1 ⊥ PQ 2 .pAA’垂直准线于 A’， BB’垂直准线于 B’， CC’垂直准线于 C’，CC’交抛物 y 2 - y 2 y 2 y 2 y 2 - y 2 证明：设点 P (- 2 , t )(t ∈ R ) 为准线上任一点，过点 P 作抛物线的切线，切线于点 M ，准线交 x 轴于点 K. 求证：= p (x 2 - x 1 ) + 1 2 = 2 - 1 + 1 2 = 0y 2 2p p2 2 2 2 点 为 Q ( , y ) , y = 2 px 两 边 对 x 求 导 得1. | AF |= x 1 + 2 ,| BF |= x 2 + 2 ,2 p1 12 yy ' = 2 p , y ' = p , ∴ p = K=y - t ,∴ y 2 - 2ty - p 2 = 0,2. CC ' = AB = ( AA ' + BB ' ) ；y yPQy 2 + p2 22 p 210. AF =1- c os α； BF = 1+ cos α；显 然 ∆ = 4t 2 + 4 p 2> 0,切 点 有 两 个 ， 设 为 证 明 ： 作AH垂 直 x轴 于 点 H ， 则y 2y 2 2Q 1 ( 1 , y 1 ),Q 2 ( 2, y 2 ), 则 y 1 + y 2 = 2t , y 1 y 2 = -p , | AF |=| AA ' |=| KF | + | FH |= p + | AF | cos α,∴| AF |=p. 同理可1- cos α证另一个.2 p ∴ k FQ - kFQ 2 = 2 p y 1 - y 2 p y 2 = y 2 p 2py 1 - y 2 - p 22py 2 y 2 - p 23.以 AB 为直径的圆与准线 L 相切；证明：CC’是梯形 AA’BB’的中位线，1 -2 p 2 - 1 22 p 2 | AB |=| AF | + | BF |=| AA '| + | BB '|= 2 | CC '|= 2r= 2 py 1 - 2 py 2= 2 p - 2 p = 0, 所以 Q Q 过焦点. y 2+ y y y 2 + y y y + y y + y 1 21111. ; 1 1 22 1 212 1 2Py 2p y 2p y 2 y 2 y 2 + y 2p 2 2PQ 1 ⋅ PQ 2 = ( 1 + , y 1 -t )⋅( 2 + , y 2 -t ) = 1 2 + 1 2+ + y 1y 2 -t (y 1 + y 2 ) +t 4. ∠AC 'B = 90；(由 3 可证)5. ∠A 'FB ' = 90；证明：由 AF = 1- c os α ； BF = 1+ cos α；得证.2p 2 2p 2= -p 2+ y 2 + y 2- 2= - p 2 + ( y 4p 24 4 + y )2 - 2 y y - 2 = - p 2 + 4t 2 + 2 p 2 - 2 = 证明： AA ' FK ,∴∠A 'FK = ∠FA 'A ,| AF |=| AA ' |,∴∠AA 'F = ∠AFA ',∴∠A 'FK =1 ∠AFK ,212. 点 A 处的切线为 y 1 y = p (x + x 1 ) ;2 4 2 4 2 4∴ PQ 1 ⊥ PQ 2 .'1 证明：（方法一）设点 A 处切线方程为 y - y = k (x - x ) ，与 y2 = 2 px 联立， 同理： ∠B FK = 2 ∠BFK ,得证.11得ky 2- 2 py + 2 p ( y - kx ) = 0, 由 ∆ = 0 ⇒ 2x k 2- 2 y k + p = 0,15.A 、O 、 B '三点共线；B 、O 、 A '三点共线；1111证 明 ： A 、 O 、 B '三 点 共 线6. C 'F = 1A 'B ' .解关于 k 的一元二次方程（它的差别式也恰为 0）得： k = y 1 2x = p,得证. y⇐ k OA = k OB ' ⇐ x 1 y 2 = - 2y 1 ⇐ 1 y 2 = -y 1 ⇐ y 1 y 2 = - p . 2证明：由∠A 'FB ' = 90得证.证 法 二 ： （ 求 导 ）y 2 = 2 px 11两 边 对 x 求 导 得2 2 p 2同理可证：B 、O 、 A '三点共线.2 yy ' = 2 p , y ' = p , y ∴ y ' | x = x 1 = p , 得证.y 116. y ⋅ y = - p 2； x ⋅ x = p7. AC ' 垂直平分 A 'F ； BC '垂直平分 B 'F ；12124p 2' 1 ' ' ' = 1 ' ' ' ' 证 明 ： 设 AB 的 方 程 为 y = k (x - 2) ， 与 y = 2 p x 联 立 ， 得证明：由 C F = A B 2可知， | C F | 2 | A B |=| C A |,ky 2 - 2 py - kp 2 = 0,又 | AF |=| AA ' |,∴得证. 同理可证另一个.2 py 2 y 2 p 4 p 2 13. AC ' 是切线，切点为 A ； BC '是切线，切点为 B ；∴ y + y = , y y = - p 2 , ∴ x x = 1 ⋅ 2= = . 证 明 ： 易 求 得 点 A 处 的 切 线 为 y 1 y = p (x + x 1 ) ， 点 B 处 的 切 线 为1 2 k1 22 p1 22 p 2 p 4 p 24 8. AC ' 平分 ∠A 'AF ， BC ' 平分 ∠B 'BF ,A ’F 平分 ∠AFK ， B ’F 平分 y 2 y = p (x + x 2 ) ，解得两切线的交点为C '(- p ,y 1 + y 2) ,得证. 2 217. AB = x 1 + x 2 + p = sin 2 αp p∠BFK .证明：由 AC ' 垂直平分 A 'F 可证.证明： AB = | AB |= AF + FB = x 1 + 2 + x 2 + = x 1 + x 2 + p ,2 p = 2 p 1+ cot 2α = 2 p . 得证. sin 2αAF BF 1 + 1 k 2 ( y + y ) 2 - 4 y y 1 2 1 21 + 1 (2 p ) 2 + 4 p 2 k 2 k 1 + 1 k 22 0,p 2( y + y )2- 4y y 1 2 1 2p 2 2 ( k ) + 1 1 2 1+ 1 k 2 1+ 1 k 2 11 21 2 2 AF APAP AA p 2 25. 设 CC’交抛物线于点 M ，则点 M 是 CC’的中点；28.设点 A 、B 在准线上的射影分别是 A 1，B 1，则 PA 垂直平分 A 1F ， PB 垂18. S ∆AOB =2 sin α；C ( x + x , y + y ), C '(- p ,y + y),∴CC '中点横坐标为 x + x - p , 直平分 B 1F ，从而 PA 平分∠A AF ，PB 平分∠B BF1 p p 证：1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 4 证明： k ⋅ k=p ⋅ 10 - y 1 = p⋅ (- 1y 1) = - 1,∴ PA ⊥ A F ,证明：S ∆AOB = S ∆OFA + S ∆OFB = ⋅ = y 1 + y 2 2PAA 1Fy p p y p 12 2 4把 y =2代入 y = 2 px ，得1- (- )1= p 2 2p 2 2 2222= 21+ cot α= 2 sin α.y 1 + y 2 + 2y 1 y 2 = 2 px , ∴ 2 px 1 + 2 px 2 - 2 p = 2 p x , x = x 1 + x 2 - p .又| AF |=| AA 1 | ，所以 PA 垂直平分 A 1F. 同理可证另一个. 4 4 4y 2 p ypx + x - p证法二： k AF = 1= 1 ,k AP = ,k AA = 0, 所以点 M 的横坐标为 x = 1 2 .点 M 是 CC’的中点.y - p y - p 2 2 y 1 11 1 32 ∆AOB⎛ p ⎫2 pp 2当弦 AB 不过焦点时，设 AB 交x 轴于点 D (m , 0) (m > 0) ,设分别以 A 、B 2 p 219.= 2⎪ （定值）；证：由 AB=sin 2α、S ∆AOB =2 sin α得证.k - kk - k ⎝ ⎭为切点的切线相交于点 P ，求证：26.点 P 在直线 x = -m 上证明：设 AB : x = ty + m , 与 y 2= 2 px 联立，得∴ t an ∠FAP - tan ∠PAA = AF AP - APAA 111+ k ⋅ k 1+ k ⋅ k 12py p p p21 - -0 2py - (y2 - p 2 )py 2 - 2 pty - 2 pm = 0,∴ y + y = 2 pt , y y = -2 pm ，y 2 - p 2y 1 y 1 y1 p py2 + p3 p p p 20． S ∆ABC ' =21 2 1 2= 1 - 1 = 1 - = 1 - = - = 0sin α⎧ P A : y y = p ( x + x )y 2y 2y + y2py p py 2 - p 2 + 2p 2y y (y 2 + p 2 ) y yy又由⎨1 1， 相减得( y- y ) y =1-2 ,∴ y =12,1+ 1 ⋅ 1+ ⋅0 1 1 1 1 111证明： S ∆ ABC ' = 1 | AB | ⋅ | PF |= 1 ⋅ 2 p ⋅ 2 2 12⎩ P B : y 2 y = p ( x + x 2 )y 2+ y y y222 2y 2 - p 2 y 1y 1p 2代入 y 1 y = p (x + x 1 ) 得， 1 1 2= px + 1 ,∴ y 1 y 2 = 2 p x ,∴ x = -m , ∴ t an ∠FAP = tan ∠PAA , ∴∠FAP = ∠PAA . 同理可证另一个= p ⋅ p 2 (1+ 1 )= k 2 sin 2 α22得证.1129. ∠PFA = ∠PFB 证明：21. AB ≥ 2 p ；证明：由 AB2 psin 2 α得证.∆PAA 1 ≅ ∆PAF ⇒∠PFA = ∠PA 1A ,同理：∠PFB = ∠PB 1B ,∴只需证∠PA 1A = ∠PB 1B , 易证： | PA 1 |=| PF |=| PB 1 |,∴∠PA 1B 1 = ∠PB 1 A 1, ∴∠PA 1 A = ∠PB 1B ,30． | FA | ⋅ | FB |=| PF |2p p p p 2 y 2 y 2 y 2 + y 2 p 2 2 p证：| AF | ⋅| BF |= (x 1 + )(x 2 + ) = x 1x 2 + (x 1 + x 2) + = 1 2 + 1 2 + ,22. k AB =y 1 + y 2； 证明：由点差法得证.2 2 2 4 P ( y 1 y 2 , y 1 + y 2 ),4p 2 4 423. tan α=y 1=y 2 ;2 p 2 ⎛ y y p ⎫2⎛ y + y ⎫2y 2 y 2 y 2 + y 2 p 2 PP ∴| PF |2 = 1 2 - ⎪+ 1 2 ⎪ = 1 2 + 1 2 + , 得证. x 1 - 2x 2 - 2⎝ 2 p 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭4 p 2 4 4 证明：作 AA 垂直 x 轴于点 A ,在∆AA F 中，tan α= AA 2 =y 1 , 同理2 2 2FA p27. 设 PC 交抛物线于点 M ，则点 M 是 PC 的中点；2x 1 - 2x + x y + y y + y x + x - 2m 可证另一个.证明： C ( 1 2 , 1 2 ), P (-m , 1 2 ),∴PC 中点横坐标为 1 2,2 2 2 4 把 y = y 1 + y 2 2代入 y 2= 2 px ，得24. A 'B ' 2= 4 AF ⋅ BF ;y 2 + y 2 +2y y 2px +2px -4pm x + x -2m 1 2 1 2 = 2px , y 1y 2 = -2pm ,∴ 1 2 = 2px , x = 1 2 .证明： A 'B ' 2= 4 AF ⋅ BF ⇔| y - y |2= 4(x + p )(x + p)4 4 4121 2 22⇔ y 2 + y 2 - 2y y = 4x x + 2 px + 2 px + p 2⇔ -2y y = 4x x + p 2 ，所以点 M 的横坐标为 x =x 1 + x 2 - 2m.点 M 是 PC 的中点.1 21 2 1 21 2 1 2 1 24p2由 y ⋅ y = - p 2， x ⋅ x = 得证. 4( 2 p )2 + 4 p 2kAB p 2 - ( y 1 + y 2 ) 2 2 p 2 + ( p )2k S4 =。