抛物线焦点弦的性质
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抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用
抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用如下：
首先，抛物线焦弦的性质决定了抛物线的几何特性。
抛物线的焦弦公式是y=4ax，这个式子定义了抛物线的性质，一般在其中，a是抛物线的两个焦点之间的距离，因此可以用这个性质来确定抛物线的几何特性。
其次，抛物线焦弦的性质也可以应用于统计学中。
在统计学中，抛物线焦弦是一种线性回归的拟合方法。
它能推断出两个变量之间的相关性，从而用于市场营销、供应链管理以及其他方面的数据预测和分析研究。
最后，抛物线焦弦的性质也可以用于科学研究中。
以抛物线焦弦为模型，可以表达出粒子动力学中问题的数学解。
例如在分子动力学中，用抛物线焦弦可以解释温度和粒子冲突频率之间的关系，从而为科学研究提供新的指导思想。
抛物线焦弦的性质使抛物线变得更加精妙。
它对于几何的解决、统计的分析以及科学研究的指导都具有重要的意义，为我们探究物理现象提供了新的可能性。
2.4.2抛物线焦点弦的性质
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
二、抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点弦性质：
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径
O
y
F A
B
x
性质1
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2
2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4 2 2. 若A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y 2 px ( p 0)上， 2 则 y1 y2 p 直线AB过焦点F
2
性质1:
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p
2
2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4
2
2. 若直线与抛物线 y 2 px ( p 0)的两个交点 的纵坐标 是否经过焦点F ？分析： y1、y2，满足 y1 y2 p ，则该直线
2
2
4.焦点弦长 | AB | x A xB p。 2p 5.焦点弦长 | AB | 2 si n
(其中 为L AB的倾角）
6.焦点弦长 | AB | 小=2p。 p 7.SAOB = . 2sin 8.以焦点弦AB为直径的圆与准线L相切. p 1 1 2 9.若x1x 2＝ ，则 。 4 AF BF p 10.MFN =90 .
2
2. 若直线与抛物线 y 2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p 2，则该直线是否经过焦 点F ？
设交点为A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) p 1) 若 x1 x2，则| y1 | | y2 | p x1 x2
高二数学抛物线焦点弦的性质
2
下记AB为焦点弦，H 1 H 2为通径 1. 若 H 1、 H 2的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 p 2 2. 若 A、 B的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 ？ p2
2 y y p 1) 若 AB x轴 ， 则 由 1 .知 1 2
课本P119习题 8.5的第7题
2 ) 若 AB不 垂 直 于 x轴 ， 则设 l AB
由 2 y 2 px 2p 2 消x，得 : y y p2 0 k y k( x
p ) 2
p : y k( x ) 2
y
B F
O
y1 y 2 p
2
xБайду номын сангаас
A
二、抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的焦点弦性质
p 当 90 时 ， l AB : y ( x ) tan 2 p y ( x ) tan 2 由 2 y 2 px
2p , 2 tan x1 x 2 p 4
p 2
2p 2 p2 2 | AB | 1 tan ( p ) 4 2 tan 4
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
二、抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的焦点弦性质
2
下记AB为焦点弦，H 1 H 2为通径 若 A、 B的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 p 2 p2 1. 若 A、 B的横坐标为 x1、 x 2，则x1 x 2 4 2. 若 A( x1 , y1 )， B ( x 2 , y 2 )在抛物线 y 2 2 px ( p 0)上， 则 y1 y 2 p 2 直线AB过焦点F
下记AB为焦点弦，H 1 H 2为通径 1. 若 H 1、 H 2的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 p 2 2. 若 A、 B的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 ？ p2
2 y y p 1) 若 AB x轴 ， 则 由 1 .知 1 2
课本P119习题 8.5的第7题
2 ) 若 AB不 垂 直 于 x轴 ， 则设 l AB
由 2 y 2 px 2p 2 消x，得 : y y p2 0 k y k( x
p ) 2
p : y k( x ) 2
y
B F
O
y1 y 2 p
2
xБайду номын сангаас
A
二、抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的焦点弦性质
p 当 90 时 ， l AB : y ( x ) tan 2 p y ( x ) tan 2 由 2 y 2 px
2p , 2 tan x1 x 2 p 4
p 2
2p 2 p2 2 | AB | 1 tan ( p ) 4 2 tan 4
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
二、抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的焦点弦性质
2
下记AB为焦点弦，H 1 H 2为通径 若 A、 B的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 p 2 p2 1. 若 A、 B的横坐标为 x1、 x 2，则x1 x 2 4 2. 若 A( x1 , y1 )， B ( x 2 , y 2 )在抛物线 y 2 2 px ( p 0)上， 则 y1 y 2 p 2 直线AB过焦点F
高二数学抛物线焦点弦的性质
？ 2. 若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p2
课本P119习题 8.5的第7题
1) 若AB x轴 ， 则 由1.知 y1 y2 p2
2) 若AB不 垂 直 于 x轴 ， 则设
由
y
y2
k(x
2
p) 2
px
l AB
:
y
k(x
y
p )
2
B
消x，得 : y2 2 p y p2 0 k
y1、y2，满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
2. 若直线与抛物线y2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
设交点为A( x1 , 1) 若 x1 x2，则|
y1 )，B( x2 , y1 | | y2 |
y
B
通径| H1H2 | 2 p
焦点弦长| AB | 2p sin2
(其中为直线AB与
OF A
x
的对倾称斜轴角的）夹角）
当 90 时 ， lAB : y
由
y y
( 2
x 2
p 2
px
)
tan
(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p ) tan
2
消 y，得：x2 tan2 ( p tan2 2 p)x
1) 焦点弦长 | AB | x1 x2 p
2)
焦点弦长|
AB
|
2p
sin2
(其 中为 直 线AB与
对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y2 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1, y1 )， B( x2 , y2 ) 两点．若 x1 x2 6 ，则|AB|= ____8_______
课本P119习题 8.5的第7题
1) 若AB x轴 ， 则 由1.知 y1 y2 p2
2) 若AB不 垂 直 于 x轴 ， 则设
由
y
y2
k(x
2
p) 2
px
l AB
:
y
k(x
y
p )
2
B
消x，得 : y2 2 p y p2 0 k
y1、y2，满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
2. 若直线与抛物线y2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
设交点为A( x1 , 1) 若 x1 x2，则|
y1 )，B( x2 , y1 | | y2 |
y
B
通径| H1H2 | 2 p
焦点弦长| AB | 2p sin2
(其中为直线AB与
OF A
x
的对倾称斜轴角的）夹角）
当 90 时 ， lAB : y
由
y y
( 2
x 2
p 2
px
)
tan
(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p ) tan
2
消 y，得：x2 tan2 ( p tan2 2 p)x
1) 焦点弦长 | AB | x1 x2 p
2)
焦点弦长|
AB
|
2p
sin2
(其 中为 直 线AB与
对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y2 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1, y1 )， B( x2 , y2 ) 两点．若 x1 x2 6 ，则|AB|= ____8_______
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
注意抛物线开口方向的影响，正确处理各种情况下的计 算过程。
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
抛物线焦点弦8个结论
抛物线焦点弦8个结论抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
抛物线的焦点是其特殊的性质之一，下面将介绍抛物线焦点的八个结论。
一、焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
抛物线的焦半径是从焦点到抛物线的准线的垂直距离，而抛物线的顶点是其最高点。
这个结论表明，焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
二、焦半径与准线垂直。
焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段，而准线是抛物线的对称轴。
这个结论说明，焦半径与准线垂直。
三、焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。
这个结论说明，焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
四、焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的切线的垂直距离。
这个结论表明，焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
五、焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有切线都会经过焦点。
六、抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有切线都会与准线在焦点上相交。
七、焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有法线都会经过焦点。
八、抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有法线都会与准线在焦点上相交。
通过以上八个结论，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。
抛物线焦点的研究不仅对于数学学科有重要意义，也在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对于工程设计、物理实验等方面的问题，我们可以利用抛物线焦点的性质来解决。
抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质
抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.AB⊥x轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)．由方程组消去y，得, 或消去x, 得.结论1：(定值)，,结论2：y1y2＝-p2(定值)，.结论3：弦长.结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．事实上，若AB⊥x轴，则m＝n＝p，.若AB与x轴不垂直，则..结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．证法1：设弦AB所在的直线方程为.由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,∴.,当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则.这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切．结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，.设AF的中点为D，则，∴D到y轴的距离.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．结论8：A1F⊥B1F（如图）事实上，设，则，。
抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =结论2：p x x AB ++=21证：p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)假设2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OABS P AB ∆∴=结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点弦经典性质
抛物线10条
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做 抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做 抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2
高二数学抛物线焦点弦的性质
m
4.若AB是抛物线 则OA OB 的充要条件是弦AB过点（2p，0）。
y 2 px 的一条弦，O为坐标原点，
2
5.过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两点， 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证 直线MQ平行于抛物线的对称轴。
（课本P123习题第6题）
变：设抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线 上，且BC x轴，证明AC经过原点O。 （01高考）
3 3
2
3
焦点弦长 | AB |
2
2p sin
2
(其 中为直线AB与对称轴的夹角）
⒊过抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的对称轴上有一点M (p, 0)， 作一条直线与抛物线交于 A、B两点，若A点纵坐标为 p 4p ，则 B 点纵坐标为 ________ 2
2p y k ( x p) 2 2 2 由 2 y y 2 p 0 y1 y 2 2 p k y 2 px
一、复习 ⒈焦点弦的定义 ⒉焦半径公式 若M ( x ⒊通径
| H 1 H 2 | 2 p
, y 0 ) 在焦点为F的抛物线 0
y 2 px ( p 0 ) 上，
2
则|MF| =
x0 pBiblioteka 2y yMH2 O O
F F
H1
x x
x
p 2
二 、 抛 物 线 y 2 px ( p 0 ) 的 焦 点 弦 性 质
2
(其中为直线AB与 对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y 2 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 )， B ( x 2 , y 2 ) 两点．若 x x 6 ，则|AB|= ___________ 8 1 2
抛物线焦点弦的性质及其应用
抛物线焦点弦的性质及其应用2000.1～2口知识应用抛物线焦点弦的性质及其应闻广东省湛江一中(524038)王增生抛物线焦点弦具有不少性质,均散见在各类书刊上.本文将系统地归纳集中,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的,更深刻的了解.从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.1.焦点弦(通径)的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行)被抛物线截得的线段,叫做抛物线的焦点弦,如图(1).线段…D图B叫做抛物线Y=2px(户>O)的焦点弦?当AB垂直于抛物线的对称轴时.AB叫做抛物线的通径.2.焦点弦的性质定理l抛物线焦点弦长等于2户(1+古)或.并且以通径长为最小,最小值为2户.(其中,S1n.口或口为焦点弦的斜率或倾斜角O.<a<180.)证:AB所在直线为y=k(x一号)代人y2—2px,整理得:屉2X2--(屉:+2)户+:o.这里.+:=(1+吾)户.据图(1)和抛物线的定义知,IABI---- IAFI+II=laAI+IBBI=十号)+(z十号)=2户(1+吉)或令^=tg口,则IABI=2户(1+ 去)=i2_nL:.显然当屉+..或a专时,焦点弦AB即为通径,其长度为最小值2户.定理2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数譬和一户.证:由图(1),不妨设A(1,y.),B(.2,Y2),据定理1证明过程知??.=等,将y=k(x一号)(≠o)改写成=T1(+譬)代人2=2px,整理得亭大界(一由It)一2py--/,k=O,.Y1Y2=一声.定理3抛物线焦点弦的两个蛸点在准线上的射影和焦点的莲线互相垂直.证明:如图(2)记A,B分别是焦点弦A(,y1),B(:,Y:)在准线上的射影,则,(一,y1),B(一粤,y2).因为kA'F=二,Kt,=?警JI.,_一A/….一竣.2)及定理2知?弛=--.I'可得屉,,'kB'F~--1,...AF上BF.定理4抛物线焦点弦为直径的圆必切此抛物线的准线.证:如图(3),M为弦AB的中点,A,M:B在准线=一号上的投影分别是A,M,B,据抛物线的定义,得IBFI=IBBl,J;_一lAFI=lAA,I,IABl=f从I+fBB1.村为梯形ABBA的中位线,...IMMI=÷(IAAI+I●1船1)=÷IA引,焦点弦为直径的圆必与准线相6 切..定理5抛物线焦点弦的两个端点的切线互相垂直.并且交点必在准线上.让:郊幽【4),凼切点锾AB过焦点F(詈,0),以由定理2知1.y2一户?又屉柚,屉=蚩?..屉柚'鼬==兰一1,...AQ~BQ,故有切线百相垂富.I/.5l数掌大世界(一巾版)设两切线的交点为Q(x.,Y.).易知切点弦方程为=户(+Xo).将(告,O)t~A,得户(Xo+告)=0.-..0=一告,即Q(.,.)在准线一一告上.特别地,当焦点弦为抛物线的通径时,其切线的交点即为对称轴与准线的交点.定理6如果抛物线两条切线的交点在准线上.则切点弦必为焦点弦.证;由定理5证明过程知,切点弦的方程为Y oY=P(+0).令=0,则=一.因为点Q(0,)在准线上,..一一告.一告,即切点弦必过焦点.3.应用举例例1设.为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦.已知lOFl—a,lPQl一6.求/xOPQ的j,r.图(5)面积.(91年全国高中联赛试题)解:由题意知P一2a,所以抛物线可设为Y=4n(n>0)据定理1,lQ『=.sinn一旦鱼,记Y,Yz分别为P,Q两点的纵坐标,则S△P0.=÷l OFl(1Ytl+lY21)一÷lOFllPQl?sina=÷absinO一.~/,.?例2抛物线Y=4p(+户)(户>0)中有两条过原点且互相垂直的直线分别交抛物线于A,B,C, D,试求IABl+lCDl的最小值.解:设AB与抛物线的对称轴OX的倾斜角为n (0,<180.),由坐标平移性质知,原点.恰为抛物线的焦点F?因此由定理1知lABl=,ICDI=4p(0.<口-(180.)...IABI+ICDI一4户(sin+COS'口'口)=≥16户.这里当且仅当n一7r一_~347r时取等号,.'.1ABl+lCDl的最小值是16p.例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R.求证:lFRl=÷lPQl(97广东赛题)证:为不失一般性,设抛物线方程为Y=2px(户>0)如图(6),由定理1知,lPQl一乞.直线PQ的S2?2000.1～2-q参数方程为{专+0s(f为参数).代入22(y=tsina2px整理得t2sin口一2ptcosa--p=0.依题意,lFl=1l:1一....IFRI一:一1lPQ1.例4如图(7),A,B为抛物线Y一2px焦点弦AB在准线上的射影,Q是焦点弦端点的两条切线的交点.求证,Q,K,F,S四点共圆.证:由定理3知AF上BF,由定理5,AQJ-BQ,所以Q,K,F,S四点共圆.例5过抛物线Y一4x的焦点F弦AB的中点的纵坐标为4,求AOB的大小.(o为坐标原点)L'..《JF..<马图(7)证:由定理5易知AOB必为钝角,lOAf=} +},lOBl一l+Yl,lABl:(l—2)+(—Y2),一兰兰±!而~/(l2)+(lY2)+(lY2)+(2Y1)由定理2知12—1,YlY2=一4且一lY2,Yl2,一0.'.COSAOB一——=====兰l-=~/17-t-y~-t-y;.:一一3~/17+(l+她)一2ylY2因为Yl+Y2=8,-..COSAOB=一—,即,.~/890.fAOB一一arccos—兰=.~/89例6从抛物线=2px的准线上任取一点P,作抛物线的两条切线PA,PB,A召为切点.求/xPAB外接圆面积的最小值.解:由定理6知,切点弦即为焦点弦AB.由定理5知,焦点弦AB为直径的圆必与准线相切...-点P 即为直线=一要和以A8为直径的圆相切时的切●l点,再由定理1知,当焦点弦为通径时,△APB的外接圆面积将最小.此时R—P,因此面积最小值为玎户.例7如图(8),从抛物线Y一2px(户>O)的准线上一点Q引两条切线QA,QB,A,B为切点.且A,B在准线上的射影为D,D,连结QF.求证:(1)DQA:AQF,FJ:D——…//Q\——图(8)一BQD,(2)线段IAFI,IQFJ,IBFI成等比数列.证:(1)记点Q(一鲁,Y o).由定理6知,切点弦AB必过焦点F,.AB方程可写为一(一等),一一,又.,一Y o,五.五.,一一1,?QF上AB.由抛物线定义知IAFI=IADI,IBFI=IBDI,.'.AQ,BQ分别平分FQD,FQD,...ADQ:AQF,BQF=BQD.(2)由定理5知AQ上BQ,.在Rf/xAQB中有fOFI=IAF}.IBFI,故lAFI,IOFI,lBFI成等比数列.例8定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M.求点M到Y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.解:这是87年高考理科的一道压轴题,解法甚多,如果用上述定理解可以说比任何一种方法都简捷明快得多.事实上,点M到Y轴的距离最短,等价于以AB为直径的圆的圆心到准线一一÷的距离最短,由定理4知当线段AB经过焦点(÷,o)且以AB为直径的圆恰好与准线相切,此时易知圆的半径为R—llABl=32....点M到轴最短距离为3一1一C.÷.由定理5知,焦点弦端点的切线交点必在准线上....其中必有FMY.,注意到切点弦的斜率五=A._一2z一,又五=五一=一一一,即一....一士.因此所求点M的坐标为(辜,士).口学生习作数学大世界(■{ll版)甥发觉陶锚解江西莲花中学高三)(337100)周雁一,理解性错解例1设,(,z)一1+2+3+…+,z,求lira器的值错解:..'f(n)=1+22"+…+,z一÷(+1)(2n+1),(,z)]一(1+2+…+,z);÷,z(,z+1).而f(nz)==2(1+)(2+)——_一03n(1+)析':这是由于对f(n)的理解而导致的错解.其实,f(n)表示前,z个自然数的和,即f(n.)一1+2 +…+(,z2—1)+,z2一÷,z(,z+1),故告=2.,例21+2i是方程+tx+8=0的一个根,求t的值.错解:...1+2是方程的一个根,所以1—2i也是方程的一个根,故t一一((1+2)+(1—2)]=一2.析:这是由于把t错认为是实数,而本题并没有说明t是实数,其实,(1+2)+t(1+2i)+8—0,.t 1—4+4+85+4i6i一13一—主一一丁二,忽视定义域而导致的镶解例3函数,()的定义域关于原点对称,且对于定义域中任意两个不同的值.,,都有f(x一)=今毒,求,)是何种函数?错解:设是定义域中的一个值,令=0,一得f(--x)=再令Xl—,=0得,,)一今:一一一,c—...厂)是奇函数.析:显见,函数,(奎)的定义域不一定包含零. 正解:由已知式fCT--X一今毒,说明-与z的差.--X一在定义域内,因其它义域是关于原点对称的,所以一=z—也在定义域内,则有f(一.)f7(x2)f=(x7z)+1一一f(x1),(2)+1一f(x2)一f(x1)于是f(xl--X2)+f(x2一1)一0即f()+f(--)=0.因此,,()是奇函数.53。
抛物线的焦点弦性质
(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.
证明: 设直线AB的方程:
y
x my p ,代入y2 2px,得
A
2
y2 2pmy p2 0.
OF
设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1y2 p2. C
B
y=y x1 1x， x=-p 2联 立 得 C （ -p 2， -2 px y1 1）
y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=2ps. 证明：设AB 的方程为ｘ=mｙ＋s （m∈Ｒ）
代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，
y1•y22ps x1x2
y12 2p
•
y22 2p
（
2 ps）2 4p2
s2
(2). 若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
证明：如图，
1=2 3，4=5 6， 又1345 1800，
y A1 2
A
14 900，即AFB 900
13
O
5
4 6
F
X
B1
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(3)x1x2=p2/4;
2
消 元 得 y 2 2 （ py p ） 即 y 2 2 p y p 2 0
k2
k
y1y2
-p2；x1x2
y21 • y21 2p 2p
p2 4
法二：由题知AB不与x轴平行
设AB方程为xmyp，（mR）
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。
抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。
在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。
首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。
我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。
标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。
焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。
现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。
假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。
首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。
根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。
所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。
3.3.2抛物线的简单几何性质
2 （舍）故选：D
例题分析2
已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为 的直线l 与抛物线相交于 A, B 两
4 点， AB ＝8 ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，交于点 Q .下列说法不正确的是（ ）
A． QA QB
B． AOB ( O 为坐标原点)的面积为 2 2
【答案】D 【解析】由题设，令 AB 为 x ky p ，联立抛物线方程并整理得 y2 2kpy p2 0 ，
2
∴若 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则 y1 y2 2kp ， y1 y2 p2 ，又 AF 2 BF 易得| y1 | 2 | y2 | ，
∴
y1
4kp,
a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 与抛物线
y2
4cx
（其中 c
a2 b2 ）交于 A，B 两点，若
AB 4c ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3 B．B．2 C． 5 D． 2 1
【答案】D 【分析】
由 AB 4c ，求得 yA yB 2c ，代入抛物线方程求得 xA xB c ，然后把点的坐标代入双 曲线方程，即可解得离心率.
x ，因为 y
1 ，所以 kQA x
1
x1 ， B x2, y2 在
y 2
x ，因为 y
1 ，所以 kQB x
1 x2 ，
所以 kQA kQB
1 x2
1 x1
1 x1 x2
1，QA QB
，故 A
正确；
由 y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 4x1 x2 4 2 ，得
错误；
由 y2 41 得 y 2 ，所以 M 在抛物线内部，抛物线的准线方程为l : x 1，
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抛物线焦点弦的性质
1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到：
当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若
抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若 抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-= 3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=
4、焦点弦常用结论：
结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=px
y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04
)2(2
2222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和4
21p x x = 结论2：p x x AB ++=21
证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++
=+=2121)2
()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2π
θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2
(2)若2π
θ≠时, 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y θsin 24422221p p k
p y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小
p p 2sin 21sin 22≥∴
≤θ
θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8
3
2为定值p AB S oAB =∆ 011sin sin 22
OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OAB S P AB ∆∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
2221
11AB
BF
AF BB AA MM =+=+= 故结论得证
结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=
同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F
结论7：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F
M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2
121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1
11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点
111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB
BF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM
︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121
AB B M AM =+ ()()()212
12112
42MM MM BB AA BF AF ==+=+= 结论8： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴
（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p p
y y x y k oB oA 221211
1122,221-=-====
，而221p y y -= 所以122
2
22oB oA k p y y p p k =-=-=所以三点共线。
同理可征（2）（3）（4） 结论9： p FB FA 211=+ 证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为
E,θ的倾斜角为
因为直线L 则θθcos 1cos -=
∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得
P BF θcos 11+= ∴p FB FA 211=+。