自动控制原理第四章习题解答

4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。

1）*()(1)(3)K G s s s s =++ 2）*(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++解：（1）()(1)(3)*K G s s s s =++① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。

② 实轴上[0，–1]、[–3，∞]是根轨迹段。

③ 有n –m =3条渐近线,交点3403310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。

④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。

由0)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ds s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d （分离点） 3742j d --=（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=03)(Im 04)(Re 312ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 20412*K ω==临根轨迹图见图4-2（1）（2） *(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++①由 G (s )知， n =3，m =1，p 1=0，p 2=–2，p 3=–3，p 4=–5②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段 ③有n-m=2条渐近线：0a σ=，夹角ϕa =±90°④实轴上 [-2、0] 根轨迹段上有分离点d ， 由1[]0()s dd ds G s ==求d ：3232556300s s s +++=，试凑得 s 1=-0.88 是其解，且是分离点。

根轨迹图见图4-2（2）。

4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。

1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++- 2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++解：（1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++-根轨迹图见图4-3（1）（2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。

第四章 习题4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。

由开环传递函数可知 m=0，n=3，n -m=3。

即，有限零点为0个，开环极点为3个。

其中，3个开环极点的坐标分别为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。

然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。

如图所示。

接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p 1=0，p 2=-4，p 3=-5出发奔向无穷远处的零点。

在这一过程中，从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。

根据公式有：渐进线303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：()1=s N ；()()()s s s s s s s D 2095423++=++=；()0'=s N ；()201832'++=s s s D则有：()()()()()0201832''=++-=⋅-⋅s s s D s N s D s N[s ]0201832=++s s解得方程的根为s 1= -4.5275（不合题意舍去）；s 2= -1.4725 得分离点坐标：d = -1.4725。

与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。

第4章4-1 已知系统的开环传函如下,试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,对特殊点要加以简单说明. (1) ()()(4)(1)(2)K s G s H s s s s +=++ (2) ()()2(4)(420)KG s H s s s s s =+++ 解:(1)有3个开环几点,1个开环零点,固有3条根轨迹分别始于0,-1,-2; 1条根轨迹终于-4,另外2条根轨迹趋于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-1~0之间及-4~-2之间 渐近线条数为n-m=3-1=2 渐进线的交点12041312σ++-=-=-渐近线的倾角90θ︒=±分离点22[()()]02152480d G s H s s s s ds =⇒+++= 解得: 12s =- 其它舍去求与虚轴交点:令s j ω=代入特征方程(1)(2)(4)0s s s K s ++++=中得(1)(2)(4)0j j j K j ωωωω++++= 令上式两边实部和虚部分别相等,有226430(2)0 2.83K K K ωωωω⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨+-==±=±⎪⎪⎩⎩绘制系统根轨迹,如图4-1(1)(2)有4个开环几点,无开环零点,有4条根轨迹,分别起始于0,-4, 24j -±终于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-4~0之间; 渐近线条数为n-m=4-0=4 渐进线的交点04242424j j σ++++-=-=-渐近线的倾角45,135θ︒︒=±±分离点22[()()]042472800d G s H s s s s ds=⇒+++=解得: 2s =-由()()1G s H s =得21224(2)4220K=--+--⨯+, K=64绘制系统根轨迹,如图4-1(2)图4-1(1)图4-1(2)4-2 已知系统的开环传函为(2)(3)()()(1)K s s G s H s s s ++=+(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,求取分离点和会和点 (2) 试证明系统的轨迹为圆的一部分解:有2个开环极点,2个开环零点,有2条根轨迹,分别起始于0,-1; 终于-2,-3;实轴上的根轨迹分布在-3~-2之间及-1~0之间分离会和点2221,2,321[()()]02401,12123(2)()()()[()()]0[2(6)4]0203602,18()()[()()]00020,d G s H s s ds KK K s G s H s s s a d G s H s s s a s a dsa a a a s KG s H s sd G s H s s ds a s s =⇒+===-+⨯-++=+=⇒+++=⇒-+≥⇒≤≥===⇒=≤≤=23s ==解得:当10.634s =-时 由()()1G s H s =得(0.6342)(0.6343)10.070.6340.6341K K -+-+=⇒=-⨯-+当2 2.366s =-时 同理 K=13.9 绘制系统根轨迹 如图4-2证明:如果用s j αβ=+代入特征方程1()()0G s H s +=中,并经整理可得到以下方程式:2233()24αβ++=(注:实部虚部相等后消K 可得)显然,这是个圆的方程式,其圆心坐标为3(,0)2-,半径为2图4-24-3 已知系统的开环传函()()(1)(3)KG s H s s s =++(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图(2) 为了使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定K 的范围 解:有2个开环极点,无开环零点,有2条根轨迹,分别起始于-1,-3; 终于无穷远处;实轴上的根轨迹分布-3~-1之间; 渐近线条数2; 渐近线的交点13022σ+-=-=- 渐近线的倾角90θ︒=± 分离会和点[()()]0240d G s H s s ds=⇒+=解:S=-2由()()1G s H s =得1,12123KK ==-+⨯-+绘制系统根轨迹图4-3由图知 当1<K<+∞时系统的响应呈现衰减振荡形式4-4 设负反馈控制系统的开环传函为2(2)()()()K s G s H s s s a +=+试分别确定使系统根轨迹有一个,两个和三个实数分离点的a 值,分别画出图形 解:求分离点2[()()]0[2(6)4]0d G s H s s s a s a ds=⇒+++=解得s=0,或分离点为实数2203602a a a ⇒-+≥⇒≤或18a ≥当a=18时 实数分离点只有s=0 如图4-4(1)当a>18时 实数分离点有三个,分别为1,2,3(6)0,4a s -+=如图4-4(2)当a=2时2()()K G s H s s =分离点[()()]00d G s H s s ds=⇒= 即分离点只有一个s=0 如图4-4(3) 当02a ≤≤分离点有一个s=0 如图4-4(4) 当a<0时 分离点有1230,s s s ===(舍去)如图4-4(5)综上所述：当a=18,0≤a ≤2时，系统有一个分离点 当a ＞18时，系统有三个实数分离点 当a ＜0时，系统有两个分离点a=18图4-4(1) a=2图4-4(2)图4-4(3) a=1图4-4(4)图4-4(5)4-65 已知系统的开环传递函数为3(1)(3)()()K S S G S H S S++=（1）绘制系统的根轨迹。

4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗s K s G试用解析法绘出∗K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２＋ｊ０）， （０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２） 解：有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。

根轨迹如图中红线所示。

（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。

4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。

解：系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。

根轨迹如图中红线所示。

4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

图4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)：　 (1) )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G解：系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s Ks g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。

分离点坐标计算如下：051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d根轨迹如图中红线所示。

（2） )12()1()(++=s s s K s G解：系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。

分离点坐标计算如下：115.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ，d 29.02−=取分离点为7.11−=d ，29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。

自动控制原理第四章课后习题答案（免费）4－1 判断下列二次型函数的符号性质：(1) 222123122313()4262Q x x x x x x x x x x =++--- 解:()T V x x px =,其中:111143131P --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,30,160p =>=>==-< 所以,此二次型函数不定.(2) 222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 解: ()T V x x px =,其中111113211112P ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,20,17.50p =-<=>==-< 所以,P 为负定的.4-2 已知二阶系统的状态方程：11122122a a x x a a •⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在 平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解:坐标原点为该系统的一个平衡点,选取李亚普诺夫函数为()T V x x px =,其中:T A P PA Q +=-,取Q=I 得:112111121112111212221222122221221001a a p p p p a a a a p p p p a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,展开可得,其中1221p p =:11112112111221221111211212112212121122121212222211122122121222221001a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p ++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()211211111121121112122222121222111222121211212222111222121211212211221212112122122212221120200a p p a p a p a a p a p a p p a p a p a p a p a a p a p a p a p a a p a p a p --⎧=⎪+=-⎧⎪⎪+=---⎪⎪→=⎨⎨+++=⎪⎪⎪⎪+++=+++=⎩⎪⎩()()21121212112212122111221122211112221122221112212211122112120222a p a p a a p a a a a a a a a p a a a a a a a a a a ----⇒++⋅+⋅=+=+--1222211112211122112221122()()a a a a p p a a a a a a +⇒==+-解之得:221122211221221111221122211222112221121112221122112212212()()2()()a a a a a a p a a a a a a a a a a a a p a a a a a a ⎧-++=⎪+-⎪⇒⎨-++⎪=-⎪+-⎩要使矩阵P 为正定的,则应使:1112112212210,0p p p p p =>=->于是得:22112212212112211221221()()04()()a a a a a a a a a a ++->+-,即:112212*********,00a a a a p a a ->>⇒+< 综上所述在平衡点出渐进稳定的充要条件为:1122112212210,0a a a a a a +<-> 系统为线性的,所以满足上述条件即可满足大范围渐进稳定.4－3 以李雅普诺夫第二方法确定下列系统原点的稳定性：（1）1123x x •-⎛⎫= ⎪-⎝⎭解:求平衡点，12120230x x x x -+=-=，可得00e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为唯一的平衡点。

4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数G(s) 彳s 1试用解析法绘出K从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上(2, j 0)，(0+j 1)，( 3+j2)。

解：根轨迹如习题4-1答案图所示。

(-2，+j 0)在根轨迹上；(0,+ j1), (-3,根轨迹上。

4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。

解：解析法：K=0 时：s=-1/2 , 0; K=1: s=-1 ± 2/2 ; K=-^：s=-m, -1/3。

题4-2答案图所示。

+j 2)不在试用解析法给出开环增益G(s)K(3s 1)s(2s 1)K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。

根轨迹如习习题4-1答案图习题4-2答案图4-3已知系统的开环传递函数G(s)H(s)黑，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K值范围。

解：分离点：；会合点：；与虚轴交点：土j。

稳定的K值范围：K>1o 根轨迹如习题4-3答案图所示。

习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为v K v (即 v K *v 。

G(s)(1) 试粗略画出K *由0到a 的根轨迹图;解：稳定性分析：系统不稳定。

根轨迹如习题4-4答案图所示。

Root Locus864s xA y a g m-4 -6-8 ________________________ | ________________________ : ________________________ -10 -5 0 5Real Axis习题4-4答案图迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。

K 2 (s 1)(s 1)(s 4)2(2)分析该系统的稳定性。

-2 4-5设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)K (s 1) s(s 1)(s 2 4s 16)，试绘制系统根轨解：渐近线：=60°，180=-2/3 ;复数极点出射角m55° ;分离会合点和;4-6已知系统的特征方程为(s 1)(s 3)(s 1)(s 3) K(s24) 0试概略绘出K由O TR时的根轨迹(计算出必要的特征参数) 。

点),3(j -不在根轨迹上。

（3）求5.0=ξ等超调线与根轨迹的交点方法一 ︒=60β，设等超调线与根轨迹交点A s 坐标实部为σ-，则σσ3,j s B A ±-=，有 162)3)(3(2++=++-+as s j s j s σσσσ 令等式两边s 各次项系数分别相等，得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==4216422a aσσσ 方法二 由特征方程01622=++as s ，按照典型二阶系统近似计算得：⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==442162a an n n ωξωω 另外，把n n n n j j s ωωωξξω87.05.012+-=-+-=代入特征方程也可求得同样结果。

2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为)1(4/)()(2++=s s a s s G（1）试绘制参数a 由+∞→0变化的闭环根轨迹图；（2）求出临界阻尼比1=ξ时的闭环传递函数。

【解】：（1）系统特征方程为01)144(04401)1(4)(2232=+++⇒=+++⇒=+++s s s a a s s s s s a s等效开环传递函数为： 22)5.0(25.0)144()(+=++='s s a s s s as Ga 由∞→0变化为一般根轨迹。

① 开环极点5.0,03,21=-=-p p 。

② 渐近线与实轴的交点：31-=-σ，渐近线倾角：︒︒︒=300,180,60θ。

③ 实轴上的根轨迹在区间]0,(-∞。

④ 分离点 由 0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得 025.0232=++s s 解得5.01-=s 为起点，17.0612-=-=s 为分离点。

074.0=a 。

⑤ 根轨迹与虚轴的交点 令ωj s =，代入特征方程得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+-⇒=++--15.0025.0025.0025.025.02323a a a j j ωωωωωωω⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。