高中必修第一册《3.1 函数的概念及其表示》优质课教案教学设计

《3.1-函数的概念及其表示》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) C[由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]3．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2B[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]求函数值【例2】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f (x )＝(x＋1)2x ＋1－1－x .[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时， 函数f (x )＝2＋3x －2有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域． [解] 由1≤x ＋1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y ＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．下列函数中，与函数y＝x相等的是()A．y＝(x)2B．y＝x211 C ．y ＝|x | D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________． (－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函数f (x )＝x ＋1x ，(1)求f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．[解] (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0，∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52. (3)当a ≠－1时，a ＋1≠0，∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.。

教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。

o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。

o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。

2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。

o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。

o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。

o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。

o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。

二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。

●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。

●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。

2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。

●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。

●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。

3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。

●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。

高中数学必修一《函数的概念及其表示》优质教案教材分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．教学目标与素养课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。

重难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

3.1函数的概念及其表示（第三课时）教学设计一、内容及内容解析（一）教学内容1.函数的表示法；2.分段函数。

（二）教学内容解析学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示，本节课直接给出函数的三种表示方法，并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并且通过例题引进分段函数。

学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识需要。

同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因此学习函数的表示也是向学生渗透数形结合的思想，培养学生直观想象素养的重要过程。

（三）教学重点函数的三种表示法及各自的优缺点，分段函数。

二、教学目标1.通过研究实例，能总结出函数三种表示法各自的特点，体会数形结合的思想．2.通过用图象法表示一些函数，能利用函数图象探索解决问题的思路，体会利用图象简化代数运算的过程．3.通过具体实例，能认识分段函数，并能简单应用．三、教学问题诊断分析问题：提炼函数的三种表示法各自的优缺点。

突破：课本3.1.1中四个实例为学习函数的三种表示方法做了铺垫。

在实际教学中，先引导学生比较三种表示方法各自的特点，再师生一起进行评价并总结。

四、教学支持条件为了增加学生对分段函数的理解，可以利用GGB软件，作出图像，让学生观察各段图象函数解析式.五、教学过程设计上一节我们已经学习过了函数的概念，那么函数的具体表示方法有哪些呢，在不同的情境中函数如何表示呢？带着这样的疑问来深入学习一下本节课的内容吧.问题1：我们在初中已经接触过函数的三种表示法，分别是什么？如何表示？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题.根据学生的回答，教师进行必要的补充.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.设计意图：本节课就是学习函数的三种表示方法，通过回顾初中函数表示的三种方法，为后面的学习奠定基础。

3.1函数的概念及其表示（第一课时）一、教学内容解析函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础.在初中，函数定义采用“变量说”，高中阶段要建立函数的“对应关系说”，与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念，明确了定义域、值域，引入抽象符号f(x).函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A、B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一一个确定的y和它对应.基于以上分析，确定本节课的教学重点和难点.二、重、难点分析1.教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念，培养学生的数学抽象素养.2.教学难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数的概念，理解函数的对应关系f.三、教学目标分析1.目标（1）在“变量说”的基础上，理解函数的“对应关系说”；（2）经历函数概念的抽象过程，培养学生的数学抽象素养；（3）从数学模型构成要素的角度认识具体函数，并通过函数的表示，进一步加深对函数概念的认识.2.目标达成（1）学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念；（2）学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号f表示对应关系的必要性；（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养.四、学情分析由于初中函数的概念是“变量说”定义，学生对这种定义已经很熟悉，应用起来得心应手，受先入为主思想的影响对“对应关系说”定义引入的必要性认识不足，对函数的“对应关系说”定义接受起来多少有一种排斥心理；学生初中对函数的理解仅停留在一些具体函数的层面上，更确切的说是局限于对函数具体解析式的理解，初中数学学习学生重计算、重例题，对抽象的函数概念的理解有一定困难.不过，学生生活中已经积累了丰富的函数的实例素材，这为函数教学做好了准备.从学生的学习习惯上看，学生初入高中自主学习的目的性、主动性还不够，知识的接受基本在课堂，有的学生甚至还不会听课.所以高中数学教学还肩负着教会学生学习的任务.在课堂教学中采用课前预习、引导发现、学生合作交流的教学方法，通过课前预习，实现课堂教学效益的最大化.五、教学方法归纳法教学六、教学过程设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，计划将教学过程设计为六个阶段：（一）引入1.回顾初中学过的函数及其表示（1）一次函数y=ax+b(a ≠0)（2）二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)（3）反比例函数y=xk (k ≠0) 提问：这些函数的共性是什么？如何描述？2.初中函数的概念（变量说）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则称y 是x 的函数.[师生活动] 教师提出问题，学生自主回答，教师归纳总结.[设计意图] 让学生再次归纳，复习巩固“变量说”.3.思考：正方形的周长l 与边长x 的对应关系是l=4x ，l 是x 的函数吗？若是，它与正比例函数y=4x 相同吗？你能用已有的函数知识判断y=x 与y=x x 2是否相同吗？[师生活动] 教师提出问题，让学生产生疑惑.[设计意图] 说明学习函数概念的“对应关系说”的必要性.（二）函数概念的构建问题1 阅读教材中的实例1，回答下列问题：(1)这段时间内，列车行进的路程S （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？(2)有人说：“根据对应关系S=350t ，这趟列车加速到350km/h 后运行1h 就前进了350km.”这个说法正确吗？为什么？(3)时间t 的变化范围是什么？(4)能根据现有条件回答0.6h 时对应的距离是多少吗？(5)你认为如何描述才能准确反映问题情境？[师生活动] 教师给出问题，学生先思考并将问题的要点写出，然后小组交流，收集并归纳问题的回答要点，教师点评.[设计意图] 问题（1）是为了让学生回顾初中所学函数的概念用“是否满足定义要求”来回答问题；问题（2）（3）（4）是要激发学生认知冲突，发现其中的不严谨；问题（5）是为了让学生关注到t 的变化范围，并尝试用精确的语言表述.问题2 阅读教材中的实例2，回答下列问题：(1)你认为该怎样确定一个工人的每周所得？(2)一个工人的工资w 是他工作天数d 的函数吗？(3)你以仿照问题1对S 与t 的对应关系的精确表示，给出这个问题中w 与d 的对应关系的精确表示吗？(4)问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？[师生活动] 学生阅读题目后，自主回答.[设计意图] 问题（1）是引导学生使用不同的表示方法；问题（3）是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，又训练抽象概括能力；问题（4）是使学生进一步关注到对于函数而言，解析式与自变量的变化范围都是确定函数的要素.问题3 阅读教材中的实例3，回答下列问题：(1)I是t的函数吗？为什么？①给定t的值，怎么给？（在0~24小时内给定一个时该t）②通过图形能确定唯一的I与t0对应，怎么找？（在横轴上，过t作垂线交曲线于点（t0，I），I就是与t对应的值.）(2)从所给的图中能回答11月24日8:00的AQI值吗？为什么？(3)11月23日这一天AQI的值的变化范围是什么？(4)这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？(5)模仿问题1，你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗？[师生活动] 给学生适当的时间阅读思考，教师引导学生一起分析上述问题，并归纳出结果.[设计意图] 问题（1）是让学生认可图象表示一个函数；问题（2）再次强调自变量的取值集合；问题（3）让学生意识到函数值构成集合；问题（4）（5）通过教师讲解，给出对应,关系的描述方法，化解难点. 问题4阅读教材中的实例4，回答下列问题：(1)这个表格中，时间的变化范围是什么？能不能用[2006，2015]表示？恩格尔系数的变化范围是什么？(2)由这个表格，恩格尔系数是不是年份的函数？你能说清楚到底是怎么对应的吗？(3)由这个表格，能得到2005年的恩格尔系数吗？(4)这个函数有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？(5)模仿问题1，你能用准确的集合语言和对应关系描述这个问题情境吗？[师生活动] 先让学生思考，然后师生一起归纳结果.[设计意图] 与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生接受.问题5上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？[师生活动] （1）给学生充分的思考时间，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程，小组合作完成上述表格.（2）教师引导学生得出：①都包含两个非空实数集；②都有一个对应关系；③尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特征：对于数集A中的任意一个x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应.（3）归纳得出，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，引入符号f统一表示对应关系，进而给出函数的一般性定义.教师解释函数记号y=f(x)，x∈A.[设计意图] 让学生通过归纳四个实例中的函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中，要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象函数的概念，并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数的认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征（要素），用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.（三）函数概念的理解1.函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个函数，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.2.理解：（1）集合A,B及对应关系f是一个整体，函数是两个集合的元素间的一种对应关系；（2）y=f(x)的意义：把对应关系f作用到x就得到一个y；（3）f可以是一个解析式，也可以是一个图象，还可以是一个表格.从图表中可以比较直观地看出x与y之间的对应关系.[师生活动]师生一起归纳出函数的概念，教师再逐一解读.[设计意图]理解函数的概念，培养学生的归纳整理能力.（四）函数概念的初步应用问题6如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？随堂练习：教材63页练习1，练习3[师生活动] 在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习，之后让学生独立完成上述表格，最后让学生完成教材63页练习1，练习3，教师进行点评.[设计意图] 用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域，对应关系与值域是函数的三个要素.问题7试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述.随堂练习：教材64页练习4[师生活动] 在学生思考后，教师以例1进行示范，学生完成教材64页练习4.[设计意图] 让学生在完成例1的过程中，进一步体会函数模型应用的广泛性，加深对函数概念的理解. （五）课堂小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答问题：（1）什么是函数？其三要素是什么？（2）对于对应关系f，你有哪些认识？（3）与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识》（4）本节课我们是怎样得到函数概念的？结合本节课的学习，你对如何学习数学又有什么体会？[师生活动] 教师出示问题后，先由学生思考，再由全班交流，最后教师再进行总结，要强调如下几点：（1）函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准；（2）要通过具体例子理解函数的对应关系f 的特征，特别是对于“A 中任意一个数”“B 中都有唯一 确定的数”等关键词含义要认真体会；（3）对应关系f 的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同.[设计意图] 引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程，关键词的理解角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解.（六）布置作业1.复习巩固设集合A={x|0≤x ≤6}，B={y|0≤y ≤2}，下列对应关系f:A →B 上从A 到B 的函数的是（ ）A. f:x →y=21xB.f:x →y=31x C.f:x →y=x D.f:x →y=x+1[设计意图]考查学生对函数概念的认识，巩固函数概念.2.综合运用（1）教材73页习题3.1第8题和第11题；（2）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=ππx y 来描述. [设计意图]考查学生运用函数概念刻画实际问题的能力. 七、板书设计[设计意图] 强调函数的概念集合对应说中的关键词八、课后反思本节课是在初中的已有知识的基础上对函数从集合对应说这个角度做了一个诠释，引导学生结合实例归纳总结出函数的概念，并会用函数的集合对应说解释一次函数、二次函数和反比例函数.本节课的成功之处是对4个实例的分析，通过对这4个实例的一步步分析，引导学生进一步认识函数、了解函数、掌握函数；而败笔之处是对对应关系的解读不够清楚，学生仍然带有疑惑，对符号y=f(x)没有一个清晰的认识，这一点需要在今后的课堂中加以重视，多次讲解.。

新教材必修第一册3.1.1：函数的概念及其表示课标解读：1.函数的概念.（理解）2.函数的定义域.（掌握）3.函数的值域.（理解）4.区间的概念.（了解）学习指导：函数的概念是初中函数知识的基础上出现的全新的现代定义方式（利用集合语言定义函数），相对来说比较抽象，学习时要注意对概念的理解、三要素的把握、数形结合，重点理解定义中的“任意性、存在性、唯一性”，要通过适量的练习加以巩固，为后续的学习打牢基础.此部分题目灵活多变，要学会举一反三，领悟核心要素.知识导图：教材全解知识点1：函数的概念1.函数的传统定义（变量说）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数.2.函数的现代定义（对于关系说）一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集.例1-1：下列对应关系是集合A 到集合B 的函数的为A. ||:},0|{,x y x f y y B R A =→>==B. 2:,,x y x f Z B Z A =→==C. x y x f Z B Z A =→==:,,D. 0:},0{],1,1[=→=-=y x f B AE. }6,5,4{},3,2,1{==B A ，对应关系如图所示：答案：A 不是 B 是 C 不是 D 是 E 不是变式训练：由下列式子是否确定y 是x 的函数？（1）222=+y x ；（2）;111=-+-y x （3）.12x x y -+-=答案：（1）不能确定；（2）能确定；（3）不能确定.知识点2：函数的三要素由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.1.定义域函数的定义域是自变量的取值范围.在函数关系的表述中，函数的定义域有时可以忽略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.2.对应关系对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”，从定义域A中任何取一个x，可得到值域}fyy∈=中唯一的yx),(|{Ax与之对应.同一“f”可以“操作”不同形式的变量.3.值域函数值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定，它的值域也就随之确定了.例2-2：下列说法不正确的是（）A.定义域与对应关系后，函数值域也就确定了B.函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素D.对于)(=不随着x的变化而变化，所以5x)0(=f也成立.xf∈,5,)(xfR答案：B例2-3：下列说法正确的是（）A.函数值域中每一个数在定义域中一定有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了答案：C例2-4：下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是（ ）A.}11|{≤≤-x yB. RC.}32|{≤≤x yD.}1,0,1{-答案：D例2-5：下列函数的定义域不是R 的是（ ）A. 1+=x yB.2x y =C.x y 1= D.x y 2=答案：C例2-6：已知函数1)(2-+=x x x f ；（1）求);1(),1(),(+a f x f x f（2）,5)(=b f 求.b（2）32-=或b知识点3：函数的相等只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数.例3-7：下列表示同意函数的是（ ）A.2)()(,)(x x g x x f ==B.1)(,1)(22+=+=t t g x x fC.x xx g x f ==)(,1)( D.||)(,)(x x g x x f ==答案：B知识点4：区间区间的概念： 设b a ,是两个实数，且b a <，R b a ∈,，规定.),(}|{),(},|{),(}|{],(},|{),[}|{),(},|{],[R b x x b a x x a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b x a x b a =+∞-∞<=-∞>=+∞≤<=<≤=<<=≤≤= ),(],,[b a b a 分别叫做闭区间、开区间；],(),,[b a b a 叫做半开半闭区间；b a ,叫做相应区间的端点.注意点：（1）区间符号内的两个字母或数之间用“，”隔开. （2）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.（3）开区间（b a ,）与平面上的点（b a ,）要区分开，在读题时注意结合上下文加以区别.（4）在数轴上表示区间时，用实心点表示端点在区间内，用空心点表示端点不在区间内.例4-8：用区间表示下列数集：（1）}1|{≥x x = ；（2）}32|{≤<x x = ；（3）=≠->}21|{x x x 且 ；（4）R= ；（5）=<≤-⋂-≤}25{}1|{x x x ；（6）=<<⋂<}209{}9|{x x x .答案：（1）),1[+∞ （2）]32(，（3）),2()2,1(+∞⋃- （4）),(+∞-∞ （5）[-5，-1] （6）)20,9()9,(⋃-∞例4-9：求解下列问题（1）区间],1[a a -关于原点对称，求a 及该区间.（2）区间]12,[-a a 的右端点为3，求a 及该区间.例4-10：设集合},0|{},0)3)(2(|{>=≥--=x x T x x x S 则=⋂T S （ ）A.]3,2[B.),3[]2,(+∞⋃-∞C.),3[+∞D.),3[]2,0(+∞⋃答案：D重难拓展知识点5：抽象函数与复合函数1.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.2.复合函数的概念若函数)(t f 的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数))((x g f y =为)(t f 与)(x g 在D 上的复合函数.3.抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值所组成的集合；（2）函数))((x f ϕ的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的范围；（3）)(t f ，))((x f ϕ，))((x h f 三个函数中的t ，)(x ϕ，)(x h 在对应关系在f 下的范围相同；（4）已知)(x f 的定义域为A ，求))((x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的范围（值域）为A ，求出x 的取值范围；（5）已知))((x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x f ϕ中的x 的取值范围B ，求出)(x ϕ的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.例5-11：下列函数中，是符合函数的是（ ）A.32)(x x x f +=B.1)(+=x x fC.为常数）（k x k x x x f ++=2)(D.x x f 2)(=答案：B例5-12：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且对定义域的任意y x ,都有)()()(y f x f xy f +=，如1)2(=f ，则)2(f 的值为（ ）A. 2-B.21-C.21D.2答案：C题型与方法题型1：一元二次不等式的解法例13：（多选题）下列对应关系f 是从集合A 到集合B 的函数的有（ ）.A. A={1,2,3}，B={7,8,9}，f(1)=f(2)=7，f(3)=8B. A=Z ，B={-1,1}，n 为奇数时，1)(-=n f ，n 为偶数时，1)(=n fC. A=B={1,2,3}，12)(-=x x fD. A=B=12)(},1|{+=-≥x x f x x答案：ABD题型2：求函数值例14：已知.2)(),1(11)(2+=-≠+=x x g x x x f（1）求)2(f 和);2(g（2）求));(()),2((x g f f g（3）若4))((1=x g f ，求x .例15：已知函数)(x f 对任意正实数b a ,，都有).()()(b f a f ab f +=（1）求)1(f 的值；（2）若为常数）（q p q f p f ,)3(,)2(==，求)36(f 的值.答案：（1）0)1(=f （2）.22)36(q p f +=题型3：函数的定义域问题1.已知解析式求函数的定义域：（1）;32+-=x y （2）;11)(+-=x x f（3）;11x x y -+-= （4）.112-+=x x y答案：}.1|){4(}1|){3(}1|){2(};|){1(±≠=≠∈x x x x x x R x x变式训练：函数2322---=x x x y 的定义域为（ ）. A.]0,(-∞ B.]21,(--∞ C.]0,21(]21,(-⋃--∞ D.]0,21(-答案：C2.求实际问题中函数的定义域例17：如图，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆的框架，若半圆的半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数.答案：).210(242+<<++-=ππx x x y3.求抽象函数或复合函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域例18：已知函数,32)(2++-=x x x f 则)23(-x f 的定义域为 .答案：]3531[，（2）已知))((x g f 的定义域，求)(x f 的定义域例19：已知的)1(2-x f 定义域[0,3]，则)(x f 的定义域为 .答案：[-1,8]（3）已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域例20：若函数)1(+x f 的定义域为]2,21[-，则函数)1(-x f 的定义域为 . 答案：]4,23[（4）求运算型抽象函数的定义域例21：已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，求函数)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域. 答案：当210≤<m ，函数)(x g 的定义域为}1|{m x m x -≤≤.变式训练：设函数1)(-=x x f ，则)()2(x f f +的定义域为（ ）.A.]421[， B.]42[， C.)1[∞+， D.]241[， 答案：B4.定义域的逆向问题 例22：已知函数182++=bx ax y 的定义域为[-3,6]，则a 的值为 ,b 的值为 . 答案：-1 3例23：已知函数13122+++=kx x k kx y 的定义域为R ，则实数k 的值为 . 答案：0题型4：函数的值域问题1.求函数的值域例24：求下列函数的值域（1）};5,4,3,2,1{,1∈+=x x y （2）；)3,0[,322∈+-=x x x y（3）;312-+=x x y （4）.12--=x x y例25：函数152222++++=x x x x y 的值域为 . 答案：]6,2(4.下列函数中值域是),0(+∞的是（ ）A.232++=x x yB.212++=x x yC.||1x y = D.12+=x y 答案：C2.函数值域的逆向问题例26：已知函数1822+++=x nx mx y 的定义域为R ，值域为[1,9]，则m 的值为 ;n 的值为 . 答案：5 5易错提醒易错1：求函数定义域时非等价化简解析式致误 例27：函数22+⋅-=x x y 的定义域为 . 答案：),2[+∞易错2：用换元法求值域时，忽略中间变量的取值范围致错 例28：函数12++=x x y 的值域为 .易错3：误认为))((x g f 与))((x h f 中“x ”含义相同例29：已知)2(+x f 的定义域为[1,2]，则)12(+x f 的定义域为 .感知高考考向1：函数的概念例32：定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，若当10≤≤x 时，)1()(x x x f -=，则当01≤≤-x 时，)(x f = .考向2：函数的定义域例33：函数267x x y -+=的定义域是 . 答案：[-1,7]考向3：函数值例35：设函数13)(23++=x x x f .已知0≠a ，且R x a x b x a f x f ∈--=-,))(()()(2，则实数=a,b= .答案：-2 1基础巩固： 1.函数x x y -++=211的定义域为（ ） A.]2,0[ B.]2,1()1,(-⋃--∞ C.)2,1()1,(-⋃--∞ D.)2,(-∞2.已知函数,1)(xx x f +=则)2()2(-+f f 的值是（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2 3.下列函数，值域为),0(+∞的是（ ） A.x y = B.xy 1=C.x y 1= D.12+=x y4.与函数x y =是同一个函数的是（ ）A.||x y =B.33x y = C.2x y = D.xx y 2=5.函数145-+=x x y 的值域是（ ） A.)5,(-∞ B.),5(+∞ C.),5()5,(+∞⋃-∞ D.),1()1,(+∞⋃-∞ 6.若函数)23(x f y -=的定义域为[-1,2]，则函数)(x f 的定义域是（ ） A.]1,25[-- B.]2,1[- C.]5,1[- D.]2,21[7.已知等腰三角形ABC 的周长为10，底边长y 关于腰长x 的函数关系式为x y 210-=，则此函数的定义域为（ ）A.RB.}0|{>x xC.}50|{<<x xD.}525|{<<x x8.已知函数21)(2+=x x f ，则)(x f 的值域是（ ） A.]21,(-∞ B.),21[+∞ C.]21,0( D.),0(+∞能力提升9.若函数)(x f 与函数xxx g -=1)(是相等函数，则函数)(x f 的定义域是（ ）. A.)0,(-∞ B.]1,0()0,(⋃-∞ C.)1,0()0,(⋃-∞ D.),1[+∞ 10.)2(1≥--=x x x y 的值域为（ ）.A.)43,(--∞ B.]43,(--∞ C.]1,(--∞ D.)1(--∞，11.已知定义在R 上函数)(x f 的值域也是R ，并且对任意R y x ∈,，都有xy y xf f =))((，则|)2020(|f 等于（ ）.A. 0B. 1C. 2020²D. 202012.已知)),(()(),0()(2x f f x g a c bx ax x f =>++=若)(x g 的值域为),2[+∞，)(x f 的值域为）+∞,[k ，则实数k 的最大值为（ ）.A. 0B. 1C. 2D. 413.（多选题）已知集合}40|{},20|{≤≤=≤≤=y y B x x A ，则下列对应关系，能够构成A 为定义域，B 为值域的函数的是（ ）A.x y 2=B.2x y =C.|24|x y -=D.5+=x yE.2)2(-=x y 14.已知函数)(),(x g x f 分别由下表给出：则))1((g f 的值为 ，满足))(())((x f g x g f >的x 的值是 .15.已知2211)(x x x f +-=，那么)4()3()2()1()0()21()31()41(f f f f f f f f +++++++的值为 .16.求下列函数的值域.（1）x x x f 2)(2-=，其定义域为A={0,1,2,3}； （2）;642+-=x x y（3）12122++++=x x x x y .17.已知4)(),2(21)(+=≠-=x x g x xx f . （1）求)1(),1(g f 的值； （2）求))1(()),1((f g g f 的值； （3）求))(()),((x f g x g f 的解析式.18.已知函数)(=-ff⋅f+--⋅yfgyxg，求xgxfy==)1(,0(=,1f同时满足1x),(xg)1)0(((()))((),)gg的值.0(g)2(),1(),参考答案1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. D8. C9. B 10. C 11. D 12. C 13. ABCE 14. 1 2 15. 116. （1）{-1,0,3} （2）),2[+∞ （3）),43[+∞17. （1） 5)1(,1)1(==g f ；（2）31))1((-=g f ，5))1((=f g ；（3）2,21))((-≠--=x xx g f ； .2,421))((≠+-=x xx f g 18..1)2(,0)1(,1)0(-===g g g。

【课题】 3.1 函数的概念及其表示法【教学目标】知识目标：(1) 理解函数的定义； (2) 理解函数值的概念及表示； (3) 理解函数的三种表示方法；(4) 掌握利用“描点法”作函数图像的方法． 能力目标：(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3) 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】(1) 函数的概念；(2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学难点】(1) 对函数的概念及记号)(x f y 的理解； (2) 利用“描点法”描绘函数图像．【教学设计】（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接； （2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平； （3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础； （4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能； （5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】}中的任意一个值，有唯一的值与之对应．两个变量之间的这种对应关系叫做动脑思考探索新知() 1,-+∞0，得12 x．因此函数的定义域为1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦．代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零．0,这个函数与-<x x,0.．但是它们的对应法则不同，因此不是同）尽管表示两个函数的字母不同，但是定义域与对应法则都相同，所以它们是同一个函数．(C)之间的11月29C）随时间）变化的曲线如下图过 程行为 行为 意图 间曲线形象地反映出气温T （C ）与时间t （h ）之间的函数关系，这里函数的定义域为[]0,14．对定义域中的任意时间t ，有唯一的气温T 与之对应．例如，当6t =时，气温 2.2T C =︒；当14t =时，气温12.5T C =︒．3. 用S 来表示半径为r 的圆的面积，则2πS r =．这个公式清楚地反映了半径r 与圆的面积S 之间的函数关系，这里函数的定义域为+R ．以任意的正实数0r 为半径的圆的面积为200πS r =．引导 分析 说明说明 启发 引领自我 体会 了解 体会 领悟从函 数的 角度 讲解 公式45*动脑思考 探索新知函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系. 例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法表示函数关系的.用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.(3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.总结 归纳 介绍 说明 举例 说明思考 理解 记忆 观察带领 学生 总结 函数 的三 种表 示方 法并 了解 其各 自的 特点 可以过 程行为 行为 意图 间例如，s =60t 2，A =πr 2，S =2πrl ,y =2-x (x2)等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 举例 介绍体会 了解教给 学生 自我 分析 总结 55 *巩固知识 典型例题例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．解 设x 表示购买的铅笔数（支），y 表示应付款额（元），则函数的定义域为{}1,2,3,4,5,6． （1）根据题意得，函数的解析式为0.12y x =，故函数的解析法表示为0.12y x =，{}1,2,3,4,5,6x ∈．（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．x /支1 2 3 4 5 6 y /元 0.120.240.360.480.60.72（3）以上表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．归纳由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函质疑说明强调 引领讲解启发 分析观察 体会 思考 主动 求解 理解 领会通过 例题 进一 步领 会函 数三 种表 示方 法的 特点 突出 图像 的作 法 数形 结合 带领过 程行为 行为 意图 间数图像”的具体步骤：（1）确定函数的定义域；（2）选取自变量x 的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y ，列出表格；（3）以表格中x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(,)x y ；（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线． 这种作函数图像的方法叫做描点法． 例5 利用“描点法”作出函数x y =的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数值时，精确到0.01) ． 解 （1）函数的定义域为),0[+∞．（2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值y ，列表：x0 1 2 3 4 5 …y11.411.7322.24 …（3）以表中的x 值为横坐标，对应的y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（y x ,）．由于(25)255f ==，所以点(25,5)是图像上的点．（4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像.强调 归纳 总结 说明启发 引导强调 讲解领会 理解 记忆 了解 思考 求解 理解学生 总结 归纳 函数 的图 像做 法特 别注 意步 骤性 和细 节 演示 过程 中提 醒学 生注 意作 图的 细节70*运用知识 强化练习 教材练习3.1.21．判定点()11,2M -，()22,6M -是否在函数13y x =-的图像上．2．市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y 是购买土豆提问 巡视 指导动手 求解 交流及时 了解 学生 知识 掌握。

高中数学《函数的概念》公开课优秀教学设计三教学内容：本节课的教学内容选自高中数学教材必修一第二章第一节《函数的概念》。

具体内容包括：函数的定义、函数的表示方法、函数的性质等。

教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2. 能够运用函数的性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

教学难点与重点：重点：函数的定义，函数的表示方法，函数的性质。

难点：函数概念的理解，函数性质的应用。

教具与学具准备：教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。

学具：教材，笔记本，铅笔。

教学过程：一、情境引入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如温度随时间的变化，物体的高度随时间的变化等，引导学生思考这些问题的数学模型。

二、新课导入（10分钟）1. 教师引导学生思考如何用数学语言来描述这些实际问题中的关系。

2. 教师给出函数的定义，并解释函数的概念。

3. 教师讲解函数的表示方法，包括列表法、图象法、解析法等。

三、例题讲解（10分钟）教师通过讲解一些典型的例题，让学生理解函数的性质，并学会如何运用函数的性质解决实际问题。

四、随堂练习（5分钟）教师给出一些练习题，让学生现场解答，以巩固所学知识。

五、课堂小结（5分钟）六、板书设计（5分钟）教师根据教学内容设计板书，突出函数的定义、表示方法和性质。

作业设计：1. 请用列表法、图象法、解析法各表示一个函数。

答案：列表法：y = 2x图象法：过原点，斜率为2的直线解析法：y = f(x) = 2x2. 请解释下列函数的定义域和值域：y = √(x+1)，y = |x|。

答案：y = √(x+1)的定义域为x≥1，值域为y≥0。

y = |x|的定义域为全体实数，值域为y≥0。

课后反思及拓展延伸：本节课通过生活中的实际问题引入函数的概念，让学生能够更好地理解函数的内涵。

在讲解函数的表示方法时，通过多种方法的展示，让学生能够全面地了解函数的表示方式。

在讲解函数的性质时，通过典型的例题让学生掌握如何运用函数的性质解决实际问题。

3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) C[由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]3．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f 的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2B[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]求函数值【例2】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域． [解] 由1≤x ＋1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y ＝f (x )是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y ＝f (x )”为y 是x 的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”.1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∪(0,1] [由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函数f(x)＝x＋1 x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。

高中必修一数学教案《函数及其表示方法》教材分析本节内容是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第一节的内容。

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，习惯用解析式表示函数，但这是对函数的不全面的认识。

本节中，从引进函数的概念开始，就注重函数的不同表示方法：解析法、列表法、图象法。

函数的不同表示方法能丰富学生对函数的认识，帮助学生理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合方面表现更加充分。

因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用，注意刻画代数，以求思考和表述的准确性。

学情分析学生基本可以掌握本节课的知识点，对于函数概念，有些学生理解的不透彻，可以通过课上小组讨论，合作学习加以掌握；函数的定义域对于学生而言是一个难点，可以通过讨论展示来理解。

教学目标1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2、了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域。

3、通过具体问题情境，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验。

教学重点用集合语言和对应关系刻画函数。

教学难点通过实例，归纳、概括、抽象出函数的概念。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、直接导入我们在初中已经学习过一些函数的知识，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，并了解了函数的一些简单应用。

但是，仅以初中的函数知识解决不了比较复杂的函数问题。

本节课我们就一起来学习《函数及其表示方法》。

二、学习新知1、函数的概念在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数。

是反比例函例如，y = 2x是正比例函数，y = -3x-1是一次函数，y = -2x数，y = x2+2x-3是二次函数，等等。

（1）函数一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y = f（x），x∈A（2）定义域其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域。

《函数的概念》说课稿授课人：黄语辉各位评委：大家好！我说课的内容是高中新课标必修１中函数的概念。

“函数”是中学数学的核心概念．《函数的概念》这一节为2个课时，我主要针对第一课时的教学，谈谈我的理解与设计。

下面我从教材分析,教法学法,教学设计等五个环节来说明对这节课的认识.第一、教材分析函数这一章在高中数学中,起着承上启下的作用.本节《函数的概念》是函数这一章的起始课.它上承集合,下引性质.是派生数学概念.教学目标1. 理解函数的概念。

2. 掌握求函数值、定义域的方法；3. 理解函数的三要素及符号y=f（x）教学重难点教学重点：正确理解函数的概念教学难点：理解函数符号y=f（x）第二、学情分析在初中学生已经学习了变量观点下的函数定义；但对涉及函数本质的内容，要求是初步的.从认知能力看,高一学生抽象思维能力相对较弱,要从函数实例中抽象出函数概念还有较大的困难.第三、.教法学法教法：问题驱动、引导探究、启发讲授学法：观察法、探究法第四、教学设计在对函数概念这一课时有了充分认识之后，我的第三个环节教学设计将按以下五个步骤逐层推进：回顾迎新,引入课题。

从初中“变量说”下的函数概念出发;接着,以变量说为切入点,结合两个示例反复设问,实现概念认识的螺旋上升;在此基础上,概括抽象出对应观念下的函数概念;概念形成后,针对关键词,重点处理,加深本质理解;最后通过学生的自我总结和论述,达到认识上的升华.接下来我对这5个步骤作具体说明：探究新知首先抛出问题,请学生叙述举例.由于学生在初中主要接触的是用解析式表示的函数，对图像、表格表示的函数，因其对应关系“说不出来”，往往认为不是函数.这时顺势导入进入教学的第二个环节，丰富实例，探究共性.在这一环节给出四个案例,分析中要引导学生用集合的观点解释已有概念，利用函数的各种表达形式，为学生搭建理解的平台，以帮助学生感悟函数概念四个例题教学设计如下实例1复兴号高速列车的行驶速度、时间和路程。

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

3.1.2 分段函数（第二课时）【教学目标】1．知识与技能（1）掌握分段函数的定义（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值（3）会运用分段函数的知识解决实际问题2．过程与方法（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。

（2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。

【教学重点、难点】（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题（2）难点：建立实际问题的分段函数关系【教学方法】讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。

通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。

【课时安排】 1课时【教学过程】一、复习函数的定义及表示方法1、函数的定义2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法二、基础知识分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数. 思考：分段函数对于自变量x 的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.）三、基础自测1.函数()f x = ） A.[1,1)(1,)-⋃+∞ B.(1,)+∞C.(1,)-+∞D.(1,1)(1,)-⋃+∞[解析]:由函数解析式得1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-，且1x ≠. 故函数的定义域为[1,1)(1,)-⋃+∞，选A.2.若2(0)()(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则[(2)]f f -=（ ） A.2 B.3C.4D.5[解析]:∵20-<，∴(2)(2)2f -=--=，又20>，∴2[(2)](2)24f f f -===，选C.3.函数||y x =的图象是（ ）[解析]:因为,(0)||,(0)x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，所以B 选项正确. 4.（2020▪江苏徐州高一期中测试）已知函数4(0)()4(0)x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，则[(3)]f f -的值为 . [解析]:∵4(0)()4(0)x x f x x x +<⎧=⎨->⎩， ∴(3)1f -=，∴[(3)](1)3f f f -==-.【题型探究】题型一 分段函数的求值问题例1 已知函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求(4),(3),[(2)]f f f f --；（2）若()10f a =，求a 的值.[分析]:分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值.[解析]:（1）(4)422f -=-+=-，(3)236,(2)220f f =⨯=-=-+=，2[(2)](0)00f f f -===；（2）当1a ≤-时，210a +=，可得8a =，不符合题意；当12a -<<时，210a =，可得a =当2a ≥时，210a =，可得5a =，符合题意；综上可知，5a =.[归纳提升]：求分段函数函数值的方法（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现0[()]f f x 的形式时，应从内到外依次求值.【对点练习】①已知3(10)()[(5)](10)x x f x f f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值是（ ） A.24 B.21C.18D.16[解析]: (5)[(10)],(10)[(15)](18)21,(5)(21)24f f f f f f f f f ======.故选A.题型二 分段函数的图象及应用例2 已知函数||()1(22)2x x f x x -=+-<≤. （1）用分段函数的形式表示函数()f x ；（2）画出函数()f x 的图象；（3）写出函数()f x 的值域.[分析]: 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象.[解析]:（1）当02x ≤≤时，()112x x f x -=+=； 当20x -<<时，()112x x f x x --=+=-. 所以1(02)()1(20)x f x x x ≤≤⎧=⎨--<<⎩； （2）函数()f x 的图象如图所示：（3）由（2）知，()f x 在(2,2]-上的值域为[1,3).[归纳提升]：1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤（1）定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.（2）设函数式：设出函数的解析式.（3）列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.（4）下结论：最后用“{”表示出各段的解析式，注意自变量的取值范围.2.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.【对点练习】② 已知函数221(1)()2(1)x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩. （1）画出函数的图象；（2）若()1f x =，求x 的值.[解析]:（1）函数图象如图所示：（2）由()1f x =和函数图象综合判断可知，当(,1)x ∈-∞时，得()211f x x =-+=， 解得0x =； 当[1,)x ∈+∞时，得2()21f x x x =-=，解得12x =+或12x =-（舍去）.综上可知x 的值为0或12+.题型三 分段函数的应用问题例3 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B （起点）向点A （终点）运动，设点P 运动的路程为x ，APB ∆的面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =：（2）画出()y f x =的图象；（3）若APB ∆的面积不小于2，求x 的取值范围.[分析]:（1）点P 位置不同ABP ∆的形状一样吗？（2）注意该函数的定义域.[解析]:（1）2(04)8(48)2(12)(812)x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）()y f x =的图象如图所示：（3）即()2f x ≥，当04x ≤≤时，22x ≥，∴1x ≥，当812x <≤时，2(12)2x -≥，∴11x ≤，∴x 的取值范围是111x ≤≤.[归纳提升]：利用分段函数求解实际应用题的策略（1）首要条件：把文字语言转换为数学语言．（2）解题关键：建立恰当的分段函数模型．（3）思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．【对点练习】③某市有,A B 两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A 俱乐部每块场地每小时收费6元；B 俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．（1）设在A 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为()f x 元123()0x ≤≤，在B 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为()g x 元123()0x ≤≤，试求()f x 与()g x 的解析式；（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？[解析]:（1）由题()6,[12,30]f x x x =∈，90,[12,20]()250,(20,30]x g x x x ∈⎧=⎨+∈⎩； （2）1220x ≤≤时，690x =，解得：15x =，即当1215x ≤<时，()()f x g x <，当15x =时，()()f x g x =，当1520x <≤时，()()f x g x >．当2030x <≤时，()()f x g x >，故当1215x ≤<时，选A 家俱乐部合算．当15x =时，两家俱乐部一样合算，当1530x <≤时，选B 家俱乐部合算．【误区警示】分段函数概念的理解错误例4 求函数21(0)()(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩的定义域． [错解]:∵0x ≥时，2()1f x x =-，0x <时，()f x x =，∴当0x ≥时，()f x 的定义域为[0,)+∞，当0x <时，()f x 的定义域为(,0)-∞．[错因分析]:错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数21(0)()(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是两个函数．[正解]：函数()f x 的定义域为(,0)[0,)-∞⋃+∞，即(,)-∞+∞，∴函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞．【学科素养】建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程． 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．例5 某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数()h x ，其中21400,0400()280000,400x x x h x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪>⎩，x 是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本． （1）试将自行车厂的利润y 表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？[分析]总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20000元，可变成本为100x 元．[解析]:（1）依题设，总成本为20000100x +， 则2130020000,0400,260000100,400,x x x x N y x x x N⎧-+-<≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩且且；（2）当0400x <≤时，21(300)250002y x =--+， 则当300x =时，max 25000y =.当400x >时，60000100y x =-是减函数，则6000010040020000y <-⨯=.综上可知，当月产量300x =件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25000元．[归纳提升]：求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．。

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f 的正确理解，函数符号y ＝f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一 函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作□02y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做□03自变量，x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域；与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B 的子集． 注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A 是函数的定义域，因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应；集合B 不一定是函数的值域，因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ，也就是说，B 中的某些元素可以不是函数值，即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中，我们用符号y ＝f (x )表示函数，其中f (x )表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘x ”．知识点二 函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应．知识点三 区间的概念(1)设a ，b 是两个实数，而且a <b .我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a ，b ]； ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间，表示为□04(a ，b )； ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点． 实数集R 可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”． 我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合，用区间分别表示为□12[a ，＋∞)，□13(a ，＋∞)，□14(－∞，b ]，□15(－∞，b )． (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 知识点四 同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y ＝f (x )，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ，不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________． ①A ＝{1,4}，B ＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2}，对应关系：③A ＝[0,2]，B ＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y ＝x 是同一个函数的是________． ①y ＝x 2；②y ＝3x 3；③y ＝(x )2；④s ＝t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋3；(2)f (x )＝1x ＋1；(3)y ＝x －1＋1－x ；(4)y ＝x ＋1x 2－1；(5)y ＝(1－2x )0. [解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}． (5)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [解] 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4. 故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32，∴函数f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 例3 如图所示，用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x (单位：m)，求此框架围成的面积y (单位：m 2)与x 的函数关系式．[解] 由题意可得，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ， 于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx2>0，得0<x <1π＋2，∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数关系式为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y ＝f (x )为整式，则函数的定义域是实数集R .(2)分式：若y ＝f (x )为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y ＝f (x )为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]中，g (x )∈[a ，b ]，从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域．②若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由x ∈[m ，n ]可确定g (x )的范围，设u ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，所以g (x )的范围即f (x )的定义域．③已知f [φ(x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域，先由f [φ(x )]中x 的取值范围，求出φ(x )的取值范围，即f (x )中的x 的取值范围，即h (x )的取值范围，再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围．(6)实际问题：若y ＝f (x )是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1] (1)若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；②y ＝x ＋1|x |－x ；(3)①求函数y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9的定义域； ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y (单位：m 2)关于一边长x (单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知，－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.∴f (x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1，∴函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}． (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．②因为矩形的一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二 已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )＝2x 2－4，x ∈R ，若f (x 0)＝2，求x 0的值． [解] 易知f (x 0)＝2x 20－4， ∴2x 20－4＝2，即x 20＝3. 又∵x 0∈R ，∴x 0＝± 3. 金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x ∈[0，＋∞)”，则x 0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈(－∞，0)，若f (x 0)＝3.求x 0的值． 解 由题意可得f (x 0)＝x 20－2x 0. ∴x 20－2x 0＝3，即x 20－2x 0－3＝0. 解得x 0＝3或x 0＝－1.又∵x 0∈(－∞，0)，∴x 0＝－1. 题型三 已知自变量的值求函数值 例5 已知f (x )＝x 2，x ∈R ，求： (1)f (0)，f (1)； (2)f (a )，f (a ＋1)．[解] (1)f (0)＝02＝0，f (1)＝12＝1. (2)∵a ∈R ，a ＋1∈R ， ∴f (a )＝a 2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f (x )＝x 2求解，实质上就是求代数式的值，例如f (1)就是当x ＝1时，代数式x 2的值，而f (a ＋1)就是当x ＝a ＋1时，代数式x 2的值．[跟踪训练3] 已知f (x )＝x ＋1x ＋1，求： (1)f (2)；(2)当a >0时，f (a ＋1)的值． 解 (1)f (2)＝2＋13.(2)易知f (x )的定义域A ＝[0，＋∞)， ∵a >0，∴a ＋1>1，则a ＋1∈A ， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋2. 题型四 求函数的值域 例6 求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝xx ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝x ＋x ＋1. 解 (1)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0，∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(2)配方，得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y |2≤y <11}． (3)(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1，且t ≥0，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，由t ≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞). 题型五 相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2＋1，g (t )＝t 2＋1 C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |[解析] A 项中，由于f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C 项中，由于f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝x x的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数． [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y ＝x 相同？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同． (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同． (3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y＝x 不相同，所以不相同．(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相同．1．下列各图中，可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ，B 中的图象与y 轴有两个交点，即有两个y 值与x ＝0对应，所以A ，B 不可能是函数y ＝f (x )的图象；对于C 中图象，过x ＝1作与x 轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C 不可能是函数y ＝f (x )的图象．故选D.2．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( )A ．{x |x ≥2} B．{x |x >2}C ．{x |x ≤2} D．{x |x <2}答案 C解析 要使函数式有意义，则2－x ≥0，即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}．3．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝________.答案 2解析 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (a ＋1)； (2)若f (x )＝5，求x . 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2， f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋(a ＋1)－1＝a 2＋3a ＋1.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.。

【新教材】函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

？数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

[难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的高中又是怎样定义要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、—三、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义函数有哪三要素2. 如何用区间表示数集3. 相等函数是指什么样的函数要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

四、新知探究《1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(f)|f∈f}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示|四、典例分析、举一反三题型一函数的定义例1下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.·2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;、(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以 它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法).定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√xx ,g(x)=√x ;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;\⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数."题型三区间例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为.【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].解题技巧：（如何用区间表示集合）《1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示为.2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为.【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,￥∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域:(1)y=(x +2)|x|-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x|-x ≠0,即{x ≠-2,|x|≠x,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.】故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3−√2-x1x 的定义域. …2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x≠0,所以函数y=√2x +3−√2-x1x 的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}. (2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4,∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32.:∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域）例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；③y ＝3x −11+x ； ④y ＝2x －√x −1.【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ ？【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.。