江苏省高等数学竞赛试题剖析

江苏省第十届高等数学竞赛试题（本科二级）考试时间：2010年6月5日 上午 8:30—11:30一、 填空题（每小题4分，共8小题）1、 =-→30)(sin )sin(sin sin limx x x x 求 2、 ='+++=y 求, 1)1x ln(x 已知y 22x3、 =-⎰dx e x x x 214、 ，x cos y 2==(n)y 求5、 =-⎰+∞2411dx x 求6、022*********{=+-+≤+--++z y x z y x z y x ，求该区域面积S=7、 =='='-=)1,2(21|,3)2,3(,2)2,3(),,2(z dz y x y x f f f 求且已知8、 =-+∑∞=1!2!)1(1n n n n n二、;)()(],[)(dx x xf dx x f b b a x f ba ba ⎰⎰=上连续，满足在求证：存在),,(b a ∈ξ使得 ⎰=ξa x f 。

0)(（10分）三、为侧面的中点，为，边长为正方体F D C E D C B A ABCD 1111112-的中心，11BCC B 求（1）形成的二面角；与底面平面ABCD EF A 1（2）积。

截正方体得到的截面面EF A 1 （10分）四、等腰梯形ABCD ，其中AB+BC+CD=8，梯形绕AD 边旋转，得到的旋转体体积最大，求AD ，BC ，AB 的长。

（12分）五、满足：已知区域求D dxdy y x D ,)sin (cos 22⎰⎰+。

0,0,122≥≥≤+y x y x （12分）六、）的积分。

，）到（，沿曲线从（）（求1100)1(2-++++⎰dy y x dx e y x Lx 曲线L 的方程 。

：)10(2)21(222{≤≤=≤≤=+x x y x x y x L （12分）七、已知}{n a 单调增加，113213;5,2,1-+-====n n n a a a a a a 满足且 ),2(*N n n ∈≥n n a x 1=设， 的敛散性。

解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。

解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。

令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。

2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。

证 问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。

20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。

江苏数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

【答案】证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。

1. 当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。

2. 假设当\( n = k \)时等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)。

3. 当\( n = k + 1 \)时，我们需要证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)。

4. 根据假设，将\( k \)的和代入，得到\( \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \)。

5. 简化上述表达式，我们得到\( \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)，这正是我们需要证明的等式。

6. 因此，根据数学归纳法，对于任意正整数\( n \)，等式成立。

【试题二】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值。

【答案】解：首先求导得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。

令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)。

1. 当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递增。

2. 当\( 0 < x < 2 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递减。

江苏省⾼等数学竞赛试题汇总2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科⼆级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=? 5.4211dx x +∞=-?6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=??++--+≤的⾯积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为. ⼆.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ三．（10分）已知正⽅体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧⾯正⽅形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平⾯与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平⾯截正⽅体所得到的截⾯的⾯积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。

五（12分）求⼆重积分()22cos sin Dx y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n nx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科三级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=?6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y+=8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D⼆.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对⼀切正数x 成⽴，求常数a 的最⼩值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=?.四.（12分）求⼴义积分4211dx x+∞-?五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。

2010年江苏省普通高等学校第十届高等数学竞赛试题(本科二级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-→30)(sin )sin(sin sin lim x x x x 。

2.,1)1ln(22x x x y +++=则='y 。

3.,cos 2x y =则=)(n y 。

4.⎰=-dx e x x x 21 。

5.=-⎰∞+dx x2411。

6.圆⎩⎨⎧≤+--++=+-+192240222222z y x z y x z y x 的面积为 。

7.设),,2(y x y x f z -=f 可微, ,2)2,3(1='f ,3)2,3(2='f 则===21y x dz 。

8.级数∑∞=-+1!2!)1(1n n n n n 的和为 。

二、(10分)设)(x f 在],[b a 上连续，且⎰⎰=b a b a dx x xf dx x f b)()(， 求证：存在),(b a ∈ξ，使得⎰=ξa dx x f 0)(三、(10分)已知正方体1111D C B A ABCD -的边长为2，E 为11C D 的中点，F 为侧面正 方形11B BCC 的中点，(1)试求过点F E A ,,1的平面与底面ABCD 所成的二面角的值。

(2)试求过点F E A ,,1的平面截正方体所得到的截面的面积。

四、(12分)已知ABCD 是等腰梯形，BC ∥AD ，8=++CD BC AB ，求AD BC AB ,,的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五、(12分)求二重积分⎰⎰+Ddxdy x x )sin (cos 22，其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D 。

六、(12分)求⎰++++Γ,)1()2(2dy y x dx e y x x其中Γ为曲线⎩⎨⎧≤≤=+≤≤=,21,2,10,222x x y x x x y 从)0,0(O 到)1,1(-A 七、(12分)已知数列}{n a 单调增加，满足： ,,5,2,1321 ===a a a),3,2(311 =-=-+n a a a n n n ，记a x n 1=，判别级数∑∞=1n n x 的敛散性。

【含附加题】绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ整理校对：李炳璋注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分。

考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。

1．函数y=3sin （2x+）的最小正周期为 π ．【考点定位】三角函数的周期性及其求法。

【专题模块】三角函数的图像与性质。

【难易层级】易【思维轨迹】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期。

【参考答案】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π【名师点评】本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin （ωx+φ）的周期公式的知识，只要考生认真仔细一些就可以做对。

2．设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【考点定位】复数代数形式的混合运算。

江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。

在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。

评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。

本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。

试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。

试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。

选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。

应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。

评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。

试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。

满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。

对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。

如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。

填空题亦是如此。

对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。

对于应用题，情况稍有不同。

应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。

如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。

如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。

本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。

试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。

评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。

通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。

2016年江苏省第⼗三届⾼等数学竞赛试题（本科⼀级）讲解江西省南昌市2015-2016学年度第⼀学期期末试卷（江西师⼤附中使⽤）⾼三理科数学分析⼀、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考⽣熟悉的基础知识⼊⼿，多⾓度、多层次地考查了学⽣的数学理性思维能⼒及对数学本质的理解能⼒，⽴⾜基础，先易后难，难易适中，强调应⽤，不偏不怪，达到了“考基础、考能⼒、考素质”的⽬标。

试卷所涉及的知识内容都在考试⼤纲的范围内，⼏乎覆盖了⾼中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的⼤部分知识点均有涉及，其中应⽤题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学⽣感受到了数学的育才价值，所有这些题⽬的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题⽬难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较⼤，学⽣不仅要有较强的分析问题和解决问题的能⼒，以及扎实深厚的数学基本功，⽽且还要掌握必须的数学思想与⽅法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全⾯，着重数学⽅法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选⼀问题中，试卷均对⾼中数学中的重点内容进⾏了反复考查。

包括函数，三⾓函数，数列、⽴体⼏何、概率统计、解析⼏何、导数等⼏⼤版块问题。

这些问题都是以知识为载体，⽴意于能⼒，让数学思想⽅法和数学思维⽅式贯穿于整个试题的解答过程之中。

⼆、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满⾜AB AC →→=，则A BA C →→的最⼩值为（）A ．14- B ．12-C ．34-D ．1-【考查⽅向】本题主要考查了平⾯向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三⾓的典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确⽤OA ，OB，OC 表⽰其它向量。

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知，则 ．21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦()f x '=2． ．1ln 0lim (tan )xx x +→=3．　．=⎰4．若级数收敛，则的取值为 ．11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑a 5．．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数的可去间断点为（）．21()(1)x e f x x x -=-A ． B ．C ．D ． 无可去间断点0,1x =1x =0x =2．设，则当时，是的（ ）．21()sin,()sin f x x g x x x==0x →()f x ()g x A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小C ．高阶无穷小D ．等价无穷小3．设常数，函数在内零点个数为（ ）．0k >()ln xf x x k e=-+(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 32104．设对一切满足，若且，则函数()y f x =x 240y y y '''--=0()0f x >0()0f x '=在点（）．()f x 0x A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少5．过点且与直线 垂直的平面方程是（）．(2,0,3)-2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩A ． B ．16(2)1411(3)0x y z --+++=(2)24(3)0x y z --++=C ．D ．3(2)52(3)0x y z -+-+=16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设，求常数．2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dxx x x +∞→+-+=⎰,a b 四、（6分）已知函数由方程组 确定，求．()y y x =(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩220t d y dx =五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有(),()f x g x [,]a b (,)a b (,)a b x ，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之()()()()0f x g x f x g x ''-≠()f x (,)a b 间，至少有一个零点．()g x 六、（6分）设，其中是实数，且12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++ 12,,,n a a a ，试证：|()||sin |f x x ≤12|2|1n a a na +++≤ 七、（6分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线2y x =2(,)a a a 所围成的图形面积最小？241y x x =-+-八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，0x →220()()()xF x x t f t dt '=-⎰2x 求．(0)f '九、（8分）求级数的收敛域及和函数.21(21)n n n x∞+=+∑十、（8分）将展为的幂级数，并指明收敛域．1()arctan1xf x x+=-x 十一、（6分）求．581x xdx x -+⎰十二、（8分）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足()f x 0x >()g x，试求．3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰()f x 第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ．40ln(1)lim 1cos(1cos )x x x →-=--2．设，则 ， ．0lim(0)x c c +→=≠k =c =3．设在上可导，下列结论中成立的是 ．()f x [1,)+∞A ．若，则在上有界lim ()0x f x →+∞'=()f x [1,)+∞B ．若，则在上无界lim ()0x f x →+∞'≠()f x [1,)+∞C ．若，则在上无界lim ()1x f x →+∞'=()f x [1,)+∞4．设，则　 ．2ln(1),arctan x t y t t =+=+22d ydx=5．设由确定，则 ．()1yex y x x -+-=+()y y x =(0)y ''=6． 　．(arcsin arccos )x x dx -=⎰7．．4+∞=⎰8． 幂级数的收敛域为 ．11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ 二、（8分）设在上连续且单调减少，，求证：()f x [0,)+∞0a b <<．()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰三、（9分）设．()sin f x kx x =+（1）若，求证：在上恰有一个零点；1k ≥()f x (,)-∞+∞（2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围．01k <<()f x (,)-∞+∞k 四、（8分）求．2201tan 2x x e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当为何值时为一圆？（2）当时，求的圆心和半径．k Γ6k =Γ六、（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与1211x y z-==-y 所包围的立体的体积．0,2y y ==七、（9分）求．2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 八、（9分）设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时k 221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．是周期为的奇函数，当时，，则当()f x π0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin cos 2f x x x =-+时， ．,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =2．当时，与为等价无穷小，则 ， 0x →sin cos x x x -kcx k =c =．3． ．2tan2lim(sin )xx x π→=4． ．2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ 5．已知，则当时， ．2()ln(1)f x x x =-2n >()(0)n f=6． ．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰7．以直线为对称轴，且半径的圆柱面方程为 ．x y z ==1R =8． ．1(1)2nn nn ∞==+∑二、（10分）设在上连续，在内可导，，()f x [,]a b (,)a b ()f a a =，求证：在内至少有一点，使得．221()()2baf x dx b a =-⎰(,)a b ξ()()1f f ξξξ'=-+三、（10分）设．在的边界上22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤D y x =任取一点，设到原点的距离为，作垂直于，交的边界P P t PQ y x =D 于．224y x -=Q （1）试将的距离表示为的函数；（2）求绕旋转一周的旋转体体,P Q ||PQ t D y x =积．四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数()f x (,)-∞+∞()f x 0x =有，求证：在上处处连续．12,x x 1212()()()f x x f x f x +=+()f x (,)-∞+∞五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围．k 110kx x-+=(0,)+∞k 六、（10分）已知点与，在平面上求一点，使得(1,0,1)P -(3,1,2)Q 212x y z -+=M 最小．||||PM MQ +七、（10分）求幂级数收敛域11(32)n n nn x n ∞=+∑ 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2． ．23001lim(1)xt x e dt x-→-=⎰3．若，则 ， 　．lim )0x ax b →+∞++=a =b =4．设，则　 ．2sin ()(1)xf x x x e=++(0)f ''=5．设，则 ．2ln(1),arctan x t y t =+=221t d ydx =-=6． ．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰7．为空间的4个定点，与的中点分别为，（为常,,,A B C D AB CD ,E F ||EF a =0a >数），为空间的任一点，则的最小值为 ．P ()()PA PB PC PD ++A 8． 已知点为原点，则四面体的外接球面的方(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),ABC O --OABC 程为．二、（8分）设，试问：为何值时，在2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩,,a b c ()f x处一阶导数连续，但二阶导数不存在．0x =三、（9分）过点作曲线的切线．(1,5)3:y x Γ=L （1）求的方程；（2）求与所围平面图形的面积；L ΓL D （3）求图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积．D 0x ≥x 四、（8分）设在区间上是导数连续的函数，，()f x [0,)+∞(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤求证：．|()|1,[0,)xf x e x ≤-∈+∞五、（8分）求．120arctan (1)xdx x +⎰六、（9分）设圆柱面被柱面截下的（有限）部分221(0)x y z +=≥222z x z =++为．为计算曲面的面积，我们用薄铁片制作的模型，其中∑∑∑为上三点，将沿线段剪开并展成平面图形．建(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --∑∑BC D 立平面直角坐标系，使位于轴正上方，点的坐标为．试写出的边界的方程，D x A (0,5)D 并求的面积．D 七、（9分）对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？p 11(1)n n ∞+=-∑何时发散？八、（9分）求幂级数的收敛域与和函数．212nnn n ∞=∑第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1． ， 时，．a =b =2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--2． ．11lim(2)nn k k k →∞==+∑3．设，则 ．()(1)(2)(100)f x x x x x =--- (100)f '=4．当 ， 时，在时关于的无a =b =2()1xf x ax x bx=+++0x →x 穷小的阶数最高．5． ．2221(1)x dx x +∞=+⎰6．点关于平面的对称点的坐标为 ．(2,1,1)-25x y z -+=7．通过点与直线：的平面方程为 ．(1,1,1)-,2,2x t y z t ===+8． 幂级数的和函数为 ，收敛域为 ．1nn nx∞=∑二、（8分）设数列为，求证数列收敛，并求其{}nx 111,(1,2,)n x x n +=== {}n x 极限．三、（8分）设函数在上连续，求证：存在，()f x [,]a b (0),()0baa f x dx >=⎰(,)a b ξ∈使得．()()af x dx f ξξξ=⎰四、（8分）将平面上的曲线绕直线旋转一周得xOy 222()(0)x b y a a b -+=<<3x b =到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求．200lim sin()tt tx dx +→⎰六、（10分）在平面内作一条直线，使该直线经过另一直线:220x y z ∏+-=Γ与平面的交点，且与垂直，求直线的参数方程．221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩∏ΓL Γ七、（8分）判别级数的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．)11(1)1n n ∞+=--∑八、（10分）求函数的幂级数展开式，并指出其收敛域．222()(1)(12)x f x x x +=-+第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． ．30sin sin(sin )lim x x x x →-=2．，则 ．2arctan()tan x y x e x =+y '=3．设由确定，则 ．y x x y =()y y x =dy dx=4．，则 ．2cos y x =()n y =5． ．21x x e dx x -=⎰6． ．2140arctan()1x x dx x =+⎰7．圆的面积为 ．2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩8． 级数的和为 ．11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑二、（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值．a 2axx e ≤x a三、（10分）设函数在上连续，且，求证：存在()f x [0,1]1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，使得．(0,1)ξ∈()0a f x dx ξ=⎰四、（12分）求反常积分．4211dx x +∞-⎰五、（12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围(0,0)ln y x =-ln y x =-x 的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积．x 六、（12分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正1111ABCD A B C D -E 11D C F 方形的中心．（1）试求过点的平面与底面所成的二面角的值；11BCC B 1,,A E F ABCD （2）试求点到过点的平面的距离．D 1,,AEF 七、（12分）已知数列单调增加，满足{}n a 123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ，记，判别级数的敛散性．(2,3,)n = 1n n x a =1n n x ∞=∑第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． ．0x →=2． ．333412lim x n n →∞+++= 3． ．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰4．，则 ．ln(1)y x =-()n y =5． ．2arctan x xdx =⎰6． ．11arccos x dx x=7．点到直线的距离为 ．(2,1,3)-13122x y z -+==-8． 级数为条件收敛，则常数的取值范围是 ．2(1)1kn n n n ∞=--∑k 二、（每小题6分，共12分）（1）求．3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑（2）设在处可导，且，求．()f x 0x =(0)1,(0)2f f '==20(cos 1)1lim x f x x →--三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数在上有定义（），当时，严格增加，当()f x (,)δδ-0δ>0x δ-<<()f x 时，严格减少，存在，且是的极小值．0x δ<<()f x 0lim ()x f x →(0)f ()f x （2）函数在上一阶可导（），为极值，且为曲线()f x (,)δδ-0δ>(0)f (0,(0))f 的拐点．()y f x =四、（10分）求一个次数最低的多项式，使得它在时取极大值，在时()P x 1x =134x =取极小值．14-五、（12分）过原点作曲线的切线，设是以曲线、切线及轴为(0,0):x y e -Γ=L D Γx 边界的无界区域．（1）求切线的方程；（2）求区域的面积；（3）求区域绕轴旋L D D x 转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点在平面的两侧，过点作球面(1,2,1),(5,2,3)A B --:223x y z ∏--=,A B 使其在平面上截得的圆最小．∑∏Γ（1）求直线与平面的交点的坐标；AB ∏M （2）若点是圆的圆心，求球面的球心坐标与该球面方程；M Γ∑（3）证明：点确是圆的圆心．M Γ七、（12分）求级数的和．1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑。