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多元函数的极值与最值1.求函数z=x3+y3−3xy的极值。
步骤：1)先求驻点(另偏导数等于0，联立)2)再求ABCA=f xx(x0, y0)B=f xy(x0, y0)C=f yy(x0, y0)3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o);(2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值;(3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论.=3x2−3y=0解：∂z∂x∂z=3y2−3x=0∂y联立得驻点为(0,0),(1,1)A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处无极值。
在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (1, 1) =x3+y3−3xy=−12.求函数f(x, y)=x2+(y−1)2的极值。
解：f x’=2x=0F y’=2y-2=0联立得驻点为(0,1)A=f xx(x0, y0) =2B=f xy(x0, y0) =0C=f yy(x0, y0) =2在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (0, 1) = 03.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？解：另长宽高分别为x, y, z故xyz=a, z=axyS=xy+2(x axy +y axy)=xy+2(ay+ax)S x’=y+2(−ax2)=0S y ’= x+2(−ay2)=0解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少。
多元函数极值问题解决在数学中，多元函数是指依赖多个自变量的函数。
研究多元函数的极值问题是数学中重要的一个方向，通过极值问题解决可以了解函数的最大值和最小值，对于优化问题等具有重要意义。
本文将介绍解决多元函数极值问题的基本方法和技巧。
1. 多元函数极值问题概述多元函数的极值包括两种情况：最大值和最小值。
要找到多元函数的极值，需要通过计算导数或二阶导数来确定。
对于多元函数f(x,y)，要找到其极值，可以通过求解以下方程组来解决：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0 $$其中 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ 分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。
2. 求解多元函数极值的步骤步骤1：计算一阶偏导数首先，对多元函数f(x,y)分别对x和y求一阶偏导数，得到 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$。
步骤2：解方程组然后，解方程组 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$，求解出使得导数为零的x和y的值。
步骤3：判别极值类型最后，通过计算二阶导数或利用二次型判断方法，判断得到的极值是极小值、极大值还是鞍点。
3. 多元函数极值问题例题下面通过一个例题来说明如何解决多元函数极值问题：例题：求函数f(x,y)=x2+2y2−2xy−2y的极值。
解：1.求解一阶偏导数：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 2x - 2y, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 4y - 2x - 2 $$2.解方程组：令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} =0$，得到：$$ \\begin{cases} 2x - 2y = 0 \\\\ 4y - 2x - 2 = 0 \\end{cases} $$求解得到x=1,y=1。
多元函数的无条件极值和条件极值多元函数的无条件极值和条件极值在数学中是重要的概念。
它们帮助我们确定函数的最大值和最小值，并在优化问题中起到关键作用。
在本文中，我们将介绍无条件极值和条件极值的概念，以及如何找到它们。
首先，我们来看无条件极值。
一个多元函数的无条件极值是指在整个定义域上的最大值和最小值。
换句话说，无论函数在哪个点取值，它们的值都是最大或最小的。
要找到一个函数的无条件极值，我们可以使用多元微积分中的极值判定法。
举个例子，假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2。
我们想要找到这个函数的无条件极值。
首先，我们计算函数关于 x 和 y 的偏导数，分别是∂f/∂x = 2x 和∂f/∂y = 2y。
然后，我们令这两个偏导数等于零，并解方程组。
解得 x = 0 和 y = 0。
将这些解代入原函数 f(x, y) = x^2 + y^2，我们得到 f(0, 0) = 0。
所以，函数 f(x, y) = x^2 + y^2 在点 (0, 0) 上取得无条件极小值，即最小值为 0。
接下来，让我们来看条件极值。
条件极值是指在给定一组条件下的最大值和最小值。
在求解条件极值时，我们需要使用拉格朗日乘数法。
这个方法允许我们将约束条件纳入考虑，并找到函数在满足约束条件的情况下的最优解。
假设有一个条件极值的例子，我们要最小化函数 f(x, y) = x^2+ y^2，同时满足约束条件 g(x, y) = x + y = 1。
首先，我们定义一个拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子。
然后，我们计算L(x, y, λ) 关于 x、y 和λ 的偏导数，并将它们都设为零。
解方程组后，得到 x = 1/2、y = 1/2 和λ = -2。
接下来，我们将这些解代入函数 f(x, y) = x^2 + y^2 中，得到f(1/2, 1/2) = 1/2。
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数极值典型例题例1 求由方程 222224100x y z x y z ++−+−−=确定的函数 (,)z f x y =的极值．解 将方程两边分别对 ,x y 求偏导，得2224022240x x y y x zz z y zz z ′′+−−=⎧⎨′′+−−=⎩. 令0,0x y z z ′′==, 得 1,1x y ==−. 即驻点为(1,1)P −.又223(2)(1)1(2)2xxPPz y A z z z−++′′===−−，0xyPB z ′′==223(2)(1)1(2)2yyPPz y C z z z−++′′===−− 因2210, 2(2)AC B z z −=>≠−，故(,)P z f x y =取极值. 将1,1x y ==−代入 222224100x y z x y z ++−+−−=得122,6z z =−=.2z =−时， 11024A z ==>−，故(1,1)2z f =−=−为极小值； 6z =时，11024A z ==−<−，故 (1,1)6z f =−=为极大值. 例2 求函数221216z x y x y =+−+在有界闭域2225x y +≤的最大值和最小值.解 函数221216z x y x y =+−+在有界闭域 2225x y +≤上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值．先求函数在区域 2225x y +<内的驻点.令2120, 2160z z x y x y∂∂=−==+=∂∂，6, 8x y ==−. 但 (6,8)不在区域 2225x y +≤内，故函数的最大值和最小值必在边界2225x y +=上取得.再求 221216z x y x y =+−+在边界 2225x y +=上的条件极值.设 2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+−+−+−.令 2221220(1)21620(2)250(3)x y F x x F y y F x y λλλ′=−−=⎧⎪′=+−=⎨⎪′=+−=⎩ 由(1)、(2)得 68,11x y λλ−==−−，代入(3)式，有 2268()()2511λλ−+=−−. 得121,3λλ=−=.可得驻点12(3,4),(3,4)P P −− 而(3,4)75,(3,4)125z z −=−−=. 故z 的最大值为125，z 的最小值为－75.例3 求内接于半径a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为2222x y z a ++=,(,,)x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点. 则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2x y z . 体积为2228V x y z xyz =⋅⋅=本题是求V 在约束条件2222x y z a ++=下的极值. 作拉格朗日函数2222(,,)8()F x y z xyz x y z a λ=+++−令2222820(1)820(2)820(3)0(4)xyz F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎨′⎪=+=⎪++−=⎩由(1)、(2)、(3)得 4x y z λ===−，代入(4)得3x y z a ===.即有唯一驻点,,333a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠，而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为3a 时，其体积最大. 例4 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +−=的距离最短.解 设(,)P x y 为椭圆上的任意一点，即有2244x y +=. P 到直线2360x y +−=的距离为d ，则d ==作拉格朗日函数2221(,,)(236)(44)13F x y x y x y λλ=+−++−. 令224(236)20136(236)8013440x y F x y x F x y y F x y λλλ⎧′=+−+=⎪⎪⎪′=+−+=⎨⎪⎪′=+−=⎪⎩解得12128855,3355x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==−⎪⎪⎩⎩ 故128383(,),(,5555P P −−为两个驻点.由于1213P d ==，又由实际问题可知最短距离存在，因此点183(,55P 即为所求点. 13d =即为最短距离.例5 求函数 (,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式 53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠解 作拉格朗日函数2222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z r λ=++−++−令 22221201203205x y z F x xF y y F z z F x y z r λλλλ⎧′=−=⎪⎪⎪′=−=⎪⎨⎪′=−=⎪⎪⎪′=++−⎩，即2222222120(1)120(2)320(3)50(4)x y z x y z r λλλ⎧−=⎪−=⎪⎨−=⎪⎪++−=⎩(1)+(2)+(3)，得 2222()5x y z λ++=，得212r λ=. 将求得的λ的值分别代入(1)、(2)、(3)式，得驻点(,)r r .因在第一卦限内球面的三条边界上，函数(,,)f x y z 均趋向于－∞，故最大值必在曲面内部取得，而驻点又唯一，则在驻点(,)r r 处，(,,)f x y z 取得最大值，其值为5(,)ln ln 3ln )F r r r r =++=，则对任何0,0,0x y z >>>，有5ln ln 3ln )x y z ++≤，又22221()5r x y z =++，代入得5/222235x y z xyz ⎞++≤⎟⎠，得5222226275x y z x y z ⎛⎞++≤⎜⎟⎝⎠令222,,x a y b z c ===，得53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠。
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值是指函数在其定义域内取得最大值或最小值的点。
要求一个多元函数的极值可以通过以下方法求解：
1. 求解偏导数，并令其等于0，得到一系列方程组。
2. 解出这些方程组，得到所有可能的极值点。
3. 对这些点进行极值的判断，即求出它们对应的函数值，并比较大小。
具体的求解过程中需要注意以下几点：
1. 当偏导数为0时，不能直接得出极值点，还需要进一步的判断。
2. 极值点可能不在定义域内，需要对所有可能的情况进行考虑。
3. 函数可能存在多个极值点，需要将它们全部找出来，并进行比较判断。
综合以上要点，在求解多元函数的极值时需要仔细分析问题，严格按照求解步骤进行操作，避免出现错误。
