多元函数取得极值的条件

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多元函数取得极值的条件

序列可行方向的性质性质 1 处可微，设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有在处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空，法间 n − me −1 空，生 m 维间其空是为间在空中取组准交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考函方组法间任一标正基虑数程
∇f (x*) = 0
设元数 (x)存二连偏数 x*是小 n 函 f 在阶续导，极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )

多元函数极值

提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值点 .
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二,条件极值拉格朗日乘数法
条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值拉格朗日乘数法
条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.

多元函数极值的充分条件

多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。

若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。

定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f ff x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂⎝⎭为()f X 的梯度，记作gradf 。

引理设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f ff gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。

定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，所以0()f H X 为实对称矩阵。

第八章第六节多元函数的极值

50
H h 2 3 3V , 才能使制作材料最省。
50
总结求实际问题的最值步骤如下：
第一步：建立函数关系式，确定定义域；
第二步：求出所有驻点；
第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。
三条件极值
先看如下的例子：
在 x y 1 的条件下，求函数 z xy 的极值。
解：从 x y 1 中解出 y 1 x, 并代入 z xy
若固定 y y0, 则 z f (x, y0 ) 是一个一元函数，则该
函数在 x x0处取得极值，又因为 z f (x, y0 ) 对
x x0处可导，故 z
df (x, y0 )
0
x x x0 y y0
dx
x x0
同理可证
z 0 y x x0
y y0
将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点，则必要条件可叙述为：
是否为极值点。总结：求极值的步骤：
第一步：确定定义域（若未给出）；
第二步：解方程组 f x( x, y) 0, f y( x, y) 0 求得一切实数解，可得一切驻点。
第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值A， B，C。
第四步：定出 B2 AC 的符号，按充分条件的结论做出结论。
例1 求函数 z x2 ( y 1)2 的极值。解：此函数的定义域为{(x, y) | x R, y R}
（1）当 B2 AC 0, 点 P0 ( x0, y0 ) 是极值点，且 A 0 时，点 P0 ( x0, y0 ) 是极大值点，且 A 0 时，点 P0 ( x0 , y0 ) 是极小值点。
（2）当 B2 AC 0时，点 P0 ( x0, y0 ) 不是极值点。
（3）当 B2 AC 0 时，不能确定点 P0 ( x0, y0 )

多元函数条件极值

多元函数条件极值本文讨论的是多元函数条件极值问题。

极值是指函数的极大值和极小值，而条件极值是函数在某特定条件下的极大值或极小值。

多元函数条件极值是指在多个变量的条件限制下，函数的极大或极小值。

例如，f（x，y）= x2 + y2，其中x = 1，y = 2。

这意味着我们已经将变量x和y约束在特定的值之内，这样就可以求出条件极值。

因此，在这种情况下，条件极值为5。

多元函数条件极值的求解原理也与一元函数条件极值的求解原理相同，即要找到函数在约束条件下的极大/极小值，就必须找到当前函数极大/极小处的偏导数为0的解。

举例来说，假设我们有函数f（x，y）= x2 + y2，其中x = 1，y = 2。

我们首先要求函数的偏导数，得到：f/x = 2xf/y = 2y现在，我们必须将上述偏导数置于0，得到：2x = 02y = 0将x = 1，y = 2带入此方程，得到：2*1 = 02*2 = 0显然，这两个方程都是不成立的，这说明此处没有极值。

因此，在x = 1，y = 2处，f（x，y）= x2 + y2的极值为5。

另一种情况，我们考虑函数f（x，y）= x2 + y2，其中x = 3，y = -2。

此时，我们求得偏导数为：f/x = 2xf/y = 2y将偏导数置于0，得到：2x = 02y = 0将x = 3，y = -2带入此方程，得到：2*3= 02*（-2）= 0此时，这两个方程都成立，这说明此处有一个极值，称为条件极值。

因此，在x = 3，y = -2处，f（x，y）= x2 + y2的条件极值为13。

总之，多元函数条件极值是指在多个变量的条件限制下，函数的极大或极小值。

它的求解方法是将函数的偏导数等于0，并将满足条件的变量值带入方程，以计算极大极小值。

多元函数的极值与最值

令
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节多元函数的极值与最值
第八章多元函数微分法及其应用
一多元函数的极值
二多元函数的最值三条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、多元函数的极值
第八章
定义: 若函数
的某邻域内有
多则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值元函统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数例如 : 微分在点 (0,0) 有极小值; 法及在点 (0,0) 有极大值; 其应用在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二多元函数的最值
依据
第八章多元函数微分法及其应用
函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x

多元函数的极值

y ( P0 ) = 0 , 则称 P0 为 f 的驻点。驻点未必是极值点。
定理 2. 若函数z = f (x, y)在某 U ( P0 ) 内存在连续的二阶偏导数, 且 f x ( P0 ) = f y ( P0 ) = 0, 记 A = f xx ( P0 ), B = f xy ( P0 ), C = f yy ( P0 ), 则当 AC B 2 0 时, 若 A 0 , P0 为极小值点; 若 A 0 , P0 为极大值点。 AC B 2 0 时, P0 非为极值点。
AC B 2 = 0 时, P0 是否极值点需进一步讨论。
f ( x , y ) = (1 e y ) cos x y e y 的极值。例 1. 求
f x = (1 e y ) sin x = 0 解：由解得驻点 (2n , 0) , y f y = e (cos x 1 y ) = 0 (( 2n 1) , 2) , 其中 n Z . 那么 A = f xx = (1 e y ) cos x ,
2 2 2
在点 P1 (1, 1, 2) 的某邻域内方程可确定一个隐函数,此时， 1 1 A = z xx | P1 = = 0 . B = z xy | P1 = 0, 2 z z = 2 4 1 1 1 2 0. C = z yy | P1 = = . AC B = 16 2 z z = 2 4 因此 (1, 1) 为隐函数的极小值点, 极小值为 z = 2 . 在点 P2 (1, 1, 6) 的某邻域内方程也可确定一个隐函数。对应地, A = z xx | P2 = 1 4 0, B = z xy | P2 = 0, C = z yy | P2 = 1 4 . AC B 2 = 1 16 0 . 因此 (1, 1) 为隐函数的极大值点, 极大值为 z = 6 .

多元函数微分法应用-极值与最值

2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组

多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。

研究多元函数的极值和条件极值可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，在各种实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、判别法以及求解方法，以深入探讨这一重要数学概念。

一、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

对于具有两个自变量的函数，通常使用偏导数的概念来进行讨论。

偏导数是指将函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量看作常数，得到的导数。

考虑一个具有两个自变量的多元函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是定义域内的变量。

函数 f(x, y) 的极值点可以通过以下步骤确定：1. 求出函数 f(x, y) 的偏导数，即 f 对于 x 的偏导数∂f/∂x 和 f 对于 y 的偏导数∂f/∂y；2. 解方程组∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0，得到可能的极值点；3. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。

当二阶偏导数的行列式D = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² 大于 0 时，判断该点为极值点，否则不是。

二、多元函数的条件极值条件极值是指多元函数在满足一定条件下取得的极值。

通常在实际问题中，函数的自变量受到一定的限制条件约束。

此时，我们需要使用拉格朗日乘子法来求解条件极值。

假设有一个多元函数 f(x, y) 和一个条件方程 g(x, y) = 0。

使用拉格朗日乘子法求解条件极值的步骤如下：1. 构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子；2. 求出 L 对于 x、y 和λ 的偏导数∂L/∂x，∂L/∂y 和∂L/∂λ；3. 解方程组∂L/∂x = 0，∂L/∂y = 0 和∂L/∂λ = 0，得到可能的条件极值点；4. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。

ch7-6-多元函数求极值

umax 63 42 2 6912. 故最大值为
小结
• 多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件） • 多元函数的最值 • 条件极值（拉格朗日乘数法）
练习
1 求函数f ( x, y ) 4( x y ) x 2 y 2的极值. 2 求函数f ( x, y ) e 2 x ( x y 2 2 y )的值.
A 0,B2 AC 4e2 0
故函数在点 ( 1 1 e ,1)处取得极小值 f( ,1) 2 2 2
(3)某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY • 求该公司在生产总量为30单位时使得总成本最低的产量？ • 解：目标函数C= X2+3Y2-XY • 约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）
(4)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数，f(x,y)=60x ¾ y ¼,若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入30000元资金用于生产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多？ • 解：目标函数f(x,y)=60x ¾ y ¼ • 约束条件 x+2y=300（即x+2y-300=0 ）
最大利润为1650单位。
(3)某企业生产两种产品的数量分别为x单位和y单位，单价分别为：200,150，总成本函数为 C ( x, y) 2 x 2 y 2 求最大利润。 L( x, y) R( x, y) C ( x, y) (200 x 150 y) (2 x 2 y 2 ) 解：

解：令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,

大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法

第三步：定出 AC − B 2 的符号，再判定是否是极值。
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点，是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
上页下页返回
y y y
结束
机动
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

二、条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。

()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。

多元函数求极值的方法总结

多元函数求极值的方法总结
（1）多元函数取极值的必要条件：
（2）多元函数取极值的充分条件：
（3）求条件极值的方法：
解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：
题型一：求多元函数的极值
例1：（2012年真题)求函数f(x,y)=x*e^(-(x^2+y^2)/2)的极值。

分析：解决本题的方法主要利用多元函数取极值的充分条件。

解：
题型二：多元函数条件极值的求法
求条件极值常用的有两种方法，以求函数f(x,y)在条件
g(x,y)=0下的极值为例：
（1）化为无条件极值
若从条件g(x,y)=0中可解出y=y(x)，再带入z=f(x,y)，则可化为无条件极值。

（2）拉格朗日乘数法
例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。

解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。

解：构造拉格朗日函数:
总结：本题给出了求解条件最值问题的一般方法。

多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法

3、最值应用问题
函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值驻点最值可疑点偏导不存在的点边界上的最值点我们可以把最值问题分为两类：
（1）连续函数在开区域上的最值；
方法：将函数在D内的所有驻点和偏导不存在的点处的
函数值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. （2）连续函数在闭区域上的最值：
问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条件 8 x + 10 y = 200下的极值点．
两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值，先讨论与最值有密切联系的极值问题！从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不同，多元函数的极值分为两类：
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步定出 AC − B 的符号，再判定是否是极值.
2
注意：如果 AC − B 2 = 0 ，只能用定义判定是否是极值！
例5.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
z
O
x
y
推广如果三元函数 u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为 f x ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .
无其他条件. 如引例1。
条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件
极值. 如引例2。思考：为什么一元函数的极值没有分类！
一、多元函数极值的定义

多元函数取极值的条件

多元函数取极值的条件
多元函数取极值的条件是：
各个分量的偏导数为0，这是⼀个必要条件。

充分条件是这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式为正定或负定的。

如果这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式是半正定的则需要进⼀步判断三阶⾏列式。

如果这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式是不定的，那么这时不是极值点。

以⼆元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。

,y。

）的某邻域内有连续且有⼀阶及⼆阶连续偏导数，⼜fx(x。

,y。

）,fy(x。

,y。

）=0,令
fxx(x。

,y。

)=A,fxy=(x。

,y。

）=B,fyy=(x。

,y。

）=C
则f(x,y)在（x。

,y。

）处是否取得极值的条件是
（1）AC-B*B>0时有极值
（2）AC-B*B<0时没有极值
（3）AC-B*B=0时可能有极值，也有可能没有极值
如果是n元函数需要⽤⾏列式表⽰。

如果是条件极值，那么更复杂⼀些。

多元函数求极值的步骤

多元函数求极值的步骤
求多元函数的极值，通常需要以下步骤：
1. 找出多元函数的定义域，确定自变量的取值范围。

2. 求出多元函数的偏导数，并令其等于0，得到方程组。

3. 解方程组，求出所有的临界点（即偏导数为0的点）和自变量无定义的点。

4. 在临界点和自变量无定义的点中，通过二阶偏导数的判别来确定极值。

- 如果二阶偏导数全为正，那么该点为极小值点。

- 如果二阶偏导数全为负，那么该点为极大值点。

- 如果二阶偏导数有正有负，那么该点为鞍点。

5. 对于定义域的边界，使用拉格朗日乘数法确定极值。

6. 将临界点、鞍点和边界点的函数值进行比较，得到最大值和最小值。

多元函数的极值

课堂练习求函数 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy 的极值 . 解取到极值的必要条件 : f x ( x , y ) = 3 x 2 − 3 y = 0, x 2 − y = 0, 定理1 用P110定理定理即 2 2 y − x = 0. f y ( x , y ) = 3 y − 3 x = 0, y = x2, y = x2, y = x2, 即 2 2 即即 3 ( x ) − x = 0 . x ( x − 1 ) = 0 . x = 0 或 x = 1 . 得驻点 (1,1), ( 0,0 ).
又, A = f xx( x, y) = 6x, B = f xy ( x, y) = −3, C = f yy ( x, y) = 6 y.
∵ AC − B2 = 6 ⋅ 6 − (−3)2 > 0, 又 A > 0, 点(1,1 )处 ,
定理2 用P110定理定理
∴ f (1,1) = − 1是极小值 ;
又设又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导数的隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 15
又设又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导数的隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 代入得 z = f [ x , y( x )], 化成了无条件极值一元函数 z = f [ x , y ( x )] 在 x 0 处取得极值的 dz 由隐函数求导公式得到必要条件是 x = x0 = 0, dx dy 即 [ f x ( x , y ( x )) + f y ( x , y ( x )) ⋅ ] x = x 0 = 0, dx dx ϕ x ( x 0 , y0 ) ) = 0, 即 f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 )( − ϕ y ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 令即 = =− λ, ϕ x ( x 0 , y0 ) ϕ y ( x 0 , y0 )

多元函数极值

fxx(x0,y0)=A, fyy(x0,y0)=C, fxy(x0,y0)=B, 则f(x, y)在(x0,y0)
1) 当AC-B2>0时, 具有极值,
大值; 当A>0 时取得极小值;
且当A<0 时取得极
2) 当AC-B2<0时, 没有极值;
3) 当AC-B2=0时, 不能确定 , 需另行讨论。
4
6
二、最值
最值(P54)
1. 若函数z=f(x, y)在有界闭邻域D内连续,则f(x, y) 在D内必有最值。将f(x, y)在D内的所有驻点处的函数值及D边界上的最值进行比较求出最值; 2. 在实际问题中，若知f (x, y)在D内一定有最大 (小)值，且D内只有一个驻点P0, 则P0 即为f (x, y)的最大(小)值点。在(-3,2)处, A=-12, C=-6, AC-B2>0, 又A<0, 所以(-3,2)是f(x, y)的极大值点; 极大值f(-3,2)=31。
9
条件极值(P56)
2. 拉格朗日乘数法
求函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下的极值。引入辅助函数: L(x, y)=f(x, y)+(x, y), f x(x, y)+x(x, y)=0 由方程组 f y(x, y)+y(x, y)=0 (为参数)
(Lagrange)函数
5
例1 (P54) . 求 f(x, y)=x3-y3 + 3x2+3y2-9x 的极值。解: 3x2+6x-9=0 (x-1)(x+3)=0 得驻点: (1, 0), -3y2+6y=0 y (y-2)=0
(1, 2), (-3,0), (-3, 2),

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一阶条件必要条件
设f (x)，ci (x)(i E I )连续可微。设x *是问题（1）的局部最优解，
且ci (x*)(i A(x*) E I (x*))线性无关，则必存在i (i 1,2,, m),
？极值的条件
设n元函数f (x) f (x1, x2,, xn ) 具有偏导数，
点x* (x1*, x2*,, xn*) Rn
梯度
f (x) [ f , f ,, f ]T x1 x2 xn
Hesse矩阵
2 f

x12
2 f
2
f
(x)

两边除k，取极限得cj (x)T d 0
i E, ci (x) 0，等价于ci (x) 0且 ci (x) 0,故，ci (x)T d 0
同样可证性质2 设fi(x)在x*处可微，且取得局部极小值，则
d SFD(x*, X )，有f (x*)T d 0
令
A f xx (x0 , y0 ), B fxy (x0 , y0 ), C f yy (x0 , y0 )
则 (1) AC B2 0 时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0
时有极小值。
(2) AC B2<0时没有极值
(3)AC B2 0 不能确定
n元函数取得
可方行向使：得
x*kdk X
且有dk d和k 0，则称d是X在x *处的序列可行方向
X在x*处的所有序列可行方向的集合记为SFD(x*, X )
序列可行方向的性质
性设ci(x)在x处可微，则 d SFD(x, X )有
Hale Waihona Puke 质 1ccj (jx)T d 0, (j I (x)T d 0, (j
( x)) E)
证明 d SFD(x, X ), dk (k 1,2,)和k 0(k 1,2,)，
使得x k dk X ,且有dk d和k 0，则
j I(x),由Taylor公式，有
0 c j (x kdk ) c j (x) kcj (x)T dk o(k )
x *td X , t [0, ]
则称d是X在x*处的可行方向。X在x*处的所有可行方向集合记为FD(x*, X )
指设x X，令 E {1,2,, me}
标集
I {me 1,, m}
I (x) { j | c j (x) 0, j I}
起作用集 x X，集合A(x) E I(x)称为在x处的起作用集。
必要条件
若函数 f(x,y) 在点 P(x0,y0) 存在两个偏导数，且
P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则
驻点
fx(x0, y0 ) 0 与 f y(x0, y0 ) 0
充分条件若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一
阶及二阶偏导数，又 fx(x0, y0 ) 0 与 f y(x0, y0 ) 0
c j (x) 0, j me 1,, m
几个概念：
其中，x Rn , f (x), ci (x)都是n元函数
可行域：X {x | x Rn,ci (x) 0,cj (x) 0,i 1,2,, me; j me 1,, m}
可行方向：设x* X ,0 d Rn ,如果存在 0，使得
二阶条件设n元函数f (x)存在二阶连续偏导数，x*是极小
值点，则 f (x*) 0,且2 f (x*)半正定
证明：f (x*) 0显然。
d Rn ,令x x * d，由Taylor公式有 0 f (x) f (x*) 1 2d T2 f (x * d )d
x2x1 2 f
xnx1
2 f x1x2

2 f
x1xn

2 f
x22 2 f

2 f
x2xn 2 f

xnx2
xn2
必要条件一阶条件
若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值
点，则 f (x*) 0
起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长多么小，都将违背这些约束。
对于非起作用约束（ci(x)>0），x是否是局部最优解与这些非起作用约束无关。
序列设x* X , d Rn ,如果存在序列dk (k 1,2,)和k 0(k 1,2,
证明: 设x是x *邻域内任意一点，不妨设x x *d，则
f (x) f (x*) 1 2d T2 f (x * d )d 2
由于函数f (x)二阶连续偏导数，且2 f (x*)正定,则可选择, 使得x*d U (x*,)，且dT2(x*d)d 0
所以 f (x) f (x*)，即x*是f (x)的严格极小值点。
对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。 Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。
问题：对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？
一般的 (1) 约束极值问题：
min f (x) st. ci (x) 0,i 1,2,me
2
两边同除 1 2，取极限得 2
d T2 f (x*)d 0,d Rn
二阶充分条件
设n元函数f (x)存在二阶连续偏导数，f (x*) 0,则
(1)当2 f (x*)正定时，x*是f (x)的严格极小值点； (2)当2 f (x*)负定时，x*是f (x)的严格极大值点； (3)当2 f (x*)不定时，x*不是f (x)的极值点；

多元函数取得极值的条件

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