相似三角形性质2-教师版

ACBC'A'第6章第5节相似三角形的性质（2）【教学目标】1．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；了解性质定理的探索过程和证明方法.2．会运用图形的相似性质解决一些简单的实际问题；3．经历探索性质定理的形成过程，使学生体验从特殊到一般的认知规律，以及由观察—猜想—论证—归纳的数学思维过程.[设计意图]重视数学对象的逻辑关系和内部联系，引导学生积极体验数学结论的理和美的要求.【教学重难点】重点：探索得出相似三角形对应线段的比等于相似比；并会运用性质解决实际问题. 难点：由特例归纳出一般结论.[设计意图]教师通过对重难点的把握，提高学生合作探究、解决问题的能力，让学生体会到由特殊到一般的数学研究方法，并能够运用到数学学习过程中.【教学过程】本节课的内容结构是：对应高（已有经验）---对应中线（特例1）---对应角平分线（特例2）---其他对应线段（通例）---位置对应线段（一般结论）---现实问题（应用）一、设置情境，引出问题远古的时候，有一位国王非常聪明，他把国家治理得井井有条，一片繁荣景象.他还酷爱数学，每日早朝之时，必先考考各位大臣的聪明才智.有一天，国王说：我有两块形状相同的三角形土地，一块是4亩，一块是16亩，现在我想把每块土地都分割成两块三角形形状，我只有一个要求就是-----分割线之比是1:2,各位大臣有多少种方法？办法高明者奖励黄金10两,白银10两.[设计意图]调动学生学习兴趣,激发其探究欲望.情境的设置既引导学生回顾已学的相似三角形性质,又引发学生要继续探索其他性质的需要.分析题意可以得到解决问题的办法就是:找到相似三角形中哪些线段的比等于相似比.二、合作探究，形成新知问题1:△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，AD 和''A D 分别是△ABC 和△'''A B C 的中线，那么?''ADA D =问题2: △ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，AD 和''A D 分别是△ABC 和△'''A B C 的角平分线，那么?''ADA D =[设计意图]在探索相似三角形对应中线、对应角平分线性质时，迁移了相似三角形对应高的证明方法，对学生来讲，这两个结论证明并不难，因为有了上节课的经验.将典型特例作为引导性材料,让学生直观感知性质,形成性质的“模式直观”.问题3:角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n 等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线,结论还成立吗?[设计意图]适度铺垫，让学生拾阶而上.有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.问题4:如果△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，点D 、'D 分别在BC 、''B C 上，且''BDk B D =， 那么结论还成立吗？问题5：如果△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，点D 、'D 分别在BC 、''B C 上，且''(01)''BD B D m m BC B C ==<<，那么结论还成立吗？ [设计意图]跟进追问,尝试延续知识探索.这一环节为学生对相似三角形性质的认识插上想象的翅膀,既有提炼总结与完善,也有脑洞大开之设想.基于以上探索.我们发现总结：相似三角形对应线段的比等于相似比．[设计意图]让学生感受数学结论的简洁美和统一美，让学生深入数学“理”的实质性思考，获得数学“美”的切身体验.三、巩固新知，解决问题例题分析：见课本例题．先自学2分钟，然后请一同学带着大家学习一下例题．[设计意图]先让学生独立思考，然后说说自己是如何想的，重在暴露思维过程．如果学生说的不到位，课堂上就可以采用思维策略与方法上的启发引导．变式1: 如图，△ABC 是一块锐角三角形的余料，边长BC ＝120mm ，高AD ＝80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点在AB 、AC 上，这个正方形的零件的边长为多少？BC变式2:有一块三角形铁片ABC ，BC =12 cm ．高AH =8 cm ，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG ，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些.请你通过计算判断（1）、（2）两种设计方案哪个更好．[设计意图]由情境问题的解决到自学例题，再经例题加以拓展延伸，进一步巩固新知，使学生体会图形之间的联系.在学生已经较好的掌握基础知识的前提下，安排适当的拓展题，锻炼学生思维的灵活性，提高学生灵活运用所学知识的能力．四、概括总结，激发思考通过本节课的学习，你对相似三角形的性质有了哪些新的认识？在本节的学习过程中，有无激发你新的思考？[设计意图]为了使学生对所学内容有一个完整而深刻的印象，引导学生进行小结.加深了学生对知识点的理解，同时也启发学生继续思考本节遗留问题.课后作业：（1）课本习题6.5第3、4题．（2）第二天，国王说：我想把它们都分割成一块三角形和一块四边形形状，请同学们继续探讨.【教学感悟】(1)(2)。

4.5 相似三角形的性质及其应用（2）
1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程。

2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质。

3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题。

1、教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质。

2、“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，涉及到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，证明思想的建构是本节教学的难点。

相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。

3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。

根据本节课的教学内容和目标主要采用讲授法、讨论法、发现法。

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

第21课 两个三角形相似的判定学习目标1.掌握三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.掌握三角形相似的3个判定定理3.会运用上述定理判定两个三角形相似.知识点01 相似三角形的判定1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.三角形相似的判定定理:（1）有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似.（2）三边对应成比例的两个三角形相似.（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.考点01 相似三角形的判定【典例1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E ．（1）求证：△BDE ∽△CAD ；（2）若AB ＝26，BC ＝20，求线段DE 的长．【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，∠DEB ＝∠ADC ＝90°，即可解决问题；能力拓展（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD；（2）解：∵AB＝AC＝26，CB＝20，∴AD⊥BC，BD＝BC＝10，∴AD＝＝24，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．【即学即练1】如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；【思路点拨】（1）利用三角形外角可得∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，进而证得△AMF∽△BGM；（2）在（1）的基础上，再由∠A＝∠B＝45°，可得出△ABC是等腰直角三角形，根据M为线段AB的中点，可得AM＝BM＝AB＝×4＝2，运用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；【解析】（1）证明∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF ∽△BGM ；（2）解：∵∠DME ＝∠A ＝∠B ＝45°，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵M 为线段AB 的中点，∴AM ＝BM ＝AB ＝×4＝2，∵△AMF ∽△BGM ，∴＝，∴BG ＝＝＝，又∵AC ＝BC ＝4，∴CG ＝BC ﹣BG ＝4﹣＝，CF ＝AC ﹣AF ＝4﹣3＝1，在Rt △FCG 中，由勾股定理得：FG ＝＝＝；【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG 、FG 的长度以及根据面积法求出MH 的长度．题组A 基础过关练1.如图，△ABC 中，∠A ＝76°，AB ＝8，AC ＝6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，分层提分故本选项不符合题意；B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2.如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解析】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝1，AC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：5：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；B、三边之比：：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；C、三边之比为：2：＝1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，符合题意；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（ ）A．3B．4C．D．2【思路点拨】由∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADB，则＝，其中AD＝2，AC＝6，即可求得AB＝2．【解析】解：∵∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴＝，∴AB2＝AD•AC，∵AD＝2，AC＝6，∴AB2＝2×6＝12，∴AB＝2，∴AB的长为2，故选：D．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△ABC∽△ADB是解题的关键．4. 如图所示，添加一个条件　∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或）　，使△ADB∽△ABC．【思路点拨】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．【解析】解：在△ADB和△ABC中，∵∠A＝∠A，∴只要满足∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或），△ADB∽△ABC．故答案为：∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或）．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．5.如图，在△ABC和△ADE中，，∠CAE＝40°，则∠BAD的度数为　40°　．【思路点拨】由在△ABC和△ADE中，＝＝，可证得△ABC∽△ADE，然后由相似三角形的对应角相等，求得答案．【解析】解：∵＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∠CAE＝40°，∴∠BAD＝40°．故答案为：40°．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．能够正确证得△ABC∽△ADE是解题的关键．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于点D，AD＝3，BD＝5，则边AC的长为　2　．【思路点拨】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解析】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝3×8＝24，解得：AC＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠B＝∠ACD，且∠A＝90°．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求CD的长．【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质求出AC，在Rt△ADC中，根据勾股定理即可求出CD．【解析】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝＝，∴AC2＝AD•AB＝2×6＝12，∴AC＝2，在Rt△ADC中，CD＝＝＝4．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．8.如图，AB为⊙O的直径，D为弧BC中点，DE⊥AB于点E，BC交DE于点F，交AD于点G．（1）求证：GF＝DF；（2）求证：BE•AB＝AD•DG．【思路点拨】（1））由圆周角定理得出∠DAB＝∠CBD，∠ADB＝90°，得出∠CBD+∠DGF＝90°，由DE⊥AB，得出∠DAB+∠GDF＝90°，进而得出∠DGF＝∠GDF，即可证明GF＝DF；（2）证明△ADB∽△DEB，得出，得出BD2＝BE•AB，证明△GDB∽△BDA，得出，得出BD2＝AD•GD，即可证明BE•AB＝AD•DG．【解析】证明：（1）∵D为弧BC中点，∴，∴∠DAB＝∠CBD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CBD+∠DGF＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠GDF＝90°，∴∠DGF＝∠GDF，∴GF＝DF；（2）∵∠ADB＝90°，DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADB＝90°，∵∠DBE＝∠ABD，∴△ADB∽△DEB，∴，∴BD2＝BE•AB，∵∠DAB＝∠CBD，∠GDB＝∠BDA，∴△GDB∽△BDA，∴，∴BD2＝AD•GD，∴BE•AB＝AD•DG．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判断与性质是解决问题的关键题组B 能力提升练9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．【解析】解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10.如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ ）A．①③B．①④C．②④D．①③④【思路点拨】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．【解析】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（ ）①AD2＝BD•CD ②AB•CD＝AC•AD ③AC2＝BC•CD ④AB2＝AC•BDA．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC＝∠ABD，则可证出结论；②能证明△ABC与△ADC相似，得出不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC ＝∠BAC＝90°，可得出③符合题意；根据AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．【解析】解：①∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∴△ADC∽△BDA，∴∠DAC＝∠ABD，∴∠ABD+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，故①符合题意；②∵AB•CD＝AC•AD，∴，∵∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD∽△CAD，∴∠ABD＝∠CAD，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠BAC＝90°，故②符合题意；③∵AC2＝BC•CD，∴，∵∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴∠ADC＝∠BAC＝90°，故③符合题意；④由AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，故④不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，则AF的长为（ ）A．3.5B．4C．4.5D．5【思路点拨】由AE和CE的长可求出AC的长，因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝AC，若要求AF 的长，可求出BF的长即可．而通过证明△DBF∽△DCE即可求出BF的长，可求出答案．【解析】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠FDB，∠EDC＝180°﹣∠FDE﹣∠FDB，又∵∠FDE＝∠B，∴∠BFD＝∠EDC，∴△DBF∽△DCE，∴BD：CE＝BF：CD，∵BD＝2，CD＝3，CE＝4，∴2：4＝BF：3，∴BF＝1.5，∵AC＝AE+CE＝+4＝5.5，∴AB＝5.5，∴AF＝AB﹣BF＝5.5﹣1.5＝4，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，解题的关键是求AF的长，转化为求BF的长13.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有　3　对．【思路点拨】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，利用三角形内角和得到∠3＝∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，所以∠3＝∠5，于是可判断△ABD∽△AEC．【解析】解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，∴∠3＝∠4，∴△AFE∽△DFC；∴AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC；∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，∴∠3＝∠5，∴△ABD∽△AEC．∴图中不全等的相似三角形共有3对，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．14.如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　1或3或8．　．【思路点拨】分两种情形构建方程求解即可．【解析】解：设AP＝x．∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，①当时，，解得x＝3．②当时，，解得x＝1或8，∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，故答案为1或3或8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15.如图，半圆O以AB为直径，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，DC＝BC＝4，AD＝14，求AB的长　16　．【思路点拨】连接AC，由DC＝BC，得出∠EAC＝∠BAC，根据圆周角定理得出∠ACE＝∠ACB＝90°，再利用ASA证明△ACE≌△ACB，得出BC＝EC，利用两个角相等证明△ECD∽△EAB，根据相似三角形的性质计算即可求解．【解析】解：连接AC，∵DC＝BC，∴，∴∠EAC＝∠BAC，∵AB是直径，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，在△ACE与△ACB中，，∴△ACE≌△ACB（ASA），∴BC＝EC，AB＝AE，∵四边形ABCD内接于半圆O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠CDE，∴△ECD∽△EAB，∴，设AB＝x，则AB＝AE＝x，∵DC＝BC＝4，AD＝14，∴BC＝CD＝CE＝4，即BE＝8，DE＝x﹣14，∴，整理得：x2﹣14x﹣32＝0，解得：x＝16或﹣2（不符合题意，舍去），∴AB的长为16，故答案为：16．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16.如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【思路点拨】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解析】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键17.如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．（1）求证：∠AGD＝∠FGC；（2）求证：△CAG∽△FAC；（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）根据垂径定理得到EC＝ED，根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠ADC，推出∠1＝∠ADC，等量代换即可得到结论；（2）连接AC，BC，推出∠FCG＝∠DAG，得到∠ADG＝∠F，推出∠ACG＝∠F，由于∠CAG＝∠CAF，于是得到结论，（3）根据相似三角形的性质得到＝，得到AC2＝AG•AF＝48，求得AC＝4，根据勾股定理得到AE＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接AC，BC，∵AB⊥CD，∴EC＝ED，∴AC＝AD，∴∠3＝∠ADC，∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，∴∠1＝∠ADC，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；（2）解：∵∠FCG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠DAG＝180°，∴∠FCG＝∠DAG，∵∠1＝∠2，∴∠ADG＝∠F，∵∠ADG＝∠ACG，∴∠ACG＝∠F，∵∠CAG＝∠CAF，∴△CAG∽△FAC，（3）解：∵△CAG∽△FAC，∴＝，∴AC2＝AG•AF＝48，∴AC＝4，在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC＝4，CE＝2，∴AE＝＝6，易知△ACE∽△ABC，∴AC2＝AE•AB，∴AB＝8，∴⊙O的半径为4．【点睛】此题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．题组C 培优拔尖练18.如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（ ）A．B．C．D．∠BAC＝∠BDC【思路点拨】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案．【解析】解：A、若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意；B、若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意；C、若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法．19.如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD＝4，连AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB＝AD，则四边形ABCD的面积是（ ）A．6B．8C．9D．18【思路点拨】先证△AOB是等边三角形，可得AB＝BO＝AO，AF＝FO＝2，由相似三角形的性质可得AF＝CH＝2，由面积关系可求解．【解析】解：如图，连接AO，交BD于F，连接BO，DO过点C作CH⊥BD，交BD的延长线于H，∵AB＝AD，OB＝OD，∴AO垂直平分BD，∴BF＝DF＝2，∴∠AOB＝60°，∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝BO＝AO，∵BF⊥AO，∴AF＝FO＝2，∵E 为AC 的中点，∴AE ＝EC ，∵AF ⊥BD ，CH ⊥BD ，∴AF ∥CH ，∴△AFE ∽△CHE ，∴＝1，∴AF ＝CH ＝2，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD +S △BDC ＝×BD ×AF +×BD ×CH ＝4×2＝8，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，垂径定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．20.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，BC ＝12，D ，E 分别是BC ，AB 上的动点（点D 与B ，C 不重合），且2∠ADE +∠BAC ＝180°，若BE ＝4，则CD 的长为 6　．【思路点拨】依据∠C ＝∠ADE ，∠BDE ＝∠CAD ，即可判定△BDE ∽△CAD ；再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到＝，即＝，进而得出CD 的长．【解析】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ，∴∠C +∠B +∠BAC ＝2∠C +∠BAC ＝180°，又∵2∠ADE +∠BAC ＝180°，∴∠C ＝∠ADE ，又∵∠BDE +∠ADC ＝180°﹣∠ADE ，∠CAD +∠ADC ＝180°﹣∠C ，∴∠BDE ＝∠CAD ，∴△BDE ∽△CAD ，∴＝，即＝，解得CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．21.如图，DA⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过点E作EF⊥AC交AC于F，且BC＝2，AD＝3，则EF的长为 ．【思路点拨】由于AD⊥AC，BC⊥AC，EF⊥AC，故AD∥EF∥BC，即可求得相似三角形，然后可知，．两式相加即可证得，进而解答．【解析】解：∵AD⊥AC，BC⊥AC，EF⊥AC，∴AD∥EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，△CEF∽△CDA，△BCE∽△ADE．∴，．∴，∴，∵BC＝2，AD＝3，∴，∴EF＝，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，解题关键是两式相加去掉AF与CF．22.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝4，点E在BC边上，若AE⊥AD，且∠AEB＝∠DEA，则BE的长为 ．【思路点拨】过D点作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则四边形BCDF为矩形，进而可证明△FAD∽△BEA，列比例式可得，再证明△ABE∽△DAE列比例式可求解BE的长．【解析】解：过D点作DF⊥AB交BA的延长线于点F，∴∠F＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝90°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCDF为矩形，∴DF＝BC＝4，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠FAD+∠BAE＝90°，∴∠FAD＝∠BAE，∵∠F＝∠ABC＝90°，∴△FAD∽△BEA，∴，∵∠B＝∠AED＝90°，∠AEB＝∠DEA，∴△ABE∽△DAE，∴，即，∴，解得BE＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明△FAD∽△BEA，△ABE∽△DAE是解题的关键．23.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为　﹣1　；（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 ．【思路点拨】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE 的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC，△EGC∽△GFC，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵＝λ＝1，∴点E为BC的中点，∵AB＝2，∠B＝90°，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠GCF＝180°﹣90°＝90°，在△ADG和△FCG中，，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，CF＝DA，设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴＝，∵GC＝a，CF＝2a，∴＝，∴＝，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24.如图，△ABC内接于半径为的半圆O中，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝135°且D为BM的中点，则DM的长为　2　；BC的长为　　．【思路点拨】连接AM，可得等腰直角三角形ADM，设AM＝DM＝BD＝x，在Rt△ABM中，根据勾股定理列出方程，求出x值，进一步求得结果；在Rt△AEM中求得EM，进而求得BE，在Rt△ABE中，BC ＝3CE，BE＝3，根据勾股定理列出方程，求得结果．【解析】解：如图，连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠M＝∠C＝90°，∵∠ADB＝135°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴∠MAD＝90°﹣∠ADM＝45°，∴AM＝MD，∵点D是BM的中点，∴MD＝BD，设AM＝x，则BM＝2x，∵AM2+BM2＝AB2，∴x2+（2x）2＝（2）2，∴x＝2，∴AM＝DM＝2，∵点M是的中点，∴＝∴∠CBM＝∠ABM，∴＝，∴＝，∵＝，∴∠MAC＝∠CBM，∴，∴EM＝AM＝1，∴BE＝BM﹣EM＝4﹣1＝3，∵CE2+BC2＝BE2，∴CE2+（2CE）2＝32，∴CE＝，∴BC＝2CE＝，故答案是：2，．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找可解的直角三角形．25.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．（1）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其定义域；（2）若三角形ADE恰为等腰三角形，求AE的长．【思路点拨】（1）先由∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，求得BC＝＝2，∠C＝∠B＝45°，再证明△CDE∽△BAD，得＝，所以＝，整理成用含x的代数式表示y的形式并写出定义域即可；（2）分三种情况讨论，一是当DE＝AD时，则＝＝＝1，所以DC＝AB＝2，CE＝BD＝2﹣2，则AE＝4﹣2；二是DE＝AE时，则∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，此时AD＝CD，且DE⊥AC，所以AE＝CE＝1；三是AD＝AE，此时点D与点B重合，不符合题意．【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴BC＝＝＝2，∠C＝∠B＝45°，∴∠ADE＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∴∠CDE＝∠BAD，∴△CDE∽△BAD，∴＝，∴＝，整理得y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．（2）当DE＝AD时，如图1，∵＝＝＝1，∴DC＝AB＝2，∴CE＝BD＝2﹣2，∴AE＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；当DE＝AE时，如图2，∵∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，∴AD＝CD，∠AED＝90°，∴DE⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝1；若AD＝AE，则∠AED＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°＝∠BAE，∴AD与AB重合，点D与点B重合，不符合题意，综上所述，AE的长为4﹣2或1．【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，证明△CDE∽△BAD是解题的关键．26.从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【思路点拨】（1）根据完美分割线的定义，先证明△ABC不是等腰三角形，再证明△ACD为等腰三角形，最后证明△BCD∽△BAC；（2）根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①如图3所示，当AD＝CD时，②如图4所示，当AD＝AC，③如图5所示，当AC＝CD，然后结合美分割线的定义可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数；（3）根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．【解析】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∴∠DCB＝∠A＝40°，∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）解：①如图3所示，当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．②如图4所示，当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．③如图5所示，当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°．∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴这与∠ADC＞∠BCD矛盾，所以图5的情况不符合题意．综上所述，∠ACB的度数为96°或114°；（3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，∴AC＝AD，∵AC＝3，∴AD＝3，∵CD是△ABC的完美分割线，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BA•BD，设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x，∴（）2＝x（x+3），∴x＝，∵x＞0，∴x＝，∴BD＝，∵△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴CD＝．【点睛】本题是相似形综合题，考查了新定义、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用方程思想解决问题是解本题的关键．。

27.2.2相似三角形的性质教学目标：理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系，相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题．提高分析和推理能力．在对性质定理的探究中，学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质．经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，体验解决问题策略的多样性．教学重点：理解并掌握相似三角形周长的比、三线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．教学难点：探索相似多边形周长的比、三线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．教学过程：一、新知引入1、相似三角形的判定方法有哪些？2、相似三角形有哪些性质？相似三角形的对应角相等，对应边成比例．3、三角形有哪些相关的线段？中线、高和角平分线．这些线段在相似三角形中具有怎样的特点？今天我们一起探索这些奥秘！二、新知讲解教师多媒体课件出示：已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应高．求证：ADA′D′＝ABA′B′＝k.探索1：这个题目中已知了哪些条件？△ABC和△A′B′C′相似，这两个三角形的相似比是k，AD，A′D′分别是它们的高．我们要证的是什么？它们的高的比等于它们对应边的比，等于这两个三角形的相似比．你是怎样证明的呢？证明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的对应边成比例得到ADA′D′＝ABA′B′.你怎样证明△ABD和△A′B′D′相似呢？学生思考后回答：因为△ABC和△A′B′C′相似，由相似三角形的对应角相等，所以∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似．学生写出证明过程．活动1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中线．求证：AD A ′D ′＝ABA ′B ′＝k.证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴∠B ＝∠B ′，AB A ′B ′＝BCB ′C ′＝k.又∵AD 和A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，∴BD ＝12BC ，B ′D ′＝12B ′C ′，BD B ′D ′＝12BC 12B ′C ′＝BC B ′C ′＝k ，∴△ABD ∽△A ′B ′D ′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)， ∴AD A ′D ′＝ABA ′B ′＝k. 活动2.已知：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的相似比为k ，AD ，A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线．求证：AD A ′D ′＝ABA ′B ′＝k.证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠B ′，∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.又∵AD 和A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线， ∴∠BAD ＝12∠BAC ，∠B ′A ′D ′＝12∠B ′A ′C ′，∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，∴△BAD ∽△B ′A ′D ′(两角对应相等的两个三角形相似)， ∴AD A ′D ′＝ABA ′B ′＝k. 于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理． ●归纳：相似三角形的性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 例题讲解例：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN 是符合要求的△ABC 的高AD 与PN 相交于点E 。

中考内容中考要求ABC图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。

相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。

估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将年份 2010年 2011年 2012年 题号 3 4，20 11，20 分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合中考考点分析中考内容与要求相似三角形的 性质与判定比例的性质 示例剖析（1）基本性质：(0)a cad bc bd b d =⇔=≠3223a ba b =⇔= （2）反比性质：(0)a c b dabcd b d a c =⇔=≠()23023a b ab a b =⇔=≠ （3）更比性质：a c a b b d c d =⇔=、(0)d cabcd b a =≠2233a b a b =⇔=或()302b ab a =≠※（4）合比性质：(0)a c a b c dbd b d b d ++=⇔=≠22555a a b b b ++=⇔=()0b ≠ （5）分比性质：(0)a c a b c dbd b d b d --=⇔=≠44333a a b b b --=⇔=()0b ≠ （6）合分比性质：()a c a b c d c d a b b d a b c d++=⇔=≠≠-- 443343a ab b a b ++=⇔=--()0,0b a b ≠-≠ ※（7）等比性质：312123k ka a a ab b b b ====121121k k a a a a b b b b +++⇒=+++ （其中k 为正整数，且1230k b b b b ++++≠）①12345123451a b c d e a b c d e a ++++====⇒=++++ ②345a b c==，当0a b c ++≠时 345345a b c a b c++===++ 模块一 成比例线段知识导航知识互联网三、平行线分线段成比例定理及推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如图1，所示，如果123l l l ∥∥，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=． 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图2，所示，若DE BC ∥，则有AD AE DB EC =，AD AE AB AC =，DB ECAB AC =． 如图3，若AB DE ∥，则有AB AC BCDE CE CD==． l 3l 2l 1ED FC A BEDCABED CB A图⑴ 图⑵ 图⑶建议老师使用面积法证明相关结论.（学生版不加这句话）【例1】 ⑴ 若(0)23x y x =≠，则2x y x +=（ ） A ．12 B ．83 C ．73 D ．72⑵ 已知(0)a cabcd b d =≠，则下列等式中不成立的是（ ）A ．b d a c =B ．a b c d b d --=C ．a c a b c d =++ (0a b +≠且0c d +≠)D ．a d a b c b+=+⑶ 已知457x y z==，则x y y z +=+ ．⑷ 在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ．⑸ 已知b 是a 、c 的比例中项，且cm a 3=，cm c 6=，则=b _____cm .【解析】 ⑴ D ．⑵ D ．⑶ ∵457x y z ==，∴4557x y y z++=++，∴93124x y y z +==+．⑷ 100；⑸32. 【例2】 ⑴ 在ABC △中，DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式是（ ）A ．AD AE DB EC = B ．AB AC AD AE = C ．AC EC AB DB = D ．AD AE EC DB=⑵ 如图，已知32AB AC BC AD AE DE ===，则 ①CE AE= ； ②若10cm BD =，则AD = cm ，③若ADE △的周长为16cm ，则ABC △的周长为 ． ⑶ 如图，ABC △中有菱形AMPN ，如果12AM MB =，则BP BC 的 值为 ． ⑷ 如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，现得到下列结论：①AE BF EC FC =；②AD AB BF BC =；③EF DE AB BC =；④CE EA CF BF =， 其中正确比例式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 ⑴ D ；⑵ 52；4；24cm ；⑶ 23；⑷ B.夯实基础F E D CB AP NMC B AE D A B C定 义示例剖析相似图形：形状相同的图形叫做相似图形． 两个正方形是相似图形相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形．放大后的图形和放大前的图形是相似多边形．相似三角形： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形对应的高线、中线、角平分线的 比等于相似比；（需要证明）⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比.⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方．若ABC DEF △∽△， 则AB BC AC k DE EF DF ===（k 为相似比） ABC DEF C k C =△△，2ABC DEFSk S =△△【例3】 ⑴ 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花 边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 （ ）A B C D⑵ 如图，ABC △中，点D 在线段BC 上，且ABC DBA △∽△， 则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB AD AD CD ⋅=⋅ B ．2AB AC BD =⋅ C ．2AB BC BD =⋅ D ．AB AD BD BC ⋅=⋅夯实基础知识导航模块二 相似的相关知识点D CB A⑶ 如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，6AD =，E是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使CBF CDE △∽△， 则BF 的长是（ ） A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8⑷如图，ABC AED △∽△，点D 、E 分别在AB 、AC 上， 且∠ABC =∠AED ．若DE =4，AE =5，BC =8；则AB 的长 为 ．(2012湖北随州)【解析】 ⑴ D. ⑵ C. ⑶ D. ⑷10．相似三角形的判定定理⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑶三边对应成比例的两个三角形相似.由⑴得到① 任何两个等边三角形都相似;② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似; ④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似．【例4】 ⑴如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．的是（ ） A ．∠ABD =∠C B ．∠ADB =∠ABC C ．CD CB BD AB = D ．ACABAB AD =(2012海南)⑵ 给出以下条件：①ABC △的两个角分别是58°和70°，A B C '''△的两个角分别是58°和52°.夯实基础知识导航模块三 相似三角形的判定DCBAE CBF DEAD C B AA DEB②ABC △的两边长分别为4cm 和3cm 2，夹角为40°，A B C '''△的两边长分别为4cm 3和1cm 2，夹角为40°. ③ABC △的边长分别是5cm 、6cm 、8cm ，A B C '''△的边长分别是5cm 2、3cm 、4cm . ④ABC △中，90C ∠=°，3AC =，4BC =，A B C '''△中，90C '∠=°，6A C ''=，8B C ''=.其中能判定ABC △和A B C '''△相似的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 个（北京三帆中学期中试题）【解析】 ⑴ ADC ACB ∠=∠或ACD B ∠=∠或AB ACAC AD=（答案不唯一）； ⑵ D .【例5】 ⑴ 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ABC △，②BCD △，③BDE △，④BFG △，⑤FGH △，⑥EFK △，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥⑵ 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中， ABC △是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P 、A 、B 为顶点的三角形与ABC △相似（全等除外），则格点P 的坐标是 ．⑶ ︒=∠=∠90E C ，3=AC ，4=BC ，2=AE ，则=AD ．(2012新疆)【解析】 ⑴ B ；⑵()114P ，、()234P ，. ⑶310．K H GF EDCBA ⑥⑤④③②①【例6】 如图，E 是矩形ABCE 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ． (1) 求证：△ABE ∽△ECF ；(2) 找出与△ABH 相似的三角形，并证明；(3) 若E 是BC 中点，AB BC 2=，2=AB ，求EM 的长．（2012山东泰安）CBEH MG FD ARC BEHM GFD A【解析】(1) 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE =∠ECF =90°．∵AE ⊥EF ，∠AEB +∠FEC =90°．∴∠AEB +∠BEA =90°，∴∠BAE =∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ．(2) △ABH ∽△ECM ．证明：∵BG ⊥AC ，∴∠ABG +∠BAG =90°，∴∠ABH =∠ECM ， 由(1)知，∠BAH =∠CEM ，∴△ABH ∽△ECM ． (3) 解：作MR ⊥BC ，垂足为R ，∵AB =BE =EC =2，∴AB ：BC =MR ：RC =2，∠AEB =45°，∴∠MER =45°，CR =2MR ，∴21==ER MR ，32=RC ，∴3222==MR EM ．【备选1】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°．点E 为底AD 上一点，将△ABE沿直线BE 折叠，点A 落在梯形对角线BD 上的G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F ．(1) 求证：△ABG ∽△BFE ；(2) 设AD =4，AB =3，当四边形EFCD 为平行四边形时，求BC 的长度．（2012湖北宜昌）【解析】 (1) 证明：∵AD ∥BC ；∴∠AEB =∠EBF ；∵由折叠知△EAB ≌△EGB ， ∴∠AEB =∠BEG ，∠EBF =∠BEF ；能力提升EGDCF BA∴FE =FB ，△FEB 为等腰三角形；∵∠ABG +∠GBF =90°，∠GBF +∠EFB =90°； ∴∠ABG =∠EFB ； 在等腰△ABG 和△FEB 中，()2180÷∠-︒=∠ABG BAG ，()2180÷∠-︒=∠EFB FBE ；∴∠BAG =∠FBE ； ∴△ABG ∽△BFE ；(2) ∵四边形EFCD 为平行四边形， EF ∥DC ；∵由折叠知，∠DAB =∠EGB =90°，∠DAB =∠BDC =90°； 又∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ； ∴△ABD ∽△DCB ； ∴CBDBDB AD =； ∵AD =4，AB =3， ∴BD =5；∴BC554=； 即BC=425.【备选2】 如图，直角梯形ABCD 中，90ADC =︒∠，AD BC ∥，点E 在BC 上，点F 在AC 上，DFC AEB =∠∠．⑴求证：ADF CAE △∽△．⑵当8AD =，6DC =，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．【解析】 ⑴ 在梯形ABCD 中，AD BC ∥∴DAF ACE =∠∠∵DFC AEB =∠∠ ∴DFA AEC ∠=∠ ∴ADF CAE △∽△⑵ ∵8AD =，6DC =，90ADC =︒∠∴10AC =又∵F 是AC 的中点，∴5AF = ∵ADF CAE △∽△∴AD AFCA CE=F E D C B A∴8510CE =，∴254CE = ∵E 是BC 的中点∴252BC =∴直角梯形ABCD 的面积12512386222⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.【例7】 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．(1) 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若m EF AF =，求CGCD的值． (2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若a CD AB =，b BE BC=()0 0＞，＞b a ，则EFAF 的值是__________(用含a ，b 的代数式表示) ． （2012河南）【解析】 (1)2m作EH ∥AB 交BG 于点H ，则EFH ∆∽AFB ∆∴,AB AFm AB mEH EH EF=== ∵AB =CD ，∴CD mEH =EH ∥AB ∥CD ，∴BEH ∆∽BCG ∆∴2CG BCEH BE==，∴CG =2EH ∴.22CD mEH mCG EH == (2) ab ，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H ．探索创新图1D GF CE BA图2BA FCE D H图3D GF CE BAH图4BAFC EDF A CDEMMECB A【备选3】⑴ 如图所示，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 的延长线与AC 的交点．① 如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；② 由①知，当E 是AD 的中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（如图所示，E 与A 、D 不重合），上述结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由．CDEFBAABFEDC⑵ 如图所示，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于点D ，求BCCD 的值． （北京师范大学附属中学期中测试）【解析】 ⑴过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来解题．①如图所示，过点D 作BF 的平行线，交AC 于点H ． 由BD DC =可得FH HC =， 由AE ED =可得AF FH =， 则12AF FC =； ②结论依然成立，解法同上．⑵ 如图所示，过点C 作DE 的平行线交AB 于点F ．因为AM MC =，CF DE ∥， 则AE EF =．而14AE AB =， 故2BF EF=． 又因为CF DE ∥， 则2BC BF CD EF==.H A BCDE F下列命题中，假命题是 （ ）A ．若两个直角三角形中，各有一个角是50°，则两三角形相似B ．若两个等腰三角形中，各有一个角是60°，则两三角形相似C ．若两个等腰三角形中，各有一个角是70°，则两三角形相似D ．若两个等腰三角形中，各有一个角是110°，则两三角形相似（北京八中期中试题）【解析】 C ._____________________如图，F 是ABC △的AB 边上一点，那么下面四个命题中错误的命题是（ ）A ．若AFC ACB ∠=∠，则ACF ABC △∽△B ．若ACF B ∠=∠，则ACF ABC △∽△ C ．若2AC AF AB =⋅，则ACF ABC △∽△D ．若::AC CF AB BC =，则ACF ABC △∽△【解析】 D ._____________________F CBA第04讲精讲：作平行线构造相似三角形方法探究 引入新的概念：线段的分点与公共分点；线段的分点：已知线段AB ，在直线AB 上有一点C ，若AC 与BC 之间具有特殊的比例关系，则将点A 、B 、C 称为线段AB 的三个不同的分点；公共分点：不在同一条直线上的具有特殊比例关系的两条线段的共同的分点； 过公共分点作平行线，构造基本相似模型，来沟通题设所给的两个特殊比例关系是常见的相似解题方法；基本相似模型为“A 字型”和“8字型”.【探究1】如图，一条直线与△ABC 的边AB 、AC 及BC 的延长线交于D 、E 、F 三点.若CFBFEC AE =，试说明：D 是AB 的中点.【分析】结论AD =BD ，我们可视A 、B 、D 为线段AB 的三个不同的分点；条件CFBFEC AE =，我们可视A 、E 、C 为线段AC 的三个不同的分点.两者结合可得：A 为公共分点，过A 作BF 的平行线交FD 的延长线于点G .图中就可以出现与条件和结论都有密切联系的两个“8字型”的基本构图，如下图所示；类似地：过点A 作DF 的平行线交BF 的延长线于点H ，我们可以得到两个“A 字型”的基本构图，如下图所示；FCE DA【探究2】已知：如图，在△ABC 中，3:2:=DB AD ，E 为CD的中点，AE 的延长线交BC 于点F .求BFFC.【分析】由3:2:=DB AD 可知：A 、D 、B 为线段AB 的三个分点；由CE =DE 可知：C 、D 、E 为线段CD 的三个分点；由BFFC可知：B 、C 、F 为线段BC 的三个分点， 故此共有三个公共分点：点D 、点B 、点C .过这三个公共分点均可作两条平行线构造与条件和结论有联系的基本构图， 因此本题至少共有六种不同的求法. 辅助线如下图所示；方法一：过点D 作AC 的平行线交BC 与点G ； 方法二：过点D 作BC 的平行线交AF 与点G ；方法三：过点B 作AF 的平行线交CD 的延长线于点G ； 方法四：过点B 作DC 的平行线交AF 的延长线于点G ； 方法五：过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点G ； 方法六：过点C 作AF 的平行线交BA 的延长线于点G .G FEDCBA G FE DCBAGFEDCBAGFEDCBAGFEDCBAG FE DAFEDA训练1. ⑴ 已知243a b c b c a c a b+-+-+-==，则4::2a b c = ． ⑵ 已知：a b b c c ax c a b+++===，求x 的值．【解析】 ⑴ 设243a b c b c a c a bk +-+-+-===，∴243a b c k b c a k c a b k +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③ ∴①+②+③:9a b c k ++= ∴52372a k b k c k⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩∴4::210:3:7a b c =.⑵因为等比性质的条件是“0b d n +++>”，所以要分“0c a b ++=”和“0c a b ++≠”两种情况讨论．当0c a b ++≠时，()22c a b a b b c c a x c a b c a b+++++=====++； 当0c a b ++=时，有a b c +=-，所以1a b cx c c+-===-.点评：在运用等比性质时，要注意“0b d n +++=”，否则会造成错误．训练2. 如图所示，在ABC △中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ． ⑴当12AE AC =时，求AO AD的值； ⑵当13AE AC =、14时，求AO AD的值； ⑶试猜想11AE AC n =+时AOAD的值，并证明你的猜想．【解析】 ⑴ 过点D 作DF BE ∥交AC 于F ，∴1CD CFBD EF ==当12AE AC =时，∴1AE EC =，∴23AE AF =，23AO AD =． ⑵ 过点D 作DF BE ∥交AC 于F ，∴1CD CFBD EF== 当13AE AC =时，∴12AE EC =，∴1AE EF =，12AO AD =． 当14AE AC =时，∴13AE EC =，∴11.5AE EF =，25AO AD =． 思维拓展训练(选讲)E D C BAO F ED C AOBE CA D⑶ 当11AE AC n =+时，22AO AD n=+， 如图所示，过点D 作DF BE ∥交AC 于点F ． 因为DF BE ∥，BD CD =，则EF FC =．因为11AE AC n =+，故CE nAE =，122n EF CE AE ==． 因为DF BE ∥，故222AO AE AO OD EF n AD n==⇒=+．训练3. 已知：如图，Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，DE ∥AB ． ⑴ 当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长； ⑵ 当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长． 【解析】 ⑴ ;22 ⑵ ⋅724训练4. 已知：AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅．EFC D B AAB DC FE【解析】 连接AF ．∵EF 为AD 的中垂线∴AF DF =，ADF DAF =∠∠又∵BAD ABD ADF +=∠∠∠，DAC FAC DAF +=∠∠∠ 又∵AD 平分BAC ∠ ∴ABD CAF =∠∠ 在ACF △和BAF △中 AFC BFACAF ABF =⎧⎨=⎩∠∠∠∠ ∴ACF BAF △∽△ ∴CF AF AF BF=，即2AF BF CF =⋅ ∴2FD FB FC =⋅．知识模块一 成比例线段 课后演练 【演练1】 如图，在ABC △中，AB AC <，延长AB 到D ，在AC 上取CE BD =，连结DE 与BC交于F ，求证：AB EFAC FD=． AB CEDFF DH E CBA【解析】 过E 作EH BC ∥交AD 于H ．在DHE △中，有EF BH FD BD =， EC BD =，∴EF BHFD EC=①． 在ABC △中，∵EH BC ∥，∴BH ABEC AC=②． 由①②得AB EFAC FD=．知识模块二 相似的相关知识点 课后演练 【演练2】 如图，在ABC △中，D 、E 两点分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥．若23DE BC =∶∶，则ADE ABC S S △△∶为（ ）A ．49∶B ．94∶C ．23∶D ．32∶ 【解析】 A .知识模块三 相似三角形的判定 课后演练 【演练3】 如图，D 、E 是ABC △的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠. 【解析】 ∵AD AC AE AB ⋅=⋅，∴AD AEAB AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE △∽BAC △，∴ADE B ∠=∠.实战演练E DCBAMF D CBEAED CBA【演练4】梯形ABCD中，AB CD∥，2AB DC=，E、F分别为AB与BC中点．求证：⑴EDM FBM△∽△；⑵9BD=，求BM的长．【解析】⑴∵E为AB的中点，且2AB DC=∴CD BE=又∵CD BE∥∴四边形BCDE是平行四边形∴BC DE∥∴DEM MFB=∠∠又∵DME BMF=∠∠∴EDM FBM△∽△;⑵由⑴知2DE BC BF==由∵EDM FBM△∽△∴12 BF BMDE DM==∵9BD=，∴133BM BD==.【演练5】直线DE与ABC△的AB边相交于点D，与AC边相交于点E，下列条件：①DE BC∥；②AED B∠=∠；③AE AC AD AB⋅=⋅；④AE EDAC BC=中，能使ADE△与ABC△相似的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】C.测试1. 已知：()20a c e b d f b d f ===++≠，则a c eb d f ++++= ；⑵2323ac eb d f -+-+= . 【解析】 ∵2ac eb d f===，∴2a b =，2c d =，2e f =∴⑴()22222b d f a c e b d f b d f b d f b d f++++++===++++++ ⑵()223232462232323b d f a c e b d f b d f b d f b d f-+-+-+===-+-+-+.测试2. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连接DE ，交BC 于F ，交AC 于G ，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【解析】 B .测试3. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B =∠∠． ⑴ 求证：ADF DEC △∽△．⑵ 若4AB =，33AD =，3AE =，求AF 的长．【解析】 ⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，AB CD ∥∴ADF CED =∠∠，180B C +=︒∠∠ ∵180AFE AFD +=︒∠∠，AFE B =∠∠ ∴AFD C =∠∠∴ADF DEC △∽△;⑵ ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，4CD AB == 又∵AE BC ⊥∴AE AD ⊥在Rt ADE △中，()22223336DE AD AE =+=+=∵ADF DEC △∽△ ∴AD AF DE CD = ∴334AF =∴23AF =.课后测FEDCBAGFEDC B A。

基本内容 相似三角形的性质1知识精要一、相似三角形的性质1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

热身练习1、 如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形对应中线的比为( B ) (A)4:5 (B)5:4 (C)25:16 (D)16:252、 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB,AC 上，DE//BC ，AD:DB=1:2,下列结论正确的是( B ) (A)12DE BC = (B) 13DE BC = (C) 14ADE ABCSS=(D) 13ADE DBCE S S =四边形3、 两个等边三角形的面积比是9:1，周长之差为12厘米，则较小等边三角形的周长1 为( A ) (A) 6厘米 (B)15厘米 (C)18厘米 (D)32厘米 4、 如果梯形两底分别为12和20，高是1，那么两腰延长线的交点到较大边的距离是( A ) (A)52 (B) 32(C) 85 (D) 355、 在梯形ABCD 中，AD//BC,AC 与BD 相交于点O ，如果AD:BC=1:3,那么下列结论正确的是( C ) (A)9CODAODSS= (B) 9ABCACD SS=(C) 9BOCAODSS= (D) 9DBCAODSS=6、 在△ABC 中，D,E 分别在AB,AC 上，DE//BC,AD:DB=2:3,则:ADEDECB SS 四边形为 4:21 .7、 两个相似三角形的面积比为4:49，它们的两条对应的角平分线和为45，那么这两条角平分线分别为_10_、_35_.8、 如图，DE 是△ABC 的中位线，CE 、AD 相交于点G ，那么:ACGEDG S S= 4:1 .精解名题例1. 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF,∠A=∠D ，△ABC 的周长是24，面积是48，求△DEF 的周长和面积。

人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第27.2.2节《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的内容。

本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

教材通过具体的例题和练习，引导学生探究相似三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的概念，并对相似三角形的性质有一定的了解。

但在实际运用中，对相似三角形的性质的理解和运用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对相似三角形性质的理解，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。

2.培养学生的观察能力、操作能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其运用。

2.学生在实际问题中，如何运用相似三角形的性质解决问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现相似三角形的性质。

2.使用案例分析法，让学生在具体的问题中，运用相似三角形的性质解决问题。

3.运用启发式教学法，引导学生主动探究，培养学生的创新精神和合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备练习题和课后作业。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾相似三角形的概念和性质。

例如：在平面直角坐标系中，已知两个三角形的三个顶点坐标，如何判断这两个三角形是否相似？2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生观察、分析，发现相似三角形的性质。

通过小组讨论，让学生总结出相似三角形的性质。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，运用相似三角形的性质解决问题。

《相似三角形的性质2》教学设计一、教材分析：《相似三角形的性质2》是根据核心素养及《中小学课程标准》的要求，结合素质教育开放周活动开展进度，旨在培养九年级学生研究、探索数学能力的一节活动探究课。

本节课教学在学完相似三角形的定义、相似三角形的判定及相似三角形性质1的基础上，重点指导九年级学生经历画图、计算周长面积等过程掌握相似三角形性质并灵活运用以解决相关问题。

二、学情分析：九年级的学生已经掌握相似三角形对应线段的比等于相似比，且有动手画图及一定的计算能力、推理能力。

本节课，我将从复习相似三角形性质1入手，指导学生小组合作交流，通过画图、计算等探究活动得到相似三角形的周长比、面积比，鼓励学生利用已学习的等比性质证明定理。

三、教学目标：1. 知识技能：在掌握相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比的基础上，通过小组合作探究以掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2. 数学思考：培养学生动手操作能力以及全面地观察问题与分析问题的能力，进一步培养学生的逻辑思维能力及推理能力，帮助学生打破思维定势的束缚。

3. 问题解决：能利用相似三角形的性质解决简单的问题。

4. 情感态度：在小组合作探究中发展学生积极的情感态度、价值观，体验提出猜想，证明猜想的探究过程。

四、教学重难点：重点：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系探究过程和应用。

五、教学时间：一课时六、教学准备：课件、画图专用纸（方格纸）、直尺。

七、教学过程：（一）复习引入，生成问题温故知新提问1：相似三角形有怎样的性质？（指名生回答）（1）相似三角形的对应角相等,对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。

提问2：相似三角形的周长、面积之间又有什么关系呢？（二）合作探究，生成能力1. 小组合作，动手操作请同学们拿出在老师发放的网格纸（每个方格边长为单位1）中画出一组的相似三角形（在网格纸上构造的格点三角形）。

相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形的性质内容分析知识结构模块一：相似三角形性质定理1知识精讲【例1】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、 B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【难度】★ 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BE A B E B ∴=即11362E B =，114E B ∴= 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．【例2】 已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119AC =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD AC A D ∴=即1296AD=，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8． 【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【例3】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1B B ∴∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高， 11190BDA B D A ∴∠=∠=o ，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例题解析【例4】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线． 求证：11ADk A D =． 证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，1111AB CBk A B C B ==； 又Q AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D BC =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB AD k A B A D ∴==． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．【例5】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆Q ∽， 1B B ∴∠=∠，111BAC B AC ∠=∠，11ABk A B =； 又Q AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B AC ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B AC ∴∠=∠∠=∠，111BAD BA D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．ABEA 1E 1D 1 C 1B 1 ABCDEF 【例6】 如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【难度】★★ 【答案】略 【解析】 证明：1111AB ADA B A D =Q ，又Q 111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽， 111ABD A B D ∴∠=∠，又Q 1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又Q BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．【例7】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ． 【难度】★★【答案】12．【解析】 解：Q BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又Q BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE∴=，又Q BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠ BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．AB CDEF GHKAB CE FGDH P【例8】 如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩 形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积． 【难度】★★ 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =-Q 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=o ，， GF AGBC AB∴=,又Q AH 是高，90AHB ∴∠=o ， GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．【例9】 如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域． 【难度】★★★【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解：Q 矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=o ，GD ADBC AB∴=，又Q AH 是高，90AHC ∴∠=o ， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴, DE BD AH AB ∴=，1DG DEBC AH∴+=，153x DE ∴+=，又Q DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．【例10】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【难度】★★★【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：211.52ABC S AB BC m ∆=•=,又Q 1.5AB m =，2CB m ∴= ∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．① 按甲的设计：设DE x =，Q 正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴， DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG ADBH AB∴=, 设DE x =，则DG x =，Q 正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DGCA HB∴+=，Q 1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正； 综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．BCDEF1、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．【例11】若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) （A ）1:4（B ）1:2（C ）2:1（D ）1:2【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例12】 ABC ∆∽111A B C ∆，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是．【难度】★ 【答案】2:3 【解析】略【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比．模块二：相似三角形性质定理2知识精讲例题解析AD EF【例13】已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【难度】★【答案】112015BC A B ==，． 【解析】解：111ABC A B C ∆∆Q ∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==； 又Q111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==． 【总结】本题考查相似三角形的性质．【例14】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【难度】★★ 【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a -=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．【例15】如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为． 【难度】★★ 【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，Q AD 是BC 上的高，//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=Q ，312AEF C ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．A BCD PACP Q 【例16】 如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【难度】★★【答案】152cm ．【解析】解：Q 梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+-梯形，31667PDC PDC C C ∆∆∴=+-，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．【例17】如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长． 【难度】★★ 【答案】247．【解析】解：Q CPQ PABQ C C ∆=四边形，CP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=-+-+，5AB =Q ，3BC =，90C ∠=o ，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=-+-+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB Q ，CP CQCA CB∴=， ∴643CP CP -=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．ACDEF【例18】 如图，等边三角形ABC 边长是7厘米，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且43AD AE =，将ADE ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的点F 上． （1）求证：BDF ∆∽CFE ∆； （2）求BF 的长． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2）5．【解析】（1）证明：ADE ∆翻折成FDE ∆．ADE FDE ∴∆≅∆，A EFD ∴∠=∠，Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，60EFD B C ∴∠=∠=∠=o ，DFC DFE EFC ∠=∠+∠Q ，DFC B BDF ∠=∠+∠， EFC BDF ∴∠=∠， BDF CFE ∴∆∆∽．（2）由（1）知BDF CFE ∆∆∽，BDF CFE C DFC EF∆∆∴=，又ADE FDE ∆≅∆Q ， AD DF AE EF ∴==，，43BDF CFE C AD C AE ∆∆∴==，43BF BD DF BF AB CE FC EF CF AC +++∴==+++， 74773BF BF +∴=-+，5BF ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等 于相似比是解决本题的关键．模块三：相似三角形性质定理3知识精讲1、相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析【例19】（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【难度】★【答案】（1）10000；（2）10．【解析】略【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A）25:256（B）5:16（C）5:4（D）以上都不对．【难度】★【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．AB CD EAB CD EAB CD【例21】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【难度】★ 【答案】36．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．【例22】如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【难度】★ 【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠Q ，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=Q ，218ABC S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质． 【例23】如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED的面积相等，求AD :BD 的值． 【难度】★★1．【解析】解：//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCED S S ∆=Q 四边形， 12ADE ABC S S ∆∆∴=，AD AB ∴=1AD DB ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．A BCEF【例24】 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（） （A ）1:3 （B ）2:3 （C2 （D【难度】★★ 【答案】A【解析】解：Q ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，又DE AC ⊥Q ，EF AB ⊥，FD BC ⊥， 90AFE FDB DEC ∴∠=∠=∠=o ， 30AEF BFD EDC ∴∠=∠=∠=o ， 60EFD FDE FED ∴∠=∠=∠=o，12BD BD BF DF ==， ∴FDE ∆是等边三角形，AFE BDF ∴∆≅∆， AF BD ∴=， FDE ABC ∴∆∆∽，2DEF ABC S DF S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 设AF x =，则BD x =，2BF x =，DF =，DF AB ∴=13DEF ABC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识．AB CDF【例25】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【难度】★★ 【答案】3．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥Q ，，90CDA BEC ∴∠=∠=o ． 90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=o ，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=oQ ，30CBE CAD ∴∠=∠=o ，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=Q ，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【例26】 如图，BE 、CD 是ABC ∆的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ，联结DE ．求ADE BFC SS ∆∆的值．【难度】★★ 【答案】43． 【解析】分别过点A 、F 作AH BC ⊥、FG BC ⊥，交BC 分别于点H 、G ，得//FG AH ，FG KFAH AK=． 联结AF 并延长交BC 于点K ．CD Q 、BE 是ABC ∆的中线，//DE BC ∴，12DE BC =， F Q 是重心，13KF AK ∴=，13GF AH ∴=． 11113322444ADES DE AH DE AH DE FG DE FG ∆====Q g g g g ， 11222BFC S BC FG DE FG DE FG ∆===g g g ，34ADE BFC S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等．A BCDEF OA BCDEFG【例27】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2cm ，BC = 4cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在BC 边上，DE 于AC 交于点F ，EDC ADB ∠=∠．求：（1）BE 的长； （2）CEF ∆的面积．【难度】★★【答案】（1）3cm ；（2）215cm ．【解析】解：（1）Θ矩形ABCD ，2AB DC cm ∴==，且//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，EDC ADB ∠=∠Q ，EDC DBC ∴∠=∠，CDE CBD ∴∆∆∽，CD CECB CD∴=，242CE∴=，1CE cm ∴=，3BE cm ∴=； （2）//AD BC Q ，∴4AD DFEC EF ==，5DCE CFES DE S EF ∆∆∴==，又11212CDE S ∆=⨯⨯=Q ，215CFE S cm ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，矩形的性质，同高三角形的面积比等于底边的比等知识．【例28】 如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CF AD 的值．【难度】★★ 【答案】21． 【解析】解：//EF BD Q ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEGEBCG S S ∆=Q 四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆Q ，90ACD ACB ∴∠=∠=o ，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．ABCDEOABC DEF 【例29】 如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联结DE ．若16EOD S ∆=，36BOC S ∆=，求AEAC 的值．【难度】★★★ 【答案】23． 【解析】解：BD AC CE AB ⊥⊥Q ，， 90BEO CDO ∴∠=∠=o ，A A ∠=∠Q ,AEC ADB ∴∆∆∽，AE ADAC AB∴=， ADE ABC ∴∆∆∽，AE DEAC BC∴=．EOB DOC ∠=∠Q ，EOB DOC ∴∆∆∽，EO BOOD OC∴=，EOD BOC ∠=∠Q ，EOD BOC ∴∆∆∽，2164369EOD BOC S ED S CB ∆∆⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，23ED BC ∴=，23AE AC ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识． 【例30】 如图，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，45EF BE =，14DCE BFE S S ∆∆=，且CE = 5，求：（1）BC 的长；（2）CEF S ∆．【难度】★★★【答案】（1）352；（2）15．【解析】解：（1）FD AB ⊥Q ，90EFB ∴∠=o ， 90ACB ∠=o Q ，90BCD ∴∠=o ，EFB BCD ∴∠=∠，FEB CED ∠=∠Q ，BFE DCE ∴∆∆∽，2BFE DCE S EF S CE ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又14DCE BFE S S ∆∆=Q ，2FE CE ∴=，45FE BE =Q ，25CE BE ∴=．5CE =Q ，252BE ∴=，352BC ∴=； （2）45FE BE =Q，10EF ∴=，152BF =，17522BEF S BF EF ∆∴==g ， 又52BFE FEC S EB S CE ∆∆==Q ，15FEC S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．【习题1】 已知ABC ∆∽'''A B C ∆，AD 、''A D 分别是ABC ∆和'''A B C ∆的角平分线，且3''2AD A D =，9AB =，则''A B =． 【难度】★ 【答案】6．【解析】解：'''ABC A B C ∆∆Q ∽，AD 、''A D 分别是对应角平分线，''''32AB AD A B A D ∴==，9AB =Q ，''6A B ∴=．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【习题2】 若一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为．【难度】★ 【答案】24．【解析】解：设三角形的三边长为3a ，5a ，7a ，由题知，721a =，3a ∴=， 35824a a a ∴+==．【总结】本题考查相似三角形的性质．【习题3】 两个相似三角形的周长分别为5cm 和16cm ，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B 【解析】略【总结】本题考查相似三角形对应周长的比、对应角平分线的比都等于相似比．随堂检测【习题4】 已知：D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：=4ABC DEF S S ∆∆． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：D Q 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点，12DF EF DE AC BC AB ∴===，DEF ABC ∴∆∆∽，214DEF ABC S DF S AC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，4ABC DEF S S ∆∆∴=．【总结】本题考查三角形中位线，相似三角形的性质及判定知识．【习题5】 如图，DE 是ABC ∆的中位线，N 是DE 的中点，CN 的延长线交AB 于点M ，若ABC S ∆= 24，求AMNE S 四边形．【难度】★★ 【答案】略．【解析】解：联结AN ．DE Q 是ABC ∆的中位线， //DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽， 164ADE ABC S S ∆∆∴== ，N Q 是DE 的中点， 132ADN ADE S S ∆∆∴==，//DE BC Q ，14DN BC =，14DM BM ∴=，1133DM BD AD ∴==，113DMN ADN S S ∆∆∴==错误!未找到引用源。

智立方教育学科教师辅导讲义初中数学备课组 教师：班级： 初三 日期： 上课时间：学生姓名：主题 相似三角形性质及应用教学目标 掌握相似三角形的性质及性质定理并灵活运用教学重点 根据相似比求面积的问题；在面积问题中，“等高”条件的运用 教学难点相似三角形中的面积问题知识点梳理与巩固1. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例2.相似三角形的性质定理：● 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 例：（1）相似三角形对应高的比为5∶2,那么它们的对应中线的比为 5:2 .（2）如果DEF ABC ∆∆∽，ABC ∆的最大边AB = 35，DEF ∆的最大边DE = 14，AB 边上的中线与DE 边上的中线之和为28，求这两条中线的长；两三角形相似比应为5:2，所以两中线长之比为5:2，因此两中线长分别为20与8 （3）在△ABC 和△DEF 中，13===DF AC EF BC DE AB ，AB 边上的高为24，求DE 边上的高. 根据相似三角形性质可得DE 边上的高为8● 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比例：（1）两个相似三角形的对应高的比为2∶3,它们的周长和是20cm,则它们的周长差为 4 cm. 根据相似三角形性质可得两三角形周长比为2:3，两周长分别为8cm 与12cm（2）如果两个相似三角形的相似比为32，且其中一个三角形的周长为24，求另一个三角形的周长 根据相似三角形性质可得两三角形周长比为2:3，另一三角形周长为36cm 与16cm● 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方例：（1）两个相似三角形的面积比为1∶2,则它们的对应角平分线的比为 1：2（2）如图ABC 中，G 是重心，AG 的延长线交BC 于D ，过点G 作GF∥AC,交BC 于F ，则DGF S ∆∶DAC S ∆= 1:9 .CBAGDFABCD FE G S 3S 2 S 1 （3）已知两个相似三角形的一组对应边的长分别是9和6，如果它们的面积差为10，求这两个三角形的面积。

2014年中考解决方案相似三角形的性质及判定学生姓名：上课时间：会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题.知识点一 相似的有关概念 一、相似形1.形状相同的图形叫做相似形。

两个相似图形的对应角相等,对应边的比相等。

总结：相似形仅是形状相同，大小不一定相同； 相似图形之间的互相变换称为相似变换。

2.相似比：两个相似图形对应边的比，叫做相似比。

知识点二 相似三角形的性质及判定 二、相似三角形的定义1.定义：1）相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CBA2）相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。

三、相似三角形的判定：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似。

3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。

补充说明：1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）自检自查必考点2014年中考怎么考相似三角形的性质及判定3）如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．四、相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CBA2）相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．A 'B 'C 'CBA3）相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'CBA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'HABCC 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'DA 'B 'C 'CBA图34）相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CBA图45）相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'HABCC 'B 'A '图56）相似多边形的周长比等于相似比。

相似三角形的性质（二）教学目的：1、使学生掌握相似三角形的性质定理2、3 并会应用。

2、培养学生对探讨性题目深入分析，扩展思路。

教学重点：相似三角形性质定理的正确运用。

教学难点：相似三角形判定定理3的反向应用，即有面积比求相似比。

教学方法：探索方法。

教学过程：复习提问：叙述相似三角形的性质定理1。

新课讲解：让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理 2 。

性质定理 2：相似三角形周长的比等于相似比。

∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴ k A C C B B A CA BC AB =''+''+''++ 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，的出命题。

“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，特征明确后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的影响。

性质定理 3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方。

∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴ 22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆ 注：（1）在应用性质定理3时要注意有相似比求面积必要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习。

（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是32，它们的面积之比不一定是94，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题。

例 1 ：已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′。

分析：根据相似三角形周长的比等于相似比学生可以自己解决。

例 2 ：有同一三角形地快的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。