相似三角形的性质 (第2课时)

第2课时 相似三角形的判定和性质【知识概述】1. 相似三角形的判定方法：(1)平行于三角形一边的直线和其它两边所在的直线相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)两个角对应相等的两个三角形相似；(3)两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似； (4)三边对应成比例的两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例；(2)相似三角形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方；(3)相似三角形对应边上的高之比、对应边上的中线之比、对应角的角平分线之比都等于相似比. 【例题精选】例1 如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高.求证：（1）△ABC ∽△ACD ∽△CBD ；（2）AC 2=AD ·AB ， BC 2=BD ·BA ， DC 2=DA ·DB .例2 如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=90°，AD ∥BC ，AB=7，AD=2，BC=3，若在AB 上取一点P ，使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似.求AP 的长.(例1)(例2)例3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE .求证：(1) △DEF ∽△BDE ；(2) DG •DF ＝DB •EF .例4 如图，有一块锐角三角形的余料ABC ，要把它加工成矩形的零件，已知BC ＝8 cm ，高AD ＝12 cm ，矩形EFGH 的边EF 在BC 边上，G 、H 分别在AC 、AB 上，设HE 的长为y cm ，EF 的长为x cm . (1) 写出y 与x 的函数关系式；(2) 若EF ＝2HE ，求矩形EFGH 的周长；(3) 当矩形EFGH(例3)(例4)【配套练习】1. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（ ）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm2. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABC C ．AB 2=AP •ACD ．AB ACBP CB3. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连结BE 、AF 相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形． 若OA ：OC =OB ：OD ，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．①②相似B ．①③相似C ．①④相似D ．②③相似5. 如图，点P 为∠MON 平分线OC 上一点，以点P 为顶点的∠APB 两边分别与射线OM 、ON 相交于点A 、B ，如果∠MON=50°，OA •OB=OP 2，那么∠APB 的度数为____________.△APD 是等腰三角形，则PE 的长为_____________.(第3题)(第2题)(第4题)(第5题)图2DE图1(第6题)8. 如图，D 在BC 上，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，AC 与DE 相交于点F ，直接写出图中所有的相似三角形.9. 如图，EC ∥AB ，∠EDA=∠ABF ． （1）求证：四边形ABCD 是平行四边形； （2）求证：OA 2=OE •OF10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD=∠A ． 设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE=2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．(第8题)(第9题) (第10题)第2课时 相似三角形的判定和性质参考答案例1 证明：(1) 在 △ABC 与△ACD 中，∵∠B +∠A =90°，∠DCA +∠A =90°，∴∠B =∠DCA ，又∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ACD ，同理△ABC ∽△CBD ，∴△ABC ∽△ACD ∽△CBD ．(2) 由(1) 知△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC ，∴AC 2=AD ·AB ，由(1) 知△ABC ∽△CBD ，∴BC BD ＝BABC，∴BC 2=BD ·BA ，由(1) 知△ACD ∽△CBD ，∴DC DB ＝DADC ，∴DC 2=DA ·DB ．例2 设AP 的长为x ，当△APD ∽△BPC 时，则AD BC ＝AP BP ，即23＝x 7－x ，解得x=145；当△APD ∽△BCP 时，则AP BC ＝AD BP ，即x 3＝27－x 解得x=1或x=6．∴AP=145或1或6．例3 (1) ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BDE ＝180°，∠C ＋∠CED ＝180°．∴∠BDE ＝∠CED ．又∵∠EDF ＝∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE ．(2) 由△DEF ∽△BDE ，得DE BD ＝EFDE． ∴DE 2＝DB ·EF ，由△DEF ∽△BDE ，得∠BED ＝∠DFE ．∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ． ∴DG DE ＝DEDF，∴DE 2＝DG ·DF ，∴DG ·DF ＝DB ·EF ．例4 (1)∵BC ＝8，AD ＝12，HE ＝y ，EF ＝x ，四边形EFGH 是矩形，∴AK ＝AD －y ＝12－y ，HG ＝EF ＝x ，HG ∥BC ．∵AD ⊥BC ，∴AK ⊥HG ，∴△AHG ∽△ABC ，∴AK AD ＝HG BC ，即12－y 12＝x 8．∴y ＝12－32x ．(2) ∵EF=2HE ， 即x=2y ． ∴x ＝2(12－32x )，解得x=6， y=3．∴矩形EFGH 的周长为2(x +y )=18cm ．(3)设矩形的面积为S ，则22333(12)12(4)24222x x x x S x -=-+=--+＝． ∴当x ＝4时，矩形EFGH 的面积最大，最大为24 cm 2．此时矩形EFGH 的两条边长EF ＝4 cm ，HE ＝6 cm ． 【练习】1． C 2． D 3． C 4． C 5． 155° 6． 6037，6025+12n 7．65或38．△ABC ∽△ADE ；△ABD ∽△AEF ；△AEF ∽△DCF ；△ABD ∽△DCF ；△ADF ∽△ACD ．9． (1)∵EC ∥AB ，∴∠EDA ＝∠DAB ．∵∠EDA ＝∠ABF ，∴∠DAB ＝∠ABF ，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(2)∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ，∴OA OE ＝OBOD，∵AD ∥BC ，∴△OBF ∽△ODA ，∴OB OD ＝OF OA ，∴OA OE ＝OFOA，∴OA 2＝OE ·OF ． 10．(1) ∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△ADP ∽△ABC ．∴PD AP ＝BC AC =12．∵∠EPD=∠A ，∠PED=∠AEP ，∴△EPD ∽△EAP ．∴PE AE ＝PD AP =12．∴AE=2PE ．(2)由△EPD ∽△EAP ，得DE PE ＝PD AP =12．∴PE=2DE ．∴AE=2PE=4DE ．如图，作EH ⊥AB 于点H ，∵AP=x ，∴PD=12AP=12x ．∵PD ∥HE ，∴HE PD ＝AE AD =43．∴HE=23x ．而AB∴21121)(02233y BP HE x x x x =⋅=⋅=-+< (3) 由△PEH ∽△BAC ，得PE HE ＝AB AC ，则PE ＝52×23x＝53x ．当△BEP 与△ABC 相似时，只有两种情形：①当∠BEP=∠C=90°时，由PE PB ＝BC AB，解得x =代入213y x =-，得y =2516 ②当∠EBP=∠C=90°时，同理可得x =352，y =54（练10）。

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》（第2课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行教学的。

通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决一些实际问题。

教材通过实例引入相似三角形的性质，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现性质，并通过练习题进行巩固。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，对于相似三角形的概念和性质已经有了一定的了解。

但学生在运用性质解决实际问题时，可能会出现理解不深刻、应用不灵活的情况。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现和掌握相似三角形的性质，并能够灵活运用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够熟练掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、归纳、推理等方法，引导学生发现和掌握相似三角形的性质。

3.情感态度价值观：培养学生的团队协作意识，让学生在合作中发现问题、解决问题。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质。

2.难点：相似三角形的性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现和掌握相似三角形的性质。

2.运用多媒体教学手段，展示实例和练习题，帮助学生更好地理解和运用性质。

3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作意识。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和练习题。

2.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的相似图形，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？从而引出相似三角形的性质。

2.呈现（10分钟）展示相似三角形的性质，引导学生通过观察、归纳、推理等方法发现性质。

在呈现过程中，教师引导学生对比、分析，帮助学生理解和记忆性质。

22.3相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质(1)教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,提高分析和推理能力.【过程与方法】在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】1.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认识规律.2.通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.重点难点【重点】相似三角形性质定理的探究及应用.【难点】综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系.教学过程一、复习回顾师:相似三角形的判定方法有哪些?学生回答:师:相似三角形有哪些性质?生:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.师:三角形有哪些相关的线段?生:中线、高和角平分线.二、共同探究,获取新知教师多媒体课件出示:已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应高.求证:==k.师:这个题目中已知了哪些条件?生:△ABC和△A'B'C'相似,这两个三角形的相似比是k,AD、A'D'分别是它们的高.师:我们要证明的是什么?生:它们的高的比等于它们对应边的比,等于这两个三角形的相似比.师:你是怎样证明的呢?学生思考,交流.生:证明△ABD和△A'B'D'相似,然后由相似三角形的对应边成比例得到=.师:你怎样证明△ABD和△A'B'D'相似呢?学生思考后回答:因为△ABC和△A'B'C'相似,由相似三角形的对应角相等,所以∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B'=90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A'B'D'相似.师:很好!现在请大家写出证明过程,然后与课本上的对照,加以修正.学生写出证明过程.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.∵∠BDA=∠B'D'A'=90°,∴Rt△ABD∽Rt△A'B'D',∴==k.师:现在我请两位同学分别板演下面的两道练习题,其余同学在下面做.1.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应的中线.求证:==k.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',==k.又∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,∴BD=BC,B'D'=B'C',===k,∴△ABD和△A'B'D'相似(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),∴==k.2.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线.求证:==k.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠A=∠A'.又∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,∴∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',∠BAD=∠B'A'D',∴△BAD∽△B'A'D'(两角对应相等的两个三角形相似),∴==k.师:于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理.教师板书:定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.三、例题讲解,应用新知【例1】如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢?解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC,∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C,∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似),∴=(相似三角形对应高的比等于相似比),即=.当SR=BC时,得=,解得DE=h.当SR=BC时,得=,解得DE=h.【例2】如图,一块铁皮呈锐角三角形,它的边BC=80cm,高AD=60cm.要把它加工成矩形零件使矩形的长、宽之比为2∶1,并且矩形长的一边位于边BC上,另外两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的长与宽.师:请同学们思考一下这个问题.学生思考,计算,交流.师:我们要怎样用辅助线呢?教师找一生回答.生:加工成的矩形边SR在BC上,顶点P、Q分别在AB、AC上,把△ABC的高AD与PQ的交点记为E.教师作图.师:作出了辅助线后该怎么做呢?我们都已知了哪些条件?生:BC的长、AD的长和矩形零件的长、宽比.师:你打算怎样由这些条件求出这个零件的长和宽呢?生:因为PQ∥BC,所以△APQ和△ABC相似,然后根据相似三角形的对应边成正比例得到一个等量关系,设矩形零件的宽为xcm,长就为2xcm,代入那个等量关系式,就得到了关于x的一个方程,解方程即可求出x的值,即矩形的宽,然后根据长宽的比求出零件的长.师:很好!你的思路很清晰.现在请同学们写出求解过程.解:如图,矩形PQRS为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P、Q分别在边AB、AC上,△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为xcm,则PQ为2xcm.∵PQ∥BC.∴∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,∴△APQ∽△ABC.∴=,即=.解方程,得x=24,2x=48.答:这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.四、课堂小结师:今天你又学习了什么内容?学生回答.教学反思在本节课的教学过程中,我先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等,对应边成比例,为后面的证明做了铺垫.在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知,让学生充分体会数学知识之间的内在联系,以此激发学生的学习兴趣,能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃,尤其是我让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得,做到了将课堂回归给学生,学生的主体地位得到了很好的体现.此外,教师的肯定、赞扬和鼓励会使学生保持高昂的学习热情,使学生在探究性学习、创造性劳动中获得成功的体验.第2课时相似三角形的性质(2)教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,并能用来解决简单的问题.【过程与方法】探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,体验化归思想.【情感、态度与价值观】经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.重点难点【重点】理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.【难点】探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.教学过程一、复习引入1.回顾相似三角形的概念及判定方法.2.复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角的性质.二、新课教授探究1:如果两个三角形相似,它们的周长之间是什么关系?如果是两个相似多边形呢?学生小组自由讨论、交流,达成共识.让学生回答结果,给出评价.设△ABC∽△A1B1C1,相似比为k,那么===k⇒AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1⇒==k.由此我们可以得到:相似三角形的性质2:相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法,还可以得出:相似多边形的性质1:相似多边形周长的比等于相似比.探究2:(1)如图(1),△ABC∽△A1B1C1,相似比为k1,它们的对应高的比是多少?它们的面积比是多少?通过上节课的学习,我们得到了相似三角形的性质1:相似三角形对应高的比等于相似比.∴==k1.由上述结论,我们有:==.相似三角形的性质3:相似三角形面积的比等于相似比的平方.(2)如图(2),四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1,相似比为k2,它们的面积比是多少?分析:∵==,∴==.相似多边形的性质2:相似多边形面积的比等于相似比的平方.三、例题讲解【例1】如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长是24,面积是12,求△DEF的周长和面积.解:△ABC和△DEF中,∵AB=2DE,AC=2DF,∴==.又∠A=∠D,∴△ABC∽△DEF,相似比为.∴△DEF的周长=×24=12,面积=()2×12=3.【例2】如图,△ABC的面积为25,直线DE平行于BC分别交AB、AC于点D、E.如果△ADE 的面积为9,求的值.解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC.∴==.解方程,得=.∴=.【例3】如图,将△ABC沿BC方向平移,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,BC=2,求△ABC平移的距离.解:根据题意,可知EG∥AB,∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A,∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似),∴=()2=(相似三角形的面积比等于相似比的平方),即=,∴EC2=2,∴EC=,∴BE=BC-EC=2-,即△ABC平移的距离为2-.四、巩固练习1.填空:(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5,那么它们的相似比为,周长的比为,面积的比为;(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5,那么它们的相似比为,周长的比为;(3)连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于,面积比等于;(4)两个相似三角形对应的中线分别是6cm和18cm,若较大三角形的周长是42cm,面积是12cm2,则较小三角形的周长为cm,面积为cm2.【答案】(1)(2)(3)(4)142.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.【答案】相似;面积之比为4∶1.五、课堂小结相似三角形的性质:性质2.相似三角形周长的比等于相似比.即:如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么=k.性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.即:如果△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么=()2=k2.相似多边形的性质1:相似多边形周长的比等于相似比.相似多边形的性质2:相似多边形面积的比等于相似比的平方.教学反思本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方让学生体验化归思想,学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题.因此本课的教学设计突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的比”,“相似比⇒相似三角形面积的比⇒相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程,让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力.。

相似三角形的判定（二）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2)公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的,是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、课堂引入1．复习提问：（1)我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中,点D在AB上，如果AC2=AD•AB,那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图,△ABC 中,点D 在AB 上,如果∠ACD=∠B， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？-—引出课题．四、例题讲解例1已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点,DF⊥AE 于F,若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析:要求的是线段DF 的长,观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中,因此只要证明这两个三角形相似,再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等,即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略(DF=310）． 五、课堂练习1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证:△ABC∽△ADE．2．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．1． 已知：如图，△ABC 的高AD 、BE交于点F ．求证：FDEF BF AF ．2．已知:如图，BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高．(1)求证：AC•BC=BE•CD；（2）若CD=6,AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．教学反思。

《相似三角形的性质2》教学设计一、教材分析：《相似三角形的性质2》是根据核心素养及《中小学课程标准》的要求，结合素质教育开放周活动开展进度，旨在培养九年级学生研究、探索数学能力的一节活动探究课。

本节课教学在学完相似三角形的定义、相似三角形的判定及相似三角形性质1的基础上，重点指导九年级学生经历画图、计算周长面积等过程掌握相似三角形性质并灵活运用以解决相关问题。

二、学情分析：九年级的学生已经掌握相似三角形对应线段的比等于相似比，且有动手画图及一定的计算能力、推理能力。

本节课，我将从复习相似三角形性质1入手，指导学生小组合作交流，通过画图、计算等探究活动得到相似三角形的周长比、面积比，鼓励学生利用已学习的等比性质证明定理。

三、教学目标：1. 知识技能：在掌握相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比的基础上，通过小组合作探究以掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2. 数学思考：培养学生动手操作能力以及全面地观察问题与分析问题的能力，进一步培养学生的逻辑思维能力及推理能力，帮助学生打破思维定势的束缚。

3. 问题解决：能利用相似三角形的性质解决简单的问题。

4. 情感态度：在小组合作探究中发展学生积极的情感态度、价值观，体验提出猜想，证明猜想的探究过程。

四、教学重难点：重点：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系探究过程和应用。

五、教学时间：一课时六、教学准备：课件、画图专用纸（方格纸）、直尺。

七、教学过程：（一）复习引入，生成问题温故知新提问1：相似三角形有怎样的性质？（指名生回答）（1）相似三角形的对应角相等,对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。

提问2：相似三角形的周长、面积之间又有什么关系呢？（二）合作探究，生成能力1. 小组合作，动手操作请同学们拿出在老师发放的网格纸（每个方格边长为单位1）中画出一组的相似三角形（在网格纸上构造的格点三角形）。

数学教案－相似三角形的性质（第2课时）_八年级数学教案（第2课时）一、教学目标1．掌握相似三角形的性质定理2、3．2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想．4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美二、教法引导先学后教，达标导学三、重点及难点1．教学重点：是性质定理的应用．2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具．六、教学步骤［复习提问］叙述相似三角形的性质定理1．［讲解新课］让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2．性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．∽，同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题．“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象．性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方．∽，注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题．例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=15cm，，求BC、AB、、．此题学生一般不会感到有困难．例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．∽∽且，．．学生在运用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而［小结］1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3．2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题．七、布置作业教材P247中A组4、5、7．八、板书设计概率与频率的教学设计概率与频率是人教版九年级上册第二十五章概率初步第一节的内容。

6.5相似三角形的性质第2课时学习目标：1．运用类比的思想方法，通过实践探索得出：相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2．会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．学习重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比． 学习难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题． 学习过程：复习回顾：如图，△ABC △△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比是2:3，则△ABC 与△A’B’C’的面积比是多少？你的依据是什么？回顾“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个结论的探究过程，你有什么发现？如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k ，AD 、A ′D ′是对应高．AA′B′BCC′D CBA D ’A′C′B′∵ ∵ABC ∵∵A'B'C'，∵∵B ＝∵____，∵AD ∵BC ，A ′D ′∵B ′C ′，∵∵ADB ＝∵______＝90°，∵∵ABD ∵∵_______，∵ ＝____，结论：相似三角形对应高的比等于___________．三角形中的特殊线段还有哪些？它们是否也具有类似的性质呢？你有何猜想？ 合作探究：问题一：△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的中线，设相似比为k ，那么?''ADA D =结论：相似三角形对应中线的比等于___________． 问题二：12____12ABCA B C BC ADBC AD B C A D B C A D S S∆'''∆⋅==⋅=⋅''''''''⋅________=．AD ABA D AB =''''C′A′D′ B′ CABD△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，设相似比为k ，[来源:] 那么∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠BAC ＝∠_______，∠B ＝_________．∵AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线，11_______,'''________22BAD B A D ∴∠=∠∠=∠， ∴∠BAD ＝∠________，∴△ABD ∽△________，∴．结论：相似三角形对应角平分线的比等于___________．一般地，如果△ABC △△ A'B'C'，相似比为k ，点D 、D'分别在BC 、B'C'上，且 ，那么你能类比刚才的方法说理吗？总结：相似三角形对应_____________的比等于相似比． 例题分析：例1、如图，D 、E 分别在AC 、AB 上，∠ADE ＝∠B ，AF ⊥BC ，AG ⊥DE ，垂足分别是F 、G ，若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AGAF的值． （2） △ADE 与△ABC 的周长的比，面积的比．C′A′D′ B′CABD＝BDk B'D'练一练：1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应角平分线之比为_______，周长之比为_______，面积之比为_________2．若两个相似三角形面积之比为16:9，则它们的对高之比为_____，对应中线之比为_____3．如图，△ABC∽△DBA，D为BC上一点，E、F分别是AC、AD的中点，且AB＝28cm，BC＝36cm，则BE:BF＝________4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝36cm，BC＝60cm，延长两腰BA，CD交于点O，OF⊥BC，交AD于E，EF＝32cm，求OF的长．拓展延伸：如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？小结：课堂作业：课后练习：一、选择题1．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1 cm，则像CD到小孔O的距离为( )A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm2．如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂的端点A下降0．5 m时，长臂的端点B应升高( )A．0．5 m B．1 m C．8 m D．16 m3．如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影．已知桌面的直径为1．2 m，桌面距离地面1 m．若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为( )A．0．36πm2B．0．81m2C．2πm2 D．3．24m24．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高长22．5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张二、填空题5．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm．6．如图，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 cm×3．5 cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m，若放映机的光源S距胶片20 cm，那么光源S距屏幕________m时，放映的图像刚好布满整个屏幕．7．顺次连接三角形三边上的中点所构成的三角形的高与原三角形对应高的比为_______．8．如图，点M是△ABC内一点．过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形(图中阴影部分)的面积分别是4、9和49，则△ABC的面积是________．三、解答题9．如图，DE△BC，AG△BC于点G，交DE于点F．若AD=6，BD=4，AG=8，求AF的长．10．如图，火焰AC通过纸板EF上的一个小孔O射到屏幕上形成倒立的像，像的长度BD=2 cm，0．4=60 cm，OB=20 cm，求火焰AC的长．11．如图，在四边形ABCD中，AC平分△BAD，BC△AC，CD△AD，且AB=18，AC=12．(1)求AD的长．(2)若DE△AC，CF△AB，垂足分别为E、F，求DECF的值．12．有一块三角形铁片ABC，BC=12 cm．高AH=8 cm，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．参考答案1．B2．解：设长臂端点升高x米，则，△x=8．C 3．解：如图，根据常识桌面与地面平行，所以，△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得BC=1.8，所以，地面上阴影部分的面积=π•（）2=0.81π平方米，B4．设剪的是第x张，则，x=6，故选C.5．16 6．8077．1：28．解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，△△1、△2的面积比为4：9，△1、△3的面积比为4：49，△它们边长比为2：3：7，又△四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，△DM=BG，EM=CH，设DM为2x，△BC=（BG+GH+CH）=12x，△BC：DM=6：1，S△ABC：S△FDM=36：1，△S△ABC=4×36=144．9．10．AC=6 cm11．(1)AD=8 (2)23 DEDF=12．(1)种方案更好一些．设方案(1)中DE=x．根据题意，得．解得247x=，，面积为115249；设方案(2)中DE=2y．根据题意，得．解得y=3，面积为18．因为11521849>，所以(1)种方案更好一些（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

数学教案－相似三角形的性质第2课时一、教学目标1.理解并掌握相似三角形的判定定理。

2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察、分析、推理能力。

二、教学重点与难点1.教学重点：相似三角形的判定定理。

2.教学难点：运用相似三角形的性质解决实际问题。

三、教学过程1.导入新课师：同学们，上一课时我们学习了相似三角形的性质，那么如何判断两个三角形是否相似呢？这就是我们本节课要学习的内容。

2.探究新知（1）探究相似三角形的判定定理师：请同学们回顾一下，我们之前学过的全等三角形的判定定理有哪些？生：全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS等。

师：那么，相似三角形的判定定理是否也和全等三角形的判定定理类似呢？请同学们尝试探究。

生1：我发现，如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

生2：对，我补充一下，如果两个三角形的两组对应边的比例相等，那么这两个三角形也相似。

（2）讲解相似三角形的判定定理师：我们来看AA定理。

如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

这里的两个角可以是两个角对应相等，也可以是两个角互补相等。

生：老师，互补相等是什么意思？师：互补相等是指两个角的和为180度。

比如，一个三角形的两个角分别是30度和60度，另一个三角形的两个角分别是60度和30度，这两个三角形的两个角互补相等。

师：我们来看SAS定理。

如果两个三角形的两组对应边的比例相等，并且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。

师：我们来看SSS定理。

如果两个三角形的三组对应边的比例相等，那么这两个三角形相似。

3.练习与巩固师：下面请同学们完成练习题，巩固所学知识。

（2）已知三角形ABC中，∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。

若三角形DEF中，∠D=40°，∠E=60°，∠F=80°，且AB=6，BC=8，AC=10，DE=4，EF=6，DF=8。