相似三角形的性质(2)练习题

相似三角形性质的练习题相似三角形的性质是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。

本题考查的是对相似三角形的判断，需要根据勾股定理求出各个三角形的边长，然后比较是否成比例，最终得出相似的三角形是①和③。

2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB解答】解：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。

因此，我们只需要判断哪个条件不满足这个性质即可。

A选项∠B=∠C，这个条件是成立的，因为它是由题目中给出的△ABC是等腰三角形推出的。

B选项∠ADC=∠AEB，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的CD与BE相交于点O推出的。

C选项BE=CD，AB=AC，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O推出的。

D选项AD：AC=AE：AB，这个条件不成立，因为题目中没有给出这个条件，也无法由其他条件推出。

因此，选D。

3．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似解答】解：A选项两个全等三角形一定是相似形是正确的，因为全等三角形的对应角度和对应边长都相等，符合相似三角形的定义。

B选项两个等腰三角形一定相似也是正确的，因为等腰三角形的底角相等，而顶角也相等，符合相似三角形的定义。

C选项两个等边三角形一定相似也是正确的，因为等边三角形的三个角都相等，而三个边长也相等，符合相似三角形的定义。

D选项两个等腰直角三角形一定相似是错误的，因为等腰直角三角形的底角相等，但是顶角不相等，不符合相似三角形的定义。

因此，选D。

4．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD解答】解：根据相似三角形的定义，△ACD和△ABC相似需要满足两个条件：对应角度相等，对应边长成比例。

相似三角形的性质（2）一填空题1.若两个三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形对应角平分线的比为____；周长比为____；面积比为____2.两个相似三角形对应中线之比为2∶3，它们面积之差等于9cm2，则这两个三角形的面积分别是_______3.△ABC∽△A′B′C′，周长比为2∶2，BC边上的中线长是52，则B′C′边上的中线长是____4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE是斜边AB的中线，若CD=4，AD=2，则CE=____，DE=_______5.CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，BC=15，BD=9，则AB=____，AD=____，CD=____6.一个三角形各边的比为2∶5∶4，和它相似的三角形的周长为132 cm，则这个三角形的各边长分别为_______7.四边形ABCD，AD∥BC，AC、BD相交于点O，AD／BC=0.5，则△BOC周长是△AOD周长的___倍，S△BOC=___S△AOD8.如图，EF∥BC，若△AEF与△ABC的面积比是1∶2，则AE／AB=____，△AEF与△ABC的周长比是_______9.如图，边长为10cm的等边三角形ABC，内接正方形DEFG，则正方形DEFG的边长等于_______10.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E， BE∶ED=1∶3，AB=5cm，则AC=_______11.如图，△ABC中，DE∥BC，高AM交DE于N，若S△ADE∶S四边形BDEC=4∶5，AM=12 cm，则AN=_______cm.12.如图，在△ABC中，EF∥BC，四边形EBCF的面积比△AEF的面积大91cm2，EF=6 cm，BC=10 cm，则梯形BCFE 的面积是______二选择题1.△ABC三边长为3:4:5，与它相似的△DEF最短边为6，则△DEF的周长是（）A.12 B.18 C.24 D.362.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC∶BC=1∶2，则AD∶DB=（）A.1∶2 B.1∶2 C.1∶5 D.1∶43.△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=2∶3，则S△ADE：S四边形DECB为（）A.2∶3 B.4∶15 C.4∶21 D.4∶174.地图上1cm2面积表示实际面积400m2，该地图比例尺是（）A.1∶400 B.1∶4000 C.1∶200 D.1∶20005.△ABC的三条中位线长分别为3cm，4cm，5cm，则△ABC面积为（）A.144cm2 B.48cm2 C.24cm2 D.12cm26.已知△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′=2∶3，且S△ABC+S△A′B′C′=91 cm2，则△ABC的面积为（）A.28 cm2B.273／5 cm2C. 182／5 cm2D.63 cm27.如图，DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则S1∶S2∶S3等于（）A.1∶1∶1 B.1∶3∶5 C.1∶2∶3 D.1∶4∶98.如图，△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S△ABC=1∶2，则AD∶BD是（）A.1∶2B.1∶2C. 2∶(2－1)D.(2+2)∶19.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB=1∶2，DE与AC交于点F，S△AEF=6 cm2，则S△CDF是（）A.12 cm2B.24 cm2C.54 cm2D.15 cm210.如图，EF是梯形ABCD的中位线，且S△ABD∶S△BCD=2∶3，则S四边形AEFD∶S四边形BCFE等于（）A.2∶3B.4∶9C.9∶11D.5∶911.如图，DE∥FG∥BC，DE，FG把△ABC的面积三等分，DE=2 cm ，则BC的长为（）A.18cmB.6cmC.23cmD.32cm12.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，BM⊥CE于M，则S△BMC是S正方形ABCD的（）A.1／3B. 1／4C. 1／5D. 1／6三解答题1.如图，△ABC中，DE∥BC，AD=10，AD∶AB=1∶2，AB=5BC／4，求DE的长2.如图，四边形DEFG是正方形，DE=2cm，AM⊥BM，垂足为M，AM=5cm，求△ABC的面积3.如图， AD是Rt△ABC斜边BC上的高，若BD=16cm，CD=9cm，求AB，AC和AD的长4.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若S四边形DBCE=2S△ADE，求DE∶BC5.如图，已知，在△ABC的AB，AC边上各取一点D，E，使3AD=BD，3AE=EC，设BE，CD的交点为P，求证：S△PBC= 16S△PDE6.如图，ABCD中四边形，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB＝1:9，求S△DOC:S△BOC7.如图，□ABCD中，E为AB的中点，△BEF的面积为1cm2，求□ABCD的面积8.如图，正方形ABCD中，AB＝1，G为DC中点，E为BC上任一点，（E点与点B、点C不重合）设BE＝x，过E 作GA平行线交AB于F，设AFEC面积为y，写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。

三角形相似性质练习题一、选择题1. 若两个三角形的两边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形（）。

A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似2. 在ΔABC中，若AB=6cm，AC=8cm，且∠A=30°，在ΔDEF中，若DE=12cm，DF=16cm，且∠D=30°，则ΔABC与ΔDEF（）。

A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似3. 下列关于相似三角形的性质，错误的是（）。

A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长成比例D. 面积相等二、填空题1. 若两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形（）。

2. 在ΔABC中，若AB=5cm，AC=7cm，且ΔABC∽ΔDEF，若DE=10cm，则DF的长度为（）cm。

3. 若两个相似三角形的面积比为9:16，则它们的边长比为（）。

三、解答题1. 在ΔABC中，AB=6cm，AC=8cm，∠A=45°，在ΔDEF中，DE=12cm，DF=16cm，求∠D的度数，并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。

2. 已知ΔABC与ΔDEF相似，且AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，DE=3cm，求DF的长度。

3. 在ΔABC中，∠A=60°，∠B=70°，AB=5cm，AC=8cm，求ΔABC的面积。

4. 证明：若两个三角形的两边成比例，且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似。

5. 在ΔABC中，AB=5cm，AC=7cm，∠A=45°，在ΔDEF中，DE=10cm，DF=14cm，求∠D的度数，并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。

四、判断题1. 如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形一定相似。

（）2. 两个相似三角形的面积比等于它们对应边长比的平方。

（）3. 任意两个等腰三角形都是相似的。

（）4. 如果两个三角形的周长比是2:3，那么它们的面积比也是2:3。

1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。

2、相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比。

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

【例1】如图，已知点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 与△ABC 对应高的比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶2【解答】解：∵△ADE 与△ABC 相似，∴△DEF 与△ABC 对应高的比等于相似比，即是1∶2 。

故答案是A【例2】如图，已知△ABC 中，AB ＝20，BC ＝14，AC ＝12，△ADE 与△ACB 相似，∠AED ＝∠B ，DE ＝5．求AD ，AE 的长．【解答】解：∵△ADE 与△ACB 相似， ∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴，∴∴AD ＝ ∵∴∴AE ＝【例3】如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE相似三角形的性质相似三角形的性质典题精练模块二利用相似比求相似三角形对应线段的比利用相似比求三角形的周长和面积相交于F 点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比； (2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .【解答】解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ， ∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12；(2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.【例4】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( ) A ．1∶2 B.2∶2 C ．1∶4 D.2∶1【解答】解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.【例5】如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别为18和8，DE ＝3，求AC 边上的高．【解答】解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F .∵AD ⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD AB ＝BECB ，且∠ABC ＝∠DBE ，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE ＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.利用相似三角形的周长或面积比求相似比利用相似三角形的性质和判定进行计算【例6】如图所示，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D . (1)若AP ∶PB ＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △APN ； (2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AEAD的值．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APNS △ABC＝(APAB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以APAB ＝AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33. 【例7】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上．AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：；（2）求这个矩形EFGH 的周长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH ， ∴∠AHG ＝∠ABC ， 又∵∠HAG ＝∠BAC ， ∴△AHG ∽△ABC ，利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题∴；（2）解：由（1）得：设HE ＝xcm ，MD ＝HE ＝xcm ，∵AD ＝30cm ， ∴AM ＝（30﹣x ）cm ， ∵HG ＝2HE ， ∴HG ＝（2x ）cm ， 可得，解得，x ＝12， 故HG ＝2x ＝24所以矩形EFGH 的周长为：2×（12+24）＝72（cm ）． 答：矩形EFGH 的周长为72cm ．【例8】如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【解答】解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形P ABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2；(2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形P ABQ ＝P A ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.一．选择题（共5小题）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（ ）跟踪练习利用相似三角形的性质解决动点问题A．B．2：5 C．4：5 D．16：252．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：43．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：14．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（）A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2二．解答题（共7小题）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．9．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．10．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．11．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．12．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如果两个相似三角形对应边的比为4：5，那么它们对应中线的比是（）A．B．2：5 C．4：5 D．16：25 【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为4：5，∴它们对应中线的比为4：5，故选：C．2．已知△ABC∽△A'B'C'，如果它们的相似比为2：3，那么它们的面积比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：4【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴S△ABC ：S△A'B'C'＝22：32＝4：9．故选：C．3．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积的比为（1：2）2＝1：4．故选：B．4．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm【解答】解：设另一个三角形的最短边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝6，即另一个三角形的最短边的长为6cm．故选：A．5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（）A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为9：4，∴△ABC与△DEF的相似比为3：2，∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为3：2，故选：D．二．解答题（共7小题）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．【解答】解：（1）△AEF为等边三角形．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BE＝AE，AF＝CF，∴∠EAB＝∠B＝30°，∠FAC＝∠C＝30°，∴∠AEF＝2∠B＝60°，∠AFE＝2∠C＝60°，∴△AEF为等边三角形；（2）∵D是AB中点、G是AC中点，∴DG是△ABC中位线，∴DG＝BC；（3）∵DG＝5，∴BC＝2DG＝10，∵AE＝BE，AF＝CF，∴AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，∴△AEF的周长为10cm．7．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x＝2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x＝0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【解答】（1）证明：∵AE2＝AD•AB，∴，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ACB，∴∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．9．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．【解答】解：（1）设BC＝3x，则AD＝2x，∵△ABC的面积为12，∴×3x×2x＝12，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），则AD的长＝2x＝4；（2）设GF＝y，则HG＝2y，∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，y＝，HG＝2y＝，则矩形EFGH的面积＝×＝．10．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即ED＝AD，又∵ED＝BE＝BD，∴BD＝AD，∴AB＝BD．11．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．【解答】解：∵△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，∴△ABC的周长＝60cm，AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝×15×20＝150cm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，∴相似比为，∴＝，即＝，＝120cm，解得C△A′B′C′∵＝（）2，∴＝，＝600cm2．解得S△A′B′C′12．已知如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE＝2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：DE＝AD﹣t＝6﹣t，DF＝2t，∴6﹣t ＝2×2t ，解得t ＝，故当t ＝时，DE ＝2DF ；（2）∵矩形ABCD 的面积为：12×6＝72，S △ABE ＝×12×t ＝6t ， S △BCF ＝×6×（12﹣2t ）＝36﹣6t ，∴四边形DEBF 的面积＝矩形的面积﹣S △ABE ﹣S △BCF ＝72﹣6t ﹣36+6t ＝36，故四边形DEBF 的面积为定值；（3）设以点D 、E 、F 为顶点的三角形能与△BCD 相似，则＝或＝， 由ED ＝6﹣t ，DF ＝2t ，FC ＝12﹣2t ，BC ＝6，代入解得：＝或＝，解得t ＝3或t ＝，故当t ＝3或时，以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCD 相似．。

相似三角形的性质专题练习（附答案）1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC= .2.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是3.已知在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，点D是射线BC上的一点（不与端点B重合），连接AD，如果△ACD与△ABC相似，那么BD= .4.如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边AB上一点（不与A、B重合），F是边BC上一点（不与B、C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF= .5.如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．如图，D是等边△ABC的边BC上一动点，ED∥AC交AB于点E．DF⊥AC交AC于点F，DF=3，若△DCF与E、F、D三点组成的三角形相似，则BD的长等于1.解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵D 是AB 边的中点，∴CD=BD=AB 21=5 ∵以D 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似， ∴∠DPC=90°或∠CDP=90°， （1）若∠DPC=90°，则DP ∥AC ，∴21==BC BP AB BD ∴BP=421=BC ，则PC=4； （2）若∠CDP=90°，则△CDP ∽△BCA ，∴1085,PC AB PC BC CD ==即，∴PC=425． ∴PC=4或425 2.解：根据△B′FC 与△ABC 相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC ∽△ABC 时，BC CF AB F B ='， 又因为AB=AC=6，BC=8，B'F=BF ，所以886'BF F B -=， 解得BF=724； ②△B′CF ∽△BCA 时，CACF BA F B ='， 又因为AB=AC=6，BC=8，B'F=CF ，BF=B′F ，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF 的长度是4724或. 3.解：解：①若点D 在线段BC 上，∵△ACD ∽△BCA ，∴AC CD BC AC =，即121612CD =， 解得：CD=9，则BD=BC-CD=16-9=7；②若点D 在线段BC 的延长线上当△D AC ∽△ABC 时，则AC CD BC AC =，即121612CD =， 解得：CD=9，则BD=BC+CD=16+9=25； 当△ACD ∽△ACB 时，则BC CD AC AC =， 即BCCD =1212，∴CD=16， 则BD=BC+CD=16+16=32．故答案为：7或25或32．4.解：：①如图1，∠DEF=90°时，设AE=x ，则BE=4-x ，易求△ADE ∽△BEF ，∴EF DE BE AD =，即EFDE x =-43， ∵△DEF 和△BEF 是相似三角形， ∴△DEF 和△ADE 是相似三角形，∴ADAE EF DE AE AD EF DE ==或 ∴343343x x x x =-=-或， 整理得，6x=12或x 2-4x+9=0（无解），解得x=2，∴BE=4-2=2，BF 223=，解得BF=34，CF=3-34=35；②如图2，∠DFE=90°时，设CF=x ，则BF=3-x ，易求△BEF ∽△CFD ，∴EF DF BF DC =，即EF DF x =-34，∵△DEF 和△BEF 是相似三角形，∴△DEF 和△DCF 是相似三角形，∴DCCF EF DF CF DC EF DF ==或，即434434x x x x =-=-或， 整理得，8x=12或x 2-3x+16=0（无解），综上所述，CF 的值为5/3或3/25.答案自己给出6.解：∵ED ∥AC 交AB 于点E ，△ABC 是等边三角形， ∴△BDE 是等边三角形，∠FDC=30°，当△DCF ∽△EFD ， ∴∠FED=∠FDC=30° ∴DE=3333tan ==∠FED DF ，∴BD=DE=3；当△DCF ∽△FED ，∴∠EFD=∠FDC=30°，∴BD=DE =DF•tan ∠A=1．故答案为：1或3．7.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt △DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 1.44 cm 2．解：根据旋转的性质可知，△PSC ∽△RSF ∽△RQC ∽△ABC ，△PSC ∽△PQF ，∵∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，∴BC=5，PC=2，S △ABC =6，∵S △PSC ：S △ABC =1：4，即S △PSC =23， ∴PS=PQ=23， ∴QC=27， ∴S △RQC ：S △ABC =QC 2：BC 2，∴S △RQC =50147， ∴S RQPS =S △RQC -S △PSC =1.44cm 2．。

4.5 相似三角形的性质及其应用（2）相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，若它们的面积之和为136cm2，则较大的三角形的面积是(D).A.36cm2B.85cm2C.96cm2D.100cm22.如图所示，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE=1∶2，则下列等式中，一定成立的是(D).（第2题）（第3题）（第4题）3.如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC=3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B).A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶14.如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC 的面积为1，则△BCD的面积为(C).A.1B.2C.3D.45.如图所示，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么S△DEF∶S△ABC的值为 2 ．（第5题）（第6题）（第7题）6.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=x k (x<0)的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD =10，则k 的值为 -16 ．7.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，点M 为垂足，AM=31AB.若四边形ABCD 的面积为715，则四边形AMCD 的面积是 1 . 8.已知两个相似三角形的一组对应边长分别是35cm 和14cm.（1）若它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．（2）若它们的面积相差588cm 2，求这两个三角形的面积．【答案】(1)较大的三角形的周长为100cm ，较小的三角形的周长为40cm.(2)较大的三角形的面积为700cm 2，较小的三角形的面积为112cm 2.9.如图所示，△ABC 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个与△ABC 相似的格点三角形，并填空.（1）在图1中画△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1的周长是△ABC 的周长的2倍，则ABB A 11= 2 ． （2）在图2中画△A 2B 2C 2，使得△A 2B 2C 2的面积是△ABC 的面积的2倍，则AB B A 22= 2 ．（第9题）【答案】(1)图略 2(2)图略2 10.如图所示，在△ABC 中，P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上.已知BC=2，S △ABC =1.设BP=x ，平行四边形AFPE 的面积为y.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由.（第10题）【答案】(1)∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA.∴△BFP ∽△BAC.∴.∵S△ABC =1，∴S △BFP =42x .同理S △PEC =,∴y=. (2)上述函数有最大值，最大值为21.理由如下：∵y=-22x +x=-21（x -1）2+21，-21＜0， ∴y 有最大值.又∵0<x<2,∴当x=1时，y 有最大值，最大值为21.11.如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA =1∶9，则S ，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B ).A.1∶3B.1∶2C.1∶4D.1∶9（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）12.如图所示，D ，E ，F ，G 为△ABC 两边上的点，且DE ∥FG ∥BC ，若DE ，FG 将△ABC 的面积三等分，则下列结论正确的是(C ).13.如图所示，在ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，BG=42，则△EFC 的周长为(D ).A.11B.10C.9D.814.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，∠ADC=45°，若DE ∶AE=1∶5，BE=3，则△ABD 的面积为 13 ．15.如图所示，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 1211 . （第15题） （第16题）16.如图所示，M 是△ABC 内-点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9.则△ABC 的面积是 36 ．17.如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A ，B ，D 三点.过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连结ED.（1）求证：ED ∥AC.（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S1，△ADC 的面积为S2，且S 21-16S 2+4=0，求△ABC 的面积.（第17题）【答案】(1)∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠E=∠BAD ，∴∠E=∠DAC. ∵BE ∥AD ，∴∠E=∠EDA.∴∠EDA=∠DAC.∴ED ∥AC.(2)∵BE ∥AD ，∴∠EBD=∠ADC.又∵∠E=∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比k=DC BD =2.∴21S S =k 2=4，即S1=4S2.∵S12-16S 2+4=0，∴16S22-16S2+4=0，即(4S2-2)2=0.∴S 2=21. ∵=3，∴S △ABC =23. 18.如图1所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3．（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1，S 2，S 3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，请你确定S 1，S 2，S 3之间的关系并加以证明．（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，为使S 1，S 2，S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？请证明你的结论．（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．（第18题） 【答案】设直角三角形ABC 的三边BC ，CA ，AB 的长分别为a ，b ，c ，则c 2=a 2+b 2.(1)S 1=S 2+S 3.(2)S1=S2+S3.证明:∵S1=43c 2，S2=43a 2，S3=43b 2，∴S2+S3=43 (a 2+b 2)= 43c 2=S 1.∴S 1=S 2+S 3. (3)当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3.证明：∵所作的三个三角形相似，∴, ∴=1.∴S 1=S 2+S 3.(4)分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1=S 2+S 3.19.【镇江】点E ，F 分别在ABCD 的边BC ，AD 上，BE=DF ，点P 在边AB 上，AP ∶PB=1∶n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1，S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3，S 4的两部分（如图所示）.有下列四个等式：①S 1∶S 3=1∶n ；②S 1∶S 4=1∶（2n+1）；③（S 1+S 4）∶（S 2+S 3）=1∶n ；④（S 3-S 1）∶（S 2-S 4）=n ∶（n+1）.其中成立的是(B ).A.①②④B.②③C.②③④D.③④（第19题） （第20题）20.【杭州】如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC 上，AD=5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于 78 .【解析】∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC=22AC AB =25，S △ABC =21AB ·AC=21×15×20=150.∵AD=5，∴CD=AC -AD=15.∵DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠BAC=90°.又∵∠C=∠C ，∴△CDE ∽△CBA.∴AC CE =CB CD ，即20CE =2515，解得CE=12.∴BE=BC -CE=13.∵S △ABE ∶S △ABC =BE ∶BC=13∶25，∴S △ABE =2513×150=78.21.如图所示，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿点B 到点C 方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．（1）求证：△ABE ∽△ECM ．（2）在△DEF 的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．（第21题）【答案】(1)∵AB=AC ，∴∠B=∠C.∵△ABC ≌△DEF ，∴∠AEF=∠B.∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE ，∴∠CEM=∠BAE.∴△ABE ∽△ECM.(2)能.∵∠AEF=∠B=∠C ，∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF.∴AE ≠AM.①当AE=EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE=AB=5.∴BE=BC -EC=1.②当AM=EM 时，则∠MAE=∠MEA ，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM ，即∠CAB=∠CEA.∵∠C=∠C ，∴△CAE ∽△CBA.∴AC CE =CB AC .∴CE=CB AC 2=625.∴BE=611.∴BE=1或611. (3)设BE=x.∵△ABE ∽△ECM ，∴.∴CM=-51（x -3）2+59.∴AM=5-CM=51（x -3）2+516.∴当x=3时，AM 最短为516.此时BE=21BC ，∴E 为BC 的中点.∴AE ⊥BC.∴AE=22BE AB =4.EF ⊥AC.∴EM=AE 2-AM 2=512.∴S △AEM =21×516×512=2596.。

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000__m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC，AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB= 4:15。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2 答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求:(1)S △AOD :S △BOC 的值； (2)S △AOB :S △AOD 的值。

答案:(1)9:25 (2)5:3。

4.5相似三角形的性质及其应用第2课时相似三角形的性质2(周长、面积的比)【基础练习】知识点1相似三角形的周长比1.如图1,AB∥CD,AOOD =23,则△AOB的周长与△DOC的周长比是.图12.已知△ABC∽△A'B'C',相似比为34,△ABC的周长为6,则△A'B'C'的周长为.3.如图2,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,且DE∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3,AD=4,则DB=.图24.已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm和14 cm,且它们的周长相差60 cm,求这两个三角形的周长.5.如图3,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,点P在AC上(与点A,C不重合),点Q在BC上.当△CPQ的边PQ上的高为35时,求△CPQ的周长.图3知识点2相似三角形的面积比6.已知△ABC∽△DEF,且相似比为12,则△ABC与△DEF的面积比是.7.若两个相似三角形的周长比为23,则它们的面积比是.8.已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为.9.如图4,△ADE∽△ACB,且ADAC =23,若△ADE的面积是8,则四边形BCED的面积是.图410.如图5,在▱ABCD中,E是边BC上的一点,且BE∶EC=1∶2,连结AE交对角线BD于点F,若S△BFE=12 cm2,求S△DF A.图5【能力提升】11.两个相似三角形的对应角平分线的比是√2∶1,其中一个三角形的面积为16,则另一个三角形的面积为()A.8√2或16√2B.8或32C.8√3D.812.[2020·南通]如图6,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点的值等于.都在网格线的交点上,设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则C1C2图613.如图7,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB,AD∶BD=5∶3,△ABC 的面积为64,则四边形BFED的面积为.图714.如图8,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连结DE,下列结论中正确的有(填序号).①DEBC =12;②S△DOES△COB=12;③ADAB =OEOB;④S△DOES△ADE=13.图815.[2019·宁波镇海区一模]在图9所示的6×6的网格中,已知格点三角形ABC(顶点A,B,C都在格点上).(1)在图ⓐ中,画出一个与△ABC面积相等的格点三角形ABD(不与△ABC全等).(2)在图ⓑ中,画出一个与△ABC相似的格点三角形A1B1C1,使得①S△ABC∶S△A1B1C1=1∶4;②两个三角形的对应边分别互相垂直.图916.[问题背景](1)如图10①所示,在△ABC中,DE∥BC,与AB,AC分别交于D,E两点,过点E作EF∥AB交BC 于点F.请按图示数据填空:四边形DBFE的面积S=,△EFC的面积S1=,△ADE的面积S2=.[探究发现](2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h,请证明S2=4S1S2.[拓展迁移](3)如图10②,▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG,△DBE,△GFC的面积分别为2,5,3,试利用(2)中的结论求△ABC的面积.图10答案1.23 2.8 3.24.解:∵两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm 和14 cm, ∴这两个相似三角形的相似比为5∶2, ∴这两个相似三角形的周长比为5∶2.设较大的三角形的周长为5x cm,则较小的三角形的周长为2x cm . ∵它们的周长相差60 cm, ∴5x -2x=60,解得x=20, ∴5x=5×20=100,2x=2×20=40,∴较大的三角形的周长为100 cm,较小的三角形的周长为40 cm . 5.解:∵AB=5,BC=3,AC=4, ∴AB 2=AC 2+BC 2,∴△ABC 为直角三角形,其斜边AB 上的高为AC ·BC AB=125.∵PQ ∥AB ,∴△CPQ ∽△CAB ,相似比=35125=14,∴△CPQ 的周长△CAB 的周长=14.∵△CAB 的周长=3+4+5=12, ∴△CPQ 的周长=14×12=3.6.147.498.4 [解析] ∵△ABC ∽△DEF ,相似比为2, ∴△ABC 和△DEF 的面积比为4.∵△ABC 的面积为16,∴△DEF 的面积为4. 9.10 [解析] ∵△ADE ∽△ACB ,且AD AC =23, ∴S △ADE S △ABC=49,即8S△ABC=49,解得S △ABC =18, ∴S 四边形BCED =18-8=10.10.解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=BC ,AD ∥BC. ∵BE ∶EC=1∶2,∴BE ∶BC=1∶3,即BE ∶AD=1∶3. ∵AD ∥BC ,∴△BFE ∽△DF A , ∴S △BFE ∶S △DF A =(BE ∶AD )2=1∶9. ∵S △BFE =12 cm 2,∴S △DF A =108 cm 2.11.B [解析] 设两个三角形的面积分别是S 1,S 2,令S 1=16. ①若S1S 2=√212,有16S 2=21,∴S 2=8; ②若S1S 2=1√22,有16S 2=12,∴S2=32.故选B . 12.√22 13.3014.①③④ [解析] ①∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE=12BC ,即DE BC =12,故①正确;②∵DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC , ∴△DOE ∽△COB , ∴S △DOE S △COB=(DE BC )2=(12)2=14, 故②错误; ③∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,△DOE ∽△COB , ∴AD AB=DE BC ,OE OB =DEBC ,∴AD AB =OE OB,故③正确;④∵△ABC 的中线BE 与CD 相交于点O , ∴点O 是△ABC 的重心,根据重心性质,可得BO=2OE ,△ABC 的高=3△COB 的高,且△ABC 与△COB 同底(BC ), ∴S △ABC =3S △OBC . 由②和③知,S △DOE =14S △COB ,S △ADE =14S △ABC ,∴S △ADE =34S △COB ,∴S △DOE S △ADE=13,故④正确. 综上,①③④正确.15.解:(1)如图①,△ABD 为所作.(答案不唯一)(2)如图②,△A 1B 1C 1为所作. 16.解:(1)6 9 1(2)证明:∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,∴四边形DBFE 为平行四边形,∠AED=∠C ,∠A=∠CEF , ∴DE=BF=a ,△ADE ∽△EFC , ∴S 2S 1=DE FC 2=a 2b2. ∵S 1=12bh , ∴S 2=a 2b 2·S 1=a 2ℎ2b , ∴4S 1S 2=4·12bh ·a 2ℎ2b =(ah )2. 而S=ah ,∴S 2=4S 1S 2.(3)过点G 作GH ∥AB 交BC 于点H ,则四边形DBHG 为平行四边形, ∴∠GHC=∠B ,BD=GH ,DG=BH. ∵四边形DEFG 为平行四边形, ∴DG=EF ,∴BH=EF , ∴BE=HF ,∴△DBE ≌△GHF , ∴△GHC 的面积为5+3=8.由(2)得▱DBHG 的面积为√4×8×2=8, ∴△ABC 的面积为2+8+8=18.。

AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上 （1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（ ）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝ 时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝ 时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ； （1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为 ； （2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（ ）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（ ） （1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ； （4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。

相似三角形的判定与性质一、基础巩固一．解答题1. 如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【答案】（1（∠ADE=40°（∠AED =65°（（2（8cm【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=180°（（BAC（（ABC=65°（根据相似三角形的对应角相等即可得到结论（（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论（【详解】（1（（（BAC=75°（（ABC=40°（（（ACB=180°（（BAC（（ABC=65°（（（ABC（（ADE（（（ADE=（ABC=40°（（AED=（ACB=65°（（2（（（ABC（（ADE（（AD DE AB BC=（（AB=30cm（BD=18cm（BC=20cm（（30183020DE-=（（DE=8（cm（（【点睛】本题考查了相似三角形对应角相等（对应边成比例的性质（准确找出对应边与对应角是解题的关键（2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=12BC吗？（3）DG=5cm，试求△AEF的周长．【答案】（1）△AEF 为等边三角形；证明见解析；（2）证明见解析；（3）10cm ．【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B =∠C =30°，再利用垂直平分线的性质得BE =AE ，AF =CF ，则∠EAB =∠B =30°，∠F AC =∠C =30°，然后根据三角形的外角性质可求出∠AEF =∠AFE =60°，于是可判断△AEF 为等边三角形； （2）由D 是AB 中点、G 是AC 中点知//DG BC ，得出△∽△ADG ABC ，最后根据相似三角形的性质即可得出答案．（3）利用AE =BE ，AF =CF 可得AE +EF +AF =BE +EF +CF =BC =10cm ，从而可确定△AEF 的周长．【详解】解：（1）△AEF 为等边三角形．理由如下：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵DE 垂直平分AB ，FG 垂直平分AC ，∴BE =AE ，AF =CF ，∴∠EAB =∠B =30°，∠F AC =∠C =30°，∴∠AEF =2∠B =60°，∠AFE =2∠C =60°，∴△AEF 为等边三角形；（2）∵D 是AB 中点、G 是AC 中点，∴DG 是△ABC 中位线，∴//DG BC ，∴ADG B ∠=∠，AGD C ∠=∠，∴△∽△ADG ABC ， ∴12DG AD BC AB ==， ∴DG =12BC ； （3）∵DG =5，∴BC=2DG=10，∵AE=BE，AF=CF，∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，∴△AEF的周长为10cm．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段中垂线的性质、中位线定理、等腰三角形的性质与等边三角形的判定．3. （1）如图1，Rt△ABC中，若AC=4，BC=3，DE△AC，且DE=DB，求AD的长；（2）如图2，已知△ABC，若AB边上存在一点M，若AC边上存在一点N，使MB=MN，且△AMN△△ABC，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段MN（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．【答案】（1）258（2）见解析【解析】【分析】（1）根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，进而得到DE ADBC AB=，据此可得AD的长．（2）作∠B的平分线BN，交AC于G，作BN的垂直平分线MG，交AB于M，则MN=BM，而MN∥BC，则△AMN∽△ABC（【详解】（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，△AB=5，△DE△AC，△C=90°，△DE△BC，△△ADE△△ABC，△DE AD BC AB=，即535AD AD-=，解得AD=258，故AD的长为258．（2）如图2所示，作△B的平分线BN，交AC于G，作BN的垂直平分线MG，交AB 于M，MN即为所求．【点睛】考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4. 如图，点C（D在线段AB上，（PCD是等边三角形，且（ACP（（PDB（（1）求（APB的大小．（2）说明线段AC（CD（BD之间的数量关系．【答案】（1（120°（（2（见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的性质得到∠APC=（PBD，根据三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．【详解】解：（1（（（PCD是等边三角形，（（PCD=60°（（（A+（APC=60°（（（ACP（（PDB（（（APC=（PBD（（（A+（B=60°（（（APB =120°（（2（∵△PCD 是等边三角形，∴PC =PD =CD （（（ACP （（PDB （ （AC PD =PC BD（ （CD 2=AC •BD （【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．5. 如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE=6cm ，EC=3cm ，BC=6cm ，∠BAC=∠C=47°．（1）求∠AED 和∠ADE 的大小；（2）求DE 的长．【答案】（1）∠AED=47°；∠ADE=86°；（2）4（cm ）．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理计算；（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，代入计算即可．【详解】解：（1）∵△ABC ∽△ADE ，∴∠AED=∠C=47°，∠ADE=180°﹣∠BAC ﹣∠AED=86°；（2）∵△ABC ∽△ADE ， ∴=AE DE AC BC ，即6=96DE ， 解得，DE=4（cm ）．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．6. 如图，BC ，AD 相交于点C ，△ABC ∽△DEC ，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3．（1）求CE的长；（2）求证：BC⊥AD．【答案】（1）3.1；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．【详解】解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴AC BC DC EC=，∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3∴4.89.3 1.6CE=，解得：CE=3.1．（2）∵△ABC∽△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∵∠ACB+∠DCE=180°，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴BC⊥AD．【点睛】此题考查相似三角形的性质，正确找出两个三角形的对应边与对应角是解题关键．7. 如图：已知△ABC△△DEC，△D=45°，△ACB=60°，AC=3cm，BC=4cm，CE=6cm．求：（1）△B的度数；（2）求AD的长．【答案】(1) 75°；(2)152cm.【解析】【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案．【详解】（1（∵△ABC∽△DEC（∴∠A=∠D=45°（在△ACB中，∠B=180°（∠A（∠ACB=180°（45°（60°=75°（（2（∵△ABC∽△DEC（∴AC BC DC EC（即DC=ACBC×CE=92cm（∴AD=AC+CD=152cm（【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键．8. 已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=35°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【答案】（1）∠ADE =35°，∠AED =70°；（2）12cm．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等解答；（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=35°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣75°﹣35°=70°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=35°，∠AED=∠C=70°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB：AD=BC：DE，即30：18=20：DE，解得DE=12cm．【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质．9. 如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,点B的坐标为(2,3),反比例函数y=kx(k>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；(2)点F是OC边上一点,若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．【答案】（1）y=3x，（2，32）（2）（0，53）【解析】【分析】（1）根据D为BC的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D（得出函数关系式，进而得出E点坐标（2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案．【详解】（1（（BC（x轴，点B的坐标为（2（3（（（BC=2（∵点D为BC的中点，（CD=1（∴点D 的坐标为（1（3（（将点D 的坐标代入y=k x中得（k=1×3=3（ ∴反比例函数的表达式y=３ｘ（ （BA（y 轴，∴点E 的横坐标与点B 的横坐标相等为2（∵点E 在双曲线上， （y=３２（ ∴点E 的坐标为（2（３２（（ （2）∵点E 的坐标为（2（３２（（B 的坐标为（2（3），点D 的坐标为（1（3（（ （BD=1（BE=３２（BC=2（ （（FBC（（DEB（ （DB BE CF BC＝（ （FC=４３（ （OF=3（４５＝３３ ∴点F 的坐标为（0（５３（（ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键．10. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD=CD ，则∠ACB= ．（2）如图，在△ABC 中，AC=2，，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．【答案】（1）96°；（2．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB 即可．（2）设BD=x ，利用△BCD ∽△BAC ，得=BC BD BA BC，列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）当AD=CD 时，如图3，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知AC=AD=2，∵△BCD ∽△BAC ， ∴BC BD BA BC =，设BD=x ，）2=x （x+2），∵x ＞0，∴1，∵△BCD ∽△BAC ，∴CD BD AC BC =，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．11. 如图，AD∥BC（∠ABC=90°（AB=8（AD=3（BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．【答案】AP=247或AP=2或AP=6【解析】【分析】由AD//BC,∠B=90°,可证∠P AD=∠PBC=90°,又由AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8-x,然后分别从APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析,利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．【详解】解：（ AB（BC,（ （B=90°,（ AD（BC,（ （A=180°﹣（B=90°,（ （P AD=（PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8﹣x,若AB边上存在P点,使（P AD与（PBC相似,那么分两种情况:若（APD（（BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=24 7,若（APD（（BCP,则AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x =2或x =6,所以AP =247或AP =2或AP =6． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=20cm ，BC=15cm ，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿CB 向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/秒，点Q 的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？【答案】（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011【解析】 【分析】（1）在Rt △CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解； （3）应分两种情况：当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ． 【详解】由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm ==；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt △CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-； （3）分两种情况：①当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时，CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=， 解得：t=3秒；②当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，CP CQ CB CA =，即204t 2t 1520-=， 解得：t=4011秒． 因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．13. 如图所示，Rt ABC Rt DFE ~（CM （EN 分别是斜边AB （DF 上的中线，已知9AC cm =（12CB cm =（3DE cm =（()1求CM 和EN 的长；()2你发现CM EN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【答案】（1）CM=7.5,EN=2.5；（2）相等，相似三角形对应中线的比等于相似比.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质解答即可．【详解】.解：()1在Rt ABC 中，15AB ===，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴7.152CM AB ==， ∵Rt ABC Rt DFE ~， ∴DE DF AC AB=，即319315DF ==， ∴5DF =，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴ 2.152EN DF ==； ()2∵7532..51CM EN ==， 相似比为9331AC DE ==， ∴相似三角形对应中线的比等于相似比．【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形对应的中线之比等于相似比. 14. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE△△DEF ，AB=6，AE=9，DE=2，求EF 的长.【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，求出DF 的长度，在直角三角形DEF 中，利用勾股定理求出斜边EF 长【详解】解：（（ABE（（DEF ， （AB AE DE DF692AB AE DE ===，，69=2DF∴， （DF=3在矩形ABCD 中，（D=90°．（在Rt（DEF 中，EF ==15. 如图，△AED ∽△ABC ，相似比为1∶2.若BC ＝6，则DE 的长是多少？【答案】DE=3（【解析】【分析】由△AED∽△ABC，相似比为1（2，可得DE（CB=1（2，又由BC=6，即可求得DE的长．【详解】∵△AED∽△ABC，∴DE：CB=1：2，∵BC=6，∴DE：6=1：2，∴DE=3．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例．16. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF＝45°．（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）若点E在BC的延长线上时△EGF与△EFA相似，求BE的长．【答案】（1）BE＝DF＋EF；证明见解析；（2）1 ．【解析】【分析】（1）猜想BE＝DF＋EF，将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，通过角的计算可得出∠EAF′＝∠EAF，结合AF＝AF′、AE＝AE即可证出△EAF≌△EAF′（SAS），进而得出EF＝EF′，再结合BE＝BF′＋EF′即可得出结论；（2）由△EGF∽△EFA可得出∠EFG＝∠EAF＝45°，结合∠ECF＝90°可得出CE＝CF，设DF＝x，则CE＝1＋x，EF（1＋x），BE＝1＋1＋x，根据BE＝DF ＋EF即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入BE＝x（1＋x）中即可求出结论．【详解】解：（1）猜想：BE＝DF＋EF，理由如下：将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图1所示，由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，∵∠BAF′＋∠EAF′＋∠GAD＝90°，∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠GAD＋∠DAF＝45°，∴∠EAF′＋∠GAD＋∠DAF＝90°，∠EAF′＝∠EAF＝45°．在△EAF和△EAF′中，AF=AF?EAF=EAF? AE=AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△EAF≌△EAF′（SAS），∴EF＝EF′，∴BE＝BF′＋EF′＝DF＋EF．（2）∵△EGF∽△EFA，∴∠EFG＝∠EAF＝45°，∵∠ECF＝90°，∴CE＝CF．设DF＝x，则CE＝1＋x，EF（1＋x），BE＝1＋1＋x，根据题意得：1＋1＋x＝x（1＋x），解得：x﹣1，∴x（1＋x）＝1，∴BE的长为1【点睛】本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17. 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2．对角线AC和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C 上，使三角板绕点C旋转．（1）如图1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的位置关系是，数量关系是；（2）继续旋转三角板，旋转角为α．请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，若OF ，求PE的长．【答案】（1）垂直、相等；（2）画图见解析；（1）中结论仍成立；证明见解析；（3）．6【解析】【分析】（1）作AM⊥DC，垂足为点M，解直角△ADM可求DM，从而可知CD长，CD＝CB，CE＝CF，可证△CDE≌△BCF，利用对应边相等，对应角、对应边相等，互余关系得出垂直、关系；（2）画出图形，围绕证明△CDE≌△BCF，寻找条件，仿照（1）的方法进行证明；（3）用勾股定理求AC、BD，用相似求AO、OC、OB，已知OFCF、CE，证明△CPE∽△COB，利用相似比求PE．【详解】解：（1）垂直，相等，理由如下：延长DE 交BF 与点N ，作AM ⊥DC ，垂足为点M ，则四边形ABCM 是矩形， ∴AM ＝BC ＝2，MC ＝AB ＝1，∵在Rt △ADM 中，tan ∠ADC ＝2， ∴AM =2DM，解得：DM ＝1， ∴CD ＝DM ＋MC ＝2，∴CD ＝BC ，在△CDE 和△CBF 中，DC=BC DCE=BCF=90CE=CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△CDE ≌△BCF ，∴∠EDC ＝∠FBC ，DE ＝BF ，∵∠FBC ＋∠BFC ＝90°，∴∠EDC ＋∠BFC ＝90°，∴∠DNF ＝90°，∴DE ⊥BF ，故填：垂直，相等；（2）（1）中结论仍成立．证明如下：过A 作AM ⊥DC 于M ，则四边形ABCM 为矩形． ∴AM ＝BC ＝2，MC ＝AB ＝1．∵DC ＝2，∴DM 2==12， ∴DC ＝BC ．∵△CEF 是等腰直角三角形，∴∠ECF ＝90°，CE ＝CF ．∵∠BCD ＝∠ECF ＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF ，在△DCE 和△BCF 中，DC=BC DCE=BCF CE=CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCF ，∴DE ＝BF ，∠1＝∠2，又∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠BCD ＝90°，∴DE ⊥BF ，∴线段DE 和BF 相等并且互相垂直．（3）∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB OA OB==CD OC OD，∵AB＝1，CD＝2，∴OA OB1== OC OD2，在Rt△ABC中，，∴OA=3，同理可求得OB=3，∵OF=，∴AC AF=OA+OF==22，∴CE=CF=2，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠OBC＝45°，由（2）知△DCE≌△BCF，∴∠1＝∠2，又∵∠3＝∠OBC＝45°∴△CPE∽△COB，∴PE CE=OB BC，22，∴．【点睛】本题运用了旋转的观点解决相似三角形、全等三角形的问题，并运用勾股定理求线段的长．18. 如图，在等腰梯形中，AD BC ∥，E 为AD 上一点，且AE:DE=1:3，联结BD 和CE ，BD 与CE 交于点F ，如果4=AD ，6BD BC ==．（1）求梯形的周长（2）求线段CF 的长度【答案】（1）10+（2）【解析】【分析】（1）过A 做AM ∥CD，交BC 于M ，先证明△ABM∽△BCD,解得AB 的长度，从而利用梯形的周长公式求解即可（2）先证明△EDF∽△BDA,求出EF 的值，因为AD∥BC,利用平行线分线段成比例求解即可【详解】（1） 如图，过A 做AM ∥CD，交BC 于M∵AD∥BC，AM∥CD∴四边形AMCD 是平行四边形∴AD=MC=4，AM=CD∵梯形ABCD是等腰梯形∴AB=CD∴AB=AM∴∠ABM=∠AMB∵BD=BC=6∴∠BDC=∠BCD∵AM∥CD∴∠AMB=∠BCD∴△ABM∽△BCD∴AB BM BC AB=∴BM=6-4=2∴2 6ABAB=∴AB=∴CD=AB=∴梯形ABCD周长=AB＋BC＋CD＋AD=10＋（2）∵AE:DE=1:3,AD=4∴DE=33 4AD=∵AD∥BC∴DFDE EF BC BF CF==∵BC=BD=6∴3DF6EFBF CF ==∴BF=2DF，CF=2EF ∴BD=3DF=6∴DF=2∴DE EF BD AB==12∵∠EDF=∠BDA∴△EDF∽△BDA∴EF=12∴CF=2EF=【点睛】本题主要考查了相似三角形的判断与性质的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键19. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，若S △ADE =16cm 2，S △EFC =49cm 2， 求①BC DE，②S △ABC ．【答案】（1）114；（2）121 【解析】 【分析】利用平行求相似三角形，再根据相似三角形的性质，对应求解.【详解】①（DE∥BC，EF∥AB；（（ADE=（ABC, （AED=（ACF（（ΔADE（ΔABC（（ABC=（EFC, （EFC=（ADE（（ΔADE（ΔEFC（（S △ADE ：S △EFC =(BC（EF) ²=16:49, BC（EF=4（7（（DE∥BC，EF∥AB；（四边形DEFB 为平行四边形，DE=BF（（= 114. （（ΔADE（ΔABC（= 114（ （S △ADE ：S △ABC =（4:11（²=16（121（（S △ADE =16cm 2；（S △ABC E =121 cm 2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和利用平行求相似三角形，熟练掌握这两点是解题的关键.20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）DE＝125．【解析】【分析】（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；（2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．【详解】证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，∴∠BAM＝∠EDA，在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，∴△ADE∽△MAB；（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，∴BM＝32，∴AM52 =，由（1）知，△ADE∽△MAB，∴AM AB DA DE=，∴5223DE =，解得，DE ＝125． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答． 21. 已知在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，且AD=DE ．连接AC 交DE 于点F ，作DG ⊥AC 于点G ．（1）如图1，若12EF DF =，DG 的长； （2）如图2，作EM ⊥AC 于点M ，连接DM ，求证：AM ﹣EM=2DG ．【答案】（1）13；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）设EF=x ，DF=2x ，则DE=EF+DF=3x=AD ，根据勾股定理求出x ，在△ADF 中，根据三角形面积公式求出即可；（2）过D 点作DK ⊥DM 交AC 于点K ，求出MDK 为等腰直角三角形，求出MK=2DG 即可．【详解】（1）解：设EF=x ， 12EF DF =， ∴ DF=2x ，则DE=EF+DF=3x=AD在Rt ADF 中，AD 2+DF 2=AF 2，∴ 222(3)(2)x x +=，∵x ＞0，∴x=1，∴EF=1，DF=2，AD=3，∴由三角形面积公式得：11,22ADF SAD DF AF DG =•=•即3213AD DF DG AF ⨯=== （2）证明：过D 点作DK ⊥DM 交AC 于点K ，∵∠1+∠KDF=90°，∠2+∠KDF=90°，∴∠1=∠2，∵∠3+∠4=90°，∠5+∠EFM=90°，又∵∠4=∠EFM ，∴∠3=∠5，在△ADK 和△EDM 中1235AD DE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADK EDM ≌（ASA ），∴DK=DM ，AK=EM ，∴MDK 为等腰直角三角形，∵DG ⊥AC ，∴MK=2DG ，∴AM ﹣EM=AM ﹣AK=MK=2DG ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 边上，若四边形DEFB 为菱形，并且AB=8cm ，BC=12cm ，求菱形DEFB 的边长．【答案】4.8cm【解析】【分析】设菱形DEFB 的边长为x ，根据菱形的性质得出BD=DE=BF=x ，DE ∥BF ，根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，得出比例式，代入求出即可．【详解】设菱形DEFB 的边长为x ，∵四边形DEFB 是菱形，∴BD=DE=BF=x ，DE ∥BF ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE AD BC AB=， ∵AB=8，BC=12，8AD AB BD x =-=-， ∴8128x x -=， 解得： 4.8x =．即菱形DEFB 的边长为4.8cm ．【点睛】本题考查了菱形的性质和相似三角形的性质和判定，求出△ADE ∽△ABC 是解此题的关键．23. 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，点F 在边AB 上，BC 2=BF•BA ，CF 与DE 相交于点G ．（1）求证：DF•AB=BC•DG ；（2）当点E 为AC 中点时，求证：2DF•EG=AF•DG ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由BC 2=BF•BA ，∠ABC=∠CBF 可判断△BAC ∽△BCF ，再由DE ∥BC 可判断BCF DGF ∽，所以DGF BAC ∽，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作AH ∥BC 交CF 的延长线于H ，如图，易得AH ∥DE ，由点E 为AC 的中点得AH=2EG ，再利用AH ∥DG 可判定AHF DGF ∽，则根据相似三角形的性质得AH AF DG DF=，然后利用等线段代换即可． 【详解】证明：（1）∵BC 2=BF•BA ，∴BC ：BF=BA ：BC ，而∠ABC=∠CBF ，∴BAC BCF ∽，∵DE ∥BC ，∴BCF DGF ∽，∴DGF BAC ∴∽，∴DF ：BC=DG ：BA ，∴DF•AB=BC•DG ；（2）作AH ∥BC 交CF 的延长线于H ，如图，∵DE ∥BC ，∴AH ∥DE ，∵点E 为AC 的中点，EG ∴为CAH 的中位线，∴AH=2EG ，∵AH ∥DG ，∴AHF DGF ∴∽， ∴AH AF DG DF=， ∴2EG AF DG DF =， 即2DF•EG=AF•DG ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．24. 在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．（1）求PD的长；（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝6，求CE的长．【答案】（1）3；（2）76．【解析】【分析】（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．利用勾股定理求出DM，再证明PD AD==2PM AM即可解决问题；（2）由△AMP∽△FDE，推出PM AM=DE DF，即可解决问题；【详解】解：（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠PAD ＝∠PAB ＝45°， ∵PK ⊥AD ，PH ⊥AB ，∴PK ＝PH ， ∴APD APM 1AD FK S PD AD 2===1S PM AMAM PH 2⋅⋅⋅⋅， ∴AB ＝AD ＝2，AM ＝BM ＝1， ∴DM∴PD PM＝2， ∴PD＝233， （2）∵PF＝PD，DM∴DF PM ∵DE ∥AM ，∴∠AMP ＝∠EDF ，∵∠DFE ＝∠MAP ＝45°， ∴△AMP ∽△FDE ， ∴PM AM =DE DF，∴13=1DE ，∴DE ＝56， ∴EC ＝2﹣56＝76． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法探究线段之间的关系，属于中考常考题型．25. 在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF BC ，交BE 的延长线于点F ，易得AP PD的值为 ； （2）如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求AP PD的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．【答案】（1）32；（2）23；（3）6 【解析】【分析】（1）易证△AEF ≌△CEB ，则有AF=BC ．设CD=k ，则DB=2k ，AF=BC=3k ，由AF ∥BC 可得△APF ∽△DPB ，然后根据相似三角形的性质就可求出AP PD的值；（2）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k ，DB=DC+BC=3k ．易证△AEF ≌△CEB ，则有EF=BE ，AF=BC=2k ．易证△AFP ∽△DBP ，然后根据相似三角形的性质就可求出AP PD的值； （3）当CD=2时，可依次求出BC 、AC 、EC 、EB 、EF 、BF 的值，然后根据FP BP的值求出BFBP的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴32 PA AFPD BD==，故答案是：32；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF 和△CEB 中，123F AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△CEB ，∴EF=BE ，AF=BC=2k ．∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP ， ∴2233PA FP AF k PD BP BD k ====； （3）当CD=2时，BC=4，∵AC=6，∴EC=AE=3，∴EB= 5=∴EF=BE=5，BF=10． ∵23FP BP =， 53BF BP ∴=， ∴BP=35BF=35×10=6． 故答案为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键． 26. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DH 丄AB 于H ，交AO 于G ，连接OH ．（1）求证：AG •GO ＝HG •GD ；（2）若AC ＝8，BD ＝6，求DG 的长．【答案】（1）见解析；（2）DG ＝154【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，由于DH ⊥AB 于H ，于是得到∠DHA=∠DOG=90°，推出△AGH ∽△DGO ，根据相似三角形的性质得到=AG HG DG OG ，于是得到结论；（2）根据菱形的性质得到AO=CO=4，BO=DO=3，根据勾股定理得到AB=AD=，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∵DH ⊥AB ，∴∠AOD ＝∠AHD ＝90°，∵∠AGH ＝∠DGO ，∴△AGH ∽△DGO ， ∴=AG HG DG OG∴AG •GO ＝HG •GD ；（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，∴OA ＝12AC ＝4，OB ＝12DB ＝3，∴AB ＝5，由（1）△AGH ∽△DGO 得∠GAH ＝∠GDO∵∠AOB ＝∠DOG ＝90°，∴=AO AB DO DG， ∴453=DG， 解得：DG ＝154. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．27. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC ＝90°．（1）求证：△ADE ∽△BEC ．（2）若AD ＝1，BC ＝3，AE ＝2，求EB 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）32． 【解析】 【分析】（1）由AD ∥BC 、AB ⊥BC 可得出∠A ＝∠B ＝90°，由等角的余角相等可得出∠ADE ＝∠BEC ，进而即可证出△ADE ∽△BEC ；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°．∵∠DEC ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠ADE ＝∠BEC ，（2）解：∵△ADE ∽△BEC ， ∴AD AE =BE BC， 即12=BE 3， ∴BE ＝32．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE ∽△BEC ；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度．28. 如图1，设D 为锐角（ABC 内一点，（ADB=（ACB+90°（（1）求证：（CAD+（CBD=90°（（2）如图2，过点B 作BE（BD（BE=BD ，连接EC ，若AC•BD=AD•BC（ （求证：（ACD（（BCE（（求AB CD AC BD⋅⋅的值．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②AB CD AC BD⋅⋅ 【解析】【分析】（1）如图1，延长CD 交AB 于E（根据三角形外角的性质得到∠ADE=∠CAD+∠ACD（∠BDE=∠CBD+∠BCD（结合已知条件∠ADB=∠ACB+90°（即可证明.（2（①∠CAD+∠CBD=90°（∠CBD+∠CBE=90°（根据同角的余角相等即可得到∠CAD=∠CBE（根据AC•BD=AD•BC（BD=BE（即可得到,AC BC AD BE=根据相似三角形的判定方法即可判定△ACD ∽△BCE（②连接DE（根据BE ⊥BD（BE=BD（得到△BDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DE BD=分别判定△ACD ∽△BCE（△ACB ∽△DCE（根据相似三角形的性质得到,AB DE AC DC =则AB CD AB CD DE CD DE AC BD AC BD DC BD BD ⋅=⋅=⋅==⋅ 【详解】证明：（1）如图1，延长CD 交AB 于E（∵∠ADE=∠CAD+∠ACD（∠BDE=∠CBD+∠BCD（∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠CAD+∠CBD+∠ACB（∵∠ADB=∠ACB+90°（∴∠CAD+∠CBD=90°（（2（①如图2（∵∠CAD+∠CBD=90°（∠CBD+∠CBE=90°（∴∠CAD=∠CBE（∵AC•BD=AD•BC（BD=BE（ ∴,AC BC AD BE= ∴△ACD ∽△BCE（②如图2，连接DE（∵BE ⊥BD（BE=BD（∴△BDE 是等腰直角三角形，∴DE BD= ∵△ACD ∽△BCE（∴∠ACD=∠BCE（∴∠ACB=∠DCE（ ∵,AC CD BC CE= ∴△ACB ∽△DCE（ ∴,AB DE AC DC=∴AB CD AB CD DE CD DE AC BD AC BD DC BD BD ⋅=⋅=⋅==⋅【点睛】考查三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.29. 如图，在△ABC 中．AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，作DE ⊥AC 于E ，F 是AB 中点，连EF 交AD 于点G ．(1)求证：AD 2＝AB•AE ；(2)若AB ＝3，AE ＝2，求AD AG的值．【答案】(1)证明见解析；(2)74.【解析】【分析】（1）只要证明△DAE ∽△CAD ，可得,AD AE CA AD=推出AD 2=AB•AE ，即可解决问题；（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF ，再根据DF ∥AC ，可得332.24DF DG AE AG === 由此即可解决问题；【详解】(1)证明：∵AD ⊥BC 于D ，作DE ⊥AC 于E ，∴∠ADC ＝∠AED ＝90°，∵∠DAE ＝∠DAC ，∴△DAE ∽△CAD ， ∴,AD AE CA AD= ∴AD 2＝AC•AE ，∵AC ＝AB ，∴AD 2＝AB•AE ．(2)解：如图，连接DF ．∵AB ＝3，∠ADB ＝90°，BF ＝AF ， ∴13,22DF AB == ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴DF ∥AC ，∴332.24 DF DGAE AG===∴ADAG＝74．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．30. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E（（1）求证：AG=CG（（2）求证：AG2=GE·GF（【答案】（1）证明见解析；（2（证明见解析.【解析】【分析】（1（根据菱形的性质得到AB（CD（AD=CD（（ADB=（CDB，推出△ADG（（CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=（DCG，等量代换得到∠EAG=（F，求得△AEG（（FGA，即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，（AB（CD（AD=CD（（ADB=（CDB（在△ADG与△CDG中，AD CDADG CDGDG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,（（ADG（（CDG（SAS（（（AG=CG（（2（（（ADG（（CDG（AB（CD （（F=（FCD（（EAG=（GCD（（（EAG=（F （（AGE=（AGE（（（AEG（（FAG（（AG EG FG AG=,（AG2=GE•GF（【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．二、拓展提升31. 如图，在等腰三角形ABC中，点E、F、O分别是腰AB、AC及底BC边上任意一点，且∠EOF=∠B=∠C．求证：OE•FC=FO•OB．【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得到∠FOC=（OEB，得到△BOE（（CFO，根据相似三角形的性质证明．【详解】证明：∵∠EOC=∠EOF+∠FOC，∠EOC=∠B+∠BOE，∠EOF=∠B，∴∠FOC=∠OEB，又∠B=∠C，∴△BOE∽△CFO，OE OB OF FC=，∴OE•FC=FO•OB．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．32. 如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF．（2）若BE＝4，EC＝6，△DGF的面积为8，求▱ABCD的面积．。