绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷（山东）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =＜＜，则 A B =∪ （ ）A .}{23xx ＜≤B .}{23xx ≤≤C .}{14x x <≤D .}{14x x ＜＜ 2.2i=12i-+（ ）A .1B .1-C .iD .i -3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A .120种B .90种C .60种D .30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A .20︒B .40︒C .50︒D .90︒5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A .62%B .56%C .46%D .42%6.基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数()It 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln20.69≈）（ ） A .1.2天B .1.8天C .2.5天D .3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围 （ ） A .()2,6-B .(6,2)-C .(2,4)-D .(4,6)-8.若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-+∞D .[1,0][1,3]-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.已知曲线22:1C mx ny +=（ ）A .若0m n ＞＞，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B .若=0m n ＞，则C是圆，其半径为C .若0mn ＜，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D .若0m =，0n ＞，则C 是两条直线10.下图是函数() siny x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（ ）A .πsin(3x +）B .πsin(2)3x -毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无------------------效----------------C .πcos(26x +）D .5πcos(2)6x - 11.已知0a ＞，0b ＞，且1a b +=，则（ ）A .2212a b +≥B .122a b -＞C .22log log 2a b +-≥D12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，L ，n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p =====∑＞，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑（ ）A .若1n =，则()0HX =B .若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C .若1(1,2,,)ip i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大D .若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则()()H X H Y ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.C ：24y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 14.将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为________．15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3an 5t ODC ∠=，BH DG ∥，12 cm EF =， 2 cm DE =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________2cm ．16.已知直四棱柱1111–ABCD A B C D 的棱长均为2，60BAD ∠=︒．以1D径的球面与侧面11BCC B 的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在①ac ②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度（单位：3），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．21.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+． （1）当e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．-------------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________22.已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=＞＞的离心率为2，且过点()2,1A．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷（山东）数学答案解析一、选择题 1．【答案】C【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==，故选C ． 【考点】集合并集【考查能力】基本分析求解 2．【答案】D【解析】()()()()212251212125i i i ii i i i ----===-++-，故选D ． 【考点】复数除法【考查能力】分析求解 3．【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种．故选：C ．【考点】分步计数原理和组合数的计算【考查能力】运算求解 4．【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线．m 是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒，故选B ．【考点】中国古代数学文化，球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质5．【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．故选C ．【考点】事件的概率公式 6．【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t ee +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天．故选：B ． 【考点】指数型函数模型的应用 【考查能力】运算求解 7．【答案】A【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ．【考点】有关平面向量数量积的取值范围 【考查能力】运算求解 8．【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x ＞，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x ＜，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D ．【考点】函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式 【考查能力】分类讨论思想方法 二、选择题 9．【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n ＞＞，所以11m n＜， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选ACD ． 【考点】曲线方程的特征 【考查能力】运算求解 10．【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A ，当2536212x πππ+==时，1y =-，∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．而5cos 2cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选：BC ． 【考点】诱导公式变换【考查能力】运算求解11．【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭=+- ⎝≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+===- ⎪⎝⎭≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，所以，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD ． 【考点】不等式的性质 【考查能力】运算求解 12．【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确． 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⎡⋅+-⋅-⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误．对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确．对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）．()2222111log log m mi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅． ()()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m H Y p p p p p p p p p p p p -+-+=+⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m =＞，所以2111i i m i p p p +-+＞，所以222111log log i i m ip p p +-+＞，所以222111log log i i i i m i p p p p p +-⋅⋅+＞，所以()()H X H Y ＞，所以D 选项错误．故选：AC ．【考点】新定义“信息熵”的理解和运用 【考查能力】分析、思考和解决问题 三、填空题 13．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点FAB的方程为：1)y x -代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==，所以12116||||3|33AB x x =--= 解法二：10036640∆=-=＞，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=， 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示．12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【考点】抛物线焦点弦长 【考查能力】运算求解14．【答案】232n n -【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -．【考点】等比数列的通项公式和前n 项和公式 【考查能力】运算求解15．【答案】542π+【解析】设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=， 因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以2125=，解得r = 等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+．故答案为：542π+．【考点】三角函数在实际中应用 【考查能力】运算求解16．【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为60BAD ∠=︒，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以111D B C △为等边三角形，所以1DE =，111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111A B C D ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，1D E =||EP 所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E，因为||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ， 因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得FG π==． ． 【考点】直棱柱的结构特征，直线与平面垂直的判定 【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解四、解答题17．【答案】解法一：由sin 3sin AB可得：ab=不妨设(),0a b mm ==>， 则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =．选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯=1m ∴=，此时1c m ==．选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A =sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件c =矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+，∴()sin6A A C A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()1sin 2A A C A A +=⋅，∴sin A A =，∴tan A =，∴23A π=，∴6BC π==，若选①，ac =，∵a ==2=，∴1c =；若选②，sin 3c A =3=，c =;若选③，与条件c =矛盾． 【考点】正弦定理、余弦定理、三角恒等变换 【考查能力】化归与转化，运算求解 18．【答案】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得12,2a q ==，或1132,2a q ==（舍），所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100，则64651006b b b ====，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【考点】等比数列基本量的计算【考查能力】分析思考与解决问题的能力 19．【答案】（1）0.64 （2）答案见解析 （3）有【解析】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； （2（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈＞，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关．【考点】古典概型的概率公式 【考查能力】逻辑推理，运算求解 20．【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D =，所以l ⊥平面PDC ； （2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-，设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则cos ,=3n PB n PB n PB⋅=⋅＜＞根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>===，当且仅当1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD ． 【考点】线面平行的判定和性质【考查能力】推理论证，运算求解，抽象概括 21．【答案】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-．(1)1f e =+，∴切点坐标为()11e +,， ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--，即()12y e x =-+，∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --，∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--； （2）解法一：1()ln ln xf x ae x a -=-+，11()x f x ae x-'∴=-，且0a ＞．设()()g x f x ='，则121()0,x g x ae x -'=+＞∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=，∴()()11min f x f ==，∴()1f x ≥成立．当1a ＞时，11a＜ ，111a e -∴＜，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--＜， ∴存在唯一00x ＞，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '＜，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '＞，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+≥-++＞， ∴()1,f x ＞∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时，(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[1)+∞，． 解法二：()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-+=+≥，令()x g x e x =+，上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥，显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥，令()1h x lnx x =-+，则()111xh x x x-=-=' 在()0,1上()’0h x ＞，()h x 单调递增；在(1)+∞，上()0h x '＜，()h x 单调递减， ∴()()10max h x h ==，ln 01a a ≥，即≥，∴a 的取值范围是[1)+∞，． 【考点】导数几何意义【考查能力】综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想22．【答案】（1）由题意可得：222222411c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=． （2）设点()()1122,,,M x y N x y ．因为AM AN ⊥，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，如图1． 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++②，根据1122,y kx m y kx m =+=+，代入①整理可得： ()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=，将②代入，()()()22222264k 121401212m kmkm k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，∵()2,1A 不在直线MN 上，∴210k m +-≠， ∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，如图2．代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=，结合2211163x y +=，解得()1122,3x x ==舍，此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于AE 为定值，且ADE △为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE=． 由于()21,32,13,A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值．【考点】椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题 【考查能力】数形结合，化归与转化。
