高考数学填空压轴题专题复习学生版

专题02函数概念与基本初等函数Ι（选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国）已知函数222,1()11,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若对任意x ∈R ，()|2||1|0f x x k x ----≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A．1,[1,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C．11,,84⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．(,1][2,)-∞+∞ 2．（2021·全国高三专题练习）设min{,}m n 表示,m n 二者中较小的一个，已知函数2()814f x x x =++，()221,log 42()min x g x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=(0x >)，若1[5,](4)x a a ∀∈-≥-，2(0,)x ∃∈+∞，使得12()()f x g x =成立，则a 的最大值为A．－4B．－3C．－2D．03．（2021·和平·天津一中）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[]2,3B．[]1,3C．[]1,4D．[]2,44．（2021·河北·天津二中）已知函数01,()1,1.x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C．59,{1}44⎛⎤⎝⎦ D．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2021·全国高二课时练习）函数()()2,,x x a k a x a f x e x a a x ⎧----≤⎪=⎨>⎪-⎩，若(]0,x a ∃∈-∞，使得()1,x a ∀∈+∞都有()()10f x f x ≤，则实数k 的取值范围是A．(),1-∞B．[)1,+∞C．(],2-∞D．[)2,+∞6．（2021·奉新县第一中学）已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A．1(,[0,)2-∞-⋃+∞B．(0,)+∞C．1[,)2-+∞D．1[,0)2-7．（2021·全国高一专题练习）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00=f ；②()11()f x f x -=-；③1()32x f f x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（）A．116B．132C．164D．11288．（2021·全国高一专题练习）我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是（）A．若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =不一定成立B．若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上一定是增函数C．函数0,,()1,x Q g x x Q ∈⎧=⎨∉⎩在[0,)+∞上是“Ω函数”D．函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”9．（2021·全国）已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[0,)+∞上的2级2类周期函数，且当[0,2]x ∈时()2101()212x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，，，又函数21()2ln 2g x x x x m =-+++．若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，112]B．（﹣∞，132]C．[112+∞，）D．[132+∞，）10．（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，()1f x '>，则不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为A．(3,)+∞B．[3,)+∞C．(,3]-∞D．(,3)-∞11．（2021·重庆北碚·西南大学附中高三月考）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d,,,的大小关系为（）A．b a d c>>>B．b c a d>>>C．b a c d>>>D．a b d c>>>12．（2021·全国高一专题练习）已知函数32()log (31x f x x =+-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（）A．[]3,1-B．[]2,1-C．(]0,1D．[]0,113．（2021·黔西南州同源中学（文））设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>14．（2021·绥德中学高一月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()()()2122x xf x --=，若()f x 在[),1n n +上的最小值为23，则n =A．4B．5C．6D．715．（2021·新密市第一高级中学高二期末（文））已知函数()12019ln 112019x x a xf x a x -+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()g x 满足()()11g x g x -=+，且()()211log 255g f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2019g =A．2B．0C．1-D．2-二、多选题16．（2021·江苏鼓楼·高二期末）已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．m Z ∀∈，()30mf =C．函数()f x 的值域为[)0,+∞D．n Z ∃∈，()512019nf +=17．（2021·湖南岳阳·高三模拟预测）已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A．函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称B．不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>18．（2021·全国）1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x QD x x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A．()D x 是偶函数B．,(())1x R D D x ∀∈=C．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC ∆为正三角形19．（2021·湖南华容·）设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A．()1.10.9f -=B．函数()f x 为奇函数C．()()11f x f x +=+D．函数()f x 的值域为[)0,120．（2021·浙江）定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间[],a b 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B．1122⎡+⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+21．（2021·岳麓·湖南师大附中高二月考）德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为A．函数()f x 是偶函数B．1x ∀,2R x C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形22．（2021·汕头市第一中学）已知函数f (x )满足：当30x -≤<时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（）A．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<三、填空题23．（2021·全国高三专题练习）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________24．（2021·全国高三专题练习）已知函数1(31)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是____．25．（2021·江西上高二中高二月考（文））定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--，则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是______________.26．（2021·上海徐汇·位育中学）设()1f x x =-，4()g x x =-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈，使得12()()f x f x ++⋅⋅⋅+1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++成立，则正整数n 的最大值为________27．（2021·广东潮阳·）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.28．（2021·全国高一专题练习）下列说法中正确的是______.①函数32y x -=的定义域是{}0x x ≠；②方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <；③函数1lg1xy x-=+在定义域上为奇函数；④函数()log 252a y x =--(0a >，且1a ≠)恒过定点()3,2-；⑤若33x x--=，则33x x -+的值为2.。

三角函数填空压轴题1．（江苏三校联考）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫−+−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________．2．（湖南长沙市·长郡中学高三月考）已知函数()2sin()f x x h ωϕ=++的最小正周期为π，若()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M ，则M 的最小值为________． 3．（全国超级全能生联考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当(],0x ∈−∞时，()123x f x =+，设()sin h x x π=，若函数()()()g x f x h x =−，则()g x 4．（宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin 0A B C −=，则sin sin 2sin B CA−的取值范围为_________5．（河南信阳期末（理））在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________6．（浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若60BAC ︒∠=，D 为边BC 上一点，且1,:2:3AD BD DC c b ==，则23b c +的最小值为_________．7．（河南三门峡期末（理））已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）．8．（广东深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则A B C '''V 的面积最大值为_______．9．（北京石景山区·高三一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过1A 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2()y x R ωω=+∈，其中0x πω剟；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0．5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0．4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有04米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．①若6π=ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若6π=ω，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则x π=时，船底离海底的距离最大；④若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则3x时，船底离海底的距离最大．10．（山西临汾一模（理））对于一个函数()()y f x x D =∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得()12kx m f x kx m +≤≤+在x D ∈时恒成立，称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道．则下列函数在[)1,+∞内有一个宽度为1的通道的有______．（填序号即可）①()()1sin cos 2f x x =+；②()ln x f x x =；③()f x =；④()2cos 3f x x x =+．11．（江苏常州一模）若2cos 1x x +=，则5sin cos 2=63x x ππ⎛⎫⎛⎫−⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．12．（广西玉林模拟）函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线6x π=−，则ω的最小值为___________．13．（内蒙古呼和浩特一模（理））四边形ABCD 内接于圆O ，10AB CD ==，6AD =，60BCD ∠=︒，下面四个结论：①四边形ABCD 为梯形；②圆O 的直径为14；③ABD △的三边长度可以构成一个等差数列；④四边形ABCD 的面积为 其中正确结论的序号有___________．14．（甘肃高三一模（文））函数()cos 22f x x x =，x ∈R ，有下列命题： ①()y f x =的表达式可改写为2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移π个单位长度得到；④满足()f x ≤的x 的取值范围是3,124x k x k k ππππ⎧⎫−+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）15．（内蒙古呼和浩特一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．16．（中学生标准学术能力诊断性3月测试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D为边BC 上的一点，若6c =，b =sin 4BAD ∠=，cos 4BAC ∠=，则AD =__________．17．（甘肃兰州模拟（文））在ABC ∆中，D 为BC 中点，2,AB AD ==，且sin cos 2sin sin cos A AB C C=−+，则AC =________．18．（甘肃兰州模拟）在ABC 中，(2)0AB AC BC ⋅+=，1sin 3C =，则22sin sin A B −的值为______．19．（湖南长沙市·长郡中学高三二模）如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________．20．（黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______．21．（辽宁高三一模（理））关于函数()2sin sin 2f x x x =+有如下四个命题： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在[0,2]π内有3个极值点； ③()f x 在[0,2]π内有3个零点； ④()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中所有真命题的序号为___________．22．（广东揭阳一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，2222a b c =+，则ABC 的面积的最大值为_______________．23．（江西上饶一模（理））已知ABC 的外心为O ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+−=，则cos B 的最小值为_______．24．（内蒙古包头期末（理））已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，sin sin 14B C +=，则bc 的值为______． 25．（吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知函数()217cos 22sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x的单调递减区间为________．26．（张家口市宣化第一中学高三月考）函数()sin cos sin cos f x x x x x =++−的最小正周期T =___________． 27．（安徽皖江名校联盟2月联考）设点O 是ABC 外接圆的圆心，3AB =，且4AO BC =−⋅．则sin sin B C的值是___________．28．（安徽高三月考（文））关于函数cos 23()2x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的性质，下列表述正确的是①是周期函数，且最小正周期是π； ②是轴对称图形，且对称轴是直线,26k x k Z ππ=−∈； ③定义域是R ，值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④是中心对称图形，且对称中心是,1212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ⑤单调减区问是,63k k k Z πππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦． 29．（陕西咸阳一模（理））已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题： ①()f x 是偶函数； ②()f x 是以2π为周期的周期函数；③()f x 的图像关于2x π=对称； ④()f x ．其中真命题有________．30．（江西景德镇期末（理））已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，5a c ==，且227cos 25a b bc A ac −+=−，G 为ABC 的重心，则GA =________ 31．（安徽蚌埠二模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 0a C C b c +−−=，且2a =，则ABC 内切圆半径的最大值为___________．32．（安徽池州期末（理））已知在锐角ABC ，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的最小值为_____________．33．（江西新余期末（理））已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c，且221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++−=，则A =_______．34．（平罗中学高三期末（文））设函数()cos f x x x =−的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22−,； ③函数()f x 的单调递减区间是,233⎡⎤⎢⎥⎣⎦()；④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数． 其中正确的结论序号是___________________．（写出所有正确结论的序号）． 35．（浙江宁波模拟）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为2sin sin cos cos 21B C A A +=，则2a bc的最小值为______．36．（江苏扬州月考）几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为36o 的等腰三角形被称为“黄金三角形”．如图，已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成，且BC AC =．记阴影部分的面积为1S ，正五边形的面积为2S ，则12S S =_______．37．（广东中山期末）数列{}n a 满足：12a =，111n n a a −=−，①4a =_________；②若{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的通项公式，则此通项公式可以为n a =_________．（写出一个即可）38．（百校3月联考）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且2c =，6b =，D是AC 边上近A 点的三等分点，且2ABD CBD ∠=∠，则CBD ∠=_____；BC =______．。

2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(一)一、单选题1.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为4π3时，该裹蒸粽的高的最小值为( )A.4B.6C.8D.102.(2022·广东惠州·高三阶段练习)甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1､A2表示由甲罐取出的球是红球､白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B､C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”､“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是( )A.P B A1=1021 B.P C A2=47 C.P B =1942 D.P C =43843.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知直线ax-2by+14=0平分圆C：x2+y2-4x-2y-11= 0的面积，过圆外一点P a，b向圆做切线，切点为Q，则PQ的最小值为( )A.4B.5C.6D.74.(2022·广东广州·高三开学考试)设a=ln1.1，b=e0.1-1，c=tan0.1，d=0.4π，则( )A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b5.(2022·广东广州·高三开学考试)若空间中经过定点O的三个平面α，β，γ两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面δ和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线l的条数为m，所作平面δ的个数为n，则m+n=( )A.4B.8C.12D.166.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知a =e 0.05，b =ln1.12+1，c = 1.1，则( )A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b7.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于Q ，若OQ=14OF 2 ，则双曲线的离心率范围为( )A.1,2B.1,4C.2,2D.2,48.(2022·广东·高三阶段练习)设a =4-ln4e2，b =ln22，c =1e ，则( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <a <cD.b <c <a9.(2022·广东·高三阶段练习)定义在R 上的函数f x 满足f (-x )+f (x )=0,f (x )=f (2-x )；且当x ∈[0,1]时，f (x )=x 3-x 2+x ．则方程7f (x )-x +2=0所有的根之和为( )A.14B.12C.10D.810.(2022·广东·高三开学考试)设a =12e，b =ln 2，c =4-ln4e 2，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.a <c <bD.b <c <a11.(2022·广东·高三开学考试)已知f (x )=2x 2，数列a n 满足a 1=2，且对一切n ∈N *，有a n +1=f a n ，则( )A.a n 是等差数列 B.a n 是等比数列C.log 2a n 是等比数列D.log 2a n +1 是等比数列12.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知a =log 1.10.9，b =0.91.1，c =1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a13.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)有唯一零点，则a =()A.-12B.13C.12D.114.(2022·广东·高三阶段练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a =b =a ⋅b=2，且b -c ⋅3b -c =0，则c -a最小值为( )A.22+1B.33-3C.7-1D.23-215.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (2-x )+4f (2)，若函数y =f (x +1)的图象关于点(-1,0)对称，且f (1)=3，则f (2021)=( )A.6B.3C.0D.-316.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)对于定义在R 上的函数f x ，若存在正常数a 、b ，使得f x +a≤f x +b 对一切x ∈R 均成立，则称f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①f x =e x ；②f x试卷第1页，共50页=x ；③f x =sin x 2；④f x =x ⋅sin x .是“控制增长函数”的有( )个A.1 B.2 C.3 D.417.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，EF ⎳底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，EF =12AB =2,AE =23，则该刍甍的外接球的体积为( )A.642π3 B.32πC.643π3 D.642π18.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)若3x -3y >5-x -5-y ，则( )A.1x >1yB.x 3>y 3C.x >yD.ln x 2+1 >ln y 2+1二、多选题19.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，抛物线C 上的点M 1,m 到点F 的距离是2，P 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，则( )A.m =±2B.若直线AB 过点F ，则OA ⋅OB=-3C.若直线AB 过点F ，则PA PB =FAFB D.若直线AB 过点P ，则AF +BF >2PF20.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)若函数f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈(0,1]时，f x =ln x ，则( )A.f x 为偶函数B.f e =1C.f 4-1e=-1D.当x ∈[1,2)时，f (x )=-ln (2-x )21.(2022·广东惠州·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则( )A.M ，N ，B ，D 1四点共面B.异面直线PD 1与MN 所成角的余弦值为1010C.平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥P -MNB 的体积为1322.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知椭圆C ：x 216+y 29=1的左，右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆C上的动点(P 不在x 轴上)，则( )A.椭圆C 的焦点在x 轴上B.△PF 1F 2的周长为8+27C.|PF 1|的取值范围为94，4 D.tan ∠F 1PF 2的最大值为3723.(2022·广东广州·高三开学考试)若f x =sin x +cos x ，则下列说法正确的有( )A.f x 的最小正周期是πB.方程x =-π2是f x 的一条对称轴C.f x 的值域为1,2D.∃a ，b >0，对∀x ∈R 都满足f x +a +f a -x =2b ，(a ，b 是实常数)24.(2022·广东广州·高三开学考试)已知抛物线y 2=2px 上的四点A 2,2 ，B ，C ，P ，直线AB ，AC 是圆M :x -22+y 2=1的两条切线，直线PQ 、PR 与圆M 分别切于点Q 、R ，则下列说法正确的有( )A.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =-13B.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =13C.直线BC 的方程为x +2y +1=0D.直线BC 的方程为3x +6y +4=025.(2022·广东广州·高三开学考试)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ，y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x ⋅f y ，则下列说法正确的有( )A.f 0 =1 B.f x 必为奇函数C.f x +f 0 ≥0D.若f 1 =12，则2023n =1f n =12 26.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数f (x )=cos2πxx 2-2x +3，则下列说法正确的是( )A.f (x )是周期函数B.f (x )满足f (2-x )=f (x )C.f (x )>-12D.f (x )≥k 在R 上有解，则k 的最大值是1227.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2DC =23，BC =2，AB ⊥BC ，M ，P ，N ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，将△ACD 以AC 为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是( )A.MN 和BC 不可能平行B.AB 和CD 有可能垂直C.若AB 和CD 所成角是60∘，则PQ =32D.若面ACD ⊥面ABC ，则三棱锥D -ABC 的外接球的表面积是28π试卷第1页，共50页28.(2022·广东·高三阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P ，Q 是双曲线C 上关于原点对称的两点(异于顶点)，直线PA 1，PA 2，QA 1的斜率分别为k PA 1，k PA 2，k QA 1，若k PA 1⋅k PA 2=34，则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的渐近线方程为y =±34xB.双曲线C 的离心率为72C.k PA 1⋅k QA 1为定值D.tan ∠A 1PA 2的取值范围为0,+∞ 29.(2022·广东·高三阶段练习)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A1B 1C 1D 1上的动点，则( )A.满足MP ⎳平面BDA 1的点P 的轨迹长度为2B.满足MP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为223C.不存在点P ，使得平面AMP 经过点BD.存在点P 满足PA +PM =530.(2022·广东·高三开学考试)直六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中，底面是边长为2的正六边形，侧棱AA 1=2，点O 是底面ABCDEF 的中心，则( )A.OF 1⎳平面A 1CD 1B.OF 1与BC 所成角的余弦值为24C.BO ⊥平面AA 1D 1DD.B 1F 与平面CC 1F 1F 所成角的正弦值为3431.(2022·广东·高三开学考试)已知直线l :y =ax -1，曲线C 1:f (x )=e x +1+1，曲线C 1关于直线y =x +1对称的曲线C 2所对应的函数为y =g (x )，则以下说法正确的是( )A.不论a 为何值，直线l 恒过定点(0,-1)；B.g (x )=ln x -1；C.若直线l 与曲线C 2相切，则a =1；D.若直线l 上有两个关于直线y =x +1对称的点在曲线C 1上，则0<a <1.32.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)下列命题中正确的是( )A.双曲线x 2-y 2=1与直线x +y -2=0有且只有一个公共点B.平面内满足PA -PB =2a a >0 的动点P 的轨迹为双曲线C.若方程x 24-t +y 2t -1=1表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4D.过给定圆上一定点A 作圆的动弦AB ，则弦AB 的中点P 的轨迹为椭圆33.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)达·芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为f (x )=a cosh xa(a >0)，双曲余弦函数cosh (x )=e x +e-x 2则以下正确的是( )A.f x 是奇函数B.f x 在-∞,0 上单调递减C.∀x ∈R ，f x ≥aD.∃a ∈0,+∞ ，f x ≥x 234.(2022·广东·高三阶段练习)设a 与b 是两个不共线向量，关于向量a +λb ，λ-1 a +2λb ，-b -2a ，则下列结论中正确的是( )A.当λ>1时，向量a +λb ，λ-1 a+2λb 不可能共线B.当λ>-3时，向量a +λb ，-b -2a可能出现共线情况C.若a ⋅b =0，且a ,b 为单位向量，则当λ>-3时，向量λ-1 a +2λb ，-b -2a可能出现垂直情况D.当λ=2时，向量a-λb 与-22b -a 平行35.(2022·广东·高三阶段练习)已知函数f x =x -2 +1，g x =kx ，若方程f x =g x 有两个不相等的实根，则实数k 的取值可以是( )A.43B.34C.45D.136.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =sin cos x +cos sin x ，下列关于该函数结论正确的是( )A.f x 的图象关于直线x =π2对称B.f x 的一个周期是2πC.f x 的最大值为2D.f x 是区间0,π2上的减函数37.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数f (x )=4i =1sin [(2i -1)x ]2i -1的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则( )A.函数f (x )为周期函数，且最小正周期为πB.函数f (x )的图象关于点(2π,0)对称C.函数f (x )的图象关于直线x =π2对称D.函数f (x )的导函数f (x )的最大值为438.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x )=e -x (x -1)．则下列结论正确的是( )A.当x <0时，f (x )=e x (x +1)试卷第1页，共50页B.函数f(x)有两个零点C.若方程f(x)=m有三个解，则实数m的取值范围是f(-2)<m<f(2)D.∀x1,x2∈R,f x1-f x2max=239.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图(n)中每个正六边形的边长是图n-1中每个正六边形的边长的12．记图(n)中所有正六边形的边长之和为a n，则下列说法正确的是( )A.图(4)中共有294个正六边形B.a4=10294C.a n是一个递增的等比数列D.记S n为数列a n的前n项和，则对任意的n∈N*且n≥2，都有a n>S n-1三、填空题40.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使得∠F1PF2=23π，则该椭圆离心率的取值范围是________．41.(2022·广东广州·高三开学考试)折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕(线段)将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm.42.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数f(x)的导函数f (x)满足：f (x)-f(x)=e2x，且f(0)=1，当x∈0,+∞时，x(f(x)-a)≥1+ln x恒成立，则实数a的取值范围是______________．43.(2022·广东·高三阶段练习)若不等式a x+1e x-x<0有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．44.(2022·广东·高三阶段练习)已知⊙C：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为____．45.(2022·广东·高三开学考试)已知双曲线C:x24-y23=1，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，M是双曲线C右支上一点，l是∠F1MF2的平分线，过F2作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为_______．46.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，B，C，已知sin2A+sin2C=sin2B+sin A sin C，若△ABC的面积为334，则a+c的最小值为__________．47.(2022·广东·高三阶段练习)已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_____．48.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设f x =ln x,0<x≤2f4-x,2<x<4，若方程f x =m有四个不相等的实根x i i =1,2,3,4 ，则x 1+x 2 2+x 23+x 24的取值范围为___________.49.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)已知F 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3FA =AB ，则双曲线C 的渐近线的方程为______．四、双空题50.(2022·广东惠州·高三阶段练习)已知抛物线方程y 2=8x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF与抛物线的交点，定义：d P =PFFQ.已知点P -2,82 ，则d P =___________；设点P -2,t t >0 ，若4d P -PF-k >0恒成立，则k 的取值范围为___________.51.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)甲射击一次,中靶概率是P 1,乙射击一次,中靶概率是P 2,已知1P 1,1P 2是方程x 2-5x +6=0的根,且P 1满足方程x 2-x +14=0.则甲射击一次,不中靶概率为_____;乙射击一次,不中靶概率为_____.52.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)若f x =ln a +11-x+b 是奇函数，则a =_____，b =______．试卷第1页，共50页。

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编051.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f x =5e x+1,x<0x2-6x+8,x≥0，g(x)=x2-ax+4，若y=g f x有6个零点，则a的取值范围为()A.4,+∞B.4,17 2C.4,5D.203,172∪4,52.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=1-f(1-x)，若函数y=4x4x+2与函数y=f(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x2025,y2025)，则2025i=1(x i+y i)=()A.0B.20252C.2025 D.607523.(山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知数列a n满足：a1=1，点n,a n+a n+1在函数y=kx+1的图象上，其中k为常数k≠0，且a1,a2,a4成等比数列，则k的值为()A.2B.3C.4D.54.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =e x-a-a+1xx≥1，则使f x 有零点的一个充分条件是()A.a<-1B.-1<a<0C.0<a<1D.a>15.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f(x)=x2-2-x ln x，a= f(ln2)，b=f ln33，c=f1e ，则()A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c6.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)若x=2是函数f x = ax2+2x-2e x的极小值点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-1B.-∞,1C.-1,+∞D.1,+∞7.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x =sin6ωx+cos6ωx-1ω>0在0,π3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.32,3B.32,3C.3,92D.3,928.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知a，b为正数，若∀x>-b，有函数f x =x +b x -a ≥1，则1a +8b的最小值为()A.9+22B.9+42C.9D.639.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且P A =AB =2，侧棱P A ⊥底面ABCD ，若四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为12π，则该四棱锥的表面积为()A.8+43B.8+63C.6+43D.8+4210.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f x =e x -xa-b ，当实数a >0时，对于x ∈R 都有f (x )≥0恒成立，则a 2b 的最大值为()A.-1e 2B.1e 2C.-2e 2D.2e 211.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数f (x )=e 2x -2ae x -4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f (f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是()A.0,12B.(0,1]C.12,+∞ D.(1,+∞)12.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知ω>0，函数f x =sin ωx 与g x =cos ωx 的图象在π,2π 上最多有两个公共点，则ω的取值范围为()A.0,14∪54,178 B.0,54∪94,178C.0,178 ∪94,218D.0,178∪94,5213.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=e x -3-e 3-x +x ，则满足f (2m -2)+f (m +1)>6的m 的取值范围是()A.(3,+∞)B.32,+∞C.13,+∞D.73,+∞14.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-ax +2a ,x <-11-ln (x +2),x ≥-1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[-2,+∞)D.[-2,0]15.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)定义x 为不超过x 的最大整数，区间a ,b (或(a ,b ),[a ,b ),(a ,b ])的长度记为b -a ．若关于x 的不等式k [x ]>2[x ]-6 的解集对应区间的长度为2，则实数k 的取值范围为()A.0,45B.12,45C.12,1D.45,116.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为()A.313B.15C.14D.41317.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)对于x>0，e2λx-1λln x≥0恒成立，则正数λ的范围是()A.λ≥1e B.λ≥12eC.λ≥2eD.λ≥e18.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =xe3x-ln x-x-a x，若对任意的x>0，f x ≥1恒成立，则实数a的取值范围为()A.-3,3B.-2,2C.-4,4D.-1,119.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)函数f x =sin x-cos x cos5x2+π4在区间-π,2π上的所有零点之和为()A.πB.2πC.3πD.420.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知函数f x 的定义域为0,1，当x=0或x=1或x是无理数时，f x =0；当x=nm (n<m，m，n是互质的正整数)时，f x =1m．那么当a，b，a+b，ab都属于0,1时，下列选项恒成立的是()A.f a+b≤f a +f b B.f a+b≥f a ⋅f bC.f ab≥f a +f b D.f ab≥f a ⋅f b21.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q，使得△PF1Q为正三角形，且OQ⊥F1P，则C的离心率为()A.2B.1+2C.3D.1+322.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知x0为函数f(x)=x2e x+e2ln x-2e2的零点，则x0+ln x0=()A.1B.2C.3D.423.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab ,a =b +1 个小球，第二层有a +1 b +1 个小球，第三层有a +2 b +2 个小球.....依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.424.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PD =2,∠APD =π4,∠BAD =π3，则三棱锥P -OCD 的外接球的体积为()A.423π B.823π C.1623π D.6423π25.(多选题)(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f (x )=(x -1)ln x -ax -a (a ≠0)在区间(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列选项正确的是()A.a 的取值范围是(0,1)B.x 1x 2=1C.x 1+1 x 2+1 >4D.ln x 1+2a <ln x 2<ln x 1+2a +4326.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)如图，有一列曲线P 0,P 1,P 2,⋯，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k +1(k =0,1,2,3,⋯)是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记S k 为曲线P k 所围成图形的面积，则()A.P 3的边数为128B.S 2=4027C.P n 的边数为3×4nD.S n =85-35⋅49n27.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x3-ax+2,a∈R，则()A.f x 的图象关于点0,2对称B.∃a∈R,f x 仅有一个极值点C.当a=1时，f x 图象的一条切线方程为2x-y+4=0D.当a<3时，f x 有唯一的零点28.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法错误的是()A.ab有最小值14B.8a+8b有最大值82C.1a +1b有最小值4 D.a2+b2有最小值2229.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)函数f x =x+1x,x<03xe x,x≥0 ，关于x的方程f2x -m f x=0m∈R，则下列正确的是()A.函数f x 的值域为RB.函数f x 的单调减区间为-∞,0,1,+∞C.当m=12时，则方程有4个不相等的实数根D.若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是3e ,+∞30.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知幂函数f x =9m2-3x m的图象过点n,-1 m，则()A.m=-23B.f x 为偶函数C.n=364D.不等式f a+1>f3-a的解集为-∞,131.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x及其导函数f x 的定义域均为R，记g x =f x ，若g x+2的图象关于直线x=-2对称，且f x-1+f x+1=1+f-x，则()A.g x 是偶函数B.f x 是奇函数C.3为y=f x 的一个周期D.2025i=1g(i)=032.(多选题)(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)若存在实数b使得方程x4+mx 3+nx +b =0有四个不等的实根，则mn 的值可能为()A.-2024B.2025C.0D.-633.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f (x )=ln (cos x )+sin 2x ，则()A.f (x )=f (-x )B.f (x )在-π2,-π4单调递增C.f (x )有最小值D.f (x )的最大值为1-ln2234.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l :y =x -1与C 相交于A ，B 两点，则()A.p =2B.p =4C.AB =8D.FA ⋅FB=-435.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数φ(x )的定义域为R ，对于∀x ，y ∈R ，恒有φ(x +y )=φ(x )+φ(y )-t ，且当x >0时，φ(x )<t ，则下列命题正确的有()A.φ(0)=tB.φ(x )=φ(2t -x )C.φ(-2024)=2t -φ(2024)D.∀x ≠y ∈R ，(x -y )[φ(x )-φ(y )]<036.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，(3n +2)S n +1+(3n -1)S n -1=(6n +1)S n (n ∈N ，且n ≥2)，若a 1=12，a 2=15，则下列说法正确的是()A.a 5=114B.数列1a n为等差数列C.数列an a 2n +1中的最小项为12D.数列(-1)na n a n +1的前2n 项和T 2n 为18n 2+12n37.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知a >0,b >0，且2a +b =4，则()A.ab ≤1B.1a +2b≥2C.2a +b ≤22D.b 2a+4a ≥1238.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )与g (x )的导函数分别为f (x )与g (x )，且f (x ),g (x ),f (x ),g (x )的定义域均为R ，g (x )-f (6-x )=3，f (x )=g (x -2)，g (x +4)为奇函数，则()A.g (2)+g (6)=0B.f(x +4)为偶函数C.f (x )=f (x +8)D.2024k =1g (k )=0同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则()A.P A∪B=1 B.P B∪C=1325C.A与B相互独立D.B与C相互独立40.(多选题)(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)定义：设f x是函数f x 的导数，f x 是函数f x 的导数，若方程f x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y=f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f x =ax3+bx2+53ab≠0的对称中心为1,1，则下列说法中正确的有()A.a=13，b=-1B.f110+f210 +⋅⋅⋅+f1810 +f1910 的值是19C.函数f x 有三个零点D.过-1,13只可以作两条直线与y=f x 图象相切41.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为()A.BM⊥平面PCDB.P A⎳平面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为18πD.四棱锥M-ABCD的体积为1242.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)某学习小组用函数图象：C1:y=4+-x2+4x，C2:y=4+-x2-4x和抛物线C3:x2=2py部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C3焦点F的直线l交C3(包含边界点)于A，B两点，P是C1或C2上的动点，下列说法正确的是()A.抛物线C3的方程为C3:x2=4yB.|PB|+|FB|的最小值为4C.S△P AB的最大值为h34=352 D.若P在C1上，则P A ⋅PB 的最小值为-443.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2AA 1，点M 是棱DD 1上的动点(不含端点)，则()A.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都垂直B.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都相交C.有且仅有一个点M 满足△MAC 和△MB 1D 1的面积相等D.有且仅有一个点M 满足平面MAC ⊥平面MB 1D 144.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知P x 0,y 0 是曲线C :x 3+y 3=y -x 上的一点，则下列选项中正确的是()A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意x 0∈R ，直线x =x 0与曲线C 有唯一交点PC.对任意y 0∈-1,1 ，恒有x 0 <12D.曲线C 在-1≤y ≤1的部分与y 轴围成图形的面积小于π445.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中AB =4，M ，N ，D ，Q 分别为棱AB ,AC ,B 1C 1,AA 1的中点，DQ ⊥QM ，则以下结论正确的是()A.B 1C 1⎳平面QMNB.AA 1=6C.点Q 到平面DMN 的距离为6D.三棱锥D -QMN 的外接球表面积为131π1846.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ‹FA ,FB›=-1，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1,k 2，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是()A.若AF +BF =4，则AF ⋅BF =-1B.直线PN 的倾斜角α≥π4C.若k 1+k 2=2，则直线AB 的方程为x -y +1=047.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左右焦点，点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=12上的动点，下列说法正确的是()A.三角形AF1F2的周长是12B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为x2-y2=8C.若QF1+QF2=8，则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点，则PF2+PQ的最小值是5+32248.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知增函数f x的定义域为正整数集，f x 的取值也为正整数，且满足f f n=2n+1,n∈N*.下列说法正确的是()A.f1 =2B.f4 =6C.f2025=2536 D.对任意正整数n，都有f2n=3⋅2n-149.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷三次(各次抛掷结果相互独立)，其向上的点数依次为a1,a2, a3，则事件“a1-a2+a2-a3+a3-a1=6”发生的概率为.50.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI,PIJK,PKLG构成，∠GPI=∠IPK=∠KPG=θ≈109°28 ，设BC=1，则上顶的面积为.(参考数据：cosθ=-13,tanθ2=2)51.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x ln x，则f x 的最小值为；设函数g x =x2-af x ，若g x 在0,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是.52.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =3x ,0≤x ≤1,ln x ,x >1, 若存在实数x 1,x 2满足0≤x 1<x 2，且f x 1 =f x 2 ，则x 2-6x 1的取值范围为.53.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +2 -2为奇函数，f 3x +1 为偶函数，f 1 =0，则2024k =1f (k )=.54.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知a >0且a ≠1，函数f x =2x ,x ≥1a x,x <1 ，若关于x 的方程f 2x -5f x +6=0恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是．55.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知三棱锥A -BCD 的四个顶点都在球O 的球面上，若AB =26,CD =23，球O 的半径为7，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为．56.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =log 3(3sin x +9sin 2x +1)+1，则f (m -2)+f 2-m =．57.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)函数f x =8ln sin x +sin 22x 在区间0,π2上的零点个数为个．58.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知平面向量a=(2,1)，b 为单位向量，且(a +2b )⊥(a -b )，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为．59.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=2，且a n +1=a n +a n +2，则a 2029=60.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知不等式a +2ln x -2x2≤e x-1x恒成立，则实数a 的取值范围为．61.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)若函数f (x )=e xx 2+bx +1在x =2时取得极小值，则f (x )的极大值为．62.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=m x ,g (x )=3+ln x ，若存在两条不同的直线与曲线y =f (x )和y =g (x )均相切，则实数m 的取值范围为.63.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)已知样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6的平均数为3，方差为4，样本y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的平均数为8，方差为2，则新样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6,y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的方差为.1164.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)在△ABC 中，AB ⋅CB -AC ⋅BC =-12BC 2，则tan B -C 的最大值为.65.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知数列a n 的通项公式是a n =2n -1，记b m 为a n 在区间m ,2m m ∈N ,m >0 内项的个数，则使得不等式b m +1-b m >2062成立的m 的最小值为.66.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =-x 2-2x +1,x <0log 2x ,x >0 ，若方程f x =a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，x 4⋅x 1+x 2 +16x 3⋅x 24的取值范围是..67.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知曲线y =e x 在x =1处的切线l 恰好与曲线y =a +ln x 相切，则实数a 的值为．68.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)数学老师在黑板上写上一个实数x 0，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数x 0乘以-2再加上3得到x 1，并将x 0擦掉后将x 1写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数x 0除以-2再减去3得到x 1，也将x 0擦掉后将x 1写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为x 2．现已知x 2>x 0的概率为0.5，则实数x 0的取值范围是．69.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始)，然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7；四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15；四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40=108；现将所有由1，2，3组成的4位(如：1231，3211)四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为．70.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)一、单选题1.(2022·广东佛山·高三阶段练习)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45° ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=( )A.4-73B.4+73C.4+75D.4-752.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，则由1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5这5个数据组成的新的一组数据的方差是( )A.4B.6C.325D.3653.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S nn+2n -1 ，则数列1S n +3n 的前10项和是( )A.25B.920C.511D.10114.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙=2，则V 甲V 乙=( )A.5B.22C.10D.51045.(2022·广东深圳·高三阶段练习)如图，双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，过F 1，F 2作圆O ：x 2+y 2=a 2的切线，四条切线围成的四边形F 1AF 2B 的面积为833，则双曲线的方程为( )A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1C.x 22-y 22=1D.2x 23-2y 25=16.(2022·广东深圳·高三阶段练习)设函数f x =1-ax ,x <a ,x 2-4x +3,x ≥a . 若f x 存在最小值，则a 的取值范围为( )A.-2,2B.0,2C.-2,2 ∪2,+∞D.0,2 ∪2,+∞7.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin C =23sin B sin A ，b =λa ，则实数λ的最小值是( )A.323 B.32+3 C.2-3D.2+38.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xyz的最大值为( )A.0B.2C.1D.39.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)函数f x =x 2+axa >0 在区间a ,a +1 上有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1B.a >1C.1<a <4D.a >410.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)已知符号函数sgn x =1,x >00,x =0-1,x <0，则函数f x =sgn ln x -ln x的零点个数为( )A.1B.2C.3D.411.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)已知函数f x =lg x +x 2+1 -22x+1，则不等式f 2x +1 +f x>-2的解集为( )A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13D.-23,100 12.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)设定义域为R 的函数f (x )={5|x -1-1,x ≥0,x 2+4x +4,x <0,若关于x 的方程f 2(x )-(2m +1)f (x )+m 2=0有7个不同的实数解，则m =().A.2B.4或6C.2或6D.613.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f (x )=(x -3)e x ，若经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的直线有三条，则( )A.-3<a <-eB.a >-eC.a <-3D.a <-3或a >-e 14.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316B.12或3316C.2D.1215.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =( )A.14B.15C.16D.1716.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，0)B.0,12C.(0,1)D.(0，+∞)17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 满足：f x 为奇函数，f x +1 为偶函数，当0≤x ≤1时，f x =2x -1，则f log 22023 =( )试卷第2页，共38页A.-9991024B.-252048C.-10242023D.-51299918.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a 2x +1 e x ，则“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件19.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设函数f x 的定义域为R ，且f x -1是奇函数，当0≤x ≤2时，f x =4x -x 2+1；当x >2时，f x =2x -4 +1．当k 变化时，方程f x -kx -1=0的所有根从小到大记为x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ，则f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为( )A.1,3B.1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9二、多选题20.(2022·广东佛山·高三阶段练习)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，⋯，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，⋯，则下列说法中正确的是( )A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数列”的第99项为3×297+410C.“提丢斯数列”的前31项和为3×23010+12110D.“提丢斯数列”中，不超过300的有11项21.(2022·广东佛山·高三阶段练习)若a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，则( )A.|ab |>2B.|a +b |≤22C.log 2|a |+log 2|b |≤1D.1|a |+1|b |<122.(2022·广东佛山·高三阶段练习)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则( )A.三人选择社团一样的概率为19B.三人选择社团各不相同的概率为89C.至少有两人选择篮球社的概率为727D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为5723.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项正确的是( )A.D 1D ⊥AFB.直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010C.三棱锥G -AEF 的体积为13D.存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE24.(2022·广东深圳·高三阶段练习)Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用F n 表示.如F 3 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则( )A.数列F n 都有奇数个项B.6级Farey 数列F 6 中，中间项为12C.6级Farey 数列F 6 共有11项 D.6级Farey 数列F 6 各项的和为13225.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知函数f x =e x x 2-3x +3 ，则( )A.函数f x 在0,1 上单调递减B.函数f x 恰有一个零点C.当且仅当e <m <3时，方程f x =m 恰有三个实根D.若当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则t 的最大值为126.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是( )A.圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB.圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC.圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD.圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π27.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为x -2y =0，双曲线的左焦点在直线x +y +5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2的取值可能为( )A.34B.1C.43D.228.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)若f (x )图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是( )A.0B.-12020C.-1eD.-1202329.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)若函数f x ，g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且f x +g x =sin x +cos x2，则( )A.f x =cos2xB.g x =sin2xC.f g x <g f xD.f g x >g f x30.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)定义一：关于一个函数f x x ∈D ，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使得在x ∈D 时，kx +m 1≤f x ≤kx +m 2恒成立，则称函数f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数f x ，关于任意给定的正数ε，都存在一个实数x 0，使得函数f x 在x 0,+∞ 内有一个宽度为ε的通道，则称f x 在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函试卷第2页，共38页数为( )A.f x =ln xB.f x =sin xx C.f x =x2-1 D.f x =e-x31.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)对∀x∈R，x 表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=x 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是( )A.∀x∈R，x<x +1B.y=x ，x∈R的奇函数C.函数y=x-x x∈R的值域为0,1D.∀x,y∈R,x +y ≤x+y恒成立32.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)函数f(x)=e x x+ln x-x，下列结论正确的是( )A.函数f(x)有且仅有一个零点B.x=1是函数f(x)的极值点C.若f(x)≥a恒成立，则a∈-∞,e-1D.若f x1=f x2且x1≠x2，则x1+x2>133.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N∗)的非负整数，它的概率分布列为：X0123⋯nP p0p1p2p3⋯p n其中p i(i=0,1,2,3,⋅⋅⋅,n)满足p i∈0,1，ni=0p i=1．E X 为随机变量X的期望．定义由X生成的函数f x =p0+p1x+p2x2+⋅⋅⋅+p n x n，g x 为函数f x 的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由生成的函数为f x ，则( )A.g0 =p1B.f1 <p0+1C.f2 =2254D.E X =g134.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)若6a=2，6b=3，则下列不等关系正确的有( )A.b a>1B.ab<14C.a2+b2<12D.1a b+13b>235.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )A.该椭圆的离心率为3-12B.该椭圆的离心率为2-3C.该椭圆的焦距为32-63D.该椭圆的焦距为23-136.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知函数f x =e x+e-x-cos2x，若f x1>f x2，则( )A.f x 为偶函数B.f x 在-∞,0上为增函数C.x21>x22D.e x1-x2>137.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知a =(cos x ,sin x ),b =(cos x ,3cos x )，函数f (x )=a ⋅b，则下列选项正确的是( )A.函数f (x )的值域为-12,32B.将函数y =sin x +12图像上各点横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π12个单位长度，可得函数f (x )图像C.函数f (x )是奇函数D.函数f (x )在区间[0,2π]内所有零点之和为14π338.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f x =2x +2,-2≤x ≤1ln x -1,1<x ≤e，若关于x 的方程f x =m 恰有两个不同解x 1,x 2x 1<x 2 ，则(x 2-x 1)f x 2 的取值可能是( )A.-3B.-1C.0D.239.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f x =e x 2x -1x -1，则下列结论正确的是( )A.不等式f x <0的解集为12,1 B.函数f x 在0,1 单调递减，在32,+∞ 单调递增C.函数f x 在定义域上有且仅有两个零点D.若关于x 的方程f x =m 有解，则实数m 的取值范围是-∞,1 ∪32,+∞ 40.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=xe x，过点(a ,b )作曲线f (x )的切线，下列说法正确的是( )A.当a =0，b =0时，有且仅有一条切线B.当a =0时，可作三条切线，则0<b <4e 2C.当a =2，b >0时，可作两条切线D.当0<a <2时，可作两条切线，则b 的取值范围为4-a e 2或aea 三、填空题41.(2022·广东佛山·高三阶段练习)设a =110,b =e 111-1,c =1110ln 1110，则a ，b ，c 大小关系是____________．42.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1+a 2+⋯+a n -1-a n =-2(n ≥2且n ∈N ∗)，且a 2=4，则a n =___________．43.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰三角形，∠ACB =90°，BD 交AC 于E ，AB =2，则AE =__________.试卷第2页，共38页44.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)如图，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2A 1B 1，且存在一个半径为r 的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R ，则Rr=__________．45.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知P 1，P 2是曲线C :y =2|ln x |上的两点，分别以P 1，P 2为切点作曲线C 的切线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，切线l 1交y 轴于A 点，切线l 2交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.46.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)对于集合A ，B ，定义集合A -B ={x |x ∈A 且x ∉B }. 己知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足a 1=4，b 1=2，b n +2=b n +1+2b n ，a 3=b 3+2．设数列{a n }和{b n }中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A -B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n }，则数列{c n }的前30项和S 30=_________.47.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)若函数f x =log a 2x 2+x a >0且a ≠1 在区间0，12内恒有f x >0，则f x 的单调递增区间为_________.48.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f x =ln x +1 ,x >012x +1,x ≤0，若m <n ，且f m =f n ，则n -m 的取值范围是________．49.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PB =4,AD =22，当AB ⋅PD 最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.50.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知F 是抛物线C :y 2=16x 的焦点，M 是C 上一点，FM的延长线交y 轴于点N ，若3FM =2MN，则FN =___________.51.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA 21+PA 2 2+⋯+PA 28的取值范围是_______．52.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-ax +2ln x (其中a 为常数)有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，若f (x 1)>mx 2恒成立，则实数m 的取值范围是______.53.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)若曲线y =a ln x +x 2a >0 的切线的倾斜角的取值范围是π3,π2 ，则a =______.四、双空题54.(2022·广东深圳·高三阶段练习)在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，动点P x ,y ,z 同时满足下列两个条件：①0≤x ,y ,z ≤1；②x 2+y 2+z 2>1.设所有动点P 构成的几何体Γ的表面积为S ，体积为V ，则V =______，S =______.55.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)设函数f x =2x -a ,x <1,4x -a x -2a ,x ≥1. ①若a =1，则f x 的最小值为________；②若f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．试卷第2页，共38页2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)一、单选题1.(2022·广东佛山·高三阶段练习)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45° ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=( )A.4-73B.4+73C.4+75D.4-75【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为a cos α-sin α ，故a 2cos α-sin α 2a 2=14，故1-2sin αcos α=14，即sin αcos α=38⇒sin αcos αsin 2α+cos 2α=38⇒tan αtan 2α+1=38⇒3tan 2α-8tan α+3=0，解得tan α=4-73或tan α=4+73.因为0°<α<45°，则0<tan α<1，故tan α=4-73.故选：A2.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，则由1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5这5个数据组成的新的一组数据的方差是( )A.4 B.6C.325D.365【答案】C【解析】因为一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，所以14(x 1+x 2+x 3+x 4)=3，14[(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2]=2，所以x 1+x 2+x 3+x 4=12，(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2=8，所以1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5的平均数为151+(2x 1-5)+(2x 2-5)+(2x 3-5)+(2x 4-5) =151+2(x 1+x 2+x 3+x 4)-20=15×(1+24-20)=1，所以1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5的方差为15(1-1)2+(2x 1-5-1)2+(2x 2-5-1)2+(2x 3-5-1)2+(2x 4-5-1)2 =15(2x 1-6)2+(2x 2-6)2+(2x 3-6)2+(2x 4-6)2=154(x 1-3)2+4(x 2-3)2+4(x 3-3)2+4(x 4-3)2=45(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2=45×8=325，故选：C 3.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S nn+2n -1 ，则数列1S n +3n 的前10项和是( )A.25B.920C.511D.1011【答案】C【解析】由a n=S nn+2n-1得S n=na n-2n n-1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=na n-n-1a n-1-4n-1，整理得a n-a n-1=4，所以a n是公差为4的等差数列，又因为a1=1，所以a n=4n-3，从而S n+3n=n a1+a n2+3n=2n2+2n=2n n+1，所以1S n+3n=12n n+1=121n-1n+1，所以数列1S n+3n的前10项和为12×1-12+12-13+⋅⋅⋅+110-111=12×1-111=511．故选：C4.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=2，则V甲V乙=( )A.5B.22C.10D.5104【答案】C【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，又2πr1l+2πr2l=2π，则r1+r2l=1，所以r1=23l,r2=13l，所以甲圆锥的高h1=l2-49l2=53l，乙圆锥的高h2=l2-19l2=223l，所以V甲V乙=13πr21h113πr22h2=49l2×53l19l2×223l=10.故选：C.5.(2022·广东深圳·高三阶段练习)如图，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1-2,0，F 22,0，过F1，F2作圆O：x2+y2=a2的切线，四条切线围成的四边形F1AF2B的面积为833，则双曲线的方程为( )A.x23-y2=1B.x2-y23=1C.x22-y22=1 D.2x23-2y25=1试卷第2页，共38页【答案】B【解析】如图，由题意c =a 2+b 2=2，因为四边形F 1AF 2B 的面积为833，所以直角三角形AOF 2面积为233，即12OF 2 OA =233，OA =233，AF 2 =OF 2 2+OA 2=433，12a ×AF 2 =233，a =1，b =3，双曲线的方程为x 2-y 23=1.故选：B .6.(2022·广东深圳·高三阶段练习)设函数f x =1-ax ,x <a ,x 2-4x +3,x ≥a . 若f x 存在最小值，则a 的取值范围为( )A.-2,2B.0,2C.-2,2 ∪2,+∞D.0,2 ∪2,+∞【答案】B【解析】若a =0时，f x =1,x <0,x 2-4x +3,x ≥0.，∴f x min =f 2 =-1；若a <0时，当x <a 时，f x =1-ax 单调递增，当x →-∞时，f x →-∞，故f x 没有最小值；若a >0时，x <a 时，f x =-ax +1单调递减，f x >f a =1-a 2，当x ≥a 时，f x min =-1,0<a <2 a 2-4a +3,a ≥2，若函数f x 有最小值，需1-a 2≥-10<a <2 或1-a 2≥a 2-4a +3a ≥2，解得0<a ≤2.故选：B7.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin C =23sin B sin A ，b =λa ，则实数λ的最小值是( )A.323 B.32+3 C.2-3D.2+3【答案】C【解析】由sin C =23sin B sin A ，可得c =23b sin A ，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，两式结合得：a 2=12b 2sin 2A +b 2-2b ×23b sin A cos A ，即a 2b 2=12sin 2A +1-23sin2A =7-6cos2A -23sin2A ，即a 2b2=7-43sin 2A +π3 ,A ∈(0,π)，则当A =7π12时，a 2b 2 max =7+43，则b 2a 2 min =17+43=7-43，故由λ=ba可得其最小值为7-43=2-3 ，故选：C8.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xyz的最大值为( )A.0 B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x -3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .9.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)函数f x =x 2+axa >0 在区间a ,a +1 上有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1 B.a >1C.1<a <4D.a >4【答案】A 【解析】∵f (x )=x 2+a x =x +ax(a >0)，∴f (x )=1-a x 2=x 2-ax 2=x +a x -a x 2，∴当0<x <a 时，f (x )<0，当x >a 时，f (x )>0，可知，f (x )在(0,a )上单调递减，在(a ,+∞)上单调递增，∴f (x )在x =a 处取得极小值，又∵在区间(a ,a +1)上有最小值，∴a <a <a +1，解得0<a <1．故选：A ．10.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)已知符号函数sgn x =1,x >00,x =0-1,x <0，则函数f x =sgn ln x -ln x的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】当ln x =0时x =1；当ln x >0时x >1；当ln x <0时0<x <1．∴sgn ln x =1,x >10,x =1-1,0<x <1．∴f x =sgn ln x -ln x =1-ln x ,x >1-ln x ,x =1-1-ln x ,0<x <1．当x >1时令f x =0，即1-ln x =0，解得x =e >1成立；当x =1时令f x =0，即-ln x =0，解得x =1成立；当0<x <1时令f x =0，即-1-ln x =0，解得x =1e∈0,1 成立．综上可得解f x =0得x =e 或x =1或x =1e．所以函数f x 的零点个数为3．故选：C11.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)已知函数f x =lg x +x 2+1 -22x+1，则不等式f 2x +1 +f x试卷第2页，共38页>-2的解集为( )A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13 D.-23,100 【答案】A【解析】由f x =lg x +x 2+1 -22x+1可知，x ∈R ，故f x +f -x =lg x +x 2+1 -22x +1+lg -x +x 2+1 -22-x+1=lg x +x 2+1 -x +x 2+1 -22x +1+2⋅2x2x+1=lg1-2=-2 ，即f x +1+f -x +1=0，令g (x )=f (x )+1 ，则g x +g -x =0，即g (x )=f (x )+1为奇函数，因为函数y =lg x +x 2+1 为R 上的单调增函数，y =22x +1为R 上的单调减函数故f x =lg x +x 2+1 -22x +1为单调增函数，则g (x )=f (x )+1也单调递增；不等式f 2x +1 +f x >-2，即f 2x +1 +1+f x +1>0，即g 2x +1 +g x >0,g 2x +1 >-g x =g (-x )，故2x +1>-x ,x >-13 ，即f 2x +1 +f x >-2解集为-13,+∞ ，故选:A12.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)设定义域为R 的函数f (x )={5|x -1-1,x ≥0,x 2+4x +4,x <0,若关于x 的方程f 2(x )-(2m +1)f (x )+m 2=0有7个不同的实数解，则m =().A.2B.4或6C.2或6D.6【答案】A 【解析】请在此输入详解！13.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f (x )=(x -3)e x ，若经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的直线有三条，则( )A.-3<a <-e B.a >-e C.a <-3 D.a <-3或a >-e【答案】A【解析】f x =x -2 e x ，设经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的切点为x 0,x 0-3 e x 0，则f x 0 =x 0-2 e x.又切线经过0,a ，故由题意x 0-3 e x-a x 0=x 0-2 e x 0有3个解.化简有a =x 0-3 e x 0-x 0x 0-2 e x 0，即a =-x 20+3x 0-3 e x 0有3个解.设g x =-x 2+3x -3 e x ，则g x =-x 2+x e x ，令g x =0有x =0或x =1，故当x ∈-∞,0 时，g x <0，g x 单调递减；当x ∈0,1 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈1,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.又g 0 =-3，g 1 =-e ，且g -1 =-7e>g 1 ，g 2 =-e 2<g 0 ，故要a=-x 20+3x 0-3 e x 0有3个解，则-3<a <-e .故选：A14.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316 B.12或3316C.2D.12【答案】C【解析】令t =x +1t ≥2 ，则x +1x 2+a =t t 2-2t +1+a =1t +1+a t-2，函数f x =x +1x 2+a 在1,+∞ 上的最大值为23且f (x )>0，即转化为g t =t +1+a t -2t ≥2 的最小值为32.g(t )=1-1+a t 2=t 2-(1+a )t 2，g (t )=0⇒t =1+a (负值舍去)，1+a ≤2，即0<a ≤3时，g (t )在[2,+∞)上单调递增，g (t )min =g 2 =1+a 2=32，解得a =2；当1+a >2，即a >3时，2≤t <1+a 时，g (t )<0，g (t )递减，t >1+a 时，g (t )>0，g (t )递增，g (t )min =g 1+a =21+a -2=32，解得a =3316<3，舍去．故a =2故选：C ．15.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =( )A.14B.15C.16D.17【答案】C【解析】如图，过点B 作BD 垂直准线x =-2于点D ，则由抛物线定义可知：|BF |=|BD |=3，设直线AB 为x =my +4， A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C -2,y C ，不妨设m >0，则y 1>0,y 2<0，所以x 2+2=3，解得：x 2=1，则y 22=8x 2=8，解得：y 2=-22，则B 1,-22 ，所以-22m +4=1，解得：m =324，则直线AB 为x =324y +4，所以当x =-2时，即324y +4=-2，解得：y C =-42，则C -2,-42 ，联立x =my +4与y 2=8x 得：y 2-8my -32=0，则y 1y 2=-32，所以y 1=82，其中S △BCF S △ACF =BC AC =y 2-y C y 1-y C =22122=16.故选：C16.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，0) B.0,12C.(0,1)D.(0，+∞)【答案】B【解析】函数f (x )=x (ln x -ax )，则f ′(x )=ln x -ax +x (1x-a )=ln x -2ax +1，令f ′(x )=ln x -2ax +1=0得ln x =2ax -1，试卷第2页，共38页函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，等价于f ′(x )=ln x -2ax +1有两个零点，等价于函数y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a =12时，直线y =2ax -1与y =ln x 的图象相切，由图可知，当0<a <12时，y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是(0，12)．故选B ．17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 满足：f x 为奇函数，f x +1 为偶函数，当0≤x ≤1时，f x =2x -1，则f log 22023 =( )A.-9991024B.-252048C.-10242023D.-512999【答案】A【解析】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f (-x +1)，所以f -x =f (x +2)，又f x 为奇函数，即f -x =-f (x )所以-f x =f x +2 ⇒f x +4 =-f x +2 =f x ，所以f x 的周期为4，f log 22023 =f log 22023-12 =f log 220234096 =-f log 240962023 =-f 2-log 240962023=-f log 220231024 =-2log 220231024-1 =-20231024-1=-9991024.故选：A .18.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a 2x +1 e x ，则“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】f (x )=x 2+(a 2+2)x +a 2+1 e x =(x +1)(x +a 2+1)e x .①当a =0时，f (x )=(x +1)2e x ≥0，故f (x )在R 上单调递增，f (x )无最小值.②当a ≠0时，令f (x )=0，得x =-1或x =-a 2-1.又-a 2-1<-1，故当x <-a 2-1时，f (x )>0，f (x )单调递增；当-a 2-1<x <-1时，f (x )<0，f (x )单调递减；当x >-1时，f (x )>0，f (x )单调递增.故f (x )在x =-1处取得极小值.综上，函数f (x )在x =-1处取得极小值⇔a ≠0.所以“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的充分不必要条件.故选：A .19.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设函数f x 的定义域为R ，且f x -1是奇函数，当0≤x ≤2时，f x =4x -x 2+1；当x >2时，f x =2x -4 +1．当k 变化时，方程f x -kx -1=0的所有根从小到大记为x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ，则f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为( )A.1,3 B.1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9【答案】C【解析】∵f x -1为奇函数，∴f x 图像关于点0,1 对称，由f x -kx -1=0得：f x =kx +1，则方程的根即为f x 与直线y =kx +1的交点，作出f x 图像如图所示，①当k ≥5-12-0，即k ≥2时，如图中y =k 1x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有5个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 5，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 5 =5f 0 =5；②当3-12-0≤k <5-12-0，即1≤k <2时，如图中y =k 2x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有7个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 7，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 7 =7f 0 =7；③当2-14-0<k <3-12-0，即14<k <1时，如图中y =k 3x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有5个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 5，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 5 =5f 0 =5；④当k =2-14-0=14时，如图中y =k 4x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有3个交点x 1,x 2,x 3，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +f x 3 =3f 0 =3；⑤当k <2-14-0，即k <14时，如图中y =k 5x +1和y =k 6x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有且仅有一个交点0,1 ，∴f x 1 =1.综上所述：f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为1,3,5,7 .故选：C .二、多选题20.(2022·广东佛山·高三阶段练习)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，⋯，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，⋯，则下列说法中正确的是( )A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数列”的第99项为3×297+410试卷第2页，共38页C.“提丢斯数列”的前31项和为3×23010+12110 D.“提丢斯数列”中，不超过300的有11项【答案】BCD【解析】对于选项A ，0.70.4≠10.7，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误；对于选项B ，设“提丢斯数列”为数列{a n }，当n ≥3时，a n =3⋅2n -2+410，所以a 99=3×297+410，故B 正确；对于选项C ，“提丢斯数列”的前31项和为0.4+0.7+310(21+22+⋯+229)+410×29=3×23010+12110，故C 正确；对于选项D ，由a n =3⋅2n -2+410≤300有：n ≤11，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D 正确.故选：BCD .21.(2022·广东佛山·高三阶段练习)若a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，则( )A.|ab |>2B.|a +b |≤22C.log 2|a |+log 2|b |≤1D.1|a |+1|b |<1【答案】BC【解析】对于A ，因为4=a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|ab |，所以|ab |≤2，当且仅当a =b =2时取等，故A 错误；对于B ，因为|a +b |≤22，即|a +b |2≤2，可看作部分圆x 2+y 2=4(xy ≠0)上的点(a ,b )到直线x +y =0的距离不大于2，因为圆心(0,0)在直线x +y =0上，半径为2，故|a +b |2≤2恒成立，故B 正确；对于C ，因为|ab |≤2，所以log 2|a |+log 2|b |=log 2|ab |≤log 22=1，故C 正确；对于D ，因为a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，令a =b =2，此时1|a |+1|b |=2>1，故D 错误.故选：BC .22.(2022·广东佛山·高三阶段练习)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则( )A.三人选择社团一样的概率为19B.三人选择社团各不相同的概率为89C.至少有两人选择篮球社的概率为727D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3×13 3=19，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为6×13 3=29，B 不正确；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为C 23C 12×13 3+13 3=727，C 正确； 对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，P (A )=727，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率P (AB )=C 12C 12×13 3+13 3=527，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为P (B |A )=P (AB )P (A )=57，D 正确.故选：ACD23.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC1、BB 1的中点，则下列选项正确的是( )A.D 1D ⊥AFB.直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010C.三棱锥G -AEF 的体积为13D.存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE【答案】BD【解析】对于A ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DD 1⎳AA 1，易知AA 1与AF 不垂直，故错误；对于B ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，取B 1C 1的中点H ，连接A 1H ,GH ，如下图，易知GH ⎳EF ，则∠A 1GH 为直线A 1G 与EF 夹角或其补角，∵AB =2，∴GH =EF =2，A 1H =A 1G =5，在△A 1GH 中，cos ∠A 1GH =A 1G 2+GH 2-A 1H 22⋅A 1G ⋅GH=1010，因此，直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010，故正确；对于C ，根据题意作图如下：易知三棱柱ABG -DCF 的体积V 1=14×2×2×2=2，试卷第2页，共38页三棱锥G -ABE 的体积V 2=13⋅S △ABE ⋅GB =13⋅12⋅AB ⋅BE ⋅GB =13，四棱锥F -AECD 的体积V 3=13⋅S 四边形AECD ⋅FC =13⋅S □ABCD -S △ABE ⋅FC =1，三棱锥G -AEF 的体积V =V 1-V 2-V 3=23，故错误；对于D ，连接D 1F ,D 1A ，作图如下：易知AD 1⎳EF ，则A ,E ,F ,D 1共面，∵A 1G ⎳D 1F ，则A 1G ,AF ,AE 共面，即存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE，故正确；故选：BD .24.(2022·广东深圳·高三阶段练习)Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用F n 表示.如F 3 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则( )A.数列F n 都有奇数个项B.6级Farey 数列F 6 中，中间项为12C.6级Farey 数列F 6 共有11项 D.6级Farey 数列F 6 各项的和为132【答案】BD【解析】1级Farey 数列F 1 各项为：01，11，A 错误；6级Farey 数列F 6 ：01，16，15，14，13，25，12，35，23，34，45，56，11，共有13项，中间项为12，各项的和为132，故B 正确，C 错误，D 正确.故选:BD .25.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知函数f x =e x x 2-3x +3 ，则( )A.函数f x 在0,1 上单调递减B.函数f x 恰有一个零点C.当且仅当e <m <3时，方程f x =m 恰有三个实根D.若当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则t 的最大值为1【答案】ACD【解析】函数f x =e x x 2-3x +3 =e x x -32 2+34>0，选项B 错误；f x =e x x x -1 ，x <0或x >1时，f x >0，0<x <1时，f x <0.如图，f x 在-∞,0 ，1,+∞ 单调递增，f x 在0,1 单调递减，选项A 正确；f 0 =3，f 1 =e ，当x 趋近正无穷时，f x 趋近正无穷，当x 趋近负无穷时，f x 趋近0，选项C 正确；如图，当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则一定有t ≥0，而f 2 =e 2>3，所以t (t ∈Z )的最大值为1，选项D 正确.故选：ACD .26.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是( )A.圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB.圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC.圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD.圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π【答案】BC【解析】如图，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆柱的外接球的半径为R ，由4r +2h =12，得2r +h =6，又2R =4r 2+h 2，0<r <3，圆柱的体积为V =πr 2h =πr 26-2r =2πr 23-r ，则V =6πr 2-r ，当0<r <2时，V >0，当r >2时，V <0，故函数V =2πr 23-r 在0,2 上单调递增，在2,3 上单调递减，所以r =2时，V 取最大值8π，所以0<V ≤8π，圆柱的外接球的表面积S =4πR 2=π4r 2+h 2 =π4r 2+6-2r 2 =4π2r 2-6r +9 ，函数S =4π2r 2-6r +9 在0,32 上单调递减，在32,3 上单调递增，所以r =32时，S 取最小值18π，所以18π≤S <36π.故选：BC .27.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为x -2y =0，双曲线的左焦点在直线x +y +5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2的取值可能为( )A.34B.1C.43D.2【答案】CD【解析】根据题意知：b a =12，c =5，故a =2，b =1，双曲线方程为x 24-y 2=1，则A -2,0 ，B 2,0 ，设P x 0,y 0 ，则x 024-y 02=1，x 0>0，y 0>0，k 1+k 2=y 0x 0+2+y 0x 0-2=2x 0y 0x02-4=x 02y 0，根据渐近线方程知：0<y 0x 0<12，故k 1+k 2=x02y 0>1.故选：CD .28.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)若f (x )图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情试卷第2页，共38页。

2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+q n-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n !q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0 !q=1.和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N*,k≤n，nk q=n !qk !q n-k!q(1)计算：53 2；(2)证明：对于任意k,n∈N*,k+1≤n，nk q=n-1k-1q+q kn-1kq(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，n+m+1 k+1q -nk+1q=∑mi=0q n-k+in+ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5 =2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(x i-x j)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得x i+1-x i i=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A，B；C，D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1，B1；C1，D1)= (A2，B2；C2，D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列，其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *．(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ，试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列，且a >2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n =b m ，求a 的值；(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ，且Δc n 为常数列，对满足m +n =2t ，m ≠n 的任意正整数m ,n ,t 都有c m ≠c n ，且不等式S m +S n >λS t 恒成立，求实数λ的最大值．5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列a n 的通项公式a n =3n -1，n ∈N +，通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ，设a n +b n 前n 项和为S n ．(1)求S n ；(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +，使得S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出所有的p ,q ,r ；若不存在，说明理由；(3)若e n =nS n2(3n-1)，n ∈N +，对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ，将数列k n 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到p n ，再将p n 的每一项都加上自身项数，最终得到c n ，证明：每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和．6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100，b n =12203-n,1≤n ≤5000,n >500，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1．≤S P k题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数f x =x s-1e x-1(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s>2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f x 在x=0处的n n∈N*阶导数都存在时，f x =f0 +f 0 x+f 02!x2+f3 03!x3+⋯+f n 0n!x n+⋯．注：f x 表示f x 的2阶导数，即为f x 的导数，f n x n≥3表示f x 的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较cos x与1-x22的大小，并给出证明；(3)设n∈N*，证明：nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2．10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n，且满足：f(0)=R(0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．(注：f (x)=f (x)，f (x)= f (x)，f(4)(x)=f (x)，f(5)(x)=f(4)(x)，⋯；f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=ax1+bx．(1)求实数a，b的值；(2)比较f x 与R(x)的大小；(3)若h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A ，B ．(1)当θ=π3时，①求证：A O⊥B F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；(2)是否存在θ0<θ<π2，使得折叠后△A B F2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θy 0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F (t )=[x (t )]2+[y (t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE 的长度.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f (ξ)=f x 2 -f x 1 x 2-x 1成立；(3)设a n =2n +1n2，n ∈N *，数列a n 的前n 项和为S n ．证明：S n >2ln (n +1)．。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(十)一、单选题1.(2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习)已知三棱锥P -ABC 三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA =PB =PC =6，M ､N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最小值为( )A.23-3B.43-6C.6-23D.232.(2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习)设函数f (x )=sin ωx -π4 (ω>0)，若f (x 1)-f (x 2) =2时，x 1-x 2 的最小值为π3，则( )A.函数f (x )的周期为π3B.将函数f (x )的图像向左平移π4个单位，得到的函数为奇函数C.当x ∈π6,π3 ，f (x )的值域为22,1 D.函数f (x )在区间[-π,π]上的零点个数共有6个3.(2022·广东·广州市南武中学高三阶段练习)已知函数f x =ln x -x e 2x +a 有两个零点，则a 的取值范围是( )A.-∞,1e 2 B.1e 2,+∞ C.-∞,1e D.1e ,+∞ 4.(2022·湖南·高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a 在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316 B.12或3316 C.2 D.125.(2022·湖南·高三阶段练习)某干燥塔的底面是半径为1的圆面O ，圆面有一个内接正方形ABCD 框架，在圆O 的劣弧BC 上有一点P ，现在从点P 出发，安装PA ,PB ,PC 三根热管，则三根热管的长度和的最大值为( )A.4B.23C.33D.266.(2022·湖南·高三阶段练习)设m 为正整数，(x +y )2m 的展开式中二项式系数的最大值为a ，(x +y )2m +1的展开式中的二项式系数的最大值为b .若15a =8b ，则m 的值为( )A.5B.6C.7D.87.(2022·湖南·高三阶段练习)已知函数f (x )=A cos ωx -3sin ωx (ω>0)的部分图象如图，y =f (x )的对称轴方程为x =5π6+k π4，k 为正整数，则将函数f (x )向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )，则g (0)=( )A.2B.-2C.-32D.-18.(2022·湖南·株洲市南方中学高三阶段练习)若a =ln 1-0.010.02，b =0.02sin0.01，c =0.01sin0.02，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b9.(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)已知函数f x =x 3+ax +b ，a 、b ∈R ．x 1、x 2∈m ,n 且满足f x 1 =f n ，f x 2 =f m ，对任意的x ∈m ,n 恒有f m ≤f x ≤f n ，则当a 、b 取不同的值时，( )A.n +2x 1与m -2x 2均为定值B.n -2x 1与m +2x 2均为定值C.n -2x 1与m -2x 2均为定值D.n +2x 1与m +2x 2均为定值10.(2022·湖南师大附中高三阶段练习)函数f (x )=sin (ωx +φ)ω>0,|φ|≤π2 ，已知-π6,0 为f (x )图象的一个对称中心，直线x =13π12为f (x )图象的一条对称轴，且f (x )在13π12,19π12 上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为( )A.125B.85C.165D.18511.(2022·湖南师大附中高三阶段练习)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e <1时，轨迹为椭圆；当e =1时，轨迹为抛物线；当e >1时，轨迹为双曲线.现有方程m x 2+y 2+2y +1 =x -2y +3 2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为( )A.0,1B.1,+∞C.0,5D.5,+∞12.(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是正方形DCC 1D 1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD =∠MPC ，则三棱锥P -BCD 的体积最大值是A.36B.24C.183D.12313.(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1．若|PQ |=PF 1 ，则双曲线C 的离心率为( )A.6-3B.5-22C.5+22D.1+2214.(2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习)已知点A ，B ，C 是函数y =2sin ωx +π3 ,ω>0的图象和函数y =2sin ωx -π6 ,ω>0图象的连续三个交点，若△ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围为( )A.π2,+∞ B.π4,+∞ C.0,π2 D.0,π415.(2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习)将曲线x +y x -2y +1 +1=0的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去(x 轴水平向右，y 轴竖直向上)，得到的图像最有可能为( )A. B.C. D.16.(2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习)若实数M 满足：对每个满足a n +1=a 2n -2的不为常数的数列a n ，存在k ∈N *，使得a k ≥M ，则M 的最大值为( )A.-1B.-1-52C.-1+52D.217.(2022·湖北孝感·高三阶段练习)已知拋物线C :y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，AB ⊥l 于点B ，若∠FAB =2π3，则BF =( )A.163 B.833 C.1633 D.8318.(2022·湖北孝感·高三阶段练习)已知a =e 0.01，b =ln1.01e ，c =2cos1.1，则( )A.b >a >cB.a >b >cC.a >c >bD.c >a >b19.(2022·山东·招远市第二中学高三阶段练习)在△ABG 中，已知BE =38BG ，AF =13AG ，AE 与BF 交于O ，则AO =( )A.27AB +13BGB.45AB +310BGC.47AB +314BGD.314AB +47BG 20.(2022·山东·招远市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =2cos x -sin2x ，则f x 的最小值是( )A.-323B.-5C.-325D.-3二、多选题21.(2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习)已知函数f x =x 3-3x ，下列说法中正确的是( )A.函数f x 在原点0,0 处的切线方程是3x +y =0B.-1是函数f x 的极大值点C.函数y =sin x +f x 在R 上有3个极值点D.函数y =sin x -f x 在R 上有3个零点22.(2022·广东·广州市南武中学高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则( )A.M ，N ，B ，D 1四点共面B.异面直线PD 1与MN 所成角的余弦值为1010C.平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥P -MNB 的体积为1323.(2022·广东·广州市南武中学高三阶段练习)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f (x )是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令x n =f (x n -1)(n =1，2，3，⋯)，若存在正整数k 使得x k =x 0，且当0<j <k 时，x j ≠x 0，则称x 0是f (x )的一个周期为k 的周期点.若f (x )=2x ，x <122(1-x )，x ≥12，下列各值是f (x )周期为1的周期点的有( )A.0 B.13 C.23 D.124.(2022·湖南·高三阶段练习)已知函数f (x )=cos ωπx (ω>0)，将f (x )的图象向右平移13ω个单位长度后得到函数g (x )的图象，点A ，B ，C 是f (x )与g (x )图象的连续相邻的三个交点，若△ABC 是锐角三角形，则ω的值可能为( )A.23B.14C.33D.325.(2022·湖南·高三阶段练习)已知函数f x =e x+e-x-cos2x，若f x1>f x2，则( )A.f x 为偶函数B.f x 在-∞,0上为增函数C.x21>x22D.e x1-x2>126.(2022·湖南·高三阶段练习)已知函数f x =x ln x-ax，则( )A.当a≤0或a=1e时，f x 有且仅有一个零点B.当a≤0或a=12时，f x 有且仅有一个极值点C.若f x 为单调递减函数，则a>12D.若f x 与x轴相切，则a=1e27.(2022·湖南·株洲市南方中学高三阶段练习)已知函数f(x)=e sin|x|-|cos x|，则( )A.f(x)是周期函数B.f(x)是偶函数C.f(x)是0,π2上的增函数 D.f(x)的最小值为e-128.(2022·湖南·株洲市南方中学高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，P为棱AA1上的动点，则下列说法正确的是( )A.点P为AA1中点时，PO⊥DC1B.点P与点A重合时，三棱锥P-BDC1外接球体积为23πC.当P点运动时，三棱锥P-BDC1外接球的球心总在直线A1C上D.当P为AA1的中点时，正方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为43+3π29.(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)设定义在R上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x+2-g1-x=2，f x =g x+1，且g x+1为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g1 =0B.函数g x 的图象关于x=2对称C.2022k=1g k =0D.2021k=1f kg k =030.(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)已知数列a n满足a1=8，a2=1，a n+2=-a n,n为偶数a n-2,n为奇数，Tn为数列a n的前n项和，则下列说法正确的有( )A.n为偶数时，a n=-1n-22 B.T2n=-n2+9nC.T99=-2049D.T n的最大值为2031.(2022·湖南师大附中高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f (x )连续不间断，满足：当x ≥0时，f (1+x )=2f (1-x )，且当x >0时，f (1+x )+f (1-x )<0，则下列说法正确的是( )A.f (1)=0B.f (x )在(-∞,1]上单调递减C.若x 1<x 2,f x 1 <f x 2 ，则x 1+x 2<2D.若x 1,x 2是g (x )=f (x )-cosπx 在区间(0，2)内的两个零点，且x 1<x 2，则1<f x 2 f x 1<232.(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)下列不等关系正确的是( )A.3e <e 3<3πB.e 3<πe <e πC.πe ≤π3<e πD.3e <π3<3π33.(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知函数f (x )=sin (cos x )+cos (sin x )，则下列结论正确的是( )A.f (x )是偶函数B.f (x )在区间0,π2 单调递减C.f (x )的周期是π D.f (x )的最大值为234.(2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习)设函数y =f (x )的定义域为R 且满足：f (x )=f (2-x ),f (x )=-f (x +2)，当x ∈(0,1]时，f (x )=x sin 1x，则有( )A.f (x )是奇函数B.f (1)+f (3)+f (2022)=0C.f (x )的值域是[-1,1]D.f (x )在区间20212022,20232022内无零点35.(2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习)已知a >b ,c >d ,e a a +1=e b b +1=1.01,1-c e c =1-d e d =0.99，则( )A.a +b >0 B.c +d >0 C.a +d >0D.b +c >036.(2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习)已知a ≠0,a ,b ∈R .设命题p ：过点1,1 恰可作一条关于y =ax 3+bx 的切线.以下为命题p 的充分条件的有( )A.b +a =1B.b -a =1C.a =e bD.b =e a37.(2022·湖北孝感·高三阶段练习)将数列a n 中的所有项排成如下数阵：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9⋯⋯已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数 a 1， a 2， a 5，⋯⋯，成等差数列，且a 2=4，a 10=10．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，则( )A. a 1=1 B.a 2021位于第84列 C.a n 2<a n 2+1 D.a 2021=13328438.(2022·湖北孝感·高三阶段练习)已知b >0，若对任意的x ∈(0,+∞)，不等式ax 3+3x 2-abx -3b ≤0恒成立，则( )A.a <0B.a 2b =3C.a 2+4b 的最小值为12D.a 2+ab +3a +b 的最小值为6-6339.(2022·山东·招远市第二中学高三阶段练习)设x 1，x 2分别是f x =x -a -x 与g x =x log a x -1a >1 的零点，则x 1+9x 2的值可能是( )A.8B.10C.11D.12三、填空题40.(2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习)已知函数f x =x ln x -ax 2+x a ∈R ，则曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线l 恒过定点_____________.41.(2022·广东·广州市南武中学高三阶段练习)已知随机变量ξ~N 1,σ2 ，且P ξ≤1 =P ξ≥a -3 ，则1x+9a -x 0<x <a 的最小值为______．42.(2022·湖南·高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-4x -1,x ≥0,2x -2,x <0,若方程[f (x )]2-2af (x )+4=0有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___________．43.(2022·湖南·高三阶段练习)已知点P 在双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，F 1,F 2分别是双曲线E 的左、右焦点，若F 1F 2 是PF 1 ,PF 2 的等差中项，且△PF 1F 2的面积为c 2(c 为双曲线E 的半焦距)，则双曲线E 的离心率为__________．44.(2022·湖南·株洲市南方中学高三阶段练习)已知对任意x ∈(0,+∞)，都有k e kx +1 -1+1xln x >0，则实数k 的取值范围为_________．45.(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)已知函数f x =ln x x ，g x =x e x ，若存在x 1>0，x 2∈R ，使得f x 1 =g x 2 <0成立，则x 1x 2的最小值为______.46.(2022·湖南师大附中高三阶段练习)已知四面体ABCD 的各条棱长都为2，其顶点都在球O 的表面上，点E 满足BE =13BD ，过点E 作平面α，则平面α截球O 所得截面面积的取值范围是_____．47.(2022·湖南师大附中高三阶段练习)已知函数f x =sin 2x +φ 的图象关于点π6,0对称，且f 0 >f π6 ，若f x 在0,t 上没有最大值，则实数t 的取值范围是__________.48.(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列a n ，记此数列的前n 项和为S n ．若S m =2t t ∈Z ，m ∈N ∗,m >77 ，则m 的最小值是_____．49.(2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习)函数f (x )=x 2+1x2-ax -a x -b 有零点，则a 2+b 2的最小值为___．50.(2022·湖北孝感·高三阶段练习)刍(ch ú)甍(m éng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体．如图，现有一个刍甍ABCDEF ，AB =BC =6，EF =4，BF =CF =59，△ADE ≌△BCF ，则该刍甍的外接球体积为______．51.(2022·山东·招远市第二中学高三阶段练习)在△ABC 中，AB =3AC ，AD 是∠A 的平分线，且AD =tAC ，则实数t 的取值范围_____.四、双空题52.(2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习)已知e 为平面单位向量，平面向量a 满足a -e +2a +e =4，则a -e ⋅a +e a +e的最小值为___________，最大值为___________.53.(2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习)数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数a ,n n ≥2 ，若存在一个整数x ，使得n 整除x 2-a ，则称a 是n 的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数a ，记事件A =“a 与12互质”，B =“a 是12的二次非剩余”，则P A =___________；P B ∣A =___________.。

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。