人教版九年级下册数学：2821解直角三角形课件

∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，

问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜 边AB＝6，求∠A的对边BC的长． B
BC 由 sin A 得 AB
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
A
α C
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m。
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
AC 2.4 cos a 0.4 AB 6
A
α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A
CAD 30
因为AD平分∠BAC
6
C
4 3
D
CAB 60, B 30
B
AB 12, BC 6 3
A的对边 a A的邻边 b
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2 , BC 6
解这个直角三角形
A
解：
BC 6 tan A 3 AC 2
2
C
6
A 60
B

B 90 A 90 60 30
AB 2 AC 2 2

2 ，
BC 6 3， 解： tan A AC 2 A 60 ，
AB 2 AC 2 2.
A
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30 ，
练习
在△ Rt△ ABC中，∠C＝90°， a 2， b2 3 ，
解这个直角三角形（即求∠A、∠B、c边）.
a 2 3 解：∵tanA= = = , b 2 3 3
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形. A AC 6 3 cos CAD ， 解：
AD 4 3 2
CAD 30，
∵
6 C
4 3
AD平分∠BAC，
CAB 60，B 30，
D
B
AB 12，BC 6 3.
a c
b cos A c
a tan A b
B
交流与发现
A
c
a
b
C
在直角三角形中，知道其中哪些元素，可以求 出其余的元素?
在Rt△ABC中,
一角一边
BC
A
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, 你能求出这三个角的其他元素吗？
∠B AC
2
C
6
两边
6
B
（2）根据AC=
2 ，BC=
你能求出这个三角形的其他元素吗？
方法一：设a=x，c=2x
b=
.解这个直角三角形 .
B
a ab
方法二：tan A
由勾股定理得：
2 2
tan30 即：
2 x x 4 3 解得：x 4或x 4(舍去 )

第四部分 知识小结
知识小结
本节课你有什么收获？
1.解直角三角形的定义 （注意：已知的两个元素中至少有一个是边）
2.解直角三角形的两种类型 （1）一边一锐角；（2）已知两边
3.当要计算的边不在直角三角形中时，要 构造直角三角形.
建模思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论 思想
第五部分 随堂演练
随堂演练
的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形.
解：cos CAD AC 6 3 ，
A
AD 4 3 2
CAD 30，
6 43
∵ AD平分∠BAC，
CD
B
CAB 60，B 30，
AB 12，BC 6 3.
随堂演练
4. 已 知 ： 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ ．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求 △ABC的周长（结果保留根号） 【解析】要求△ABC的周长，只要 求得BC及AB的长度即可．根据 Rt△ADC中∠ADC的正弦值，可以 求得AD的长度，再求CD的长度； 再根据已知条件求得BD的长度，继 而求得BC的长度；运用勾股定理可 以求得AB的长度，求得△ABC的周 长．
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA =3 ，BC=6，则
5
AB的值为
( D)
A．4 B．6
C．8 D．10
2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sinB＝
，4则菱形的周长是 5
( C)
A．10
B．20
C．40
D．28
随堂演练
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC
第三部分 新课进行时

度h与水平宽度l的比，叫做这个斜坡的坡度.常记
水平线
为i=m:n的形式.
①.坡度不是坡角的度数；②.坡度等于坡角的正切值.
例.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,左斜面坡度 为i=1:1.5，右斜面的坡度为i=1:3，根据图中的数 据求：⑴.求出坡角α和β的度数；⑵.斜坡AB的长.
⑴.∵ tanAF,i1:1.5
例1. (新人教版九年级数学下册74页例3〕2021年6月18日，“神舟〞九 号载人航天飞船与“天宫〞一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟 〞九号与“天宫〞一号的组合体在离地球外表343km的圆形轨道上运 行，如图. 当组合体运行到地球外表P点的正上方 时，从中能直接看到 的地球外表最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少 (地球半 径约为6400km.π取3.142，结果取整数)？
◆利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
◆解直角三角形实际应用的常见根本图形
◆坡度
如图，斜坡的坡角α〔见图标示〕对应的铅直高
1. 如图，在Rt △ACB中， ∠C=90 °; ∠A、∠B、∠C所对的边
分别为a、b、c. ⑴.三边之间的关系： a2 b2 c2 〔勾股定理〕 ⑵.两锐角之间的关系：AB90〔直角三角形两锐角互余〕
⑶.边角之间的关系：
利用上面这些关系，可以“知二求三〞〔直角除外，中至少要有一条边〕.
2. 解直角三角形根本类型
略解：
∵ tanB E, 52,D EC A8
D E
∴ B E D E t a n 8 t a n 5 2 8 1 . 2 7 9 9 1 0 . 2 m

(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系: 锐角三角函数
c a
sinA＝ a tanA＝ a cosA＝ b
c
b
c
Ａ
bＣ
问题一：任意的一个三角形的有几个元素？
A
B
C
问题二：任意的一个三角形至少要给出几个 元素能唯一确定？
问题三：对于直角三角形，除了直角外还要 几个元素能唯一确定？
人教版义务教育教材
数学
（九年级下）
28.2.1 解直角三角形
学习目标
1、了解什么是解直角三角形； 2、会运用勾股定理、直角三角形的 两个锐角互余及锐角三角函数解直角 三角形.
知 识回 顾
一个直角三角形有几个元素？
有三条边和三个角，其中有一个角为直角
它们之间有何关系？ Ｂ(1)三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
3
3
提高练习
B
解直角三角形：(如图)
在⊿ABC中，∠C=900， a C a
A
1.已知∠A，a. 则b= tan A ,c= sin A ;
2.已知∠A，c. 则a= c sin A ,b= c cosA;
b
3.已知∠A，b. 则a= b tan A , c= cosA .
4.已知a,c.则通过 sin A a ，求 ∠A
解：由勾股定理得：解：tanA BC 6 3
AB AB2 BC2
22
2
6
AC 2
A 60
B 90 - A
2 2
在Rt △ABC中，AB=2AC
90 - 60 30
所以， ∠B=30° ∠A=60° AB 2AC 2 2

AD 4 3 2
C A D30，
6
43
因为AD平分∠BAC
CD
B
C A B 6 0 , B 3 0 ，
AB12,BC6 3.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
B
解：根据勾股定理
ca 2 b 23 0 2 2 0 2 1 01 3 , tanAa3031.5,
b 20 2
c a=30
A b=20 C
∴A56.3.
∴ B 9 0 A 9 0 5 6 . 3 3 3 . 7 ；
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
(2) ∠B＝72°，c = 14.
解： s in B b ,
c
A
b c s i n B 1 4 s i n 7 2 1 3 . 3 .
∴ ABx1 的长15为421 ,5x22. 1542（ 舍 去 ） . 知 数 思一 值想边，求与一解一般. 锐可角结三合角方函程 4
练一练
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3 ，BC=6， 5
则
D
AB=（ ）
2.如A图．，4在菱B形．A6BCD中，C．AE8 ⊥BC于D．点1E0，EC=4，
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD=
AD tanB
2 3
6.
B
∴BC=CD+BD=3 2 6.
A
C D
课堂小结
解直角三 角形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法:只要知道五个元素中的两个 元素（至少有一个是边），就可 以求出余下的三个未知元素

学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中 心点为 B，塔身中心线与垂直中心线 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 引垂线，垂足为点 C .在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，BC =5.2 m，AB =54.5 m.
解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A
c
b
35°
20
B
a
C
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 13，BC = 5， 试 求AB 的长.
随堂练习
D ∠A≠30° ,AC =2
1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少 有一个是边. 2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明 已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个
元素之间有如下关系：
B
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) =90°； c a
A bC
B ca A bC
新知探究 知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
已知两边解直角三角形的方法
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出 另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得 到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再 利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边， 然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切 值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互 余求出另一个锐角.

A c=14 b B aC
A907218.
5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD=
AD tanB
2 3Leabharlann 6.csinB sin35
例3 如图，已知AC=4，求AB和BC的长．
解析：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义， 在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD， BD的长，从而求解．
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=60°，
∴CD=1 AC 2,
2 AD=ACcosA4
32
3.
D
2
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-
∠∴ABCDD==C4D5°=2，. BCcos∠ 2DCB2 2. ∴ A B A D B D 223 .
三 已知一锐角三角函数值解直角三角形
例4
如图，在Rt△ABC
中，∠C=90°，cosA
1
=
，
3
BC = 5， 试求AB的长.
BC的长.
解：∵cos∠B= 2 ，∴∠B=45°， 2
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵ A B = 122 ， ∠ B =45，
图①
∴ A D = B D = A B c o s B 1 2 .
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7； 当△ABC为锐角三角形时，如图②，