21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程

2021年高二数学知识点圆锥曲线方程知识点总结
高中频道收集和整理了高二数学知识点圆锥曲线方程，以便考生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。

圆锥曲线方程：
1、椭圆：①方程 (a0)注意还有一个;②定义: |PF1|+|PF2|=2a ③ e= ④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c; a2=b2+c2 ;
2、双曲线：①方程 (a,b0) 注意还有一个;②定义: ||PF1|-|PF2||=2a ③e= ;④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c;渐进线或 c2=a2+b2
3、抛物线：①方程y2=2p_注意还有三个，能区别开口方向; ②定义:|PF|=d 焦点F( ,0),准线_=- ;③焦半径 ; 焦点弦=_1+_2+p;
4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
5、注意解析几何与向量结合问题：1、 , . (1) ;(2) .
2、数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a||b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即
3、模的计算：|a|= . 算模可以先算向量的平方
4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用。

高二-数学-《圆锥曲线方程》知识点总结
圆锥曲线是一类近似椭圆的曲线，也叫双曲曲线或鱼眼曲线。

它们的性质与椭圆十分接近，形状近似椭圆，但是椭圆的离心率为常数，而圆锥曲线的离心率是一个变量。

一般圆锥曲线的方程是这样的：
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a和b是变量，称为离心率。

离心率的大小决定了曲线的形状，a大于b表示离心率大，它的处处突出，而a小于b则表示离心率小，它就会把曲线变得更加平缓。

圆锥曲线的概念和椭圆类似，只是离心率不再是常数而是变量，这使得曲线得到更多的灵活性，可以满足更多类型的用途。

圆锥曲线的准确表达式是：
$$x=acosθ, y=bsinθ, 0 ≤ θ ≤ π$$
其中，θ是由变量a,b决定的，而a和b也可以理解成点(a，0)和点(0，b)。

由于它的形状和椭圆类似，可以用同样的方法来进行求积分。

圆锥曲线也经常用在绘图中，比如地球影像分析中，常常需要使用圆锥曲线来作为地球表面的近似曲线。

圆锥曲线还有很多其他的应用，比如飞行轨迹的分析、流体动力学计算中的重力变形应用、测试反差图的绘制等等。

总之，圆锥曲线是一类强大的数学曲线，可以用来描述很多实际情况，可以给我们带来很多的想象空间。

高二圆锥曲线与方程知识点在高二数学学习中，圆锥曲线与方程是一个重要的知识点，它涉及到二元一次方程、抛物线、椭圆和双曲线等内容。

掌握这些知识点不仅能够帮助我们解决实际问题，也是高中数学学习的基础。

本文将从二元一次方程和三种圆锥曲线入手，详细介绍高二圆锥曲线与方程的相关知识点。

一、二元一次方程1. 二元一次方程的基本形式是：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是已知数，且A和B不同时为零。

2. 当A和B同时为零时，方程没有解。

3. 当A或B有且只有一个为零时，方程有唯一解。

4. 当A和B都不为零时，方程有无数解，这类方程表示一条直线。

二、抛物线1. 抛物线的标准方程是：y = ax² + bx + c，其中a≠0，a、b、c为常数。

2. 抛物线开口方向由a的正负决定，a>0表示抛物线开口向上，a<0表示抛物线开口向下。

3. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

4. 抛物线的对称轴与x轴平行，方程为x = -b/2a。

三、椭圆1. 椭圆的标准方程是：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中a、b分别表示椭圆长半轴和短半轴的长度，(h, k)表示椭圆的中心坐标。

2. 椭圆是关于x轴和y轴对称的。

3. 椭圆的焦点到中心的距离称为焦距，焦距的长度等于椭圆的长半轴长度。

4. 椭圆的离心率ε = c/a，其中c表示焦距的长度。

四、双曲线1. 双曲线的标准方程是：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中a、b分别表示双曲线横轴和纵轴的半轴长度，(h, k)表示双曲线的中心坐标。

2. 双曲线是关于x轴和y轴对称的。

3. 双曲线的焦点到中心的距离称为焦距，焦距的长度等于双曲线的横半轴长度。

4. 双曲线的离心率ε = c/a，其中c表示焦距的长度。

五、总结通过学习高二圆锥曲线与方程的知识点，我们可以应用它们解决一些实际问题。

第三章圆锥曲线与方程章末总结北师大版选修2-1知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．例6已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y 22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读例1解如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1 (a>0，b>0)．∵e＝ca＝2，∴c＝2a.由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.① 又S△P F 1F 2＝123， ∴12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123， 即|PF 1||PF 2|＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y212＝1.例2 (1)解 过点P(2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k(x －2)．把y ＝k(x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M、N 两点在抛物线上， ∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16， 而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.(2)证明 ∵OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0. ∴OM →⊥ON →，即OM⊥ON.例3解 设直线OA 的方程为y ＝kx(k≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－xk，进而可求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p k 2，4p k 、B(4pk 2，－4pk)．于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k2，从而k OM ＝k 2－1k，∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1kx ，①直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)．②将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x(x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p(k 2x －ky)，③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p)2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p.故此时点M 的坐标为(4p,0)，也在(x －2p)2＋y 2＝4p 2(x≠0)上．∴点M 的轨迹方程为(x －2p)2＋y 2＝4p 2(x≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例4证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－163＋4k 2m 2－3>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k2.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k2.又y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m) ＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k(x －2)， 直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0， ∴直线l 过定点．例5解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA′|＝10.如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤10＋|A′B|.当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋210.又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB|＝10－(|MA′|－|MB|)≥10－|A′B|，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－210.例6解 由题意，|F 1F 2|＝2.设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2，∴|x A －x B |＝8k 2＋1k 2＋2.S△ABF 2＝12|F 1F 2|·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2.当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时，S△ABF 2有最大面积为 2.。

圆锥曲线与方程--椭圆1、椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离和等于常数2a （2a>||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

2、椭圆的标准方程与几何性质:近于a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，则c 越接近于0，从而22c a b -=越大，这时椭圆就越接近于圆；故离心率e 越小椭圆越圆，离心率e 越大椭圆越扁。

4、弦长公式（一）：;12222⎪⎩⎪⎨⎧=++=b ya x m kx y 由)0(02≠=++a c bx ax y 得：消去⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;;2121a c x x a b x x 由韦达定理知：，则，，，弦端点设)()(2211y x B y x A[]212212221222122212212214)()1())(1()()()()(x x x x k x x k x x k x x y y x x AB -++=-+=-+-=-+-=∴5、弦长公式（二）：;12222⎪⎩⎪⎨⎧=++=b yax mkx y 由)0'(0'''2≠=++a c y b y a x 得：消去⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;;''21''21a c y y a b y y 由韦达定理知：[]212212221222122122212214)()11())(11()()(1)()(y y y y k y y ky y y y k y y x x AB -++=-+=-+-=-+-=直线和椭圆相交，求其弦长，通常利用根与系数的关系，设出交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。

这种方法称为设而不求，这个公式叫做弦长公式。

1、双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数2a （2a<||21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

2、双曲线的标准方程与几何性质:1122222-=-=-==e ac a a c a b k ；所以e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装第二章圆锥曲线与方程本章知识结构：圆锥曲线的实际背景本章知识要点：标准方程简单的几何性质椭圆双曲线抛物线※※※※※※※※※※※※简单应用订2.1曲线与方程一、曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.二、求曲线的方程1.解析几何：用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.2.求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合PMp(M)；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)0；第1页共6页※※※※※※※※※※※※线※※※※※※※※※※盘点知识夯实基础逐步提高（4）化方程f(x,y)0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简言之：①建系、取点②列式③代换④化简⑤证明.2.2椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2；当2aF1F2时，表示线段F1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：标准方程当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab图形范围对称轴对称中心axa，bybaya，bxbx轴、y轴坐标原点O(0,0)x轴、y轴坐标原点O(0,0)第2页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装长轴短轴顶点坐标焦点坐标离心率长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a※※※※※※※※※※※※注意：1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，e的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.c且0e1，e可以刻画椭圆a2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.4.椭圆的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线订※※※※※※※※※※※※线ca2l：x的距离的比是常数e(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的ac焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.x2y25.椭圆方程221(ab0)常用三角换元为xacos,ybsin.ab三、点与椭圆位置关系※※※※※※※※※※x2y2点P(x0,y0)与椭圆221(ab0)位置关系：abx02y02（1）点P(x0,y0)在椭圆内221（含焦点）ab（2）点P(x0,y0)在椭圆上x0y012222abx02y02（3）点P(x0,y0)在椭圆外221ab第3页共6页盘点知识夯实基础逐步提高四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系相交相切相离（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)2x1x2，或|PP则|PP12|1k12|1公共点有两个公共点有且只有一个公共点无公共点判定方法000直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式1y1y2(k0).k22.3双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，表示分别以F1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：标准方程当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab图形第4页共6页高中数学选修2-1知识点总结第二章圆锥曲线与方程※※※※※※※※※装范围对称轴对称中心实轴虚轴顶点坐标焦点坐标渐近线离心率xa，或xaya，或yax轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2bx轴、y轴坐标原点O(0,0)实轴长2a，虚轴长2b※※※※※※※※※※※※(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a订注意：1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、※※※※※※※※※※※※线b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，e张口就越大.c且e1.e越大，双曲线的a2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e2.3.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定ca2直线l：x的距离的比是常数e(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双ac曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.※※※※※※※※※※x2y25.共渐近线的双曲线可写成22(0)；abx2y221(b2a2).共焦点的双曲线可写成2ab第5页共6页盘点知识夯实基础逐步提高2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程图形焦点坐标准线方程范围对称性顶点离心率注意：1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.22.若点M(x0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y轴y0y轴x轴(0,0)e1x轴(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.23.若过焦点的直线交抛物线y2px(p0)于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长ABx1x2p.第6页共6页扩展阅读：21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示线段F1F2；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、椭圆的标准方程与几何性质：当椭圆焦点在x轴上时当椭圆焦点在y轴上时2标准方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)图形范围axa，bybaya，bxb对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)长轴、短轴长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b顶点坐标(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2离心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a2b2c2.e叫做椭圆的离心率，eca且0e1，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆.2.点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PFmaxac，PFminac.3.点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，F1PF2取最大值.当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xa24.椭圆的第二定义：c的距离的比是常数eca(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.三、点与椭圆位置关系P(xx2y2x22点0y00,y0)与椭圆a2b21(ab0)位置关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆内a2b21（2）点P(xy22（3）点P(xx220y00,0)在椭圆上x0y0b210,y0)在椭圆外a2a2b21四、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法位置关系公共点判定方法相交有两个公共点0直线与椭圆方程首相切有且只有一个公共点0先应消去一个未知数得一元二次方程相离无公共点0的根的判别式（2）弦长公式：设直线ykxb交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)则|PP12|1k2x1x2，或|PP12|11k2y1y2(k0).双曲线一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2.注意：当2aF1F2时，表示分别以F1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，轨迹不存在.二、双曲线的标准方程与几何性质：当双曲线焦点在x轴上时当双曲线焦点在y轴上时2标准方程xy21(a0,y2a2b2b0)a2x2b21(a0,b0)图形范围xa，或xaya，或ya对称轴x轴、y轴x轴、y轴对称中心坐标原点O(0,0)坐标原点O(0,0)实轴、虚轴实轴长2a，虚轴长2b实轴长2a，虚轴长2b顶点坐标(a,0)(0,a)焦点坐标(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2渐近线xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx离心率eca(其中e1)eca(其中e1)1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足c2a2b2.e叫做椭圆的离心率，eca且e1.e越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线为yx离心率e2.a23.双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线l：xc的距离的比是常数eca(e1)时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆.特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.2.4抛物线一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：当定点F在定直线l上时，点的轨迹为过点F与直线l垂直的直线.二、抛物线的标准方程与简单几何性质：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点坐标(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)准线方程xpppp2x2y2y2范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e11e1e1.p的几何意义：p表示焦点到准线的距离.2p表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.2.若点M(x2p0,y0)是抛物线y2px(p0)上任意一点，则MFx02.3.若过焦点的直线交抛物线y22px(p0于)A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则弦长ABx1x2p.友情提示：本文中关于《21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程：该篇文章建议您自主创作。

曲线与方程 ： ：【学习目标】1.了解圆锥曲线的统一定义；2.了解曲线与方程的对应关系；3.进一步体会数形结合的基本思想；4.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）【要点梳理】要点一：圆锥曲线的统一定义当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)cc a a >>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b-=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上） 的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22,a a x x c c=-=． 要点二：曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上. 那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释：（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（）；（2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）.（3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（）的点的轨迹而言.（4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”． 要点三：关于坐标法与解析几何1.解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.2.解析几何的两个基本问题：①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； ②通过方程，研究平面曲线的性质.3.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点四：求曲线方程①建系：建立适当的直角坐标系； ②设点：设动点坐标P(x,y)；③列式：写出动点P 满足的几何条件，把条件坐标化，得方程F(x, y)=0；④化简：化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解； ⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线是。