山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测文科数学试题 Word版含答案

2021届山西省大同市高三上学期学情调研测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{11}=-<<B x x ，则（ ）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B =∅【答案】B【解析】解不等式，可求出集合A ，进而对四个选项逐个分析，可得出答案. 【详解】由题意，{}()(){}220210A x x x x x x =--<=-+<{}12x x =-<<，又{11}=-<<B x x ，所以B A ，A B B =≠∅，A B ≠.故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集、集合的包含关系，及判断两个集合是否相等，属于基础题. 2．复数3i2iz -+=+的共轭复数的模为（ ）A ．B CD ．2【答案】C【解析】求出z ，进而求出z 的共轭复数，再求出共轭复数的模即可. 【详解】 由题意，()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z -+--+-+====-+++-， 所以复数z 的共轭复数为1i --，则1i --==故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查学生的计算能力，属于基础题. 3．已知tan32α=，则sin 1cos αα=-（ ）A ．3B ．13C ．3-D ．13-【答案】B【解析】利用二倍角的正弦和余弦公式以及同角三角函数的基本关系式，将所求的表达式化简为正切函数的形式，代入求解即可． 【详解】 解：已知tan32α=，而222sincos2sincossin 1122221cos 32sin tan112sin 222ααααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦和余弦公式，以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．4．已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为（ ） ABCD．【答案】A【解析】根据双曲线的性质，可得122PF PF a -=，122F F c =，进而结合余弦定理2221221212cos 2PF PF FF F PF PF PF +-∠=⋅，可求出12PF PF ⋅，进而由12121sin 602PF F SPF PF ︒=⋅⋅∠可求出答案. 【详解】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，则122PF PF a -==221212122PF PF PF PF +=+⋅，且1224F F c ==，由余弦定理2221221212cos 2PF PF FF F PF PF PF +-∠=⋅，即1212122161cos6022PF PF PF PF ︒+⋅-==⋅，解得124PF PF ⋅=，则121211sin 60422PF F SPF PF ︒=⋅⋅∠=⨯=故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，考查焦点三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5．已知各项均为正数的等比数列{}n a，1234565,a a a a a a ==则789a a a =（ ） A ．25 B ．20C．D ．10【答案】D【解析】由各项均为正数的等比数列{}n a 有性质可知()()()7892456123a a a a a a a a a =⨯，从而可求得结果 【详解】解：由各项均为正数的等比数列{}n a 有性质可知()()()7892456123a a a a a a a a a =⨯，因为1234565,a a a a a a ==所以27895()a a a =⨯，解得789a a a =10， 故选：D 【点睛】此题考查等比数列的通项公式及其性质的应用，考查计算能力，属于中档题6．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】作出约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得1122y x z =-，平移直线12y x =可知，当直线经过点()1,1C -时，直线的截距最小，代值计算可得z 取最大值()max 1213z =-⨯-= 故选B. 【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．设函数(32()sin ln 13f x ax b x c x x =++++的最大值为5，则()f x 的最小值为（ ） A ．5- B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】根据题意，设(32()sin ln 1g x ax b x c x x =+++，利用定义法判断函数的奇偶性，得出()g x 是奇函数，结合条件得出()g x 的最大值和最小值，从而得出()f x 的最小值. 【详解】解：由题可知，(32()sin ln 13f x ax b x c x x =+++++，设(3()sin ln g x ax b x c x =++，其定义域为R ，又()3()()sin ln(g x a x b x c x -=-+-+-，即()3sin ln(g x ax b x c x -=-+--，由于()()((ln ln g c x c x g x x -+=+-(()22ln 1ln10ln x x c x x c c -=+-===，即()()0g x g x -+=，所以()g x 是奇函数， 而()()3f x g x =+，由题可知，函数()f x 的最大值为5， 则函数()g x 的最大值为：5-3=2，由于()g x 是奇函数，得()g x 的最小值为-2， 所以()f x 的最小值为：-2+3=1. 故选：B . 【点睛】本题考查利用定义法判断函数的奇偶性，以及奇函数性质的应用和函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.8．在直角ABC 中，直角边3,4AB AC ==，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．25- B ．25C ．7D ．7-【答案】A【解析】由已知可得斜边BC =5,角A 为直角，然后由向量的数量积公式和向量的加减运算法则化简求值即可. 【详解】由已知可得直角三角形斜边BC =5,角A 为直角，所以0CA AB ⋅=, 则AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅()()2+=25BC AB CA BC AB AC BC CB BC =⋅⋅-=⋅=-=-,故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积公式的应用，考查向量加减运算法则的应用，属于基础题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）． A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C【解析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】画出正方体1111ABCD A B C D -，如图所示．对于选项A ，连1D E ，若11A E DC ⊥，又111DC A D ⊥，所以1DC ⊥平面11A ED ，所以可得11DC D E ⊥，显然不成立，所以A 不正确．对于选项B ，连AE ，若1A E BD ⊥，又1BD AA ⊥，所以DB ⊥平面1A AE ，故得BD AE ⊥，显然不成立，所以B 不正确．对于选项C ，连1AD ，则11AD BC ．连1A D ，则得111,AD A D AD ED ⊥⊥，所以1AD ⊥平面1A DE ，从而得11AD A E ⊥，所以11A E BC ⊥．所以C 正确． 对于选项D ，连AE ，若1A E AC ⊥，又1ACAA ⊥，所以AC ⊥平面1A AE ，故得AC AE ⊥，显然不成立，所以D 不正确．故选C ． 【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题．10．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-【答案】C【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 和-不满足题意，舍去；当0a >时，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =．(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；2(0,)x a ∈时，()0f x '<；2(,)x a∈+∞时，()0f x '>，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a ∈-∞时，()0f x '<；2(,0)x a∈时，()0f x '>；(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ．【考点】1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．11．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，且12AF DCF B 为正六边形，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．2D 1【答案】D【解析】由以12F F 为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，且12AF DCF B 为正六边形，可得160AFO ︒∠=，1290F AF ︒∠=，从而可求出1AF 、2AF 的表达式，结合122AF AF a +=，可求出椭圆的离心率.【详解】因为以12F F 为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，且12AF DCF B 为正六边形，所以160AFO ︒∠=，1290F AF ︒∠=，所以112sin30AF F F c ︒==，212sin60AF F F ︒==，又122AF AF a +=，即2c a +=，则3131ca，1.故选：D. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查椭圆的离心率，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.12．如图，在三棱锥P ABC -中，1AC =，3AB AP ==，AB AP ⊥，AC AP ⊥，30BAC ︒∠=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．7πD ．5π【答案】C【解析】由AB AP ⊥，AC AP ⊥，可得PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，计算可得1BC CA ==，设△ABC 的外接圆圆心为1O ，则1O 在线段CH 上，可求得外接圆半径2sin BCr BAC=∠，过1O 作AP 的平行线1O M ，取AP 的中点G ，过G 作1O M 的垂线，垂足为O ，则球心为O ，连结OA ，由22211OA OO O A =+，可求出OA 即为外接球的半径，进而可求出外接球的表面积. 【详解】因为AB AP ⊥，AC AP ⊥，且AB AC A =，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，过C 作AB 的垂线，垂足为H ，因为30BAC ︒∠=，所以1si 30n 2CH AC ︒=⋅=，则221314AH AC CH =-=-=，即12AH AB =， 所以AH 是AB 的垂直平分线，故1BC CA ==，设△ABC 的外接圆圆心为1O ，则1O 在线段CH 上，设外接圆的半径为r ，则30122sin sin BC r BAC ︒===∠，即1r =，过1O 作AP 的平行线1O M ，取AP 的中点G ，过G 作1O M 的垂线，垂足为O ，则球心为O ，连结OA ，则1O OGA 为矩形，所以22222111371244OA OO O A AP r ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，即外接球的半径为74R OA ==，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为274π4π7π4R =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查外接球，考查三棱锥的性质，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =______． 【答案】98【解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出100a ． 【详解】等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，1198927298a d a d ⨯⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩， 解得11a =-，1d =，10019919998a a d ∴=+=-+=．故答案为98． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．若曲线ln 1y x =+的一条切线是y ax b =+，则4e b a +的最小值是______． 【答案】4【解析】设切点为()00,ln 1x x +()00x >，利用导数的几何意义，可得出切线方程的表达式，进而可求出001ln a x b x⎧=⎪⎨⎪=⎩，从而可得0044e bx x a +=+，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 求导得，1y x '=，设切点为()00,ln 1x x +()00x >，则切线斜率为01x ， 故切线方程为()0001ln 1y x x x x --=-，即00ln xy x x =+， 所以001ln a x b x⎧=⎪⎨⎪=⎩，则0ln 000444e e 4b x x x x a =+=+≥=+， 当且仅当004x x =，即02x =时，等号成立. 故答案为：4. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为______． 【答案】16【解析】设齐王的上等马，中等马，下等马分别为A ，B ，C ，田忌的上等马，中等马，下等马分别为a ，b ，c ，根据每一场双方均任意选一匹马参赛，列出基本事件总数，然后找出田忌获胜的基本事件个数，代入古典概型的概率公式求解. 【详解】设齐王的上等马，中等马，下等马分别为A ，B ，C ，田忌的上等马，中等马，下等马分别为a ，b ，c ，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜， 基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Bc Ca Ab Ba Cc Ac Bb Ca Ac Ba Cb ，共6个，其中田忌获胜的基本事件是(),,Ac Ba Cb ，共1个， 所以田忌获胜的概率为16p =， 故答案为：16【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 16．设函数()πsin 5f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭(0)>ω，已知()f x 在[0,2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______．【答案】1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】当[0,2π]x ∈时，可知πππ,2π555x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据sin y x =在π,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上第5个零点及第6个零点的值，可建立不等关系，进而可求出ω的取值范围. 【详解】当[0,2π]x ∈时，πππ,2π555x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数sin y x =在π,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上第5个零点为5π，第6个零点为6π， 所以π5π2π6π5ω≤+<，解得1229510ω≤<. 故答案为：1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，意在考查学生的综合应用能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a=+-,若a =,5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S . 【答案】(1)45;(2)152或92. 【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出． 【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc+-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c= 由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b =∵3tan4A=，∴3sin5A=由1sin2S bc A=⋅得152S=或92S=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．为了打好“精准扶贫攻坚战”，某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，根据收集到的市场信息，得到某地区100户农民该品种蔬菜年销量频率分布直方图如图．（1）若该地区年销量在10千吨以下表示销量差，在10千吨至30千吨之间表示销量中，在30千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中、差的概率（以频率代替概率）；（2）根据频率直方图计算这100户农民该品种蔬菜年销量的平均数和中位数（保留2位小数）．【答案】（1）0.3；0.5；0.2；（2）18.75；18.33【解析】（1）根据每组频率等于该组小长方形的面积，进而求解即可；（2）根据频率分布直方图的性质，分别求出平均数与中位数即可.【详解】（1）销量差的概率为(0.020.04)50.3+⨯=，销量中的概率为(0.020.030.030.02)50.5+++⨯=，销量好的概率为(0.020.02)50.2+⨯=.（2）平均数为0.1 2.50.27.50.112.50.1517.50.1522.50.127.50.132.5 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.137.518.75+⨯=；设中位数为x，因为前三组的频率之和为(0.020.040.02)50.40.5++⨯=<，前四组的频率之和为(0.020.040.020.03)50.550.5+++⨯=>，所以()15,20x ∈，则()0.40.03150.5x +-=，解得18.33x ≈， 故中位数约为18.33.本题考查频率分布直方图，考查平均数与中位数的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19．如图，在圆柱W 中，点1O 、2O 分别为上、下底面的圆心，平面MNFE 是轴截面，点H 在上底面圆周上（异与N ，F ），点G 为下底面圆弧ME 的中点，点H 与点G 在平面MNFE 的同侧，圆柱W 的底面半径为1．（1）若平面FNH ⊥平面NHG ，证明NG FH ⊥； （2）若直线1//O H 平面FGE ，求H 到平面FGE 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）22【解析】（1）由平面FNH ⊥平面NHG ，及FH HN ⊥，可推出FH ⊥平面NHG ，进而可得到NG FH ⊥；（2）连接12O O ，易知12//O O 平面FGE ，结合1//O H 平面FGE ，可证明平面12//O HO 平面FGE ，从而可知H 到平面FGE 的距离等于2O 到平面FGE 的距离，取线段EG 的中点V ，可知2O V EG ⊥，可证明2O V ⊥平面FGE ，即H 到平面FGE 的距离为2O V ，求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面FNH ⊥平面NHG ，且平面FNH 平面NHG NH =，而FH HN ⊥，FH⊂平面FHN ，所以FH ⊥平面NHG ，因为NG ⊂平面NHG ，所以FH NG ⊥． （2）连接12O O ，如图所示，因为12//O O EF ，12O O ⊄平面FGE ，EF ⊂平面FGE ，所以12//O O 平面FGE ， 又因为直线1//O H 平面FGE ，且12O O ，1O H ⊂平面12O HO ，1121O H O O O =，所以平面12//O HO 平面FGE ，所以H 到平面FGE 的距离等于2O 到平面FGE 的距离， 取线段EG 的中点V ，则2O V EG ⊥，因为EF ⊥平面2O GE ，2O V ⊂平面2O GE ，所以2EF O V ⊥， 又EGEF E =，所以2O V ⊥平面FGE ，所以H 到平面FGE 的距离为2O V ，连结2O G ，则2O G ME ⊥，在等腰直角三角形2O EG 中，221O E O G ==，2EG =，∴222O V =，所以所求距离为22．【点睛】本题考查圆柱的性质，考查线线垂直的证明，考查点到平面距离的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ．已知||4AB =，且点354e ⎛⎝在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程．（2）设P 是椭圆C 上异与A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP 、BP 于点M 、N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析 【解析】（1）由||4AB =，可知24a =，结合点354e ⎛⎝在椭圆上，代入可得22245116e a b+=，进而由222b c a +=和c e a =，可求出23b =，从而可得到椭圆方程； （2）设P 点坐标为(,)s t ，,M N 的横坐标为(2)m m ≠±，可表示出直线AP 的方程，及M 的坐标，进而得到直线BM 的斜率，同理可求得直线AN 的斜率，进而得到两个斜率之积为21224t k k s =-，再结合点P 点在椭圆上，可得()22344t s =--，代入可得到1234k k =-. 【详解】（1）因为||4AB =，所以24a =，即2a =，又2c c e a ==，且点354e ⎛ ⎝在椭圆上，所以22245116e a b +=，即224511616c b+=， 又2224b c a +==，所以2244511616b b-+=，整理得()()223150b b -+=， 由20b >，可得23b =，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设P 点坐标为(,)s t ()2s ≠±，,M N 的横坐标为(2)m m ≠±，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故,(2)2t M m m s ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，则直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-直线BP 的方程为(2)2t y x s =--，故,(2)2t N m m s ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 可得直线AN 的斜率2(2)(2)(2)t m k s m -=-+，故2122(2)(2)(2)(2)(2)(2)4t m t m t k k s m s m s +-=⨯=+--+-，又P 点在椭圆上，则22143s t +=，即()22344t s =--， 因此()2122343444s k k s --==--. 故直线AN 与BM 的斜率之积是定值. 【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线的斜率关系，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.21．已知函数2ln ()(0)f x a x a x=+> （1）若函数()y f x =图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数()f x 的极值点； （2）若不等式()2f x 有解，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值点为12，无极大值点；（2）0a >且2a ≠. 【解析】（1）求导后可知，当14a x =时()'f x 取最大值28a ，求得a 的值，再利用导数研究函数的单调性，进而得到极值点；（2）利用导数研究函数的单调性，得到22()()f x f a aln a a=+，将()2f x 有解转化为2210ln a a+-<，设函数()1g x lnx x =+-，结合函数的单调性得到()()10g x g =，则2210ln a a +-<等价于20a >且21a≠，由此求得a 的取值范围． 【详解】解：（1）由于()y f x =图像上各点切线斜率的最大值为2，即()'f x 取得最大值为2， 由题可知2ln ()(0)f x a x a x=+>的定义域为()0,∞+， 则22211()2a f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()'f x 是关于1x的二次函数， ∵0a >，∴当14a x =时，()'f x 取得最大值为28a ，∴228a =， 而0a >，∴4a =， ∴此时222442()x f x x x x-'=-+=， 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0,()f x f x '<单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0f x '>,()f x 单调递增， ∴()f x 的极小值点为12x =，无极大值点. （2）∵22()ax f x x -'=，其中0x >且0a >， 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，则()f x 单调递减， 在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，则()f x 单调递增， ∴22()ln f x f a a a a ⎛⎫≥=+⎪⎝⎭， ∵关于x 的不等式()2f x 有解，∴2ln2a a a+<， ∵0a >，∴22ln 10a a+-<，设()ln 1g x x x =+-，则11()1xg x x x-'=-=， 在(0,1)上，()0g x '>，则()g x 单调递增，在(1,)+∞上，()0g x '<，则()g x 单调递减，∴()(1)0g x g ≤=，即()ln 10g x x x =+-≤在()0,∞+内恒成立， ∴要求22ln10a a+-<，即()02a g <，则只需()02a g ≠即可，即22ln 10a a +-≠，等价于2021a a⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得：0a >且2a ≠，∴a 的取值范围是：0a >且2a ≠. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及构造新函数和根据不等式有解情况求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，是中档题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．【答案】（1）22=y x ；（2）6πα=或56π【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得12t t +和12t t ，根据直线参数方程参数的几何意义可知12AB t t =-=.【详解】 （1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ= 22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--=()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-∴12228sin AB t t α=-==== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴= 6πα∴=或56π【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于α的方程，属中档题． 23．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得第 1 页 共 6 页 11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。

2020-2021学年山西省大同市第一中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）.（A）（B）（C）（D）参考答案：B2. 设是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则参考答案：B3. 函数的图像可能是（）参考答案：B略4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A. B. C. D.参考答案：A该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4，三角形EA1C的底边A1C上的高为：2，表面积为：S＝24＋24＋44＋24＝5. 给出以下命题：①“若，则”为假命题：②命题：，，则：，：③“”是“函数为偶函数”的充要条件，其中，正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B【分析】①先表示此命题的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题真假情况一样去判断真假．②利用特称命题和全称命题否定之间的关系判断．③由为偶函数求出再利用充分必要条件的关系判断．【详解】解：①原命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，逆否命题为真则原命题为真，所以①的判断错误．②全称命题的否定是特称命题，所以￢p：，，所以②错误．③若函数y＝sin（2x+φ）为偶函数，则φkπ（k∈Z），所以φkπ（k∈Z）是“函数y＝sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，所以③正确．故选：B．【点睛】本题考查了四种命题的真假情况判断，考查特称命题和全称命题否定之间的关系，考查了充分必要条件，属于基础题.6. 已知定义域为的函数满足，当时，单调递增，若且，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．可能等于0 D．可正可负参考答案：答案:B7. 已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S-ABC的体积为（A）（B）（C）（D）1参考答案：C本题主要考查了球与多面体的组合体问题，考查了割补思想在球体积中的应用，难度中等.连结OA、OB，则OA=OB=OS,又，则，，作面OAB，连结OH，由三余弦定理得：,即，，，点C到平面AOB的距离为，球半径为2，，因此,则,选C.8. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 ( )A. B. C. D.参考答案：C略9. 若集合则集合=（）A．（-2，+∞）B．（-2，3）C．D．R参考答案：C略10. 若实数x，y满足不等式组则2x＋4y的最小值是A．6 B．4 C．D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线与圆相切，则实数的取值范围是.参考答案：答案：12. 已知点P落在的内部，且，则实数的取值范围是参考答案：13. 抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设M（﹣3，m），则P（9，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q的坐标，△FPM的外接圆的半径，从而求出其方程．解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，F（3，0）设M（﹣3，m），则P（9，m），等边三角形边长为12，如图．在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐标为（3，±4）．则△FPM的外接圆的半径为4，∴则△FPM的外接圆的方程为．故答案为：．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力14. (文科) 已知函数是上的偶函数，当时，有关于的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则= ．参考答案：(文)15. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)参考答案：5040分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为．填5040.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类．本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”．16. 若等差数列{a n}的前5项和=25，且，则 .参考答案：717. 设为虚数单位，则=___．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年高三上学期期中联考文科数学含答案本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟，第I卷（选择题共60分）注意事项：l．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4），集合A={1，2，3），B={2，4}，则为A.{1,2,4)B.{2,3,4)C.{0,2,4)D.{0,2,3,4)2．设z∈R，则x=l是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数，则A.4 B．C．一4 D．4．设平面向量，则A．B． C . D.5．已知数列的前n项和为，且，则等于A．-10 B．6 C．10 D．146．函数的图像可能是7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象A. 向左平移个单位 B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．已知两点，向量，若，则实数的值为A. -2 B ．-l C ．1 D .29．等差数列公差为2，若成等比数列，则等于A ．-4B ．-6C ．-8D ．-1010．设，则A. c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD. a>b>c11.在△ABC 中，若，此三角形面积，则a 的值是A. B ．75 C ．51 D. 4912.设定义在R 上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为A ．12B ．1 6C ．18D ．20第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上．2．答卷将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本题共4小题，共1 6分）13.设集合{}{}|(3)(2)0,|13M x x x N x x =+-<=<<，则=_________.14．设是定义在R 上的奇函数，当时，，则_________.15．在等比数列中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式__________．16.对函数，现有下列命题：①函数是偶函数；②函数的最小正周期是；③点是函数的图象的一个对称中心；④函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

2021年高三上学期中段考试数学（文）试题 含答案选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的值为 ( ) A ．B ．C ．D ．2．设全集(){}{},30,1,U R A x x x B x x ==+<=<-集合集合则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） A. B. C. D.3. 条件P ：x <-1，条件Q ：x <-2，则P 是Q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.．在复平面内为坐标原点, 复数与分别对应向量和,则=（ ） A. B. C. D.5. 函数的定义域是 （ ） A ．（，） B ．(，） C ．(，1） D ．(，）6.. 已知函数，且，则的值是（ ） A. B. C. D.7.奇函数满足，且当时，，则的值为（ ）A. 8B.C.D.8．当时，下列大小关系正确的是( )A. B. D. D.9．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是（）10．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A.76B.80C.86D.92二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、c且，，，则 .12．执行如右图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为13．已知满足约束条件，则的最大值是14.已知是内任意一点，连结，，并延长交对边于，，，则，这是平面几何中的一个命题，运用类比猜想，对于空间四面体中,若四面体内任意点存在什么类似的命题三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）已知向量，（1）求向量与向量的夹角；（2）若向量满足：①；②，求向量.16．（本题满分13分）已知：函数，为实常数．(1) 求的最小正周期；(2)在上最大值为3，求的值.17．（本小题满分13分）如图6，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：，，，，，DC=CE=1（百米）. （1）求 CDE的面积；（2）求A，B之间的距离.18.（本小题满分14分）已知函数，曲线在点处的切线为:，且时,有极值.（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.19.（本小题满分14分）（1）已知是公差为的等差数列，是与的等比中项，求该数列前10项和；（2）若数列满足，，试求的值.20．（本小题满分14分）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．五校联考xx学年高三第一学期期中考试文科数学试题答题卡一、选择题（每题5分,共40分）二．填空题（每题5分，共30分）11._____________________ 12.____________________ 13._____________________ 14.____________________三．解答题（共80分）15.解：(1)(2)(2)17.解：(1) (2)(2)19.解：（1）（2）（2）一．选择题（每题5分,共50分）三．解答题（共80分）16.解： .............2分.............4分.............6分（2）由（1）得且由可得 .............8分.............10分则 .............11分.............13分18.解：切线的斜率，，将代入切线方程可得切点坐标，根据题意可联立得方程解得（2）由（1）可得，令，得或.极值点不属于区间,舍去.分别将代入函数得.19.解:(1)设数列的首项为,公差为,则.根据题意,可知道,即(解得(2)解法一:由,经化简可得...........2分...........4分...........6分...........7分...........8分...........9分...........10分...........11分...........12分...........13分...........14分...........1分...........3分...........4分...........6分...........7分...........9分数列是首项为,公差为的等差数列..解法二:分别把代入可得:,,,,, 因此,猜想. . 20解: 若 ， ，显然在上没有零点， 所以 ...2分令 得当 时， 恰有一个零点在上； ...5分当 即 时， 也恰有一个零点在上；...8分当 在上有两个零点时， 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩ ..12分解得或 ..13分因此的取值范围是 或 ； ..14分...........10分 ...........13分 ...........14分 ...........10分 ...........13分 ...........14分_; 20779 512B 儫31773 7C1D 簝 38555 969B 際39894 9BD6 鯖b F"236684 8F4C 轌o。

2021届山西省高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|8U x x =≤，集合{}2|80A x x x =-≤，则U C A =（ ） A ．(),8-∞ B ．(],0-∞ C ．(),0-∞ D ．∅ 2.下列命题正确的是（ ）A ．命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆否命题为真命题B ．命题“若a b <，则22ac bc ≤”的逆命题为真命题C ．命题“0,50xx ∀>>”的否定是“000,50xx ∃≤≤” D ．“1x <-”是“()ln 20x +<”的充分不必要条件3.已知tan 3α=，则sin 21cos 2αα=+（ ）A ．-3B ．13-C ．13D ．34.已知向量b 在向量a 方向上的投影为2，且1a =，则a b = （ ） A ．-2 B ．-1 C. 1 D ．25.若点P 为圆221x y +=上的一个动点，点()()1,0,1,0A B -为两个定点，则PA PB +的最大值是（ ）A ．2B ． C. 4 D ．6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是 （ ）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7.完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ） 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 各面内角和的总和 三棱锥 4 6 四棱锥 5 5 五棱锥6（说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数.）A ．()22V π-B ．()22F π- C. ()2E π- D ．()4V F π+-8. 甲、乙二人约定7:10在某处会面，甲在7：00-7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05-7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是（ ） A ．18 B ．14 C. 38 D ．589.执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（ ）A ． 28eB ． 36e C. 45e D ．55e10.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若3,32,3,sin BC CD AC AD ABC ⊥==∠=，则ABC ∆的面积是（ ）A ．62B ．122 C.922 D ．152211.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）A ．16163π+B ．8163π+ C. 32833π+ D ．321633π+ 12.若对于()12,,x x m ∀∈-∞，且12x x <，都有1221211x x x x x e x e e e ->-，则m 的最大值是（ ）A ．2eB ．e C. 0 D ．-1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.若复数52iz i=-，则复数1z +的模是 ． 14.已知()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()()0f x f x -+=，当02x <<时，()21x f x =-，则()()2116f f -+= ．15.如图，点A 在x 轴的非负半轴上运动，点B 在y 轴的非负半轴上运动.且6,2,AB BC BC AB ==⊥.设点C 位于x 轴上方，且点C 到x 轴的距离为d ，则下列叙述正确的个数是_________.①d 随着OA 的增大而减小； ②d 2，此时6OA =；③d的最大值为22，此时6 2OA=；④d的取值范围是2,62⎡⎤+⎣⎦.16.若双曲线()2222:10,0x yE a ba b-=>>的左焦点为F，右顶点为A，P为E的左支上一点，且060,PAF PA AF∠==，则E的离心率是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知等比数列{}n a中，*1121120,4,,nn n na a n Na a a++>=-=∈.（1）求{}n a的通项公式；（2）设()()221lognn nb a=-，求数列{}n b的前2n项和2n T.18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，//,AF DE AF AD⊥，且平面BED⊥平面ABCD.（1）求证：AF CD⊥；（2）若0160,2BAD AF AD ED∠===，求多面体ABCDEF的体积.19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：（1）某人打算将()()()0.3, 1.8, 1.5A kg B kg C kg 三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；（2）若,,A B P （点P 不与椭圆顶点重合）为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OP OA OB =+，求AB 所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值. 21. 已知函数()()211ln 2f x x a x ax =-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()()2112a x f x a x x e ++≥++-对于任意1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦成立，求正实数a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B 两点，且1AB =-，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()1f x x a a R =--∈.（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.2021届山西省高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题1-5: CADDB 6-10: BACBA 11、12：BC二、填空题13. 2 14. -1 15. 2 16. 4三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q-+-=， 因为0q >，解得2q =， 所以11*422,n n n a n N -+=⨯=∈； （2）()()()()()()2221221log 1log 211nnnn n n b a n +=-=-=-+，设1n c n =+，则()()21nn n b c =-，()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++++=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++()()21234212222123232n n n n c c c c c c n n n n -++⎡⎤⎣⎦=++++++==+=+.18. （1）证明：连接AC ，由四边形ABCD 为菱形可知AC BD ⊥， ∵平面BED ⊥平面ABCD ，且交线为BD ， ∴AC ⊥平面BED ，∴AC ED ⊥， 又//AF DE ，∴AF AC ⊥，∵,AC AD A AF AD ⊥=，∴AF ⊥平面ABCD ， ∵CD ⊂平面ABCD ，∴AF CD ⊥；（2）解：ABCDEF E BCD B ADEF V V V --=+，由（1）知AF ⊥平面ABCD ，又//AF DE ，∴DE ⊥平面ABCD ， 则011143422sin 60332E BCD BCD V ED S -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=取AD 的中点H ，连接BH ，则,3BH AD BH ⊥=， 由（1）可知BH AF ⊥，∴BH ⊥平面ADEF ， 则()111324223332B ADEF DEF V BH S -∆=⨯⨯=⨯+⨯= 所以43102333ABCDEF V ==，即多面体ABCDEF 1033.19.解：（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为3； （2）将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元） 故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.20.解：（1）由已知得1,2c a ===∴1a b ==，则E 的方程为2212x y +=；（2）设():0AB x my t m =+≠代入2212x y +=得()2222220my mty t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++， ()2282m t ∆=+-，设(),P x y ，由OP OA OB =+，得()121212122224,222mt ty y y x x x my t my t m y y t m m =+=-=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()22222221641222t m t m m +=++，即()()22224212t m m +=+，∴2242t m =+， 在x my t =+中，令0y =，则x t =，令0x =，则ty m=-.∴三角形面积22111212122888t m S xy m m m m ⎛⎫+==⨯=⨯=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当222,1m t ==时取得等号，此时240∆=>，. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()()2111x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==， 若01a <<，则当0x a <<或1x >时，()()0,f x f x '>单调递增； 当1a x <<时，()()0,f x f x '<单调递减， 若0a ≤，则当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减； 当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增.（2）原题等价于对任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln 1a a x x e -+≤-成立，设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max 1g x e ≤-，()()11a a a x a g x ax x x---'=+=， 令()0g x '<，得01x <<；令()0g x '>，得1x >， 所以函数()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max g x 为1a g a e e -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()a g e a e =-+中的较大值，设()()()120a a h a g e g e e a a e -⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭，则()220a a h a e e -'=+->-=，所以()h a 在()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，所以()1g e g e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 从而()()max a g x g e a e ==-+，所以1a a e e -+≤-，即10a e a e --+≤，设()()10a a e a e a ϕ=--+>，则()10a a e ϕ'=->， 所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增，又()10ϕ=，所以10a e a e --+≤的解为1a ≤， 因为0a >，所以正实数a 的取值范围为(]0,1.22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把,x x y y ''==代入上述方程得，()22103y x y '''+=≥，∴2C 的方程为()22103y x y +=≥， 令cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈， 由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=， 由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=-，∴1cos 2α=±， 而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-；（2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++，当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意，当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩，即()312,12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩，所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-，当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =，综上，2a =或-4.。

2021年高三上学期中段考试（数学文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.Ｍ＝，Ｎ＝，则集合ＭＮ＝ ( )A.{}B.{}C.{}D.{}2． =（）A． B． C． D．3.已知函数，则的值是 ( )A. 9B.C. -9D. -4.设且，则锐角x为( )A. B. C. D.5.已知等比数列的前三项依次为，，，则（）A．B．C．D．6．函数的零点一定位于下列哪个区间（）A. B. C. D.7，为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位8.函数的图象大致是 ( )9. 已知定义在正整数集上的函数满足条件：，,,则的值为（）A．－2 B． 2 C．4 D．－4 10.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为( ) A．B．C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 12. 函数的最小正周期为____________.13. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论： _________________________________________.14．（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程化为直角坐标方程是____________________； 15．（几何证明选讲选做题）如图，梯形，，是对角线和的交点，， 则__________ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数)( 1cos sin 32cos 2)(2R x x x x x f ∈-+=（Ⅰ）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若，求函数的最大值与最小值．17、（本小题满分12分）在递增等差数列中，已知，且、、成等比数列，． (1) 求数列的公差；(2) 设数列的前项和为，求的最值．18、（本小题满分14分）在△ABC 中，已知 ．(1) 求AB 边的长度； (2)证明：； （3）若,求．19、（本题满分14分）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油 升，司机的工资是每小时14元. （1）求这次行车总费用关于的表达式；（2）当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．20、（本题满分14分）观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题： （Ⅰ）求第六行的第一个数． （Ⅱ）求第20行的第一个数． （Ⅲ）求第20行的所有数的和．21．(本题满分14分)设函数8)(,42)(223-+=-++=x ax x g x x x x f （1）求函数极值；（2）当恒成立，求实数a 的取值范围.广东省恩城中学xx 届高三上学期中段考试（数学文）参考答案一、选择题(每小题5分，共50分)二、填空题(每小题5分，共20分)11、___2____ 12、___π_____13、2(1)(2)(32)(21)n n n n n +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-19171513119753114、 15、 1：6三、解答题(共80分，16、17题12分，18-21题每小题14分)16、（本小题满分12分）设函数)( 1cos sin 32cos 2)(2R x x x x x f ∈-+=（Ⅰ）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若，求函数的最大值与最小值．解：（Ⅰ）∵…………………………… 2 分∴函数的最小正周期 …………………………… 4 分222,26236()[]36k x k k x k f x k k πππππππππππππ-≤+≤+∴-≤≤+-+的单调递增区间为，………………… 6 分（Ⅱ）∵， ∴ ……………………………7分∴∴ …………………………… 8分∴当 时，即时…………………………… 10分 当 时，即时…………………………… 12分17、（本小题满分12分）在递增等差数列中，已知，且、、成等比数列，． (I)求数列的公差；(Ⅱ)设数列的前项和为，求的最值．解：(I)、、成等比数列……………………………… 2分……………………………… 4分 整理得：，解得或……………………………… 5分 又递增……………………………… 6分 (Ⅱ)由，得……………………………… 8分 令得：，且……………………………… 11分所以前6项或者前7项的和最小，无最大值……………………………… 12分18、（本小题满分13分）在△ABC 中，已知 ．(1) 求AB 边的长度； (2)证明：； （3）若,求．CB A解：（1）∵∴2()||2AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=-=⋅-=-∵ ∴, 即AB 边的长度为----------------4分 (2) 由 得--------------------①即--------------------②-----6分 由①②得, 由正弦定理得 ∴∴-----------------------------------------------9分 (3) ∵，由（2）中①得由余弦定理得222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=∴=--------------------------------------------------------------------------14分19、（本题满分14分）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油 升，司机的工资是每小时14元. （1）求这次行车总费用关于的表达式；（2）当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解：（1）行车所用时间为 ………1分2130141302(2),[50,100]360x y x x x⨯=⨯⨯++∈ ………5分所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 （或：）…7分 （2） ………10分当且仅当时，上述不等式中等号成立 ………12分当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元………14分20、（本题满分14分）观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题： （Ⅰ）求第六行的第一个数． （Ⅱ）求第20行的第一个数． （Ⅲ）求第20行的所有数的和．解：（Ⅰ）第六行的第一个数为31……………2分（Ⅱ）∵第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是 ……………5分 ∴ ……………7分 ∴ …………9分191715131197531∴第20行的第一个数为381 ……………10分 （Ⅲ）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数设第20行的所有数的和为 ………………12分 则 ……………14分21．(本题满分14分)设函数8)(,42)(223-+=-++=x ax x g x x x x f （1）求函数极值；（2）当恒成立，求实数a 的取值范围. （1）∵f (x )=x 3+2x 2+x —4∴=3x 2+4x +1，………………………………………………2分 令=0，得x 1= —1,x 2= —.（2）设F(x )=f (x )—g(x )=x 3+(2—a )x 2+4x a x x F a x F a x x F x F )2(23)(02804)(02),0[0)(,),0[0)(2min min -+='∴<->=≥-+∞∈≥∴+∞≥若分显然若上恒成立在上恒成立在4)342()2()342(:0)342()(),0[0)(,3420)(,3420342,00)(23min 21≥+-⋅---≥-=+∞∈∴>'-><'-<<-==='a a a a F x F x x F a x x F a x a x x x F 即即可时当时当时当解得令解得a ≤5 ∴2<a ≤5………10分，当x =0时，F(x )=4∴a 的范围为…………1４分32646 7F86 羆 35325 89FD 觽 23716 5CA4 岤 . z24524 5FCC 忌7$26757 6885 梅37558 92B6 銶b。

2023-2024学年山西省大同市高一上册11月期中教学质量监测数学试题一、单选题1．设集合{}2430A x x x =-+>，{}20B x x =-<，则A B = （）A ．()1,2B ．(),1-∞C ．()2,3D ．()3,+∞【正确答案】B【分析】解不等式确定集合,A B ，然后由交集定义计算．【详解】由题意{|1A x x =<或}3x >，{|2}B x x =<，所以(),1A B ⋂=-∞故选：B ．2．命题“R x ∀∈，3x <”的否定是（）A ．0R x ∃∈，03x ≥B ．0R x ∃∈，03x <C ．R x ∀∉，3x <D ．R x ∀∈，3x ≥【正确答案】A【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，然后直接判断作答.【详解】命题“R x ∀∈，3x <”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“R x ∀∈，3x <”的否定是“0R x ∃∈，03x ≥”.故选：A3．已知幂函数()f x 的图像过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则对()f x 的表述正确的有（）A ．是奇函数，在()0,∞+上是减函数B ．是奇函数，在(),0∞-上是增函数C ．是偶函数，在()0,∞+上是减函数D ．是偶函数，在(),0∞-上是减函数【正确答案】C【分析】根据幂函数的定义求解出函数的解析式，再根据解析式分析函数的奇偶性和单调性可得出答案.【详解】依题意可设()a f x x =，则142a⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得2a =-，所以()2f x x -=，故()f x 是偶函数，且在(),0∞-上是增函数，在()0,∞+上是减函数．故选：C.4．“不等式2230x x m -+>在R 上恒成立”的充分不必要条件是（）A ．13m <B ．0m >C ．1m >D ．13m >【正确答案】C【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分不必要条件的概念求出选项.【详解】不等式2230x x m -+>在R 上恒成立⇔2(2)120m ∆=--<，即13m >，对A ，“13m <”无法推出“13m >”，反之“13m >”也无法推出“13m <”，故“13m <”是不等式2230x x m -+>在R 上恒成立的既不充分也不必要条件，故A 错误；对B ，“0m >”无法推出“13m >”，反之，“13m >”可以推出“0m >”，故“0m >”是不等式2230x x m -+>在R 上恒成立的必要不充分条件，故C 错误，对C ，113m m >⇒>，但“13m >”不能推出“1m >”成立，故1m >是不等式2230x x m -+>在R 上恒成立的充分不必要条件，故C 正确，对D ，显然是充要条件，故D 错误，故选：C.5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m 3的部分3元/m 3超过12m 3但不超过18m 3的部分6元/m 3超过18m 3的部分9元/m 3若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（）A ．173m B ．183m C ．193m D ．203m 【正确答案】D【分析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.【详解】依题意，设此户居民月用水量为3m x ，月缴纳的水费为y 元，则3,012366(12),1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当1218x <≤时，3672y <≤，当18x >时，72y >，因此，由90y =得：99090x -=，解得20x =，所以此户居民本月的用水量为320m .故选：D6．函数1()||f x x x=-的图象大致为（）A ．B ．C．D．【正确答案】B【分析】首先求出函数的定义域，再将函数改写成分段函数，最后根据函数在()0,∞+上的单调性判断即可；【详解】解：因为1()||f x x x=-，所以定义域为{}|0x x ≠，所以1,01()1,0x x xf x x x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，当0x >时1()f x x x=-，因为y x =与1y x -=在()0,∞+上单调递增，所以函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，故排除A 、C 、D ，故选：B7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若()12f -=，则()2021f =（）A ．4-B ．2-C ．0D ．2【正确答案】B由条件可得()f x 是周期函数，周期为4，然后可得答案.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以()(2)()f x f x f x +=-=-所以()()(4)2f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，周期为4所以()()()2021112f f f ==--=-故选：B8．函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()231f f f -<<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()312f f f <<-【正确答案】B【分析】由条件有()f x 在[1,)+∞上单调递减，函数()1f x +为偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =对称，由对称性和单调性可得()()()213f f f -，，的大小关系.【详解】对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-,即对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠,设12x x <，都有12()()f x f x >，所以()f x 在[1,)+∞上单调递减.又函数()1f x +为偶函数，即(1)(1)f x f x +=-.则()f x 的图像关于直线1x =对称.所以(2)(4)f f -=,则()()()-2(4)31f f f f =<<.故选：B.本题考查函数单调性的定义及其应用，考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题.二、多选题9．下列各组函数不是同一个函数的是（）A ．()221f x x x =--，()221g m m m =--B ．()1f x =，()0g x x=C ．()f x =，()g x =D ．()f x x =，()2x g x x=【正确答案】BCD【分析】利用相同函数的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A ，两个函数定义域都为R ，对应法则相同，只是表示自变量的符号不同，A 是同一函数；对于B ，函数()f x 定义域为R ，()g x 定义域为非零实数集，B 不是同一函数；对于C ，函数()f x 定义域为(,1][1,)∞∞--⋃+，而()g x 定义域为[1,)+∞，C 不是同一函数；对于D ，函数()f x 定义域为R ，()g x 定义域为非零实数集，D 不是同一函数.故选：BCD10．下列说法正确的是（）A ．若()g x 是奇函数，则一定有()00g =B ．函数()1f x x=在定义域内是减函数C ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()23f x -的定义域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数y x =+[)1,-+∞【正确答案】CD【分析】举例说明判断A ；求出函数单调区间判断B ；求出复合函数的定义域判断C ；利用单调性求出函数值域判断D 作答.【详解】对于A ，函数1(R,0)y x x x=∈≠是奇函数，当0x =时，函数值不存在，A 不正确；对于B ，函数()1f x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，在(,0),(0,)-∞+∞上都递减，在定义域上不单调，B 不正确；对于C ，因为()f x 定义域为[]22-,，则在()23f x -中，由2232x -≤-≤得：1522x ≤≤，所以()23f x -的定义域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 正确；对于D ，函数y x =[)1,-+∞，且y x =[)1,-+∞上单调递增，于是得=1x -时，min 1y =-，所以函数y x =[)1,-+∞，D 正确.故选：CD11．已知正数m ，n 满足24m n +=，则下列说法正确的是（）A ．3m n +的最大值为254B ．2mn 的最大值为4C ．211m n +的最小值为4D ．24m n +的最小值为8【正确答案】ABD【分析】由24m n +=,变形240m n =->,得到02n <<,转化为二次函数求解判断A ，利用基本不等式求解即可判断BCD ，注意取等条件.【详解】对A 选项，由题得,240,02m n n =->∴<<2234324532m n n n n ⎛⎫∴+=-+=--⎭+⎪⎝，则当32n =时,3m n +取得最大值254,所以A 正确，对B 选项，由题得()22244m n mn +≤=,当且仅当2m n =，24m n +=，即2,m n ==,等号成立，所以B 正确，对C 选项，()222111114m n m n m n ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭221122144n m m n ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22n mm n =，24m n +=，即2,m n ==时，等号成立,所以C 不正确，对D 选项，2242422m n m n ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭248m n ∴+≥，当且仅当24m n =，24m n +=，即2m =,n 时,等号成立,所以D 正确.故选：ABD.12．对于定义在D 函数()f x 若满足：①对任意的x D ∈，()()0f x f x +-=；②对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得()()121222f x f x x x ++=．则称函数()f x 为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（）．A ．()f x x =B ．()22,01,10x x f x x x ⎧<<=⎨--<<⎩C ．()1f x x=D ．()11x f x x -=+【正确答案】ABC【分析】根据已知“等均值函数”的定义，逐项分析验证所给函数是否满足所给的两个条件，即可判断答案.【详解】对于()f x x =定义域为R ，满足()()f x x f x -=-=-，满足()()0f x f x +-=，对任意的1R x ∈，存在2R x ∈，使得()()121222f x f x x x ++=,故A 正确；对于()22,01,10x x f x x x ⎧<<=⎨--<<⎩，若(0,1)x ∈，则(1,0)-∈-x ，则22()()()f x x x f x -=--=-=-，若(1,0)x ∈-，则(0,1)x -Î，则22()()()f x x x f x -=-==-，即满足①；对任意的1(0,1)x ∈，存在211(1,0)x x =-∈-，使得()()121212121222()22)22(f x f x x x x x x x x x -=-+++==，对任意的1(1,0)x ∈-，存在211(0.1)x x =+∈，使得()()121212211222()2222)(f x f x x x x x x x x x +++===-+-，即()22,01,10x x f x x x ⎧<<=⎨--<<⎩满足②，故B 正确；对于()1f x x=，定义域为(,0)(0,)-∞∞ ，对任意的(,0)(0,)x -∞∈∞ ，都有()()110f x f x x x+-=-=成立，满足①；对任意的1(,0)(0,)x -∈∞∞ ，存在211(,0)(0,)x x =∈-∞∞ ，使得()()1212121212221122x x f x f x x x x x x x +++===+，即满足②，故C 正确；对于()11x f x x -=+，定义域为(,1)(1,)-∞--∞ ，当1x =时，1(,1)(1,)x =-∉-∞--∞ ，故对任意的(,1)(1,)x -∞--∈∞ ，()()0f x f x +-=不成立，故D 错误，故选：ABC三、填空题13．二次函数212y x x =-++的函数图像与x 轴两交点之间的距离为______.【正确答案】7【分析】令0y =求出与x 轴两交点，即可算出答案.【详解】因为212y x x =-++，令0y =得2120x x -++=，解得124,3x x ==-，所以，函数图像与x 轴两交点之间的距离为()437--=.故714．若“[]2,0x ∃∈-，223m x x ≥+-”是真命题，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】4m ≥-【分析】由原命题为真命题，结合能成立利用函数最值求解即可.【详解】由题意，“[]2,0x ∃∈-，223m x x ≥+-”是真命题对于[]2,0x ∃∈-能成立，只需要()2min23m x x ≥+-即可，令()223f x x x =+-，对称轴为=1x -，故函数()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,0-上单调递增，所以()()min 11234f x f =-=--=-，即4m ≥-,所以实数m 的取值范围是4m ≥-.故答案为.4m ≥-15．若函数2(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩在R 上为增函数，则a 取值范围为_____.【正确答案】[]1,2【详解】函数2(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩在R 上为增函数，则需202210(0)1a a f a -⎧≥⎪⎪->⎨⎪≤-⎪⎩，解得12a ≤≤，故填[]1,2.16．已知正实数,a b 满足()33810511a a b b +≤+++，则32a b +的最小值是___________.【正确答案】2##2-+【分析】构造函数()35,0f x x x x =+>，结合条件及函数的单调性可得21a b ≥+，然后利用基本不等式即得.【详解】设()35,0f x x x x =+>，则函数为增函数，∵()33810511a a b b +≤+++，∴33252511a ab b ⨯⎛⎫+≤+ ⎪++⎝⎭，即()21f f a b ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭∴21a b ≥+，∴()322212662211b b a b b b ++=++-≥-=++≥，当且仅当()2126,11a b b b +=++=，即1a b ==取等号.故答案为.2关键点点睛：本题的关键是构造函数()35,0f x x x x =+>，从而得到21a b ≥+，再利用基本不等式可求.四、解答题17．已知集合U 为全体实数，{3M x x =≤-或}4x ≥，{}23N x a x a =-≤≤.(1)若1a =，求()U M N ðI ；(2)若M N N ⋂=，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1){}11x x -≤≤；(2)(](),33,-∞-+∞ .【分析】（1）把1a =代入，利用补集、交集的定义求解作答.（2）根据给定条件，结合集合的包含关系分类求解作答.【详解】（1）当1a =时，{}11N x x =-≤≤，而{|34}U M x x =-<<ð，所以(){}11U M N x x ⋂=-≤≤ð.（2）由M N N ⋂=，得N M ⊆，当N =∅时，23a a ->，解得3a >，满足M N N ⋂=；当N ≠∅时，23a a -≤，即3a ≤，则有3a ≤-或234a -≥，解得3a ≤-或72a ≥，因此3a ≤-，所以实数a 的取值范围是(](),33,-∞-+∞ .18．设命题:p 实数x 满足22230x ax a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足2540x x -+<.(1)若1a =，且p 与q 均是真命题，求实数x 的取值范围；(2)若P 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()1,3(2)4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分别假设,p q 为真命题，解二次不等式解得x ，再取两者交集即可；（2）先解命题p 中的二次不等式，再由必要不充分条件得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解.【详解】（1）当1a =时，若命题p 为真命题，则由2230x x --<解得13x -<<，若命题q 为真命题，则由2540x x -+<解得14x <<，因为p 与q 均是真命题，所以13x <<，即()1,3x ∈；（2）由22230x ax a --<得()()30x a x a -+<，又0a >，则有3a x a -<<，因为p 是q 的必要不充分条件，所以{}14x x <<是{}3x a x a -<<的真子集，则有134a a -≤⎧⎨≥⎩，其中等号不能同时取得，解得43a ≥，故实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19．函数()24ax b f x x -=-是定义在()2,2-上的奇函数，且()113f =.(1)确定()f x 的解析式；(2)解关于t 的不等式()()10f t f t -+<.【正确答案】(1)()24x f x x =-，()2,2x ∈-；(2)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据给定条件，利用特值求出a ，b ，再利用奇函数定义判断作答.（2）结合（1），判断函数()f x 的单调性，再利用奇函数及单调性解不等式作答.【详解】（1）函数()24ax b f x x -=-是定义在()2,2-上的奇函数，则(0)04b f =-=，解得0b =，而()113f =，即133a b -=，解得1a =，此时2()4x f x x =-，()2,2x ∀∈-，22()()4()4x x f x f x x x --==-=----，即函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 的解析式是2()4x f x x =-，()2,2x ∈-.（2）函数()f x 在()2,2-上为增函数，()12,2,2x x ∀∈-，12x x <，()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----，因为1222x x -<<<，则210x x ->，1240x x +>，2140x ->，2240x ->，因此()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，于是得()f x 在()2,2-上为增函数，由（1）知，不等式()()()()()()1011f t f t f t f t f t f t -+<⇔-<-⇔-<-，从而212t t -<-<-<，解得112t -<<，所以所求不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a 万元(0)a >，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（N x ∈且100275x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元．(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m ，满足以上两个条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)125.(2)存在，{}23m ∈.【分析】（1）根据题意，得到()[]4001(4)%400x x a a -+≥，解得0375x ≤≤，结合条件100275x ≤≤，可求得125400300x ≤-≤，由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人；（2）由条件①得4001525x m x ≤++，由条件②得2125x m ≥+，假设存在m 同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得2323m ≤≤，即23m =，故确定存在m ，且{}23m ∈.【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元，则()[]4001(4)%400,(0)x x a a a -+≥>，整理得20.04150x x -≤，解得0375x ≤≤，因为N x ∈且100275x ≤≤，所以100275x ≤≤，故125400300x ≤-≤，所以要使这()400x -名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人.（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得()[]24001(4)%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，上式两边同除以ax 得4002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得4001525x m x ≤++；由条件②由技术人员年人均投入不减少，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+；假设存在这样的实数m ,使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，即24001152525x x m x +≤≤++()100275x ≤≤恒成立，因为40015152325x x ++≥=，当且仅当40025x x =，即100x =时等号成立,所以23m ≤，又因为100275x ≤≤，当275x =时，2125x +取得最大值23，所以23m ≥，所以2323m ≤≤，即23m =，即存在这样的m 满足条件，其范围为{}23m ∈.。

2020-2021学年大同一中高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=i31+2i，则|z|=()A. √55B. √53C. 15D. 592.下列选项中，说法正确的是()A. “∃x0∈R，x02−x0≤0”的否定是“∃x0∈R，x02−x>0”B. 若向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ <0，则a⃗与b⃗ 的夹角为钝角C. “x∈A∪B”是“x∈A∩B”的必要条件D. 若am2≤bm2，则a≤b3.已知常数a>0，不等式|f(x)+g(x)|<a的解集为M，不等式|f(x)|+|g(x)|<a的解集为N，则下列关系式中不可能成立的是()A. M=NB. M⫋NC. N⫋MD. M∩N≠⌀4.如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有13个花盆，则底层的花盆的个数是()A. 91B. 127C. 169D. 2555.四面体S−ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于()A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°6.已知方程(x2−mx+2)(x2−nx+2)=0的四个根组成以12为首项的等比数列，则|m−n|等于()A. 32B. 32或23C. 23D. 以上都不对7.设D={(x,y)|(x−y)(x+y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y=1与y=t(t∈[−1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S=f(t)的图象的大致形状为()A. B.C. D.8.某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，字母表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为()A. 11B. 9C. 16D. 189.若某几何体的三视图如图所示(每个正方形的边长均为1)，则该几何体的体积等于()A. 16B. 13C. 12D. 5610.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶点为A，过点F与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B，且|AF|=2|BF|=5，则此双曲线的离心率为()A. 32B. 43C. 2D. √611. 已知定义在R 上的函数y =f(x)，其周期为2，且x ∈(−1,1)时f(x)=1+x 2，函数g(x)={1+sinπx(x ≥0)1−1x (x <0)，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−3,5]上的零点个数为( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 812. 已知数列{a n }的通项a n =n 2(7−n)(n ∈N ∗)，则a n 的最大值是( )A. 36B. 40C. 48D. 50二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合U ={2,3，a 2+2a −3}，A ={2,3}，∁U A ={5}，则实数a 的值为 ．14. 某种活性细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关关系，样本数据如表所示：存放温度x(℃)10 4 −2 −8存活率y(%) 20 44 56 80 经计算得回归直线的斜率为−3.2.若存放温度为6℃，则这种细胞存活率的预报值为______%.15. 已知抛物线C ：y 2=−4x 的焦点F ，A(−1,1)，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为______．16. 设a 1=2，a n+1=2a n +1，b n =|a n +2a n −1|，n ∈N ∗，则数列{b n }的通项公式b n = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C ，的对边，向量，且m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (1)求角A ；(2)若3bc =16−a 2，求△ABC 面积的最大值．18. 2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后，80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎不生二胎合计70后30154580后451055合计7525100(1)根据调查数据，判断是否有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由，参考数据如下：P(k2≥k0.100.050.0250.0100.005k 2.7063.8415.0246.6357.879K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．(2)以选100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中(人数很多)随机抽取3位，求3人中生二胎的人数为1人的概率．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．(1)求证：平面PBC⊥平面PBD；(2)求三棱锥P−EFB的体积．20. 已知函数f(x)=(a−12)x2−2ax+lnx，a∈R(1)当a=1时，求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；(2)求g(x)=f(x)+ax在x=1处的切线方程；(3)若在区间(1,+∞)上，f(x)<0恒成立，求实数a的取值21. 已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，x轴被曲线C2：y=x2−b截得的线段长为C1的长半轴长．(1)求C1、C2的方程；(2)设C2与y轴的交点为M，过原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA、MB分别与C1相交于D、E两点．①证明：MD⊥ME；②记△MAB、△MDE的面积分别为S1，S2，问：是否存在直线l，使得S1S2=1732？请说明理由．22. 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos=4，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，射线l′：y=kx(x≥0,0<k<1)与曲线C交于O，M两点．(Ⅰ)写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；(Ⅱ)若射线l′与直线l交于点N，求|OM||ON|的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x−1|+|x−5|．(1)解不等式f(x)≤6；(2)若正实数a，b满足a+b=ab，且函数f(x)的最小值为m，求证：a+b≥m．。

山西省 2021 版数学高三上学期文数期中考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） (2020 高一上·深圳期中) 幂函数 值为（ ）A.2 B.3 C.4 D . 2或4在上单调递增，则 的2. （1 分） (2016 高一上·河北期中) 设 a=log2π，b=log π，c=π﹣2 ， 则（ ） A . a＞b＞c B . b＞a＞c C . a＞c＞b D . c＞b＞a3. （1 分） 已知集合 A. B. C. D.则（ ）4. （1 分） (2019 高一上·兰州期中) 若函数，且函数在上是增函数，则在 （）上的最大值为 ，最小值第 1 页 共 17 页A.B.C. D. 5. （1 分） (2020 高二上·汕尾期末) 下列函数中，在其定义域内与函数 是（ ）有相同的奇偶性和单调性的A. B.C.D.6. （1 分） 将函数 y=sin（4x+ ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 个单位，得到的 函数的图象的一个对称中心为（ ）A . （ ,0）B . （ ,0）C . （ ,0）D . （ ,0）7. （1 分） 已知向量，, 若 // , 则实数 m 等于（ ）A.B.第 2 页 共 17 页C. 或 D.0 8. （1 分） 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A . y=x-1 B . y=tanx C . y=x3 D . y=log2x 9. （1 分） 已知函数 f（x）=x3﹣3x2﹣k 有三个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A . （﹣4，0） B . [﹣4，0） C . （﹣∞，﹣4） D . （0，+∞）10. （1 分） (2019 高二下·南宁期中) 若点 O 和 F 分别为椭圆的任意一点，则的最小值为（ ）的中心和左焦点，点 P 为椭圆上A. B.0 C.1D.11. （1 分） (2019 高一上·宜昌期中) 函数的图象的大致形状是（ ）第 3 页 共 17 页A. B. C.D. 12. （1 分） 已知数列{an}满足： A. B.5 C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)， 则 a2009=（ ）第 4 页 共 17 页13. （1 分） (2016 高二上·海州期中) ∀ x∈R，x2﹣x+ ≥0 的否定是________．14.（1 分）(2018 高二上·牡丹江期中) 已知，，，则________15. （1 分） (2017 高一上·南昌月考) 计算：的结果是________．16. （1 分） (2020 高三上·会昌月考) 在锐角的面积为 ，若，，中，角的对边分别为，，则的面积 为________．三、 解答题 (共 6 题；共 12 分)17. （2 分） 已知命题：“∀ x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式 x2﹣x﹣m＜0 成立”是真命题．（1）求实数 m 的取值集合 B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0 的解集为 A，若 x∈A 是 x∈B 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范 围．18. （2 分） (2020 高一下·永济期中) 已知函数.（1） 判断函数的奇偶性和周期性；（2） 若，求 x 的取值集合.19. （2 分） (2018 高一下·瓦房店期末) ．（Ⅰ）求角 的大小；的内角的对边分别为，已知（Ⅱ）若，求的最大值．20. （2 分） (2018 高三上·大连期末) 已知函数.（1） 若曲线在处的切线方程为，求的极值；（2） 若 明理由.，是否存在，使的极值大于零？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说第 5 页 共 17 页21. （2 分） (2018 高二上·普兰期中) 已知 .(Ⅰ)求；中，内角所对的边长分别是，(Ⅱ)若且，求面积.22. （2 分） (2018 高二下·如东月考) 已知函数，（ ，）.（1） 若，，求函数的单调减区间；（2） 若时，不等式在上恒成立，求实数 的取值范围；（3） 当，时，记函数.的导函数的两个零点是 和 （ ），求证：第 6 页 共 17 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、 考点：第 7 页 共 17 页解析：答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点： 解析：第 8 页 共 17 页答案：7-1、 考点： 解析： 答案：8-1、 考点： 解析： 答案：9-1、 考点： 解析：第 9 页 共 17 页答案：10-1、 考点： 解析：答案：11-1、 考点：第 10 页 共 17 页解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共12分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

山西省2021版数学高三上学期文数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·榆林期中) 下列函数为幂函数的是（）A .B .C .D .2. （1分）已知x=log23﹣log2 ，y=log0.53，z=0.9﹣1.1 ，则（）A . x＜y＜zB . z＜y＜xC . y＜z＜xD . y＜x＜z3. （1分）(2020·枣庄模拟) 集合的非空真子集的个数为（）A . 2B . 4C . 6D . 84. （1分）设实数，则a,b,c的大小关系为（）A . a<c<bB . c<b<a5. （1分）对于函数，下列结论中正确的是：（）A . 当时，在上单调递减B . 当时，上单调递减C . 当时,在上单调递增D . 当时，在上单调递增6. （1分）(2018·宣城模拟) 下列有关命题的说法错误的是（）A . 若“ ”为假命题，则与均为假命题B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . “ ”的一个必要不充分条件是“ ”D . 若命题，，则命题，7. （1分）设为基底向量,已知向量,若A,B,D三点共线,则实数k 的值等于（）A . 10B . -10C . 2D . -28. （1分） (2019高一上·郁南月考) 下列函数中,既是奇函数又有零点的增函数的是（）.A . y=sinxB . y=9. （1分） (2015高三上·潍坊期中) 设函数f（x）=lnx﹣ ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a 的取值范围为（）A . （﹣1，0）B . （﹣1，+∞）C . （0，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）10. （1分）(2020·茂名模拟) 在中，，，且点满足，则（）A . 3B . 6C . 8D . 1211. （1分）设，则f（6）的值（）A . 8B . 7C . 6D . 512. （1分）下列函数中，周期为π的奇函数是（）A . y=sin2xB . y=tan2xC . y=sin2x+cos2xD . y=sinxcosx二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≥0”的否定为________14. （1分） (2018高一下·福州期末) 已知，，，，且，，则向量与的夹角是________．15. （1分） sin（﹣）的值是116. （1分） (2020高一下·江阴期中) 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．M为上一点，，，则的面积为________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分）已知集合A={x|1＜x＜7}，集合B={x|a+1＜x＜2a+5}，若满足A∩B={x|3＜x＜7}，求实数a的值．18. （2分） (2018高三上·大连期末) 在中，分别是角所对的边，且满足.（1）求角的大小；（2）设，求的取值范围.19. （2分）(2020·淄博模拟) 下面给出有关的四个论断：① ；② ；③ 或；④ .以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若▲，则▲（用序号表示）并给出证明过程：20. （2分）(2020·芜湖模拟) 已知函数 .（1）若存在极值，求实数a的取值范围；（2）设，设是定义在上的函数.（ⅰ）证明：在上为单调递增函数( 是的导函数)；（ⅱ）讨论的零点个数.21. （2分） (2018高一下·柳州期末) 已知平面向量，若，且 .（1）求与的夹角；（2）若，且，求的值及 .22. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）在（1）的条件下，求证：；（3）当时，求函数在上的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。