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2.5.1 平面向量应用举例
一．【教材分析】
前面已学习了向量的概念及向量的线性运算以及向量的数量积，本节课应用向量的知识来解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题！
二．【教学目标】
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究几何结论和生活中的实际问题；
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.
三．【教学重难点】
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.
难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.
四．【教学过程】
(一).
(二).【新课引入】
平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．本节课，我们就通过几个具体实例，来研讨
建议
说明向量方法在平面几何中的运用
（三）【典例精讲】
例1. 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：2222
2()
AC BD AB BC
+=+
证明：不妨设AB=a，AD=b，则
AC=a+b，DB=a-b，2
||
AB=|a|2，2
||
AD=|b|2．
得2
||
AC AC AC
=⋅=( a+b)·( a+b)
= a·a+ a·b+b·a+b·b
=|a|2+2a·b+|b|2．①
同理,2
||
DB=|a|2-2a·b+|b|2．②
①+②得2
||
AC+2
||
DB=2(|a|2+|b|2)=2(2
||
AB+2
||
AD)．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
对比其他方法：
建系设坐标法和做辅助线勾股定理等方法体验向量法的优越性.
跟踪练习应用上述结论解题
引导学生归纳，用向量方法解决平面几何问题“三步曲”：
⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面
几何问题转化为向量问题；
⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
⑶把运算结果“翻译”成几何关系．
简述为：
几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化
例2、如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？
解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ． 因为AR 与AC 共线，因此，存在实数m ，使得AR =m (a +b )．
又因为BR 与BE 共线，因此存在实数n ，使得BR =n BE = n (1
2
b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (
1
2
b - a )． 整理得(1)m n +-a ＋1
()2
m n -b ＝0．
由于向量a 、b 不共线，所以有 10,1
0,2m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1,3
2.3m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以13AR AC =
．同理 13TC AC =．于是 1
3
RT AC =． 所以 AR ＝RT ＝TC ．
引导学生小组讨论合作探究出其它方法一一展示、对比、点拨、点评
练习 1.矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，E,F 分别为BC,CD 的中点，则
BD AF AE ⋅+)(=_____
练习2.在三角形ABC 中，∠BAC=120°AB=AC=3，点D 在线段BC 上，DC=2BD,求： （1）AD 的长； （2）∠DAC 的大小.
如有时间，爬黑板展示
(四) 【课堂小结】
1.向量法：基底法和坐标法
2.利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲” （1） 建立平面几何与向量的联系，
（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） 把运算结果“翻译”成几何关系.
数学思想与方法：转化，数形结合，几何问题代数化
（五） 【板书设计】
§ 2.5.1 平面向量的应用举例
例1 例2 练习 小结
