数学：平面向量应用举例教案北师大版必修

2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。

五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

第二章平面向量及其应用1从位移、速度、力到向量........................................................................................ - 1 - 2从位移的合成到向量的加减法................................................................................ - 8 - 3从速度的倍数到向量的数乘.................................................................................. - 23 - 4平面向量基本定理及坐标表示.............................................................................. - 35 - 5从力的做功到向量的数量积.................................................................................. - 52 - 6平面向量的应用...................................................................................................... - 67 -1从位移、速度、力到向量学习任务核心素养1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养．(1)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．民航客机飞行一次，位移变化一次，由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述情境涉及哪些物理量？其特点是什么？ 问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 问题3：平行向量一定是相等向量吗？ 知识点1 向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作⎪⎪⎪⎪AB →.(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向．知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0→； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．[答案] 一条直线 两个点 知识点4 向量的基本关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a ＝b . (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量共线．(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a 的相反向量记作－a ；规定零向量的相反向量是零向量．2.下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则||a ＝0 B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任意向量平行D ．零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B 是错误的．]知识点5 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，在平面内选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角；(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：θ＝0°⇔a 与b 同向；θ＝180°⇔a 与b 反向；θ＝90°⇔a ⊥b ，规定：零向量与任一向量垂直．3.等边△ABC 中，AB→与AC →的夹角是________，AB →与BC →的夹角是________．[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；(2)若AB→＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(4)若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．(2)AB→＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确． (3)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，(3)正确．(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．[跟进训练]1．已知O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量C [⎪⎪⎪⎪AO →＝⎪⎪⎪⎪BO →＝⎪⎪⎪⎪CO →＝r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．[解] (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →，如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →， ∴AD 与BC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．[跟进训练]2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ [解] (1)(2)(3)的图象如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆． 类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，(1)分别写出图中所示与OA →，OB →，OC →相等的向量； (2)分别求出AB →与OB →，AB →与FE →的夹角的大小．[解] (1)OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°，AB →与FE →的夹角的大小为60°.1．例3中与OA →模相等的向量有多少？ [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个． 2．例3中向量OA →的相反向量有哪些？[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →，BC →，FE →，AO →. 3．例3中与向量OA →共线的向量有哪些？[解] 与向量OA →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. 4．求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．[跟进训练]3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量； (3)求AE →与CD →夹角的度数． [解] (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.(3)因为CD →＝AF →，所以AE →与CD →夹角为∠EAF ＝45°.当堂达标1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③若|a |＞|b |，则a ＞b .A ．0B ．1C ．2D ．3B [①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故②对．]2．(多选题)下列说法错误的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝±bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量称为相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向不一定相同，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选ACD.]3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 D [由AB →＝DC →可知AB ∥DC ，且|AB →|＝|DC →|， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AD →|＝|AB →|，所以平行四边形ABCD 为菱形．故选D.]4．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．[答案] OA →与BO →，AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，则DA →与CA →的夹角为________；DA →与BC →的夹角为________．30° 180° [由图知，DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角，又因∠DAB ＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO ＝30°，故DA →与CA →的夹角为30°，DA →与BC →为相反向量，故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？[提示]用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同？[提示]共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．2从位移的合成到向量的加减法2．1向量的加法学习任务核心素养1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点)1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养．有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力F1，F2的大小分别是|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：上述体现了向量的什么运算？ 问题2：向量加法运算常用什么法则？ 问题3：向量的加法运算结果还是向量吗？ 知识点 向量求和法则及运算律 类别 图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知不共线向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →平行四边形法则已知不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加法的运算律 交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1.根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )[提示] ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a .∴a ＋b ＝b ＋a .2.根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )[提示] ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →＝(a ＋b )＋c ， 又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)0＋a ＝a ＋0＝a ；( ) (2)AB →＋BC →＝AC →；( ) (3)AB →＋BA →＝0；( )(4)在平行四边形ABCD 中，BA →＋BC →＝BD →；( ) (5)|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×类型1 向量加法法则的应用【例1】 (教材北师版P 81例1改编)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .[解] (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．[跟进训练]1．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .类型2 向量加法及其运算律 【例2】 化简下列各式： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解] (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0或DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋CD →)＋BC →＝(CD →＋DB →)＋BC →＝CB →＋BC →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．[跟进训练]2.如图，在平行四边形ABCD 中(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________．(1)AC → (2)AO → (3)AD → (4)0 [(1)由平行四边形法则知，AB →＋AD →＝AC →.(2)AC →＋CD →＋DO →＝AD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(4)∵BA →＝CD →，∴AC →＋BA →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.] 类型3 向量加法的实际应用【例3】 (教材北师版P 81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解] 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝v 水＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？ [解] 由题意可知|AC →|＝32|AD →|＝32×20＝103(m/min)＝335(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935(km).2．若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解] 如图所示，|AD →|＝|BC →|＝|v 船|＝20 m/min ， |AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，则tan ∠BAC ＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．[跟进训练]3．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N [答案] B当堂达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →C [由加法的平行四边形法则可知AB →＋AD →＝AC →，即(－BA →)＋AD →＝AC →，所以AC →＋BA →＝AD →.]2．(多选题)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB →D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →ABC [FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →.故选ABC.]3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________. 213 [|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213.] 4.根据图填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．(1)DB → (2)CA → [(1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.]5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则： (1)|a ＋b |＝________；(2)向量a ＋b 的方向是________.(1)82 (2)北偏东45°(或东北方向) [(1)如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →，所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝8 2. (2)因为∠AOB ＝45°， 所以a ＋b 的方向是东北方向．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和？[提示](1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．(2)向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题？[提示]在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．2向量的减法学习任务核心素养1．掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义．(重点)2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．(难点)1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养．小明的父亲在台北工作，他经常乘飞机从台北到香港开会，再从香港到上海洽谈业务．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．阅读教材，综合上述情境回答下列问题： 问题1：上述问题中，b 能用a ，c 表示吗？问题2：方向相同且模相等的两个向量称为什么向量？方向相反且模相等的两个向量称为什么向量？问题3：零向量的相反向量是什么？ 问题4：向量减法是向量加法的逆运算吗？ 知识点1 相反向量定义把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫作向量a 的相反向量，记作－a规定：零向量的相反向量仍是零向量． 性质(1)－(－0)＝0；(2)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a ．知识点2 向量减法 (1)定义向量a 减向量b 等于向量a 加上向量b 的相反向量，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？[提示] 因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)BA →＝OA →－OB →； ( ) (2)相反向量是共线向量； ( ) (3)a －b 的相反向量是b －a ； ( ) (4)|a －b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.OP →－QP →＋PS →＋SP →＝( ) A ．QP → B ．OQ → C ．SP → D ．SQ → [答案] B类型1 向量减法的几何作图【例1】 (教材北师版P 84例4改编)如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .[解] 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .若本例条件不变，则a －b －c 如何作？[解] 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a ，b ，如图①所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .,(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a －b .如图②所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，AC →＝－b ，则OC →＝a ＋(－b )，即BA →＝a －b .[跟进训练]1.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作：(1)向量b ＋c －a ； (2)向量a －b －c .[解] (1)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，如图，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .(2)由a －b －c ＝a －(b ＋c )，如图，作▱OBEC ，连接OE ，则OE →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，连接AE ，则EA →＝a －(b ＋c )＝a －b －c .类型2 向量减法的运算 【例2】 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).[解] (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点． 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．[跟进训练]2．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).[解] (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0. 类型3 向量加减法的综合应用【例3】 (1)已知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝5，则|a －b |＝________． (2)(教材北师版P 85例6改编)已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →.(1)5 [(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，则四边形ABCD 是平行四边形． 又∵(5)2＝12＋22，∴平行四边形ABCD 为矩形， ∴|a －b |＝⎪⎪⎪⎪DB →＝|AC →|＝ 5.] (2)[解]如图所示：OD →＝OA →＋AD →＝a ＋BC →＝a ＋(OC →－OB →)＝a ＋c －b .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可．[跟进训练]3．设平面内四边形ABCD 及任一点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d 且|a －b |＝|a －d |.试判断四边形ABCD 的形状．[解] 由a ＋c ＝b ＋d 得a －b ＝d －c ，即OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，于是AB 与CD 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形．又|a －b |＝|a －d |，从而|OA →－OB →|＝|OA →－OD →|， ∴|BA →|＝|DA →|，∴四边形ABCD 为菱形．当堂达标1．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则BC →＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －aD ．－a －bC [BC →＝AC →－AB →＝b －a .]2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c [答案] A3．(多选题)下列四个式子中可以化简为AB →的是( ) A ．AC →＋CD →－BD → B ．AC →－CB → C ．OA →＋OB →D ．OB →－OA →.AD [因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以A 正确；因为OB →－OA →＝AB →，所以D 正确，故选AD.]4．设正方形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋AD →－CD →|＝________． 42 [如图，原式＝|(AB →＋AD →)－(CB →＋CD →)|＝|AC →－CA →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|， ∵正方形边长为2， ∴2|AC →|＝4 2.]5．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)垂直 [如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形， 则|a ＋b |＝|OC →|， |a －b |＝|BA →|， 又|a ＋b |＝|a －b |， 则|OC →|＝|BA →|，即平行四边形OACB 的对角线相等， ∴平行四边形OACB 是矩形， ∴a ⊥b .]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量减法的实质是什么？[提示]向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.在用三角形法则作向量减法时，应注意什么问题？[提示]在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.3从速度的倍数到向量的数乘3．1向量的数乘运算学习任务核心素养1．掌握向量数乘的运算及其运算律．(重点)2．理解数乘向量的几何意义．(重点)1．通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养．夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则v1与v2有何关系？问题2：实数与向量相乘结果是实数还是向量？(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.(2)|λa|＝|λ||a|.(3)方向：λa 的方向⎩⎨⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反；当λ＝0时，0a ＝0.(4)几何意义：当λ>0时，表示向量a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍；当λ<0时，表示向量a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？[提示] 不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．1.已知|a |＝2，|b |＝3，若两向量方向相同，则向量a 与向量b 的关系为b＝________a .32 [由于|a |＝2，|b |＝3，则|b |＝32|a |，又两向量同向，故b ＝32a .] 知识点2 数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a ，b 为向量，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.( ) (2)对于非零向量a ，向量－2a 与向量a 方向相反． ( ) (3)当a 是非零向量，－1||a a 是与向量a 反向的单位向量．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√类型1 向量数乘运算的定义【例1】 已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a 的方向与a 的方向相同； (2)|－2a |＝32|3a |；(3)1||a a 是单位向量； (4)a ＋b 与－a －b 是一对相反向量． [解] (1)真命题．∵2>0， ∴2a 的方向与a 的方向相同． (2)假命题．|－2a |＝||－2|a |＝2|a |＝23|3a |. (3)真命题．⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a ||a ＝1||a ||a ＝1.(4)真命题．∵a ＋b 与－a －b 是一对相反向量，且－(a ＋b )＝－a －b ， ∴a ＋b 与－a －b 是一对相反向量．对数乘向量的三点说明(1)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小． (2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.反之，也成立， (3)数乘向量的运算不满足消去律．[跟进训练]1．已知λ∈R ，a ≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①当λ＞0时，λa 与a 的方向一定相同； ②当λ＜0时，λa 与a 的方向一定相反； ③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0； ④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [由λ与向量a 的乘积λa 的方向规定，易知①②③④正确．] 类型2 向量的线性运算【例2】 (教材北师版P 88例1改编)计算下列各式： (1)2(a ＋b )－3(a －b )； (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )； (3)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b .[解] (1)原式＝2a －3a ＋2b ＋3b ＝－a ＋5b ； (2)原式＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c ； (3)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．2.对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．[跟进训练]2．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a ). [解] (1)原式＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ；(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .类型3 向量线性运算的应用【例3】 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →).1．若D 是△ABC 的边BC 的中点，如何用AB →，AC →表示AD →？ [提示] 由三角形法则知， AD →＝AB →＋BD →， AD →＝AC →＋CD →，两式相加得2AD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋BD →＋⎝⎛⎭⎫AC →＋CD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →＋⎝⎛⎭⎫BD →＋CD →＝AB →＋AC →，所以AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →.2．在△ABC 中，若AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，则D 是否是△ABC 的边BC 的中点？ [提示] 设D ′是边BC 的中点，则AD ′→＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，又AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →， 则AD ′→＝AD →， 所以D 与D ′重合， 所以D 是边BC 的中点．[证明] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →). 又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →).用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．[跟进训练]3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE →＝12BC →. [证明] ∵D 为AB 的中点， ∴AD →＝12AB →.∵E 是AC 的中点，∴AE →＝12AC →.∴DE →＝AE →－AD →＝12AC →－12AB →＝12⎝⎛⎭⎫AC →－AB →＝12BC →.当堂达标1．(多选题)已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n .AB [A 和B 属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；C 中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；D 中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．]2. 在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →等于( )A ．23a ＋43bB ．23a －23bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bA [由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .]3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A ．BC → B ．12AD → C ．AD →D ．12BC →C [EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.] 4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．421a －17b ＋17c [据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .] 5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.则OP →＝________．－13OA →＋43OB → [OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.数乘向量的运算中应注意什么问题？[提示] 实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模有关．2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题？[提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．。

§7 向量应用举例内容要求 1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．知识点1 点到直线的距离公式及直线的法向量1．点M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l 的方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．(3)设直线l 的法向量n ＝(A ，B )，则与n 同向的单位向量n 0＝n |n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 2＋B 2，B A 2＋B 2.【预习评价】1．点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离为________． 答案 2 52．直线2x －y ＋1＝0的一个法向量是( ) A ．(2,1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2，－1)答案 D知识点2 向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 【预习评价】1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C. 5 D ．－ 5 答案 C2．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4，0)，则力F 对物体作的功为________． 答案 4方向1 基底法解平面向量问题【例1－1】 如右图，若D 是△ABC 内的一点，且AB →2－AC →2＝DB →2－DC →2，求证：AD ⊥BC .证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d .∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，∴e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝DC →－DB →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →.即AD ⊥BC .方向2 坐标法解决平面几何问题【例1－2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )， 不妨设AC →、BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝－2a ，aa ，－2a 5a ·5a＝－4a25a 2 ＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.方向3 向量在平面几何中的综合应用【例1－3】 如图所示，△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，PQ 为以A 为圆心，r 为半径的圆的直径，试判断P 、Q 在什么位置时BP →·CQ →取得最大值．解 根据题意可以求得：BP →＝AP →－AB →，CQ →＝CA →＋AQ →＝－AC →－AP →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)(－AC →－AP →) ＝－AP →·AC →＋AB →·AC →－AP →2＋AB →·AP → ＝AB →·AC →－r 2＋AP →·(AB →－AC →) ＝AB →·AC →－r 2＋AP →·CB →＝|AB →|·|AC →|cos ∠BAC －r 2＋AP →·CB → ＝bc cos ∠BAC －r 2＋AP →·CB →. 当AP →与CB →同向时，AP →·CB →最大值为 |AP →|·|CB →|＝ra ，即当QP →与CB →同向时， BP →·CQ →取得最大值bc cos ∠BAC －r 2＋ar . 规律方法 用向量解平面几何问题的方法(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算． 题型二 向量在解析几何中的应用【例2】 已知直线l 过点A (1,1)，且它的一个法向量为n ＝(－2，1)． (1)求直线l 的一般方程；(2)若与直线l 垂直的直线l 1经过点B (2,0)，求l 1的一般方程． 解 (1)∵直线l 的一个法向量为n ＝(－2,1)， ∴直线l 的一个方向向量为v ＝(1,2)． ∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)． 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的一般方程为2x －y －1＝0. (2)∵直线l 1与l 垂直，∴l 1的一个方向向量v ＝(－2,1)．∴直线l 1的斜率为－12.∴直线l 1的点斜式方程为y －0＝－12(x －2)．整理得x ＋2y －2＝0.故直线l 1的一般方程为x ＋2y －2＝0.规律方法 1.已知直线的法向量n ＝(a ，b )，则其方向向量为m ＝(b ，－a )，利用方向向量可求得直线的斜率k ＝－a b是求直线方程的关键．2．向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质．(2)用向量法处理解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题． 【训练1】如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →(0<x <1)．(1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f （x ）＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明． 解 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →，则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA → ＝－(1＋x )OA →＋OB →，又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即f (x )＝xx ＋1(0<x <1)；(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0<x <1)，设0<x 1<x 2<1， 则F (x 1)－F (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2， 由0<x 1<x 2<1，得x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0，得F (x 1)－F (x 2)>0，即F (x 1)>F (x 2)． ∴F (x )在(0，1)上为减函数． 题型三 向量在解决物理问题中的应用【例3】 在风速为75(6－2) km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解 设向量a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则c ＝a ＋b .如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则四边形OACB 为平行四边形．过C 、B 分别作OA 的垂线，交AO 的延长线于D 、E 点． 由已知，|OA →|＝75(6－2)，|OC →|＝150，∠COD ＝45°. 在Rt △COD 中，OD ＝OC cos 45°＝752，CD ＝75 2. 又ED ＝BC ＝OA ＝75(6－2)， ∴OE ＝OD ＋ED ＝75 6.又BE ＝CD ＝75 2. 在Rt △OEB 中，OB ＝OE 2＋BE 2＝1502，sin ∠BOE ＝BE OB ＝12，∴|OB →|＝1502，∠BOE ＝30°.故没有风时飞机的航速为150 2 km/h ，航向为西偏北30°.规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．【训练2】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．解 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地．如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段AD →是平行四边形ABDC 的对角线．∵|AC →|＝4米/秒，∠ACD ＝30°，|AD →|＝2米/秒， ∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，|DC →|＝|AC →|cos 30°＝23(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为23米/秒.课堂达标1．已知△ABC ，AB →＝a ，AC →＝b ，且a·b <0，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定答案 A2．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量p ＝(k ＋1,2k －3)，且p ∥v ，则k 的值为(向量v 为l 的方向向量)( ) A.73 B.136C.163D ．－83解析 l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与p 平行得： 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.答案 D3．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是______________． 解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0. 答案 x 2＋y 2＋x －3y ＝04．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．解析 BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，∵AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB →⊥BC →，∴四边形ABCD 为矩形，|AB →|＝20，|BC →|＝45，∴S ＝|AB →|·|BC →|＝30. 答案 305．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． 解 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知： OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.课堂小结1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键． 2．用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来． (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解． (3)要将数学问题还原为物理问题．基础过关1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－1或2解析 l 的方向向量为v ＝(－2，m )，由v 与(1－m,1)平行得－2＝m (1－m )，∴m ＝2或－1. 答案 D2．若AB →＝2e 1，DC →＝4e 1，且AD →与CB →的模相等，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．等腰梯形D ．菱形解析 AB →＝12DC →，又|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 为等腰梯形． 答案 C3．已知点O 在△ABC 所在平面上，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三条中线交点 B ．三条高线交点 C ．三条边的中垂线交点 D ．三条角平分线交点 解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝CA →·OB →＝0， ∴OB →⊥CA →.同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →， ∴O 是三条高线交点． 答案 B4．已知作用在A (1,1)点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为________． 解析 F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．又∵起点坐标为A (1,1)，∴终点坐标为(9,1)． 答案 (9,1)5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析 如图，作OD ⊥AB 于D ，则在Rt △AOD 中，OA ＝1，AD ＝32，所以 ∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 120°＝1×1×(－12)＝－12.答案 －126．过点A (－2,1)，求：(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程． 解 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.7．已知长方形AOCD ，AO ＝3，OC ＝2，E 为OC 中点，P 为AO 上一点，利用向量知识判定点P 在什么位置时，∠PED ＝45°.解 如图，建立平面直角坐标系，则C (2,0)，D (2,3)，E (1,0)，设P (0，y )， ∴ED →＝(1,3)，EP →＝(－1，y )，∴|ED →|＝10，|EP →|＝1＋y 2，ED →·EP →＝3y －1， 代入cos 45°＝ED →·EP →|ED →||EP →|＝3y －110·1＋y 2＝22. 解得y ＝－12(舍)或y ＝2，∴点P 在靠近点A 的AO 的三等分处．能力提升8．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( ) A ．2 B.12 C ．－3D ．－13解析 如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC →||CE →|＝3，∴BC →＝－3CE →. 答案 C9．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 ∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|， 设AB →＋AC →＝AD →，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形． 答案 B10．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析 AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.答案31111.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.则m ＋n ＝2. 答案 212．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)．(1)求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状；(2)若M 为BC 边的中点，求|AM →|.解 (1)由题意得AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.所以AB →⊥AC →，即∠A ＝90°.因为|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝45°.(2)因为M 为BC 中点，所以M (2,0)．又A (1,2)，所以AM →＝(1，－2)．所以|AM →|＝12＋－2＝ 5.13.(选做题)如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围．解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐变大．(2)由(1)，得|F 1|＝|G |cos θ，由|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.。

第8课时平面向量应用举例1.能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.2.会用向量知识解决一些物理问题.向量概念有明确的物理背景和几何背景,物理背景是力、速度、加速度等,几何背景是有向线段,可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的,正因为如此,利用向量可以解决一些物理和几何问题,在平面几何中,平行四边形是大家熟悉的重要的几何图形,而在物理中,受力分析则是其中最基础的知识,那么在本节的学习中,借助同学们非常熟悉的内容来学习向量在几何与物理问题中的应用.问题1:利用向量法解决几何问题的一般步骤如何?向量法解决几何问题的“三步曲”.(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,把平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.问题2:向量法可以解决几何中的哪些问题?平面几何中的距离(线段长度)、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得.问题3:向量在物理中的应用,其步骤如何?(1)建模:把物理问题转化为问题;(2)解模:解答得到的数学问题;(3)回答:利用解得的数学答案解释现象.问题4:如何应用向量知识解决力学问题和速度问题?应用向量知识解决力学问题,首先要对物体进行正确的分析,画出受力分析图形,在此基础上转化为向量问题;应用向量知识解决速度问题,首先要对物体运动的速度进行合理的合成与,结合运动学原理,转化为数学问题.1.已知点O为三角形ABC所在平面内一点,若++=0,则点O是三角形ABC的().A.重心B.垂心C.内心D.外心2.如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10 N,则每根绳子的拉力大小是().A.5 NB.5 NC.10 ND.10 N3.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|= .4.求证:平行四边形对角线互相平分.利用向量证明线段垂直在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中点,E是AB上的点,且AE=2BE,求证:AD⊥CE.利用向量证明长度相等如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC 上,且四边形PFCE是矩形,试用向量法证明PA=EF.向量在物理中的应用如图所示,重力为300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PFCE是矩形,求证:PA⊥EF.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T 两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.1.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有().A.a⊥bB.a∥bC.|a|=|b|D.|a|≠|b|2.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形的形状为().A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形3.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x= ,y= .4.一轮船欲横渡某条江,到达起始点的正对面岸边,已知江水流速为3 km/h,船的静水速度为6 km/h.(1)求轮船的航行方向;(2)若江面宽 2 km,求轮船到达对岸所需要的时间.(20XX年·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.考题变式(我来改编):答案第8课时平面向量应用举例知识体系梳理问题3:(1)数学(3)物理问题4:受力分解基础学习交流1.A设AB的中点为D,由已知得=-(+)=-2,即||=2||,故点O是三角形ABC 的重心.2.D如图,两力相等,夹角为120°,以两力所在向量为边作平行四边形ABCD,则可得它是有一内角为60°的菱形,合力与灯具的重量大小相等、方向相反,故每根绳子的拉力为10 N.3.5∵F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),∴|F1+F2|==5.4.解:在平行四边形ABCD中,M为对角线AC与BD的交点.设=x,=y(x,y∈R),∵=+,∴=x+x.又=+=+y=+y(-)=(1-y)+y.∵与不共线,由平面向量基本定理知,解得∴=,=.故点M为AC、BD的中点,即平行四边形对角线互相平分.重点难点探究探究一:【解析】(法一)(基向量的方法)·=(+)·(+)=(-)·(+-)=(-)·(+)=-·-.∵BC⊥CA,∴·=0,又BC=CA,∴||=||,∴·=(||2-||2)=0,∴⊥,即AD⊥CE.(法二)(坐标的方法)以CA、CB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设||=||=a,∴A(a,0),B(0,a),E(,),D(0,),∴=(,),=(-a,).∴·=-+×=-+=0,∴⊥,即AD⊥CE.【小结】使用向量方法证明平面几何问题时,就是要把平面几何中的问题用向量的知识来表达,如证明两条线段垂直,就是证明这两条线段所表示向量的数量积等于零,证明两条直线平行可以使用共线向量定理等.在使用向量知识时,既可以使用基向量的方法,也可以使用坐标的方法.探究二:【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ(0<λ<), 则A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(λ,0),∴=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),∴||==,||==,∴||=||,∴PA=EF.【小结】用向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,并利用向量的数量积和公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入向量的模的公式即可.探究三:【解析】如图,作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,所以||=||cos 30°=300×=150(N),||=||si n 30°=300×=150(N),||=||=150(N).即与铅垂线成30°的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°的绳子的拉力是150 N.【小结】力是向量,几个分力形成的合力符合向量加法的平行四边形法则,在解决与力有关的问题时要注意力的合成与分解.思维拓展应用应用一:(法一)(基向量的方法)设=a,=b,根据已知|a|=|b|且a·b=0.设=λa,则=λ=λ(a+b),=λb,所以=-=λa-(a+λb)=(λ-1)a-λb,=-=λ(a+b)-b=λa+(λ-1)b.所以·=[λa+(λ-1)b]·[(λ-1)a-λb]=(λ2-λ)a2-(λ2-λ)b2=0.所以PA⊥EF.(法二)(坐标的方法)以点D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ(0<λ<),则A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(λ,0),于是=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),∵·=(-λ)·(λ-1)+(1-λ)·(-λ)=-λ·(λ-1+1-λ)=-λ×0=0.∴PA⊥EF.应用二:设=a,=b,则=a+b.由与共线,因此存在实数m,使得=m(a+b).又由与共线,因此存在实数n,使得=n=n(b-a).由=+=+n,得m(a+b)=a+n(b-a).整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0.由于向量a、b不共线,所以有解得所以=.同理=.于是=.所以AR=RT=TC.应用三:=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=-99,W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3.(2)W=F·=(F1+F2)·=(9,-1)·(-13,-15)=-102.基础智能检测1.A f(x)=(x a+b)·(a-x b)=-a·b x2+(|a|2-|b|2)x+a·b,若函数f(x)的图象是一条直线,即其二次项系数为0,∴a·b=0,∴a⊥b.2.B∵+=0,∴=,∴四边形ABCD为平行四边形,∵·=0,∴⊥,∴对角线垂直,∴四边形为菱形.3.作DF⊥AB,设AB=AC=1⇒BC=DE=,∵∠DEB=60°,∴BD=.由∠DBF=45°解得DF=BF=×=,故x=1+,y=.4.解:(1)设江水、船在静水中的速度向量分别为、,如图,以OA、OB为边作平行四边形,则由平行四边形法则知船的横渡江的速度向量为.∵⊥,∴sin∠BOC===,∴∠BOC=30°,∴∠AOB=120°,即轮船的航行方向与江水流速的方向成120°角.(2)由(1)知轮船速度向量为,且||=||cos ∠BOC=6×cos 30°=3,则所求轮船到达对岸所需的时间t== h.全新视角拓展(1)|BC|==4.线段BC的中点坐标为E(0,1).∴2|AE|=2=2.以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长为4,2.(2)=(-2,-1),=(3,5).∵(-t)·=·-t,易求·=-11,=5,由(-t)·=0,得t=-.。

7 向量应用举例[核心必知]1．点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是一平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．[问题思考]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|·n 0|?提示：如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝||.在Rt △MPN 中，||是在方向上的射影的绝对值，则||＝|||cos ∠PMN |＝|||×1×cos∠PMN | ＝||×|n 0|×|cos∠PMN |＝|·n 0|∴d ＝|·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．3．利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．讲一讲1．已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ，若D 为斜边AB 的中点， (1)求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．[尝试解答] 以C 为坐标原点，以边CB 、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)，AB ＝(n ，－m )．(1)证明：∵D 为AB 的中点， ∴D (n 2，m2)，∴|＝12 n 2＋m 2，|AB |＝m 2＋n 2，∴|CD |＝12|AB |，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，所以E (n 4，m4)，设F (x,0)，则AE ＝(n4，－34m )，AF ＝(x ，－m )，∵A 、E 、F 共线，∴AF ＝λAE ，解得(x ，－m )＝λ(n 4，－34m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，即x ＝n3，即F (n3，0)．AF ＝(n3，－m )． ∴|AF |＝13 n 2＋9m 2.即AF ＝13n 2＋9m 2.利用向量解决几何中常见问题的基本策略：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行； (3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直； (4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．练一练1．已知▱ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，试求对角线AC 的长．讲一讲2．已知过点A (0,2)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，且＝12，求k 及直线l 的方程．[尝试解答] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由题意知，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －22＋y －32＝1得，(1＋k 2)x 2－(4＋2k )x ＋4＝0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4＋2k 1＋k 2，x 1x 2＝41＋k2 ∵＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝12.y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)－8＝0， ∴(1＋k 2)×41＋k 2＋2k ×4＋2k 1＋k 2－8＝0，解得k ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2，即x －2y ＋4＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．练一练2. 过点M (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当最大时，求直线l 的方程．解：可知圆C 的圆心C (1,0)，半径r ＝2 ∴＝cos ∠ACB＝2×2cos ∠ACB ＝4cos ∠ACB 当最大时，∠ACB 最小．连接CM ，当AB ⊥CM 时，∠ACB 最小 这时直线l 的法向量为：＝(12，1)－(1,0)＝(－12，1)． ∴l 的方向向量为(1，12)，∴l 的斜率为k ＝12故直线l 的方程为y －1＝12(x －12)，即2x －4y ＋3＝0.讲一讲3. 一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000×12＝3×106有∠ABD ＝60°， 于是∠DBC ＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.法二：建立如图所示的坐标系，并取a ＝500，则AB ＝(2a cos 150°，2a sin 150°) ＝(－3a ，a )，AC ＝(4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－23a ，－2a )，∴BC ＝(－3a ，－3a )，|BC |＝23a ， 即|BC |＝1 000 3 (km)．又cos C ＝＝6a 2＋6a24a ×23a ＝32，C ＝30°， 结合图形可知BC 的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，所以可以用向量的知识来解决；2．物理中的功是一个标量，它是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.练一练3．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生的位移s＝(2lg 5，1)，求这两个共点力对物体做的功W的值．解：W＝(F1＋F2)·s，又F1＋F2＝(1, 2lg 2)，s＝(2lg 5，1)，所以W＝2lg 5＋2lg 2＝2.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．[巧思] 力的合成与分解满足平行四边形法则，合理使用平行四边形法则及三角形法则对各量间进行分析和运算，从三角函数的角度分析力的变化，从不等关系研究角的范围．[妙解](1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，知－G＝F1＋F2.解直角三角形，得|F1|＝|G|cos θ，|F2|＝|G|·tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大．(2)令|F1|＝|G|cos θ≤2|G|，得cos θ≥12.又0°≤θ＜90°，∴0°≤θ≤60°.1．过点A(2，3)，且法向量为n＝(2，1)的直线方程为( )A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0解析：选A 由题意知，可取直线的方向向量为v＝(1，－2)，∴直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.2．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A．(－2，4) B．(－30，25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：选C 设5秒后点P运动到点A，则＝5v＝(20，－15)，∴OA＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．3．已知△ABC，＝b，且a·b<0；则△ABC的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由a·b＝cos∠BAC<0知cos∠BAC<0，∴∠BAC为钝角．4．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．解析：设小船的静水速度为v，依题意|v|＝22＋102＝226.答案： 226 m/s5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．解析：由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝27.答案： 276．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.证明：以C点为原点建立如图所示的直角坐标系．则A(b,0)，B(0，a)．∴AB＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)．∴|AB|＝－b2＋a2＝c.故c2＝a2＋b2.一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值是( )A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D 取直线l的方向向量v＝(－2，m)，则m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2.2．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)( )A．20.6 N B．18.8 NC ．20.8 ND ．36.8 N解析：选C设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则＝12，F 合＝，连接BD 交AC 于M ，∠BAM ＝30°，∴|F 合|＝2||＝2×12cos 30°＝123≈20.8 N. 3．在△ABC 中，若＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定4．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：选D 由题可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．二、填空题5．已知F ＝(2，3)作用于一物体，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则力F 对物体做的功为________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F ·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：1 6．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则原点O 到直线l 的距离为________．解析：可知直线l 的斜率k ＝－12， ∴l 的方程为y ＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0， ∴原点到l 的距离为d ＝512＋22＝1.答案：17．在边长为1的正三角形中，设，则＝________.＝12(－1－13×1×1×cos 60°＋23×1) ＝－14. 答案：－148．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点，∵OA ＝1，AB ＝3，∴∠AOD ＝π3. ∴∠AOB ＝2π3. ∴＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12三、解答题9．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解：依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地如图所示，根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段AD 对应▱ABDC的对角线．∵|AC |＝4，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，|DC |＝|AC |cos 30°＝2 3.∴风的实际方向是正南方，汽车速度的大小为2 3 m/s.10．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍． 证明：设△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如图：＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证：b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则：C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴＝(b cos A，b sin A)－(c,0)＝(b cos A－c，b sin A)，∴a2＝||2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A，＝b2－2bc cos A＋c2，即：a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证：b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.。

§7 向量应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.1.通过学习直线法向量的概念、点到直线的距离，培养数学抽象素养．2.通过用向量方法解决一些实际问题，提升数学建模素养.向量应用举例(1)点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)直线的法向量①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．②公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．(3)向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 思考：向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．1．直线2x －y ＋1＝0的一个法向量是( ) A ．(2,1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2，－1)[答案] D2．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(5,0)B ．(－5,0) C. 5 D ．－ 5[答案] C3．点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离为________． [答案] 2 54．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4,0)，则力F 对物体作的功为________．[答案] 4平面几何中的垂直问题【例1】 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .[证明] 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，则AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．[解] 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系． 设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )，不妨设AC →、BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝(－2a ，a )·(a ，－2a )5a ·5a ＝－4a 25a 2＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.向量在物理中的应用【例2】 两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5.1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．2．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？[解] (1)如图①，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →， 在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝4 2. ∴cos ∠BAO ＝33，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 2 km/h.向量在解析几何中的应用[探究问题]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|PM →·n 0|?[提示] 如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝|NM →|.在Rt △MPN 中，|NM →|是PM →在NM →方向上的射影的绝对值，则|NM →|＝||PM →|cos ∠PMN |＝||PM →|×1×cos∠PMN |＝|PM →|×|n 0|×|cos∠PMN |＝|PM →·n 0|，∴d ＝|PM →·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？[提示] 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，及点A (1,1)，M 是⊙C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[思路探究] 要求点N 的轨迹方程，需设出点N 的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．[解] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)， 由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，1－y 0＝2(y －1).即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，代入⊙C 方程，得(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4， 即x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.将例3的条件变为“已知直线l 过点A (1,1)，且它的一个法向量为n ＝(－2,1)”．试求直线l 的方程．[解] ∵直线l 的一个法向量为n ＝(－2,1)， ∴直线l 的一个方向向量为ν＝(1,2)． ∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)． 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的方程为2x －y －1＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．2．用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来． (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解． (3)要将数学问题还原为物理问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )(3)向量AB →，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角相等或互补．( ) (4)直线y ＝kx ＋b 的一个法向量是(k ，－1)．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量p ＝(k ＋1,2k －3)，且p ∥v (向量v 为l 的方向向量)，则k 的值为( )A.73 B.136C.163D.－83D [l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与p 平行得： 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.]3．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是________．x 2＋y 2＋x －3y ＝0 [设P (x ，y )为圆上任一点，则AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.]4．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． [解] 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.。

第8课时平面向量应用举例1.能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.2.会用向量知识解决一些物理问题.向量概念有明确的物理背景和几何背景,物理背景是力、速度、加速度等,几何背景是有向线段,可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的,正因为如此,利用向量可以解决一些物理和几何问题,在平面几何中,平行四边形是大家熟悉的重要的几何图形,而在物理中,受力分析则是其中最基础的知识,那么在本节的学习中,借助同学们非常熟悉的内容来学习向量在几何与物理问题中的应用.问题1:利用向量法解决几何问题的一般步骤如何?向量法解决几何问题的“三步曲”.(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,把平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.问题2:向量法可以解决几何中的哪些问题?平面几何中的距离(线段长度)、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得.问题3:向量在物理中的应用,其步骤如何?(1)建模:把物理问题转化为问题;(2)解模:解答得到的数学问题;(3)回答:利用解得的数学答案解释现象.问题4:如何应用向量知识解决力学问题和速度问题?应用向量知识解决力学问题,首先要对物体进行正确的分析,画出受力分析图形,在此基础上转化为向量问题;应用向量知识解决速度问题,首先要对物体运动的速度进行合理的合成与,结合运动学原理,转化为数学问题.1.已知点O为三角形ABC所在平面内一点,若++=0,则点O是三角形ABC的().A.重心B.垂心C.内心D.外心2.如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10 N,则每根绳子的拉力大小是().A.5 NB.5 NC.10 ND.10 N3.若向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|= .4.求证:平行四边形对角线互相平分.利用向量证明线段垂直在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中点,E是AB上的点,且AE=2BE,求证:AD⊥CE.利用向量证明长度相等如图,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量法证明PA=EF.向量在物理中的应用如图所示,重力为300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PFCE是矩形,求证:PA⊥EF.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.1.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线,则必有().A.a⊥bB.a∥bC.|a|=|b|D.|a|≠|b|2.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形的形状为().A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形3.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x= ,y= .4.一轮船欲横渡某条江,到达起始点的正对面岸边,已知江水流速为3 km/h,船的静水速度为6 km/h.(1)求轮船的航行方向;(2)若江面宽 2 km,求轮船到达对岸所需要的时间.(2010年·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.考题变式(我来改编):答案第8课时平面向量应用举例知识体系梳理问题3:(1)数学(3)物理问题4:受力分解基础学习交流1.A设AB的中点为D,由已知得=-(+)=-2,即||=2||,故点O是三角形ABC的重心.2.D如图,两力相等,夹角为120°,以两力所在向量为边作平行四边形ABCD,则可得它是有一内角为60°的菱形,合力与灯具的重量大小相等、方向相反,故每根绳子的拉力为10 N.3.5∵F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),∴|F1+F2|==5.4.解:在平行四边形ABCD中,M为对角线AC与BD的交点.设=x,=y(x,y∈R),∵=+,∴=x+x.又=+=+y=+y(-)=(1-y)+y.∵与不共线,由平面向量基本定理知,解得∴=,=.故点M为AC、BD的中点,即平行四边形对角线互相平分.重点难点探究探究一:【解析】(法一)(基向量的方法)·=(+)·(+)=(-)·(+-)=(-)·(+)=-·-.∵BC⊥CA,∴·=0,又BC=CA,∴||=||,∴·=(||2-||2)=0,∴⊥,即AD⊥CE.(法二)(坐标的方法)以CA、CB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设||=||=a,∴A(a,0),B(0,a),E(,),D(0,),∴=(,),=(-a,).∴·=-+×=-+=0,∴⊥,即AD⊥CE.【小结】使用向量方法证明平面几何问题时,就是要把平面几何中的问题用向量的知识来表达,如证明两条线段垂直,就是证明这两条线段所表示向量的数量积等于零,证明两条直线平行可以使用共线向量定理等.在使用向量知识时,既可以使用基向量的方法,也可以使用坐标的方法.探究二:【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ(0<λ<), 则A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(λ,0),∴=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),∴||==,||==,∴||=||,∴PA=EF.【小结】用向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,并利用向量的数量积和公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入向量的模的公式即可.探究三:【解析】如图,作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,所以||=||cos 30°=300×=150(N),||=||sin 30°=300×=150(N),||=||=150(N).即与铅垂线成30°的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°的绳子的拉力是150 N.【小结】力是向量,几个分力形成的合力符合向量加法的平行四边形法则,在解决与力有关的问题时要注意力的合成与分解.思维拓展应用应用一:(法一)(基向量的方法)设=a,=b,根据已知|a|=|b|且a·b=0.设=λa,则=λ=λ(a+b),=λb,所以=-=λa-(a+λb)=(λ-1)a-λb,=-=λ(a+b)-b=λa+(λ-1)b.所以·=[λa+(λ-1)b]·[(λ-1)a-λb]=(λ2-λ)a2-(λ2-λ)b2=0.所以PA⊥EF.(法二)(坐标的方法)以点D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ(0<λ<),则A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(λ,0),于是=(-λ,1-λ),=(λ-1,-λ),∵·=(-λ)·(λ-1)+(1-λ)·(-λ)=-λ·(λ-1+1-λ)=-λ×0=0.∴PA⊥EF.应用二:设=a,=b,则=a+b.由与共线,因此存在实数m,使得=m(a+b).又由与共线,因此存在实数n,使得=n=n(b-a).由=+=+n,得m(a+b)=a+n(b-a).整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0.由于向量a、b不共线,所以有解得所以=.同理=.于是=.所以AR=RT=TC.应用三:=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=-99,W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3.(2)W=F·=(F1+F2)·=(9,-1)·(-13,-15)=-102.基础智能检测1.A f(x)=(x a+b)·(a-x b)=-a·b x2+(|a|2-|b|2)x+a·b,若函数f(x)的图象是一条直线,即其二次项系数为0,∴a·b=0,∴a⊥b.2.B∵+=0,∴=,∴四边形ABCD为平行四边形,∵·=0,∴⊥,∴对角线垂直,∴四边形为菱形.3.作DF⊥AB,设AB=AC=1⇒BC=DE=,∵∠DEB=60°,∴BD=.由∠DBF=45°解得DF=BF=×=,故x=1+,y=.4.解:(1)设江水、船在静水中的速度向量分别为、,如图,以OA、OB为边作平行四边形,则由平行四边形法则知船的横渡江的速度向量为.∵⊥,∴sin∠BOC===,∴∠BOC=30°,∴∠AOB=120°,即轮船的航行方向与江水流速的方向成120°角.(2)由(1)知轮船速度向量为,且||=||cos ∠BOC=6×cos 30°=3,则所求轮船到达对岸所需的时间t== h.全新视角拓展(1)|BC|==4.线段BC的中点坐标为E(0,1).∴2|AE|=2=2.以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长为4,2.(2)=(-2,-1),=(3,5).∵(-t)·=·-t,易求·=-11,=5,由(-t)·=0,得t=-.。

平面向量的运算与应用
平面向量是数学中重要的基本概念之一，向量知识是进一步学习数学、物理及其它科学的有效工具，尤其是向量加减法，向量的倍积与数量积的运算律在运算中扮演着重要角色．
一、向量的几何运算
向量运算有着丰富的几何背景，三角形法则与平行四边形法则是向量加减法运算的最基本而直观的运算方法．
例1已知点G是△ABC的重心，O为平面内任意一点．
证设AD、AE分别是△ABC的中线，交点为G(如图1)．
什么？
∴当0≤t≤1时，点P的轨迹为线段AB，
当t≥1时，点P的轨迹为射线BC，
当t≤0时，点P的轨迹为射线AD．
综上所述，当t∈R时，点P的轨迹为直线AB．
二、向量的坐标运算
平面向量的坐标表示为向量的坐标运算提供了依据．特别是平面向量的数量积定义与有关性质，可以解决有关长度、夹角与垂直等问题．
位向量的坐标．
三、向量的应用
向量运算在平移变换与力学中有广泛的应用．
例5：
系式．
解设曲线F上任意一点P(x，y)，曲线F'上的对应点为P'(x'，y')，则x'＝x＋m，y'＝y ＋n，∴x＝x'－m，y＝y'－n，将它们代入y＝f(x)得y'－n＝f(x'
例6：
两绳的夹角为θ(如图3)．
边形法则及余弦定理得
由于y＝cosx在[0，π)上为减函数，
另外，向量的数量积用来推导证明正、余弦定理也非常简便，不再赘述．。

高中数学 平面向量的坐标表示及运算教案 北师大版必修4一、教学目标： 1.知识与技能（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示. （2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. 2.过程与方法教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力. 3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量的坐标运算； 难点: 平面向量线性运算的坐标表示. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】（回忆）平面向量的基本定理（基底） a=λ11e +λ22e（ 1e 、2e 不共线，a任意性，λ1、λ2唯一性 ）其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.【探究新知】（一）、平面向量的坐标表示1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量j y i x a +=记作：a =(x, y) 称作向量a的坐标注：（1）i , j 的规定：单位向量、互相垂直、方向分别与X 轴、Y 轴正方向一致；（2）i =（1，0）, j =（0，1），0=（0，0）；（3）注意书写格式A （x,y ）,c =（x,y ）.如：a =−→−OA =j i 22+=(2,2) b =−→−OB =j i -2=(2, -1) c =−→−OC =j i 5-=(1, -5)i =(1, 0)由以上例子让学生讨论：①向量的坐标与什么点的坐标有关？（向量的始点、终点坐标有关，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等）②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？（唯一的）OBCA xya③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等） [展示投影]思考与交流： 直接由学生讨论回答：思考1．（1）已知a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) 求a +b ，a -b的坐标(2)已知a =(x, y)和实数λ, 求λa的坐标解：a +b=(x 1i +y 1j )+(x 2i +y 2j )=(x 1+ x 2)i + (y 1+y 2)j即：a +b=(x 1+ x 2,y 1+y 2) 同理：a -b=(x 1-x 2, y 1-y 2)λa=λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa=(λx, λy)结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。