2.5 平面向量应用举例(3课时)
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高中数学 第2章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件
2021/12/12
第三十三页，共四十八页。
第二十二页，共四十八页。
【跟踪训练 2】 已知定点 A(－1,0)和 B(1,0)，P 是圆(x －3)2＋(y－4)2＝4 上的一动点，求|P→A|2＋|P→B|2 的最大值和最 小值．
解 设圆的圆心为 C，由已知可得O→A＝(－1,0)，O→B＝ (1,0)，所以O→A＋O→B＝0，O→A·O→B＝－1.
(1)若△ABC 是直角三角形，则有A→B·B→C＝0.( × ) (2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．( × ) (3)向量A→B，C→D的夹角就是直线 AB，CD 的夹角．( × )
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第五页，共四十八页。
2．做一做
(1)若向量O→F1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示两个力 F1，
(1)向量的线性运算法的四个步骤 ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线 性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．
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|＝ 6，即 AC＝ 6.
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探究 2 向量在解析几何中的应用 例 2 已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 及点 A(1,1)，M 是 圆上的任意一点，点 N 在线段 MA 的延长线上，且M→A＝2A→N， 求点 N 的轨迹方程．
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(1)物理问题中常见的向量有 □3 力、速度、位移 等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的
平面向量应用举例课件
F
由
200 2 cos
3
2
≤
200,
cos
2
≥
3 2
,
2
≤
6
,
≤
3
.
u ur
u ur
F1 F2
从 而 可 知 0 o ， 6 0 o 绳 子 才 不 会 断 .
ur G
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,一m/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
2.5平面向量的应用举例 主页
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
2 cos
u ur
2
（1）θ为何值时，| F 1 最| 小，最小值是多少？
答：在上式ur 中，当θ =0º时，
c
o
s
2
最大，|
u ur F1
最| 小
且等于 | G | .
2
u ur
ur
（2）| F 1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
答：在上式中，当
cos
2
1 2
,
uur ur
| F1 ||G|
即θ=120º时，
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.
秋高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中
2018年秋高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例学案新人教A版必修4的全部内容。
2。
5 平面向量应用举例2。
5.1 平面几何中的向量方法2.5。
2 向量在物理中的应用举例学习目标：1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点）2。
体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．（重点)3。
培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点）［自主预习·探新知]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲"：（1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用：（1）物理问题中常见的向量有力，速度,加速度，位移等．（2)向量的加减法运算体现在力,速度，加速度，位移的合成与分解．（3)动量m v是向量的数乘运算．(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．[基础自测]1．思考辨析（1）若△ABC是直角三角形，则有错误!·错误!＝0。
251平面向量应用举例
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事 法
鲁迅本名：周树人 主要作品：《阿Q正传》、、《药》 、
《狂人日记》、《呐喊》、《孔乙 己》 《故乡》、《社戏》、《祝福》。
（图片来自网络）
阿Q吃错了药，发狂地喊着孔乙己
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
Know--X分类法
费曼学习法--实 操第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维 事实知识（know--what）：知道是什么的知识，
主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
超级记忆法--故事 法
鲁迅本名：周树人 主要作品：《阿Q正传》、、《药》 、
《狂人日记》、《呐喊》、《孔乙 己》 《故乡》、《社戏》、《祝福》。
（图片来自网络）
阿Q吃错了药，发狂地喊着孔乙己
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣 （比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在 背 上刺下“精忠报国”四个字）；
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
Know--X分类法
费曼学习法--实 操第二步 根据参考，复述你所获得的主要内容
（二） 根 据 参 考 复 述
1.参照教材、辅导书或笔记复述主要内容； 2.复述并不是照着读出来或死记硬背，而是用自己的话去理解 ，想象如果你要把
这个讲给别人听，你会怎样讲。 就像你按照前面的步骤对定于从句的理解是“定语部分是个从句”，就没必要死记
1第一遍知道大概说了什么就行；
2第二遍知道哪块是重点；
3第三遍可以做出一些判断。
高效学习逻辑 思维 事实知识（know--what）：知道是什么的知识，
主要叙述事实方面的知识； 原理知识（know--why）：知道为什么的知识， 主 要是自然原理和规律方面的知识； 技能知识（know--how）：知道怎么做的知识， 主要是对某些事物的技能和能力； 人力知识（know--who）：知道是谁的知识， 主 要是谁知道以及谁知道如何做某些事的能力；
2.5平面向量应用举例
2（1）
P113A3
3.解：（1）s sB sA (2,7);
(2)设s和sA的夹角为，则s在sA方向上的投影为
s cos s s sA s sA 2 4 7 3 13
s sA sA
16 9 5
P119A14
小结：
1.向量方法：以向量和向量运算为工具，对几何 元素及其关系进行讨论。 2.特点：由于向量能够运算，因此它可以把几何 问题由一个思辨过程变成了一个算法过程，从而 降低了思考问题的难度。
1 3
Байду номын сангаасAC
(1)转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题
中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系。
三角形四心
• 重心是三角形三条中线的交点。 (重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离 之比为2：1。)
b
B
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
aO
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b 则 AC a b,CB a ，b
由此可得： ACCB a b a b
2
2
2
2
a b a b
r2 r2 0
即 AC CB 0，∠ACB=90°
3.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
转化：建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化为向量问题；
运算：通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
翻译：把运算结果“翻译”成几何关系。
2.5 平面向量应用举例
(OA OB) AB (OB OC) BC (OC OA) CA
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心
B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
0
三、垂心
三角形三边上的高交于一点， 这一点叫三角形的垂心。
A
E
F o D
AB OC, BC 3
B
D
C
二、外心
三角形三边的中垂线交于一点， 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
A
O
A
O
A C
B
C
B
例题2 若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ） A．内心 B．外心 解析：由向量模的定义知 O 到 C．垂心 D．重心
一、向量四种运算总结：
运算类型 代数式运算 几何运算
a
b
坐标运算
运算性质
ab ba (a b) c a (b c) AB BC AC
a b a (b) AB BA OB OA AB
加 法 减 法
ab
a b
ab ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
a
b
数 乘
a
ab 数量积 a b cos
0 0 0
a
a (x1, y1 )
a
b
a· b=|b|·（向量a在b方向上的投影）
a b x1 x2 y1 y2
a∥b a∥ b x1 y2 x2 y1 0
O是 ABC 的垂心
B
C
O A O B O B O C O C O A
例3. 点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
2.5平面向量应用举例【很好】
思考：能否用向量 坐标形式证明？
即 AC CB 0，得 ∠ACB=90°
r2 r2 0
2.5.2向量在物理中的应用
例1：同一平面内，互成120ْ 的三个大小相等的共点 力的合力为零。
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力， 且a，b，c互成120°，模相等，按照向 量的加法运算法则，有： a A
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与 EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
1 解得：n= m = 3
故AT=RT=TC
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
=3
2.5平面向量应用举例
1. 向量在几何中的应用
解决的问题：
比如：距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题
2. 向量在物理中的应用
解决的问题：
比如：力、速度等物理问题
2.5.1平面几何的向量方法
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？
F2
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： G F1 = （ *） θ 2cos 2 F 通过上面的式子，有：当θ由0º 到180º 逐渐变 θ θ cos 大时， 由0º 到90º 逐渐变大， 2 的值由大逐 2 渐变小，因此 ： F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ 探究：
平面向量应用举例
2.5 平面向量应用举例一、学习目标设定1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．二、导入情境创设如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N 的灯具，则每根绳子的拉力是多少？三、学习策略分析本节课采用“情境—问题”的课堂教学模式，即在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中发现并证明基本不等式，并在此过程中逐步提高推理论证能力及数形结合能力。
四、自主学习设计1． 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 2． 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法 120o10N相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．五、课时对点练习1．某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示( )．A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB→＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )．A ．4,0B ．16,0C ．2,0D ．16,44．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则 △ABC 为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形 5．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________．六、课堂内容小结平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．七、探究延伸拓展1.以O 为原点，OF 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设OF ·FG =1，点F 的坐标为(t ，0)，t ∈［3，+∞)，点G 的坐标为(x 0，y 0).(1)求x 0关于t 的函数x 0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；(2)设△OFG 的面积S=631t ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当|OG |取得最小值时椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若点P 的坐标为(0，92)，C 、D 是椭圆上的两点，且PC =λPD (λ≠1)，求实数λ的取值范围.2.如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m 的线段,其端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动,设点M 满足=λ(λ是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E 、F,使得|ME |、||、||成等差数列?若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由.3. 已知△OPQ的面积为S，且OP·PQ=1，OP=m，S=43m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q.(1)当m∈(1，2)时，求|OQ|的最大值，并求出此时的椭圆C方程；(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且MP=λ1PN，MD=λ2DN请找出λ1、λ2之间的关系，并证明你的结论.。
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件
[证明] ∵A→C＝A→B＋A→D，B→D＝A→D－A→B， ∴A→C·B→D＝(A→B＋A→D)·(A→D－A→B)＝|A→D|2－|A→B|2＝0．
∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD．
命题方向2 ⇨向量在物理中的应用
• 物体，典绳例子2 与如铅图垂，方在向细的绳夹O处角用为水θ，平绳力子F2所缓受慢到拉的起拉所力受为重F力1．为G的 • (1)求|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况； • (2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.
[思路分析]
分析条件
→
转化为向量 加法问题
→
求解
解析] (1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝c|oGs|θ，|F2| ＝|G|tanθ．
当 θ 从 0°趋向于 90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大． (2)由(1)，得|F1|＝c|oGs|θ． 由|F1|≤2|G|，得 cosθ≥12． 又因为 0°≤θ<90°，所以 0°≤θ≤60°．
• [解析] 由于向量(A，B)与直线Ax＋By＋c＝0垂直，故应选A．
3．已知两个力 F1，F2 的夹角为 90°，它们合力大小等于 10N，合力与 F1 的
夹角为 60°，则 F1 的大小为______N
(D )
A． 3
B．10
C．5 2
D．5
[解析] |F1|＝|F|cos60°＝10×12＝5．
• [思路分析] 本题是求线段长度的问题，它可以转化为求向量的模来解决．
[解析] 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b，
而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2，
①
∴|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b．
∴A→C⊥B→D.∴AC⊥BD．
命题方向2 ⇨向量在物理中的应用
• 物体，典绳例子2 与如铅图垂，方在向细的绳夹O处角用为水θ，平绳力子F2所缓受慢到拉的起拉所力受为重F力1．为G的 • (1)求|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况； • (2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.
[思路分析]
分析条件
→
转化为向量 加法问题
→
求解
解析] (1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝c|oGs|θ，|F2| ＝|G|tanθ．
当 θ 从 0°趋向于 90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大． (2)由(1)，得|F1|＝c|oGs|θ． 由|F1|≤2|G|，得 cosθ≥12． 又因为 0°≤θ<90°，所以 0°≤θ≤60°．
• [解析] 由于向量(A，B)与直线Ax＋By＋c＝0垂直，故应选A．
3．已知两个力 F1，F2 的夹角为 90°，它们合力大小等于 10N，合力与 F1 的
夹角为 60°，则 F1 的大小为______N
(D )
A． 3
B．10
C．5 2
D．5
[解析] |F1|＝|F|cos60°＝10×12＝5．
• [思路分析] 本题是求线段长度的问题，它可以转化为求向量的模来解决．
[解析] 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b，
而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2，
①
∴|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b．
251平面向量应用举例15762
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab2b源自2a2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
W=F·s
F3
西
北
F1
F2
东
南
小结： 平面几何中的向量方法
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
物理中的向量方法
（1）利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把 物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体 的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur
D
C
AC AB AD,
uuur uuur uuur
DB AB AD,
猜想：
A
B
长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？
类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
系？
F1＋F2＋G=0.
思考3：假设两只手臂的拉力大小相等，夹
角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的关系
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第一课时 2.5.1 平面几何中的向量方法
教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则；会用向量知识解决几何问题；能通过向量运算研
究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.
教学过程： 一、复习准备：
1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的?
2.讨论：① 若o 为ABC ∆的重心，则OA +OB +OC =0；
②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12
AB ,且|AD |=|BC |，则这个四边形为等腰梯形。
类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
二、讲授新课：
1.教学平面几何的向量：
(1). 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。
例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：
平行四边行ABCD 中，设AB ＝，AD ＝，
则+=+=
（平移）
，-=-=， 2
2
b AD ==（长度）
．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ (2). 讨论：①向量运算与几何中的结论“若b a =，则
=，且,所在直线平行或重合”相类比，你
有什么体会？
②由学生举出几个具有线性运算的几何实例．
(3). 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． ② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． ③ 把运算结果“翻译”成几何关系． 2.教学例题：
①例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
分析:由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积．
② 例2：如图，平行四边行ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、
T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC 之间的关系吗？ 分析：设,,,,n m
====分别
求向量,,即可。
③ 例3、如图，在OBCA 中，b OB a OA ==,-=+，求证四边形OBCA 为矩形
分析：要证四边形OBCA 为矩形，只需证一角为直角．
C
F
④ 练习：AC 为⊙O 的一条直径，ABC ∠为圆周角，求证90ABC ∠=︒
⑤ 练习：求证平行四边形对角线互相平分．
三、巩固练习：
1. 已知平行四边形ABCD ，E F 、在对角线BD 上，并且BE=FD ，求证AECF 是平行四边形．
2. 求证：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
3. 在平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长．
四、作业：课本P113 习题2.5 A 组 1、2
第二课时：2.5.2 向量在物理中的应用举例
教学要求：理解向量线性运算及数量积运算，会用向量知识解决物理问题. 教学过程： 一、复习准备：
1. 讨论：①两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。
②在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.
2. 提问：类比物理元素之间的关系，你会想到向量运算之间有什么关系?
二、讲授新课：
1. 教学物理中的向量：
① 物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.
② 力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法。
③
动量mv 是数乘向量。
④ 力所做的功就是作用力F 与物体在力F 的作用下所产生的位移s 的数量积。
⑤ 用向量研究物理问题的方法：首先把物理问题转化成数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。
⑥ 探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子。
2 .教学例题：
①
练习：（1）例1：某人在静水中游泳，速度为
① 如果他径直游向河对岸，水流速度为4km/h ，那么他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？ ② 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
(分析：解决此类行船问题的关键在于“水速+船速=船实际速度”，注意到速度是一个向量，既有大小、
又有方向.)
12150010/2/d m A B v km h v km h ===例。
一条河的两岸平行，河宽，一艘船从出发航行到河的正对岸处。
航行的速度，水流的速度，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？1212210/,2/.
v v v v km h v km h v v t =+==⊥分析：如图，已知，
，，求
（2）例2：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。
你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型。
只要分析清楚θ,,三角之间的关系（其中为
21,F F 的合力），就得到了问题的数学解释。
（3） 练习：如图,用两根分别长10m 和的绳子将100N 的物体吊在水平屋顶上，平衡后G 点距屋顶的距离恰好为5m ，求A 处受力的大小。
(分析：解决此类问题要先依题意将物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，将物理问题转化为数学中向量加法，然后由已知条件进行计算.)
（4）练习：用两条成120︒角的等长的绳子挂一个灯具，已知灯具的重量10N ，则每根绳子的拉力大小是
多少?.
三、巩固练习：
1. 静水中船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船沿着垂直水流的方向到达对岸，那么船行进的方向与河岸的夹角为_________.
2. 甲飞机从A 城市向北飞行了
，然后向东飞行300km ；乙飞机从B 城市向东飞行了300km ，然后向北飞行，那么甲、乙两飞机飞行的位移相等吗？为什么？
四、. 作业：教材P113 习题A 组2.5 3、4题.
2.3～2.4平面向量的坐标表示及数量积复习
一、基本知识点
1、向量的坐标运算
①若),(11y x a =，),(22y x b =，则+),(2121y y x x ++=，-),(2121y y x x --
=； ②若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=。
2、向量的数量积
①向量数量积公式 )(cos 与是向量其中θθ=∙；
②若),(11y x =，),(22y x =，则2121y y x x b a +=∙。
3、平面向量的基本应用
（1）向量共线(平行)的充要条件：①)(//R ∈=⇔λλ ；②a ∥b (b
≠)⇔x
1y 2-x 2y
1=0。
（2）向量垂直的充要条件：①0a b a
b ⊥⇔∙
=；② 则02121
=+⇔⊥y y
x x （3）利用向量求长度： ①=
（即=）； ②
=
（4）利用向量求角度的大小（设a
=(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2)，向量a 与b 的夹角为θ）
① =
θcos ； ② 2
2
2
22
12
12
121cos
y x y x y y x x +∙++=
θ
二、典型例题
例1、已知4||||==b a ，且b a ,的夹角为60°。
⑴ 求||+-； ⑵ 求与-的夹角.
练习：1、已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为( )
A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 2、已知 ,a b 均为单位向量，它们的夹角为0
60，那么3a b +=（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
例2、已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +与3a -平
行？平行时它们是同向还是反向？
练习：1、向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于（ ）
A ．2-
B ．2
C ．21
D ．12
-
2、已知()()1, 0, 1, 1a b ==，若()
a b a λ+⊥，则实数λ=_______.
三、巩固练习
1、已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）
A ．0,24
B ．24,4
C ．16,0
D ．4,0
2、若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ．
3、已知点()()2,1, 3, 2A B -，向量()24, 6m k =-，且m ∥AB ，则k 的值为（ ）.
()()()(). 1 ; B . 2; C . 3 ; D . 4.A
4、已知向量()()(),12, 4,5, ,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，求k 的值.
四、作业：
1、已知单位向量1e 与2e 的夹角为60，且22112, 32,a e e b e e =+=-+，求：（1）∙；（2）a 与b 的夹角。
2、(06全国II)已知向量()()sin ,1,1,cos ,.2
2
a b π
π
θθθ==-
<<
若a b ⊥,求θ;。