新人教A版《平面向量应用举例》word教案

《平面向量应用举例》教案13（新人教A版必修4）2.5.1 平面几何中的向量方法教学目的：让学生经历用向量方法解决几何问题的过程，体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

教学重点：向量方法在几何问题中的应用。

教学难点：例2的教学及其方法是本课的难点。

教学过程一、复习提问平面向量的坐标表示、模、夹角公式是什么？二、新课例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，＝＋，＝－，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？解：设＝，＝，则＝＋，＝－｜｜2＝（＋）2＝｜｜2＋2?＋｜｜2｜｜2＝（－）2＝｜｜2－2?＋｜｜2｜｜2＋｜｜2＝2（｜｜2＋｜｜2）＝2（｜｜2＋｜｜2）即平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍。

注意：在解决有关长度的问题时，我们常常要考虑向量的数量积。

平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，困此，可以用向量的方法解决平面几何中的一些问题。

例2、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BE、CF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由R、T是对角线上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可。

解：设＝，＝，则＝＋，＝－设＝n，＝m因为所以n＝＋m即n（＋）＝＋m（－）整理，得：（n－m）＋（n＋）＝0由于、不共线，故有，解得：所以，设＝同理，＝，于是，＝所以，有AR＝RT＝TC作业：P125 1、2P131 12、132.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：1. 讲解《习案》作业二十五的第4题.2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1)q为何值时，||最小，最小值是多少?(2)| |能等于||吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解--理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象. 例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度||＝10 km/h，水流速度||＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？思考:1. "行驶最短航程"是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤:(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解--理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.四、课后作业1. 阅读教材P.111到P.112;2. 《习案》作业二十六.。

《平面向量应用举例》教学设计【教学目标】1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神.【导入新课】回顾提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0.（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.新授课阶段探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移），DB AB AD a b =-=-，222||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到AC AB AD =+， DB AB AD =-，我们计算2||AC 和2||BD ． 证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b ，2||AB =|a |2，2||AD =|b |2．得2||AC AC AC =⋅=( a +b )·( a +b )= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b =|a |2+2a ·b +|b |2． ①同理,2||DB =|a |2-2a ·b +|b |2． ② ①+②得 2||AC +2||DB =2(|a |2+|b |2)=2(2||AB +2||AD )． 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,a b 表示向量AO .例2如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上两点，所以要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需要分别判断AR 、RT 、TC 与AC 之间的关系即可．解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ．因为AR 与AC 共线，因此，存在实数m ，使得AR =m (a +b )．又因为BR 与BE 共线，因此存在实数n ，使得BR =n BE = n (12b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (12b - a )． 整理得(1)m n +-a ＋1()2m n -b ＝0． 由于向量a 、b 不共线，所以有 10,10,2m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1,32.3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以13AR AC =． 同理13TC AC =． 于是13RT AC =． 所以AR ＝RT ＝TC ．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos 2G θ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|有小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）解：||v =2212||||96v v -=(km/h)，所以， 0.560 3.1||96d t v ==⨯≈(min)． 答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了.例5已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当实数k 为何值时，⑴c ∥d ？⑵d c ⊥？解：⑴若c ∥d ，得59=k； ⑵若d c ⊥，得29.14k =- 例6如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形，求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF. 解：以D 为原点，DC 为x 轴正方向建立直角坐标系，则A(0,1), C:(1,0)， B:(1,1). )22,22(,r r P r DP 则设=. 22(,1).22PA r r ∴=-- 22(1,),:(,0),22E r F r 点为22(1,).22EF r r ∴=-- 2222||()(1).22PA r r ∴=-+-2222||(1)().22EF r r ∴=-+- 故.PA EF =0.PA EF PA EF ⋅=⇒⊥而例7如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.证明:,,BD PD PB AC PC PA =-=-22222222||()||2||,||()||2||.BD PD PB PD PBPD PB AC PC PA PC PCPA PA ∴=-=-+=-=-+,,,0.BD AC PD PB PA PC PD PB PA PC ⊥⊥⇒⋅=⋅=为直径故222222||||||||||||,BD AC PA PB PC PD ∴+=+++即2222222448.r r PA PB PC PD r +=+++=例8 已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0．延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD ．解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP －b ，又 3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，∴ 3AP ＋4（AP －a ）＋5（AP －b ）＝0， 化简，得AP ＝31a ＋125b ．设AD ＝t AP （t ∈R ），则 AD ＝31t a ＋125t b ． ①又设 BD ＝k BC （k ∈R ），由 BC ＝AC －AB ＝b －a ，得BD ＝k （b －a ）． 而 AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD ＝a ＋k （b －a ）＝（1－k ）a ＋k b .②由①②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=．k t k t 125131解得 t ＝34．将之代入①，有 AD ＝94a ＋95b ． 课堂小结利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系.作业见同步练习拓展提升一、 选择题1.给出下面四个结论：① 若线段AC=AB+BC ，则向量AC AB BC =+；② 若向量AC AB BC =+，则线段AC=AB+BC ；③ 若向量AB 与BC 共线，则线段AC=AB+BC;④ 若向量AB 与BCBC AB +=+. 其中正确的结论有 （ ）m /s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m /s 的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ）m /s B.262m /s C.64m /s m /sABC ∆中，若)()(CB CA CB CA -•+=0，则ABC ∆为 ( ）二、填空题ABC ∆两边的向量21,e AC e AB ==，则BC 边上的中线向量AM 用1e 、2e 表示为.参考答案 1.B 2.B 3.C 4.)(2121e e AM +=。

第二章第五节平面向量应用举例第二课时整体设计教学分析向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．三维目标1．通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．2．通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力．体会数学在现实生活中的重要作用．养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯．重点难点教学重点：1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(章头图引入)章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系．章引言说明了向量的研究对象及研究方法．那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样，是一条解决物理问题的高速公路．在学生渴望了解的企盼中，教师展示物理模型，由此展开新课．思路 2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新课．应用示例例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．图1在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．解：不妨设|F 1|＝|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos θ2＝12|G||F 1|⇒|F 1|＝|G |2cos θ2. 通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1，F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．点评：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现.图2，实际风速为v .端，子弹击中砂箱后，陷入箱内，使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ，求子弹的速度v 的大小．图3解：设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度，由于水平方向上动量守恒，所以m |v |＝(M ＋m )|v 0|. ①由于机械能守恒，所以12(M ＋m )v 20＝(M ＋m )gh . ② 联立①②解得|v |＝M ＋m m2gh . 又因为m 相对于M 很小，所以|v |≈M m 2gh ， 即子弹的速度大小约为M m2gh . 知能训练1．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3小时，该船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC.84 km D ．8 km答案：B点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求．2．如图4，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________ N ；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F ，则F ＝________.图4 答案：41 (5,4)3．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．答案：如图5所示，设OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的速度，OC →表示船的实际速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km/h.图5因为OACB 为矩形，所以|OA →|＝|AC →|·cot30°＝|OB →|·cot30°＝53≈8.66 km/h，|OC →|＝|OA →|cos30°＝5332＝10 km/h. 答：水流速度为8.66 km/h ，船的实际速度为10 km/h.点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．课堂小结1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；③)动量m v 是数乘向量，冲量Δt F 也是数乘向量；④功是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s .作业1．课本习题2.5 A 组3、4，B 组1、2.2．归纳总结物理学中哪些地方可用向量．设计感想1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1，M 2，它们的质量分别是m 1，m 2，由物理学知识，这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即M 1M MM 2＝m 2m 1，或m 1M 1M →＝m 2MM 2→. 现设点M 1、M 2、M ，对应的向量分别是r 1、r 2、r ，则上式可以写成m 1(r －r 1)＝m 2(r 2－r )．所以r ＝m 1r 1＋m 2r 2m 1＋m 2，点M 处的质量为m 1＋m 2. 现求三个质点的重心问题．三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3，所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3，我们可设M 1，M 2的重心在点D 处，该处对应的向量为r D ＝m 1r 1＋m 2r 2m 1＋m 2，该点的质量为m 1＋m 2，然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r ，易得r ＝m 1r 1＋m 2r 2＋m 3r 3m 1＋m 2＋m 3. 二、备用习题1．作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|＝5，|F 2|＝3，夹角为60°，则F 1＋F 2的大小为________．答案：72．一条渔船距对岸为4 km ，现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，求河水的流速.答案：解：如图7所示，设AB →表示船垂直于对岸的速度，则AB →＋BC →＝AC →，图7知AC →就是渔船实际航行的速度．因为航行的时间为4÷2＝2(h)，所以在Rt△ABC 中，|A B →|＝2 km/h ，|AC →|＝8÷2＝4 km/h ，则|B C →|＝2 3 km/h.答：河水的流速为2 3 km/h.3．在半径为15 cm 的均匀铁板上，挖出一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm ，圆洞的半径是5 cm ，求挖去圆洞后所剩下铁板的重心．答案：解：如图8所示，建立平面直角坐标系，两圆的圆心分别为O 1(0,0)，O 2(8,0)，圆O 2是挖去的圆，不妨设铁板的密度为ρ＝1，则小圆的质量m 1＝25π，挖去圆洞后，铁板的质量为m 2＝(225－25)π＝200π，设所求的重心为O 3.图8根据物理学知识，知O 3在直线O 1O 2上，即可设O 3(x 3,0)，且满足O 3O 1→＝λO 1O 2→，其中λ＝m 1m 2＝25200＝18.由定比分点坐标公式知0＝x 3＋18×81＋18，解得x 3＝－1， 即O 3(－1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心．4．如图6所示，重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板的压力最小，求木板与斜面间夹角θ的大小.图6答案：解：对小球的受力分析如图6所示，重力为G ，斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上)，木板弹力N 1(垂直于木板)，其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G′|，方向向上，N 2的方向始终不变，随着木板的转动，N 1的方向始终垂直于木板，N 1的大小在变化，且满足|N 1|sin α＝|G′|sin θ，又|G′|＝|G |，∴|N 1|＝|G |sin αsin θ.∴当sin θ取最大值1时，|N 1|min ＝|G |sin α，此时θ＝π2.。

第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答以下问题．观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：(1)如何计算力F所做的功？提示：W＝|F||s|cos_θ.(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos_θ.(3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．2．归纳总结，核心必记(1)向量的数量积的定义条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内定义积)记法a·b＝|a||b|cos_θ规定零向量与任一向量的数量积为0(2)①投影的概念：(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ．(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ．②数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．(3)向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．①a⊥b⇔a·b＝0．②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．③a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.④cos θ＝a·b|a||b|.⑤|a·b|≤|a||b|.(4)向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[问题思考](1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？提示：①在实数中，假设a≠0，且ab＝0，那么b＝0，但在数量积中，假设a≠0且a·b ＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|．(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．(4)a·b＜0，那么〈a，b〉是钝角吗？提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.(5)a·b中的“·〞能省略不写吗？提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵假设(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．[课前反思](1)向量数量积的定义：；(2)向量数量积的几何意义：；(3)向量数量积的性质：；(4)向量数量积的运算律：.[思考1] 要求a·b，需要知道哪些量？名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ．[思考2] 你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？名师指津：求平面向量数量积的步骤为：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求a·b的值．讲一讲1．(1)向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC的边长为2，求a·b＋b·c＋c·a.[尝试解答] (1)①由得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．练一练1．正方形ABCD的边长为2，分别求：[思考] 如何求向量的模|a|?提示：|a|＝a·a．讲一讲2．(1)向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，那么|a－3b|＝________．(2)向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，那么|b|＝________．[尝试解答] (1)因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，所以|a－3b|＝〔a－3b〕2＝a2－6a·b＋9b2＝12＋9×12＝10.(2)因为|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)． 答案：(1)10 (2) 2向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝〔a ±b 〕2＝a 2±2a ·b ＋b 2.练一练2．(1)非零向量a ＝2b ＋2c ，|b |＝|c |＝1，假设a 与b 的夹角为π3，那么|a |＝________；(2)向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，那么|a －b |＝________．解析：(1)由于c ＝12a －b ，所以c 2＝14|a |2＋|b |2－2×12|a ||b |×12，整理得|a |2－2|a |＝0，所以|a |＝2或|a |＝0(舍去)．(2)由，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.(*)∵|a |＝2，|b |＝3，∴a2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入(*)式得4＋2a·b ＋9＝16，即2a·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10 答案：(1)2 (2)10[思考1] 如何求a 与b 的夹角θ？名师指津：利用cos_θ＝a·b|a ||b |求出cos_θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.[思考2] 两非零向量a 与b 垂直的充要条件是什么？ 名师指津：两非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0. 讲一讲3．(1)向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a|＝1，|b |＝2，那么a 与b 的夹角为________．(2)非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．[尝试解答] (1)设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧〔a ＋3b 〕·〔7a －5b 〕＝0，〔a －4b 〕·〔7a －2b 〕＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：(1)π3求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 练一练3．|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？解：由得a ·b ＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d ，得c·d ＝0， 即c·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b ) ＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即m ＝2914时，c 与d 垂直．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．2．要掌握与数量积相关的三个问题(1)数量积的计算，见讲1；(2)向量的模的计算，见讲2；(3)向量的夹角及垂直问题，见讲3.3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，假设ab＝0，那么a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，假设a，b∈R，那么|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：假设bc＝ca，c≠0，那么有b＝a.在向量数量积的运算中，假设a·b＝a·c(a≠0)，那么向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 向量数量积的运算1．以下命题：(1)假设a≠0，a·b＝a·c，那么b＝c；(2)(a·b)·c＝a·(b·c)对任意向量a，b，c都成立；(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2．|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，那么a ·b 为( )A.92B ．3 C ．2 D.12解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92.A.49B.43 C ．－43 D ．－49题组2 向量的模5．假设非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，那么向量a的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选A 由得，a 2＋a ·b －2b 2＝－32，∴|a |2＋|a |×4×cos 2π3－2×42＝－32.解得|a |＝2或|a |＝0(舍)．6．向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝1，|b |＝3，那么|5a －b |＝________．解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝〔5a －b 〕2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7. 答案：77．非零向量a ，b ，满足a⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，那么|a||b|＝________． 解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.故cos 120°＝〔a ＋2b 〕·〔a －2b 〕|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2〔a 2＋4b 2〕2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12，得a 2b 2＝43，即|a ||b |＝233. 答案：233题组3 两向量的夹角与垂直问题8．假设非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，那么a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°解析：选C 因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝0，所以a ·b ＝－12|b |2.设a 与b 的夹角为θ，那么cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12|b |2|b |2＝－12，故θ＝120°.9．|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，那么k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由c⊥d 得c·d ＝0，即(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，即2k |a |2＋(3k －8)a ·b －12|b |2＝0，所以2k ＋(3k －8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k ＝6.应选B.10．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．假设a 与b 的夹角为60°，那么k ＝________．解析：∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2k a ·b )．∴k 2＋1＋k ＝3(1＋k 2－k )．即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案：111．|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12.(1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值． 解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12.∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22.(2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1，∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1. 令a ＋b 与a －b 的夹角为θ，那么cos θ＝〔a ＋b 〕·〔a －b 〕|a ＋b ||a －b |＝122×1＝24，即向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值是24.[能力提升综合练]1．|a |＝3，|b |＝5，且a 与b 的夹角θ＝45°，那么向量a 在向量b 上的投影为( ) A.322B ．3C ．4D ．5 解析：选A 由|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，而向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ＝3×22＝322. 2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，那么a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 解析：选A ∵|a ＋b |＝10， ∴(a ＋b )2＝10， 即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.①∵|a －b |＝6，∴(a －b )2＝6， 即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.② 由①②可得a ·b ＝1，应选A.A ．2 3 B.32 C.33D. 3解析：画出图形知△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°，＝0＋4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－25. 答案：－255．平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，那么|2α＋β|的值是________． 解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1， 所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝10. 答案：106．a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， ∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ.那么cos θ＝a ·〔a ＋b 〕|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32.∴θ＝30°.7．a ，b 是非零向量，t 为实数，设u ＝a ＋t b . (1)当|u |取最小值时，某某数t 的值； (2)当|u |取最小值时，向量b 与u 是否垂直？解：(1)|u |2＝|a ＋t b |2＝(a ＋t b )·(a ＋t b )＝|b |2t 2＋2(a ·b )t ＋|a |2＝|b |2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a ·b |b |22＋|a |2－〔a ·b 〕2|b |2. ∵b 是非零向量，∴|b |≠0， ∴当t ＝－a ·b|b |2时，|u |＝|a ＋t b |的值最小． (2)∵b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b|b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0，∴b ⊥(a ＋t b )，即b ⊥u .第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 106～P 107的内容，回答以下问题． 两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)假设i ，j 是两个互相垂直且分别与x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量，那么a ，b 如何用i ，j 表示？提示：a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j . (2)|a |，|b |分别用坐标怎样表示？提示：|a |＝〔x 1i ＋y 1j 〕2＝x 21＋y 21； |b |＝〔x 2i ＋y 2j 〕2＝x 22＋y 22. (3)能用a ，b 的坐标表示a ·b 吗？ 提示：a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 2j 2＝x 1x 2＋y 1y 2.2．归纳总结，核心必记 (1)平面向量数量积的坐标表示假设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(2)两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． (3)三个重要公式①向量模的公式：设a ＝(x 1，y 1)，那么|a |＝x 21＋y 21.②两点间的距离公式：假设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB ―→|＝③向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，那么cos θ[问题思考](1)向量a ＝(x ，y )，你知道与a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与a 垂直的单位向量的坐标又是什么？提示：设与a 共线的单位向量为a 0，那么a 0＝±1|a |a ＝ ±⎝ ⎛⎭⎪⎫x|a |，y |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋y2，y x 2＋y 2，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向． 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y2，x x 2＋y 2，其中正，负号表示不同的方向．(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB |＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2吗？[课前反思](1)平面向量数量积的坐标表示：；(2)两个向量垂直的坐标表示：；(3)向量模的公式：；(4)向量的夹角公式：．讲一讲1．(1)在平面直角坐标系xOy中，＝(－1，t)，＝(2，2)，假设∠ABO＝90°，那么实数t的值为________．(2)向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：①2a·(b－a)；②(a＋2b)·c.(2)法一：①∵2a＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.法二：①2a·(b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.②(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.答案：(1)5数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法那么和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．练一练1．向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)假设c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1，2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2，4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系？名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，那么在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样假设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴||＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．讲一讲2．(1)假设向量a ＝(2x －1，3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，那么|a －b |的最小值为________． (2)假设向量a 的始点为A (－2，4)，终点为B (2，1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[尝试解答] (1)∵a ＝(2x －1，3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，∴a －b ＝(2x －1，3－x )－(1－x ，2x －1)＝(3x －2，4－3x )，∴|a －b |＝〔3x －2〕2＋〔4－3x 〕2＝18x 2－36x ＋20＝18〔x －1〕2＋2. ∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2.(2)①∵a ＝AB ―→＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋〔－3〕2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，那么a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.答案：(1) 2求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：假设a ＝(x ，y )，那么a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 练一练2．向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)，假设a ·c ＝b ·c ，试求模为2的向量c 的坐标．解：法一：设c ＝(x ，y )，那么a ·c ＝(3，－1)·(x ，y )＝3x －y ，b ·c ＝(1，3)·(x ，y )＝x ＋3y ，由a ·c ＝b ·c 及|c |＝2，得⎩⎨⎧3x －y ＝x ＋3y ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12，y ＝3－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋12，y ＝－3－12，所以c ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.法二：由于a ·b ＝3×1＋(－1)×3＝0，且|a |＝|b |＝2，从而以a ，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于a ·c ＝b ·c ，所以c 与a ，b 的夹角相等，从而c 与正方形的对角线共线．此外，由于|c |＝2，即其长度为正方形对角线长度(2|b |＝22)的一半，故c ＝12(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝－12(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.[思考] 当a 与b 是非坐标形式时，如何求a 与b 的夹角？如果a 与b 是坐标形式时，又如何求a 与b 的夹角？名师指津：(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)假设a ，b 是坐标形式，那么可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解． 讲一讲3．平面向量a ＝(3，4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)假设m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．[尝试解答] (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3，∴b ＝(9，12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m 、n 的夹角为θ，那么cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋〔－4〕×1〔－3〕2＋〔－4〕272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m 、n 的夹角为3π4.解决向量夹角问题的方法及须知(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值X 围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.练一练3．a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，求满足以下条件的实数λ的取值X 围． (1)a 与b 的夹角为90°. (2)a 与b 的夹角为锐角． 解：(1)设a 与b 的夹角为θ. |a |＝12＋22＝5，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a ·b >0且a 与b 不同向． 因此1＋2λ>0，所以λ>－12.又a 与b 共线且同向时，λ＝2.所以a 与b 的夹角为锐角时，λ的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题． 2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用 (1)求平面向量的数量积，见讲1； (2)解决向量模的问题，见讲2； (3)解决向量的夹角与垂直问题，见讲3. 3．本节课的易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况，如练3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 平面向量数量积的坐标运算1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．假设a ·b ＝1，那么x ＝( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1解析：选D a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2．向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，那么向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3B ．3 C ．－ 3 D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.选D. 3．向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，那么b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1，0) 解析：选B 法一：设b ＝(x ，y )，其中y ≠0， 那么a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3y ≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.应选B.法二：利用排除法．D 中，y ＝0，∴D 不符合题意；C 中，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334不是单位向量，∴C 不符合题意；A 中，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12使得a ·b ＝2， ∴A 不符合题意．应选B. 题组2 向量模的问题4．平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，假设c ＝a －(a ·b )b ，那么|c |等于( ) A ．42B ．25C ．8 D ．8 2解析：选D 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)， 所以|c |＝82＋〔－8〕2＝8 2.5．设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，假设a ∥b ，那么|3a ＋b |等于________．解析：a ∥b ，那么2×(－2)－1·y ＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1，2)，|3a ＋b |＝ 5.答案： 56．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，那么||的最小值为________．解析：建立如下图的平面直角坐标系，设DC ＝h ，那么A (2，0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )，那么＝(2，－y )，＝(1，h －y )，∴||＝25＋〔3h －4y 〕2≥25＝5. 故||的最小值为5. 答案：5题组3 向量的夹角与垂直问题 7．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，那么以下结论中正确的选项是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 8．向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，假设向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，那么c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 解析：选D 设c ＝(m ，n )，那么a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，由(c ＋a )∥b ，得－3(1＋m )＝2(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )，得3m －n ＝0，故m ＝－79，n ＝－73. 9．以原点O 和点A (5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠B ＝90°，求点B 和向量的坐标．解：设点B 坐标为(x ，y )， 那么＝(x ，y )，＝(x －5，y －2)．∵⊥， ∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，即x 2＋y 2－5x －2y ＝0. 又∵||＝||， ∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2，即10x ＋4y ＝29.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－5x －2y ＝0，10x ＋4y ＝29， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝72.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72. ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，32. 10．a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)．(1)假设|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)假设|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0， 整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.[能力提升综合练]A.32B ．－32C ．4D ．－4解得m ＝4.2．向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使有最小值，那么点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C 设P (x ，0)，那么＝(x －2，－2)，＝(x －4，－1)，∴＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ―→·BP ―→最小，此时点P 的坐标为(3，0)．3．a ，b 为平面向量，a ＝(4，3)，2a ＋b ＝(3，18)，那么a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865B ．－865C.1665D ．－1665 解析：选C 设b ＝(x ，y )，那么2a ＋b ＝(8＋x ，6＋y )＝(3，18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12， 故b ＝(－5，12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665. 4．a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，且a ·b ＝10，那么|a －b |＝________.解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 答案： 55．如图，点A (1，1)和单位圆上半部分上的动点B ，假设⊥，那么向量的坐标为________．解析：依题意设B (cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，即cos θ＋sin θ＝0，解得θ＝3π4， 所以＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 6．a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，假设a 与b 的夹角为锐角，那么λ的取值X 围是________． 解析：因为a 与b 的夹角为锐角，所以0<a ·b |a ||b |<1， 即0<3λ2＋4λ5λ2×9λ2＋4<1， 解得λ<－43或0<λ<13或λ>13. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 7．O 为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，那么在线段OC 上是否存在点M ，使得？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：假设存在点M ，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴存在M (2，1)或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115满足题意．。

第五章 平面向量第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：一、开场白：课本P93（略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

二、 提出课题：平面向量1． 意义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）2?字母表示法：AB 可表示为a （印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里）3． 模的概念：向量AB 记作：|AB | 模是可以比较大小的4． 两个特殊的向量：1?零向量——长度（模）为0的向量，记作0。

0的方向是任意的。

注意0与0的区别2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。

因为零上零下也只是大小之分。

例：AB 与BA 是否同一向量？答：不是同一向量。

A BA(起点)B （终点） a例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、 向量间的关系：1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：a ∥b ∥c规定：与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：a =b规定：=任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。

第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。

过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)=++=a +a +a =3a=++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa= 3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。

从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立a a a a O A B C a-a-a-a-NMQP如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa| ∴②式成立 第二分配律证明：如果a=，b =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=a =b =1λa=11B A λb则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==111λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1． 若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量OAB B 1A 11若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。

人教a版必修二平面向量的应用教学设计一、教学目标：1.理解平面向量在几何、代数两方面的概念，掌握向量加、减法的法则及数乘向量等概念。

2.理解向量平行（共线）的充要条件，理解向量的数量积及其物理意义。

3.学会运用平面向量知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容分析：本单元内容是高中数学必修2中几何内容的一部分，它为解决几何问题提供了新的思路和方法，是联系立体几何和平面几何的桥梁，也是解析几何的基础。

本单元包括向量的一些基本概念和向量的应用，是向量这一章的起点，也是本章的基础。

本章除了本章开头介绍的有关向量的一些基本概念和几何应用外，还包括向量的数形结合的应用和向量的三角学应用等。

三、教学重点与难点：1.教学重点：掌握向量加、减法的法则及数乘向量等概念；理解向量平行（共线）的充要条件。

2.教学难点：理解向量的数量积及其物理意义；运用平面向量知识解决实际问题。

四、教学方法与手段：1.通过对实际问题的解决，使学生掌握向量加、减法的法则及数乘向量等概念。

2.通过实例，引导学生观察、思考、探究向量平行（共线）的充要条件。

3.通过实例，引导学生运用向量的数量积来解决问题。

4.引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和分析问题、解决问题的能力。

五、教学过程：1.导入新课：通过一些实际问题的解决，引出向量的概念，并介绍向量的加减法法则及数乘向量的概念。

2.新课教学：（1）讲授新课：让学生了解向量的加减法法则及数乘向量的概念，并掌握向量平行（共线）的充要条件。

（2）课堂练习：让学生进行相关练习，加深对新知识的理解。

（3）小组讨论：让学生进行小组讨论，交流自己的想法和解题思路，提高他们的思维能力和表达能力。

3.课堂小结：对本节课所学的知识进行总结，并强调重点和难点。

4.课后作业：让学生完成相关作业，巩固和提高所学知识。

六、教学反思：通过本节课的教学，学生是否掌握了向量的加减法法则及数乘向量等概念，是否了解了向量平行（共线）的充要条件；是否学会了运用平面向量知识解决实际问题，提高了学生的数学应用意识和分析问题、解决问题的能力。

高中数学必修4《平面向量应用举例》教案高中数学必修4《平面向量应用举例》教案
教学准备
教学目标
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的三步曲;
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.;
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重难点
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的三步曲.
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。

例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。

如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?
思考：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤?
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤?
三步曲：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果翻译成几何关系.。

第二章第五节平面向量应用举例第一课时整体设计教学分析1．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．2．研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括：综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法——以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等．前三种方法都是中学数学中出现的内容．有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化．三维目标1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．2．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．3．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．重点难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．推进新课新知探究提出问题①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．证明：方法一：如图2.图2作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，则Rt △ADF ≌Rt △BCE .∴AD ＝BC ，AF ＝BE .由于AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE )2＋CE 2＝AB 2＋2AB ·BE ＋BE 2＋CE 2＝AB 2＋2AB ·BE ＋BC 2.BD 2＝BF 2＋DF 2＝(AB －AF )2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AF 2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AD 2＝AB 2－2AB ·BE ＋BC 2.∴AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋BC 2)．方法二：如图3.图3以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系．设B (a,0)，D (b ，c )，则C (a ＋b ，c )．∴|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2＝a 2＋2ab ＋b 2＋c 2，|BD |2＝(a －b )2＋(－c )2＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2.∴|AC |2＋|BD |2＝2a 2＋2(b 2＋c 2)＝2(|AB |2＋|AD |2)．用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系．在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积．通过以下推导学生可以发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便．教学时应引导学生体会向量带来的优越性．因为平行四边形对角线平行且相等，考虑到向量关系DB →＝AB →－AD →，AC →＝AB →＋AD →，教师可点拨学生设AB →＝a ，AD →＝b ，其他线段对应向量用它们表示，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算|AC →|2与|DB →|2.因此有了方法三．方法三：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，|AB →|2＝|a |2，|AD →|2＝|b |2.∴|AC →|2＝AC →·AC →＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2. ①同理|DB →|2＝|a|2－2a·b ＋|b |2.② 观察①②两式的特点，我们发现，①＋②得|AC →|2＋|DB →|2＝2(|a|2＋|b |2)＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成．教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．讨论结果：①能．②能想出至少三种证明方法．③略．应用示例例1如图4，ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？图4 活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR 、RT 、TC 的长度，让学生发现AR ＝RT ＝TC ，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR ＝RT ＝TC 这个规律不变，因此猜想AR ＝RT ＝TC .事实上，由于R 、T 是对角线AC 上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可．又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线，所以只需判断AD →，AR →，AT →与AC →之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR ＝RT ＝TC .解：如图4，设AB →＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b .由于AR →与AC →共线，所以我们设r ＝n (a ＋b )，n ∈R .又因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线， 所以我们设ER →＝mEB →＝m (a －12b )． 因为AR →＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m (a －12b )．因此n (a ＋b )＝12b ＋m (a －12b )， 即(n －m )a ＋(n ＋m －12)b ＝0. 由于向量a 、b 不共线，要使上式为0，必须⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0. 解得n ＝m ＝13.所以AR →＝13AC →. 同理TC →＝13AC →.于是RT →＝13AC →. 所以AR ＝RT ＝TC .点评：教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的，因此在书写时图5，并设AB →＝b ，AC →＝－c ，BC →＝c －b .，′，求顶角A 的余弦值．图6 活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题．可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标．如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．解：建立如图6所示的平面直角坐标系，取A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)．因为BB ′、CC ′都是中线，所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝12[(2c,0)＋(c ，a )]＝(3c 2，a 2)， 同理CC ′→＝(－3c 2，a 2)． 因为BB ′⊥CC ′，所以－94c 2＋a 24＝0，a 2＝9c 2. 所以cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45. 点评：比较是最好的学习方法．本例利用的方法与例题1有所不同，但其本质是一致的，教学中引导学生仔细体会这一点，比较两例的异同，找出其内在的联系，以达到融会贯通，图7 ，CQ →＝AQ →－AC →图8两直角边所在的直线为坐标轴，，则A (0,0)，B (c,1．如图9，已知AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 是圆周角．图9求证：∠ABC ＝90°.证明：如图9.设AO →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝a ＋b ，OC →＝a ，BC →＝a －b ，|a|＝|b |.因为AB →·BC →＝(a ＋b )·(a －b )＝|a|2－|b |2＝0，所以AB →⊥BC →.由此，得∠ABC ＝90°. 点评：充分利用圆的特性，设出向量．2．D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点，且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发，各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动．当t ＝1时，分别到达B 、C 、A .求证：在0≤t ≤1的任一时刻t 1，△DEF 的重心不变．证明：如图10.图10建立如图所示的平面直角坐标系，设A 、B 、C 坐标分别为(0,0)，(a,0)，(m ，n )．在任一时刻t 1∈(0,1)，因速度一定，其距离之比等于时间之比，有|AD ||DB |＝|BE ||EC |＝|CF ||F A |＝t 11－t 1＝λ，由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0)、(a ＋(m －a )t 1，nt 1)、(m －mt 1，n －nt 1)．由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(a ＋m 3，n 3)．当t ＝0或t ＝1时，△ABC 的重心也为(a ＋m 3，n 3)，故对任一t 1∈[0,1]，△DEF 的重心不变． 点评：主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系，只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF 的重心相同即可． 课堂小结1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．作业课本习题2.5 A 组2，B 组3.设计感想1．本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动．本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点地激发学生的智慧火花．2．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题．因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力．3．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果．现举几例以供教师、学生进一步探究使用．1．简化向量运算例1如图11所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.图11证明：如图11，作直径BD ，交⊙O 于点D .连接DA ，DC ，有OB →＝－OD →，且DA ⊥AB ，DC ⊥BC ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，故CH ∥DA ，AH ∥DC ，得四边形AHCD 是平行四边形．从而AH →＝DC →.又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，得OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →，即OH →＝OA →＋OB →＋OC →.2．证明线线平行例2如图12，在梯形ABCD 中，E ，F 分别为腰AB ，CD 的中点．求证：EF ∥BC ，且|EF →|＝12(|AD →|＋|BC →|)．图12证明：连接ED ，EC ，∵AD ∥BC ，可设AD →＝λBC →(λ>0)，又E ，F 是中点，∴EA →＋EB →＝0，且EF →＝12(ED →＋EC →)． 而ED →＋EC →＝EA →＋AD →＋EB →＋BC →＝AD →＋BC →＝(1＋λ)BC →，∴EF →＝1＋λ2BC →，EF 与BC 无公共点． ∴EF ∥BC .又λ>0，∴|EF →|＝12(|BC →|＋|λBC →|)＝12(|AD →|＋|BC →|)． 3．证明线线垂直例3如图13，在△ABC 中，由A 与B 分别向对边BC 与CA 作垂线AD 与BE ，且AD 与BE 交于H ，连接CH ，求证：CH ⊥AB .图13证明：由已知AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，有AH →·BC →＝0，BH →·AC →＝0.又AH →＝AC →＋CH →，BH →＝BC →＋CH →，故有(AC →＋CH →)·BC →＝0，且(BC →＋CH →)·AC →＝0，两式相减，得CH →·(CB →－CA →)＝0，即CH →·AB →＝0，∴CH →⊥AB →.4．证明线共点或点共线例4求证：三角形三中线共点，且该点到顶点的距离等于各该中线长的23.图14已知：△ABC 的三边中点分别为D ，E ，F (如图14)．求证：AE ，BF ，CD 共点，且AG AE ＝BG BF ＝CG CD ＝23. 证明：设AE ，BF 相交于点G ，AG →＝λ1GE →，由定比分点的向量式有BG →＝BA →＋λ1BE →1＋λ1＝11＋λ1BA →＋λ12(1＋λ1)BC →， 又F 是AC 的中点，BF →＝12(BA →＋BC →)， 设BG →＝λ2BF →，则11＋λ1BA →＋λ12(1＋λ1)BC →＝λ22BA →＋λ22BC →， ∴⎩⎨⎧11＋λ1＝λ22，λ12(1＋λ1)＝λ22.∴11＋λ1＝λ12(1＋λ1)⇒λ1＝2，λ2＝23，即AG AF ＝BG BF ＝23. 又CG →＝CA →＋λ1CE →1＋λ1＝13(CA →＋2CE →) ＝23·12(CA →＋CB →)＝23CD →， ∴C ，G ，D 共线，且AG AE ＝BG BF ＝CG CD ＝23. 二、备用习题1．有一边长为1的正方形ABCD ，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |＝________.答案：22．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，则使λb －a 与a 垂直的λ＝________. 答案：23．在等边△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且|a |＝1，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.答案：－324．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，则k＝________.答案：－2或115．如图15所示，已知矩形ABCD ，AC 是对角线，E 是AC 的中点，过点E 作MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，试运用向量知识证明AM ＝CN .图15答案：解：建立如图16所示的直角坐标系，设BC ＝a ，BA ＝b ，则C (a,0)，A (0，b )，E (a 2，b 2)．图16 又设M (x 2，b )，N (x 1,0)，则AM →＝(x 2,0)，CN →＝(x 1－a,0)．∵ME →∥EN →，ME →＝(a 2－x 2，－b 2)，EN →＝(x 1－a 2，－b 2)， ∴(a 2－x 2)×(－b 2)－(x 1－a 2)×(－b 2)＝0. ∴x 2＝a －x 1.∴|AM →|＝x 22＝|x 2|＝|a －x 1|＝|x 1－a |.而|CN →|＝(x 1－a )2＝|x 1－a |，∴|AM →|＝|CN →|，即AM ＝CN .。

2.5平面向量应用举例学习目标1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.合作探究例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1） 建立平面几何与向量的联系；（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。

变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,.a b 表示向量AO 。

例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？d=m，例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？总结提高结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。