12015年安徽省中考数学复习专题讲座

第二章方程与不等式第6讲一次方程与方程组1．定义(1)含有未知数的__等式__叫做方程；(2)只含有__一个__未知数，且含未知数的项的次数是__一次__，这样的整式方程叫做一元一次方程；(3)含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1，这样的整式方程叫做二元一次方程．(4)将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如果方程组中含有__两个未知数__，且含未知数的项的次数都是__一次__，这样的方程组叫做二元一次方程组．2．方程的解(1)能够使方程左右两边__相等的__未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．(3)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解．3．解法(1)解一元一次方程主要有以下步骤：__去分母__；__去括号__；__移项__；__合并同类项__；未知数的系数化为1.(2)解二元一次方程组的基本思想是__消元__，有__代入消元法__与__加减消元法__．即把多元方程通过__加减__、__代入__、换元等方法转化为一元方程来解．两个方法(1)代入消元法；(2)加减消元法．1．(2014·咸宁)若代数式x＋4的值是2，则x等于( B )A．2B．－2C．6D．－62．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为( B )A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C ．2×0.9x ＋1.2×0.8(60＋x )＝87D ．2×0.9x ＋1.2×0.8(60－x )＝873．(2014·抚州)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，a ＋2b ＝6，则3a ＋b 的值为( A )A ．8B ．4C ．－4D ．－84．(2014·襄阳)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为( A )A ．4，2B ．2，4C ．－4，－2D ．－2，－45．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则被移动的玻璃球的质量为( A )A ．10克B ．15克C ．20克D ．25克一元一次方程的解法【例1】 解下列方程： (1)12x －45＝710； (2)7x －12[x －12(x －1)]＝23(x －1)．解：(1)5x －8＝7，5x ＝8＋7，5x ＝15，∴x ＝3(2)7x －12(12＋12)＝23(x －1)，7x －14x －14＝23x －23，去分母，得84x －3x －3＝8x －8，73x ＝－5，∴x ＝－573【点评】 (1)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多重括号的，按去括号法则逐层去括号；(2)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(特别是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(3)解方程后要代回去检验解是否正确；(4)当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便．1．解方程： (1)3－57x ＝135；(2)2x －16＝5x ＋18；(3)x ＋24＝2x －36＋1.解：(1)－57x ＝85－3，－57＝－75，∴x ＝4925(2)4(2x －1)＝3(5x ＋1)，8x －4＝15x ＋3，－7x ＝7，∴x ＝－1 (3)3(x ＋2)＝2(2x －3)＋12，3x －4x ＝－6＋12－6，－x ＝0，∴x ＝0二元一次方程(组)的解法【例2】(1)(2014·六安模拟)方程x ＋2y ＝5的正整数解有( B ) A ．一组 B ．二组 C ．三组 D ．四组(2)(2014·威海)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，x 2－y 3＝1.解：方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3①，3x －2y ＝6②，②－①，得3y ＝3，即y ＝1，将y ＝1代入①，得x ＝83，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83y ＝1【点评】 (1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．2．解方程组：(1)⎩⎨⎧718（x ＋y ）＝1，①34x ＋79（x ＋y ）＝5；②(2)(2014·滁州模拟)1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3.解：(1)把①代入②，得34x ＋2×1＝5，34＝3，∴x ＝4，把x ＝4代入①，得718(4＋y )＝1，4＋y ＝187，y ＝187－4＝－107，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－107(2)∵1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3，∴⎩⎨⎧1－6x ＝3y －x2，①3y －x 2＝x ＋2y 3，②化简得⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋3y ＝2，x ＝y ，∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝17y ＝17已知方程(组)解的特征，求待定系数【例3】 (1)(2014·宣城模拟)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值是( B )A ．－34B .34C .43D ．－43(2)已知方程组⎩⎨⎧2x －3y ＝3，ax ＋by ＝－1与⎩⎨⎧3x ＋2y ＝11，2ax ＋3by ＝3的解相同，求a ，b 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，3x ＋2y ＝11，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.把⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－1，2ax ＋3by ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝5【点评】 (1)先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k 的一元一次方程；(2)几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程即可．3．(1)当m 取什么值时，方程x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，mx －y ＝0有公共解；(2)已知关于x ，y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a ＋2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，∴⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.代入mx －y ＝0，得4m ＋1＝0，m ＝－14 (2)解法一：取a ＝1，得3y ＋3＝0，y ＝－1，取a ＝－2，得－3x ＋9＝0，x ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1 解法二：整理得(x ＋y －2)a ＝x －2y －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1第7讲一元二次方程1．定义只含有__一个未知数__，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．2．解法首先考虑__直接开平方法__，__因式分解法__；其次考虑__配方法__，__公式法__．3．公式一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式： __x ＝2a (b 2－4ac ≥0)__．4．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)：(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有两个__不相等__的实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔方程有两个__相等__的实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔方程__没有__实数根． 5．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝__－ba __，x 1x 2＝__ca__．转化思想一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化、归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．一个注意注意：(1)根的判别式“b 2－4ac ”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；(2)使用时，必须将一元二次方程转化为一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，以便确定a ，b ，c 的值．一个防范正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．1．(2014·宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( C ) A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 22．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是( B )A．b2－4ac＝0B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥03．(2014·安徽)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值是( B )A．－6 B．6C．－2或6 D．－2或304．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A )A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于35．(2014·玉林)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使1x1＋1x2＝0成立？则正确的是结论是( A )A．m＝0时成立B．m＝2时成立C．m＝0或2时成立D．不存在一元二次方程的解法【例1】解下列方程：(1)(2014·滁州模拟)x2＋4x－1＝0；(2)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.(1)解：原式可化为(x2＋4x＋4－4)－1＝0，即(x＋2)2＝5，两边开方，得x＋2＝±5，解得x1＝－2＋5，x2＝－2－ 5(2)解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0，(x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0，2(x－1997)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996 解法二：因为(1997－x)2＋(x－1996)2＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)，所以原方程可化为1－2(1997－x )(x －1996)＝1，2(1997－x )(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．1．用指定的方法解下列方程：(1)(2014·亳州模拟)(2x －1)2＝9；(直接开平方法)(2)x 2＋3x －4＝0；(配方法)(3)x 2－2x －8＝0；(因式分解法) (4)x (x ＋1)＋2(x －1)＝0.(公式法)解：(1)(2x －1)2＝9，2x －1＝±3，∴x ＝1±32，x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 2＋3x －4＝0，(x ＋32)2＝254，x ＋32＝±52，∴x 1＝1，x 2＝－4 (3)x 2－2x －8＝0，(x －4)(x ＋2)＝0，x 1＝4，x 2＝－2 (4)x (x ＋1)＋2(x －1)＝0，x 2＋3x －2＝0，x ＝－3±172×1，∴x 1＝－3－172x 2＝－3＋172配方法【例2】 用配方法把代数式3x －2x 2－2化为a (x ＋m )2＋n 的形式，并说明无论x 取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x 取何值时，这个代数式的值最大．解：3x －2x 2－2＝－2(x 2－32x )－2＝－2(x 2－32x ＋916－916)－2＝－2(x 2－32x ＋916)＋98－2＝－2(x －34)2－78，∵－2(x －34)2≤0，∴－2(x －34)2－78＜0，当x ＝34时，代数式最大值为－78【点评】 (1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别．2．(1)(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为( A )A．(x＋b2a2＝b2－4ac4a2B．(x＋b2a)2＝4ac－b24a2C．(x－b2a)2＝b2－4a4a2D．(x－b2a)2＝4ac－b24a2(2)对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由．解：不同意小聪的说法．理由如下：x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝(x－5)2＋11≥11，当x＝5时，x2－10x＋36有最小值11一元二次方程根的判别式【例3】(2014·深圳)下列方程没有实数根的是( C )A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12【点评】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．3．(2014·十堰)已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．解：解：(1)由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1(2)由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1·x2＝m2－1，(x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m －9＝0，解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1与几何问题的综合【例4】(1)已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．解：(1)解方程x2－9x＋20＝0，x1＝4，x2＝5，当腰长x＝4时，4＋4＝8，不合题意，舍去，∴腰长x＝5(2)(2014·六安模拟)已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3k x＋8＝0，则△ABC的周长是__6或12或10__．【点评】(1)将构成三角形的条件“三角形任意两边之和大于第三边”与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想．(2)根据题意得k≥0且(3k)2－4×8≥0，而整数k＜5，则k＝4，方程变形为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8＝0，所以△ABC的边长可以为2，2，2或4，4，4或4，4，2，然后分别计算三角形周长．4．(2014·芜湖模拟)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是( A )A．5.5B．5C．4.5D．4第8讲列方程(组)解应用题1．列方程(组)解应用题的一般步骤(1)__审题__；(2)__设元__；(3)找出包含未知数的__等量关系__；(4)__列出方程(组)__；(5)__求出方程(组)的解__；(6)__检验并作答__．2．各类应用题的等量关系(1)行程问题：路程＝速度×时间；相遇问题：两者路程之和＝全程；追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．(3)几何图形问题：面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；S正方形＝a2(a表示边长)；S圆＝πr2(r表示圆的半径)；体积问题：V长方体＝abh(a，b，h分别表示长、宽、高)；V正方体＝a3(a表示边长)；V圆锥＝13πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；其他几何图形问题：如线段、周长等．(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n＝A.(5)利润问题利润＝销售价－进货价＝标价×折扣(x10)－进货价；(x表示打x折)利润率＝利润进货价；销售价＝(1＋利润率)×进货价．(6)利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息．一种思想方法方程思想是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算．这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．两种设元方法(1)直接设元．(2)间接设元．1．(2014·宁夏)服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是__200__元．2．(2014·新疆)六一儿童节前夕，某超市用3360元购进A ，B 两种童装共120套，其中A 型童装每套24元，B 型童装每套36元．若设购买A 型童装x 套，B 型童装y 套，依题意列方程组正确的是( B )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12036x ＋24y ＝3360B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12024x ＋36y ＝3360C .⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋24y ＝120x ＋y ＝3360 D .⎩⎪⎨⎪⎧24x ＋36y ＝120x ＋y ＝33603．(2014·莱芜)已知A ，C 两地相距40千米，B ，C 两地相距50千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地，设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( B )A .40x ＝50x －12B .40x －12＝50xC .40x ＝50x ＋12 D .40x ＋12＝50x4．(2013·安徽)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是( B ) A ．438(1＋x )2＝389 B ．389(1＋x )2＝438 C ．389(1＋2x )＝438 D ．438(1＋2x )＝3895．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__20%__．一元一次方程的应用【例1】 (2014·淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：例如：一户居民7月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357(元)．某户居民5，6月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于400度．问该户居民5，6月份各用电多少度？解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电(500－x)度，由题意，得0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得x＝190，∴6月份用电500－x＝310度．当5月份用电量为x度＞200度，6月份用电量为(500－x)度，由题意，得0.6x＋0.6(500－x)＝290.5，300＝290.5，原方程无解．∴5月份用电量为190度，6月份用电310度【点评】(1)列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，顺着题意来理清等量关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．(2)当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量的值．1．(2014·合肥模拟)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？解：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是x，则捐给甲校的矿泉水件数是(2x－400)，依题意得方程(2x－400)＋x＝2000，解得x＝800，2x－400＝1200.答：该企业捐给甲校的矿泉水1200件，捐给乙校的矿泉水800件二元一次方程组的应用【例2】(2014·呼和浩特)为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4，5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4，5月份的电费分别为多少元？解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧180x ＋150y ＝213，180x ＋60y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.6，y ＝0.7，则4月份电费为160×0.6＝96(元)，5月份电费为180×0.6＋230×0.7＝108＋161＝269(元)．答：这位居民4月份的电费为96元，5月份的电费为269元【点评】 本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．2．(2014·济南)2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？解：设小李预定了小组赛球票x 张，淘汰赛球票y 张，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，550x ＋700y ＝5800，解之⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张分式方程的应用【例3】 (2013·安徽)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元，请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x . 解：(1)(4000＋25x )元(2)设购买每副乒乓球拍用去了x 元，则购买每副羽毛球拍用去了(x ＋20)元，由题意得2000x ＝2000＋25x x ＋20，解得x 1＝40，x 2＝－40，经检验，x 1，x 2都是原方程的根，但x ＞0，∴x ＝40.即每副乒乓球拍为40元【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．3．(2014·芜湖模拟)端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为(1＋20%)x 元，由题意得300（1＋20%）x ＋400x ＝260，解得x ＝2.5，经检验：x ＝2.5是原分式方程的解，(1＋20%)x ＝3，购买甲种粽子为3003＝100个，乙种粽子为4002.5＝160个．答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个一元二次方程的应用【例4】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元，根据题意得(45－x)(20＋4x)＝2100，解得x1＝10，x2＝30，因应尽快减少库存，故x＝30.答：每件衬衫应降价30元【点评】(1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．4．(2014·蚌埠模拟)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米第9讲不等式与不等式组1．定义(1)用__不等号__连接起来的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知数的值叫做__不等式的解__；(3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做__不等式的解集__；(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式．2．不等式的基本性质(1)不等式两边都__加上(或减去)__同一个数或同一个整式，不等式仍然成立；若a＞b，则a±c＞b±c.(2)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__正数__，不等式仍然成立；若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac ＞b c.(3)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__负数__，改变不等号的方向，改变后不等式仍能成立；若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc3．解一元一次不等式的步骤及程序除了“不等式两边都乘或除以一个负数时，不等号的方向改变”这个要求之外，与解一元一次方程类似．4．列不等式解应用题的一般步骤(1)__审题__；(2)__设元__；(3)找出能够包含未知数的__不等量关系__；(4)__列出不等式(组)__；(5)__解不等式(组)__；(6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；(7)写出答案．5．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“同大取其大、同小取其小、大小小大中间夹、大大小小无处找(无解)”．“解与解集”的联系与区别不等式的解是指使不等式成立的每一个数，而不等式的解集是指由全体不等式的解组成的一个集合．两个失误与防范“≥”“≤”分别表示“大于或等于”“小于或等于”的意思，它们都包括后面连接的数．“非负整数”即“不是负数的整数”，包含了0和正整数，此时0易被忽略，从而造成漏解．利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语(特别要注意理解好生活和生产实际中“不超过”、“至少”的含义，这两者转化为相应的不等号应分别是“≤”和“≥”)，列出不等式(组)，迎刃而解．1．(2014·绍兴)不等式3x ＋2＞－1的解集是( C ) A ．x ＞－13 B ．x ＜－13C ．x ＞－1 D ．x ＜－12．(2014·怀化)不等式组⎩⎨⎧4x －1＜7，2x ＋3≥1的解集是( A )A ．－1≤x ＜2B ．x ≥－1C ．x ＜2D ．－1＜x ≤23．(2013·安徽)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3＞0，x ＋1≥0，其解集在数轴上表示正确的是( D )4．(2014·钦州)不等式组⎩⎨⎧3x ≥9，x ＜5的整数解共有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2014·绵阳)某商品的标价比成本价高m %，根据市场需要，该商品需降价n %出售，为了不亏本，n 应满足( B )A ．n ≤mB ．n ≤100m100＋mC ．n ≤m 100＋mD ．n ≤100m100－m不等式的性质【例1】 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋1＜b ＋2；②a b ＞1；③a ＋b ＜ab ；④1a ＜1b ，正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点评】 将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．1．(1)(2014·滨州)a ，b 都是实数，且a ＜b ，则下列不等式的变形正确的是( C ) A ．a ＋x ＞b ＋x B ．－a ＋1＜－b ＋1 C ．3a ＜3b D .a 2＞b2(2)如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是( C )A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．a －b ＞0D ．|a |－|b |＞0一元一次不等式的解法【例2】 (2014·北京)解不等式：12－1≤23x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：3x －6≤4x －3，∴x ≥－3【点评】 整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．2．(2014·淮北模拟)解不等式：2x －13－9x ＋26≤1，并把解集表示在数轴上．解：去分母，得2(2x －1)－(9x ＋2)≤6，去括号，得4x －2－9x －2≤6，－5x ≤10，系数化为1，得x ≥－2，在数轴上表示为一元一次不等式组的解法【例3】 (2014·东营)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋23＜1，2（1－x ）≤5.把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋23＜1①，2（1－x ）≤5②，解不等式①，得x ＜1，解不等式②，得x ≥－32，所以不等式组的解集为－32≤x ＜1.解集中的整数解有－1，0【点评】 求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解．3．(1)(2014·马鞍山模拟)若把不等式组⎩⎨⎧2－x ≥－3，x －1≥－2的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为( B )A ．长方形B ．线段C ．射线D ．直线(2)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是__k ＞2__．(3)(2014·遵义)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥－1，①1＋2x 3＞x －1，②并把不等式组的解集在数轴上表示出来．解：由①，得x ≥－1，由②，得x ＜4，故此不等式组的解集为－1≤x ＜4.在数轴上表示为一元一次不等式的应用【例4】 (2014·铜陵模拟)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？解：设应答对x 道，则：10x －5(20－x )＞90，解得x ＞1223，∵x 取整数，∴x 最小为13，答：他至少要答对13道题【点评】利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语，列出不等式或不等式组，问题便迎刃而解．4．(1)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设x 个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( B )A ．30x －45≥300B ．30x ＋45≥300C ．30x －45≤300D ．30x ＋45≤300(2)(2014·安庆模拟)在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？解：设这个班要胜x场，则负(28－x)场，由题意，得3x＋(28－x)≥43，2x≥15，解得x≥7.5，∵场次x为正整数，∴x≥8.答：这个班至少要胜8场。

2015年中考数学复习培优第一讲：一元二次方程及应用【知识回顾】1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:20(0)ax bx c a ++=≠四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：12,x x = (24b ac -≥0)注意：（1）一定要注意0a ≠，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进；（2）掌握一元二次方程求根公式的推导;（3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”.2．根的判别式及应用(24b ac ∆=-)：(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根；③当0∆<时，方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况；(3)确定字母的值或取值范围。

3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12bx x a +=-，12cx x a ⋅=适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；12x x -= （3）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩； ②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；④方程一根大于1，另一根小于 ，则120(1)(1)0x x ∆>⎧⎨--<⎩（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：沈长领授课类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） T （学法与能力主题） 授课日期时段教学内容2015年中考数学复习专题讲座九：阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （2012•十堰）阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离， 22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB ，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ．轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法例2 （2012•赤峰）阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）W2= （用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例3 （2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：．四、中考真题演练1．（2012•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图．分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）①如图所示：，②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如图所示：故▱ABCD是10阶准菱形．点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．2．（2012•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC 的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．3．（2012•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB 与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．4．（2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2012•丽水）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．（1）求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；（2）求小明的综合得分是多少？（3）在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？6．（2012•黑龙江）为了强化司机的交通安全意识，我市利用交通安全宣传月对司机进行了交通安全知识问卷调查．关于酒驾设计了如下调查问卷：克服酒驾--你认为哪种方式最好？（单选）A加大宣传力度，增强司机的守法意识． B在汽车上张贴温馨提示：“请勿酒驾”．C司机上岗前签“拒接酒驾”保证书． D加大检查力度，严厉打击酒驾．E查出酒驾追究一同就餐人的连带责任．随机抽取部分问卷，整理并制作了如下统计图：根据上述信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是多少？（2）补全条形图，并计算B选项所对应扇形圆心角的度数；（3）若我市有3000名司机参与本次活动，则支持D选项的司机大约有多少人？8．（2012•达州）今年5月31日是世界卫生组织发起的第25个“世界无烟日”．为了更好地宣传吸烟的危害，某中学八年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在达城中心广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是人，并把条形统计图补充完整．（2）在扇形统计图中，C选项的人数百分比是，E选项所在扇形的圆心角的度数是．（3）若通川区约有烟民14万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的约有多少人？你对这部分人群有何建议？9．（2012•六盘水）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．10．（2012•无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=投资收益比实际投资额×100%）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？11．（2012•呼和浩特）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：甲：1.5(2010) 1.2(110150)x yx y+=⎧⎨+=⎩乙：1.5(2010)800010001.2(110150)80001000x yx y⎧⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．甲：x表示，y表示；乙：x表示，y表示。

1.在ABC △中，90BAC AB AC M ∠=<°，，是BC 边的中点，MN BC ⊥交AC 于点N ．动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动，且始终保持MQ MP ⊥．设运动时间为t 秒（0t >）．（1）PBM △与QNM △相似吗？以图１为例说明理由；（2）若6043ABC AB ∠==°，厘米．①求动点Q 的运动速度； ②设APQ △的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′． (1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．3．如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ．B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ， PE 交边BC 于点F ．连接BE 、DF 。

（1）求证：∠ADP=∠EPB ； （2）求∠CBE 的度数； （3）当APAB的值等于多少时．△PFD ∽△BFP ？并说明理由． 4.如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△AB 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =a ，CQ =92a 时， P 、Q 两点间的距离 (用含a 的代数式表示)． 5.在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13， 求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需要求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．（1）△ABC 的面积为 ： （2）若△DEF 三边的长分别为13、25、29，请在图①的正方形网格中画出相应的△DEF ，并利用构图法求出它的面积．（3）利用第（2）小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF 被分割成7个部分，其中正方形ABQP ，CDRQ ，EFPR 的面积分别为13，20，29，且△PQR 、△BCQ 、△DER 、△APF 的面积相等，求六边形绿化区ABCDEF 的面积．6. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.AB P NQC M A B C N M 图1 图2（备用图） 第3题 FC 温馨提示：由平移性A N QANPS ∕海里 13t(海里) 5t(海里) 8t(海里)150 t ∕小时t(海里)(3)如图，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα的值. 7．已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.8.黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s 和渔船离开港口的时间t 之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行） （1）直接写出渔船离港口的距离s 和它离开港口的时间t 的函数关系式. （2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？9．如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立. （1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（090θ<<）时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G .① 求证：BD ⊥CF ；② 当AB ＝4，AD ＝2时，求线段BG 的长.图 1 图 2图3 10．如图，已知：直线y=-x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P ，使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 11. 对于正数x ，规定 1f (x)1x =+，例如：11f (4)145==+，114f ()14514==+，求++)2012()2013(f f …++++)21()1()2(f f f …=+)20131()20121(f f1.解：（1）PBM QNM △∽△． 理由如下： 如图1，∴PMB QMN ∠=． ∴PBM QNM △∽△．（2）9060283BAC ABC BC AB∠=∠=∴==°，°，cm ． 又MN 垂直平分BC ，43BM CM ∴==cm ．AB EF CD AB(E )(F )CDE (F )α 图13.3图13.2图13.1A 45°θG A B C D E F F ED C B FE D C B A3303C MN CM∠=∴=°，＝4cm．①设Q点的运动速度为v cm/s．如图１，当04t<<时，由（1）知PBM QNM△∽△．NQ MNBP MB∴=，即4133vtvt=∴=，．如图2，易知当4t≥时，1v=．综上所述，Q点运动速度为1 cm/s．②1284cmAN AC NC=-=-=，∴如图1，当04t<<时，4334AP t AQ t=-=+，．∴12S AP=()()21343348322AQ t t t=-+=-+·．如图2，当t≥4时，343AP t=-,4AQ t=+,∴12S AP=()()21334348322AQ t t t=-+=-·．综上所述，()()2238304238342t tSt t⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≥5、解：（1）S△ABC=3×3-12×3×1-12×2×1-1 2 ×3×2=3.5；………………2分（2）答案不唯一，如图所示………………4分S△DEF=4×5-12×2×3-12×2×4-12×2×5=8；………………6分（3）由（2）可知S△PQR=8，………………8分∴六边形花坛ABCDEF的面积为：S正方形ABQP+S正方形RQDC+S正方形EFPR+4S△PQR………………10分=13+20+29+8×4………………11分=94．………………12分6．解：(1)过C点作CG⊥AB于G，在Rt△AGC中，∵sin60°=ACCG，∴23=CG········· 1分∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC=2323221=⨯⨯ ·········· 3分(2)菱形···························································································· 5分∵CD∥BF，FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形·························· 6分∵DF∥AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF ··············································· 7分AB EFCD G∴四边形CDBF 是菱形 ··································································· 8分 (判断四边形CDBF 是平行四边形，并证明正确，记2分)解法二：∵△ADH ∽△ABE ······························································ 8分∴AEADBE DH = 即：713=DH∴73=DH ····································································· 10分∴sinα=)1421(723或=DE DH ················································· 12分 7. 解：（1）由5x x 122+=0， ···································································· （1分）得01=x ，5122-=x ． ············································································ （3分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ······································ （5分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ······························· （6分） 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ·················································· （7分）=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ···································· （8分）=5（个单位面积） ···································································· （9分）（3）如：)(3123y y y -=． ··································································· （12分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ．∴)(3123y y y -=． ···························································· （14分）8.解：（1） 当0≤t ≤5时 s =30t …………………………………………… （1分）当5＜t ≤8时 s=150 …………………………………………… （2分） 当8＜t ≤13时 s=－30t+390 ………………………………………（3分）（2） 渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b k b k 33415080 ………………………………………………（4分） 解得： k=45 b=－360∴s=45t －360 ………………………………………………（5分）B(E )(F )CDE (F )αH⎩⎨⎧+-=-=3903036045t s t s解得 t=10 s=90 渔船离黄岩岛距离为 150－90=60 （海里） ……………………………（6分） (3) S 渔=－30t+390S 渔政=45t －360 分两种情况：① S 渔－S 渔政=30－30t+390－（45t －360）=30解得t=485（或9.6） -……………………………………………… （8分）② S 渔政－S 渔=3045t －360－（－30t+390）=30解得 t=525（或10.4）∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里. ………（10分） 9．（本小题满分12分）解（1）BD ＝CF 成立.理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，∴AB=AC ，AD=AF ，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=DAC BAC ∠-∠，∠CAF=DAC DAF ∠-∠，∴∠BAD=∠CAF ，∴△BAD ≌△CAF .∴BD ＝CF .……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG 交AC 于点M .∵△BAD ≌△CAF （已证），∴∠ABM ＝∠GCM . ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG .∴∠BGC ＝∠BAC ＝90°.∴BD ⊥CF .……………………………………（7分）②过点F 作FN ⊥AC 于点N . ∵在正方形ADEF 中，AD ＝2， ∴AN ＝FN ＝121=AE . ∵在等腰直角△ABC 中，AB ＝4， ∴CN ＝AC －AN ＝3，BC ＝2422=+AC AB .Rt △FCN ∽Rt △ABM ，∴ABCNAM FN =∴AM ＝=⨯AB 3134.∴CM ＝AC －AM ＝4－34＝38，310422=+=AM AB BM .…… （9分）∵△BMA ∽△CMG ，∴CGCMBA BM =. ∴CG3843104=. ∴CG ＝5104.…………………………………… （11分）∴在Rt △BGC 中，=-=22CG BC BG 5108. ……………… （12分）10.解：（1）：由题意得，A （3，0），B （0，3）BMNFE DCBA G 45°图13.3∵抛物线经过A 、B 、C 三点，∴把A （3，0），B （0，3），C （1，0）三点分别代入2y ax bx c =++得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==++03039c b a c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==341c b a ∴抛物线的解析式为243y x x =-+ …………………………… （4分） （2）由题意可得：△ABO 为等腰三角形,如图所示，若△ABO ∽△AP1D ，则1DP OBAD AO = ∴DP1=AD=4 , ∴P1(1,4)-若△ABO ∽△ADP2 ，过点P2作P2 M ⊥x 轴于M ，AD=4,∵△ABO 为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M ，即点M 与点C 重合∴P2（1，2） ……………………（8分） （3）如图设点E (,)x y ，则 ①当P1(-1,4)时，S 四边形AP1CE=S 三角形ACP1+S 三角形ACE ||2214221y ⋅⨯+⨯⨯== 4y + ∴24y y =+ ∴4y = ∵点E 在x 轴下方 ∴4y =-代入得： 2434x x -+=-,即 0742=+-x x∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解 ②当P2（1，2）时，S 四边形AP2CE=S 三角形ACP2+S三角形ACE =2y +∴22y y =+ ∴2y =∵点E 在x 轴下方 ∴2y =- 代入得：2432x x -+=-即 0542=+-x x ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E 。

2015年安徽省初中毕业学业考试数学本卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内。

每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。

1、在―4,2,―1, 3这四个数中，比是―2小的数是…………………………【】A 、―4B 、2C 、―1D 、32、计算8×2的结果是…………………………………【】A 、10B 、4C 、6D 、43、移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3月，全国4G 用户总数达到 1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为【】A 、1.62×104B ．1.62×106C ．1.62×108D ．0.162×1094、下列几何体中，俯视图是矩形的是……………………………………………【】5、与1＋5最接近的整数是……【】A 、4B 、3C 、2D 、16、我省2013年的快递业务量为 1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到 4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是………………………【】A ．1.4(1＋x)＝4.5B ．1.4(1＋2x)＝4.5题号一二三四五六七八总分得分得分评卷人C．1.4(1＋x)2＝4.5 D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.57、某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：成绩(分)35 39 42 44 45 48 50人数(人) 2 5 6 6 8 7 6根据上表中的信息判断，下列结论中错误．．的是………………………【】A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是45分C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分8、在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有【】A．∠ADE＝20°B．∠ADE＝30°C．∠ADE＝12∠ADC D．∠ADE＝13∠ADC9、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是【】A．25B．35C．5 D．610、如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是【】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11、－64的立方根是12. 如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，AB⌒的长为2，则∠ACB的大小是13．按一定规律排列的一列数： 21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 . 14. 已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则 1a＋1b＝1；②若a＝3，则b＋c＝9；得分评卷人A E BCFDGH第9题图A OCB第12题图。

2015年901班中考数学第一轮总复习讲义（一） 数与代数1、有理数的概念考点1：有理数的意义、数轴、相反数、绝对值的概念（B ）考点2：有理数大小的比较（B ）1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 注：2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； a1也可表示为a -1,若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab ＝－1⇔ a 、b 互为负倒数. 6．非负数：零和正数统称非负数。

①常见的非负数的形式：|a| 、2a 、)0(≥a a ；②非负数定理： 几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0； 注意点：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数 （2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.（3）0即不是正数，也不是负数。

2015年初三中考数学复习会专题讲座尊敬各位老师，大家上午好！很荣幸受邀参加此次会议，并做有关2014年数学中考试题分析及2015年数学中考走向讲座！还未开学，大家就被集中开会，心里肯定满肚“不痛快”，在这里吴某人尽量贴近实际教学来进行这次演讲！一、中考试卷出题的出发点试卷起点低，梯度缓，难度适合学生。

起步题基本都是几步均能完成的数学题。

各类题型基本由易到难安排，最后四道解答题都分成几道小题，每一小题都是紧扣上一小问，小题之间台阶式设计，难度递增，区分度很好。

整份试卷基础题占70%左右，“难题”约占10%，能让学生充分发挥自己的数学水平。

二、试题设计贴近教材试卷关注数学基础，有不少题直接源于教材，或其本质都是课本中出现的基本内容、基本原理、基本方法和基本问题，继续引导老师的教学须抑制‘题海战术’与‘机械解题’，培养学生理解数学思想并能应用解决问题，命题人不会设计偏题、难题，都是“经典题型”！同时发现最后几道题也能从往年的中考题中看到它们的“类似题”。

要不就是题干知识一样，要不就是考查知识点一样，如杭州中考2014年第22题与2011年杭州中考的压轴题24题相似，都是菱形的对称问题，只不过今年是以动点形式出现；杭州中考2014年22题与2010年选择压轴题第10题、2011年解答题23题，无论题干知识点或考查知识点均相似。

总体可以看出命题人尊重考纲，是对考试方向的一种把控，也预示着2015年的中考也不会出现难偏怪的题目，也不会出现无法下手的问题。

三、数学思想逐渐递增近几年的中考数学试卷，主要考查了分类讨论思想，纵观全卷，在选择题、填空题、大题目中几乎每一题都要直接或间接考查分类讨论思想的，因此对于学生的严谨分析，敏捷思考和计算速度提出了更好的要求，同时数形结合、转化思想均也在试卷中有所体现，因此针对新初三的辅导过程中需要我们更加注重数学基础知识和基本解题技巧的理解，同时上课时重视数学思想的输入、强调有技巧有方法的计算等。

第五章图形的性质(一)1．线段沿着一个方向无限延长就成为__射线__；线段向两方无限延长就成为__直线__；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．2．直线的基本性质：__两点确定一条直线__；线段的基本性质：__两点之间线段最短__；连接两点的__线段的长度__，叫做两点之间的距离．3．有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．(1)1周角＝__2__平角＝__4__直角＝__360°__，1°＝__60′__，1′＝__60″__．(2)小于直角的角叫做__锐角__；大于直角而小于平角的角叫做__钝角__；度数是90°的角叫做__直角__．4．两个角的和等于90°时，称这两个角__互为余角__，同角(或等角)的余角相等．两个角的和等于180°时，称这两个角__互为补角__，同角(或等角)的补角相等．5．角平分线和线段垂直平分线的性质：角平分线上的点到__角两边的距离相等__．线段垂直平分线上的点到线段__两个端点的距离相等__．到角两边的距离相等的点在角平分线上．到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．6．两条直线相交，只有__一个交点__．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的每一对角叫做对顶角，对顶角__相等__．7．两条直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相__垂直__，其中的一条直线叫做另一条直线的__垂线__，它们的交点叫做__垂足__．从直线外一点到这条直线的__垂线段的长度__，叫做点到直线的距离．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__垂线段最短__．8．垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的__垂直平分线__．9．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行．10．平行线的判定及性质：(1)判定：①在同一平面内，__不相交__的两条直线叫做平行线；②__同位角__相等，两直线平行；③__内错角__相等，两直线平行；④__同旁内角互补__，两直线平行；⑤在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；⑥平行于同一直线的两直线平行．(2)性质：①两直线平行，__同位角相等__；②两直线平行，__内错角相等__；③两直线平行，__同旁内角互补__．两个重要公理(1)直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．“有”表示存在性；“只有”体现唯一性，直线公理也称直线性质公理．(2)线段公理：两点之间，线段最短．1．(2014·滨州)如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB ＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为( D )A．50°B．60°C．65°D．70°2．(2014·德州)如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B ＝30°，则∠C 为( A ) A ．30° B ．60° C ．80° D ．120°,第2题图) ,第3题图)3．(2013·安徽)如图，AB ∥CD ，∠A ＋∠E ＝75°，则∠C 为( C )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80° 4．(2014·临夏)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个,第4题图) ,第5题图)5．(2014·遵义)如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1＋∠2＝( A ) A ．30° B ．35° C ．36° D ．40°线段的计算【例1】 如图，B ，C 两点把线段AD 分成2∶3∶4三部分，M 是线段AD 的中点，CD ＝16 cm .求：(1)MC 的长；(2)AB ∶BM 的值．解：(1)解：设AB ＝2x ，BC ＝3x ，则CD ＝4x ，由题意得4x ＝16，∴x ＝4，∴AD ＝2×4＋3×4＋4×4＝36(cm )，∵M 为AD 的中点，∴MD ＝12AD ＝12×36＝18(cm )，∵MC ＝MD－CD ，∴MC ＝18－16＝2(cm ) (2)AB ∶BM ＝(2×4)∶(3×4－2)＝4∶5【点评】 在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；②学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式或方程来解答．1．(1)(2014·蚌埠模拟)已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝3 cm ，则线段AC ＝__11_cm 或5_cm __．(2)如图，已知AB ＝40 cm ，C 为AB 的中点，D 为CB 上一点，E 为DB 的中点，EB ＝6 cm ，求CD 的长．解：∵E 为BD 的中点，∴BD ＝2BE ＝2×6＝12，又∵C 为AB 的中点，∴BC ＝12AB＝12×40＝20，∴CD ＝BC －BD ＝20－12＝8(cm ), 第五章 图形的性质(一))(这是边文，请据需要手工删加)相交线【例2】 (2014·河南)如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，ON ⊥OM ，若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为( C )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【点评】 当已知中有“相交线”出现的时候，要充分挖掘其中隐含的“邻补角和对顶角”，以帮助解题．2．(1)(2014·淮南模拟)如图，小明在操场上从A 点出发，先沿南偏东30°方向走到B 点，再沿南偏东60°方向走到C 点．这时，∠ABC 的度数是( C )A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°(2)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD ＝45°，则∠COE的度数是( B )A．125°B．135°C．145°D．155°平行线【例3】(1)(2014·无锡)如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( D )A．∠1＝∠3B．∠2＋∠3＝180°C．∠2＋∠4＜180°D．∠3＋∠5＝180°(2)(2014·赤峰)如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.㈠探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．㈡拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界，其中区域③④位于直线AB上方)，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求证明)．解：(2)(一)①∠AED＝70°②∠AED＝80°③猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC，证明：延长AE交DC于点F，∵AB∥DC，∴∠EAB＝∠EFD，∵∠AED为△EDF的外角，∴∠AED＝∠EDF＋∠EFD＝∠EAB＋∠EDC(二)根据题意得：点P在区域①时，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；点P在区域②时，∠EPF ＝∠PEB ＋∠PFC ；点P 在区域③时，∠EPF ＝∠PEB －∠PFC ；点P 在区域④时，∠EPF ＝∠PFC －∠PEB【点评】 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．3．(1)(2014·马鞍山模拟)如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1＝27°，那么∠2的度数为( C )A ．53°B ．55°C ．57°D ．60°,第(1)题图) ,第(2)题图)(2)(2014·淮北模拟)如图，l ∥m ，等边△ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α＝__20°__．与直线交点个数有关的探究问题 【例4】 阅读下列材料并填空：(1)探究：平面上有n 个点(n ≥2)且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线，平面上有2个点时，可以画2×12＝1(条)直线；平面内有3个点时，一共可以画3×22＝3(条)直线；平面上有4个点时，一共可以画4×32＝6(条)直线；平面内有5个点时，一共可以画__5×42＝10__条直线……平画上有n 个点时，一共可以画__n （n －1）2__条直线．(2)迁移：某足球比赛中有n 个球队(n ≥2)进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一场)，一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行2×12＝1(场)比赛，有3个球队时，要进行3×22＝3(场)比赛，有4个球队时，要进行__4×32＝6__场比赛．【点评】 此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化规律也可以得到探究结果，熟记本题的探究结果，对解决一些问题会有所帮助．4．(1)平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n 个点最多可确定21条直线，则n 的值为( C )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)在某次商业聚会中，聚会结束后同桌的六个客人都互相握了手，聚会开始时这六个客人也都互相问了好，那么，他们一共有多少次握手，多少次问好？解：(2)共握手6×52＝15(次)，问好6×5＝30(次)1．三角形的边、角关系：三角形的任意两边之和__大于__第三边；三角形的内角和等于__180°__．2．三角形的分类：按角可分为__直角三角形__和__斜三角形__，按边可分为__不等边三角形__和__等腰三角形__．3．三角形的主要线段：(1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等．(2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心．(3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心．(4)中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．(5)垂直平分线：三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．4．全等三角形的性质和判定：(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．(2)判定：①两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；②两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；③__两角和其中一角的对边__对应相等的两个三角形全等(AAS)；④__三边__对应相等的两个三角形全等(SSS)；⑤__斜边和一条直角边__对应相等的两个直角三角形全等(HL)．六种全等模式(1)“公共角”模式；(2)“公共边”模式；(3)“对顶角”模式；(4)“角平分线”模式；(5)“平移”模式；(6)“旋转”模式．1．(2014·黔南州)下列图形中，∠2大于∠1的是( B )2．(2014·河北)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( B )A．20°B．30°C．70°D．80°,第2题图),第3题图)3．(2014·黔西南州)如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( C )A ．CB ＝CD B ．∠BAC ＝∠DACC ．∠BCA ＝∠DCAD ．∠B ＝∠D ＝90°4．(2014·厦门)如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F.若AC ＝BD ，AB ＝ED ，BC ＝BE ，则∠ACB 等于( C )A ．∠EDB B ．∠BEDC .12∠AFB D ．2∠ABF5．(2014·随州)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__75__度．三角形的三边关系【例1】 (1)(2014·铜陵模拟)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( D )A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，4 (2)(2014·安庆模拟)如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是( A )A ．5.5B ．5C ．4.5D ．4【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a ，b ，可确定三角形第三边长c 的取值范围|a －b|＜c ＜a ＋b.1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是( B ) A ．5 B ．10 C ．11 D ．12 (2)(2013·滨州)若从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为( A )A .12B .34C .13D .14三角形的内角、外角的性质【例2】(1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝( D )A．50°B．40°C．20°D．10°(2)一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格，请说明理由．解：(2)延长BD交AC于E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝122°.同理∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋122°＝143°≠148°，∴这个零件不合格【点评】有关求三角形角的度数的问题，首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”．2．(1)(2014·黄山模拟)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B 恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于( C )A．44°B．60°C．67°D．77°(2)如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“＞”表示∠BPC，∠BDC，∠BAC之间的关系．解：(2)∵∠BPC是△PCD的外角，∴∠BPC＞∠BDC，同理∠BDC＞∠BAC，∴∠BPC ＞∠BDC＞∠BAC全等三角形判定的运用【例3】 (1)(2014·深圳)如图，△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF( C )A ．AC ∥DFB ．∠A ＝∠DC ．AC ＝DFD ．∠ACB ＝∠F,第(1)题图),第(2)题图)(2)(2014·阜阳模拟)如图，AB ＝AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是__∠B ＝∠C或AE ＝AD__．(添加一个条件即可)【点评】 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．(1)(2014·宿州模拟)如图，A ，B ，C 三点在同一条直线上，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，请添加一个适当的条件__AE ＝CB(答案不唯一)__，使得△EAB ≌△BCD.(2)(2014·邵阳)如图，已知点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE.①从图中任找两组全等三角形； ②从①中任选一组进行证明．解：(2)①△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；②∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝FC ，在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠ABE ＝∠CDF ，AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF(AAS )运用全等三角形的性质【例4】 已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，ED ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF.解：证明：延长ED 到M ，使DM ＝ED ，连接CM ，FM.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△EDB 与△MDC 中，⎩⎨⎧BD ＝DC ，∠EDB ＝∠CDM ，ED ＝DM ，∴△EDB ≌△MDC(SAS )，∴BE ＝CM.在△FMC 中，CF ＋CM ＞MF ，又∵ED ⊥DF ，ED ＝DM ，∴EF ＝FM.∴CF ＋CM ＞EF ，即CF ＋BE ＞EF【点评】 利用中线加倍延长法，把BE ，CF ，EF 集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证．4．(2014·重庆)如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E.在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC.(1)求证：BE ＝CF ；(2)在AB 上取一点M ，使BM ＝2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME. 求证：①ME ⊥BC ；②DE ＝DN.解：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∵FC ⊥BC ，∴∠BCF ＝90°，∴∠ACF ＝90°－45°＝45°，∴∠B ＝∠ACF ，∵∠BAC ＝90°，FA ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝90°，∠CAF ＋∠CAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ，∴△ABE ≌△ACF(ASA )，∴BE ＝CF(2)①如图，过点E 作EH ⊥AB 于H ，则△BEH 是等腰直角三角形，∴HE ＝BH ，∠BEH ＝45°，∵AE 平分∠BAD ，AD ⊥BC ，∴DE ＝HE ，∴DE ＝BH ＝HE ，∵BM ＝2DE ，∴HE ＝HM ，∴△HEM 是等腰直角三角形，∴∠MEH ＝45°，∴∠BEM ＝45°＋45°＝90°，∴ME ⊥BC②由题意得，∠CAE ＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE ＝∠CEA ＝67.5°，∴AC ＝CE ，在Rt △ACM 和Rt △ECM 中，⎩⎨⎧CM ＝CM ，AC ＝CE ，∴Rt△ACM ≌Rt △ECM(HL )，∴∠ACM ＝∠ECM ＝12×45°＝22.5°，又∵∠DAE ＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE ＝∠ECM ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝CD ＝12BC ，在△ADE 和△CDN 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠ECM ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDN ，∴△ADE ≌△CDN(ASA )，∴DE ＝DN1．等腰三角形(1)性质：__两腰__相等，__两底角__相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形(1)性质：__三边__相等，三内角都等于__60°__；(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．直角三角形在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)性质：边与边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝__c 2__； (2)角与角的关系：∠A ＋∠B ＝__90°__；(3)边与角的关系：若∠A ＝30°，则a ＝12c ，b ＝32c ；若a ＝12c ，则∠A ＝30°；若∠A ＝45°，则a ＝b ＝22c ； 若a ＝22c ，则∠A ＝45°； 斜边上的中线m ＝12c ＝R(其中R 为三角形外接圆的半径)．(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．一个方法面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．两个特殊角：在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30°、45°这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．1．(2014·苏州)如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝80°，则∠C 的度数为( B )A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°2．(2014·黔南州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D.如果∠A ＝30°，AE ＝6 cm ，那么CE 等于( C )A . 3 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm 3．(2014·玉林)在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，其周长为20 cm ，则AB 边的取值范围是( B ) A ．1 cm ＜AB ＜4 cm B ．5 cm ＜AB ＜10 cm C ．4 cm ＜AB ＜8 cm D ．4 cm ＜AB ＜10 cm4．(2014·扬州)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( C )A．3 B．4C．5 D．65．(2012·安徽)如图，在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是( C )A．10 B．4 5C．10或4 5 D．10或217等腰三角形有关边角的讨论【例1】(1)(2014·盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( D )A．40°B．50°C．60°D．70°(2)(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是( B )A．27 B．36 C．27或36 D．18【点评】在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论．1．(1)(2014·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝( B )A．30°B．45°C．60°D．90°,第(1)题图),第(2)题图)(2)(2013·黔西南州)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__15__度．(3)(2013·白银)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为__6，4或5，5__．等腰三角形的性质【例2】(2014·杭州)在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．解：在△ABF 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，AF ＝AE ，∴△ABF ≌△ACE(SAS )，∴∠ABF ＝∠ACE(全等三角形的对应角相等)，∴BF ＝CE(全等三角形的对应边相等)，∵AB ＝AC ，AE＝AF ，∴BE ＝CF ，在△BEP 和△CFP 中，⎩⎨⎧∠BPE ＝∠CPF ，∠PBE ＝∠PCF ，BE ＝CF ，∴△BEP ≌△CFP(AAS )，∴PB ＝PC ，∵BF ＝CE ，∴PE ＝PF ，∴图中相等的线段为PE ＝PF ，BE ＝CF ，BF ＝CE【点评】 在证明线段相等时，利用全等三角形的对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解题方法之一．2．(2014·安庆模拟)如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC ＝BD.求证：(1)BC ＝AD ；(2)△OAB 是等腰三角形．解：(1)∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠D ＝∠C ＝90°，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴△ACB ≌△BDA(HL )，∴BC ＝AD (2)由△ACB ≌△BDA 得∠CAB ＝∠DBA ，∴△OAB 是等腰三角形等边三角形【例3】 (2013·聊城)如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，D 是BC 的中点，将△ABD绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为【点评】 在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件．3．(1)(2014·益阳)如图，将等边△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得△ACD ，BC 的中点E 的对应点为F ，则∠EAF 的度数是__60°__．(2)(2014·黄山模拟)如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q.若BF ＝2，则PE 的长为( C )A ．2B ．2 3C . 3D ．3直角三角形、勾股定理【例4】 (1)(2014·无锡)如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__．,第(1)题图) ,第(2)题图)(2)(2013·山西)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝12，BC ＝5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为__103__．【点评】 在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法．4．(1)(2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行__10__米．(2)(2014·宿州模拟)已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE.以下四个结论：①BD ＝CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE ＋∠DBC ＝45°；④BE 2＝2(AD 2＋AB 2)，其中结论正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1．n 边形以及四边形的性质(1)n 边形的内角和为__(n －2)·180°__，外角和为__360°__，对角线条数为__n （n －3）2__．(2)四边形的内角和为__360°__，外角和为__360°__，对角线条数为__2__．(3)正多边形的定义：各条边都__相等__，且各内角都__相等__的多边形叫正多边形．2．平行四边形的性质以及判定(1)性质：①平行四边形两组对边分别__平行且相等__；②平行四边形对角__相等__，邻角__互补__；③平行四边形对角线__互相平分__；④平行四边形是__中心__对称图形．(2)判定方法：①定义：__两组对边分别平行__的四边形是平行四边形；②__一组对边平行且相等__的四边形是平行四边形；③__两组对边分别相等__的四边形是平行四边形；④__两组对角分别相等__的四边形是平行四边形；⑤__对角线互相平分__的四边形是平行四边形．3．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．四种辅助线(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．1．(2014·毕节)如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( B )A．13B．14C．15D．162．(2014·济南)如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( D )A．∠E＝∠CDF B．EF＝DFC．AD＝2BF D．BE＝2CF3．(2014·新疆)四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( D )A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC，AB∥DCC．AB＝DC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC4．(2014·河北)如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC ＝( C )A．2 B．3C．4 D．55．(2013·安徽)如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝2，则S1＋S2＝__8__．平行四边形的判定【例1】(2014·徐州)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形．解：如图，连接BD，设对角线交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来证明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．1．(2014·马鞍山模拟)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF ＝BE，DF∥BE.求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形．解：(1)∵DF ∥BE ，∴∠DFE ＝∠BEF ，∴∠DFA ＝∠BEC.又∵AF ＝CE ，DF ＝BE ，∴△AFD ≌△CEB(SAS ) (2)由(1)知△AFD ≌△CEB ，∴∠DAC ＝∠BCA ，AD ＝BC ，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)平行四边形相关边、角、周长与面积问题【例2】 (2014·怀化)如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝∠AFE ，EA 是∠BEF 的平分线．求证：(1)△ABE ≌△AFE ； (2)∠FAD ＝∠CDE.解：(1)∵EA 是∠BEF 的角平分线，∴∠1＝∠2，在△ABE 和△AFE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠AFE ，∠1＝∠2，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE(AAS )(2)∵△ABE ≌△AFE ，∴AB ＝AF ，∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴AF ＝CD ，∠ADF ＝∠DEC ，∠B ＋∠C ＝180°，∵∠B ＝∠AFE ，∠AFE＋∠AFD ＝180°，∴∠AFD ＝∠C ，在△AFD 和△DCE 中，⎩⎨⎧∠ADF ＝∠FEC ，∠C ＝∠AFD ，AF ＝DC ，∴△AFD≌△DCE(AAS )，∴∠FAD ＝∠CDE【点评】 平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．2．(2014·芜湖模拟)在▱ABCD 中，P 是AB 边上的任意一点，过P 点作PE ⊥AB ，交AD 于E ，连接CE ，CP ，已知∠A ＝60°.(1)若BC ＝8，AB ＝6，当AP 的长为多少时，△CPE 的面积最大，并求出面积的最大值； (2)试探究当△CPE ≌△CPB 时，▱ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？解：(1)延长PE 交CD 的延长线于F ，设AP ＝x ，△CPE 的面积为y ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝DC ＝6，AD ＝BC ＝8，∵Rt △APE ，∠A ＝60°，∴∠PEA ＝30°，∴AE ＝2x ，PE ＝3x ，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝∠PEA ＝30°，DE ＝AD －AE ＝8－2x ，∴DF ＝12DE ＝4－x ，∵AB ∥CD ，PF ⊥AB ，∴PF ⊥CD ，∴S △CPE ＝12PE·CF ，即y ＝12×3x ×(10－x)＝－32x 2＋53x ，配方得：y ＝－32(x －5)2＋2532，当x ＝5时，y 有最大值2532，即AP 的长为5时，△CPE 的面积最大，最大面积是2532(2)当△CPE ≌△CPB 时，有BC ＝CE ，∠B ＝∠PEC ＝120°，∴∠CED ＝180°－∠AEP －∠PEC ＝30°，∵∠ADC ＝120°，∴∠ECD ＝∠CED ＝180°－120°－30°＝30°，∴DE ＝CD ，即△EDC 是等腰三角形，过D 作DM ⊥CE 于M ，则CM ＝12CE ，在Rt △CMD 中，∠ECD ＝30°，∴cos 30°＝CM CD ＝32，∴CM ＝32CD ，∴CE ＝3CD ，∵BC ＝CE ，AB ＝CD ，∴BC ＝3AB ，则当△CPE ≌△CPB 时，BC 与AB 满足的关系为BC ＝3AB运用平行四边形的性质进行推理论证【例3】 (2014·聊城)如图，四边形ABCD 是平行四边形，作AF ∥CE ，BE ∥DF ，AF 交BE 于G 点，交DF 于F 点，CE 交DF 于H 点，交BE 于E 点．求证：△EBC ≌△FDA.解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵AF ∥CE ，BE ∥DF ，∴四边形BHDK 和四边形AMCN 是平行四边形，∴∠FAD ＝∠ECB ，∠ADF ＝∠EBC ，在△EBC 和△FDA 中，⎩⎨⎧∠EBC ＝∠ADF ，BC ＝AD ，∠BCE ＝∠DAF ，∴△EBC ≌△FDA(ASA )【点评】 利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．3．(1)(2014·铜陵模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( D ) A ．∠1＝∠2B ．∠BAD ＝∠BCDC ．AB ＝CD D ．AC ⊥BD (2)(2014·贺州)如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 是对角线BD 上的点，∠1＝∠2.①求证：BE ＝DF ； ②求证：AF ∥CE.解：(2)证明：①∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB ＝∠4，在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠4，∠3＝∠5，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS )，∴BE ＝DF ；②由①得△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∵∠1＝∠2，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ∥CE三角形中位线定理【例4】(2014·淮北模拟)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD ＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是__11__．【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．4．(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E.∠A ＝30°，AB＝8，则DE的长度是__2__．1．有一个角是__直角__的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是__直角__，对角线__相等且互相平分__．矩形的判定方法：(1)有三个角是__直角__的四边形；(2)是平行四边形且有一个角是__直角__；(3)__对角线相等__的平行四边形；(4)__对角线相等且互相平分__的四边形．2．有一组__邻边相等__的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都__相等__，对角线__互相垂直平分__，且每一条对角线__平分一组对角__．菱形的判定方法：(1)四条边都__相等__；(2)有一组__邻边相等__的平行四边形；(3)对角线__互相垂直__的平行四边形；(4)对角线__互相垂直平分__的四边形．3．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是__直角__，四条边都__相等__，两条对角线__相等__，并且__互相垂直平分__，每一条对角线__平分一组对角__．正方形的判定方法：(1)邻边相等的__矩形__；(2)有一角是直角的__菱形__．一个防范在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法．1．(2014·绵阳)下列命题中正确的是( C )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．(2012·安徽)为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( A )A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2,第2题图),第3题图) 3．(2012·安徽)如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PBA，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4.给出如下结论：①S1＋S4＝S2＋S3；②S2＋S4＝S1＋S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确结论的序号是__②④__(把所有正确结论的序号都填在横线上)．4．(2014·安徽)如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：(1)点D到直线l的距离为3，(2)A，C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l为( B ) A．1 B．2 C．3 D．45．(2013·安徽)已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，BC＝2.将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点(E，F是该矩形边界上的点)，折叠后点A落在点A′处，给出以下判断：①当四边形A′CDF为正方形时，EF＝2；。