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第七节 无穷小量的比较

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七节无穷小的比较-精品

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lim（１＋o()） 1，
因此~．
例2 因为当 x0时 , six~ nx , ta x~ n x ,
arx c~x s,i1 n co x~ s 1x 2. 当 x 0 时 有 2
sixn xo (x ), taxn xo(x), arx cs x io (n x ),1coxs1x2o(x2).
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 令f(1)2, 则f(x)2 x, 0x1,
1x, x1,
在x1处的连.续
跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限都
存在 ,但f(x0)f(x0),则称x0为 点函f(数 x)的
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
定理 1 与是等价无穷小必 的要 的条 充件 分 为o().
证 必要性 设~，
lim


lim
1

0，


因 此 o ( ) ， 即 o ( ) ．
充分性 设 o()．
lim limo()
f (x0)
那么就称函 y 数f (x)在点x0连续。
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0

第七节无穷小比较

第七节无穷小比较

lim
x0
2
x
1 2
x
x
2
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则 例如,
lim ( x) lim ( x)
lim arcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x x0
x
例2. 求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
解: 原式
x 1 x2
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1 )
～
定理1. ～ 证: ～
o( )
lim 1
lim(
1)
0,
即
lim
0
o( ), 即 o( )
例如, x 0 时, x 0 时,
～ tan x～x , 故
tan x x o( x)
lim x0
2 x3
原式
lim
x0
x
x3
x
定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量可以用其等价无穷小量替代.
1
例3. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
arcsinx ~ x
tan x ~ x
x0
x
解
m 1 ax n 1 bx lim
x0
x
lim (m 1 ax 1) (n 1 bx 1)
x0
x
lim m 1 ax 1 lim n 1 bx 1
x0
x
x0xBiblioteka lim1 ax m lim

第七节无穷小量与无穷大量05638

第七节无穷小量与无穷大量05638

(x)与 (x) 是等价无穷小量. 记作: (x) (x) (3) 如果 lim (x) , 则称 (x)是比 (x)
(x)
低阶的无穷小量.
(4) 如果
lim (x) c 0 [ (x)]k
(k 0), 则称
(x)是 (x) 的 k 阶无穷小量.
1

.(05年考研真题4分)
解
lim x sin
x
2x x2 1

lim x
x
2x x2 1

lim
x
2x2 x2 1
2.

若
lim
x0
sin x ex a
(cos x

b)

5,
则
a

,b
.
解 因limsin x(cos x b) 0 故 lim(e x a) 0 a 1
(x)

lim
(x) (x)
lim f (x)g(x) lim (x)g(x) lim f (x) (x) lim (x) (x)
证 lim f (x) lim f (x) (x) lim (x) .
g(x)
(x) g(x)
g(x)
本性质只适合乘除,对加减失效.
{yn}: 1, 2, 3, 4, , (1)n1n,
显然, n 时, xn , yn . 此时
{xn yn}: 0, 0,, 0, 不是无穷大量
{xn yn}: 2, 4, 6, 8, 是无穷大量
例11 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？
(2)谈无穷大量时指明自变量变化过程. (3)区分无穷大量与一个非常大的数.

高数无穷小量的比较

高数无穷小量的比较

sin x ~ x , arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 2 1 − cos x ~ x , 2
α2
2
x2
ln(1 + x ) ~ x ,
x log a (1 + x) ~ , ln a
e − 1 ~ x,
x
n
a − 1 ~ x ln a
x
1 1 + x - 1 ~ x, n
β 阶无穷小. （4）若 lim k = C ≠ 0 , (k > 0) 则称 β 是 α 的k阶无穷小. α
例如 , 当 x → 0 时
x 3 = o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 − cos x lim = 2 x →0 x
故 时
β′ = lim α′
.
sin x . 例4 求 lim x→0 tan 2 x
解 因为当 x → 0时, sin x ~ x, tan 2 x ~ 2 x, 所以
x 1 sin x lim = lim = . x →0 tan 2 x x →0 2 x 2
tan x . 例5 求 lim 2 x →0 x + 3 x
注意：等价无穷小替换忌“加减” 注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和 无穷小不能分别替换。 各 无穷小不能分别替换。
(1 + −1 例7. 求 lim . x →0 cos x − 1
解:
1 2 3 x )
例9Leabharlann (1 − cos x2)(2x − 1) lim x →0 ln(1 + x 2) ⋅ sin x 3

无穷小的比较

无穷小的比较
方法，会用等价无穷小求极限。
教学重点：用等价无穷小求极限
教学过程：
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （ 为常数， 为自然数）
可见对于 取不同数时， 与 趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定理4：设函数 在点 连续，且 ，函数 在 点连续，那么，复合函数 在点 处连续。
注3：定理3、4说明 与 的次序可交换。
注4：在定理3中代入 ，即得定理4。
【例1】 由于 （ 为正整数）在 上严格单调且连续，由定理2，其反函数 在 上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数 （ 为正整数）在定义上是连续的。
综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得：
结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
注1：定义区间为包含在定义域内的区间；
2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。
【例3】 。
【例4】 。
【例5】
。
三、课堂练习：
四、布置作业：
定理2（反函数的连续性）：如果 在区间 上单值，单增（减），且连续，那么其反函数 也在对应的区间 上单值，单增（减），且连续。
注1： 亦为 的反函数，如上知： 在 上有上述性质。
定理3：设 当 时的极限存在且等于 ，即 ，又设 在 处连续，那么，当 时，复合函数 的极限存在，且等于 ，即 。
注2：可类似讨论 时的情形。
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若 均为 的同一变化过程中的无穷小，且 ，及 ，那么 。
【例2】求 。
解：因为当 时，

无穷小量的比较

无穷小量的比较
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
tan x sin x 例1. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
x3
目录
上一页 下一页
退 出
tan2 2 x 例３ 求 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 ( 2 x )2 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
o()，即 o()．
o( ) o( ) lim （１＋ ） 1， lim lim ~ ． 目录 上一页 下一页 退 出
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 1 2 例如, 当x 0时, sin x ~ x , 1 cos x ~ x . 2 sin x x o( x ), 1 y x2

第七节无穷小的比较


x0
x
4、lim tan x tan a ； xa x a
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ).
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x)的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1) ， x1 lim f ( x) f (1) . x1
(3) 如果 lim 1 , 则称 与 是等价的无穷小;
记作 ~ ;
结论：设与是两个无穷小，则
~ o( ).
例如 sinx x o( x)
( x 0).
证： ~ lim 1 x
证： ~ lim 1 x
lim x
1
0
证： ~ lim 1 x
x0
sin 3x
解 原式 lim tan 5x (1 cos x)
x0
sin 3x
lim tan5x 1 cos x x0 sin 3x sin 3x
lim tan 5x lim 1 cos x x0 sin 3 x x0 sin 3 x
lim
5
x
lim
1 2
x
2
5.
x0 3x x0 3x 3
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.

7无穷小量的比较


例1
x → 0 时的几个无穷小量的比较：
2
x (1) lim x→0 x 1 − cos x (3) lim x →0 sin 2 x
1 x sin x (5) lim x →0 x
( 2)
sin x + 2 x lim x →0 x
(4)
sin x lim x →0 x
1 − cos x (6) lim 2 x→0 x
备用
1 − cos(1 − cos 2 x) 求 lim . 4 x →0 x
x2 由 1 − cos x ~ ( x → 0), 得 2
等价无穷小替代
解
1 − cos(1 − cos 2 x) (1 − cos 2 x) 2 lim = lim 4 x →0 x →0 x 2 x4
(2 x) 2 = lim x →0 2x4
定理2. 定理 证:
～ ~
β = α + o(α) β lim = 1 α β β −α lim( −1) = 0, 即 lim =0 α α
β −α = o(α) , 即 β = α + o(α)
例如, 例如 x → 0 时 ,
~
tan x~ x , 故
x →0 时 ,
tan x = x + o(x)
= 1−1 = 0 .
例12
当 x → 0 时,
3 2
3
5 x 2 − 5 x 3 是 x 的几阶无穷小量?
2 3
解
5x − 5x = x
3
3
5 − 5x ,
f (x) lim k = C x
由于
lim
x →0
x
2 3

1-7无穷小比较

第一章
第七节 无穷小的比较
都是无穷小, x →0时, 3x, x2 , sin x 都是无穷小 但 引例 .
sin x 1 x2 lim = , lim = 0, x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞, x→0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
是自变量同一变化过程中的无穷小, 定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小
3 5 lim ln(1 + 2 ) ⋅ ln(1 + ) 3ln 2 x → +∞ x
x
是无穷小， 三、证明：若α , β 是无穷小，则α ~ β ⇔ α − β = 0(α ) . 证明： 四、设 f(x)= lim
2 n→ ∞ x 2n + 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 的值, 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) = f (1) ，
x 1 + x sin x − 1 ∞ 4、lim =________. 2 x→0 x arctan x x n x 5、lim 2 sin n =________. n→ ∞ 2
1 n
x→0
a (1 + ax ) − 1 6、lim =_________. x→0 x n
7、当 x → 0 时， a + x 3 − a (a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . 3 0 等价， 8、当 x →1 时，无穷小 1 − cos x 与 mx n 等价，则 m = _______, n _______ . 2 ： 2 求下列各极限： 二、求下列各极限 1 tan x − sin x ； 1、lim 3 x→0 sin x 2 eα − e β 2、 lim ； eβ α →β α − β sin αx − sin βx α − β ； 3、lim x→0 x tan x − tan a 4、lim ；sec2 α x→a x−a

第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点

第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点 ㈠本课的基本要求讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。

理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间 上连续的概念。

了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

㈡本课的重点、难点重点是利用等价无穷小求极限，难点是对连续概念的理解及间断点类型的判断。

㈢教学内容第七节 无穷小量的比较 讨论两个无穷小的商的情况 如：02cos 11sin sin limlimlim2=-=∞=→→→xxxxx xx x x 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于0的“快、慢”程度。

差不多与快，而比x x x x sin sin 02→。

另根据常识，当x 很小时（1<<x ），计算1002)(x x x f +=的函数值，可以忽略100x而用2x 的值来近似它，这是因为当x 很小时，100x 值比2x 的值小的多，可以“忽略不计”。

换句话说，当x 趋于零时，100x趋于零要比2x 趋于零的“速度”快得多。

这个简单的例子说明，研究无穷小趋于零的“快慢”程度是必要的，无穷小趋于零的“快慢”可用无穷小之比的极限来衡量。

定义 设α和β为)(0∞→→x x x 或时的两个无穷小量，如果)(0limαβαβαβ==高阶的无穷小，记作是比，则称 如果低阶的无穷小是比，则称αβαβ∞=lim如果)(0(0lim αβαβαβ=≠=是同阶的无穷小，记作与为常数），则称c c ，特别地c=1，则称β与α是等价无穷小，记作β～α。

如果0,0lim>≠=k c kαβ，就说β是关于α的k 阶无穷小。

例 是同阶无穷小与x x xxx x 5sin 55sin 0lim=→→，2)1()1tan(2331lim=--→x x x ，3)1tan(2-x 是当1→x 时1-x 的三阶无穷小。

xx xx e x x x x x x x x ~sin 2,11,1,2),1ln(,cos 1,tan ,sin ,02都是无穷小量，且时，-+-+-→)0(~11,2~11,~1,~)1ln(,2~cos 1,~tan 2→-+-+-+-x mxx x x x e x x x x x x m x *等价无穷小在理论和应用上都很重要，等价无穷小有下列性质：定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ +=。

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第七节 无穷小的比较
教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重点：用等价无穷小求极限
教学过程：
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞<==⋅=-→→n
m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数）
可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，
(i) 若0lim
=α
β，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=α
βlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C α
β，，就说β是比α同阶的无穷小；
(iv) 若1lim =α
β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。

【例1】 当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。

注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，
因为)(⋅o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；
2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~⇒；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x
x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为2
01sin
lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有： 定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及∃'
'αβlim ，那么αβαβ
''
=∃lim lim 。

【例2】 求x x
x 20sin cos 1lim -→。

解：因为当0→x 时，x x ~sin
所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=-
=-→→x x
x x x x 。

【例3】 求x x x
x 22arcsin lim 20+→
解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，
所以 原式122
22
lim 22lim 020==+=+=→→x x x x
x x 。

7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：
221
~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -；
8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！
二、课堂练习：
三、布置作业：。