第5章曲线拟合

于
y y
O
x
O
x
(a)
(b)
图 ( c ) 的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐 渐变慢, 渐变慢,宜采用双曲线型函数
b x
数 y = ae 图 ( d ) 的数据分布特点是开始曲线下降 x y= 随后逐渐变慢, 快,随后逐渐变慢,宜采用 a + bx 或 x 2 或 y= 等数据拟合. y = aebx 等数据拟合.
(2)多项式拟合
有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条 直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的, 直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项 式拟合. 式拟合.对于给定的一组数据 ( x i , y i ), i = 1 , 2 , … , N 寻求次数不超过m 寻求次数不超过m (m<<N ) 的多项式
由于Q j=0 由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, m)的多 , m)的多 元函数, 元函数, 故上述拟合多项式的构造问题可归 结为多元函数的极值问题. 结为多元函数的极值问题.令
Q = 0 , k = 0 ,1, 2 , … , m a k
得
( yi ∑a j xij )xik = 0, ∑
拟合直线为 y ( x ) = a 0 + a1 x 记x1=1.36, x2=1.37, x3 =1.95 x4 =2.28, y1 =14.094, y2= 16.844, y3=18.475, y4=20.963
则正规方程组为
4 4 4a0 + a1 ∑ xi = ∑ yi i =1 i =1 4 4 4 2 a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi = ∑ xi y i i =1 i =1 i =1
函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点 函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点 P(x)与被插函数f(x) 处函数值相同, 处函数值相同,即
P ( xi ) = f ( xi )
(i = 0 ,1, … , n ) 而曲
线拟合函数 (x) 不要求严格地通过所有 ( xi , y i ) 处的偏差(亦称残差) 就是说拟合函数 (x) 在xi处的偏差(亦称残差)
(5.46)
的线性方程组, 这是关于系数 a j 的线性方程组,通常称为正 规方程组.可以证明,正规方程组有唯一解. 规方程组.可以证明,正规方程组有唯一解. 设某实验数据如下: 例5.22 设某实验数据如下: 6 i1 2 3 4 5
xi 0
1
2
3
4
5
1 1 2 3 yi 5 2 用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据
= 1, 2 , … , m ,分布大致为一
条直线. 条直线 . 作拟合直线 y( x) = a0 + a1 x ,该直线不是通 过所有的数据点 ( x i , y i ) ,而是使偏差平方和
F (a0 , a1 ) = ∑ (a0 + a1 xi yi ) 2
m
为最小,其中每组数据与拟合曲线的偏差为 为最小,
∑ ∑
m
m
(a (a
i=1
0
+ a1x + a1x
i
yi) = 0 y i )x i = 0
i=1
0
i
即得如下正规方程组
m m a 0 m + a1 ∑ xi = ∑ y i i =1 i =1 m m m a x i2 + a 0 ∑ x i = ∑ x i y i 1∑ i =1 i =1 i =1
其中
∑x
i =1
4
i
= 7.32
∑x
i =1
4
2 i
= 13.8434
∑y = 70.376 ∑ x y
i=1 i
i =1 i
4
4
i
= 132.12985
将以上数据代入上式正规方程组, 将以上数据代入上式正规方程组,得
4a0 + 7.32a1 = 70.376 7.32a0 + 13.8434a1 = 132.12985
ε i = ( xi ) f ( xi )
( i = 0 ,1, … , n )
不都严格地等于零.但是,为了使近似曲线能尽量反 不都严格地等于零.但是, 映所给数据点的变化趋势, 映所给数据点的变化趋势,要求 ε 按某种度量标准 i 最小. 最小.若记向量e = [ε 0 , ε 1 ,…, ε n ]T ,即要求向量 e 的某种范数 即
解:将已给数据点描在坐标系中,可以看出这些点 将已给数据点描在坐标系中, 接近一条抛物线, 接近一条抛物线,因此设所求的多项式为
y = a 0 + a1 x + a 2 x
N=6,∑xi =15,∑x
i=1 i=1 6 6 6 6 2 i 3 i 4 i
2
由法方程组(5.46) 由法方程组(5.46), 经计算得
第5章 数值分析法建模
5.1 曲线拟合的最小二乘法
如果已知函数f(x)在若干点x (i=1,2,…,n) ,n)处 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2, ,n)处 f(x)在若干点 的值y 便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x) 的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x) 的近似.但往往会遇到这样一种情况, 的近似.但往往会遇到这样一种情况,即节点上的函 数值并不是很精确的, 数值并不是很精确的,这些函数值是由实验或观测得 到的数据,不可避免地带有测量误差,如果要求所得 到的数据,不可避免地带有测量误差, 的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(x ),就 的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就 会使曲线保留着一切测试误差. 会使曲线保留着一切测试误差.当个别数据的误差较 大时,插值效果显然是不理想的.此外, 大时,插值效果显然是不理想的.此外,由实验或观测 提供的数据个数往往很多,如果用插值法, 提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次 数较高的插值多项式,这样计算起来很烦琐. 数较高的插值多项式,这样计算起来很烦琐.
曲线拟合方程 程 b
y = ax
表5 - 4 变换关系 变换后线性拟合方 y = ln y , x = ln x y = a + b x ( a = ln a )
x = x
1 1 y = ,x = y x y = 1 y
y = ax + c
x y= ax + b
y = ax + c
y = a + bx
i =1
y(xi ) yi = a0 + a1xi yi i = 1, 2 , … , m 根据最小二乘原理,应取 a0 和 a 1 使 F (a0 , a1 ) 有极小 根据最小二乘原理, 应满足下列条件: 值,故 a0 和a 1 应满足下列条件:
F (a 0 , a1 ) = 2 a0 F (a 0 , a1 ) = 2 a1
N
m
k = 0,1,…, m
即有
i=1
j =0
a0 N + a1 ∑ xi + …+ am ∑ xim = ∑ yi a0 ∑ xi + a1 ∑ xi2 + …+ am ∑ xim+1 = ∑ xi yi … a0 ∑ xim + a1 ∑ xim+1 + …+ am ∑ xi2m = ∑ xim yi
e
∞
e
最小, 最小,如
e
的1-范数 e 范数
1
或∞-范数 范数
e
1
=
∑
n
或
e ∞ = maxε i = max ( xi ) f ( x i )
i i
i=0
εi =
∑
n
i=0
(xi ) f (x i )
最小.为了便于计算,分析与应用, 最小.为了便于计算,分析与应用,通常要求 的2-范数
e
2 1 2 2 n = ∑ [ ( x i ) f ( x i ) ] i=0 1 2
(5.45)
设有某实验数据如下: 例5.21 设有某实验数据如下: i 1 2 3 xi 1.36 14.094 1.37 16.844 1.95 18.475
4 2.28 20.963
yi
用最小二乘法求以上数据的拟合函数 把表中所给数据画在坐标纸上, 解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点 的分布可以用一条直线来近似地描述, 的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的
换句话说:求一条曲线, 换句话说:求一条曲线,使数据点均在离此曲线的 为此,我们希望从给定的数据(x 出发, 为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造 上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线, 上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它 一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所 (x) (x) 既能反映数据的总体分布, 既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大 有的数据点, 有的数据点,只要求所得的近似曲线能反映数 的波动,更能反映被逼近函数的特性, 的波动,更能反映被逼近函数的特性 据的基本趋势,如图5 所示. 据的基本趋势,如图5-7所示. ,使求得的逼 近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方 法度量达到最小,这就是最小二乘法. 法度量达到最小,这就是最小二乘法.
e
n 2 = ∑ εi i=0
2 2
即
e
=
∑
n
i=0
ε i2 =
∑ [ ( x
i=0
n
i
) f ( x i )]
2
为最小.这种要求误差(偏差) 为最小.这种要求误差(偏差)平方和最小的 拟合称为曲线拟合的最小二乘法. 拟合称为曲线拟合的最小二乘法.
(1)直线拟合 ) 设已知数据点 ( x i , y i ), i