当前位置：文档之家 › 第5章曲线拟合

第5章曲线拟合

  • 格式：ppt
  • 大小：664.50 KB
  • 文档页数：27

下载文档原格式

  / 27

合集下载

2023年大学_数学实验(李尚志著)课后习题答案下载

2023年大学_数学实验(李尚志著)课后习题答案下载

2023年数学实验（李尚志著）课后习题答案下载数学实验（李尚志著）课后答案下载数学实验是借助数学软件,结合所学的数学知识解决实际问题的一门实践课.本书包括数学软件MATLAB的入门知识,数学建模初步及运用高等数学、线性代数与概率论相关知识的实验内容.亦尝试编写了几个近代数学应用的阅读实验,对利用计算机图示功能解决实际问题安排了相应的实验.实验选材贴近实际,易于上机,并具有一定的趣味性。

数学实验（李尚志著）：图书信息点击此处下载数学实验（李尚志著）课后答案数学实验（李尚志著）：内容简介书名：数学ISBN: 9787030154620开本：16开定价: 22.00元数学实验（李尚志著）：图书目录绪论第1章MATLAB简介与入门1.1简介1.2应用人门1.3MATLAB的语言程序设计简介 1.4特殊量与常用函数1.5图形功能1.6M文件1.7符号运算与应用第2章微分方程建模初步2.1模式与若干准则2.2阅读与理解2.3几个例子2.4阶微分方程定性解的图示第3章平面线性映射的迭代3.1线性函数迭代3.2平面线性映射的'迭代第四章微分方程数值解4.1算法4.2欧拉与龙格-库塔方法4.3模型与实验第5章曲线拟合5.1磨光公式5.2修正与误差5.3进一步讨论的问题第6章图的着色6.1一个时刚安排问题6.2数学思想的导出6.3一般的计数问题6.4进一步探索的问题第7章敏感问题的随机调查 7.1阅读与理解7.2直觉的定义7.3统计思想的一个基本原理 7.4随机应答调查7.5估计的基本性质7.6估计的其他性质第8章数学建模8.1投篮角度问题8.2壳形椅的讨论与绘图8.3独家销售商品广告问题8.4售报策略8.5Galton钉板问题第9章优化问题9.1优化工具箱9.2优化函数的使用9.3污水控制第10章图像增强10.1图像及操作10.2直接灰度调整10.3直方图处理10.4空域滤波增强10.5频域增强第11章数学曲面11.1MATLAB语言的预备知识11.2几种有趣的数学曲面11.3默比乌斯曲面族第12章阅读实验一泛函分析初步12.1一个例予12.2距离空间简介12.3应用12.4线性空间与Hilbert空间12.5例与问题第13章阅读实验二群与应用13.1背景与阅读13.2抽象群13.3应用第14章阅读实验三积分教学中的几点注释 14.1阅读与理解14.2理论阐述第15章建模竞赛真题15.1非典数学模型的建立与分析15.2西大直街交通最优联动控制15.3股票全流通方案数学模型的创新设计附录A数学实验课实验教学大纲。

曲线拟合

曲线拟合

列表计算:
机动 目录
o
上页 下页 返回 结束
t
i
0 7
ti 0 7 28
ti2 0 49 140
yi 27.0 24.8 208.5
yi ti 0 137.6 717.0
140 a 28b 717 得法方程组 28 a 8b 208 .5 解得 a 0.3036 , b 27.125 , 故所求经验公式为
评价方式
• SSE(The sum of squares due to error)
– – 和方差、误差平方和 A value closer to 0 indicates a better fit.→0
ˆi )2 SSE Wi ( yi y
i 1
n
• MSE(Mean squared error)
p1=2255
q1=83.1
Sum of Sine
f(x)=a1*sin(b1*x0.0420 9
c1=1.693
fitting Exponential Fourier Gaussian Polynomial Rational
SSE 0.1224 0.01768 0.01916 0.1082 0.1374
x
150 160 170
X
165
160 140
180
190
200
Back
• 从图上虽可看出，个子高的父亲确有生出个子高的 儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有生出个子 低的儿子的倾向。得到的具体规律如下：
y a bx u ˆ 84.33 0.516x y
• 如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思 不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳 定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男 子的平均身高，即“回归”——见1889年F.Gallton 的论文《普用回归定律》。 • 后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律
曲线拟合

曲线拟合


向自定义函数拟合
在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降，假定在x≥8时，y与x之间有如下形式的非线性 模型： 现收集了44组数据，利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。 x y x y x 8 0.49 16 0.43 28 8 0.49 18 0.46 28 10 0.48 18 0.45 30 10 0.47 20 0.42 30 10 0.48 20 0.42 30 10 0.47 20 0.43 32 12 0.46 20 0.41 32 12 0.46 22 0.41 34 12 0.45 22 0.40 36 12 0.43 24 0.42 36 14 0.45 24 0.40 38 14 0.43 24 0.40 38 14 0.43 26 0.41 40 16 0.44 26 0.40 42 16 0.43 26 0.41 y 0.41 0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.36 0.40 0.40 0.36 0.39
2.多项式曲线拟合函数 多项式曲线拟合函数
调用格式： p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) 说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回 p为幂次从高到低的多项式系数向量p。矩阵s 用于生成预测值的误差估计。
多项式曲线拟合函数
例2：由离散数据 x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.511.41.61.9.6.4.81.52拟 合出多项式。 程序： x=0:.1:1; y=[.3 .5 1 பைடு நூலகம்.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2] n=3; p=polyfit(x,y,n) xi=linspace(0,1,100); z=polyval(p,xi); %多项式求值 plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’) legend(‘原始数据’,’3阶曲线’)
第五章 曲线拟合

第五章 曲线拟合


)2
j 1
j 1 i0
对ak求偏导数（k＝0,1…m)
ak
nm
2
(
ai
x
i j
j1 i0
y
j
)
x
k j
0
m
m
n
化简得
ai
xik j
y
j
x
k j
i0 j 1
j 1
n
n
记
x
k j
Sk
y
j
x
k j
Tk
j 1
j 1 m
aiSki Tk (k 0,1m)
i0
写成矩阵形式
S0 S1 S2 Sm S1 S2 S3 Sm1 S2 S3 S4 Sm2 Sm Sm1 Sm2 S mm
i1 j 1
i 1
用矩阵形式给出即： AT Ax ATb 法方程组
例
用最小二乘法解下列超定方程组的近似解
2x1 x2 1 8x1 4x2 0 2x1 x2 1 7x1 x2 8 4x1 3
解： A=
2 1 8 4 2 1 7 1 4 0
2 1
AT A
如何衡量接近程度？
最小二乘原理
一、什么是最小二乘原理
是衡量接近程度的一种方法
x x0 x1 xn 已知 y y0 y1 yn
设p(x) a0 a1x an xn
n
n
求a0 , a1,an 使 Ri2 (P(xi ) yi )2 最小。
io
i0
用最小二乘原理进行曲线拟合的方法称为最小二乘法。
这里（m<n)，适当的选取 a0 , a`,am 使得
n
(a0 , a1,am ) [ p(x j ) y j ]2 为最小值 j 1
5 曲线拟合

5 曲线拟合



Q x1 a 11 Q a 12 x2 ２ a 1n Q xn
Ｔ Ｔ
a 21 a 22 a2n

n a 1 j x j b1 j1 am1 0 n a m 2 a 2 j x j b2 0 j1 0 amn n a m j x j bm j1
P
i0
n
2 m
( x i ) f ( x i ) 达 到 最 小
多 项 式 拟 合 (用 低 次 多 项 式 拟 合 大 量 数 据 )
由 于 y Pm ( x )不 一 定 经 过 所 有 已 知 点 ( x i， f ( x i )), 故 把 它 们 代 入 得 矛 盾 方 程 组 a 0 , a 1 , , a m 为 未 知 量 ): (以 a 0 a1 x 0 a m x 0 a 0 a1 x1 a m x1
T T
§6.2 多项式拟合
设 有 连 续 函 数 y f ( x )的 一 组 大 量 数 据 f ( xi ) xi x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 ) xn f ( xn )
求 一 个 次 数 n的 多 项 式 ( 主 要 是 求 系 数 ) Pm ( x ) a 0 a 1 x a m x m n ) (m 使Q

i1
m
2 i


m
i1
a ij x j b i （ 6 .2） j1
n
2
达 最 小 ， 则 称 该 x1 , x 2 , , x n为 矛 盾 方 程 组 的 最 小 二 乘 解 , 它是一种最优近似解. 最小二乘解的求法 : 设 x 1 , x 2 , , x n是 最 小 二 乘 解 , 则 由 高 数 知 , 多 元 函 数 Q Q ( x 1 , x 2 , , x n )必 在 该 点 偏 导 数 为 零 :
5.5曲线拟合

5.5曲线拟合


xi 1
yi
9
3
4
5
6
7
8
9
10
2
7
9
8
10
9
11
11
10
9
9
8
i1 xi 53, i1 xi2 381, i1 xi3 2999, i1 xi4 25317, i1 yi 76, i1 xi yi 489, i1 xi2 yi 3547
9 9 9
a0 a1 an
i 1 m
yi
x
xi
n 1
i 1 i
x yi
m i
n x 1 i
m i
n x 1 i
1
m i
2n x 1 i
m i
n x y 1 i i
1 a1 an ，法方程可写为AT Aa AT y。
1 x2 1 xm
2、线性拟合
当n 1时，H1
m
m i
, an
R，Pn x
k a x 0 k
H n ,使得
n k 0 k k i 2
a0 , a1 ,
, an
a0 , , an R
min
m i 1
ax
yi 。
由
0，i 0,1, i
m
m i 1 i m i m i 1
, n得到法方程：
x 1 i xi
2 m i m i 1 n x 1 i m
2 拟合曲线为 y a0 a1 x a2 x 。
例8. 已知函数表如下,试用一次多项式拟合数据。
xi 0.6
yi
1.3 1.64 1.8
2.1
2.3 2.44
第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解

第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解

a ∑xi2 +b ∑xi= ∑xi yi a ∑xi+bn=∑ yi
求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25
通过全选主元高斯消去求得：
a=0.912605
b=0.174034
所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
曲线拟合的最小二乘法
1.曲线拟合的意思
Y
.
.
.
.
y=ax+b y=ax2+bx+c
X
y=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。
2最小二乘法原理
观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。
yi y0 y1 y2 y3 y4…… 观测值 y^i y^0 y^1 y^2 y^3 y^4…… 拟合曲线值
拟合曲线为： y=(-11x2-117x+56)/84
x
yHale Waihona Puke 1.61 1.641.63 1.66
1.6 1.63
1.67 1.7
1.64 1.67
1.63 1.66
1.61 1.64
1.66 1.69
1.59 1.62
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值

《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值


例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
曲线拟合

曲线拟合

曲线拟合实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。

曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。

曲线拟合的方法很多，本节只介绍曲线直线化。

一、曲线直线化的意义曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。

对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。

二、常用的非线性函数1.指数函数(exponential function)Y=aebX(12.29)对式（12.29）两边取对数，得lnY=lna+bX(12.30)b>0时，Y随X增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。

见图12.4(a)、(b)。

当以lnY和X绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用指数函数来描述Y与X间的非线性关系，lna和b分别为截距和斜率。

更一般的指数函数Y=aebX+k(12.31)式中k为一常量，往往未知, 应用时可试用不同的值。

2.对数函数（lograrithmic function）Y=a+blnX(X>0)(12.32)b>0时，Y随X增大而增大，先快后慢；b<0时，Y随X增大而减少，先快后慢，见图12.4(c)、(d)。

当以Y和lnX绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述Y与X之间的非线性关系，式中的b和a分别为斜率和截距。

更一般的对数函数Y=a+bln(X+k) (12.33)式中k为一常量，往往未知。

YYYYXXXX(a)lnY=lna+bX(b)lnY=lna-bX(c)Y=a+blnX(d)Y=a-blnX图12.4曲线示意3.幂函数（power function）Y=aXb(a>0,X>0)(12.34) 式中b>0时，Y随X增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。

第五章+曲线拟合

第五章+曲线拟合

Ｔ
Ｔ ２Ａ （Ａ x b） 0
ＡＡx Ａ b
Ｔ
上式是n阶方程组,称为原方程组对应的正规方程组(或正则方程 组,法方程组).故超定方程组的最小二乘解一定是相应的正规方 10 程组的解
5.3 多项式拟合
对于给定的一组数据 x , y i 0,1,, m ，求作n次多项式
n
n j a x j i i 0 j 0
m m 2 i 0
2 m n n k ak xik a x k i i 0 k 0 k 0
g xi 0
因此有
g xi ak xik 0
i i
n m
Pn x a0 a1 x an x ak x k
n k 0
n
使其满足
Q Pxi yi
i 0 m 2
n ak xik yi 2 min i 0 k 0
m
式（2）
这样的曲线拟合问题叫做多项式拟合问题。满足式（2） 的多项式 Pn x 叫做最小二乘拟合多项式。特别地，当 n=1时，一次多项式拟合又叫做直线拟合。
5.3 多项式拟合（续）
由于式（2）中 Q 可看作是 a0 , a1,, an 的多元函数， 所以上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的 极值问题。由多元函数极值的必要条件知，a j 0,1,, n 满足 Q 2 a x y x 0 j 0,1, , n a
5.1 曲线拟合的概念（续）
插值法是寻求近似函数的方法之一，其与曲线拟 合法的区别： 插值法满足插值条件 Px y i 0,1,, m 插值法在一定程度上解决了由函数表求其近似表 达式的问题，但是其对于大数据量的情况下，其 存在 明显的缺陷： 运算量大 高次差值时存在龙格现象 分段低次插值表达式不统一
第五章曲线拟合PPT课件

第五章曲线拟合PPT课件

第5章 曲线拟合
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
f1(x2) f2(x2)
f1(x3) f2(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
多项式拟合
使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小 二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式 f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM
使用最小二乘多项式拟合非线性数据的方法简单有 效，但如果数据不具有多项式特性，则求出的曲线可 能产生大的振荡。这种现象称为多项式摆动，它在高 阶多项式情况下更容易发生。由于这个原因，一般很 少使用超过6阶的多项式，除非已知被拟合的曲线是 真实的多项式。
几何意义是：数据点到曲线的垂直距离平方和最小
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘拟合直线
定理5.1 设{(xk, yk)}kN1有N个点，其中横坐标{xk}是

《曲线拟合》PPT课件

曲线拟合
Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒 物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等， 都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至 得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation） 或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
散点图辨析
预后指数Y
60 50 40 30 20 10
0 0
对数曲线 指数曲线
10 20 30 40 50 60 70 病人住院天数X
如果条件允许最好采用非线性回 归（Nonlinear Regression）拟合幂 函数曲线与指数函数曲线
注意绘制散点图，并结合专业知 识解释
采用SAS进行曲线拟合
①幂函数： Yˆ ea X b 或 ln(Yˆ) a bln(X )
②对数：
Yˆ a bln(X )
③指数函数： Yˆ eabX
或 ln(Yˆ) a bX
④多项式： Yˆ a b1X b2 X 2 bn X n
⑤logistic：
Yˆ
1/(1
eabX
)
或
ln[
Yˆ
/(1
Yˆ)]
-8.0196 -4.0604 0.0000 3.9012 7.6049 11.1860 -12.8898
Yˆ
7.23 12.62 15.77 18.01 19.75 21.16 22.36
23.40
残差平方
0.1380 0.1017 0.0053 0.0361 1.0921 0.0563 0.0566 0.1597
(lnX)2 Y2
2.5902 57.76 0.8396 151.29 0.2609 246.49 0.0498 331.24 0.0000 349.69 0.0332 457.96 0.1132 510.76 0.2209 566.44 4.1078 2671.63

曲线拟合初步认识

曲线拟合初步认识曲线拟合是一种寻找可以最佳逼近某些数据的曲线的方法。

在实际应用中，我们经常需要通过数据来寻找规律或者预测未来的趋势。

曲线拟合就是一种有效的数据分析方法。

本文将介绍一些基本的曲线拟合概念及应用。

一、曲线拟合的概念曲线拟合是一种数学方法，用于建立数据的数学模型，并通过模型来预测未知的数据。

曲线拟合旨在寻找可以最好地描述数据的函数。

常见的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合、对数拟合和幂函数拟合。

这些方法都可以用来拟合不同类型的数据，并且在不同的应用场景中具有不同的优点和局限性。

二、曲线拟合的应用曲线拟合在各种领域中都有广泛的应用。

例如，它可以用于预测股票价格、天气变化、经济趋势等。

在科学研究中，曲线拟合可以用于分析实验数据、研究物理规律等。

在工程领域中，曲线拟合可以用于设计机器人、优化设备参数等。

三、曲线拟合的实现曲线拟合的实现可以使用各种工具和软件来完成。

例如，MATLAB 是一种流行的数据分析工具，它提供了许多不同的曲线拟合函数。

Python也是一种流行的编程语言，它提供了许多强大的数据分析和可视化库，如NumPy、SciPy和matplotlib。

这些工具可以帮助我们更轻松地实现曲线拟合，并且可以处理大量的数据。

四、曲线拟合的算法曲线拟合的算法基于最小二乘法，它可以用于计算最佳拟合线和拟合误差。

最小二乘法是一种基本的数据拟合方法，它尝试通过最小化预测误差的平方和来找到拟合模型，以最大程度地逼近数据点。

这个算法已经成为曲线拟合的主要方法之一。

五、曲线拟合的局限性曲线拟合并不是一种通用的解决方案，它具有一些局限性。

例如，曲线拟合假设数据点之间的关系是光滑的，如果数据点之间存在突变或者不连续，曲线拟合可能无法达到较好的效果。

此外，曲线拟合还需要适当选择合适的模型和参数，否则可能会出现过拟合或欠拟合的问题。

结论本文介绍了曲线拟合的基本概念、应用、算法和局限性。

曲线拟合是一种非常有用的数据分析方法，在实际应用中可以帮助我们更好地理解和预测数据。

第5章曲线拟合


非线性最小二乘拟合 思想：非线性——线性化 例如 对拟合函数 y aeb / x 两边取对数
ln y ln a ln e
x 1/ x
b/ x
ln a b
x
y ln y, a ln a
y a bx
例
在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的 数据如下，试建立y关于t的经验公式
第五章 曲线拟合法
对于例5.1中可将这7个点在图中近似看在一条直线上，设 此直线方程为： （1.1）
r a bt
式中，a,b待定。 对于各个点（tj,rj）不一定正好落在直线上，其误差为： R j a bt j rj （j=1,2,……，7） 一般不全为零。我们希望选择 7a，b,使 7 Rj 的平方和尽可能 2 2 的小，即求a*,b*,使 R R(a, b) R j (a bt j rj )
0 (t) 1,
1 (t) t
a 0.011325
解正规方程组得 a 4.48072, b 1.0567
最小二乘解 y 0.011325e
2
1.0567
t
平方误差为
1 * 2 0.11631
第五章 曲线拟合
§ 5.2 超定方程的最小二乘解
设线性方程组
t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 y=4.00, 6.40, 8.00, 8.80, 9.22, 9.50, 9.70, 9.86, 10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60
解: 画出时间t与浓度y的散点图
（2）取得最小值问题：
7

数学中的曲线拟合

数学中的曲线拟合曲线拟合是数学中一种重要的数值分析方法，它主要用于研究数据点的关系，并通过建立适当的数学模型来预测未知数据或者分析数据间的相互影响。

在各个领域中，曲线拟合都扮演着重要的角色，从物理、生物到工程等多个学科都离不开曲线拟合技术的应用。

本文将简要介绍曲线拟合的基本概念、方法和实际应用。

一、曲线拟合概述曲线拟合是指通过建立数学模型，将数据点拟合在一条曲线上，在统计学中也称为回归分析。

在拟合过程中，我们试图找到最佳拟合曲线，使得所有数据点到拟合曲线的距离尽可能小，从而能够更好地描述数据间的规律。

常用的曲线模型包括线性回归、多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。

二、曲线拟合方法1.线性回归线性回归是曲线拟合中最简单的一种方法，它假设数据点之间存在线性关系，即可以用一条直线来拟合数据。

线性回归的核心是最小二乘法，通过最小化实际观测值与拟合值之间的平方差来确定最佳拟合直线的斜率和截距。

2.多项式拟合多项式拟合是曲线拟合中常用的一种方法，它利用多项式函数来逼近数据点。

多项式拟合的核心是最小二乘法，通过最小化实际观测值与拟合值之间的平方差来确定最佳拟合曲线的系数。

多项式拟合可以根据数据点的特点选择合适的多项式阶数，从而更好地描述数据间的关系。

3.非线性拟合若数据点之间的关系不能通过线性函数或多项式函数来表示，就需要使用非线性拟合方法。

非线性拟合通过建立非线性模型来拟合数据点，常用的非线性模型包括指数函数、对数函数、幂函数等。

非线性拟合通常需要借助数值计算方法，如最小二乘法、牛顿法或Levenberg-Marquardt算法等。

三、曲线拟合应用举例曲线拟合广泛应用于各个领域，以下举例说明其实际应用：1.物理学中的运动学分析物理学中，我们常常使用曲线拟合的方法来研究运动学问题。

通过对物体在不同条件下运动的轨迹进行拟合，可以得到运动的规律和物体的运动参数，如位移、速度、加速度等。

2.生物学中的生长模型生物学研究中，曲线拟合方法可以用于分析生物体的生长过程。

第五讲 曲线拟合


k 0, 1, 2, , n
函数逼近就是从整体上使误差尽量的小一些
如引例中就是用一条直线（一次多项式）从整体上逼近弹簧受 力与伸长量之间的函数关系（并不要求这条直线经过所有结点， 事实上也没有这样的直线能够实现这一点。）
§1 离散最小二乘的曲线拟合问题
f(x)为定义在区间[a,b]上的连续函数， xi
第五讲 曲线拟合与函数逼近
引例：Hooker定律 设F表示弹簧受力，x表示弹簧伸长量；经过试验得到下 面的一组数据，试确定弹簧受力与伸长量的关系
x(cm)
1
2 3.9
4
7
9
12
13
15
17
F ( kg) 1.5
6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1
25
20
15
F
10 5
30
0 0 2 4 6 8 x 10 12 14 16 18
25
20
15
F
10
5
0
0
2
4
6
8 x
10
12
14
16
18
给出一组离散点，确定一个简单函数近似原函数，多项式 插值提供了一种处理手段。
然而，在实际问题中，给出的结点处的离散数据或多或少的 都带有误差，插值要求多项式严格通过这些插值结点，无形 之中就将这些点处的误差保留下来； 尤其是当结点数目较多时，误差可能累积起来，从而对最终 近似效果产生较大影响（这正是高次插值产生Runge现象的 一个主要原因）； 此外，即便给出的结点处的离散数据较为精确，但由于插值 条件的限制，也导致多项式插值仅仅在处理结点附近的函数 值近似问题时较为有效，即插值的局部近似效果好，整体逼 近效果差。

曲线拟合法

曲线拟合法
曲线拟合法是一种用于求解函数的统计学方法。

它可以利用已经收集到的数据，通过最小二乘法（Least Square Method）来求解该数据集所对应的函数，从而实现对数据和函数之间的拟合。

曲线拟合法主要用来估计定量数据的表达式，从而研究特定定性数据，如温度、压力等的变化规律。

该方法可以让我们更好地理解数据的特征，从而做出更好的决策。

曲线拟合法是一种基于样本数据的有效工具，它可以帮助我们更加准确地估计函数的形式。

它不仅能够对历史数据进行准确预测，而且可以用来探索定量数据变化的相关规律，从而更好地控制和平衡变量之间的关系。

曲线拟合法需要将被研究的函数表示为一个曲线，并使用最小二乘法来拟合该曲线。

在这个过程中，需要先把函数分解为一系列的函数部分，然后利用系数来表示它们之间的关系，最后再将这些系数拟合到原始函数上。

此外，曲线拟合法还可以用来估计和推断未知的数据。

它可以使用已知的数据来拟合函数，然后利用拟合函数来预测未知点的值。

这样，便可以获得更加准确的数据估计。

因此，曲线拟合法是一种有效的统计学方法，它可以帮助我们准确预测数据，并且能够发现和探索定量数据变化的规律。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测
提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次 数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。
换句话说 :求一条曲线,使数据点均在离此曲线的 为此 ,我们希望从给定的数据 (xi,yi)出发,构造 上方或下方不远处 ,所求的曲线称为拟合曲线 ,它 一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所 ( x) ( x) 既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大 有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数 的波动,更能反映被逼近函数的特性 据的基本趋势，如图 5-7所示。 ,使求得的逼 近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方
（3）可化为线性拟合的非线性拟合
有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替
换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，
对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值 在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分 布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线 拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟
合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表
,
（4）超定方程组的最小二乘解 A (aij ) mn ,b是m维已知 设线性方程组Ax=b中， 向量，x是n维解向量，当m＞n，即方程组中 方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组 为超定方程组。一般来说，超定方程组无解（ 此时为矛盾方程组),这时需要寻求方程组的一 个“最近似”的解. 记 r b Ax ,称使 r 2 ,即 r 最小的解 x * 为 方程组Ax=b的最小二乘解。
m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i ) 0 a i 1 0 m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i )xi 0 a1 i 1
即得如下正规方程组
m m a0 m a1 xi yi i 1 i 1 m m m 2 a x 1 i a 0 xi xi y i i 1 i 1 i 1
F (a0 , a1 ) (a0 a1 xi yi ) 2
m
为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为
i 1
y( xi ) yi a0 a1 xi yi i 1,2,, m 根据最小二乘原理，应取 a0 和 a1 使 F (a0 , a1 ) 有极小 值，故 a0 和a1 应满足下列条件：
6
i
5.714112
将以上数据代入上式正规方程组，得
6a0 7.5a1 2.043302 7.5a0 13.75a1 5.714112
解得 a0 0.562302 ,
a1 0.772282
a0 0.562302 a ln a 由 0 得a e e 1.754708
式拟合。对于给定的一组数据 xi , yi , i 1,2,, N 寻求次数不超过m (m<<N ) 的多项式
y a0 a1 x a2 x an x
2
m
来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的 平方和 N m Q ( y i a j xi j ) 2
5.1 曲线拟合的最小二乘法
如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处
的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)
的近似。但往往会遇到这样一种情况，即节点上的函
数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得 到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得 的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就 会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较
其法方程组为 6a 15a 55a 14 0 1 2
15a0 55a1 225a 2 30 55a 225a 979a 122 1 2 0
y 4.7143 2.7857x 0.5000x
2
解之得 a0 4.7143 , a1 2.7857 , a2 0.5000 所求的多项式 为
示的曲线拟合方程。 表5-4列举了几类经适当变换后化为线性拟合 求解的曲线拟合方程及变换关系
曲线拟合方程 程 b
y ax

表5-4 变换关系 变换后线性拟合方 y ln y, x ln x y a bx (a ln a)
x x
1 1 y ,x y x y 1 y
(5.46)
这是关于系数 a j 的线性方程组，通常称为正 规方程组。可以证明，正规方程组有唯一解。 例5.22 设某实验数据如下： 6 i 1 2 3 4 5
xi 0
1
2
3
4
5
1 1 2 3 yi 5 2 用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据
解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点 接近一条抛物线，因此设所求的多项式为
得
k 0,1,, m
即有
i 1
j 0
a0 N a1 xi a m xim yi 2 m 1 a x a x a x xi y i 0 i 1 i m i a0 xim a1 xim1 a m xi2 m xim yi
y a0 a1 x a2 x
N=6, xi 15, x
i 1 i 1 6 6 2 i 6 3 i 6 4 i
2
由法方程组（5.46）, 经计算得
55, x 225, x 797, yi 14, xi yi 30, xi2 yi 122
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 6 6 6
a bx 2
x y a bx
或指数型函
y aebx 等数据拟合。
y y
O
x
O
x
(c)
(d)
例5.13 设某实验数据如下:
i
xi yi
1 0
2 0.5
3 1
4 1.5
5 2
6 2.5
2.0
1.0
0.9
0.6
0.4
0.3
用最小二乘法求拟合曲线
解:将已给数据点描在坐标系中下图所示,可以看出这
于 数 据分布接近于抛物线。可采拟合；二次多项式
y y
y a0 a1 x
拟合；图(b)
直线，故宜采用线性函数 y a0 a1 x a2 x 2 拟合；
O
x
O
x
(a)
(b)
图 ( c ) 的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐
渐变慢,宜采用双曲线型函数
b x
数 y ae 图 ( d ) 的数据分布特点是开始曲线下降 x x y 快,随后逐渐变慢,宜采用 a bx 或 或 y
则正规方程组为
4 4 4a0 a1 xi yi i 1 i 1 4 4 4 2 a x a x 0 i 1 i xi y i i 1 i 1 i 1
其中
x
i 1
4
i
7.32
x
i 1
4
2 i
13.8434
y
i 1
4
法度量达到最小,这就是最小二乘法。
y
图5-1
曲线拟合示意图
o


x
与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过 所有已知点 ,而是要求得到的近似函数能反映数据的 基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。 在对给出的实验(或观测)数据 ( xi , y i )(i 0,1,, n) 作曲线拟合时 ,怎样才算拟合得最好呢？一般希望各 实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小 , 这就是最小二乘原理。 两种逼近概念:
(5.45)
例5.21
i
xi
设有某实验数据如下： 1 2 3 1.36 14.094 1.37 16.844 1.95 18.475
4
2.28 20.963
yi
用最小二乘法求以上数据的拟合函数 解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点 的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的
拟合直线为Leabharlann y( x) a0 a1 x 记x1=1.36, x2=1.37, x3 =1.95 x4 =2.28, y1 =14.094, y2= 16.844, y3=18.475, y4=20.963
i 1 j 0
为最小
Q
j 2 ( y a x i j i) i 1 j 0
N
m
由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, m)的多 元函数, 故上述拟合多项式的构造问题可归 结为多元函数的极值问题。令
Q 0, k 0,1,2,, m a k
j k ( y a x ) x i j i i 0, N m
插值:
拟合:
在节点处函数值相同.
在数据点处误差平方和最小
函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点 处函数值相同,即 P( xi ) f ( xi ) (i 0,1,, n) 而曲 线拟合函数 ( x) 不要求严格地通过所有 ( xi , y i ) 就是说拟合函数 ( x) 在xi处的偏差(亦称残差）
2 2
定理5.6 x * 是Ax=b的最小二乘解的充分必要条件为 * 是 AT Ax AT b 的解. x 证明:充分性 若存在n维向量 x * ,使 任取一n维向量x x * ,令 y x x * ,则y
6a0 a1 xi yi i 1 i 1 6 6 6 于是得到拟合指数函数为 2 a x a x 0 i 1 i xi y i i 1 i . 1772282 x i 1 0
其中
y 1.754708 e