平面的基本性质(二)感受生活 发现几何

2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论习题苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论习题苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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平面的基本性质及推论（答题时间:40分钟）＊1。

（福州检测）下列说法正确的是________。

①三点可以确定一个平面②一条直线和一个点可以确定一个平面 ③四边形是平面图形④两条相交直线可以确定一个平面*2.(扬州检测）经过空间任意三点可以作________个平面.＊＊3.（1）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定______个平面。

(2)共点的三条直线可以确定________个平面. ＊4。

（宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________.（填序号） ①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形;④三个点 ＊＊5。

（梅州检测)如图所示的正方体中，P 、Q 、M 、N 分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。

（把正确图形的序号都填上）＊＊6。

（福建师大附中检测)三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条. **7。

证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.*＊8. 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ,H 分别是BC ，CD 上的点,且HCDHGC BG＝2。

课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。

2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。

通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。

3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。

（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。

（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教学重点】平面的基本性质。

因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。

所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。

【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。

因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。

【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。

进行思考、交流，师生共同讨论等学法。

根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。

【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

《认识图形》优秀教案(通用一、教学内容本节课选自教材第3章《几何图形的初步认识》，主要详细内容包括：平面图形的基本概念，图形的分类及性质，以及简单的图形组合与变换。

具体涉及的正多边形有：正三角形、正方形、正五边形和正六边形。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生能够识别并描述常见的平面图形，理解其基本性质，并运用到实际问题中。

2. 过程与方法：通过观察、实践和思考，培养学生对图形的感知和认知能力，提高解决问题的策略和方法。

3. 情感态度与价值观：激发学生对几何学的兴趣，培养合作精神和创新意识。

三、教学难点与重点重点：正多边形的识别和性质理解。

难点：图形组合与变换的运用。

四、教具与学具准备教具：图形卡片、多媒体课件。

学具：直尺、圆规、量角器、练习本。

五、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示生活中常见的图形，引导学生观察并说出它们的名字，从而引入新课。

2. 基本概念学习（15分钟）（1）教师展示正三角形、正方形、正五边形和正六边形，引导学生观察它们的特征。

（3）教师点评并补充，强调正多边形的对称性和边角关系。

3. 实践活动（15分钟）（1）小组合作，用学具拼出不同的图形。

（2）讨论并分享拼图过程中的发现。

4. 例题讲解（10分钟）例题1：找出下图中哪些图形是正多边形？5. 随堂练习（10分钟）分发练习题，学生独立完成，教师巡回指导。

六、板书设计1. 《认识图形》2. 主要内容：平面图形的基本概念正多边形的性质图形组合与变换3. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）列举生活中的正多边形实例，并说明其性质。

（2）用正三角形、正方形、正五边形和正六边形拼出不同的图形，并画出示意图。

2. 答案：（1）生活中的正多边形实例：桌面、窗户、红绿灯等。

性质：对称性、边角关系等。

（2）拼图示例：略。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对正多边形的性质掌握较好，但在图形组合与变换方面还需加强。

2. 拓展延伸：（1）探索其他类型的正多边形。

平面相关知识点总结高中一、平面的概念和特点1.1 平面的概念平面是指没有厚度、只有长度和宽度的二维几何图形。

在空间中，平面是一种没有厚度和边界的几何图形，它只有长度和宽度，可以用一个无限多边形的点集体来表示。

平面是一种基本的几何概念，也是几何学的一个重要分支。

1.2 平面的特点（1）平面上的点是没有厚度的，只有长度和宽度；（2）平面上的直线是没有宽度的，只有长度；（3）平面上的图形是由点和直线组成的，每个点和直线在平面上都有唯一的位置。

二、平面图形的基本性质2.1 平面图形的分类平面图形是指在平面上的几何图形，包括点、线段、直线、角、多边形等。

根据图形的特点，平面图形可以分为以下几类：（1）点：没有长度和宽度，只有位置；（2）线段：有两个端点，有长度，但没有宽度；（3）直线：无限延伸，没有宽度，只有长度；（4）角：由两条射线共同起点组成，可以分为锐角、直角、钝角等；（5）多边形：由多条线段组成，包括三角形、四边形、五边形等。

2.2 平面图形的性质（1）平行线的性质：平行线在同一平面上，不相交，且距离相等；（2）垂直线的性质：两条垂直线相交成直角；（3）角的性质：角的种类包括锐角、直角、钝角等，可根据角的度数进行分类；（4）多边形的性质：包括三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°等。

三、平面几何问题的解决方法3.1 轴测投影法轴测投影法是描述和分析物体形状和结构的一种有效方法，包括平行轴测投影、透视轴测投影和等轴测投影等。

在解决平面几何问题时，可以利用轴测投影法来进行图形的绘制和分析，以便更好地理解和解决问题。

3.2 图形的相似性图形的相似性是指两个或多个图形在形状上相似，但尺寸不同的一种关系。

在解决平面几何问题时，可以利用图形的相似性来推导和证明结论，从而解决问题。

3.3 平面几何的应用平面几何在生活中有着广泛的应用，包括地图制作、建筑设计、工程测量等领域。

在解决实际问题时，可以利用平面几何的知识和方法进行分析和计算，以满足实际需求。

教学设计一、学习目标1、知识与技能：了解平面的概念，会其直观图的画法与表示法，掌握平面的基本性质与推论。

2、过程与方法：以学生熟悉的例子为载体，引入平面，介绍三个公理，并引导学生用图形语言、文字语言、符号语言加以准确描述。

3、情感、态度与价值观：使学生认识到我们所处的世界是三维的，在学习中提高学生的空间想象能力；通过图形、符号、文字之间的转换，体现数学的现实意义，进而增强学生的学习兴趣。

4、教学重点：平面的基本性质与推论及其应用。

教学难点：图形语言、文字语言、符号语言的转化。

5、教学方式：实物教学、类比教学、引导探究式教学用具：纸板两个、三角板一个、四条直线（自制）、三角架、投影仪二、教学过程（一）以一副对联的形式展现本节课的学习要求：“立足课本，夯实基础，学好点线面的位置关系”“利用实物，研究平面，知图形文字符号的转化”横批是本节课的标题“2.1.1平面”设计意图：以新颖的形式展现学习要求，可以增加本节课的趣味性。

（二）学生自己阅读“三维目标，教学方式，教学用具”，教师给出“教学重点和教学难点”设计意图：使学生对整节课的框架简单了解，并强调重难点。

（三）探究发现一：观察生活实例（类比直线）引入平面1、观察教室里的桌面、黑板面，给我们怎样的直观感觉？生活中还有那些物体呈现这样的形象？(给出教室、大海、操场的图片，并引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学生的活动给予评价。

)2、几何中的平面就是从这些物体中抽象出来的，是平的、光滑的、无大小、无厚度，是无限延展的。

（类比直线总结平面的特征）设计意图：通过观察实物，使学生感受平面的形象；通过类比给出平面的特征。

（四）平面的画法及表示1.平面的画法（类比直线的画法）通常用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常化成450，且横边长是邻边长的2倍（有时也用其它图形表示平面，比如三角形）。

水平放置与竖直放置直观图的画法。

2.平面表示（三种）（1）可以用希腊字母表示为“γβα平面平面平面,,”（2）可以用平行四边形的顶点表示为“平面ABCD ”（3）可以用平行四边形的对角线表示为“平面AC 或平面BD ”设计意图：学生观看教师展示实物，并用课件动态展示实物的画法与表示，可以给学生深刻的印象。

2024年随班就读精彩教案数学第二单元：几何图形的探索一、教学目标1.让学生通过观察、操作、推理等方式，认识常见的平面几何图形，如三角形、四边形、圆等。

2.培养学生运用几何图形知识解决实际问题的能力。

3.激发学生学习几何图形的兴趣，培养他们的空间观念和推理能力。

二、教学内容1.几何图形的认识2.几何图形的性质3.几何图形的应用三、教学重点与难点1.重点：让学生掌握各种几何图形的特征和性质。

2.难点：培养学生运用几何图形知识解决实际问题的能力。

四、教学过程第一课时：几何图形的认识1.导入师：同学们，你们在生活中见过哪些几何图形？谁能举例说明？2.探索活动（1）让学生观察教室里的几何图形，如桌子、黑板、窗户等。

师：通过观察，我们发现教室里有很多几何图形，如三角形、四边形、圆等。

下面我们来具体认识这些图形。

4.讲解与讨论（1）讲解三角形、四边形、圆的特征。

（2）引导学生讨论：这些图形在生活中有哪些应用？第二课时：几何图形的性质1.复习导入师：上一节课我们认识了常见的几何图形，那么这些图形有什么性质呢？2.探索活动（1）让学生用尺子、圆规等工具，尝试画出三角形、四边形、圆。

师：通过探索，我们发现三角形、四边形、圆都有一些特殊的性质。

例如，三角形的三条边之和等于180度，四边形的对边平行等。

4.练习与讨论（1）让学生做一些关于几何图形性质的练习题。

（2）引导学生讨论：如何运用这些性质解决实际问题？第三课时：几何图形的应用1.复习导入师：上一节课我们学习了几何图形的性质，那么这些性质在实际生活中有什么应用呢？2.探索活动（1）让学生举例说明几何图形在实际生活中的应用。

（2）引导学生运用几何图形知识解决实际问题。

师：通过探索，我们发现几何图形在生活中的应用非常广泛。

例如，建筑、设计、艺术等领域都需要运用到几何图形。

4.实践活动（1）让学生设计一个几何图形作品，如三角形、四边形、圆等。

（2）展示作品，并进行评价。

名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质（含答案解析）●考试目标主词填空1.平面（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平面是由它内部的所有点组成的点集，其中每个点都是它的元素.2.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.●题型示例点津归纳【例1】在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E. 两条直线【解前点津】 A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同一点；若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.∴应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线是不能确定一个平面的.∴应排除B.对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，后者是不能的.∴应排除C.条件E中的两条直线可能共面，也可能不共面.∴应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】 D.【解后归纳】平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，点A、B都在直线l上；(2)平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内且平行于直线l.【解前点津】注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练，有利于提高分析问题、解决问题的能力.正确使用⊂、⊄、∈、∉、⋂等符号表示空间基本元素之间的位置关系是解决本题的关键.【规范解答】 (1)A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ,如图(1)；(2)α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,如图(2).例2题解图【例3】 如图，已知：l 不属于α,A 、B 、C …∈l ,AA 1⊥α,BB 1⊥α,CC 1⊥α.求证：AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解前点津】 证明n 条直线共面，首先，选择适当的条件，确定一个平面，然后分别证明直线都在此平面内.【规范解答】 证法一 ∵AA 1⊥α,CC 1⊥α,∴AA 1∥CC 1.∴AA 1与CC 1确定平面β,且β⊥α.∵AC ⊂β,即l ⊂β,而B ∈l,∴B ∈β,又知BB 1⊥α,∴BB 1⊂β.∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.证法二 反证法由证法1得β⊥α于A 1C 1，假设BB 1不属于β,在β内作BB ′⊥A 1C 1(如图).∴BB ′⊥α,已知BB 1⊥α,与过一点引面的垂线，有且只有一条矛盾.∴BB 1不属于β是不可能的,∴BB 1⊂β,∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解后归纳】 证明共面的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】 设平行四边形ABCD 的各边和对角线所在的直线与平面α依次相交于A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点，求证:A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【规范解答】 设平行四边形ABCD 所在平面为α,∵A ∈β,B ∈β,∴AB ⊂β,又A 1∈AB,∴A 1∈β,又A 1∈α∴A 1在平面α与平面β的交线上,设交线为l ,则A 1∈l ,同理可证B 1,C 1,D 1,E 1,F 1都在直线l 上,∴A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【解后归纳】 证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线 上,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.α、β是两个不重合的平面，在α上取4个点,在β上取3个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为 ( ).32 C 例3题图例4题图2.下列说法正确的是 ( )A.如果两个平面α、β有一条公共直线a ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB.两平面α、β有一公共点A ，就说α、β相交于过A 的任意一条直线C.两平面α、β有一个公共点，就说α、β相交于A 点，并记作α∩β＝AD.两平面ABC 与DBC 交于线段BC3.下列命题正确的是 ( )A.一点和一条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.相交于同一点的三条直线一定在同一平面内D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内4.设α、β是不重合的两个平面，α∩β＝a ，下面四个命题：①如果点P ∈α，且P∈β，那么P ∈a ；②如果点A ∈α，点B ∈β，那么AB α；③如果点A ∈α，那么点B ∈β；④如果线段AB α，且AB β，那么AB a .其中正确命题的个数是 ( ).1 C5.空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，那么这四点中 ( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ) A.221+ B. 222+ C.21+ D.22+ 7.已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原三角形ABC 的面积为 ( )A.223aB. 243aC. 223a D.26a 8.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的什么条件 ( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思维激活9.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有 个.10.不重合的三个平面把空间分成n 个部分，则n 的可能值为 .11.四条线段首尾相连，它们最多确定平面的个数是 .12.与空间不共面四点距离相等的平面为 个.13.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝１，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 .三、能力提高14.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，l ∩l 1＝Ａ,l ∩l 2＝Ｂ，l ∩l 3＝C .求证：l １、l 2、l 3、l 共面.第14题图15.四个点不共面，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗 已知：A 、B 、C 、D 是不共面四点.求证：它们中任何三点都不共线.16.已知△ABC 的三个顶点都不在平面α上，它的三边AB 、AC 、BC 的延长线交平面α于P 、R 、Q 三点．求证：P 、R 、Q 三点共线．17.已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF .求证：直线EF 、GH 、AC 交于一点.18.已知直线a,b,c ,其中b,c 为异面直线,试就a 与b,c 的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.第1课 平面的概念与性质习题解答C 24C 13+C 23C 13+2=32. 排除法.有三个交点或只有一个交点.②③错在条件不充分.分有三点共线和只有两点共线两类.第17题图根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1．容易求得下底边长为1+2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形．再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S=2211++·2=2+2． 按斜二测画法还原.充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.公共点最多1个，否则直线在平面内，得知直线上所有的点在平面内.,6,7,8.个 可确定C 24-2=4个．个 这四点构成一个四面体，当平面平行于四个面中某一个面时有四个；当平面平行于三对异面直线时有三个.13.(0，3) AC>0，ABCD 为菱形时AC ＝3.14.由l 1∥l 2，知l 1与l 2确定一个平面α，同理l 2、l 3确定一个平面β，由A ∈l 1,l 1α，知A ∈α，同理B ∈α，又A 、B ∈l ，故l α，同理l β.由上知l ∩l 2＝Ｂ，且l 、l 2α,l 、l 2β，因两相交直线l 、l 2确定一个平面，故α与β重合，所以l 1、l 2、l 3、l 共面.15.证明：假设其中有三点共线，如A 、B 、C 在同一直线a 上，点D ∉a .∴点D 和a 可确定一平面α，∴A 、B 、C 、D ∈α.与A 、B 、C 、D 不共面矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面.逆命题不正确.16.如图，∵AP ∩AR =A ,∴AP 与AR 确定平面APR又P 、R ∈α，∴α∩平面APR =PR .又B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC 平面APR ，即Q ∈平面APR ．又Q ∈α，∴Q ∈α∩平面APR =PR .∴P 、Q 、R 三点共线．点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可．17.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝21BD ， ∵F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ， ∴EH ∥FG ，EH ≠FG ，∴四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，设交点为P .∵EF 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .又P ∈平面DAC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC .故P ∈AC ，即EF 、GH 、AC 交于一点P .18.(1)若a 与b,c 都相交,a 与b ,a 与c 都能确定平面,故可确定两个平面.(2)若a 与b ,c 之一相交，不妨设a 与b 相交.①a ∥c ,a 与b ,a 与c 都可确定平面故可确定两个平面.②a 与c 不平行，只a 与b 确定平面，故可确定一个平面.(3)若a 与b ,c 都不相交. 第16题图解①若a与b,c之一平行,不妨设a与b平行，只a与b可确定平面,故确定一个平面.②若a与b,c都不平行，又因为都不相交，故不能确定平面.点评：此题应用启发、引导、归纳法讲解,这样才能达到使学生建立空间概念，加强严密的逻辑思维，并达到复习，巩固“分类讨论”的思想方法.本资料来源于《七彩教育网》。