平面基本性质

课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。

2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。

通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。

3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。

（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。

（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教学重点】平面的基本性质。

因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。

所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。

【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。

因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。

【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。

进行思考、交流，师生共同讨论等学法。

根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。

【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

《平面的基本性质》教学设计第1课时◆教学目标了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用；会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换．◆教学重难点◆教学重点：掌握平面的基本事实及推论．教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力和逻辑能力．问题1：观察如图11－2－2，的凳子，把凳子看成一个平面，思考（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？（2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定制定的两点？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习平面的基本事实与推论.（板书：平面的基本事实与推论）【新知探究】问题2：确定平面的依据是什么？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：基本事实1的作用是什么？预设的答案：基本事实1： 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.符号表示：A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α图形表示：注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”(2)过不共线的3点A ，B ，C 的平面，通常记作平面ABC ，用图象直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.(3)如图的平面α可以看成由不共线的3点A ，B ，C 确定的，此时显然有：,,A B C ααα∈∈∈(4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面设计意图：通过对生活简单事实出发，通过观察分析归纳出平面基本事实．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．问题3：尝试与发现：这就是说，如果A B αα∈∈， ，那么直线AB α∈，如图11－2－4所示．师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实2的作用是什么？预设的答案：基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号表示：A ∈α，B ∈α⇒AB ⊂α图形表示：作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面．例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：如图11－2－6所示，当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的．（1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？（2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实3的作用是什么？预设的答案：基本事实3：文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图形表示：注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有,A a a αβ∈=；（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；（3）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分.作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于P A ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于PC ；(2)平面ABD 与平面BCD 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于AC ．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝PC ．用图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC ＝BD ．平面ABC ∩平面ADC ＝AC ．图形表示如图②.设计意图：用符号语言表示语句． 例2. 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：证明：设直线,,AB BC AC 两两相交，交点分别是,,A B C显然，,,A B C 3点不共线，因此它们能确定一个平面α.因为,,A B αα∈∈ 那么直线AB α⊂同理,AC BC αα⊂⊂即直线,,AB BC AC 都在平面α内.设计意图：基本事实1的运用．例3. 如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上的一点，试说明1,,D A E 3点确定的平面与平面ABCD 相交，并画出这两个平面的交线.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD所以面1D AE ABCD ≠∅，即面1D AE 与面ABCD 相交．延长1D E 与DC ，设它们相交于F ，如图所示，则：F ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ．F ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ．则F ∈面1D AE 面ABCD ，从而AF 为面1D AE 与面ABCD 的交线，如图所示.设计意图：基本事实3的运用．【课堂小结】问题：（1）三个基本事实的作用有哪些？（2）证明几点共线的方法有哪些？（3）证明证明多线共点的方法有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．三个基本事实的作用基本事实1——判定点共面、线共面的依据；基本事实2——判定直线在平面内的依据；基本事实3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明多线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确平面的基本事实的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合设计意图：基本事实的运用．2. 若A ∈平面α，B ∈平面α，C ∈直线AB ，则( )A ．C ∈αB ．C ∉α C ．AB ⊄αD ．AB ∩α＝C设计意图：用符号语言表示语句．3. 经过空间任意三点作平面( )A ．只有一个B ．可作二个C ．可作无数多个D ．只有一个或有无数多个设计意图：基本事实的运用．4. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中．画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．设计意图：基本事实的运用．5. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．设计意图：基本事实的运用．参考答案： 1. D A 错误，不共线的三点可以确定一个平面；B 错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C 错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D 正确，过不共线的三个点有且只有一个平面．2. A 因为A ∈平面α，B ∈平面α，所以AB ⊂α.又因为C ∈直线AB ，所以C ∈α.3. D 当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．4. 如图，∵AC BD O ⋂=，1C DC E ⋂=．∴O ∈平面1AC ，O ∈平面1BC D ．又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ．∴平面 1AC ⋂平面11BC D OC =．同理平面1ACD ⋂平面1BDC OE =．A A 15. 在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ．同理FG ∥BD ，则EH ∥FG .故E ，F ，G ，H 四点共面．。

高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。

教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。

逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。

变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。

资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。

平面及其基本性质知识点1 平面的概念平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象指出: 平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）。

平面的表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。

平面的画法：在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。

一个平面，通常画成水平放置，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长。

两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。

集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。

知识点2 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂．知识点3 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：符号语言：P ∈α,且P ∈β⇒α∩β=l ,且P ∈l .知识点4 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面指出：符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.（证明见课本）指出：推论1的符号语言：A a ∉⇒有且只有一个平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 两条相交直线确定一个平面推论3 两条平行直线有且只有一个平面三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。

例3 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．例4 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行.求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.基础练习：一、选择题：1.下面给出四个命题: ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m 2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是( )A. 0B.1C.2D.32．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ） Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α⊂∈a Ｃ、N α⊂⊂a Ｄ、N α∈⊂a3.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（ ） Ａ.A ααα⊂⇒∈∈∈∈ B B A ,;,Ｂ.βαβαβα⋂⇒∈∈∈∈B B A A ,;,=ABＣ.αα∉⇒∈⊄A A ,Ｄ.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α⇒与β重合4. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ. 无法确定5. 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）Ａ. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线C. AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行D. 直线AB 与CD 必相交6. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）A. 4或6或7个部分B. 4或6或7或8个部分C. 4或7或8个部分D. 6或7或8个部分7．下列说法正确的是( )①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ②③8．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ）A. 1B.１或３C. １或２或3D.１或 4二、填空题：9．水平放置的平面用平行四边形表示时，通常把横边画成邻边的___________倍.10．设平面α与平面β交于直线 , A αα∈∈B ,, 且直线AB C =⋂ ,则直线AB β⋂=_____________.11．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ .12．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ⋂直线FG=M ，则点M 必在直线___________上.三、解答题：13．判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)平行四边形是一个平面; (2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线.14．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O. 求证：B、D、O三点共线.15．证明梯形是平面图形。

立体几何常见结论1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。

（3）。

证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2。

空间直线。

(1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线:共面没有公共点;异面直线：不同在任一平面内,无公共点［注］:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点。

⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等。

（×)（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段)⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =,则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。

(不在任何一个平面内的两条直线）（2). 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等（如右图）。

(直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离:公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交(共面）垂直和异面垂直.[注］：21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内。

高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。

让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。

1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。

平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。

平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。

1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。

讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。

引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。

2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。

平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。

2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。

讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。

讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。

3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。

平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。

3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。

讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。

讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。

4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。

平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。

平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。

因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。

另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。