2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(七)数学(理)试题

2020高考仿真模拟卷(七)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖北荆门四校六月考前模拟)已知集合M ＝{x |x 2<1|，N ＝{y |y ＝log 2x ，x >2}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(∁R N )＝∅C ．M ∩N ＝UD ．M ⊆(∁R N )答案 D解析 由题意得M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{y |y >1}，因为M ∩N ＝∅≠N ，所以A 错误；因为∁R N ＝{y |y ≤1}，M ∩(∁R N )＝{x |－1<x <1}≠∅，所以B 错误；因为M ∩N ＝∅≠U ，所以C 错误；因为M ＝{x |－1<x <1}，∁R N ＝{y |y ≤1}，M ⊆(∁R N )，所以D 正确．故选D.2．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( )A ．8－6iB ．8＋6iC ．－8＋6iD ．－8－6i答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)i ＝8＋6i.3．(2019·四川宜宾第三次诊断)设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．故选B.4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥1B ．y ≤1C ．x －y ＋2≥0D ．x －3y －6≤0答案 C解析 作出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A (3，－1)，B (0,2)，C (0，－3)．这样易判断x ≥1，y ≤1都不恒成立，可排除A ，B ；又直线x －3y －6＝0过点(0，－2)，这样x －3y －6≤0不恒成立，可排除D.故选C.5．在△ABC 中，CA ⊥CB ，CA ＝CB ＝1，D 为AB 的中点，将向量CD →绕点C 按逆时针方向旋转90°得向量CM→，则向量CM →在向量CA →方向上的投影为( )A ．－1B ．1C ．－12 D ．12答案 C解析 如图，以CA ，CB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则CA→＝(1,0)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，且CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，所以向量CM →在向量CA →方向上的投影为CA →·CM →|CA →|＝－12＋01＝－12.6．(2019·湖南长郡中学考前冲刺)从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：A ．140B ．142C ．143D ．144答案 D解析 x －＝20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，所以方差为110×[(20－44)2×1＋(40－44)2×6＋(60－44)2×3]＝144.7．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( ) A ．32 B ．24 C ．12 D ．6答案 B解析 因为(2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，所以a 2＝C 24·22＝24. 8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出，则最后输出的结果等于( )A ．a N ＋1B ．a N ＋2C ．a N ＋1－1D ．a N ＋2－1答案 D解析 第一次循环：i ＝1，a 3＝2，s ＝s 3＝4；第二次循环：i ＝2，a 4＝3，s ＝s 4＝7；第三次循环：i ＝3，a 5＝5，s ＝s 5＝12；第四次循环：i ＝4，a 6＝8，s ＝s 6＝20；第五次循环：i ＝5，a 7＝13，s ＝s 7＝33；…；第N －1次循环：此时i ＋2＝N ＋1>N ，退出循环，故输出s ＝s N ，归纳可得s N ＝a N ＋2－1.故选D.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的周期为πB ．函数y ＝f (x －π)为奇函数C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6上单调递增D ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称答案 C解析 观察图象可得，函数的最小值为－2，所以A ＝2， 又由图象可知函数过点(0，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2，即⎩⎨⎧3＝2sin φ，－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω×5π4＋φ，结合12×2πω<5π4<34×2πω和0<φ<π.可得ω＝1415，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415x ＋π3，显然A 错误；对于B ，f (x －π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1415(x －π)＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415x －3π5，不是奇函数；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415×3π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＋π3≠0，故D 错误，由此可知选C.10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．53C ．4D ．83答案 D解析 如图，该几何体可由棱长为2的正方体截得，其直观图如图所示，则该几何体的体积V ＝V ABE －DCF －V F －ADC ＝12×2×2×2－13×12×2×2×2＝83.11. 如图，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( )A ．13B ．23C ．223D ．2 2答案 C解析 设抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l 1：x ＝－1. 直线y ＝k (x ＋1)(k >0)恒过点P (－1，0)， 过点A ，B 分别作AM ⊥l 1于点M ，BN ⊥l 1于点N ， 由|AM |＝2|BN |，所以点B 为|AP |的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |， 点B 的横坐标为12，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)， 解得k ＝223.12．已知函数f (x )＝－8cos π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，则函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和为( )A ．6B ．7C ．9D ．12答案 A解析 设函数h (x )＝，则h (x )＝＝的图象关于x ＝32对称，设函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，由π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝k π，k ∈Z ，可得x ＝12－k ，k ∈Z ，令k ＝－1 可得x＝32，所以函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，也关于x ＝32对称，由图可知函数h (x )＝＝的图象与函数g (x )＝8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 的图象有4个交点，所以函数f (x )＝－8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点个数为4，所以函数f (x )＝－8cosπ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和为4×32＝6.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC 中，若4cos 2A 2－cos2(B ＋C )＝72，则角A ＝________. 答案 π3解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，即B ＋C ＝π－A ， ∴4cos 2A2－cos2(B ＋C )＝2(1＋cos A )－cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72， ∴2cos 2A －2cos A ＋12＝0，∴cos A ＝12， 又0<A <π，∴A ＝π3.14．欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为b ＝⎠⎛0π2sin x d x cm 的圆面，中间有边长为a ＝4π⎠⎛011－x 2d x cm 的正方形孔，油滴是直径0.2 cm 的球，随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体正好落入孔中的概率是________．答案 425π解析 因为直径为b ＝⎠⎛0π2sin x d x ＝(－2cos x )| π0＝4 cm 的圆中有边长为a ＝4π⎠⎛011－x 2d x ＝4π×π4＝1 cm 的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入孔中”的概率为P ＝S 正方形S 圆＝(1－0.2)2π×22＝425π. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝16，则双曲线C 的离心率为________．答案 52解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为16，所以2a ＝16，a ＝8， 设F (－c,0)，双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝ba x ， 可得|MF |＝bc a 2＋b2＝b ，即有|OM |＝c 2－b 2＝a ，由S △OMF ＝16，可得12ab ＝16，所以b ＝4. 又c ＝a 2＋b 2＝64＋16＝45，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45， 所以双曲线C 的离心率为c a ＝52.16．(2019·贵州凯里一中模拟)已知函数f (x )＝e x 在点P (x 1，f (x 1))处的切线为l 1，g (x )＝ln x 在点Q (x 2，g (x 2))处的切线为l 2，且l 1与l 2的斜率之积为1，则|PQ |的最小值为________．答案2解析 对f (x )，g (x )分别求导，得到f ′(x )＝e x，g ′(x )＝1x ，所以kl 1＝e x 1，kl 2＝1x 2，则e x 1 ·1x2＝1，即e x 1 ＝x 2，x 1＝ln x 2，又因为P (x 1，e x 1 )，Q (x 2，ln x 2)，所以由两点间距离公式可得|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(e x 1 －ln x 2)2＝2(x 2－ln x 2)2，设h (x )＝x －ln x (x >0)，则h ′(x )＝1－1x ，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以x ＝1时，h (x )取极小值，也是最小值，最小值为h (1)＝1， 所以|PQ |2的最小值为2，即|PQ |的最小值为 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若3S 3＝2S 2＋S 4，且a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由3S 3＝2S 2＋S 4，可得2S 3－2S 2＝S 4－S 3. 所以公比q ＝2，又a 5＝32，故a n ＝2n .4分(2)因为b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，6分 所以T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋29分 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12n ＋2－12n ＋4.12分18．(2019·安徽马鞍山一模)(本小题满分12分)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，A 1B ⊥AC 1，AC ＝AA 1＝4，BC ＝2.(1)求证：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；(2)若∠A 1AC ＝60°，在线段AC 上是否存在一点P ，使二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34？若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．解 (1)证明：∵AC ＝AA 1，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，连接A 1C ，则A 1C ⊥AC 1，又A 1B ⊥AC 1，且A 1C ∩A 1B ＝A 1，∴AC 1⊥平面A 1CB ，2分则AC 1⊥BC ，又∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面A 1ACC 1，而BC ⊂平面ABC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .4分(2)以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AC ＝AA 1＝4，BC ＝2，∠A 1AC ＝60°，∴C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (4，0,0)，A 1(2,0,23)．设线段AC 上存在一点P ，满足AP →＝λAC →(0≤λ≤1)，使得二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34，则AP →＝(－4λ，0,0)，BP →＝BA →＋AP →＝(4，－2,0)＋(－4λ，0,0)＝(4－4λ，－2,0)，A 1P →＝A 1A →＋AP →＝(2,0，－23)＋(－4λ，0,0)＝(2－4λ，0，－23)，CA 1→＝(2,0,23)，6分 设平面BA 1P 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎨⎧m ·BP →＝(4－4λ)x 1－2y 1＝0，m ·A 1P →＝(2－4λ)x 1－23z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，2－2λ，1－2λ3，8分 又平面A 1PC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 由|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n | ＝|2－2λ|1＋(2－2λ)2＋(1－2λ)23×1＝34， 解得λ＝43或λ＝34，因为0≤λ≤1，所以λ＝34. 故在线段AC 上存在一点P ，满足AP→＝34AC →，使二面角B －A 1P －C 的平面角的余弦值为34.12分19．(2019·山东威海二模)(本小题满分12分)某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响)，已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表：甲市场n 吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X (单位：吨)表示下个销售周期两市场的需求量，T (单位：元)表示下个销售周期两市场的销售总利润．(1)当n ＝19时，求T 与X 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (2)以销售利润的期望为决策依据，判断n ＝17与n ＝18应选用哪—个． 解 (1)由题意可知，当X ≥19时，T ＝500×19＝9500； 当X <19时，T ＝500×X －(19－X )×100＝600X －1900， 所以T 与X 的函数解析式为T ＝⎩⎪⎨⎪⎧9500，X ≥19，600X －1900，X <19.3分由题意可知，一个销售周期内甲市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.3,0.4,0.3；乙市场的需求量为8,9,10的概率分别为0.2,0.5,0.3.设销售的利润不少于8900元的事件记为A ， 当X ≥19时，T ＝500×19＝9500>8900， 当X <19时，600X －1900≥8900， 解得X ≥18，所以P (A )＝P (X ≥18)． 由题意可知，P (X ＝16)＝0.3×0.2＝0.06； P (X ＝17)＝0.3×0.5＋0.4×0.2＝0.23； 所以P (A )＝P (X ≥18)＝1－0.06－0.23＝0.71. 所以销售利润不少于8900元的概率为0.71.6分 (2)由题意得P (X ＝16)＝0.06， P (X ＝17)＝0.23，P (X ＝18)＝0.4×0.5＋0.3×0.3＋0.3×0.2＝0.35， P (X ＝19)＝0.4×0.3＋0.3×0.5＝0.27， P (X ＝20)＝0.3×0.3＝0.09.8分①当n ＝17时，E (T )＝(500×16－1×100)×0.06＋500×17×0.94＝8464；10分 ②当n ＝18时，E (T )＝(500×16－2×100)×0.06＋(500×17－1×100)×0.23＋18×500×0.71＝8790.因为8464<8790，所以应选n ＝18.12分20．(2019·山东聊城二模)(本小题满分12分)已知以椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形．(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (km ≠0)与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1＋2k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a 2＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，B (x 2，y 2)(x 2y 2≠0)， 则C (－x 1，－y 1)，k AO ＝y 1x 1，因为k AO ·k ＝1，所以k ＝x 1y 1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋2k2，6分所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12k ＝－y 12x 1，因为直线BC 的方程为y ＋y 1＝－y 12x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，由y 1≠0，得x ＝－3x 1，9分 所以M (－3x 1,0)，k 2＝y 1x 1＋3x 1＝y 14x 1，所以k 1＋2k 2＝－y 12x 1＋2×y 14x 1＝0.所以k 1＋2k 2为定值0.12分21．(2019·辽宁沈阳一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －1)2＋m ln x ，m ∈R . (1)当m ＝2时，求函数f (x )的图象在点(1,0)处的切线方程； (2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求f (x 2)x 1的取值范围．解 (1)当m ＝2时，f (x )＝(x －1)2＋2ln x ， 其导数f ′(x )＝2(x －1)＋2x ，所以f ′(1)＝2，即切线斜率为2，又切点为(1,0)， 所以切线的方程为2x －y －2＝0.4分 (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x －1)＋m x ＝2x 2－2x ＋mx，因为x 1，x 2为函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程2x 2－2x ＋m ＝0的两个不等实根，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝m2，(*)又已知x 1<x 2，所以0<x 1<12<x 2<1，f (x 2)x 1＝(x 2－1)2＋m ln x 2x 1，将(*)式代入得f (x 2)x 1＝(x 2－1)2＋2x 2(1－x 2)ln x 21－x 2＝1－x 2＋2x 2ln x 2，8分令g (t )＝1－t ＋2t ln t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g ′(t )＝2ln t ＋1，令g ′(t )＝0，解得t ＝1e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1e 时，g ′(t )<0，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1e 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，g ′(t )>0，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增；所以g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－2e＝1－2e e ，因为g (t )<max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，g (1)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－ln 2<0＝g (1)，所以g (t )<0. 所以f (x 2)x 1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－2e e ，0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点M (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |. 解 (1)对于曲线C ：ρ＝4cos θsin 2θ，可化为ρsin θ＝4ρcos θρsin θ.把互化公式代入，得y ＝4xy ，即y 2＝4x ，为抛物线．(可验证原点也在曲线上)5分(2)根据已知条件可知直线l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为x ＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＋y ＝1，消去x 并整理得y 2＋4y －4＝0，7分 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4. 所以|AB |＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1×(－4)2－4×(－4)＝8.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． 解 (1)由f (x )－f (x ＋1)≤1可得 |2x －1|－|2x ＋1|≤1.所以⎩⎨⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎨⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎨⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，2分于是x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14.4分 所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.5分(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可． 由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋2x ＋1|＝2，8分 当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m的取值范围是(2，＋∞).10分。

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}0,1A x x B x x =>=>，则U A C B ⋂=（ ） A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x <≤C ．{}0x x <D ．{}1x x >【答案】B【解析】求出U C B 后可求U A C B ⋂. 【详解】{}|1U C B x x =≤，故{}|01U A C B x x ⋂=<≤.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题. 2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】先由i1iz z =-，解得z ，再求z ，然后用几何意义判断. 【详解】 因为i1iz z =-， 所以ii(1+i)1i1i (1i)(1+i)22z ===-+--， 所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限.. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数1()nf x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】根据函数1()n f x mx +=是幂函数，得到1m =，再由1()nf x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，得到2n =，然后用函数的单调性判断. 【详解】因为函数1()nf x mx +=是幂函数，所以1m = ，所以1()nf x x +=，又因为1()nf x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以2n =，即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<， 又()f x 为增函数， 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<uuu r uuu r，则双曲线的离心率的范围为（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】根据120CA CA ⋅<uuu r uuu r，所以12ACA ∠为钝角，有a b >求解. 【详解】根据题意，120CA CA ⋅<uuu r uuu r ， 所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a>∴<∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为（ ） A ．15B ．25C ．325D ．425【答案】C【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝，B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝，先明确是条件概率类型，求(),()P A P AB ，再代入公式求解. 【详解】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝； B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140+====C C C C C C C C C C P A P AB x C C C ， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，函数()f x a b =⋅r r 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π=（ ）A ．2B ．74 C ．54D ．1【答案】D【解析】由21(),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，利用数量积运算得到()f x 15sin(2)264x πω=++，再根据函数()f x a b =⋅r r在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，求得周期，确定函数再求值. 【详解】因为213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，所以213()(2cos )cos sin 2ωωω=⋅=++r rf x x x x a b 2131cos sin 22x x ωω=++， 1cos231sin 24x x ωω+=++5113(cos2sin 2)422x x ωω=++15sin(2)264x πω=++，因为函数()f x a b =⋅r r在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π， 所以T π=，22ππω∴=，1ω∴=， 即15()sin(2)264f x x π=++， 所以15()1244f π=-+=.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量，数量积运算及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】根据循环结构，从1i =开始，一一验证，直至5>=S n 时，对应的值. 【详解】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<，2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<，3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<，4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<L ，10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=，11=i ，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<，12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=.所以输出的12.i = 故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.8．设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．6B ．16C ．24D ．48【答案】B【解析】根据AP BD ⊥，有AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r ，根据向量加、减法运算，将(3)()++-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rOB OC OD OA OP OA 转化求解.【详解】 因为AP BD ⊥，所以AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=u u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r u u u ru u u u r u u u ru u u r . 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的加法，减法运算及向量的投影，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.9．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ）A ．[2,13]B ．[4,13]C．D．【答案】A【解析】根据约束条件，作出可行域，目标函数表示表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离的平方，然后用数形结合求解.【详解】由约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离， 由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC =过(1,1)D -作DH AB ⊥于H ，则min 22t DH == 所以[2,13]z ∈. 故选：A 【点睛】本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10．已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +==，012123164nnn n n n a C a C a C a C +++++=L ，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为（ ）A ．160-B ．80-C ．80D ．160【答案】D【解析】根据13n n a a +=，得数列{}n a 为等比数列，求得13-=n n a ，再由012123164nn n n n n a C a C a C a C +++++=L ，确定n ，得到21(1)(2)n x x x--为61(1)(2)x x x -- ，然后利用通项公式求解. 【详解】 因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列， 所以13-=n n a ，所以01200112212313333(13)464,+++++=++++=+==L L n n n n nn n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C ，解得3n =所以21(1)(2)n x x x--61(1)(2)=--x x x，其中61(2)x x -展开式的第r+1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-⋅⋅⋅，令621r -=-，得72r =（舍去）， 令620r -=，得3r = 可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=． 故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为（ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π【答案】B【解析】根据图形，3旋转得到的几何体是两个同底的圆台，再根据圆台的体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求. 【详解】3 旋转得到的几何体是两个同底的圆台， 上底半径为323，高为32 ，所以旋转得到的几何体的体积为2213212[324πππ⨯⨯+=，内部的六边形边长为1旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥，121，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为22112132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π.故选：B【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积，还考查了空间想象的能力，属于中档题. 12．已知函数1,0()ln,0xxf xxxx⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx=-在R上有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．1(0,)eB．1(0,)2eC．1(,)2e-∞D．11(,)2e e【答案】B【解析】根据分段函数，分当0x<，0x>，将问题转化为()f xkx=的零点问题，用数形结合的方法研究.【详解】当0x<时，()21f xkx x==，令()()2312g,'0x g xx x==->，()g x在()0x∈-∞，是增函数，0k>时，()f xkx=有一个零点，当0x>时，()2lnf x xkx x==，令()()23ln12lnh,x xx h xx x-'==当x∈时，h()0x'＞，∴()h x在上单调递增，当)x∈+∞时，h()0x'＜，∴()h x在)+∞上单调递减，所以当x=()h x取得最大值12e，因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.二、填空题13．已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP =________. 【答案】6【解析】根据Q ,F P 间的对称关系，结合点P 在y 轴上，求得点Q 的横坐标，再利用抛物线的定义求解. 【详解】设(),Q m n ,()2,0F 因为Q 为FP 的中点，且点P 在y 轴上， 所以Q 的横坐标为1m =， 由抛物线的定义得，22(12)6==+=FP QF .故答案为：6 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++，其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b a S a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=L __________.【答案】1(1)(21)6n n n ++ 【解析】根据题意，在22()32n b aS a b ab -=+++中，令1,a b n ==，即可得到结论. 【详解】根据题意，令1,a b n ==，22221(1)1(1)1232(21)6n n S n n n n n n -=++++==++++L .故答案为：1(1)(21)6n n n ++ 【点睛】本题主要考查了类比推理，还考查了抽象概括问题的能力，属于基础题.15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为__.3【解析】根据三视图，得到这个几何体为一个放倒的四棱锥，画出直观图，根据三视图，正视图为底面，高为俯视图的高，由体积求得高，得到俯视图的边长即可. 【详解】由三视图可知，几何体为一个四棱锥， 直观图如下，设四棱锥的高为h ， 几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=， 即点E 到平面ABCD 的距离为3， 又因为俯视图三角形底边长为2， 所以俯视图的面积为=⨯⨯=12332s故答案为：3 【点睛】本题主要考查了三视图与直观图，还考查了数形结合的思想和空间想象的能力，属于中档题.16．在ABC V 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且4,6AB AC ==，若ABC V 的面积不小于63，则BECF的最小值为_____. 【答案】91 【解析】根据题意，在ABE △，ACF V 中，利用余弦定理分别求得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，建立BECF模型，然后根据ABC V 的面积不小于63，确定cos A 的范围，再利用函数求最值. 【详解】根据题意，如图所示：因为点,E F 分别为,AC AB 的中点， 所以3,2AE AF ==，在ABE △中，由余弦定理得，2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，在ACF V 中，由余弦定理得，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，所以BECF又因为ABC ∆的面积不少于6，所以1sin 12sin 2△≥=⋅=ABC S AB AC A A所以11sin [,]22∈-A A 当cos A 取最大时，BECF【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和记为n T ，121(1)n n a T n +=+≥，11a =；等差数列{}n b 中，且{}n b 的前n 项和为n S ，1333,27b a S =+=. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.【答案】（1）13,3n n n a b n -== （2）1nn + 【解析】（1）由121(1)n n a T n +=+≥，得到121(2),≥-=+n n a T n 然后两式相减得13(2)n n a a n +=≥ 从而得到数列{}n a 是等比数列，再分别求{}n a 与{}n b 的通项公式.（2）根据（1）得到()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++，再用裂项相消法求和. 【详解】（1）121(1)≥+=+Q n n a T n ， 121(2),≥-∴=+n n a T n12(2),≥+∴-=n n n a a a n 13(2)n n a a n +∴=≥又11a =，2213,3aa a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=.设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=Q ， 3n b n ∴=.（2）由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++所以前n 项和11111(1)()()22311n n A nn n =-+-++-=++L . 【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和之间的关系以及裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）在犯错误的概率不超2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（2）见解析，133【解析】（1）根据列联表，利用公式求得卡方值，对应卡值下结论.（2）根据题意，分四种情况，一是猜2次，2人全是“梅派”传人”，二猜3次是第3次是“梅派”传人，三是猜4次，第4次是“梅派”传人，四是猜5次，分两类，一类是第5次是“梅派”传人，第二类是第5次不是“梅派”传人，分别用古典概型求得概率，列出分布列，求期望. 【详解】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系. （2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.22261(2) 15A P X A ===，112242362(3) 15C C A P X A ===， 123243461(4) 5===C C A P X A ， 13411452441245563(5) 5+===C C A C C C A P X A ， ∴随机变量X 的分布列为：P115 215 15 35∴随机变量X 的期望为：12131323451515553=⨯+⨯+⨯+⨯=EX. 【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.19．在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =u u u u r u u u u r.（1）证明：//CF 平面BDM ；（2）求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）3020【解析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，由:1:2DC EB =，得到:2:1EN CN =，2,=u u u u ru u u u rEM MF 由比例关系得到//MN CF ，再由线面平行的判定定理证明.（2）根据由EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，得四边形AFBE 为平行四边形，由6AF BE ==，3EAF π∠=，得AE EF ⊥，再由,,⊥⊥DE EB DE EA ，得DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥，从而EF ⊥平面ADE ，以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求得平面BMD 和平面AED 得一个法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】 （1）如图所示：连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =Q2,:2:1EM MF EM MF =∴=u u u u r u u u u r，∴//MN CF ，又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .（2）证明：由EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r， 得四边形AFBE 为平行四边形， 所以6AF BE ==，3EAFπ∠=，所以222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥， 又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=I ，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =I ，EF ∴⊥平面ADE以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M -， 所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM =-=-u u u ru u u u r设平面BMD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，所以(,,)(3,33,1)0,(,,)(3,3,0)0n BD x y z n BM x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v v u u u u vv 3330330x z x ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩令y ==rn ，又平面AED 得一个法向量为(0,1,0)m =u r，所以cos ,⋅<>==⋅r u u rr u u r r u u r n m n m n m 又平面BMD 与平面AED 所成的二面角显然为锐角， 所以平面BMD 与平面AED所成的二面角的余弦值20. 【点睛】本题主要考查了线面平行和空间中二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证，空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线2a x c=与x轴的交点为S ，过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长，交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）因为12MF MF ⋅的最大值为4，根据椭圆的定义，利用基本不等式求得a ，再根据直线,MA MB 的斜率之积为34-，有000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，求得b ，写出椭圆方程.（2）由条件知(4,0)S ，设直线l 的方程4x ky =+，与椭圆方程联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x得22(34)24360k y ky +++=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++.，设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+，所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90++++-=ky ky y y y y ，因为要证22'P F PF =.根据椭圆的对称性，只要证得点P 与 P '关于x 轴对称， 即01x x =01=-y y .【详解】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-， 故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）根据题意，(4,0)S ，所以设直线l 的方程4x ky =+，联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，222(24)436(34)144(4)0k k k ∆=-⨯+=->，即24k >.设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++. 设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+，所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90++++-=ky ky y y y y ， 所以2022229,(3)34-=++y y ky y 所以2022222229927(34)1827(34)18--==++++++y y k y ky k y k y111936211827()3-==-++--y k k y y .所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -， 所以22'P F PF =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.21．已知函数()m x f x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.（1）若函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； （2）设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，若2M N >，求实数t 的取值范围.【答案】（1）a <2）(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞U【解析】（1）根据()m xf x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.有'(1)1,f =-(1)1,f =求得函数()f x .然后将函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，转化为()0f x '≤存在取值区间求解；（2）根据2(1)1()xx t x G x e+-+=，求导()(1)'()xx t x G x e---=，根据[0,1]x ∈，分①当1t ≥时，②当0t ≤时，③当01t <<时，三种情况讨论值域，然后再分别研究2M N >成立，确定实数t 范围.【详解】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=， 又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=. （1）由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++， 若函数()f x 存在单调减区间， 则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a ≤当a =1()(sin cos )x f x e x x -'=-+当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+<，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+=，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭24x k ππ=+.当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+>，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭x ∈R 且24x k ππ≠+所以a =.故a <（2）因为2(1)1()xx t x G x e+-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---= ①当1t ≥时，()0'≤G x ，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <， 所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32et >-； ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增， 所以2(0)(1)G G <，即32te-<，得32t e <-， ③当01t <<时，在[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减， 在(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增， 所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t te e+-⋅<*. 令1()t t p t e +=，(0,1)t ∈，则()0t t p t e -'=<，所以1()t t p t e+=在(0,1)t ∈上单调递减， 故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式（*）无解， 综上所述，(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞U . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数与函数的极值，最值问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.22．已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P的极坐标)2π. （1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值. 【答案】（1）4πρ=，2cos sin 60ρθθ--+=.（2）【解析】（1）根据cos ,sin ,x y ρθρθ== 分别求解直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程.（2）由直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程联立得2660ρρ-+=，再求弦长12AB ρρ=-P 到直线'l 的距离d ，代入面积公式求解.【详解】（1）因为直线'l 的普通方程为0x y -=， 所以直线'l 的极坐标方程4πθ=，因为曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以曲线C的极坐标方程2cos sin 60ρθθ--+=. （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=- 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PAB S =⨯=V 【点睛】本题主要考查了普通方程，极坐标方程，参数方程间的转化，以及直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值. 【答案】（1）(3,2)(3,4)--U .（2）92【解析】（1）根据题意，利用绝对值的几何意义，转化函数22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，再分类讨论解不等式.（2）由()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，再根据0,0a b >>，()f x 的最小值为a b c ++，即2a b c ++=，然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值. 【详解】 （1）根据题意，22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，因为8()10f x <<所以210228x x ≥⎧⎨>+>⎩或110428x x ≤-⎧⎨>->⎩，解得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--U .（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立， 又0,0a b >>，所以a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++， 所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c abcabcabcabc++=++++=+++++++++=≥. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法，基本不等式的应用，还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{|20}M x x =-<，2{|4N y Z y x =∈=-+，}x R ∈，则()M N R 的子集有（ ） A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个2．已知i 是虚数单位，则20171i 1()1i i++=- （ ） A ．0B ．1C ．iD ．2i3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，若12PF PF b -=，且双曲线的焦距为则该双曲线方程为 （ ）A ．2214x y -=B ．22132x y -=C ．2214y x -=D ．22123x y -=4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）5．2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（ ） A ．6种B ．24种C ．36种D ．42种6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足259,,a a a 成等比数列，则5775S S =（ ） A ．57B ．79C ．1011D ．11237．要得到函数()cos(2)+13f x x π=-的图象，只需把22cos y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向上平移1个单位 D ．向上平移2个单位8．运行如图所示的程序，输出的结果为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．89．已知某函数在[,]-ππ上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．sin 2x y =B ．cos ||y x x =+C ．ln |cos |y x =D ．sin y x x =+10．若不等式组40300px qy px qy qx y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩表示的平面区域为Ω，当点(1,2)-在Ω内(包括边界)时，64p q +的最大值和最小值之和为（ ）A ．52-B ．22-C ．38D ．2611．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,AB OD AD ===异面直线CD 与AB 所成角为30，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为 （ ）A．B．CD12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：01x ≤≤时，()33f x x x =-+，且()()11f x f x -=+，若方程()()log 1+1(0,1)a f x x a a =+>≠恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(5，6) B ．(6，8)C ．(7，8)D ．(10，12)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：1(,,)()00,1[0,1]q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩当为整数为既约分数当或上的无理数，若()f x 是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则17()(lg 20)3f f +=______________.14．已知点A 在圆224x y+=上，点B 的坐标为(1,1)，点O 为坐标原点，则OAOB ⋅的最大值为______________.15．已知,,[4,4]a b c ∈-_________.16．过抛物线28y x =的焦点作直线1:l y kx m =+与21:(0,1)l y x nk k k=+≠≠±，若直线1l 与抛物线交于,A B ，直线2l 与抛物线交于,C D ，且AB 的中点为,M CD 的中点为N ，则直线MN 与x 轴的交点坐标为______________.三、解答题17．在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+，且ABC 的面积为（1）求bc 的值； （2）若2b c =，求a .18．如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD ，且4,MC MD CD BC ====，N 为BC 中点.（1）求证：AN MN ⊥； （2）求二面角A MN C --的大小.19．2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.（1）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？（2）若月饼消费量不低于2500克者视为“月饼超级爱好者”，若按照分层抽样的方法抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人颁发奖品，用ξ表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求ξ的分布列与期望值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>其左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，四边形1122A B A B 与四边形1122F B F B的面积之和为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，OM ON ⊥(其中O 为坐标原点)，当2528k m +取得最小值时，求MON △的面积. 21．已知函数212()x x mf x e--=(其中m 为常数). （1）若()y f x =在[1,4]上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若21()()x x g x f x e -=-在[1,2]上的最大值为32e，求m 的值. 22．直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 4=0m ρρθ--(其中0m >).（1）点M 的直角坐标为(2,2)，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，当α变化时，求直线被曲线C 截得的弦长的取值范围. 23．选修4—5不等式选讲已知函数()||||()f x x m x m =-+∈R . （1）若(1)1f =，解关于x 的不等式()2f x ；（2）若2()f x m ≥对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】首先求出集合M ，N ，从而求出RM ，进而求出()M N R ，由此能求出()M N R 的子集个数． 【详解】 解：集合{|20}{|2}M x x x x =-<=<，2{|4N y Z y x =∈=-+，}{|4}x R y Z y ∈=∈， {|2}R M x x ∴=，则(){}2,3,4M N =R ， ()M N ∴R 共有328=个子集．故选：C ． 【点睛】本题考查补集、交集的子集个数的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．A 【解析】由题意可得：201720171101i i i i i i i+⎛⎫+=-=-= ⎪-⎝⎭. 本题选择A 选项.3．C 【解析】由题意可得：122222{2PF PF a b c a b c -===+= ，解得：221{4a b == ，则该双曲线方程为2214y x -=.本题选择C 选项.4．D 【解析】由题意可得，该几何体是半圆柱，其中底面半径为1R = ，圆柱的高为2h = ，该几何体的表面积为：21222121342S πππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯=+ .本题选择D 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．5．B 【解析】 【分析】小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛，即前两个频道没转播，第三个在转播的情况，采用分步原理再排列问题得以解决． 【详解】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，再把2个报道的频道选1个有12A 种， 根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有214224A A =种．故选：B ． 【点睛】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最最基本的指导思想，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差的关系，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值． 【详解】解：设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，因为2a ，5a ，9a 成等比数列，可得2529a a a =， 即2111(4)()(8)a d a d a d +=++， 整理可得18a d =，故1553741775()7821025583117()2a a S a d d S a d d a a ⨯++====+⨯+． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 7．B 【解析】由题意可得：22cos cos 21cos 2163y x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，据此可知：要得到函数()cos 2+13f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把22cos y x =的图象向右平移6π个单位. 本题选择B 选项.点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 8．D 【解析】列表得出S ，k 的值如下：据此可得：输出值为：833log 6561log 38== .本题选择D 选项.9．A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及特殊值，用排除法直接求解． 【详解】解：易知，选项B ，C 均为偶函数，其图象应关于y 轴对称，不符合题意，故排除BC ； 又由图可知，当0x =时，函数值大于0，而选项D ，当0x =时，sin0|0|0y =+=，故排除D ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数图象确定解析式，考查排除法的运用，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 【详解】解：当点(1,2)-在Ω内时，有24023020p q p q q -+-≤⎧⎪--+≥⎨⎪--≤⎩，即24023020p q p q q -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，画出不等式组表示的平面区域如图所示.其中点17,24A ⎛⎫-⎪⎝⎭，(8,2)B --，(7,2)C -，则6+4p q 在点B 处取得最小值56-，在点C 处取得最大值34，故最大值与最小值之和为22-. 故选：B ． 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 11．C 【解析】由条件可知AB OD ∥ ，所以，CDO ∠ 为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠= ，而6OD =，故tan 3023OC OD =⋅=，在直角梯形ABOD 中，易得6OB = ，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由()(222226684R =++= ，故R =本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．B 【解析】01x ≤≤ 时，33f xx x ， ()()2'310f x x ∴=--≥ ,故()f x 在[0,1]上单调递增，且()()00,12f f == ，由()()11f x f x -=+ 可知函数()f x 是周期为2的周期函数，而函数()y f x = 与()log 11a y x =++ 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在0, 有6个不同交点，显然1a > ，结合图象可得()()log 5112{log 7112a a ++<++> ，即log 61{log 81a a <> ，故68a << .本题选择B 选项.13．13【解析】 【分析】结合已知函数解析式及函数的周期进行转化即可求解． 【详解】解：由函数的最小正周期为1可得172211(20)5(12)(2)033333f f lg f f lg f f lg ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：13． 【点睛】本题主要考查利用函数的周期性求解函数值，属于基础题．14．【解析】 【分析】设点A 的坐标为(,)m n ，由题意知224m n +=，利用基本不等式计算OA OB m n =+的最大值即可． 【详解】解：设点A 的坐标为(,)m n ，则224m n +=， 所以11OA OB m n m n =⨯+⨯=+； 设t m n =+，则2222224248t m n mn mn m n =++=+++=，当且仅当m n =所以22t -，所以OA OB 的最大值为故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 15．8 【解析】 【分析】设x y z =，不妨设a b c ≥≥，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】设x y z =，不妨设a b c ≥≥， 则222,,x a b y b c z a c =-=-=-，故222x y z +=，所以，可设cos ,sin x z y z θθ==(0)2πθ≤≤，0z ≤≤(sin cos x y z θθ+=++)4z z πθ=+=≤，当且仅当4,0,4a b c ===-时取等号8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查利用三角换元法及三角恒等变换中的辅助角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16．(2,0)- 【解析】 【分析】由条件可知两条直线都过焦点(2,0)F ，则直线1:(2)l y k x =-，直线21:(2)l y x k=-，联立直线1l 与抛物线方程，利用韦达定理得到点M 的坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得点N 的坐标为2(42k +，4)k ，进而求出直线MN 的方程，令0y =即可得到直线MN 与x 轴的交点坐标． 【详解】解：由条件可知两条直线都过焦点(2,0)F ，则直线1:(2)l y k x =-，直线21:(2)l y x k=-，由28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩ 可得2222(48)40k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y 2(B x ，2)y ，则212248k x x k ++=，1212128(2)(2)()4y y k x k x k x x k k+=-+-=+-=， 则点M 的坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 同理可得点N 的坐标为()242,4k k +， 则直线MN 的方程为224(42)1ky k x k k -=--+，令0y =可得2x =-， 即直线MN 与x 轴的交点为(2,0)-， 故答案为：(2,0)-． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．17．（1）8bc =（2）a =【解析】 【分析】（1）运用两角和的正弦公式、同角的基本关系式，化简可得sin A ，再由三角形的面积公式，可得bc 的值；（2）求得b ，c 的值，由余弦定理计算即可得到所求a 的值．【详解】解：（1）1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+sin()sin B C A =+=， 即sin 2sin (sin 0)cos AA A A=->， 可得1cos 2A =-，(0)A π<<，sin A ∴=由ABC ∆的面积为可得1sin 2bc A ==解得8bc =；（2）2b c =，且8bc =， 解得4b =，2c =，则22212cos 164242()282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=，解得a = 【点睛】本题考查两角和的正弦公式、同角的基本关系式和正弦定理、余弦定理以及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 18．（1）证明见解析（2）135° 【解析】 【分析】（1）取CD 的中点O ，连接OA ，OM ，ON ，推导出MO CD ⊥，MO ⊥平面ABCD ，由此能证明AN MN ⊥．（2）以O 为原点，OM ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，CD 的垂直平分线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角A MN C --的大小．【详解】解：（1）证明：取CD 的中点O ，连接OA ，OM ，ON ， MC MD =，O 为CD 中点，MO CD ∴⊥，又平面MCD ⊥平面BCD ，MO ⊂平面MCD ，平面MCD 平面BCD CD =，MO ∴⊥平面ABCD ，则MO =ON =6OA =，22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=，22248AM MO OA =+=，222MN AN AM ∴+=，AN MN ∴⊥．（2）如图，以O 为原点，,OM OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，CD 的垂直平分线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,2,(0,2,0)A C -，(0,2,M N ，∴(22,NM =--，(22,AM =-，(22,0)CM =-设平面AMN 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1100AM n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111112020y y ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩，令12z =可得1(6,n =.同理可得平面MNC 的一个法向量为2(1,3,0)n =.∴1212122cos ,2||||n n n n n n ⋅<>==⋅. 由图可知二面角A MN C --为钝角，故二面角A MN C --的大小为135︒.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 19．（1）128.25（吨）（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1500(0.00010.00020.00030.0004)2-+++，进而得出人均消费月饼的数量及其喜欢吃月饼的人数所占比例，看作概率，即可得出该厂生产的月饼数量．（2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人．则ξ的可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出． 【详解】解：（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1500(0.00010.00020.00030.0004)=0.252-+++，则人均消费月饼的数量为：7500.0002500+12500.000450017500.2522500.25⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯27500.000350032500.00015001900+⨯⨯+⨯⨯=（克），喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+409=14014， 根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：919003000000.35=12825000014⨯⨯⨯(克)128.25=(吨). （2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人.则ξ的可能取值为0，1，2，且3122182828333101010771(0),(1),(2)151515C C C C C P P P C C C ξξξ=========， 则ξ的分布列为ξ的期望值为：77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、组合数的计算公式、随机变量的概率分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）2214x y +=（2）17【解析】【分析】（1）根据题意得2222112222422c e a c a b a b c b ⎧==⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⨯⨯+⨯⨯=+⎪⎩，解得a ，b ，c ，进而得出椭圆的方程．（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立直线l 与椭圆的方程得222(14)8440k x kmx m +++-=，由韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y ，因为OM ON ⊥，所以12120OM ON x x y y =+=，解得22445k m +=，当2k =-时，2528k m +有最小值，再分析三角形MON 面积即可．【详解】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则四边形1122A B A B 与四边形1122F B F B 的面积之和为：1122222(22b c a b b a c ⨯⨯+⨯⨯=+，c a =222a b c =+可得1,2c b a =，∴2()a a 2a =，则1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222(41)8440k x kmx m +++-=，设点1122(,),(,)M x y N x y ，则2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，即2241m k <+，2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， 则2212121212()()=()y y kx m kx m k x x km x x m =+++++，由OM ON ⊥可得0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，∴221212(+1)()=0kx x km x x m+++，即22222448(+1)()=04141m km k km m k k -⋅+⋅-+++， 整理可得22445k m +=，代入2241m k <+可得，该不等式恒成立.2225112(1)2(41)822k m k k k k +=++=++，当2k =-时，2528k m +取得最小值，此时224445k m +==，则||2m =，原点到直线l 的距离12|d MN x x ===-=1717，故MON ∆的面积为11||22MN d ⋅=. 【点睛】本题考查椭圆的方程的计算，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题． 21．（1）[7,+)∞（2）3ln 22m =- 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性的关系可转化为()0f x '在[1,4]上恒成立，分离参数后转化为求解函数的最值问题；（2）结合导数与单调性的关系对m 进行分类讨论，进而可求函数的最大值，结合已知最值即可求解． 【详解】解：（1）由212()x x mf x e--=可得21212122122(2)422'()=()x x x x e e x m x m f x e e -------++=，由()y f x =在[1,4]上单调递增可得'()0f x ≥在[1,4]上恒成立，即214220x x m e--++≥，∴21x m +≤，[1,4]x ∈，2[2,8]x ∴∈ 故只需81m +≤，∴7m ≥，即实数m 的取值范围是[7,+)∞. （2）212121212()()==x x x x xx m x x mg x f x ee e e ------=--，∴2121212212()221'()()x x x x e e x m x m g x e e-------++==. ①当214m +≥，即32m ≥时，'()0g x >在(1,2)上恒成立，故()g x 在(1,2)上单调递增， 则()g x 在[1,2]上的最大值为3322(2)=m g e e -=，故0m =，不满足32m ≥； ②当212m +≤，即12m ≤时，)'(0g x <在(1,2)上恒成立，故()g x 在(1,2)上单调递减， 则()g x 在[]1,2上的最大值为312(1)=m g e e -=，故221m e=-，不满足12m ≤，舍去；③当2214m <+<，即1322m <<时，由'()0g x =可得212m x +=.212m x +<时，'()0g x >；当212m x +>时，)'(0g x <，即()g x 在211,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在21,22m +⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故()g x 的最大值为2221211222m m m mm g e e +-+⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴2312=2m e e ，即2314m e -=，所以，3ln 22m =-. 0<ln 21<，∴133<ln 2<222-，∴3ln 22m =-，符合条件1322m <<. 综上可知，3ln 22m =-. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及最值，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．22．（1）(1,+)∞；（2）【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得实数m 的取值范围是1, ；(2)由题意结合极坐标方程可得12|ρρ- .试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为2224=0x y mx +--，即()222+4x m y m -+=，由点M 在曲线C 的内部可得()22222<+4m m -+，解之得1m >，即实数m 的取值范围是(1,+)∞.（2）直线l 的极坐标方程为=θα，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得 24cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为12,ρρ，则1212+=4cos ,=4ρραρρ-. 则直线l 与曲线C 截得的弦长为12|ρρ-=，,即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是.23．（1）13(,)22-；（2）[1,1]-【解析】 试题分析：(1)由题意可得1m = ，零点分段可得不等式的解集为13(,)22- ；(2)由题意结合不等式的性质可得实数m 的不等式，求解不等式可得实数m 的取值范围是[]1,1-.试题解析：（1）由()11f =可得111m -+=，故1m =.由()2f x <可得1<2x x -+.①当0x <时，不等式可变为(1)2x x --<，解之得12x >-,∴ 1<<02x -； ②当01x ≤≤时，不等式可变为()12x x -+<，即12<,∴ 01x ≤≤； ③当1x >时，不等式可变为()12x x -+<，解之得32x <,∴ 31<2x <. 综上可知，原不等式的解集为13(,)22-. （2）由绝对值不等式的性质可得()()f x x m x x m x m =-+≥--=， 当且仅当()0x m x -≤时等号成立，故()f x 的最小值为m . 故只需2m m ≥，即()10m m -≤， 故1m ≤，即11m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,1-.。

安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟卷（四）理测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U 是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x =∈--N ≤，3{|1log 2}B x U x =∈<≤，则()U A B =I ð （ ）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}4D ．{}52．在复平面内，复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，则复数12z z的共轭复数的虚部为 （ ） A ．32 B ．32-C ．12 D ．12-3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 （ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．执行如图所示程序框图输出的S 值为 （ ）A ．2021B ．1921C ．215231D ．3575065．已知函数()f x 的定义域为D ，满足：①对任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=，②对任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数()f x 叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是 （ ）A ．()tan f x x =B ．()sin f x x x =+C ．2()ln2xf x x-=+ D ．()x xf x e e -=-6．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:i x0.04 1 4.84 10.24 i y1.12.12.33.34.2若依据表中数据画出散点图，则样本点i i 都在曲线1y x =+附近波动.但由于某种原因表中一个x 值被污损，将方程1y x =+作为回归方程，则根据回归方程1y x =+和表中数据可求得被污损数据为（ ） A ． 4.32-B ．1.69C ．1.96D ．4.327．已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为 （ ） A ．40B ．9C ．8D ．728．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．164π+B ．484π+C ．4812π+D ．4816π+10．在四棱锥A BCDE -中，ABC △是边长为6的正三角形，BCDE 是正方形，平面ABC ⊥平面BCDE ，则该四棱锥的外接球的体积为 （ ）A ．2121πB ．84πC ．721πD ．2821π11．在DEF △中，曲线P 上动点Q 满足3(1)34DQ DF DE λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，4DE =,9cos 16D =，若曲线P 与直线,DE DF 围成封闭区域的面积为157，则sin E = （ ） A ．37B ．18C ．7 D ．3412．若()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--（1x >）恰有1个零点，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[0,+)∞B ．1{0}[,)4+∞U C (,)e +∞D ．(0,1)(1,)+∞U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知2(2)nx y -+展开式的各项系数和为128，则展开式中含43x y 项的系数为 .14．在梯形ABCD 中，//AD BC ,0AB BC ⋅=u u u r u u u r ,||2AB =u u u r ,||4BC =u u u r ，AC BD E =I ,AC BD ⊥u u u r u u u r，则向量AE CD ⋅u u u r u u u r= .15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,||)2A πωφ>><图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为5(,2),(,0)612ππ，则()()cos2g x f x x =在区间[0,)4π的值域为 .16．已知直线l 与抛物线2:4G y x =自下到上交于,A B ，C 是抛物线G 准线与直线l 的交点，F 是抛物线G 的焦点，若2AC AF =-u u u r u u u r，则以AB 为直径的圆的方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n+==+++.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望.19．（12分）在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，BCE △为正三角形.（1）求证：DE BC ⊥；（2）若平面ABCD ⊥平面BCE ，求直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值.20．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N是平面内两点，满足122F M MF =-u u u u r u u u u r，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若与圆221x y +=相切的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r （其中O 为坐标原点)的取值范围.21．（12分）已知()sin xf x e ax x =-+.（1）若函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与圆221x y +=相切，求实数a 的值.（2）已知()ln(1)1g x x =++，当0x ≥时()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .23．（10分）选修4—5不等式选讲（1）已知函数()|21||2|f x x x =++-，当23x -≤≤时，()f x m ≤恒成立，求实数m 的最小值.（2）已知正实数,a b 满足，a b ab +=，求22a b +的最小值.2020届模拟04理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】由题可知，{}0,1,2,3,4,5U =,{}0,1,2,3,4A =，{}4,5B =，则{}()0,1,2,3U A B =I ð，故选B.2．【答案】B 【解析】由题知，1212i,1i z z =-+=+，所以1212i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)22z z -+-+-===+++-，其共轭复数为13i 22-，故虚部为32-，故选B.3．【答案】B 【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则19959()985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=尺，故选B. 4．【答案】D 【解析】由程序框图知，输出11111324352123S =++++⨯⨯⨯⨯L 111111[(1)()()232435=-+-+-++L 111111357()]1)2123222223506-=+--=（，故选D. 5．【答案】B 【解析】由任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=知()f x 是奇函数，由任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->知()f x 是增函数，因为()tan f x x =在定义域上是奇函数，但在定义域上不是单增函数，故A 错；因为()sin f x x x =+是奇函数，()1cos 0f x x '=+≥，所以在定义域上是增函数，故B 正确；由增性排除C,D.故选B.6．【答案】C 【解析】设缺失的数据为,(1,2,3,4,5)i i x m x i ==，则样本(,)i i m y 数据如下表所示：i m 0.2 1 2.2 3.2 i y1.12.12.33.34.2其回归直线方程为ˆ1ym =+，由表中数据额可得， 1.1 2.1 2.3 3.3 4. 2.652y =++++=（），由线性回归方程ˆ1ym =+得， 1.6m =，即10.21 2.2 3.2=1.65x ++++（），解得 1.96x =.故选C. 7．【答案】D 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，设22222(1)1z x y x x y =++=++-表示可行域内点(,)P x y 与点(1,0)A -距离的平方减去1，由题知min z k ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线，由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的距离223211=+，所以2min 327()12z =-=，故选D.8．【答案】C 【解析】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点，由三角形中位线定理知221||||,//2OM PF OM PF =，由双曲线定义知12||||2PF PF a -=，因为1OF M △周长为111211||||||||||322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+，所以12||||6PF PF a +=， 解得12||4,||2PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222(2)(4)(2)242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为2y x =±，故选C.9．【答案】A 【解析】由三视图知，该三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体，四棱锥可以看成是以两直角边分别为3,4的直角三角形为底面，高为4的棱柱截去一个体积为棱柱体积13的棱锥得到的，故该几何体的体积为22111434431643243ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选A.第9题图 第10题图 第12题图 10．【答案】D 【解析】取BC 的中点为M ，,N F 分别是正三角形ABC 的中心和正方形BCDE 的中心，O 是该四棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM FM OF ON OM OB ，则N 在线段AM 上，OF ⊥平面BCDE ，ON ⊥平面ABC ，OM ⊥BC ，AM ⊥BC ，MF ⊥BC ，所以∠AMF 为二面角A —BC —D 的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AM ⊥MF ，又33,3AM MF ==，所以133NM AM ==，所以四边形OEMF 为矩形，所以23OM =，在直角三角形OMB 中，球半径2222(23)321OB OM BM =+=+=，所以外接球的体积为34π(21)2821π=，故选D. 11．【答案】A 【解析】设31,43DB DE DA DF ==u u u ru u ur u u u r u u u r ，则,B A 在直线,DE DF 上，且3||||34DB DE ==，1||||3DA DF =，由3(1)34DQ DF DE λλ=+-u u u r u u u r u u u r 知，(1)DQ DA DB λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，所以点Q 在直线AB 上，故曲线P 与直线,DE DF 围成封闭区域就是DAB △，由9cos 16D =得，57sin D =，所以1||||sin 2DAB S DA DB D =△157157||32DA =⨯⨯=，解得||2DA =，所以||6DF =，由余弦定理知，222229||||||2||||cos 462462516EF DE DF DE DF D =+-=+-⨯⨯⨯=，解得||5EF =， 由正弦定理得，||||sin sin DF EF E D=，所以6||sin 16sin ||5DF D E EF ===，故选A. B ．【答案】B 【解析】由()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--(1)x >恰有1个零点，方程ln (1)ln 0ax x e a x x +--=(1)x >恰有1个解，即方程()ln xa x e e x=-+(1)x >恰有1个解，即函数()ln xg x x=(1)x >的图象与直线()y a x e e =-+(1)x >在(1,)+∞上恰有1个交点，因为2ln 1()ln x g x x-'=，当1x e <<时，()0g x '＜，当x e >时，()0g x '＞，所以()g x 在区间(1,)e 上都是减函数，在(,)e +∞是增函数，当x e =时，()g x 取极小值()g e e =，直线()y a x e e =-+过点(,)e e ，斜率为a ，显然(,)e e 是函数()ln xg x x=(1)x >的图象与直线()y a x e e =-+(1)x >的一个交点，这两个图象不能有其他交点，作出函数ln xy x =(1)x >与()y a x e e =-+的图象，由图可知，当x e ＞时，直线()y a x e e =-+应在函数()ln xg x x=（1x >）的图象上方，设()()()ln xx a x e e x e xϕ=--->， 即()0x ϕ<恒成立，因为()0e ϕ=,∴只需()x ϕ为减函数，所以2ln 1()0ln x x a xϕ-'=-≤， 即2ln 1ln x a x -≥恒成立，设2ln 1()()ln x m x x e x-=>，设ln 1t x =-，则0t >，211()1(1)42t m t t t t ===+++，当且仅当1t t =，即1t =，即ln 11x -=， 即2x e =时，max 1[()]4m t =，所以14a ≥，当0a =时，直线()y a x e e =-+与ln xy x =(1)x >相切，也适合，故满足题意a 的取值范围为1{0}[,)4+∞U ，故选B.13．【答案】840-【解析】令1x y ==得，2128n =，解得7n =，将27(2)x y -+看成7个22x y -+相乘，要得到含43x y 项，则这7个因式中2个因式取2x ，余下5个因式中3个取y -，余下2个因式取2，所以含43x y 项的系数为233275(1)2840C C -⨯=-.14．【答案】165-【解析】由0AB BC ⋅=u u u r u u u r 知，AB BC ⊥，以B 为原点，以向量,BC BA u u u r u u u r 分别为,x y轴的正方向建立平面直角坐标系，则(0,2),(0,0),(4,0)A B C ，设(,2)D a ，则(,2),(4,2)BD a CA ==-u u u r u u u r，所以440BD AC a ⋅=-+=u u u r u u u r ，解得1a =，所以(1,2)D ，设(,2)BE BD λλλ==u u u r u u u r，所以(,2)E λλ，所以(,22)AE λλ=-u u u r ，因为E 在AC 上，所以//AE AC u u u r u u u r ，所以24(22)0λλ+-=，解得45λ=，所以42,55AE =u u u r （-），(3,2)CD =-u u u r ，所以165CD AE ⋅=-u u u r u u u r .15．【答案】3(0,]2【解析】由题知，2A =，541264T πππ=-=，所以2T ππω==，解得2ω=，由2sin(2)26πφ⨯+=，||2πφ<，解得6πφ=，所以()2sin(2)6f x x π=+，所以2()()cos22sin(2)cos23sin 2cos2cos 26g x f x x x x x x xπ==+=+311sin 4cos422x x =++1sin(4)62x π=++，因为04x π<≤，所以74666x πππ+<≤，所以1sin(4)126x π-<+≤，所以130()sin(4)422g x x π<=++≤，所以()g x 在区间[0,)4π的值域为3(0,]2. 16．【答案】2252364()()39x y -+-=【解析】因为2AC AF =-u u u r u u u r ，所以焦点F 在直线l 上，且||2||AC AF =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，由抛物线定义知，||||AD AF =，所以||1cos ||2AD DAC AC ∠==，所以3DAC π∠=，即直线l 的倾斜角为3π，所以直线l 方程为3(1)y x =-，代入24y x =整理得，231030x x -+=，设1222(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点坐标为00(,)x y ，则12103x x +=，所以12163AB p x x =++=，120523x x x +==，∴00233(1)y x =-=，所以以AB 为直径的圆的方程为2252364()()39x y -+-=.17．【解析】（1）由题知1n a +=1n n S S +-=3(1)(2)n a n n ++，即1321n n a an n+=⨯++， 即113(1)1n n a an n++=++，（2分） Q 111,130a a =∴+=≠，10na n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，（4分）∴13n na n+=，∴3n n a n n =⨯-；（6分）（2）由（1）知，3nn a n n =⨯-，∴221312323333n n T n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-L221323333123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-----L L ，（7分）设221323333nn M n =⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①∴23131323(1)33n n n M n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②①-②得，123113(13)(12)3323333331322n n n n n n n M n n +++---=++++-⨯=-⨯=--L ， ∴1(21)3344n n n M +-=+，Q (1)1232n n n +-----=-L ，（11分）∴1(21)3(1)3424n n n n n T +-+=-+.（12分）18．【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，Q 成绩在[50,60)内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，（2分） ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（4分）（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5， 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，∴X的可能取值为0,1,2,3,4，（5分）∴223222541(0)20C C P X C C ===；11221123232222543(1)10C C C C C C P X C C +===， 221111222223223222547(2)15C C C C C C C C P X C C ++===，21111222232222541(3)6C C C C C C P X C C +===， 222222541(4)60C C P X C C ===.（10分） ∴X 的分布列为X 01234P12031071516160（11分）∴137119()012342010156605E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接,,EO DO BD ，Q BCE △为正三角形,∴EO BC ⊥， Q ABCD 为菱形，3DCB π∠=,∴BCD △为正三角形，∴DO BC ⊥，Q DO EO O =I ,∴BC ⊥平面DOE ,∴BC DE ⊥.（5分）（2）由（1）知，DO BC ⊥，Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，∴DO ⊥平面BCE ，（6分） 以O 为原点，,,OE OC OD 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2BC =， 直线AE 与平面CDE 所成的角θ，则(0,1,0),(0,0,3),(3,0,0),(0,2,3)C D E A -， 则(3,2,3),(3,1,0),(0,1,3)EA EC CD =--=-=-u u u ru u u ru u u u u r，（7分） 设平面CDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则3030EC x y CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1x =， 则3y =,1z =,∴(1,3,1)n =，（9分）∴||3233|6sin |||105EA EA θ⋅--+===⋅⨯u u u ru u u r n |n |,∴直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值为6.（12分） 20．【解析】（1）连接2PF ,Q 122F M MF =-u u u u r u u u u r,∴122F F F M =u u u u r u u u u u r，∴2F 是线段1F M的中点，Q P 是线段1F N 的中点，∴21//2PF MN=，由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，∴1F MN△周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=，由离心率为12知，12ca =，解得2,1a c ==，∴2223b ac =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分） （2）当直线l 的斜率不存在时，直线1x =±，代入椭圆方程22143x y +=解得32y =±，此时95144OA OB ⋅=-=-u u u r u u u r ，（5分）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由直线l 与圆221x y +=相切知，211k=+，221m k ∴=+，（6分）将直线l 方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，222222(8)4(34)(412)48(43)4832)0km k m k m k ∆=-+-=-+=+（＞，（8分）1212()()y y kx m kx m =++=2222222221212222(412)8312()343434k m k m m k k x x km x x m m k k k --+++=-+=+++，2221212224123123434m m k OA OB x x y y k k --⋅=+=+++u u u r u u u r 222222712125555344341612m k k k k k --+==-=--+++，Q 2161212k +≥，∴2110161212k <+≤，∴2550121612k --<+≤， ∴5534OA OB -⋅-u u u r u u u r ≤＜，（11分）综上所述，OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围为55[,]34--.（12分） 21．【解析】（1）由题知，()cos x f x e a x '=-+，(0)1f =，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线斜率为(0)2f a '=-，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为(2)1y a x =-+，即(2)10a x y --+=，（2分）1=，解得2a =.（4分）（2）设()()()sin ln(1)1x h x f x g x e ax x x =-=-+-+-∴1()cos 1xh x e a x x '=-+-+，（5分） 设1()cos 1xm x e a x x =-+-+，∴21()sin (1)xm x e x x '=-++， Q 当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤，210(1)x >+，∴()0m x '＞， ∴()m x 即()h x '在[0,)+∞上是增函数，(0)1h a '=-，（7分）当1a ≤时，10a -≥，则当0x ≥时，()(0)10h x h a ''=-≥≥，∴函数()h x 在[0,)+∞上是增函数，∴当0x ≥时，()(0)0h x h =≥，满足题意，（9分）当1a >时，(0)10h a '=-＜，Q ()h x '在[0,)+∞上是增函数，x趋近于正无穷大时，()h x '趋近于正无穷大，∴存在0(0,)x ∈+∞上，使0()0h x '=，当00x x <<时，0()()0h x h x ''=＜，∴函数()h x 在0(0,)x 是减函数，∴当00x x <<时，()(0)0h x h =＜，不满足题意，（11分）综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞.（12分） 22．【解析】（1）由2247cos 2ρθ=-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，（3分）由题知直线l的标准参数方程为1xy⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t是参数）.（5分）（2）设直线l与曲线C交点,A B对应的参数分别为12,t t，将直线l的标准参数方程为1xy⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t是参数）代入曲线C方程22143x y+=整理得，27180t--=，∴1212187t t t t+==-，（8分）∴1224||||7AB t t=-.（10分）23．【解析】（1）Q113,21()3,2231,2x xf x x xx x⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，（2分）∴()f x在区间1[2,]2--上是减函数，在区间1[,3]2-是增函数，Q(2)7,(3)8f f-==，∴()f x在区间[2,3]-上的最大值为8，∴8m≥，∴实数m的最小值为8.（5分）（2）Q a b ab+=，0,0a b>>，∴111a b+=，∴22222222211()()22()28b a b aa b a ba b a b a b+=++=+++++≥，当且仅当2222a bb a=且b aa b=，即a b=时，22a b+取最小值8.∴22a b+的最小值为8.（10分）。

2020届模拟06理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{3x A x =>,{}2N 12110B x x x =∈-+<，则A B =I （）A. {}2,3,4B. {}2,3,4,5C. {}5,6,7,8,9,10D. {}6,7,8,9,10【答案】C【解析】【分析】对集合A 和B 进行化简，然后根据集合交集运算，得到答案.【详解】集合{3x A x =>3x >9233x >， 解得92x >， 所以集合92A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭. 集合{}2N 12110B x x x =∈-+<，212110x x -+<，()()1110x x --<， 的解得111x <<，所以集合{}2,3,4,5,6,7,8,9,10B =，所以A B =I {}5,6,7,8,9,10.故选：C.【点睛】本题考查解指数不等式，解一元二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为（） A. 131i 55-+ B. 131i 55-- C. 131i 55+ D. 131i 55-【答案】A【解析】【分析】根据()()i 2i 35i a b ++=-得到,a b 的值，从而得到复数z ，在得到复数z 的共轭复数.【详解】因为()()i 2i 35i a b ++=-，所以()()2235a b a b i i -++=-，所以2325a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得15135a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以13155z b ai i =-=--所以复数z 的共轭复数为131i 55-+.故选：A.【点睛】本题考查根据复数相等求参数的值，求共轭复数，属于简单题.3.已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ） A. 真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -> B. 真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥ C. 假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -> D. 假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥ 【答案】B【解析】【分析】 根据命题，当6x π=时，判断出命题p 为真命题，根据含有一个量词的命题的否定，写出命题p 的否定. 【详解】命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -<， 当0,62x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，32923sin 066326ππππ-⨯-=-=<， 所以命题p 为真命题；命题p 的否定为：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥. 故选：B.【点睛】本题考查判断命题的真假，含有一个量词的命题的否定，属于简单题.4.已知向量()2,a m =-r ，()1,b n =r ，若()a b b -r r r ∥，且b =r m 的值为（ ）A. 2B. 4C. 2-或2D. 4-或4【答案】C【解析】【分析】根据已知得到a b -r r 的坐标，然后根据()a b b -r r r ∥，b =r m ，n 的方程组，从而得到答案.【详解】向量()2,a m =-r ，()1,b n =r ，所以()3,a b m n -=--r r ，因为()a b b -r r r ∥，b =r所以()2312n m n n ⎧-=-⎨+=⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=-⎩ 所以m 的值为2-或2.故选：C.【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题.5.运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填（ ）A. 30S <B. 62S <C. 62S ≤D. 128S <【解析】【分析】根据框图得到S 和k 的变化规律，根据输出的k 的值为6，得到6k =时S 的值，从而得到判断语句，得到答案.【详解】根据框图可知，0,1S k ==，12S =，2k =，1222,3S k =+=，123222,4S k =++=12342222,5S k =+++=1234522222,6S k =++++=要使k 的输出值为6，此时()52126212S -==-， 所以判断框内的语句可以为62S <.故选：B.【点睛】本题考查框图中根据输出值填写判断语句，属于简单题.6.()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒（ ）A. 12+B. 12 C. 12- D. 12--【答案】A【解析】根据诱导公式，两角和的正切公式的逆用，对条件中的式子进行化简，结合特殊角的三角函数值，得到答案.【详解】()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒++︒()tan 75tan 45cos 18060sin 30sin 60sin1201tan 75tan 45︒-︒=︒+︒︒+︒︒++︒︒cos60sin30sin60sin120tan30=-︒︒+︒︒+︒1122=-⨯++12=. 故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，属于简单题.7.已知函数()321ln 333x f x x x x x-=++++，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于1x =-对称B. 函数()f x 的图象关于1y =-对称C. 函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，根据定义域得到对称中心的横坐标或者对称轴，然后进行判断，得到答案.【详解】函数()321ln 333x f x x x x x-=++++， 所以103x x->+，解得31x -<< 即函数()f x 的定义域为()3,1-，若函数()f x 的对称中心横坐标为1-，或者对称轴为1x =-，则()()()()3232ln 232321x f x x x x x+--=+--+--+--- 323ln 3321x x x x x+=----- 此时得到()()2f x f x ≠--所以()f x 不是关于1x =-对称，()()2f x f x +--323213ln 33ln 33231x x x x x x x x x x-+=++++----+- 2=-.所以函数()f x 关于()1,1--成中心对称.故选：D.【点睛】本题考查判断函数的对称性，求函数的对称中心，属于中档题.8.将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ） A. ()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z B. ()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C. ()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z D. ()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z【答案】C【解析】【分析】根据平移，得到平移后的解析式()g x ，然后由对称轴为2x π=，得到ω的表达式，从而得到ω的最小值，确定出()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递增区间.【详解】函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位， 得到()sin 43g x x ππω⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 图象关于2x π=对称， 所以2432k ππππωπ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ， 整理得1043k ω=+，k ∈Z ， 因为0>ω，所以当0k =时，ω的最小值为103， 所以()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 10222332k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ， 解得3320545k x k ππππ-≤≤++，k ∈Z ， 所以()f x 的单调增区间为()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z . 故选：C.【点睛】本题考查函数平移后的解析式，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，求正弦型函数的单调区间，属于简单题.9.已知实数,x y 满足343125510x y x y x +⎧≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪-≥⎪⎪⎩，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，然后得到过点A 时，z 取最小值，根据0z ≥恒成立，得到关于m 的不等式，从而得到m 的范围，确定出答案. 【详解】实数,x y 满足343125510x y x y x +⎧≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪-≥⎪⎪⎩，根据约束条件，画出可行域，如图所示，将目标函数3z mx y =--化为斜截式3y mx z =--，根据选项可知m 的值为正，即直线斜率大于0所以当直线3y mx z =--过A 点时，在y 轴上的截距3z --最大，即z 最小，解13525x x y =⎧⎨+=⎩得1225x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即221,5A ⎛⎫⎪⎝⎭ 此时min 2235z m =--因为0z ≥恒成立，所以22305m --≥ 解得375m ≥，所以m 不可取值为7. 故选：A.【点睛】本题考查线性规划求最小值，考查了数形结合的思想，属于中档题. 10.已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（）A. 1B.D. 2的【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，得到将几何体放入到长方体中，根据长方体棱长，求出几何体的各棱的长度，从而得到最短的棱长.-，如图所示，【详解】根据三视图还原出几何体，为三棱锥A BCD根据三视图中的数据，可将几何体放入长为1，宽为2，高为2的长方体中，则B，C为长方体侧棱的中点，-中，所以由图可知三棱锥A BCD最短棱为AB CD===.故选：B. 的【点睛】本题考查三视图还原几何体，根据三视图求几何体的最短棱长，属于中档题.11.已知椭圆222:19x y C b +=的离心率为3，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r的取值范围为（ ） A. 125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. []25,1--D. []5,1--【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率，求出b 的值，得到椭圆的标准方程，然后根据()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，结合PM PN ⊥，得到PM MN ⋅uuu r uuu r的坐标表示，得到关于x 的函数，结合x 的范围，得到答案.【详解】椭圆222:19x y C b+=的3a =，其离心率为3，所以3c a =，所以c =所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为22+19x y =，设(),P x y ，[]3,3x ∈-，则()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2PM PN PM =⋅-u u u u r u u u r u u u u r因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，所以()2222PM MN PM x y ⎡⎤⋅=-=--+⎣⎦uuu r uuu r uuu r ()22219x x ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦2891942x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以PM MN ⋅uuu r uuu r 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为94x =，所以当94x =时，取得最大值为12- 当3x =-时，取得最小值为25-，所以125,2PM MN ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦uuu r uuu r .故选：A.【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题.12.已知函数()212ln xf x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. (],3-∞B. (],4-∞C. (],5-∞D. (],6-∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，将不等式()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-两边同时乘以12x x -，变形为()()12221211f x f x mx x ->-，不妨设12x x >，则()()122212f x f x x x m m -<-，构造新函数()()21,0,m g x f x x x e ⎛⎫⎛⎤=-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则需()10,0,g x x e ⎛⎫⎛⎤'≤∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立，即()min 22ln m x ?，求解即可.【详解】Q ()212ln xf x x -=∴()()()()()()2223212ln 12ln 4ln 1x x x x x f x xx ''----'==Q 函数()f x 的定义域为10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦∴()0f x '<，即函数()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.Q 121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1222120x x x x +∴> ∴()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-变形为()()()()1212122212x x f x f x mx x x x+->-即()()12221211f x f x mx x ->- 不妨设12x x >，则()()12f x f x <，221211x x < 即()()122212f x f x x x m m-<- 令2212ln 1()(),0,m m x g x f x x x x e ⎛⎫--⎛⎤=-=∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 则()()()()()2223212ln 1ln 424ln m x x x m x m xg x x x ''------++'==若使得对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立. 则需()10,0,g x x e ⎛⎫⎛⎤'≤∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立. 则1424ln 0,0,m x x e⎛⎫⎛⎤-++≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.即122ln ,0,m x x e⎛⎫⎛⎤≤-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立. 所以()min 122ln 22ln4m x e≤-=-=. 即实数m 的取值范围是(],4-∞. 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13.杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为_____________. 【答案】253 【解析】 【分析】根据23n =，共有24个数，则所求为这一行的倒数第3个数，找到每一行倒数第3个数的规律，从而得到所求.【详解】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数， 观察可知，每一行倒数第3个数（从第3行，2n =开始） 为1，3，6，10，15，⋅⋅⋅，即为122⨯，232´，342⨯，452⨯，562⨯，⋅⋅⋅，()12n n -， 所以当23n =时，左往右第22个数为22232532⨯=. 故答案为：253.【点睛】本题考查数字中的归纳推理，属于中档题.14.多项式822x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 项的系数为______. 【答案】420 【解析】 【分析】先确定多项式882222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦的通项()82182rrr r T C x -+⎛=- ⎝，再求二项式82rx -⎛ ⎝的通项51622182k r kkk rTCx---+-=，然后根据516272r k --=，求解，即可. 【详解】多项式882222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦的通项为()82182rrr r T C x -+⎛=- ⎝由题意可知，r N ∈且8r ≤若求7x项的系数，则需求二项式82rx -⎛⎝中含7x 项二项式82rx -⎛+ ⎝的通项为：()516221628222188822kk kr k r r kkk k k k k rr r T Cx C xC x ---------+---=== 由题意可知，k ∈N 且8k r ≤- 令516272r k --=即5292r k += 若使得r N ∈且8r ≤，k ∈N 且8k r ≤-成立 则2k r ==则所求系数为()22228622420C C --=.故答案为：420【点睛】本题考查二项式定理，属于中档题.15.已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且//AB CD ，12AB CD =，PA PB AD ==，PA AD CD +==PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为_____________.【答案】52π 【解析】 【分析】根据已知条件，求出四棱锥P ABCD -中各棱的长度，四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在平面ABCD 的射影为CD 中点G ，PF AB ⊥得到F 为AB 中点，作OE PF ⊥，得到OG EF d ==，3OE FG ==，利用勾股定理得到关于d 的方程，解得d 的值，再求出半径R 的值，从而求出外接球的表面积.【详解】因为四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =,PA PB AD ==,PA AD CD +==PA PB AB AD BC =====3ADCπ∠=；取CD 的中点G ，则G 是等腰梯形ABCD 外接圆圆心； 设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，所以O 在平面ABCD 的射影为G ，作PF AB ⊥于F ，则F 为AB 中点，3PF =因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB = 所以PF ⊥平面ABCD ，而FG ⊂平面ABCD ，所以PF FG ⊥ 由PF OG P ，可得在平面PAGF 中，作OE PF ⊥， 则OG EF d ==，3OE FG ==由22OP OC =，可得2222OE PE OG GC +=+，即()(22293d d +-=+，解得1d =，所以R ==，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为2452ππ⨯=.、故答案为：52π.【点睛】本题考查求四棱锥外接球的表面积，确定球心的位置，属于中档题.16.如图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥，4MPN π⎛⎫∠+ ⎪⎝⎭22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为_____________.【答案】54【解析】 【分析】设MQN θ∠=，在NPQ ∆中，利用余弦定理，表示出2NP 4MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭4MPN π∠=，从而把MNP ∆的面积用NP 表示，然后得到四边形MNQP 面积关于θ的函数，从而得到其最大值.【详解】设MQN θ∠=，在NPQ ∆中，由余弦定理得2222cos NP NQ PQ NQ PQ θ=+-⋅⋅54cos θ=-，4MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭sin 14MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，所以4MPN π∠=，因为MN MP ⊥，所以MNP ∆为等腰直角三角形， 所以215cos 44MNP S NP θ∆==- 121sin sin 2NPQ S θθ∆=⨯⨯⨯=所以5cos sin 4MNQP MNP NPQ S S S θθ∆∆=+=-+544πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以当34θπ=时，MNQP S面积最大，最大值为54+故答案为：54+【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，辅助角公式，正弦型函数的最值，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围. 【答案】（1）13-=n n a ； （2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】 【分析】（1）根据题意得到13n na a +=，根据22a +是13,a a 的等差中项，得到1a 的值，从而得到{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知1113n n a -=，利用等比数列的求和，得到n T ，由n T M <恒成立，得到M 的取值范围. 【详解】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n naa +=-，所以13n n aa +=； 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+， 所以()1112329a a a +=+， 解得11a =；数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ；（2）由（1）可知1113n n a -=， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，1123111111133n n n T a a a a -=+++⋯+=++⋯+ 1131331123213nn⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-， 因为n T M <恒成立， 所以32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查等差中项的应用，求等比数列的通项，等比数列求和，属于简单题.18.某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望. 【答案】（1）14（2）见解析，2 【解析】 【分析】（1）甲、乙同时参加围棋比赛为相互独立事件，由于甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，则甲参加围棋比赛的概率为12，乙同时参加围棋比赛的概率为13241C C ⨯，利用相互独立事件的概率乘法公式,计算即可.（2）已知甲同学必选“中国象棋”，则甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数ξ的可能取值为1，2，3，则乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为12.分别求解()1P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，即可. 【详解】（1）由题意可知，甲、乙同时参加围棋比赛的概率132411124C p C ⨯=⨯=. （2）由题意可知，选择“中国象棋”比赛的人数ξ的可能取值为1，2，3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为1324112C C ⨯=； ()111111224P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1211121222P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭()1113224P ξ==⨯=ξ的分布列为：故所求期望()1111232424E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的概率分布列及数学期望，属于中档题.19.如图，三棱锥1-E EBC 中，90EBC ∠=o ，,A D 分别为,EB EC 的中点，1224AE EB BC ===，1E A AD ⊥；连接1111,,,EE E BE C E D ，平面1AE D ⊥平面ABCD .（1）证明：1EE BC ⊥；（2）求二面角1C BE D --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）根面面垂直的性质定理可知1E A ⊥底面ABCD ，从而证明1E A BC ⊥，根据题意以及线面垂直的判定定理可知，BC ⊥平面1BEE ，再根据线面垂直的性质定理，证明即可.（2）以1,,AE AD AE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，确定平面1E BC 的法向量1(2,0,2)EE =-u u u v，平面1E BD 的法向量()1,2,1m =-u r，利用111cos ,m EE m EE m EE =⨯u r u u u ru r u u u r g u r u u u r ，求解即可.【详解】（1）Q1E A AD ⊥，平面1AE D ⊥平面ABCD平面1AE D I 平面ABCD AD =，1E A ⊂平面1AE D∴1E A ⊥底面ABCD又Q BC ⊂底面ABCD∴1E A BC ⊥ Q 90EBC ∠=oBC BE ∴⊥Q 1E A BE A =I ，1E A ⊂平面1BEE ，BE ⊂平面1BEE ∴BC ⊥平面1BEE1EE ⊂Q 平面1BEE ∴1EE BC ⊥（2）由（1）可知，1E A ⊥底面ABCD ，1EE BC ⊥Q BE ⊂底面ABCD1E A BE ∴⊥以1,,AE AD AE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，()2,0,0E ，()2,0,0B -，()2,2,0C -，()0,1,0D ，()10,0,2E ，即()12,0,2EE =-u u u r ，()12,0,2BE =u u u r ，()10,1,2DE =-u u u u r1122220EE BE =-⨯+⨯=u u u r u u u rQ g∴11EE BE ⊥Q 1BE BC B =I ，1BE ⊂平面1E BC ，BC ⊂平面1E BC ∴1EE ⊥平面1E BC ，即平面1E BC 的法向量为1(2,0,2)EE =-u u u v．设平面1E BD 的法向量为(,,)m x y z =u r，1122020m BE x z m DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，即x z =-，2y z = 取1z =，则()1,2,1m =-u r. 则111210212cos ,m EE m EE m EE -⨯-+⨯+⨯====⨯u r u u u ru r u u u r g u r uu u r ∴二面角1C BE D --【点睛】本题考查由线线垂直的证明以及求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10y xC a b a b +=>>的离心率为12，点23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线l 与圆22:20x y y Ω++=相切，且与椭圆C 交于,M N 两点.探究：在椭圆C 上是否存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，若存在，请求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143y x +=（2）存在，()()2,00,2-U 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组22223448193b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 求解即可.（2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r.设直线()():,0,0l y k x t k t =+≠≠，圆心()0,1-到直线l 的距离等于半径11=，整理的221t k t =-，直线l 与椭圆联立得，()222224363120k xk tx k t +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=+，根据OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r ，表示出点()()22268,4343k t kt Q m k m k ⎛⎫ ⎪- ⎪++⎝⎭，代入椭圆得2242242222424()441211143()11t t t t m t t t t t t-===+++++-，求解即可.【详解】（1）依题意，12c e a ===，故2234b a =①.将233P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中，可得2248193a b +=②. 联立①②，解得224,3a b ==故椭圆C 的标准方程为22143y x +=.（2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u ru u u ru u u r. 依题意，设直线()():,0,0l y k x t k t =+≠≠，因为直线()():,0,0l y k x t k t =+≠≠与圆22:20x y y Ω++=相切， 所以圆心()0,1-到直线l 的距离等于半径11=整理得2222=0k t kt k +-.当1t =±时，不合题意，舍去；的当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得221tk t =-，把()():,0,0l y k x t k t =+≠≠代入椭圆C的方程22143y x +=得：()222224363120k x k tx k t +++-=.易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 相交，设()()1122,,,M x y N x y ，则2122643k tx x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=+， ()()()12121228243kty y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=+，()212122268,,4343k t kt OM ON x x y y k k ⎛⎫+=++=- ⎪++⎝⎭u u u u r u u u r . 因为OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，故()()22268,4343k t ktOQ m k m k ⎛⎫ ⎪=-⎪++⎝⎭uuu r ， 即Q 的坐标为()()22268,4343k t ktQ m k m k ⎛⎫ ⎪-⎪++⎝⎭. 又因为Q 在椭圆上，所以()()22222864343143ktk t m k m k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 得2222443k t m k=+. 把221t k t =-代入得224222422422444111121431t t t t m t t t t t t ⎛⎫ ⎪-⎝⎭===++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭； 因为210t >，所以421111t t++>，204m <<， 即20m -<<或02m <<，综上所述实数m 的取值范围为()()2,00,2-U .【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆位置关系问题，属于较难的题.21.已知函数()e mxf x x =.（1）若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2e ，求函数()f x 在[]22-,上的最小值； （2）若关于x 的方程()1f x x =在()0,∞+上有两个解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1e --（2）2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先求()mx mxf x e mxe '=+，导数的几何意义求解1m =，利用导数求函数的最值，即可.（2）由题意可知()211100mx mxx e f x xe x x x-=⇔-=⇔=，若使得关于x 的方程()1f x x =在()0,∞+上有两个解，则需2e10mxx -=在()0,∞+有两个解. 令()2e1mxx x ϕ=-，()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+，利用导数研究函数的极值与最值，令20m ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】（1）由题意可知，()mx mxf x e mxe '=+，则()()112mmmf e me m e e '=+=+=，即1m =，故()()1xxxf x e xe x e '=+=+；令()0f x '=，即1x =-；当1x ≤-时()0f x '≤，()f x 在[]2,1--上单调递减. 当1x >-时()0f x '<，()f x 在(]1,2上单调递增.因为()222f e =，()22222f e e --=-=-，()111f e e--=-=- 所以222122e e e e e-=-<-< 故函数()f x 在[]22-,上的最小值为()11f e --=-. （2）依题意，()211100mx mxx e f x xe x x x-=⇔-=⇔=；若使得关于x 的方程()1f x x=在()0,∞+上有两个解 则需2e 10mx x -=在()0,∞+有两个解. 令()2e 1mx x xϕ=-，()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+．①当0m ≥时，()()e 20mxx x mx ϕ'=+>所以()y x ϕ=在()0,∞+上单调递增．由零点存在性定理，()y x ϕ=在()0,∞+至多一个零点，不符合题意舍去．②当0m <时，令()e 20mxx mx +=，则2x m=-．因为()01ϕ=-，()1e 10mϕ=-<，所以要使()2e 1mx x xϕ=-在()0,∞+内有两个零点，则20mϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可，即224e m <， 又因为0m <，所以20e m -<<综上所述，实数m 的取值范围为2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，以及利用导数研究函数零点问题，属于较难的一道题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）()22:24C x y -+=；:0l x y -+=； （2【解析】【分析】（1）曲线C 的参数方程化简消参后得到普通方程，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，对直线l 的极坐标方程进行化简，得到l 的直角坐标方程； （2）根据变换规则，得到变换后的曲线1C 的方程，写出其参数方程，从而得到曲线1C 上任一点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合正弦型函数的值域，得到最小值.【详解】（1）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） 所以22cos 2sin x y θθ-=⎧⎨=⎩，两式平方后相加得()2224x y -+=， 即曲线C 的普通方程为：()2224x y -+=.直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即cos sin 022ρθρθ-+=cos sin 0ρθρθ-+=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y -+=（2）曲线C ：()2224x y -+=向左平移2个单位， 得到224x y +=， 再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12得到2244x y +=， 即曲线221:14y C x +=； 所以曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数)， 设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为：则d ==其中1tan 2ϕ=-)，当()sin 1θϕ+=时，d所以点P 到直线l . 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，曲线方程的平移和伸缩，参数方程的应用，属于中档题.23.已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()3,4； （2）(][),62,-∞-+∞U . 【解析】【分析】（1）根据题意得到223x x ->-，可以先确定3x >，从而去掉绝对值，化一次不等式，得到解集；（2）分2m ≥-和2m <-，得到()112f x x ++的分段形式，从而得到其最小值，然后根据()1122f x x ++≥恒成立，得到关于m 的不等式，解得m 的范围. 【详解】（1）当2m =时，不等式()23f x x >-，即223x x ->-，因为20-≥x ，所以3x >，所以由223x x ->-，得()223x x ->-， 解得4x <，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4； （2）依题意，当2m ≥-，()31,21111,22231,22x m x mf x x x m x m x m x ⎧+-≥⎪⎪⎪++=-++-≤≤⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩， 故()min 11122m f x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，因为不等式()1122f x x ++≥恒成立， 所以122m +≥，解得2m ≥； 当2m <-时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<≤-⎨⎪⎪-+-≤⎪⎩， 故()min 11122m f x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦， 因为不等式()1122f x x ++≥恒成立， 所以122m --≥，解得6m ≤-； 综上所述，实数m 的值为(][),62,-∞-+∞U .【点睛】本题考查含绝对值的不等式，求分段函数的最小值，不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.。

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷数学（理）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{3x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则A B =I （ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为 （ ） A ．131i 55-+ B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55- 3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且=b ，则实数m 的值为 （ ）A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或45．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填 （ ）A ．30S <B ．62S <C ．62S ≤D ．128S <6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒ （ ）A．12B．12 C．12-+D．12-7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称 B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称 C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称 D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z B ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZD ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为 （ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）A ．1 BCD ．211．已知椭圆222:19x y C b +=，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r的取值范围为 （ ） A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--12．已知函数()212ln x f x x -=的定义域为1(0,]e ，若对任意的12,x x 1(0,]e ∈， ()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．(,3]-∞B ．(,4]-∞C ．(,5]-∞D ．(,6]-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为 .14．多项式822x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 项的系数为 . 15．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且AB CD //，12AB CD =，PA PB AD ==，PA AD CD +==PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD-外接球的表面积为 .第15题图 第16题图16．如第16题图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥4MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.19．（12分）如图，三棱锥1-E EBC 中，90EBC ∠=︒，124AE EB BC ===，,A D 分别为,EB EC 的中点，1E A AD ⊥；连接1111,,,EE E B E C E D ，平面1AE D ⊥平面ABCD . （1）证明：1EE BC ⊥；（2）求二面角1C BE D --的余弦值.20．（12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为12，点23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线l 与圆22:20x y y Ω++=相切，且与椭圆C 交于,M N 两点.探究：在椭圆C 上是否存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，若存在，请求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数()emxf x x =.（1）若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2e ，求函数()f x 在[]2,2-上的最小值；（2）若关于x 的方程()1f x x=在()0,+∞上有两个解，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为22cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos04πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；（2）将曲线C向左平移2个单位，再将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C，求曲线1C上的点到直线l的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．【答案】C【解析】依题意，集合{9293332xx A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=>=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭， {}{}{}2121101112,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x =∈-+<∈<<N =N =，故{}5,6,7,8,9,10A B =I ，故选C.2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()35i 2i 35i 113i i 2i 2i 2i 5a b ----+===++-，故113,55a b ==-，故131i i 55z b a =-=--， 故复数z 的共轭复数为131i 55z =-+，故选A. 3．【答案】B 【解析】不妨取04x π=，此时0023sin 02x x π-=<，故命题p 为真；特称命题的否定 为全称命题，故:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥，故选B.4．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数， 观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051，1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253.5．【答案】B 【解析】运行该程序，第一次，2,2S k ==；第二次，6,3S k ==；第三次，14,4S k ==； 第四次，30,5S k ==；第五次；62,6S k ==；第六次，126,7S k ==；观察可知，判断框中可以填“62S <” 故选B.6．【答案】A 【解析】依题意，()cos240sin30sin 60sin120︒︒--︒︒sin30cos120cos30sin120=︒︒+︒︒1sin1502=︒=；00tan 751tan 75tan 45tan 301tan 751tan 75tan 45-︒-︒==︒=++︒︒；故原式的值为12，故选A. 7．【答案】D 【解析】依题意，()()()()321ln1121x f x x x -+=++-++，将函数()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数32ln 2xy x x-=++的图象，这是一个奇函数，图象关于(0,0)中心对称，故 函数()321ln333xf x x x x x-=++++的对称中心为(1,1)--，故选D. 8．【答案】C 【解析】依题意，将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到sin 43y x ωππω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，此时()2432k k ωπωππππ--=+∈Z ， 解得()546k k ωπππ=+∈Z ，故()1043k k ω=+∈Z ，故ω的最小值为103故()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令()10222332k x k k πππππ--∈++Z ≤≤，解得()10522636k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，即()3320545k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，故选C.9．【答案】A 【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出()()221,1,1,,5,25A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；要使0z ≥恒成立，需且仅需130223055230m m m --⎧⎪⎪--⎨⎪⎪--⎩≥≥≥解得375m ≥；故m 的取值不可能为7，故选A.第9题答案图 第10题答案图10．【答案】B 【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为AC 或BD ，均为2，故选B.11．【答案】A 【解析】依题意，()22PM MN PM PN PM PM PN PM PM ⋅=⋅-=⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；因为22219b e =-=，故21b =；设(),M x y ，则()2,PM x y =--uuu r，故()2222222282444414599x x PM x y x x y x x x =-+=-++=-++-=-+uuu r ，[]3,3x ∈-，可知，当3x =-时，2PM uuu r 有最大值25，当94x =时，2PM uuu r 有小值12；故PM MN ⋅u u u r u u u r 的取值范围为125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选A. 12．【答案】B 【解析】()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-，可得122212()()11f x f x m x x ->-，令21()()g f x x =，则()ln g x x x x =+，其中，2[e ,)x ∈+∞，()2ln g x x '=+，又2[e ,)x ∈+∞，则()2ln 4g x x '=+≥，即122212()()411f x f x x x ->-，因此实数m 的取值范围是(,4]-∞，故选B.13．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.14．【答案】420【解析】依题意，多项式8222x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，要凑出7x ，则必须有四个2x ，两个2x ，以及两个2-，故所求系数为()224284124202C C ⎛⎫⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭.15．【答案】52π【解析】因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD //，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =，,43PA PB AD PA AD CD ==+===23PA PB AB AD BC ====， 故3ADC π∠=；取CD 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD外接圆圆心；F 是PAB △外心，作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面PAB ，则O 是四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且3,2OF GE PF ===；设四棱锥P ABCD -的外接球半径R ，则22213R PF OF =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积是52π.16．【答案】524+【解析】因为2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，故42MPN ππ∠+=， 故4MPN π∠=，故MNP △是等腰直角三角形；在QNP △中，2,1QN QP ==，由余弦定理，254cos NP Q =-；2211os 42c 45MNP S MN NP Q =-==△； 又1sin 2sin QNP S NQ P Q Q Q =⋅⋅=△，55cos sin 2sin()444MNQP S Q Q Q π=-+=+-； 易知当4Q 3π=时，四边形MNQP 的面积有最大值，最大值为524+． 17．【解析】（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，故13n na a +=；故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+，解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分）（2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列， 故1231111n n T a a a a =++++L 111113133=1113323213nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-L 故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率24113124P C ⨯=⨯=；（4分）（2）依题意，ξ的可能取值为1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为241312C ⨯=； ()1111224P ξ==⨯=，()121112222P C ξ==⨯⨯=，()1113224P ξ==⨯=，故ξ的分布列为 ξ123P141214故所求期望()2E ξ=.（12分）19．【解析】（1）Q 1E A AD ⊥，平面1AE D ⊥平面ABCD ， 平面1AE D I 平面ABCD AD =，故1E A ⊥底面ABCD ， AB AD ⊥，∴1,,AE AD AE 两两垂直，以1,,AE AD AE为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知条件知，1(2,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,1,0),(0,0,2)E B C D E --， 且1111(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2),(0,1,2)EE BE CE DE =-==-=-uuu r uuu r uuu r uuu r，11112200220,220(2)220EE BE EE CE ⋅=-⨯+⨯+⨯=⋅=-⨯+⨯-+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1111,EE BE EE CE ⊥⊥,Q 111BE CE E =I ,∴1EE ⊥平面1E BC ∴1EE BC ⊥．（6分） （2）由（1）可知，平面1E BC 的法向量为1(2,0,2)EE =-uuu r．令平面1E BD 的法向量为(,,)x y z =m ，故11(,,)(2,0,2)220(,,)(0,1,2)20BE x y z x z DE x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩uuu r uuu r m m ，即,2x z y z =-=，取(1,2,1)=-m．1cos ,EE <u u u r m∴二面角1C BE D --.（12分） 20．【解析】（1）依题意，12c e a ==，故2234b a =.①将2,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆的方程中，可得2248193a b +=.② 联立①②，解得224,3a b ==，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=.（4分） （2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r.依题意，设直线:()(0,0)l y k x t k t =+≠≠，圆22:20x y y Ω++=，即()2211x y ++=.直线:()(0)l y k x t t =+≠与圆22:(1)1x y Ω++=1=，整理得2222=0k t kt k +-.当1t =±时，切线的斜率k 不存在，不合题意，舍去； 当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得221tk t =-，把:()(0)l y k x t t =+≠代入椭圆C 的方程22143y x +=得：22222(43)63120k x k tx k t +++-=. 易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 相交，设1122(,),(,)M x y N x y ， 则2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=-+， 12121228()()()243kty y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=+，212122268(,)(,)4343k t kt OM ON x x y y k k +=++=-++uuu u r uuu r . 因为OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r，故22268(,)(43)(43)k t ktOQ m k m k =-++u u u r ，即Q 的坐标为22268(,)(43)(43)k t ktQ m k m k -++. 又因为Q 在椭圆上，所以2222268(43)(43)143k t ktm k m k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 得2222443k t m k =+，把221t k t =-代入得2242242222424()441211143()11t t t t m t t t t t t-===+++++-； 因为210t >，所以421111t t++>，204m <<，于是20m -<<或02m <<， 综上所述()(2,0)0,2m ∈-U .（12分）21．【解析】（1）依题意，()'e e mx mxf x mx =+，故()()'1e e 1e 2e m m m f m m =+=+=， 解得1m =，故()()'e e 1e x x xf x x x =+=+；令()'0f x =，故1x =-； 因为()222e f --=-,()11e f --=-,()20f >，故函数()f x 在[]2,2-上的最小值为()11e f --=-；（4分）（2）依题意，()211e 1e 00mx mxx f x x x x x-=⇔-=⇔=； 问题转化为2e 10mx x -=在()0,+∞有两个解；令()2e 1mxx x ϕ=-,()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+．①当0m ≥时,()()e20mxx x mx ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在()0,+∞上单调递增．由零点存在性定理，()y x ϕ=在()0,+∞至多一个零点，与题设发生矛盾． ②当0m <时，令()e20mxx mx +=，则2x m=-．因为()01ϕ=-，当∴要使()2e 1mx x x ϕ=-在()0,+∞内有两个零点，则20m ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可，得224e m <，又因为0m <，所以20e m -<<；综上，实数m 的取值范围为2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24C x y -+=；直线::0l x y -+=；（4分）（2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)，设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则P l d →(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l （10分） 23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min111222mf x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞U .（10分）。

绝密★启用前2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题解析学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}0,1A x x B x x =>=>，则U A C B ⋂=（ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <≤C ．{}0x x <D ．{}1x x > 答案：B求出U C B 后可求U A C B ⋂.{}|1U C B x x =≤，故{}|01U A C B x x ⋂=<≤.故选：B.点评：本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题.2．若复数z 满足i 1i z z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C 先由i 1i z z =-，解得z ，再求z ，然后用几何意义判断. 因为i 1iz z =-， 所以i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--， 所以1i 22z =--， 所以z 对应的点在第三象限..故选：C点评：本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin ,cos ,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c << 答案：A 根据函数1()n f x mx +=是幂函数，得到1m =，再由1()n f x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，得到2n =，然后用函数的单调性判断.因为函数1()n f x mx +=是幂函数，所以1m = ，所以1()n f x x +=，又因为1()n f x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以2n =，即3()f x x =， 因为222cos sin tan 777πππ<<， 又()f x 为增函数，所以b a c <<.故选：A点评：本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<uuu r uuu r ，则双曲线的离心率的范围为（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞答案：A根据120CA CA ⋅<uuu r uuu r ，所以12ACA ∠为钝角，有a b >求解.根据题意，120CA CA ⋅<uuu r uuu r ， 所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a >∴<∴<<. 故选：A点评：本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为（ ）A ．15B ．25C ．325D ．425答案：C设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝，B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝，先明确是条件概率类型，求(),()P A P AB ，再代入公式求解.设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140+====C C C C C C C C C C P A P AB x C C C ， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===. 故选：C点评：本题主要考查了条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，函数()f x a b =⋅r r 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π=（ ）A ．2B ．74C ．54D ．1 答案：D 由213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>r r ，利用数量积运算得到()f x 15sin(2)264x πω=++，再根据函数()f x a b =⋅r r在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，求得周期，确定函数再求值. 因为213(,cos ),(2cos ,sin )(0)22a xb x x ωωωω==+>r r ， 所以213()(2cos )cos sin 2ωωω=⋅=++r r f x x x x a b 2131cos sin 22x x ωω=++， 1cos231sin 24x x ωω+=++5113(cos2sin 2)422x x ωω=++15sin(2)264x πω=++， 因为函数()f x a b =⋅r r 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π， 所以T π=，22ππω∴=，1ω∴=， 即15()sin(2)264f x x π=++， 所以15()1244f π=-+=. 故选：D点评：本题主要考查了三角函数与平面向量，数量积运算及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13答案：C根据循环结构，从1i =开始，一一验证，直至5>=S n 时，对应的值.输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<，2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<，3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<，4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<L ，10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=，11=i ，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<，12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=.所以输出的12.i =故选：C点评：本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.8．设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （ ）A ．6B ．16C ．24D ．48答案：B 根据AP BD ⊥，有AM u u u u r 在向量AP u u u r 的射影为AP u u u r ，根据向量加、减法运算，将(3)()++-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r OB OC OD OA OP OA 转化求解.因为AP BD ⊥，所以AM u u u u r 在向量AP u u u r 的射影为AP u u u r ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r .故选：B点评：本题主要考查了向量的加法，减法运算及向量的投影，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.9．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ）A ．[2,13]B ．[4,13]C ．[4,13]D ．[2,13]答案：A根据约束条件，作出可行域，目标函数表示表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离的平方，然后用数形结合求解.由约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -， 所以max 13t DC =过(1,1)D -作DH AB ⊥于H ，则min 22t DH == 所以[2,13]z ∈.故选：A点评：本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10．已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +==，012123164n n n n n n a C a C a C a C +++++=L ，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为（ ） A ．160- B ．80- C ．80 D ．160。

2020届模拟05理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设全集U =R ，集合{}{}0,1A x x B x x =>=>，则U A C B ⋂=（ ）A. {}01x x ≤<B. {}01x x <≤C. {}0x x <D. {}1x x >【答案】B【解析】【分析】求出U C B 后可求U A C B ⋂.【详解】{}|1U C B x x =≤，故{}|01U A C B x x ⋂=<≤.故选：B.【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题.2.若复数z 满足i 1i z z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】 先由i 1iz z =-，解得z ，再求z ，然后用几何意义判断. 【详解】因为i 1i z z =-， 所以i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--， 所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限..故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3.已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin ,cos ,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A. b a c << B. c b a <<C. b c a <<D. a b c <<【答案】A【解析】【分析】根据函数1()n f x mx +=是幂函数，得到1m =，再由1()n f x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，得到2n =，然后用函数的单调性判断.【详解】因为函数1()n f x mx +=是幂函数，所以1m = ，所以1()n f x x +=，又因为1()n f x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以2n =，即3()f x x =， 因为222cos sin tan 777πππ<<， 又()f x 为增函数，所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<，则双曲线的离心率的范围为（ ）A.B. (1,2)C. )+∞D. (2,)+∞【答案】A【解析】【分析】 根据120CA CA ⋅<，所以12ACA ∠为钝角，有a b >求解. 【详解】根据题意，120CA CA ⋅<， 所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a >∴<∴<<. 故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5.已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为（ ） A. 15 B. 25 C. 325 D. 425【答案】C【解析】【分析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝，B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝，先明确是条件概率类型，求(),()P A P AB ，再代入公式求解.【详解】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140+====C C C C C C C C C C P A P AB x C C C ， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.已知向量213(,cos ),(2cos ,sin )(0)22a x b x x ωωωω==+>，函数()f x a b =⋅在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π=（ ） A. 2B. 74C. 54D. 1【答案】D【解析】【分析】 由213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>，利用数量积运算得到()f x 15sin(2)264x πω=++，再根据函数()f x a b =⋅在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，求得周期，确定函数再求值. 【详解】因为213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>，所以21()(2cos )sin 2ωωω=⋅=++f x x x x a b 211cos 22x x ωω=+，1cos2124x x ωω+=+511(cos22)422x x ωω=+15sin(2)264x πω=++， 因为函数()f x a b =⋅在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π， 所以T π=，22ππω∴=，1ω∴=， 即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量，数量积运算及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7.如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i =（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】 根据循环结构，从1i =开始，一一验证，直至5>=S n 时，对应的值.【详解】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<，2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<，3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<，4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<，10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=，11=i ，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<，12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=.所以输出的12.i =故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.8.设M 是ABCD 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=（ ）A. 6B. 16C. 24D. 48 【答案】B【解析】【分析】 根据APBD ⊥，有AM 在向量AP 的射影为AP ，根据向量加、减法运算，将(3)()++-⋅-OB OC OD OA OP OA 转化求解.【详解】因为AP BD ⊥，所以AM 在向量AP 的射影为AP ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的加法，减法运算及向量的投影，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 9.设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ）A. [2,13]B. [4,13]C. [4,13]D. [2,13]【答案】A【解析】【分析】根据约束条件，作出可行域，目标函数表示表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离的平方，然后用数形结合求解. 【详解】由约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max t DC =过(1,1)D -作DH AB ⊥于H ，则min t DH ===， 所以[2,13]z ∈.故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +==，012123164n n n n n n a C a C a C a C +++++=，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为（ ） A. 160-B. 80-C. 80D. 160 【答案】D【解析】【分析】根据13n n a a +=，得数列{}n a 等比数列，求得13-=n n a ，再由012123164n n n n n n a C a C a C a C +++++=，确定n ，得到21(1)(2)n x x x--为61(1)(2)x x x -- ，然后利用通项公式求解.【详解】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13-=n n a ，所以01200112212313333(13)464,+++++=++++=+==n n n n n n n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C ，解得3n =所以21(1)(2)n x x x --61(1)(2)=--x x x， 其中61(2)x x -展开式的第r+1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r r r T C x C x x---+=-=-⋅⋅⋅， 令621r -=-，得72r =（舍去）， 令620r -=，得3r = 可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=． 故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为（ ）A. 154πB. 174πC. 194πD. 214π 【答案】B【解析】 【分析】 3体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求.3旋转得到的几何体是两个同底的圆台， 上底半径为323，高为32 ， 所以旋转得到的几何体的体积为22221333212[()(3)()(3)]3224πππππ⨯⨯+⨯=，内部的六边形边长为1旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥，3123，高为1， 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332(132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π. 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.12.已知函数1,0()ln ,0x x f x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A. 1(0,)e B. 1(0,)2e C. 1(,)2e -∞ D. 11(,)2e e 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x =的零点问题，用数形结合的方法研究.【详解】当0x <时，()21f x k x x==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x=有一个零点， 当0x >时，()2ln f x x k x x ==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x在上单调递增，当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x在)+∞上单调递减，所以当x =()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e ， 故选：B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13.已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP =________.【答案】6【解析】【分析】根据Q ,F P 间的对称关系，结合点P 在y 轴上，求得点Q 的横坐标，再利用抛物线的定义求解.【详解】设(),Q m n ,()2,0F 因为Q 为FP 的中点，且点P 在y 轴上，所以Q 的横坐标为1m =， 由抛物线的定义得，22(12)6==+=FP QF .故答案为：6【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.14.南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++，其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32nb aS a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=__________.【答案】1(1)(21)6n n n ++ 【解析】 【分析】根据题意，在22()32n b aS a b ab -=+++中，令1,a b n ==，即可得到结论. 【详解】根据题意，令1,a b n ==，22221(1)1(1)1232(21)6n n S n n n n n n -=++++==++++.故答案为：1(1)(21)6n n n ++ 【点睛】本题主要考查了类比推理，还考查了抽象概括问题的能力，属于基础题. 15.某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为__.3【解析】 【分析】根据三视图，得到这个几何体为一个放倒的四棱锥，画出直观图，根据三视图，正视图为底面，高为俯视图的高，由体积求得高，得到俯视图的边长即可. 【详解】由三视图可知，几何体为一个四棱锥， 直观图如下，设四棱锥的高为h ， 几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=， 即点E 到平面ABCD 的距离为3， 又因为俯视图三角形底边长为2， 所以俯视图的面积为=⨯⨯=12332s故答案为：3【点睛】本题主要考查了三视图与直观图，还考查了数形结合的思想和空间想象的能力，属于中档题.16.在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且4,6AB AC ==，若ABC 的面积不小于63，则BECF的最小值为_____. 【答案】91 【解析】 【分析】根据题意，在ABE △，ACF 中，利用余弦定理分别求得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，建立BECF模型，然后根据ABC 的面积不小于63，确定cos A 的范围，再利用函数求最值.【详解】根据题意，如图所示：因为点,E F 分别为,AC AB 的中点， 所以3,2AE AF ==，在ABE △中，由余弦定理得，2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，在ACF 中，由余弦定理得，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，所以BECF =又因为ABC ∆的面积不少于6，所以1sin 12sin 2△≥=⋅=ABC S AB AC A A所以11sin [,]22∈-A A 当cos A 取最大时，BECF【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知数列{}n a 的前n 项和记为n T ，121(1)n n a T n +=+≥，11a =；等差数列{}n b 中，且{}n b 的前n 项和为n S ，1333,27b a S =+=. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.【答案】（1）13,3n n n a b n -== （2）1nn + 【解析】 分析】（1）由121(1)n n a T n +=+≥，得到121(2),≥-=+n n a T n 然后两式相减得13(2)n n a a n +=≥ 从而得到数列{}n a 是等比数列，再分别求{}n a 与{}n b 的通项公式.（2）根据（1）得到()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++，再用裂项相消法求和.【详解】（1）121(1)≥+=+n n a T n ， 121(2),≥-∴=+n n a T n 12(2),≥+∴-=n n n a a a n 13(2)n n a a n +∴=≥又11a =，2213,3aa a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=.设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=， 3n b n ∴=.（2）由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++所以前n 项和11111(1)()()22311n n A n n n =-+-++-=++. 【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和之间的关系以及裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人. （1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）在犯错误的概率不超 2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（2）见解析，133【解析】 【分析】（1）根据列联表，利用公式求得卡方值，对应卡值下结论.（2）根据题意，分四种情况，一是猜2次，2人全是“梅派”传人”，二猜3次是第3次是“梅派”传人，三是猜4次，第4次是“梅派”传人，四是猜5次，分两类，一类是第5次是“梅派”传人，第二类是第5次不是“梅派”传人，分别用古典概型求得概率，列出分布列，求期望.【详解】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系. （2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.22261(2) 15A P X A ===，112242362(3) 15C C A P X A ===， 123243461(4) 5===C C A P X A ， 13411452441245563(5) 5+===C C A C C C A P X A ， ∴随机变量X 的分布列为：X2 3 4 5P115 215 15 35∴随机变量X 的期望为：12131323451515553=⨯+⨯+⨯+⨯=EX. 【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.19.在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =.（1）证明：//CF 平面BDM ；（2）求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（230【解析】 【分析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，由:1:2DC EB =，得到:2:1EN CN =，2,=EM MF 由比例关系得到//MN CF ，再由线面平行的判定定理证明.（2）根据由EA EB EF +=，得四边形AFBE 为平行四边形，由6AF BE ==，3EAF π∠=，得AE EF ⊥，再由,,⊥⊥DE EB DE EA ，得DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥，从而EF ⊥平面ADE ，以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求得平面BMD 和平面AED 得一个法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）如图所示：连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =2,:2:1EM MF EM MF =∴=，∴//MN CF ，又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .（2）证明：由EA EB EF +=， 得四边形AFBE 为平行四边形， 所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥， 又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =，EF ∴⊥平面ADE以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M -， 所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM =-=- 设平面BMD 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以(,,)(3,33,1)0,(,,)(3,3,0)0n BD x y z n BM x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩ 3330330x y z x y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩ 令3y =(1,3,6)=n ，又平面AED 得一个法向量为(0,1,0)m =， 所以330cos ,210⋅<>===⋅n mn m n m又平面BMD 与平面AED 所成的二面角显然为锐角， 所以平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值3020. 【点睛】本题主要考查了线面平行和空间中二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证，空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M 为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线2a x c=与x轴的交点为S ，过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长，交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）因为12MF MF ⋅的最大值为4，根据椭圆的定义，利用基本不等式求得a ，再根据直线,MA MB 的斜率之积为34-，有000022222002222200(1)x b yy y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，求得b ，写出椭圆方程.（2）由条件知(4,0)S ，设直线l 的方程4x ky =+，与椭圆方程联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y .由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++.，设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+， 所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90++++-=ky ky y y y y ，因为要证22'P F PF =.根据椭圆的对称性，只要证得点P 与 P '关于x 轴对称， 即01x x =01=-y y . 【详解】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-， 故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）根据题意，(4,0)S ，所以设直线l 的方程4x ky =+，联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，222(24)436(34)144(4)0k k k ∆=-⨯+=->，即24k >.设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++. 设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+，所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90++++-=ky ky y y y y ， 所以2022229,(3)34-=++y y ky y 所以2022222229927(34)1827(34)18--==++++++y y k y ky k y k y111936211827()3-==-++--y k k y y .所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -， 所以22'P F PF =.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.21.已知函数()m xf x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.（1）若函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，若2M N >，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）a <2）(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞【解析】 【分析】（1）根据()m xf x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.有'(1)1,f =-(1)1,f =求得函数()f x .然后将函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，转化为()0f x '≤存在取值区间求解；（2）根据2(1)1()xx t x G x e +-+=，求导()(1)'()x x t x G x e ---=，根据[0,1]x ∈，分①当1t ≥时，②当0t ≤时，③当01t <<时，三种情况讨论值域，然后再分别研究2M N >成立，确定实数t 范围.【详解】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=， 又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=. （1）由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，若函数()f x 存在单调减区间， 则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a ≤当a =1()(sin cos )x f x e x x -'=-+当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+<，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭.当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+=，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭24x k ππ=+.当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+>，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭x ∈R 且24x k ππ≠+所以a =.故a <（2）因为2(1)1()xx t x G x e +-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---=①当1t ≥时，()0'≤G x ，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <， 所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32et >-； ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增， 所以2(0)(1)G G <，即32te-<，得32t e <-，③当01t <<时，[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减，(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增，所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t te e+-⋅<*.令1()t t p t e +=，(0,1)t ∈，则()0t t p t e -'=<，所以1()t t p t e+=在(0,1)t ∈上单调递减， 故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式（*）无解， 综上所述，(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数与函数的极值，最值问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22.已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P 的极坐标)2π.（1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值. 【答案】（1）4πρ=，2cos sin 60ρθθ--+=.（2）【解析】 【分析】（1）根据cos ,sin ,x y ρθρθ== 分别求解直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程.（2）由直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程联立得2660ρρ-+=，再求弦长12AB ρρ=-P 到直线'l 的距离d ，代入面积公式求解.【详解】（1）因为直线'l 的普通方程为0x y -=，所以直线'l 的极坐标方程4πθ=，因为曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以曲线C的极坐标方程2cos sin 60ρθθ--+=. （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-= 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PABS=⨯=. 【点睛】本题主要考查了普通方程，极坐标方程，参数方程间的转化，以及直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23.已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值. 【答案】（1）(3,2)(3,4)--.（2）92【解析】 【分析】（1）根据题意，利用绝对值的几何意义，转化函数22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，再分类讨论解不等式.（2）由()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，再根据0,0a b >>，()f x 的最小值为a b c ++，即2a b c ++=，然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）根据题意，22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，因为8()10f x <<所以210228x x ≥⎧⎨>+>⎩或110428x x ≤-⎧⎨>->⎩，解得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--.（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立， 又0,0a b >>，所以a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++， 所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c abcabcabcabc++=++++=+++++++++=≥.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法，基本不等式的应用，还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（四）理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U 是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x =∈--N ≤，3{|1log 2}B x U x =∈<≤，则()U A B =I ð（ ） A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}4D ．{}52．在复平面内，复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，则复数12z z的共轭复数的虚部为 （ ） A ．32 B ．32-C ．12 D ．12-3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 （ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．执行如图所示程序框图输出的S 值为 （ ）A ．2021B ．1921C ．215231D ．3575065．已知函数()f x 的定义域为D ，满足：①对任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=，②对任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数()f x 叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是 （ ） A ．()tan f x x =B ．()sin f x x x =+C．2 ()ln2x f xx-=+D．()x xf x e e-=-6．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:ix0.04 1 4.84 10.24iy 1.1 2.1 2.3 3.3 4.2若依据表中数据画出散点图，则样本点(,)(1,2,3,4,5)i ix y i=都在曲线1y x=+附近波动.但由于某种原因表中一个x值被污损，将方程1y x=+作为回归方程，则根据回归方程1y x=+和表中数据可求得被污损数据为（）A． 4.32-B．1.69 C．1.96 D．4.327．已知变量,x y满足约束条件2240240x yx yx y+⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，若222x y x k++≥恒成立，则实数k的最大值为（）A．40 B．9 C．8 D．728．已知12,F F是双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的左、右焦点，P是双曲线E右支上一点，M是线段1F P 的中点，O是坐标原点，若1OF M△周长为3c a+（c为双曲线的半焦距），13F MOπ∠=，则双曲线E的渐近线方程为（）A．2y x=±B．12y x=±C．2y x=±D．2y x=±9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．164π+B．484π+C．4812π+D．4816π+10．在四棱锥A BCDE-中，ABC△是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为（）A．2121πB．84πC．721πD．2821π11．在DEF△中，曲线P上动点Q满足3(1)34DQ DF DEλλ=+-u u u r u u u r u u u r，4DE=,9cos16D=，若曲线P与直线,DE DF围成封闭区域的面积为157，则sin E=（ ） A ．37B ．18C ．7 D ．3412．若()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--（1x >）恰有1个零点，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[0,+)∞B ．1{0}[,)4+∞U C (,)e +∞D ．(0,1)(1,)+∞U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知2(2)n x y -+展开式的各项系数和为128，则展开式中含43x y 项的系数为 .14．在梯形ABCD 中，//AD BC ,0AB BC ⋅=u u u r u u u r ,||2AB =u u u r ,||4BC =u u u r ，AC BD E =I ,AC BD ⊥u u u r u u u r，则向量AE CD ⋅u u u r u u u r= .15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,||)2A πωφ>><图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为5(,2),(,0)612ππ，则()()cos2g x f x x =在区间[0,)4π的值域为 .16．已知直线l 与抛物线2:4G y x =自下到上交于,A B ，C 是抛物线G 准线与直线l 的交点，F 是抛物线G的焦点，若2AC AF =-u u u r u u u r，则以AB 为直径的圆的方程为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n+==+++.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望.19．（12分）在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，BCE △为正三角形.（1）求证：DE BC ⊥；（2）若平面ABCD ⊥平面BCE ，求直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值.20．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，满足122F M MF =-u u u u r u u u u r，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若与圆221x y +=相切的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r （其中O 为坐标原点)的取值范围.21．（12分）已知()sin x f x e ax x =-+.（1）若函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与圆221x y +=相切，求实数a 的值.（2）已知()ln(1)1g x x =++，当0x ≥时()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .23．（10分）选修4—5不等式选讲（1）已知函数()|21||2|f x x x =++-，当23x -≤≤时，()f x m ≤恒成立，求实数m 的最小值. （2）已知正实数,a b 满足，a b ab +=，求22a b +的最小值.2020届模拟04理科数学1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】A 【答案】B 13．【答案】840- 14．【答案】165- 15．【答案】16．【答案】22564()(39x y -+=17．【解析】（1）由题知1n a +=1n n S S +-=3(1)(2)n a n n ++，即1321n n a an n+=⨯++， 即113(1)1n n a an n++=++，（2分） Q 111,130a a =∴+=≠，10na n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，（4分）∴13n na n+=，∴3n n a n n =⨯-；（6分） （2）由（1）知，3nn a n n =⨯-，∴221312323333n n T n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-L221323333123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-----L L ，（7分）设221323333nn M n =⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①∴23131323(1)33n n n M n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②①-②得，123113(13)(12)3323333331322n n n n n n n M n n +++---=++++-⨯=-⨯=--L ， ∴1(21)3344n n n M +-=+，Q (1)1232n n n +-----=-L ，（11分）∴1(21)3(1)3424n n n n n T +-+=-+.（12分） 18．【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，Q 成绩在[50,60)内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，（2分） ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（4分）（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5， 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，∴X 的可能取值为0,1,2,3,4，（5分）∴223222541(0)20C C P X C C ===；11221123232222543(1)10C C C C C C P X C C +===， 221111222223223222547(2)15C C C C C C C C P X C C ++===，21111222232222541(3)6C C C C C C P X C C +===， 222222541(4)60C C P X C C ===.（10分） ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P12031071516160∴137119()012342010156605E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接,,EO DO BD ，Q BCE △为正三角形,∴EO BC ⊥， Q ABCD 为菱形，3DCB π∠=,∴BCD △为正三角形，∴DO BC ⊥，Q DO EO O =I ,∴BC ⊥平面DOE ,∴BC DE ⊥.（5分）（2）由（1）知，DO BC ⊥，Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，∴DO ⊥平面BCE ，（6分） 以O 为原点，,,OE OC OD 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2BC =， 直线AE 与平面CDE 所成的角θ，则(0,1,0),(0,0,3),(3,0,0),(0,2,3)C D E A -，则(3,2,3),(3,1,0),(0,1,3)EA EC CD =--=-=-u u u r u u u r u u u u u r，（7分）设平面CDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则3030EC x y CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1x =， 则3y =,1z =,∴(1,3,1)n =，（9分）∴||3233|6sin |||105EA EA θ⋅--+===⋅⨯u u u ru u u r n |n |,∴直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值为6.（12分） 20．【解析】（1）连接2PF ,Q 122F M MF =-u u u u r u u u u r ,∴122F F F M =u u u u r u u u u u r，∴2F 是线段1F M 的中点，Q P 是线段1F N 的中点，∴21//2PF MN =， 由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，∴1F MN △周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=， 由离心率为12知，12c a =，解得2,1a c ==，∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分） （2）当直线l 的斜率不存在时，直线1x =±，代入椭圆方程22143x y +=解得32y =±，此时95144OA OB ⋅=-=-u u u r u u u r ，（5分） 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由直线l 与圆221x y +=1=，221m k ∴=+，（6分）将直线l 方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，222222(8)4(34)(412)48(43)4832)0km k m k m k ∆=-+-=-+=+（＞，（8分） 1212()()y y kx m kx m =++=2222222221212222(412)8312()343434k m k m m k k x x km x x m m k k k --+++=-+=+++，2221212224123123434m m k OA OB x x y y k k --⋅=+=+++u u u r u u u r 222222712125555344341612m k k k k k --+==-=--+++， Q 2161212k +≥，∴2110161212k <+≤，∴2550121612k --<+≤， ∴5534OA OB -⋅-u u u r u u u r ≤＜，（11分）综上所述，OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围为55[,]34--.（12分）21．【解析】（1）由题知，()cos x f x e a x '=-+，(0)1f =，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线斜率为(0)2f a '=-，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为(2)1y a x =-+，即(2)10a x y --+=，（2分）1=，解得2a =.（4分）（2）设()()()sin ln(1)1x h x f x g x e ax x x =-=-+-+-∴1()cos 1xh x e a x x '=-+-+，（5分） 设1()cos 1xm x e a x x =-+-+，∴21()sin (1)xm x e x x '=-++，Q 当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤，210(1)x >+，∴()0m x '＞，∴()m x 即()h x '在[0,)+∞上是增函数，(0)1h a '=-，（7分）当1a ≤时，10a -≥，则当0x ≥时，()(0)10h x h a ''=-≥≥，∴函数()h x 在[0,)+∞上是增函数，∴当0x ≥时，()(0)0h x h =≥，满足题意，（9分）当1a >时，(0)10h a '=-＜，Q ()h x '在[0,)+∞上是增函数，x 趋近于正无穷大时，()h x '趋近于正无穷大， ∴存在0(0,)x ∈+∞上，使0()0h x '=，当00x x <<时，0()()0h x h x ''=＜，∴函数()h x 在0(0,)x 是减函数，∴当00x x <<时，()(0)0h x h =＜，不满足题意，（11分）综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞.（12分） 22．【解析】（1）由2247cos 2ρθ=-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，（3分） 由题知直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）.（5分）（2）设直线l 与曲线C 交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 是参数）代入曲线C 方程22143x y +=整理得，27180t --=，∴1212187t t t t +=-，（8分）∴1224||||7AB t t =-.（10分）23．【解析】（1）Q 113,21()3,2231,2x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，（2分）∴()f x 在区间1[2,]2--上是减函数，在区间1[,3]2-是增函数，Q (2)7,(3)8f f -==，∴()f x 在区间[2,3]-上的最大值为8， ∴8m ≥，∴实数m 的最小值为8.（5分）（2）Q a b ab +=，0,0a b >>，∴111a b+=，∴22222222211()()22()28b a b a a b a b a b a b a b +=++=+++++≥，当且仅当2222a b b a=且b a a b =，即a b =时，22a b +取最小值8.∴22a b +的最小值为8.（10分）。