《反比例函数的图像与性质2》教案

5.2 反比例函数（2）教与学目标：1．进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象．2．体会函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行认识上的整合．3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质． 教与学重点、难点：重点就是掌握反比例函数的性质．难点是培养学生从函数图象中获取信息的能力．教与学方法：合作交流，展示共享教与学过程：（一）情境导入：（案例1）画出反比例函数8y x =与8y x=-的图象，设计意图：：（1）列表时，选取的自变量的值，既要易于计算，又要便于描点，尽量多取一些数值（取互为相反数的一对一对的数），多描一些点，这样既可以方便连线 ，又可以使图象精确（2）描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错．（3）一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线，连线时必须用光滑的曲线连接各点，不能用折线连接．（4）图像是延伸的，注意不要画成有明确端点．（5）曲线的发展趋势只能靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交．（二）自主探究：结合以上图像回答下列问题：比较两个函数图象，可以发现它们都由两支_____组成，并且当x 的绝对值不断增大或接近于0时，曲线越来越接近_______，但永远不会与______相交．思考:反比例函数x ky =的图象是__________． （三）合作交流： 反比例函数x ky =具有如下性质1．当0>k 时，图象的两个分支分别位于____________象限内，在这两个象限内，y 随x 的增大而______；2．当0<k 时，图象的两个分支分别位于____________象限内，在这两个象限内，y 随x 的增大而________．3．反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为____________；反比例函数的图象也是中心对称图形，其对称中心为___________．设计意图：学生通过自主完成图像的画法，观察、比较归纳出反比例函数的性质，并通过类比的方法与正比例函数的性质进行对比等一系列步骤较好地掌握了反比例函数的图象与性质（四）巩固练习:（1）对于函数x y 3=，当0>x 时，y ____0，此时图象在第_______象限内；对于函数x y 3-=，当0<x 时，y _____0，此时图象在第_______象限内；（2）函数4y x=的图象在第______象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而______；（3）函数4y x=-的图象在第______象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而_____．（五）学以致用：1．在同一直角坐标系中，分别画出函数6y x =与6y x =-的图象． 2．已知反比例函数4k y x-=，分别根据下列条件求出k 的取值范围．（1）函数图象位于第二、四象限；（2）在x 可以取值的范围内，y 随x 的增大而减小．设计意图：给学生留足够的时间，进行思考讨论，总结反比例函数性质．（六）达标测试:一、选择题:1．下列函数的图象在每一个象限内，y 值随x 值的增大而增大的是（ ）（A ）1y x =-+ （B ）1y x =-+ （C ）1y x = （D ）1y x =-2．A 为反比例函数xk y =图象上一点， AB ⊥x 轴与点B ，若3=∆AOB S ，则k 为（ ）（A ）6 （B ）3 （C ）23 （D ）无法确定 3．在同一坐标系中，函数x k y =和3+=kx y 的图像大致是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）4．如图，A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、C （3x ，3y ）是函数x y 1=的图象在第一象限分支上的三个点，且1x ＜2x ＜3x ，过A 、B 、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH 、BEON 、CFOP ，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论中正确的是（ ）（A ）S 1<S 2<S 3 （B ）S 3 <S 2< S 1（C ）S 2< S 3< S 1 （D ）S 1=S 2=S 3二、解答题：1．已知反比例函数 ()271a a y a x +-=-，y 随x 的增大而减小，求a 的值和表达式.2．反比例函数ky x =的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．[．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值 课堂小结：（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？（2）对于本节所学内容你还有哪些疑惑？ 作业布置：教学反思：图。

26.1.2反比例函数的图象和性质（第2课时）（教案）（或第二、第四象限），而说图象的两个分支分别在第一、第三象限（或第二、第四象限）.(2)反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般都是在各自的象限内的增减情况.(3)反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不能和坐标轴相交，也不能“翘尾巴”(4)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.如：已知双曲线kyx=在第二、第四象限，则可知k＜0.三、典例精析，掌握新知例1 已知反比例函数kyx=（0k≠）的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x 值的增大如何变化？(2)点B(3，4)，C(122-，445- )，D（2，5)是否在这个函数的图象上？【分析】由反比例函数的表达式kyx=（0k≠）经过点A，把A点坐标（2，6)代入相应的x,y后，可得k=12,故12yx=；由于k=12＞0，知函数的图象位于第一、三象限，在各个象限内y随x值的增大而减小（增减性可先想象出图象，再依据图象特征可作出说明，注意“各个象限”或“各个分支”是描述反比例函数增减性的前提条件，不能漏掉），再把B、C、D三点坐标代入12yx=中可判断B、C、D三点是否在该函数的图象上.【教学说明】本例应先让学生独立思考，锻炼分析问题、解决问题的能力，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.例2 如图是反比例函数5myx-=的图象的一个分支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一个分支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，如果 x1＞x2，那么y1与y2的大小关系如何？说说你的理由.【分析】反比例函数的图象只有两种可能，位于第一、第三象限或者位于第二、第四象限.观察图象知，此反比例函数的图象的一支位于第一象限，那么另一支必位于第三象限，而位于第一、三象限的反比例函数的表达式中k＞0，即m-5＞0，∴ m＞5 .而当m＞5时，在图象的各个分支上y随x值的增大而减小，故当x1＞x2时 y1＜y2.【教学说明】本例仍应先让学生自主探索，形成初步认识后，教师再与全班同学一道分析并给出解答过程，让学生通过反思加深对反比例函数的图象及其性质的理解.四、运用新知，深化理解1.如图是反比例函数7nyx+=的图象的一支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限，常数n的取值范围是什么？(2 ) 在这个函数图象的某一支上任取点A (a，b）和B (a' ,b' )如果a＜a'，那么b与b'的大小关系如何？为什么？2.如图，正比例函数y = kx与反比函数3 yx =的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC.求△ABC的面积.【教学说明】第1题学生能轻松获得结论，而第2题则需教师给予点拨引导，教师可让学生先分别求出S△AOB 和S△BOC，再求出S△ABC. 在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？你感觉到本节知识有哪些地方是较难理解的？与同伴交流.课后作业1. 布置作业：从教材“习题26.1”中选取.2. 完成练习册中本课内容.教学反思反比例函数的图象和性质是以前函数内容的延续，也是以后学习二次函数的基础.本课时的学习是学生对反比例函数图象和性质的一个再认知的过程，由于八年级学生是刚刚接触双曲线这种函数图象，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和直观的认识.另外在教学时，教师要与学生进行互动交流，并积极让学生自主探究反比例函数中k 值的几何意义.。

反比例函数图像及性质教案(2)今天我讲课的内容是北师大版九年级上册第五章«反比例函数图像与性质»第二课时，下面我从四个方面对本节课加以讲明。

一、教材分析1.教材的地位和作用：函数是研究现实世界变化规律的重要数学模型。

函数知识是初中代数的核心内容，随着学习的不断深入，函数把前面所学的方程、不等式等知识有机结合起来，成为解决代数知识的〝桥梁〞。

学生在七年级下册〝变量之间的关系〞和八年级上册〝一次函数〞等内容中对函数有了初步了解，在此基础上讨论反比例函数图像与性质，可进一步领会函数的概念，积存研究函数性质的方法以及用函数观点解决实际咨询题的体会，也为以后学习二次函数奠定基础。

2 . 教学目标：〔一〕知识目标：①依照图像和解析式探究并明白得反比例函数的性质；②逐步提高学生从函数图像中获得信息的能力，体会数形结合的思想方法。

〔二〕能力目标：通过本节课的学习，培养学生的观看、分析和独立解决咨询题的能力。

〔三〕情感目标：培养学生积极参与，乐于探究，善于交流的意识和适应。

3 教学重难点：重点：反比例函数的性质难点：学生对面积定值咨询题的明白得把握二、教学方法：因反比例函数的图像有两个分支，且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，会感到困难。

为确保教学目标顺利完成，本节课我采纳了引导发觉法、分组讨论法及类比分析法。

三、学习方法：关于函数的学习学生有恐惧心理，对教师的依靠性较强，因此在课上的学生活动中：我灵活运用多种数学思想方法，让数形结合、分类讨论的思想贯穿教学始终，利用这些数学方法，把握了重点，分化了难点，学生也能专门好地明白得反比例函数图像与性质。

四、教学程序：环节一：复习回忆上节课知识①反比例函数图像是什么？②反比例函数的图像所在的象限与k有如何样的关系？③反比例函数图像是不是轴对称图形？假如是，它有几条对称轴？并讲出对称轴的表达式。

④反比例函数图像是不是中心对称图形？假如是，它的对称中心是什么？〔设计意图：通过复习上一节所学知识并板书出来，能与本节课所学知识结合起来，便于经历。

焦村一中__八_年级___数学____（学科）教案②判断下列各点是否在反比例函数 的图 象上 A 、（1 ，6）B 、（2，3 ）C 、（3，2）D 、（-1，-6）E 、（5，2）F 、（-2，-3）③反比例函数 的图象经过点（2，5），若点（1，n ）在反比例函数图象上，则n 等于（ ）A 、10 B 、5 C 、2 D 、-6 ④、下列各点在双曲线 上的是（ ）A 、（ ）B 、（ ）C 、（ ）D 、（ ） 4、在反比例函数 的图像上有四点 （1）A （1，y 1）B ( 2, y 2) ,则y 1 y 2（2）C(-1，y 3)D(-2，y 4) 则y 3 y 4，(3) y 1 y 3 例3：如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A （a ，b ）和b （a ′，b ′），如果a>a ′，那 么b 和b ′有怎样的大小关系？5、反馈练习 1、反比例函数 图象在每一个象限内y 随x 的增大而减小，则m 取值范围是 。

2、已知反比例函数 图象如图1，则m 。

如图2时，则m 。

3、已知反比例函数 若函数图象位于第一三象限，则k___;在每一象限内，y 随x 增大而增大， 则k______.4、若点（-2，y 1）、（-1，y 2）、（2，y 3）在反比例函数 的图象上，则（ ）A 、y 1>y 2>y 3B 、y 2>y 1>y 3C 、y 3>y 1>y 2D 、y 3>y 2>y 1三、中招接轨1、点A(2,1)反比例函数 图象上， 当1＜x ＜ 4时，y 取值范围 。

（09河南）2、已知反比例函数图像经过点（m,2）和（-2，3）则m 的值是 。

（08河南）四、课堂小结：五、当堂检测：1、在反比例函数 图象每一条曲线上，y 都随x 增大而增大，则m 值可以是（ A 、-1 B 、O C 、2 D 、32、已知点M （-2，3）在双曲线 上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A （-2，-3）B （3，-2）C （2，3）D （3，2）科学评价教后小记 签名 , 注：教学流程重点应包括复习导入、自学引导、合作学习、拓展提升、课堂练习、知识拓展等环节。

课题：6.2反比例函数的图象与性质（1）学情分析：学生在学习本节课之前已经学习过一次函数，具备了研究函数的基本技能，了解了研究函数的一般过程。

一次函数的图象是线性的，并且是无间断连续的，学生在本节课将遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。

可通过学生发扬小组意识，探究、交流、合作共同解决疑难。

教学内容分析：本节课内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质。

在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，概括函数性质的过程，因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，教学中，首先应注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系。

其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式”到“作图”，再到“ 性质”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，是转化思想的具体应用。

教学目标：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。

2.通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力。

3.让学生提升对数形结合思想、类比思想、转化思想的认识，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质．教学重点：画反比例函数的图象和反比例函数的主要性质.教学难点：反比例函数的图象特点及性质的探究.教学过程：一、预习作业（组内讨论）1. 你还记得一次函数的图象吗? 还记得画函数图象的方法与步骤吗？2. 矩形的一边长为12，面积y和另一边长x之间有什么关系？此函数的图象是怎样的？请画出它的图象呢？3. 如果矩形的面积为12，一边长x 和另一边长y 之间又有什么关系呢？请求出y 关于x 的函数表达式，并画出它的图象。

§5.2.1 反比例函数的图象与性质(一)教学目标(一)教学知识点1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.3.逐步提高从函数图象小获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.(二)能力训练要求通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.(三)情感与价值观要求让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.教学重点：画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质.教学难点：反比例函数的图象特点及性质的探究.教学方法：教师引导学生探究法.教具准备：多媒体课件教学过程：Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们在前面学习了正比例函数和一次函数的图象，知道它们的图象都是一条直线，正比例函数的图象是过原点的一条直线，在画图象时需找(1，k)点即可，一次函数的图象也是一条直线，是不过原点的一条直线.画图象时只需找(0，b)和(-,0),过这两点作直线即可.那么反比例y＝(k≠0)的图象是直线呢?还是曲线，这就需要我们动手去做一做，才能得出结论.本节课就让我们一齐来实践吧.Ⅱ.新课讲解1.画反比例函数的图象[师]大家还记得画图象的步骤吗?[生]记得.是列表，描点，连线.[师]下面大家试着作反比例函数y＝的图象，在列表时x取值仿照以前，且要多取几点.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=的图象(如上图).[生乙]我作出的图象和他不一样，是这样的[生丙]我作出的图象和他们都不一样.(如下图)[师]现在出现三种不同类型的图象，请大家认真思考后选出正确的图象是哪一个?[生]第一种正确.第二种也正确，只不过取的点较少，又没有对称地取数，所以画出的图象好象不正确.第三种是错误的，因为应用光滑的曲线连接，而不是用折线连接.[师]很好.可见大家是动脑子思考过的，这种钻研精神值得表扬.2.议一议你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?与同伴进行交流.[生]其实刚才两位同学所画的图象已给出我们答案了，在列表时，自变量的值可以任意选，但如果选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可以简化计算，又便于描点；列表、描点时，要尽量多取一些数值.多描一些点，这样方便连线；在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线. 3.做一做请大家用同样的方法作反比例函数y ＝x4-的图象.(让学生自己作图，然后出示正确的图象让学生参考)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y ＝x4-的图象，如下图.[师]很好，大家基本上已经掌握了画反比例函数的步骤，以及反比例函数的图象的大致形状. 4.想一想观察y ＝和y ＝x4-的图象，它们有什么相同点和不同点?[师]上面是函数y ＝和y ＝x4-的图象，请大家对比着探索他们的异同点.[生]相同点：(1)图象都是由两支曲线组成； (2)它们都不与坐标轴相交； (3)它们都不过原点； 不同点：它们所在的象限不同.y ＝的两支曲线在第一和第三象限；y ＝x4-的两支曲线在第二和第四象限.[师]很好，完全正确.大家再仔细观察一下每个函数图象是否为对称图形. [生]是轴对称图形，也是中心对称图形.[师]由此看来，反比例函数的图象是两支双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在一、三象限，什么时候在二、四象限，大家能肯定吗?[生]可以，当k>0时，图象的两支曲线在第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限.[师]大家的观察能力和分析能力很了不起哟，继续努力.Ⅲ.课堂练习 P 134随堂练习 补充练习1.面积是常数S 时，三角形的底y 与高x 的函数关系是什么函数.图象.2. 画出反比例函数y= 或y=x5-的图象Ⅳ.课时小结一、本节课我们学习了画反比例函数的步骤为：列表、描点、连线.进一步巩固了画函数图象的步骤，同时在画反比例函数图象时要注意以下几点：1.列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可以简化计算.又便于描点；2.列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；3.在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线.二、在画出函数y ＝和y ＝x4-的图象后.比较它们的异同点.相同点：(1)图象都是由两支曲线组成： (2)它们都不与坐标轴相交； (3)它们都不过原点；(4)它们都是轴对称图形，也是中心对称图形.不同点：它们所在的象限不同，当k>0时，图象的两支曲线分别在第一、三象限内；当k<0时，图象的两支曲线分别位于第二、四象限. Ⅴ.课后作业 习题5.2Ⅵ.活动与探究已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且当x=2与x=3时，y 的值都等于19.y 与x 间的系数关系式，并求x ＝4时y 的值. 解：设y 1＝k 1x,y 2=22xk . ∴y=y 1+y 2=k 1x+22xk .当x ＝2时， y ＝19； 当x ＝3时，y ＝1.9. 1+42k ＝19，∴3k 1+92k ＝19.k 1＝5.解得k 2=36. ∴关系式为y ＝5x+236x. 当x ＝4时，y ＝5×4+1636=20+＝22。

新课教学应用举例：
例1．（补充）若点A（－2，a）、B（－1，
b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图
象上，则a、b、c的大小关系怎样？
例2．（补充）如图，一次函数y＝kx
＋b的图象与反比例函数的图象交于A
（－2，1）、B（1，n）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象写出一次函数的值大于反
比例函数的值的
x的取值范围
例3：已知变量y与x成反比例，且当x=2
时y=9，写出y与x之间的函数解析式和
自变量的取值范围。

随堂练习：
1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密
度p成反比例。

且V=5m3时，
p=1．98kg／m3
（1）求p与V的函数关系式，并指出自
变量的取值范围。

（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。

2、已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图
像经过点（4，3），求当x=6时，
y的值。

学生先自
由阅读教
材，并回答
相应的问
题；
学生独立
完成！
作业布置
必做题：课本P8，练习1、2
选做题：课本P9，习题26.1第5、8题。