集合与命题

第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】❖ 知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:❖ 例题讲解 例1(1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则( ).A. d M ∈B. d N ∈C. d P ∈D. 以上都不正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，，，，则( ).A. A B =B. B ⊂≠AC. A ⊂≠BD.AB =∅例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .例3 已知集合{}2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，求集合A 、B .(1) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(2) {}{}22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(3) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.例6同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少个? 写出这些 集合. 例7 已知集合{}{}222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?(2) 实数a 在什么范围内取值时，AB =∅.❖ 回顾反思 1. 主要方法:① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。

数学中的集合与命题逻辑关系分析数学作为一门严谨的科学，集合论和命题逻辑是其重要的基础理论。

本文将对数学中的集合与命题逻辑的关系进行分析，并探讨它们在数学推理和证明中的应用。

一、集合论基础集合是数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的对象所组成的整体。

集合论研究的是集合的性质、运算以及集合之间的关系。

集合可以用数学符号表示，比如用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

集合间的关系包括等于、包含、相交等。

两个集合相等表示它们具有完全相同的元素。

一个集合包含另一个集合，表示前一个集合中的所有元素都属于后一个集合。

两个集合相交表示它们有共同的元素。

二、命题逻辑基础命题逻辑是研究命题与命题间关系的数学分支。

命题是陈述性句子，其可以被判定为真或假。

命题逻辑通过符号和运算符号来表达、连接和分析命题。

命题之间有与、或、非等常见的逻辑连接词。

与运算表示两个命题同时为真时整体命题才为真。

或运算表示两个命题中至少一个为真时整体命题为真。

非运算表示对命题的否定。

三、集合与命题逻辑的关系1. 集合与命题的关系集合中的元素可以看作是命题，而集合本身可以看作是表示多个命题的逻辑组合。

比如，集合A可以表示为{a, b, c}，其中a、b、c是具体的命题。

这样，集合A就表示了这些命题的逻辑组合。

2. 集合运算与命题逻辑的关系集合运算和命题逻辑运算有着一定的对应关系。

并集运算可以看作是命题的或运算，表示两个集合中的元素组成的集合。

交集运算可以看作是命题的与运算，表示两个集合中同时满足的元素组成的集合。

补集运算可以看作是命题的非运算，表示集合中不满足某个条件的元素组成的集合。

3. 集合与命题逻辑在数学推理中的应用集合与命题逻辑在数学推理和证明中起着重要的作用。

通过对集合中的元素进行逻辑分析，可以推导出集合的性质和运算规律。

通过命题逻辑的推理规则，可以证明一些数学定理和命题。

集合论与命题逻辑的结合，为数学推理提供了一个严密的逻辑基础。

高一集合与命题知识点在高中数学学科中，集合与命题是非常重要的知识点。

通过深入学习与理解这些知识，可以帮助我们更好地解决数学问题，并提高数学的应用能力。

本文将从集合和命题两个方面展开，介绍高一阶段的相关知识点。

一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它是由若干个元素组成的整体。

在集合中，我们最常用的操作有并、交、差、补和集合的关系等。

下面将一一介绍这些操作：1. 并集：设有集合A和集合B，A和B的并集表示为A∪B，它包含了A和B的所有元素。

2. 交集：集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含了同时属于A和B的所有元素。

3. 差集：集合A和集合B的差集表示为A-B，它包含了属于A 但不属于B的所有元素。

4. 补集：集合A的补集表示为A'，它包含了不属于A的所有元素。

5. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。

在集合的基础上，我们还可以通过集合的运算来构建更复杂的集合，例如幂集和笛卡尔积：1. 幂集：设集合A的元素个数为n，那么A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。

幂集的元素个数为2^n。

2. 笛卡尔积：设有集合A和集合B，A和B的所有有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。

除了基本的集合操作外，我们还需要了解集合的性质和定理，例如：1. 并、交、差的运算规律：结合律、交换律、分配律等。

2. De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，有(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。

通过深入学习集合的相关知识，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念和方法。

二、命题命题是指能够判断真假的陈述句。

在数学中，我们经常要处理各种各样的命题，因此了解命题的基本性质是非常重要的。

1. 命题的逻辑联结词：命题可以通过逻辑联结词进行组合，常见的逻辑联结词有与、或、非、蕴含和等值等。

2. 命题的真值表：我们可以通过真值表来判断命题的真假，真值表是由逻辑联结词和命题变元构成的表格。

集合论与命题逻辑的基本概念解读集合论是数学中一个重要的分支领域，而命题逻辑则是数理逻辑的基础。

本文将对集合论与命题逻辑的基本概念进行解读，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、集合论的基本概念1. 集合的定义与表示：在集合论中，集合是由一组确定的元素所构成的整体。

集合的表示方法可以用列举法、描述法和定理法。

例如，集合A={1, 2, 3}可以用列举法表示；集合B={x | x是自然数且小于5}可以用描述法表示。

2. 元素和子集：集合中的元素是指组成集合的个体，而子集是指一个集合中的元素恰好也是另一个集合中的元素。

例如，如果集合C={1, 2}，则C的子集可以是空集、{1}、{2}和{1, 2}。

3. 并集和交集：并集是指将两个或多个集合中的元素合并在一起，形成一个新的集合；交集是指两个或多个集合中共同具有的元素构成的新集合。

4. 包含关系和相等关系：在集合论中，一个集合包含另一个集合是指前者的所有元素都属于后者。

而两个集合相等是指它们具有相同的元素。

二、命题逻辑的基本概念1. 命题的定义与表示：命题是指可以判断真假的陈述句。

命题可以用符号表示，通常用p、q、r等字母表示。

例如，命题p可以表示为“今天下雨”，命题q可以表示为“明天天气晴朗”。

2. 真值和真值表：一个命题只有两种可能的取值，即真（T）或假（F）。

真值表是列举了命题在不同情况下的真假取值。

3. 逻辑联结词：逻辑联结词是用来连接命题的词语，常见的有“与”（∧）、“或”（∨）和“非”（¬）。

例如，“p∧q”表示命题p与命题q 的合取，即“p和q同时为真”。

4. 命题的合取和析取：命题的合取表示命题同时为真的情况，如果p和q都为真，则p∧q为真；命题的析取表示至少有一个命题为真的情况，如果p和q中至少有一个为真，则p∨q为真。

三、集合论与命题逻辑的关系集合论和命题逻辑都是数学中的基础概念，它们之间存在一定的关系和应用。

1. 集合的运算与命题逻辑：集合的并集和交集运算在某种程度上类似于命题逻辑中的合取和析取运算。

1.1 集合与命题一、解答题。

1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。

第一讲 集合与命题知识归纳：1 理解集合的四种关系（子，交，并，补）以及真子集和全集的概念。

2 理解集合概念中的各种关系：N,,N *Z ，R,C,Q,,,,, ∉⊆u C ,∈Φ等等。

3 理解四种命题的相互转换关系及逻辑关联词（且，或）。

4. 充分条件，必要条件，充要条件：的必要条件是的充分条件，是则a b b a b a ,⇒ 互为充要条件ab b a ,⇔专家指导：设二次函数,)(2q px x x f ++=集合A={R x x x f x ∈=,)(|}，B={R x x x f x ∈+=-,1)1(|}，且A={2}，求集合B若有数列{n a },{n b },则n n a ∞→lim 和n n b ∞→lim 分别存在是nn n b a ∞→lim 存在的 （） A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充分且必要条件D 非充分且非必要条件实战演练：1．下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）A ． 甲 a ＞b ，乙 a 1 ＜b1 B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b ∣＜∣a －b ∣ C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2ab D 甲 ⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙 ⎩⎨⎧<-<-<+<2120b a b a 2．给出下列命题：（1）存在实数.23cos sin =+a a a 使 （2）直线x y x sin 2=-=是函数π图像的一条对称轴。

（3）)cos(cos x y =的值域是[1,1cos ]（4）若βα, 都是第一象限角，且βαβαtan tan ,>>则其中正确命题的题号为 （ ）A （1）（2）B （2）（3）C （3）（4）D （1）（4）3．平面内“一个动点到两个定点距离之和为定值”是“动点轨迹为椭圆”的（ ）A 充分非必要B 必要非充分C 冲要条件D 既不充分又不必要4．已知集合M=（0，1） （3，+∞），P=[a,b] M P=(0,+∞),M P=(3,4],则集合 P=5．已知",1",1,0是增函数那么如果则命题x a y a a a =>≠>的否命题是 。

集合与命题一、集合1、集合中元素的三大特征：①无序性②互异性③确定性这三个性质在解题时要注意应用，特别是互异性。

例1：下列事件可构成集合的有＿＿＿＿①优秀的学生；②老年人；③漂亮的衣服；④方程x2+x+1=0的实数解；⑤｜x+y｜=｜x｜+｜y｜的实数解。

例2：集合P={1，a，b}，Q={1，a2，b2}，若P=Q，则a+b=＿＿注意到集合中元素的互异性，则只能是2ba=且2ab=可能多数同学都是解出a，b，再得a+b的，结果a，b还是虚数，其实只要两式相减就有a-b=(b-a)(b+a)∵a≠b ∴a+b=-1例3：①设A=｛x｜x=2k-1，k∈N且1≤k≤10｝B=｛y｜y=3k，，k∈N且1≤k≤10｝求A∪B中所有元素之和。

（高二、高三的同学可以将k的范围改为1≤k≤100）②设Sn 数列｛an｝的前n项和，an=sin5πn，n∈N，且1≤n≤100，i）设集合A是由数列｛an｝中的所有的值构成的集合，求集合A。

ii）设集合B是由数列｛Sn｝n∈N，且1≤n≤100，中的所有的值构成的集合，求集合B中的所有元素和。

2、集合的表示法：①列举法②描述法③图示法说明：1）在描述法中，必须弄清楚在“｜”的前后各表示什么？如下面的问题：①已知A=｛y｜y=x2，x∈R｝，B=｛y｜y=8-x2，x∈R｝求A∩B；②已知A=｛（x，y）｜y=x2，x∈R｝，B=｛（x，y）｜y=8-x2，x∈R｝求A∩B。

2）图示法虽然不能准确表达集合中元素情况，但它能简单明了把两个集合的关系等表示出来。

例如：例：A 、B 、C 三厂联合生产一种产品，哪个厂生产的就盖上哪个厂的厂名，如果是两个或三个厂联合生产的就盖上两个或三个厂的厂名。

今有一批产品，发现盖过A 厂、B 厂、C 厂的厂名的产品分别有18件、24件、30件，同时盖过AB 厂、BC 厂、CA 厂的厂名的产品分别有12件、14件、16件，问这批产品最多有多少件？最少有多少件？ 解：设盖有三个厂的厂名的产品有x 件，如图： 则12-x ≥0，16-x ≥0，14-x ≥0，x ≥0且18-（12-x+x+16-x ）≥0，24-（12-x+x+14-x ）≥0 30-（16-x+x+14-x ）≥0，∴10≤x ≤12而总数为：18+［24-（12-x ）-14］+［30-（16-x ）-14］ +14-x=30+x所以这批产品最少有40件，最多有42件。

集合和命题是数学中的基础概念之一，它们在逻辑推理和问题求解中起着重要的作用。

本文将介绍集合和命题的基本概念，并以“step by step”的思维方式进行解释。

集合在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。

这些对象可以是数字、字母、符号或其他事物。

我们可以用大写字母来表示集合，用小写字母表示集合中的元素。

例如，集合A可以表示为 A = {1, 2, 3, 4}，其中1、2、3和4是A的元素。

集合可以通过包含和不包含元素的方式进行描述。

如果一个元素属于某个集合，我们可以说它是该集合的成员。

如果一个元素不属于某个集合，我们可以说它不是该集合的成员。

例如，如果 B = {2, 4, 6, 8}，我们可以说2是B的成员，但5不是B的成员。

集合可以有无限多个元素，也可以只有一个元素或者没有元素。

一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号 {} 或者∅ 表示。

集合之间可以进行一些基本的操作，包括并集、交集和补集。

并集表示两个或多个集合中所有元素的总和，交集表示两个或多个集合中共有的元素，补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素。

命题命题是陈述语句，可以被判断为真或假。

例如，“1 + 1 = 2” 是一个命题，因为它可以被判断为真。

命题可以用字母或其他符号来表示，例如 p、q 或者 P、Q。

命题之间可以进行一些逻辑操作，包括否定、合取、析取和条件。

否定操作表示一个命题的相反，合取操作表示多个命题同时为真，析取操作表示多个命题中至少有一个为真，条件操作表示一个命题的条件是另一个命题。

命题之间的逻辑操作可以通过真值表来进行表示和计算。

真值表列出了命题和逻辑操作的所有可能组合，以及它们的结果。

通过真值表，我们可以确定逻辑操作的结果是真还是假。

step by step 思维“step by step”思维方式是一种逐步推理和解决问题的方法。

它可以帮助我们将复杂的问题分解为更小的部分，逐步解决。

这种思维方式在数学推理中尤为重要，因为它可以帮助我们清晰地组织思路，避免错误和混淆。

第一讲 集合与命题【例1】（1）若非空集合{}135X x a x a =+≤≤-，{}116Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{}07a a ≤≤B ．{}37a a ≤≤C ．{}7a a ≤ D ．空集 （2）设集合(){},loglog 0aa A x y x y =+>，(){},B x y y x a =+<．若A B =∅ ，则a的取值范围是（ ）A ．∅B ．0,1a a >≠C ．02,1a a <≤≠D ．12a <≤（3）设X 是含()2n n >个元素的集合，A 、B 是X 中的两个互不相交的子集，分别含有m 、(),1,k m k m k n ≥+≤个元素，则X 中既不包含A 也不包含B 的子集的个数是（ ）A ．222n m n k n m k ----+-B ．2n m k --C ．2222n n m n k n m k ------+D ．12222n n m n k n m k +------+（4）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合：①,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭，②R {}\0，③1,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，④整数集Z 中，以0为聚点的集合有（ ）A ．②③B ．①④C ．①③D ．①②④ （5）条件甲：1sin a θ+=，条件乙：sincos22a θθ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分必要条件B ．甲是乙的必要条件C ．甲是乙的充分条件D ．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 （6）对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（ ） A ．逆命题为“周期函数不是单调函数” B ．否命题为“单调函数是周期函数” C ．逆否命题为“周期函数是单调函数” D ．以上三者都不正确（7）棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是（ ） A ．棱柱有一条侧棱与底面垂直B ．棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C ．棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直D ．棱柱有一个侧面是矩形且它与底面垂直 （8）若{}{}{}2,11,2,1,2,3,a a a ⊂⊂，则a 的值是_______________．札 记合*111log 2,23n n n N ⎧⎫-<<-∈⎨⎬⎩⎭的真子集的个数为___________．（10）从集合{},,,U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件： ①∅、U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇． 那么，共有________种不同的选法． （11）11220a b a b ≠是二元一次方程组111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有解的__________条件． （12）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知α、β是两个相交平面，空间两条直线1l 、2l 在α上的射影是直线1s 、2s ，1l 、2l 在β上的射影是直线1t 、2t ．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件________________________________________． 【例2】设集合(){}M x f x x ==，()(){}N x f f x x ==．（1）求证：M N ⊆；（2）若()f x 是一个在R 上单调递增的函数，是否有M N =？若有，请证明．札 记在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线22y x =相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点()3,0T ，那么3OA OB ⋅=”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【例4】已知2113x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，3arctan ,1,03B y y b t t b ⎧⎫⎪⎪==-≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，A B =∅ ，求b 的取值范围．札 记已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()f x 单调递增，()10f -=．设()2s i n c o s2x x m x m ϕ=+-，集合()0,,02M m x x πϕ⎧⎫⎡⎤=∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的，()()0,,02N m xf x πϕ⎧⎫⎡⎤=∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的，求M N ．【跟踪训练】1、设集合{}1,2A =，则从A 到A 的映射f 中满足()()()ff x f x =的映射的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点．我们用I 表示平面上所有直线的集合，M 表示恰好通过一个整点的直线的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合，给出表达式①M N P I = ，②N ≠∅，③M ≠∅，④P ≠∅，其中正确表达式的序号是_______________． 3、设(){}22,,,S x y xy x y R =-∈为奇数，()()(){22,sin 2sin 2T x y x y =π-π=()()}22cos 2cos 2,,xy x y R π-π∈，则S 与T 的关系为_______________．4、已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数：①C A B ⊂ ，且C 中含有3个元素；②C A ≠∅ ． 札 记。